数学建模与问题解决——函数模型的应用
第4章 数学建模 建立函数模型解决实际问题 (学生版)
数学建模建立函数模型解决实际问题知识讲解1.用函数构建数学模型解决实际问题的步骤(1)观察实际情景:对实际问题中的变化过程进行分析;(2)发现和提出问题:析出常量、变量及其相互关系;(3)收集数据、分析数据:明确其运动变化的基本特征,从而确定它的运动变化类型;(4)选择函数模型:根据分析结果,选择适当的函数类型构建数学模型,将实际问题化归为数学问题;(5)求解函数模型:通过运算推理,求解函数模型;(6)检验模型:利用函数模型的解说明实际问题的变化规律,达到解决问题的目的。
2面临实际问题,自己建立函数模型的步骤(1)收集数据;(2)画散点图(3)选择函数模型;(4)求函数模型;(5)检验;(6)用函数模型解释实际问题.3.数学建模活动的要求(l)组建合作团队;(2)开展研究活动;(3)撰写研究报告;(4)交流展示。
一、选择题 1.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y=5x+4000,而手套出厂价格为每副10元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为( )A.200副B.400量C.600副D.800副 2.下面是一幅统计图,根据此图得到的以下说法中,正确的个数是( )(1)这几年生活水平逐年得到提高；(2)生活费收入指数增长最快的一年是2008年；(3)生活价格指数上涨速度最快的一年是2009年；(4)虽然2010年生活费收入增长缓慢,但生活价格指数也略有降低,因而生活水平有较大的改善。
A.1B.2C.3D.4 3.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格相比,变化情况是()A.增加7.84%B.减少7.84%C.减少9.5%D.不增不减4.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为⎪⎩⎪⎨⎧∈≥∈<<+∈≤≤,,100,5.1,,10010,102,,101,4N x x x N x x x N x x x 其中,x 代表拟录用人数,y 代表面试人数,若面试人数为60,则该公司拟录用人数为( )A.15B.40C.25D.1305.某地固定电话市话收费规定:前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算),以后每加一分钟增加0.10元(不满一分钟按一分钟计算),那么某人打市话550秒,应支付电话费( )同步练习A.1.00元B.0.90元C.1.20元D.0.80元二、填空题 1.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v 米/秒和燃料的质量M 千克、火箭(除燃料外)的质量m 千克的函数关系式是)1ln(2000m M v +⋅=.当燃料质量是火箭质量的 倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒.2.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本.某企业一个月生产某种商品x 万件时生产成本为)(20212)(2万元++=x x x C ,一万件售价是20万元,为获得更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为 万件。
数学建模—函数模型及其应用
(k为常数,k≠0);
(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1);
(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1);
(6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);
1 (),∈1 ,
了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间
2020年5月1日
2020年5月15日
加油量(升)
12
48
加油时的累计里程(千米)
35 000
35 600
注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.
在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为(
A.6升 B.8升
C.10升 D.12升
)
答案 B
解析 因为第一次油箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,
3
log 4 8 + = 1,
+ = 1,
解析依题意得
即 2
解得 a=2,b=-2.则
log 4 64 + = 4,
3 + = 4.
y=2log4x-2,当 y=8 时,即 2log4x-2=8,解得 x=1 024.
关键能力 学案突破
考点1
利用函数图像刻画实际问题
【例1】 (2020北京东城一模,10)
故耗油量V=48升.而这段时间内行驶的里程数S=35 600-35 000=600千米.
所以这段时间内,该车每100千米平均耗油量为
48
×100=8升,故选B.
