事故树的定量分析
29
例题解答 【例 3-11】 以图 3-12事故树为例,
试用最小割集法、
最小径集法计算顶
事件的发生概率。
设各基本事件的发 生概率为: q1 =0.01; q2=0.02; q3=0.03;
q4=0.04; q5=0.05
30
解: 该事故树有三个最小割集: E1={X1, X2, X3,}; E2={X1, X4}; E3={X3, X5} 事故树有四个最小径集: P1={X1, X3,}; P2={X1, X5}; P3={X3, X4}; P3={X2, X4, X5}
xi P 1 xi P2 xi P3
[1 (1 q1 )(1 q2 )] [1 (1 q3 )(1 q4 )] [1 (1 q5 )(1 q6 )]
28
如果事故树的各最小径集中彼此有重复事件，则式3-20 不成立。与最小割集中有重复事件时的情况相似，须将 式3-20 展开，消去可能出现的重复因子。通过理论推 证，可用下式计算顶事件发生概率：
2
式中 q --单元故障概率; λ --单元故障率, 是指单位时间内故障发 生的频率; μ--单元修复率, 是指单位时间内元件修 复的频率。
K0
式中K --综合考虑温度、湿度、振动及其他 条件影响的修正系数, 一般K=1-10; λ0-- 单元故障率的实验值,一般可根据 实验或统计求得,等于元件平均故障间隔期(MTBF) 的倒数, 即: 3
r 1 xi k r
1 (1 qi )(1 qi )(1 qi )
xi k1 xi k 2 xi k3
1 (1 q1q3 )(1 q2 q4 )(1 q5 q6 )
23
如果各个最小割集中彼此有重复事件，则式 3-18不成立，
如某事故树有三个最小割集：
代数和,即为顶事件的发生概率。
13
[ 例 3-7 ] 试用式(3-17) 计算图 3-15 所示事故 树的顶事件发生概率。 解: 基本事件的状态组合及顶事件的状态值见 表3-14, 并列出每一种状态所对应的qp(q)和qp,因 而得到: 表 3-14 事故树 P(T) 计算表
X1 X2 X3 011 111 φ(X) 000001 11 00000 P(T) qp(q) q1(1- q2)q3 q1q2(1- q3) q1q2q3 0.019
4
单元修复率μ一般可根据统计分析用下式求得:
1 MTTR
式中,MTTR 为平均修复时间,是指系统单元出现故 障,从开始维修到恢复正常工作所需的平均时间。 一般,MTBF>>MTTR, 所以λ<<μ,则其故障概率为:
q
5
(2) 不可维修系统的单元故障概率。不可维修系 统的单元故障概率为:
14
qp 00 000 0.009 0.009 0.001
000 001 010 100 101 110
该方法规律性强, 适于编制程序上机计
算, 可用来计算较复杂系统事故发生概
率。但当 n 值较大时, 计算中要涉及2n 个状态组合, 并需求出相应顶事件的状 态, 因而计算工作量很大, 花费时间较 长。
g 1 (1 qi )
r 1 xi Pr p p
1r s p xi Pr Ps
p ( 1 q ) ( 1 ) i (1 qi )(3 21) xi Pr
r、s—最小径集的序号 xi Pr Ps —第i个基本事件属于最小割集Kr和Ks的并集
24
其中 qk qk 是最小割集K1、K2的交集概率
1 2
由于 K1 K 2 x1 x3 x2 x3 而
x1 x3 x2 x3 x1 x2 x3
所以 qk1 qk 2 q1q2q3 同理 q q q q q q q k1 k 3 1 2 3 4 5
q k 2 q k 3 q 2 q3 q 4 q5 qk1 qk 2 qk3 q1q2 q3 q4 q5
12
从式 (3-17) 可看出: 在 n 个基本事件两 种状态的所有组合中,只有当Φp(X) =1 时,该 组合才对顶事件的发生概率产生影响。所以在
用该式计算时,只需考虑Φp(X) =1的所有状态
组合。首先列出基本事件的状态值表, 根据事
故树的结构求得结构函数Φp(X) 值,最后求出
使Φp(X) =1的各基本事件对应状态的概率积的
0.019
但当事故树中含有重复出现的基本事件时,
或基本事件可能在几个最小割集中重复出现时,
最小割集之间是相交的, 这时, 应按以下几种
方法计算。
11
1. 状态枚举法
设某事故树有 n 个基本事件, 这 n 个基本事件 两种状态的组合数为 2n 个。根据事故树模型的结 构分析可知, 所谓顶事件的发生概率,是指结构函 数φ(x)=1的概率。因此,顶事件的发生概率P(T)可 用下式定义:
r 1 xi k r
k
k—最小割集的个数 kr—第r个最小割集，r 是最小割集的序号
22
【例3-9】若某事故树有如下几个最小割集，求其顶上 事件发生的概率。
K1 {x1, x3}, K2 {x2 , x4}, K3 {x5 , x6}
解：由根据式3-18，顶上事件发生的概率为：
3
g qi
q 1 e
t
式中 ,t 为元件的运行时间。如果把e-λt按 级数展开, 略去后面的高阶无穷小, 则可近似 为:
q t
6
2. 人的失误概率 人的失误是另一种基本事件, 系统运行中人的失 误是导致事故发生的一个重要原因。人的失误通常 是指作业者实际完成的功能与系统所要求的功能之 间的偏差。人的失误概率通常是指作业者在一定条 件下和规定时间内完成某项规定功能时出现偏差或 失误的概率, 它表示人的失误的可能性大小, 因此, 人的失误概率也就是人的不可靠度。一般根据1-可 靠度获得。
