函数与数学模型
数学建模—函数模型及其应用
(k为常数,k≠0);
(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1);
(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1);
(6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);
1 (),∈1 ,
了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间
2020年5月1日
2020年5月15日
加油量(升)
12
48
加油时的累计里程(千米)
35 000
35 600
注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.
在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为(
A.6升 B.8升
C.10升 D.12升
)
答案 B
解析 因为第一次油箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,
3
log 4 8 + = 1,
+ = 1,
解析依题意得
即 2
解得 a=2,b=-2.则
log 4 64 + = 4,
3 + = 4.
y=2log4x-2,当 y=8 时,即 2log4x-2=8,解得 x=1 024.
关键能力 学案突破
考点1
利用函数图像刻画实际问题
【例1】 (2020北京东城一模,10)
故耗油量V=48升.而这段时间内行驶的里程数S=35 600-35 000=600千米.
所以这段时间内,该车每100千米平均耗油量为
48
×100=8升,故选B.
600
3.(2020北京平谷二模,9)溶液酸碱度是通过pH计算的,pH的计算公式为
高等数学 函数与模型
•
关于y=x对称 相消方程f-1(f(x))=x f(f-1(x))=x f-1(x)表示反函数，1/f(x)=[f(x)]-1 幂函数y=xa指数函数y=ax对数函数，三角函数，反三角函数
1+tan2x=sec2x 1+cot2x=csc2x 余切y= cotx=cosx/sinx 正割y=secx=1/cosx 余割y=cscx=1/sinx
•
Q需=Q供时的价格P0为均衡价格， Q需或Q供为均衡数量
函数
• 定义域 D（f） 值域 R（f） • 符号函数 y=sgnx= 1, x>0个解析式
• • 0, x=0 -1, x<0
• 取整函数 y=[x]=n，n≤x <n+1，n为整数。 • 有界函数 | f(x) | ≤正数M，（y=f(x)图像介于y=M与y=-M之间） • 反函数 单调↔双射↔有反函数
• 基本初等函数
• • •
初等函数 常数+基初+有限次四则运算+1个解析式
一般分段函数不是初等函数，y= | x|= x， x>o -x，x<o =√（x2）是初等函数• Fra bibliotek增期•
增长率为r，y=y0(1+r )t
(1+r )t =2时的t值为倍增期
衰减率为r，y=y0(1-r )t
• 半衰期
•
(1-r )t =1/2时的t值为半衰期
第9节函数与数学模型
第9节函数与数学模型函数与数学模型是数学的两个重要概念，它们在数学应用中发挥着重要的作用。
函数是数学中一个基本概念，描述了两个变量之间的关系；而数学模型则是通过函数的方式来描述和解释实际问题。
首先，让我们来了解一下函数的概念。
函数是一个变量与另一个变量之间的映射关系。
通常情况下，我们用字母"x"表示自变量，用字母"y"表示因变量，函数可以表示为y=f(x)的形式。
在函数中，自变量的取值会决定因变量的取值。
例如，y=2x就是一个简单的函数，意味着y的取值是自变量x的两倍。
函数可以表示各种各样的关系，这取决于函数的定义域和值域。
定义域是自变量能够取值的范围，而值域则是因变量能够取值的范围。
函数可以是线性的，也可以是非线性的，可以是单调的，也可以是非单调的。
通过对函数的研究，我们可以分析其性质，如函数的增减性、极值点等。
数学模型是将实际问题转化为数学形式的方法。
通过建立数学模型，我们可以使用数学方法来解决实际问题。
在建立数学模型时，我们需要选取适当的函数来描述问题，这就要求我们对函数有一定的了解。
例如，在物理学中，我们可以使用函数来描述力的大小和方向，从而建立物理模型来解决问题。
数学模型有着广泛的应用领域。
在经济学中，我们可以使用数学模型来描述供需关系、价格变动等经济现象。
在自然科学中，我们可以使用数学模型来描述物理规律、化学变化等自然现象。
在社会科学中，我们可以使用数学模型来描述人群行为、市场竞争等社会现象。
函数与数学模型是密不可分的。
在建立数学模型时，我们需要选取适当的函数来描述问题，通过分析函数的性质，我们可以得到问题的解析解或数值解。
而在对函数的研究中，我们常常会遇到实际问题，通过建立数学模型，我们可以将实际问题转化为数学问题，从而更好地理解和解决问题。
总之，函数与数学模型是数学应用中不可或缺的两个概念。
函数描述了变量之间的关系，数学模型通过函数描述和解释实际问题。
函数、方程与数学模型
高等数学应用教程
1.1.6 数学模型
1.1.6 数学模型
数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从 数学角度来反映或近似地反映实际问题时所得出的关于 实际问题的数学描述. 建立数学模型的全过程称为数学 建模（见图 1-24）.