600
3.(2020北京平谷二模,9)溶液酸碱度是通过pH计算的,pH的计算公式为
函数模型解决实际应用问题
建立函数模型解决实际问题1、数学模型就是把 实际问题 用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．2、数学建模就是把实际问题加以 抽象概括 建立相应的 数学模型 的过程，是数学地解决问题的关键．3、实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察 定义域 ． 建立函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）审题：弄清题目意，分清条件和结论，理顺数量关系；（2）建模：将题目条件的文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； （3）解模：求解数学模型，得到数学结论；（4）结论：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义，并根据题意下结论． 典例解析：例1、有一块半径为R 的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，写出这个梯形周长y 和腰长x 间的函数关系式，并求出它的定义域．分析：关键是用半径R 与腰长x 表示上底，由对称性：2CD AB AE =-，故只要求出AE ．例2、某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8 mm ；图2是双层中空玻璃，厚度均为4 mm ，中间留有厚度为x 的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为d 的均匀介质，两侧的温度差为T ∆，单位时间内，在单位面积上通过的热量T Q k d ∆=⋅，其中k 为热传导系数．假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．（注：玻璃的热传导系数为3410 J mm/C -⨯⋅，空气的热传导系数为42.510 J mm/C -⨯⋅．） （1）设室内，室外温度均分别为1T ，2T ，内层玻璃外侧温度为1T '，外层玻璃内侧温度为2T '，且1122T T T T ''>>>．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量（结果用1T ，2T 及x 表示）；（2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计x 的大小？图1图2例3、将一张长8cm ，宽6cm 的长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕(线段)将纸片分成两部分，面积分别为S 1cm 2，S 2cm 2，其中S 1≤S 2．记折痕长为l cm ． （1）若l ＝4，求S 1的最大值；（2）若S 1∶S 2＝1∶2，求l 的取值范围．解析：如图所示，不妨设纸片为长方形ABCD ，AB ＝8cm ，AD ＝6cm ，其中点A 在面积为S 1的部分内．折痕有下列三种情形：①折痕的端点M ，N 分别在边AB ，AD 上； ②折痕的端点M ，N 分别在边AB ，CD 上； ③折痕的端点M ，N 分别在边AD ，BC 上．ABCD （情形③）MNABCD （情形②）MNABCD （情形①）MN例4、如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。
高中数学同步教学 用函数模型解决实际问题
的强度水平L1表示,它们满足以下关系: L1=10·lg(单位为分
0
-12
2
贝,L1≥0,其中I0=1×10 W/m ).回答以下问题:
(1)树叶沙沙声的强度是1×10-12 W/m2,耳语的强度是1×10-10
W/m2,恬静的无线电广播的强度是1×10-8 W/m2,试分别求出它们的
示的曲线.当Leabharlann ∈(0,14]时,曲线是二次函数图像的一部分,当t∈[14,40]
时,曲线是函数f(t)=loga(t-5)+83(a>0且a≠1)图像的一部分.根据专家
研究,当注意力指数P大于等于80时听课效果最佳.
(1)试求P=f(t)的函数关系式.
(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳?
1
=1,所以1 =10·lg 1=0,则树叶沙沙声的强度水平为 0 分贝;耳语的
0
强度是 I2=1×10-10 W/m2,则 2 =102,所以2 =10·lg 102=20,即耳语声
0
的强度水平为 20 分贝;恬静的无线电广播强度是 I3=1×10-8 W/m2,
3
则 =104,所以3 =10·lg 104=40,即恬静的无线电广播的强度水平为
强度水平;
(2)在某一新建的安静小区规定:小区内公共场所的声音的强度水
平必须保持在50分贝以下,试求该小区内公共场所的声音强度I的
范围.
分析:(1)正确理解声音的强度I与强度水平L1的区别,将I代入公式,
求出L1;
(2)利用L1的范围确定I的范围.