i 1 n
qA—与门事件的概率
qi—与门连接的第i个基本事件的发生概率 n —与门连接的输入事件数
17
2）或门连接的事件，计算概率和
qB qi 1 (1 qi )
i 1 i 1
n
n
qB—或门事件的概率
qi—或门连接的第i个基本事件的发生概率 n —或门连接的输入事件数
21
3 最小割集法
事故树可以用其最小割集的等效树来表示。这时, 顶事件与各最小割集用或门连接，每个最小割集与其包 含的基本事件用与门连接。 如果各最小割集间没有重复的基本事件，则可按照
直接分步算法计算，先计算各个最小割集内各基本事
件的概率积，再计算各最小割集的概率和，从而求得
顶事件发生概率，即：
g qi (3 18)
r 1 xi k r
k
1 r s k xi k r k s
k
k 1 q ( 1 ) i qi (3 19) r 1 xi k r
k
r、s—最小割集的序号 xi kr ks —第i个基本事件属于最小割集Kr和Ks的并集 26
4
最小径集法
用最小径集作事故树的等效图时，顶事来自与第二步，求A1的概率，其为与门连接，有
q A1 q2 q3q4 q A2 0.8 1.0 0.5 0.106525 0.04261
20
第三步，顶上事件发生的概率，或门连接，有
g 1 (1 q A1 )(1 q1 ) 1 (1 0.04261 )(1 0.01) 0.052184
1 0 MTBF
式中,MTBF 为平均故障间隔期, 是指相邻两故障 间隔期内正常工作的平均时间, 一般可按下式计 算获得:
1 MTBF ti n i1
n
式中 n—试验元件个数 ti—元件i从运行到故障 发生所经历的时间。2种
式中
n--各单元发生故障的总次数； ti--第i-1次到第i次故障间隔时间。
7
例如, 有研究表明,人的舒适温度一般是19∽22 ℃ , 当人在作业时,环境温度超过27 ℃时, 人体失误 概率大约会上升40% 。因此, 还需要用修正系数 K 加 以修正 , 从而得到作业者单个动作 的失误概率为: q = k (1-R) 式中 k -- 修正系数,k = a· b· c· d· e; a -- 作业时间系数; b -- 操作频率系数; c -- 危险状况系数; d -- 心理、生理条件系数; e -- 环境条件系数。 a 、 b 、 c 、 d 、 e 的取值见表3-13 。
是最小径集的序号
27
【例3-10】若某事故树有如下几个最小径集，求其顶 上事件发生的概率。
P 1 {x1 , x2 }, P 2 {x3 , x4 }, P 3 {x5 , x6 }
解：根据式3-20，其顶上事件发生的概率为：
g qi
r 1 xi Pr 3
qi qi qi
各最小径集用与门连接，每个最小径集与其包含 的事件用或门连接。因此，若各最小径集中彼此 没有重复事件时，则可先求最小径集内各基本事 件的概率和，再求各最小径集的概率积，从而求
顶上事件的发生概率，即：
g qi (3 20)
r 1 xi Pr
P
P—最小径集的个数
Pr—第r个最小径集，r
K1 {x1 , x3}, K2 {x2 , x3}, K1 {x2 , x4 , x5}
则其顶上事件发生的概率为各最小割集的概率和，即
g qk r
r 1
3
1 (1 qk1 )(1 qk2 )(1 qk3 ) (qk1 qk 2 qk3 ) (qk1 qk2 qk1 qk3 qk2 qk3 ) qk1 qk 2 qk3
例题解答 【例 3-11】 以图 3-12事故树为例,
试用最小割集法、
最小径集法计算顶
事件的发生概率。
设各基本事件的发 生概率为: q1 =0.01; q2=0.02; q3=0.03;
q4=0.04; q5=0.05
30
解: 该事故树有三个最小割集: E1={X1, X2, X3,}; E2={X1, X4}; E3={X3, X5} 事故树有四个最小径集: P1={X1, X3,}; P2={X1, X5}; P3={X3, X4}; P3={X2, X4, X5}
xi P 1 xi P2 xi P3
[1 (1 q1 )(1 q2 )] [1 (1 q3 )(1 q4 )] [1 (1 q5 )(1 q6 )]
28
如果事故树的各最小径集中彼此有重复事件，则式3-20 不成立。与最小割集中有重复事件时的情况相似，须将 式3-20 展开，消去可能出现的重复因子。通过理论推 证，可用下式计算顶事件发生概率：
2
式中 q --单元故障概率; λ --单元故障率, 是指单位时间内故障发 生的频率; μ--单元修复率, 是指单位时间内元件修 复的频率。
K0
式中K --综合考虑温度、湿度、振动及其他 条件影响的修正系数, 一般K=1-10; λ0-- 单元故障率的实验值,一般可根据 实验或统计求得,等于元件平均故障间隔期(MTBF) 的倒数, 即: 3
r 1 xi k r
1 (1 qi )(1 qi )(1 qi )
xi k1 xi k 2 xi k3
1 (1 q1q3 )(1 q2 q4 )(1 q5 q6 )
23
如果各个最小割集中彼此有重复事件，则式 3-18不成立，
如某事故树有三个最小割集：
代数和,即为顶事件的发生概率。
13