高等数学应用教程
1.1.6 数学模型
建立函数关系式是解决实际问题时较简单的一类数学模型.
例7 ［种群生长模型］ 表1-4是生物学家皮尔 （R. Pearl）于1927年所采集的酵母细胞（以生物量度 量）在营养物中随时间（以小时度量）增长的数据.
高等数学应用教程
1.1.6 数学模型
解（利用最常用的工具软件Excel求解）
图1-28 回归曲线
图1-29 酵母数量实际观测值与预测值的偏差
图1-29中菱形点曲线是实际中大量存在的S形曲线
1. 由方程 F(x,确y)定=0的函数──隐函数
一元函数： y f (x)
一定 不一定
二元方程： F(x, y) 0
可以表示为 y f (x) 形式的函数称为显函数.
方程 x2 y2 4 隐式地（隐藏在方程中）定义了函数 f (x) 与 g(x) ，函数 f (x) 与 g(x) 称为由方程 x2 y2 4 确定的隐函数.
x 50t
y
50
3 t 1 gt2 2
（1-2）
高等数学应用教程
1.1.5 方程与函数
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一 点的坐标 x ， y 都是某个变数 t 的函数
x f (t)
y
g (t )
（1-3）
并且对于 t 的每一个允许值，由方程组(1-3)所确定的点 M (x, y) 都在这条曲线上，那么方程组（1-3）就称为这条
高一抽象函数五大模型总结学生版
高一抽象函数五大模型总结模型一：正比例函数模型y=kx
x+y=f x+f y,已知函数f x对一切x,y∈R,都有f
当x>0时，f x<0
1证明：f 0=0;
2证明：函数f x为奇函数；
3证明：函数f x在R上为减函数.
模型二：一次函数模型y=kx-c
x+y=f x+f y+c,已知函数f x对一切x,y∈R,都有f
且当x>0时，f x>-c
1证明：f 0=-c;
2证明：函数g x=f x+c为奇函数；
3证明：函数f x在R上为增函数.
模型三：指数函数模型y=a x
已知定义域为R的函数f x对任意的实数x,y∈R均有x+y=f x f y,且当x<0时，f x>1
f
1证明：f 0=1;
2证明：当x>0时，有0<f x<1;
3证明：函数f x在R上单调递减
模型四：对数函数模型y=log a x
0,+∞均有0,+∞上的函数f x对任意的x,y∈
已知定义在
xy=f x+f y,且当x>1时，f x>0
f
1证明：f 1=0;
2证明：当0<x<1时，f x<0;
0,+∞上为增函数.
3证明：函数f x在
模型五：幂函数模型y=xα
0,+∞上的函数f x对任意x,y∈R均有已知定义在
xy=f x f y,且当x>1时，f x>1
f
1证明：f 0=0;
0,+∞上单调递增.
2证明：函数f x在。
初中48个数学模型
初中48个数学模型
1. 直线方程模型
2. 一次函数模型
3. 二次函数模型
4. 指数函数模型
5. 对数函数模型
6. 三角函数模型
7. 幂函数模型
8. 反比例函数模型
9. 绝对值函数模型
10. 分段函数模型
11. 等差数列模型
12. 等比数列模型
13. 等差数列求和模型
14. 等差数列通项求值模型
15. 等差数列前n项和求值模型
16. 等差数列前n项平均值模型
17. 等比数列求和模型
18. 等比数列通项求值模型
19. 等比数列前n项和求值模型
20. 等差数列与等差数列之和关系模型
21. 平方根模型
22. 平方根与二次方程关系模型
23. 正方形面积模型
24. 三角形面积模型
25. 平行四边形面积模型
26. 斜率模型
27. 切线斜率模型
28. 余弦定理模型
29. 正弦定理模型
30. 几何相似模型
31. 三角形相似模型
32. 平行线与平行线之间的角关系模型
33. 同位角与内错角模型
34. 相交弦定理模型
35. 角平分线定理模型
36. 体积模型
37. 圆锥体积模型
38. 圆柱体积模型
39. 球体积模型
40. 柱台体积模型
41. 三维图形表面积模型
42. 立体图形展开模型
43. 均值不等式模型
44. 不等式求解模型
45. 组合数学模型
46. 排列数学模型
47. 方程求解模型
48. 实际问题建模模型
以上是初中数学常见的48个数学模型，希望对你有所帮助！。
函数与数学模型课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
高中数学
必修第一册
配套江苏版教材
2.增长函数模型的选取
例 2 某公司为了实现60万元的生产利润目标，准备制订一个激励生产人员的奖励方案：在生产利润
达到5万元时，按生产利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随生产利润x（单位：万元）的增加而
增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，
高中数学
必修第一册
配套江苏版教材
【归纳】指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较
函数
在（0，+∞）上的
y＝ax（a>1）
y＝logax（a>1）
y＝xα（α>0）
单调递增，且a越大，增长越 单调递增，且a越小，增长 单调递增，且当x>1时，α越大，增
单调性
快
越快
长越快
增长速度
越来越快
越来越慢
随着α值的不同而不同
指数函数模型y＝ax（a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度
急剧，形象地称为“爆炸式增长”.