题型一
题型二
题型三
使用函数建模和解决问题
使用函数建模和解决问题在现代科学和工程领域中，函数建模是一种重要的数学工具，它可以帮助我们理解和解决各种实际问题。
通过将现实世界的问题转化为数学函数的形式，我们可以更好地分析和预测事物的行为。
本文将介绍函数建模的基本概念，并通过一些实例来说明其在问题解决中的应用。
函数建模是将一个问题转化为数学函数的过程。
它的核心思想是通过数学模型来描述事物的变化规律。
在实际应用中，我们通常会遇到各种各样的问题，例如物理学中的运动问题、经济学中的供求关系、生物学中的生长模式等等。
这些问题都可以通过函数建模来解决。
首先，让我们以物理学中的运动问题为例来说明函数建模的过程。
假设有一个物体在直线上运动，我们想要知道它在某个时刻的位置。
首先，我们需要定义一个函数来描述物体的位置与时间的关系。
假设物体的初始位置为x0，初始速度为v0，加速度为a，时间为t。
我们可以得到如下的函数：x(t) = x0 + v0t + 0.5at^2通过这个函数，我们可以根据物体的初始条件和时间来计算物体在任意时刻的位置。
这个函数就是通过函数建模得到的数学模型，它可以帮助我们预测物体的位置。
除了物理学中的运动问题，函数建模在经济学中也有广泛的应用。
例如，我们可以使用函数建模来描述供求关系。
假设某个商品的需求量D和价格P之间存在着某种关系。
我们可以将这个关系表示为一个函数：D(P) = a - bP其中，a和b是常数。
通过这个函数，我们可以根据商品的价格来预测需求量。
当价格上升时，需求量会下降；当价格下降时，需求量会上升。
这个函数可以帮助企业决策者制定合理的价格策略，以最大化利润。
除了物理学和经济学，函数建模在生物学中也有重要的应用。
例如，我们可以使用函数建模来描述生物的生长模式。
假设一个细胞的数量N随时间t的变化满足以下的函数关系：N(t) = N0 * e^(kt)其中，N0是初始细胞数量，k是一个常数，e是自然对数的底。
通过这个函数，我们可以预测细胞数量随时间的变化。
《函数模型的应用实例》教案
《函数模型的应用实例》教案一、教学目标1. 理解函数模型在实际问题中的应用。
2. 学会构建函数模型解决实际问题。
3. 培养学生的数学建模能力和创新思维。
二、教学内容1. 函数模型概述2. 常见函数模型及其应用3. 函数模型的构建方法4. 函数模型在实际问题中的应用案例分析5. 函数模型的评估与优化三、教学重点与难点1. 教学重点：函数模型在实际问题中的应用，函数模型的构建方法。
2. 教学难点：函数模型的评估与优化。
四、教学方法1. 案例分析法：通过实际问题案例，引导学生学会构建函数模型解决问题。
2. 讨论法：分组讨论，分享不同函数模型在实际问题中的应用。
3. 实践操作法：让学生动手实践，优化函数模型。
五、教学准备1. 教学PPT2. 实际问题案例及解决方案3. 计算机软件（如MATLAB、Excel等）4. 练习题教案内容示例：第一课时：函数模型概述1. 导入：介绍函数模型在实际生活中的应用，如线性规划、最优化问题等。
2. 讲解：讲解函数模型的概念、特点和分类。
3. 案例分析：分析实际问题案例，引导学生理解函数模型。
4. 练习：让学生练习构建简单的函数模型。
第二课时：常见函数模型及其应用1. 导入：介绍常见函数模型，如线性函数、二次函数等。
2. 讲解：讲解常见函数模型的性质及其在实际问题中的应用。
3. 案例分析：分析实际问题案例，引导学生运用常见函数模型解决问题。
4. 练习：让学生运用常见函数模型解决实际问题。
后续课时依次讲解函数模型的构建方法、函数模型在实际问题中的应用案例分析、函数模型的评估与优化等内容。
教学反思：在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够掌握函数模型在实际问题中的应用。
注重培养学生的创新思维和动手实践能力，提高他们的数学建模能力。