[ 例 3-7 ] 试用式(3-17) 计算图 3-15 所示事故 树的顶事件发生概率。 解: 基本事件的状态组合及顶事件的状态值见 表3-14, 并列出每一种状态所对应的qp(q)和qp,因 而得到: 表 3-14 事故树 P(T) 计算表
X1 X2 X3 011 111 φ(X) 000001 11 00000 P(T) qp(q) q1(1- q2)q3 q1q2(1- q3) q1q2q3 0.019
4
单元修复率μ一般可根据统计分析用下式求得:
1 MTTR
式中,MTTR 为平均修复时间,是指系统单元出现故 障,从开始维修到恢复正常工作所需的平均时间。 一般,MTBF>>MTTR, 所以λ<<μ,则其故障概率为:
q
5
(2) 不可维修系统的单元故障概率。不可维修系 统的单元故障概率为:
14
qp 00 000 0.009 0.009 0.001
000 001 010 100 101 110
该方法规律性强, 适于编制程序上机计
算, 可用来计算较复杂系统事故发生概
率。但当 n 值较大时, 计算中要涉及2n 个状态组合, 并需求出相应顶事件的状 态, 因而计算工作量很大, 花费时间较 长。
g 1 (1 qi )
r 1 xi Pr p p
1r s p xi Pr Ps
p ( 1 q ) ( 1 ) i (1 qi )(3 21) xi Pr
r、s—最小径集的序号 xi Pr Ps —第i个基本事件属于最小割集Kr和Ks的并集
24
其中 qk qk 是最小割集K1、K2的交集概率
1 2
由于 K1 K 2 x1 x3 x2 x3 而
x1 x3 x2 x3 x1 x2 x3
所以 qk1 qk 2 q1q2q3 同理 q q q q q q q k1 k 3 1 2 3 4 5
q k 2 q k 3 q 2 q3 q 4 q5 qk1 qk 2 qk3 q1q2 q3 q4 q5
12
从式 (3-17) 可看出: 在 n 个基本事件两 种状态的所有组合中,只有当Φp(X) =1 时,该 组合才对顶事件的发生概率产生影响。所以在
用该式计算时,只需考虑Φp(X) =1的所有状态
组合。首先列出基本事件的状态值表, 根据事
故树的结构求得结构函数Φp(X) 值,最后求出
使Φp(X) =1的各基本事件对应状态的概率积的
0.019
但当事故树中含有重复出现的基本事件时,
或基本事件可能在几个最小割集中重复出现时,
最小割集之间是相交的, 这时, 应按以下几种
方法计算。
11
1. 状态枚举法
设某事故树有 n 个基本事件, 这 n 个基本事件 两种状态的组合数为 2n 个。根据事故树模型的结 构分析可知, 所谓顶事件的发生概率,是指结构函 数φ(x)=1的概率。因此,顶事件的发生概率P(T)可 用下式定义:
r 1 xi k r
k
k—最小割集的个数 kr—第r个最小割集，r 是最小割集的序号
22
【例3-9】若某事故树有如下几个最小割集，求其顶上 事件发生的概率。
K1 {x1, x3}, K2 {x2 , x4}, K3 {x5 , x6}
解：由根据式3-18，顶上事件发生的概率为：
3
g qi
q 1 e
t
式中 ,t 为元件的运行时间。如果把e-λt按 级数展开, 略去后面的高阶无穷小, 则可近似 为:
q t
6
2. 人的失误概率 人的失误是另一种基本事件, 系统运行中人的失 误是导致事故发生的一个重要原因。人的失误通常 是指作业者实际完成的功能与系统所要求的功能之 间的偏差。人的失误概率通常是指作业者在一定条 件下和规定时间内完成某项规定功能时出现偏差或 失误的概率, 它表示人的失误的可能性大小, 因此, 人的失误概率也就是人的不可靠度。一般根据1-可 靠度获得。
i 1 n
qA—与门事件的概率
qi—与门连接的第i个基本事件的发生概率 n —与门连接的输入事件数
17
2）或门连接的事件，计算概率和
qB qi 1 (1 qi )
i 1 i 1
n
n
qB—或门事件的概率
qi—或门连接的第i个基本事件的发生概率 n —或门连接的输入事件数
21
3 最小割集法
事故树可以用其最小割集的等效树来表示。这时, 顶事件与各最小割集用或门连接，每个最小割集与其包 含的基本事件用与门连接。 如果各最小割集间没有重复的基本事件，则可按照
直接分步算法计算，先计算各个最小割集内各基本事
件的概率积，再计算各最小割集的概率和，从而求得
顶事件发生概率，即：
g qi (3 18)
r 1 xi k r
k
1 r s k xi k r k s
k
k 1 q ( 1 ) i qi (3 19) r 1 xi k r
k
r、s—最小割集的序号 xi kr ks —第i个基本事件属于最小割集Kr和Ks的并集 26
4
最小径集法
用最小径集作事故树的等效图时，顶事来自与第二步，求A1的概率，其为与门连接，有
q A1 q2 q3q4 q A2 0.8 1.0 0.5 0.106525 0.04261
20
第三步，顶上事件发生的概率，或门连接，有
g 1 (1 q A1 )(1 q1 ) 1 (1 0.04261 )(1 0.01) 0.052184
1 0 MTBF
式中,MTBF 为平均故障间隔期, 是指相邻两故障 间隔期内正常工作的平均时间, 一般可按下式计 算获得:
1 MTBF ti n i1
n
式中 n—试验元件个数 ti—元件i从运行到故障 发生所经历的时间。2种