（3）对数函数模型
对数函数模型y＝logax（a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速
度平缓.
（4）幂函数模型
当x>0，α>1时，幂函数y＝xα是增函数，且当x>1时，α越大其函数值的增长速度就越快.
d/cm
1
2
3
4
5
描点画出弹簧伸长的长度随拉力变化的图象，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式.
【解】图象如图所示，通过图象中点的分布特征，可以考虑用函数d＝kf+b（k≠0）
三角函数与数学模型
三角函数与数学模型三角函数是数学中的重要概念，广泛应用在物理、工程、计算机科学等各个领域的数学模型中。
本文将介绍三角函数的定义与性质，并解释三角函数在数学模型中的应用。
一、三角函数的定义与性质1. 正弦函数（sine function）正弦函数是以单位圆上一点的y坐标为函数值的一种周期函数。
在单位圆上，角度为θ的点的坐标为（cosθ，sinθ）。
正弦函数可以表示为y = sin(x)的形式，其中x为角度。
2. 余弦函数（cosine function）余弦函数是以单位圆上一点的x坐标为函数值的一种周期函数。
在单位圆上，角度为θ的点的坐标为（cosθ，sinθ）。
余弦函数可以表示为y = cos(x)的形式，其中x为角度。
3. 正切函数（tangent function）正切函数是正弦函数与余弦函数的商，可以表示为y = tan(x)的形式。
正切函数在某些特定角度上可能会无定义，例如在x = (2n+1)π/2时，其中n为整数。
4. 周期性三角函数具有周期性，即在一定范围内函数值重复。
例如，正弦函数的周期为2π，余弦函数的周期也为2π。
5. 奇偶性正弦函数是奇函数，满足sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数是偶函数，满足cos(-x) = cos(x)。
而正切函数既不是奇函数也不是偶函数。
6. 平移与缩放三角函数函数图像可以通过平移和缩放进行变换。
平移指的是将函数图像沿x轴或y轴方向移动，而缩放则是改变函数图像的振幅和周期。
二、三角函数在数学模型中的应用1. 波动模型三角函数的周期性特点使其在波动模型中经常被使用。
例如，在物理学中，正弦函数可以用来描述光、声、电磁波等的震荡特性。
2. 周期性变化三角函数的周期性特点还可以用来描述一些周期性变化的数据。
在经济学中，三角函数可以用来分析股票价格、季节性销售等数据的周期性波动。
3. 几何建模三角函数在几何建模中也有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，三角函数可以用来表示曲线、曲面的参数方程，实现三维图像的生成与变换。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
17
知识衍化体验
考点聚集突破
@《创新设计》
规律方法 1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点. (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. 2.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
18
知识衍化体验
考点聚集突破
@《创新设计》
16
知识衍化体验
考点聚集突破
@《创新设计》
解 (1)当x＝0时，C＝8，∴k＝40， ∴C(x)＝3x4＋0 5(0≤x≤10)， ∴f(x)＝6x＋230x×＋450＝6x＋38x＋005(0≤x≤10). (2)由(1)得 f(x)＝2(3x＋5)＋38x＋005－10. 令3x＋5＝t，t∈[5，35]， 则 y＝2t＋80t 0－10≥2 2t·80t 0－10＝70(当且仅当 2t＝80t 0，即 t＝20 时等号成立)， 此时x＝5，因此f(x)的最小值为70. ∴隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元.
5
知识衍化体验
考点聚集突破
@《创新设计》
解析 (1)9 折出售的售价为 100(1＋10%)×190＝99 元.∴每件赔 1 元，(1)错. (2)中，当x＝2时，2x＝x2＝4.不正确. (3)中，如 a＝x0＝12，n＝14，不等式成立，(3)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧
等原因，v的值为0千克/年.
(1)当0<x≤20时，求函数v关于x的函数解析式；
(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出
最大值.