式中
n--各单元发生故障的总次数； ti--第i-1次到第i次故障间隔时间。
7
例如, 有研究表明,人的舒适温度一般是19∽22 ℃ , 当人在作业时,环境温度超过27 ℃时, 人体失误 概率大约会上升40% 。因此, 还需要用修正系数 K 加 以修正 , 从而得到作业者单个动作 的失误概率为: q = k (1-R) 式中 k -- 修正系数,k = a· b· c· d· e; a -- 作业时间系数; b -- 操作频率系数; c -- 危险状况系数; d -- 心理、生理条件系数; e -- 环境条件系数。 a 、 b 、 c 、 d 、 e 的取值见表3-13 。
是最小径集的序号
27
【例3-10】若某事故树有如下几个最小径集，求其顶 上事件发生的概率。
P 1 {x1 , x2 }, P 2 {x3 , x4 }, P 3 {x5 , x6 }
解：根据式3-20，其顶上事件发生的概率为：
g qi
r 1 xi Pr 3
qi qi qi
各最小径集用与门连接，每个最小径集与其包含 的事件用或门连接。因此，若各最小径集中彼此 没有重复事件时，则可先求最小径集内各基本事 件的概率和，再求各最小径集的概率积，从而求
顶上事件的发生概率，即：
g qi (3 20)
r 1 xi Pr
P
P—最小径集的个数
Pr—第r个最小径集，r
K1 {x1 , x3}, K2 {x2 , x3}, K1 {x2 , x4 , x5}
则其顶上事件发生的概率为各最小割集的概率和，即
g qk r
r 1
3
1 (1 qk1 )(1 qk2 )(1 qk3 ) (qk1 qk 2 qk3 ) (qk1 qk2 qk1 qk3 qk2 qk3 ) qk1 qk 2 qk3
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_事故树定量分析与事件树分析
i 1 2
E1
E2
1 (1 qi ) (1 qi )
i 1 i 1
2
3
1 (1 q1q2 ) (1 q3q4 )
x1 x2 x3 x4
P(T ) 1 (1 0.5 0.2) (1 0.5 0.5) 0.325
-11-
设某事故树有k个最小径集：P1、P2、…、Pr、…、Pk。用Dr（r=1，2，
…，k）表示最小径集不发生的事件，用 T 表示顶上事件不发生。
-19-
由最小径集定义可知，只要k个最小径集中有一个不发生，顶事件就 不会发生，则：
T Dr
r 1
k
1 P(T ) P Dr r 1
-6-
在进行事故树定量计算时，一般做以下几个假设： ①基本事件之间相互独立； ②基本事件和顶事件都只考虑两种状态； ③假定故障分布为指数函数分布
-7-
事故树顶上事件发生的概率
1．如果事故树中不含有重复的或相同的基本事件，各基本事件又都是
相互独立的，顶上事件发生的概率可根据事故树的结构，用下列公 式求得。
k
-20-
例如：某事故树共有2个最小径集：P1=｛X1，X2｝， P2=｛X2，X3｝。已知各
基本事件发生的概率为：q1=0.5； q2=0.2； q3=0.5；求顶上事件发生概率？
P(T ) PP1 PP 2 [1 (1 q1 )(1 q2 )][(1 (1 q2 )(1 q3 )] (q1 q2 q1q2 )(q2 q3 q2 q3 ) q1q2 q1q3 q1q2 q3 q2 q2 q2 q3 q2 q2 q3 q1q2 q2 q1q2 q3 q1q2 q2 q3 q1q2 q1q3 q1q2 q3 q2 q2 q3 q2 q3 q1q2 q1q2 q3 q1q2 q3 q1q3 q1q2 q3 q2 0.5 0.5 0.5 0.2 0.5 0.2 0.4
E1
E2
1 (1 qi ) (1 qi )
i 1 i 1
2
3
1 (1 q1q2 ) (1 q3q4 )
x1 x2 x3 x4
P(T ) 1 (1 0.5 0.2) (1 0.5 0.5) 0.325
-11-
设某事故树有k个最小径集：P1、P2、…、Pr、…、Pk。用Dr（r=1，2，
…，k）表示最小径集不发生的事件，用 T 表示顶上事件不发生。
-19-
由最小径集定义可知，只要k个最小径集中有一个不发生，顶事件就 不会发生，则：
T Dr
r 1
k
1 P(T ) P Dr r 1
-6-
在进行事故树定量计算时，一般做以下几个假设： ①基本事件之间相互独立； ②基本事件和顶事件都只考虑两种状态； ③假定故障分布为指数函数分布
-7-
事故树顶上事件发生的概率
1．如果事故树中不含有重复的或相同的基本事件，各基本事件又都是
相互独立的，顶上事件发生的概率可根据事故树的结构，用下列公 式求得。
k
-20-
例如：某事故树共有2个最小径集：P1=｛X1，X2｝， P2=｛X2，X3｝。已知各
基本事件发生的概率为：q1=0.5； q2=0.2； q3=0.5；求顶上事件发生概率？
P(T ) PP1 PP 2 [1 (1 q1 )(1 q2 )][(1 (1 q2 )(1 q3 )] (q1 q2 q1q2 )(q2 q3 q2 q3 ) q1q2 q1q3 q1q2 q3 q2 q2 q2 q3 q2 q2 q3 q1q2 q2 q1q2 q3 q1q2 q2 q3 q1q2 q1q3 q1q2 q3 q2 q2 q3 q2 q3 q1q2 q1q2 q3 q1q2 q3 q1q3 q1q2 q3 q2 0.5 0.5 0.5 0.2 0.5 0.2 0.4
第五周 系统安全分析方法4 事故树分析——定量分析 1h
M1M2 L Mk1Mk M1c M2c L Mk M 1c k 消去法则
例题M：i设 x1x2 x3x4 x5 , M j x1x2 x4 x6 x7 , M k x2 x4 x7 x8x9
Mi M j Ml x1x3x5 x1x6x2x4x7 x8x9
割集和路集的不交化简约规则
规则3：在经过消去法则处理后的集合 M1c, M2c, M3c…MK-1c中，如 果集合Mic含有Mjc 的全部底事件，则 Mic 被 Mjc 吸收，即有：
顶上事件发生概率 概率重要度 关键重要度
三、事故树的定量分析
在进行事故树定量计算时，一般做以下几个假设： ➢ （1）基本事件之间相互独立； ➢ （2）基本事件和顶事件都只考虑两种状态； ➢ （3）假定故障分布为指数函数分布。
一、基本公式 事故树中无重复事件时
1、逻辑加（或门连接的事件）的概率计算公式 P= g ( x1+ x2+ …+ xn) = 1－(1－ q1) (1－ q2)…(1－ qn) 2、逻辑乘（与门连接的事件）的概率计算公式 P= g ( x1·x2 ·… · xn) = q1 q2 … qn
Mic M jcMk (Mijc Mijc Micc M jcc )Mk 展开法则
其中 M ijc 表示集合 M ic和M jc 中含有的相同底事件之积
M icc和M jcc 表示 M ic M jc 中划去相同底事件后余下底事件之积。
例如：某事故树共有2个最小割集： E1=｛X1，X2｝， E2=｛X2，X3，X4 ｝。 已知各基本事件发生的概率为： q1=0.5； q2=0.2； q3=0.5； q4=0.5； 求顶上事件发生概率？
+
q1=0.5； q2=0.2； q3=0.5； q4=0.5；
例题M：i设 x1x2 x3x4 x5 , M j x1x2 x4 x6 x7 , M k x2 x4 x7 x8x9
Mi M j Ml x1x3x5 x1x6x2x4x7 x8x9
割集和路集的不交化简约规则
规则3：在经过消去法则处理后的集合 M1c, M2c, M3c…MK-1c中，如 果集合Mic含有Mjc 的全部底事件，则 Mic 被 Mjc 吸收，即有：
顶上事件发生概率 概率重要度 关键重要度
三、事故树的定量分析
在进行事故树定量计算时，一般做以下几个假设： ➢ （1）基本事件之间相互独立； ➢ （2）基本事件和顶事件都只考虑两种状态； ➢ （3）假定故障分布为指数函数分布。
一、基本公式 事故树中无重复事件时
1、逻辑加（或门连接的事件）的概率计算公式 P= g ( x1+ x2+ …+ xn) = 1－(1－ q1) (1－ q2)…(1－ qn) 2、逻辑乘（与门连接的事件）的概率计算公式 P= g ( x1·x2 ·… · xn) = q1 q2 … qn
Mic M jcMk (Mijc Mijc Micc M jcc )Mk 展开法则
其中 M ijc 表示集合 M ic和M jc 中含有的相同底事件之积
M icc和M jcc 表示 M ic M jc 中划去相同底事件后余下底事件之积。
例如：某事故树共有2个最小割集： E1=｛X1，X2｝， E2=｛X2，X3，X4 ｝。 已知各基本事件发生的概率为： q1=0.5； q2=0.2； q3=0.5； q4=0.5； 求顶上事件发生概率？
+
q1=0.5； q2=0.2； q3=0.5； q4=0.5；
第五周 系统安全分析方法4 事故树分析——定量分析 1h
在第三项 “减去每三个最小径集同时实现的概率” （将每三 个最小径集并集的基本事件不发生的概率积相加，记为F3）；
以此类推，加减号交替，直到最后一项 “计算所有最小径集 同时实现的概率” ，记为Fn
P(T ) 1 (F1 F2 F3...)
河南理工大学 王兰云
某事故树共有2个最小径集：P1=｛X1，X2｝， P2=｛X2，X3｝。 已知各基本事件的发生概率为：q1=0.5； q2=0.2； q3=0.5；求顶 上事件发生概率？
事故树的定量分析首先是确定基本事件的发生概率，然后求
出事故树顶事件的发生概率。求出顶事件的发生概率之后， 可与系统安全目标值进行比较和评价，当计算值超过目标值 时，就需要采取防范措施，使其降至安全目标值以下。
河南理工大学 王兰云
三、事故树的定量分析
The following assumptions are usually made in the quantitative calculations of FT:
➢ (1) Basic event is independent ➢ (2) Only two states are considered in both basic event and top event. ➢ (3) Failure distribution is in exponential function distribution. 在进行事故树定量计算时，一般做以下几个假设： ➢ （1）基本事件之间相互独立； ➢ （2）基本事件和顶事件都只考虑两种状态； ➢ （3）假定故障分布为指数函数分布。
河南理工大学 王兰云
P(T ) F1 F2 F3 F4 ...