21
知识衍化体验
考点聚集突破
解 (1)由题意得当0<x≤4时，v＝2，当4<x≤20时，设v＝ax＋b， 显然v＝ax＋b在(4，20]内是减函数，
两边取对数，得n·lg1.12>lg 2－lg 1.3， ∴n>lg l2g－1l.1g21.3≈0.300－.050.11＝159，∴n≥4， ∴从2021年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元.
答案 B
8
知识衍化体验
考点聚集突破
@《创新设计》
4.(2019·上海静安区月考)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月
知识衍化体验
考点聚集突破
@《创新设计》
规律方法 1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快 慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选 出符合实际情况的答案. 2.图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养.
14
知识衍化体验
解析 根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，
代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意. 答案 D
7
知识衍化体验
考点聚集突破
@《创新设计》
3.(必修1P59A6改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2017年
答案 B
9
知识衍化体验
考点聚集突破
@《创新设计》
5.(2019·天津和平区质检)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三 个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )
A.f(x)>g(x)>h(x)
B.g(x)>f(x)>h(x)
C.g(x)>h(x)>f(x)
全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，
则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，
lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )
A.2020年
B.2021年
C.2022年
D.2023年
解析 设经过n年资金开始超过200万元，即130(1＋12%)n>200.
1
知识衍化体验
考点聚集突破
@《创新设计》
知识梳理
1.指数、对数、幂函数模型性质比较
函数 性质
在(0，＋∞) 上的增减性
y＝ax (a>1)
单调__递__增___
y＝logax (a>1)
单调__递__增___
增长速度
越来越快
越来越慢
随x的增大逐渐表现为与 随x的增大逐渐表现
图象的变化
__y_轴____平行
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
知识衍化体验
考点聚集突破
@《创新设计》
[微点提醒] 1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量
为与___x_轴____平行
y＝xn (n>0)
单调递增
相对平稳 随n值变化 而各有不同
2
知识衍化体验
考点聚集突破
2.几种常见的函数模型 函数模型
一次函数模型 二次函数模型 与指数函数
相关模型 与对数函数 相关模型 与幂函数 相关模型
3
@《创新设计》
函数解析式 f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)＝12x2＋2x＋20(万元).一万件售价是 20 万元，
为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )
A.36 万件
B.18 万件
C.22 万件
D.9 万件
解析 利润 L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当 x＝18 万件时，L(x)有最大值.
【训练 2】 (2019·日照月考)已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量 q(x)(单位：百件)
关于每件衣服的利润 x(单位：元)的函数解析式为 q(x)＝1x＋2610，0<x≤20，
求
90－3 5 x，20<x≤180，
该服装厂所获得的最大效益是多少元？
解 设该服装厂所获效益为f(x)元， 则 f(x)＝100xq(x)＝12x6＋0010x，0<x≤20，
D.f(x)>h(x)>g(x)
解析 在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大
到小依次g(x)>f(x)>h(x).
答案 B
10
知识衍化体验
考点聚集突破
@《创新设计》
6.(2019·枣庄调研)某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售 额x为8万元时，奖励1万元.销售额x为64万元时，奖励4万元.若公司拟定的奖励模型 为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元. 解析 依题意aalloogg4486＋ 4＋b＝ b＝1， 4. 解得ab＝ ＝2－，2， ∴y＝2log4x－2， 令2log4x－2＝8，得x＝45＝1 024. 答案 1 024
6
知识衍化体验
考点聚集突破
@《创新设计》
2.(必修1P107A1改编)在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00
则对x，y最适合的拟合函数是( )
A.y＝2x
B.y＝x2－1
C.y＝2x－2
D.y＝log2x
@《创新设计》
第9节 函数与数学模型
考试要求 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和 工具.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律；2.结合 现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数 函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的 现实含义；3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型， 体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义.
11
知识衍化体验
考点聚集突破
@《创新设计》
考点一 利用函数的图象刻画实际问题 【例1】 (2017·全国Ⅲ卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收
集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了 下面的折线图.
12
知识衍化体验
考点聚集突破
@《创新设计》
成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢. 2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键. 3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结
果对实际问题的合理性.
4
知识衍化体验
考点聚集突破
基础自测
@《创新设计》
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件 100 元，按进价增加 10%出售，后因库存积压降价，若按九 折出售，则每件还能获利.( ) (2)函数 y＝2x 的函数值比 y＝x2 的函数值大.( ) (3)不存在 x0，使 ax0<xn0<logax0.( ) (4)在(0，＋∞)上，随着 x 的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于 y＝xa(a>0) 的增长速度.( )
根据该折线图，下列结论错误的是( ) A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 解析 由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误. 答案 A