E1=｛X1，X2， X3 ｝， E2=｛X1，X4 ｝，E3=｛X3，X5｝
事故树之案例分析经典实用
生概率为：q1,q2,q3,q4。求顶上事件发生概率。
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三、重要度分析
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在一个事故树中往往包含有很多的基本事件，这些 基本事件并不是具有同样的重要性，有的基本事件 或其组合（割集）一出现故障，就会引起顶上事件 故障，有的则不然。一般认为，一个基本事件或最小 割集对顶上事件发生的贡献称为重要度。按照基本事 件或最小割集对顶上事件发生的影响程度大小来排 队，这对改进设计、诊断故障、制定安全措施和检 修仪表等是十分有用的。
2、概率重要度
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基本事件发生概率变化引起顶上事件发生概率的变化
程度称为概率重要度 I g (i ) 。由于顶上事件发生概率
g函数是一个多重线性函数，只要对自变量求一次偏导， 就可得到该基本事件的概率重要度系数，
即： Ig
g qi
利用上式求出各基本事件的概率重要度系数后，就可
若遇到在少事件的最小割（径）集中出现次数少，而在多事件的最 小割（径）集中出现次数多的基本事件，或其他错综复杂的情况， 可采用下式近似判别比较：
I ( j)
xjGr
1 2nj 1
例如
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例题
某事故树有五个最小割集 G1={X1,X3},G2={X1,X4}, G3={X2,X3,X5},G4={X2,X4,X5}， G5={X3,X6,X7} 根据第4条原则判断
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1、结构重要度
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三、重要度分析
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在一个事故树中往往包含有很多的基本事件，这些 基本事件并不是具有同样的重要性，有的基本事件 或其组合（割集）一出现故障，就会引起顶上事件 故障，有的则不然。一般认为，一个基本事件或最小 割集对顶上事件发生的贡献称为重要度。按照基本事 件或最小割集对顶上事件发生的影响程度大小来排 队，这对改进设计、诊断故障、制定安全措施和检 修仪表等是十分有用的。
2、概率重要度
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基本事件发生概率变化引起顶上事件发生概率的变化
程度称为概率重要度 I g (i ) 。由于顶上事件发生概率
g函数是一个多重线性函数，只要对自变量求一次偏导， 就可得到该基本事件的概率重要度系数，
即： Ig
g qi
利用上式求出各基本事件的概率重要度系数后，就可
若遇到在少事件的最小割（径）集中出现次数少，而在多事件的最 小割（径）集中出现次数多的基本事件，或其他错综复杂的情况， 可采用下式近似判别比较：
I ( j)
xjGr
1 2nj 1
例如
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例题
某事故树有五个最小割集 G1={X1,X3},G2={X1,X4}, G3={X2,X3,X5},G4={X2,X4,X5}， G5={X3,X6,X7} 根据第4条原则判断
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1、结构重要度
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3-4 事故树的定量分析二
(3-20)
2
当求出一个事故树的最小割集后, 可直接运用 布尔代数的运算定律及式(3-21) 将相交和化为不 交和。但当事故树的结构比较复杂时, 利用这种直 接不交化算法还是相当烦琐。 而用以下不交积之和定理可以简化计算, 特别 是当事故树的最小割集彼此间有重复事件时更具优 越性。 不交积之和定理: 命题 1 集合 Er 和 Es 如不包含共同元素 , 则 应 Es 可用不交化规则直接展开。 命题 2 若集合 Er 和 Es 包含共同元素, 则
要度最大。
(2) 仅在同一最小割(径)集中出现的所有基本
事件结构重要度相等。
21
(3) 两个基本事件仅出现在基本事件个数相等 的若干最小割(径)集中, 这时在不同最小割 ( 径)集 中出现次数相等的基本事件其结构重要度相等; 出 现次数多的结构重要度大, 出现次数少的结构重要 度小。 (4) 两个基本事件仅出现在基本事件个数不等 的若干最小割(径)集中。在这种情况下, 基本事件 结构重要度大小依下列不同条件而定:
不变时, 顶事件状态也由不发生变为发生的情况。
17
用结构函数表示为:
φ(0i, Xj )=0; φ(1i, Xj )=1; φ(1i, Xj )-φ(0i, Xj )=1; 此时, 基本事件Xi发生直接引起顶事件发生, 基本
事件Xi 这一状态所对应的割集叫“危险割集”。若
改变除基本事件Xi以外的所有基本事件的状态,并取
7
⑴最小割集逼近法:
在式 (3-18) 中, 设:
则得到用最小割集求顶事件发生概率的逼近公 式, 即：
8
式 (3-22)中的F1，F1-F2，F1-F2+F3，……等 , 依 此给出了顶事件发生概率P(T)的上限和下限, 可根 据需要求出任意精确度的概率上、下限。 用最小割集逼近法求解 [ 例 3-8] 。 由式 (3-22) 可得 :
交通运输安全工程之事故树定量分析
P与P’相比，相差0.001。因此，在计算顶上事 件发生的概率时，按简化后的等效图计算才是正 确的。
三、概率重要度分析
结构重要度分析是从事故树的结构上，分析各基 本事件的重要程度。如果进一步考虑基本事件发 生概率的变化会给顶上事件发生概率以多大影响， 就要分析基本事件的概率重要度。
利用顶上事件发生概率P函数是一个多重线性函 数这一性质，对自变量pi求一次偏导数，就可得 出该基本事件的概率重要度系数：
I P p p p 0.031 P (1)
P(3)
P(4)
P(5)
P(2)
P(4)
p
3
2
5
4
I P p p p 0.0108
P(5)
p
1
2
4
5
从概率重要度系数的算法可以看出这样的事实：
一个基本事件的概率重要度如何，并不取决于 它本身的概率值大小，而是与它所在最小割集中 其他基本事件的概率积的大小及它在各个最小割 集中重复出现的次数有关。
3、顶上事件发生概率的近似计算
实际上，即使精确算出的结果也未必十分准确， 这是因为：
(1)凭经验给出的各种机械部件的故障率本身就是一 种估计值，肯定存在误差。
(2)各种机械部件的运行条件(满负荷或非满负荷运 行)、运行环境(温度、湿度、粉尘、腐蚀等)各不 相同，它们必然影响着故障率的变化。
(3)人的失误率受多种因素影响，如心理、生理、训 练情况、环境因素等，这是一个经常变化、伸缩 性很大的数据。
安全评价的内容：
安全评价
危险性辨识
危险性评价
危险性校核
计算风险
新的危险性和 事故发生概率 危险性的变化 及其严重度
危险性的排除 安全指标
三、概率重要度分析
结构重要度分析是从事故树的结构上，分析各基 本事件的重要程度。如果进一步考虑基本事件发 生概率的变化会给顶上事件发生概率以多大影响， 就要分析基本事件的概率重要度。
利用顶上事件发生概率P函数是一个多重线性函 数这一性质，对自变量pi求一次偏导数，就可得 出该基本事件的概率重要度系数：
I P p p p 0.031 P (1)
P(3)
P(4)
P(5)
P(2)
P(4)
p
3
2
5
4
I P p p p 0.0108
P(5)
p
1
2
4
5
从概率重要度系数的算法可以看出这样的事实：
一个基本事件的概率重要度如何，并不取决于 它本身的概率值大小，而是与它所在最小割集中 其他基本事件的概率积的大小及它在各个最小割 集中重复出现的次数有关。
3、顶上事件发生概率的近似计算
实际上，即使精确算出的结果也未必十分准确， 这是因为：
(1)凭经验给出的各种机械部件的故障率本身就是一 种估计值，肯定存在误差。
(2)各种机械部件的运行条件(满负荷或非满负荷运 行)、运行环境(温度、湿度、粉尘、腐蚀等)各不 相同，它们必然影响着故障率的变化。
(3)人的失误率受多种因素影响，如心理、生理、训 练情况、环境因素等，这是一个经常变化、伸缩 性很大的数据。
安全评价的内容：
安全评价
危险性辨识
危险性评价
危险性校核
计算风险
新的危险性和 事故发生概率 危险性的变化 及其严重度
危险性的排除 安全指标
中事故树定量分析
分析各基本事件对顶事件的影响程度，确定各基本事件的重要度，为改进措施 提供依据。
定量分析
计算顶事件发生的概率
根据基本事件的概率，通过逻辑关系计算顶事件发生的概率。
计算基本事件对顶事件的影响度
分析基本事件对顶事件的影响程度，为改进措施提供量化依据。
事故树分析的步骤
确定顶事件
调查和分析事故原 因
建立事故树
中事故树定量分析
https://
REPORTING
• 引言 • 事故树分析方法 • 中事故树的定量分析方法 • 中事故树的定量分析应用 • 中事故树定量分析的挑战与展望
目录
PART 01
引言
REPORTING
WENKU DESIGN
目的和背景
目的
中事故树定量分析是一种风险评估方 法，用于确定和分析系统中的潜在危 险和故障模式，以预防事故发生。
最小割集
最小割集是导致顶事件发生的基本事 件的集合，通过计算最小割集可以确 定系统中最薄弱的环节。
PART 02
事故树分析方法
REPORTING
WENKU DESIGN
定性分析
确定事故发生的最小割集
通过事故树分析，找出导致顶事件发生的最小割集，即基本事件不发生时，顶 事件一定不发生的割集。
确定基本事件的重要度
定性和定量分析
制定改进措施
明确分析对象，确定顶 事件。
收集相关资料，分析导 致顶事件发生的原因。
根据事故原因，从顶事 件开始，逐级向下分析 导致事故发生的因素， 建立事故树。
进行事故树的定性分析 ，找出导致事故发生的 最小割集和基本事件的 重要度；进行定量分析 ，计算顶事件发生的概 率和基本事件对顶事件 的影响度。
定量分析
计算顶事件发生的概率
根据基本事件的概率，通过逻辑关系计算顶事件发生的概率。
计算基本事件对顶事件的影响度
分析基本事件对顶事件的影响程度，为改进措施提供量化依据。
事故树分析的步骤
确定顶事件
调查和分析事故原 因
建立事故树
中事故树定量分析
https://
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PART 01
引言
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目的和背景
目的
中事故树定量分析是一种风险评估方 法，用于确定和分析系统中的潜在危 险和故障模式，以预防事故发生。
最小割集
最小割集是导致顶事件发生的基本事 件的集合，通过计算最小割集可以确 定系统中最薄弱的环节。
PART 02
事故树分析方法
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定性分析
确定事故发生的最小割集
通过事故树分析，找出导致顶事件发生的最小割集，即基本事件不发生时，顶 事件一定不发生的割集。
确定基本事件的重要度
定性和定量分析
制定改进措施
明确分析对象，确定顶 事件。
收集相关资料，分析导 致顶事件发生的原因。
根据事故原因，从顶事 件开始，逐级向下分析 导致事故发生的因素， 建立事故树。
进行事故树的定性分析 ，找出导致事故发生的 最小割集和基本事件的 重要度；进行定量分析 ，计算顶事件发生的概 率和基本事件对顶事件 的影响度。
第4章-安全系统工程--事故树定量分析
《安全系统工程》
一般情况下，单元故障率为：
λ=Kλ0
式中：K—综合考虑温度、湿度、振动及其他条件影 响的修正系数，一般K=1~10； λ0—单元故障率的实验值，一般可根据实验或统计求 得，等于元件平均故障间隔期的倒数，即：
1 0 MTBF
式中：MTBF——为平均故障间隔期，是指相邻两次 故障间隔期内正常工作的平均时间。
《安全系统工程》
k=a· b· c· d· e；
a—作业时间系数； b—操作频率系数； c—危险状况系数；
d—心理、生理条件系数；
e—环境条件系数。
《安全系统工程》
顶上事件发生的概率
1．直接计算法 直接分步算法适于事故树规模不大，而且事故 树中无重复事件时使用。它是从底部的门事件 算起，逐次向上推移，直算到顶上事件为止。 当事故树规模不大，无需布尔代数化简时可直 接计算法求顶上事件发生概率
《安全系统工程》
3.最小割集法
若事故树中各割集中有重复基本事件时将上式展 开，用布尔代数消除每个概率积中的重复事件。 例如：某事故树共有3个最小割集合：试用最 小割集合法计算顶事件的发生的概率。 E1=｛X1，X2， X3 ｝， E2=｛X1，X4 ｝ E3=｛X3，X5｝ 已知各基本事件发生的概率为： q1=0.01； q2=0.02； q3=0.03； q4=0.04； q5=0.05 求顶上事件发生概率？
事件。
《安全系统工程》
3.最小割集法
最小割集合中有重复事件时，顶上事件的发生概率为：
P(T ) qi
r 1 xi Er k 1 r s k xi Er
qi (1)
k 1 r 1 xi E1
Es
故障树定性定量分析
图1故障树图
T A•B ( X1 C)( X 2 D) ( X1 X 2 X3)( X 2 X 4 X5 ) X1X2 X2X3X2 X1X4X5 X2X3X4X5 X1X2 X2X3 X1X4X5 X2X3X4X5 X1X2 X2X3 X1X4X5
该故障树有三个最小割集：
2023/12/9
7
• （1）布尔代数化简法
• 这种措施要首先列出故障树旳布尔体现式，即 从故障树旳第一层输入事件开始，“或门’’ 旳输入事件用逻辑加表达，“与门”旳输入事 件用逻辑积表达；
• 再用第二层输入事件替代第一层，第三层输入 事件替代第二层，直至故障树中全体基本事件 都代完为止。在代换过程中条件与事件之间总 是用逻辑积表达。
K1 X1, X 2, K2 X 2 , X3, K3 X1, X 4 , X5
• (2)行列法
• 行列法又称代换法，是由富赛尔（Fus-sel）1972 年提出来旳，也称富赛尔法。该法是从顶上事件 开始，依次将上层事件用下一层事件替代，直到 全部基本事件都代完为止。在代换过程中，“或 门”连接旳事件纵向排列，“与门”连接旳事件 横向排列。最终会得到若干个基本事件旳逻辑积， 用布尔代数运算定律化简，就得到最小割集。下 面仍以图1为例，用行列法求故障树旳最小割集：
旳,这些元件发生故障常会造成整个系统故障或事故旳发 生。所以,可根据各个元件故障概率,根据它们之间旳接 关系计算出整个系统旳故障概率。
安全系统工程
事故树旳定性分析
• 故障树定性分析是对故障树中各基本事件不 考虑发生旳概率多少，只考虑发生和不发生 两种情况。
• 经过定性分析可懂得哪一种或哪几种基本事 件发生顶上事件就会发生，哪一种或哪几种 基本事件不发生顶上事件就不会发生，哪一 种基本事件发生对顶上事件发生影响大，哪 一种影响小，从而能够采用经济有效旳措施， 预防事故发生。
事故树的定量分析
25
由式 (3-19) 得顶事件的发生概率: P(T)=1-[(1- q1)(1- q3)+(1- q1)(1q5)+(1- q3)(1- q4) +(1- q2)(1- q4)(1- q5)] +(1- q1)(1- q3)(1- q5)+(1- q1)(1- q3)(1q4) +(1- q1)(1- q3)(1- q5) +(1- q1)(1- q3)(1- q4) +(1- q1)(1q2)(1- q4)(1- q5) +(1- q2)(1- q3)(1q4)(1- q5) -(1- q1)(1- q2)(1- q3)(1- q4)(1- q5) =0.001904872
16
用 “或门” 连接的顶事件的发生概率为: 式中 qi -- 第 i 个基本事件的发生概率 ( i=1,2, … , n)。 如图 3-15所示的事故树。
已知各基本事件的发生
概率q1 =q2 =q3 =0.1, 顶事件的发生概率为:
17
P (T) = q1[1-(1- q2)(1- q3)] = = 0.1[1-(1-0.1)(1-0.1)] 0.019
序的不可靠度,这就是该程序人的失误概率。
人在人机系统中的功能主要是接受信息(输入)、 处理信息(判断)和操纵控制机器将信息输出。因 此, 就某一动作而言, 作业者的基本可靠度为:
13
R = R 1 R2 R3 R1--与输入有关的可靠度; R2--与判断有关的可靠度; R3--与输出有关的可靠度。
24
设各基本事件的发生概率为: q1 =0.01; q2=0.02; q3=0.03; q4=0.04; q5=0.05 由式(3-18)得顶事件的发生概率: P(T)=q1q2q3+ q1q4+ q3q5-q1q2q3q4q1q2q3q4q5- q1q3q4q5- q1q2q3q5q3+ q1q2q4q3q5 代人各基本事件的发生概率得 P(T)=0.001904872。
由式 (3-19) 得顶事件的发生概率: P(T)=1-[(1- q1)(1- q3)+(1- q1)(1q5)+(1- q3)(1- q4) +(1- q2)(1- q4)(1- q5)] +(1- q1)(1- q3)(1- q5)+(1- q1)(1- q3)(1q4) +(1- q1)(1- q3)(1- q5) +(1- q1)(1- q3)(1- q4) +(1- q1)(1q2)(1- q4)(1- q5) +(1- q2)(1- q3)(1q4)(1- q5) -(1- q1)(1- q2)(1- q3)(1- q4)(1- q5) =0.001904872
16
用 “或门” 连接的顶事件的发生概率为: 式中 qi -- 第 i 个基本事件的发生概率 ( i=1,2, … , n)。 如图 3-15所示的事故树。
已知各基本事件的发生
概率q1 =q2 =q3 =0.1, 顶事件的发生概率为:
17
P (T) = q1[1-(1- q2)(1- q3)] = = 0.1[1-(1-0.1)(1-0.1)] 0.019
序的不可靠度,这就是该程序人的失误概率。
人在人机系统中的功能主要是接受信息(输入)、 处理信息(判断)和操纵控制机器将信息输出。因 此, 就某一动作而言, 作业者的基本可靠度为:
13
R = R 1 R2 R3 R1--与输入有关的可靠度; R2--与判断有关的可靠度; R3--与输出有关的可靠度。
24
设各基本事件的发生概率为: q1 =0.01; q2=0.02; q3=0.03; q4=0.04; q5=0.05 由式(3-18)得顶事件的发生概率: P(T)=q1q2q3+ q1q4+ q3q5-q1q2q3q4q1q2q3q4q5- q1q3q4q5- q1q2q3q5q3+ q1q2q4q3q5 代人各基本事件的发生概率得 P(T)=0.001904872。