六、教学活动设计1. 课堂讲解：介绍函数模型的基本概念和重要性。
2. 案例分析：分析实际问题，引导学生识别和构建函数模型。
高中数学 函数模型及其应用
高中数学：函数模型及其应用在数学的世界里，函数是一个重要的概念，它描述了一个变量与另一个变量之间的关系。
而在高中数学中，函数模型及其应用成为了学生们必须掌握的重要内容。
一、函数模型的理解函数，对于很多人来说，可能是一个复杂的概念。
但实际上，函数却是极其普遍的存在。
在我们的日常生活中，函数无处不在。
比如，身高随着年龄的增长而增长，这就是一个函数关系。
在这个例子中，年龄是自变量，身高是因变量。
再比如，购买商品时，价格随着数量的增加而增加，这里数量是自变量，价格是因变量。
函数模型，就是用来描述这种变量之间关系的数学工具。
它将生活中的各种关系，转化为数学公式，使我们能更好地理解和分析这些关系。
二、函数模型的应用函数模型的应用广泛存在于我们的生活中。
比如，在商业领域，公司需要根据市场需求和价格来决定生产量。
这就需要使用函数模型来预测市场的趋势，从而做出最佳的决策。
在物理学中，牛顿的第二定律就是一个函数模型，它描述了力、质量和加速度之间的关系。
而在生物学中，细胞分裂的模型也是一个函数，它描述了细胞数量随时间的变化情况。
三、高中数学中的函数模型在高中数学中，我们主要学习了一些基本的函数模型，如线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
这些函数模型可以帮助我们解决生活中的很多问题。
比如，线性函数可以帮助我们解决速度和时间的问题，二次函数可以帮助我们解决几何图形的问题，而指数函数和对数函数则可以帮助我们解决增长和衰减的问题。
四、总结函数模型是高中数学中的一个重要内容。
它不仅可以帮助我们解决生活中的问题，还可以帮助我们更好地理解这个世界。
因此，学生们应该积极学习函数模型及其应用，努力提高自己的数学素养。
高中数学函数的概念课件课件标题：高中数学函数的概念课件一、引言函数是高中数学的核心概念，是数学学习中不可或缺的一部分。
函数的概念是理解函数的基础，也是进一步学习函数性质和应用的前提。
本课件旨在帮助学生理解函数的基本概念，掌握函数的定义和性质，为后续的学习奠定坚实的基础。
第1部分 第3章 核心素养之建模思想——函数模型的应用
【方法提炼】 解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合和函数的
思想解答． 第(1)问可以根据图象直线经过点的信息获得 k，b，方法如下： 由“点（0，30）” ⇒ b＝30
由“点（7，100）” ⇒ k＝10 可以根据双曲线经过的点信息获得 a，方法如下： 由“点（7，100）” ⇒ a＝700 注意函数图象是循环出现的． 第(2)问根据(1)中的函数解析式可以解答本题；分类讨论，分段函数的分析也是本题 的关键．
由题意，得 100＝a7，解得 a＝700. 此时，y 关于 x 的函数关系式为 y＝70x0.
10x＋30（0≤x≤7）， ∴y 与 x 的函数关系式为 y＝70x0（7＜x≤730）.
(2)怡萱同学想喝高于 50 ℃的水，请问她最多需要等待多长时间？ 解：将 y＝50 代入 y＝10x＋30，得 x＝2； 将 y＝50 代入 y＝70x0，得 x＝14. ∵14－2＝12，730－12＝334. ∴怡萱同学想喝高于 50 ℃的水，她最多需要等待334 min.
(1)求 1 只 A 型节能灯和 1 只 B 型节能灯的售价各是多少元； 解：设 1 只 A 型节能灯的售价是 x 元，1 只 B 型节能灯的售价是 y 元． 根据题意，得32xx＋ ＋53yy＝ ＝5301， ，解得xy＝＝75.， 答：1 只 A 型节能灯的售价是 5 元，1 只 B 型节能灯的售价是 7 元．
化规律，给出理由，并求出其解析式；
解：设 y＝kx＋b(k，b 为常数，k≠0)． 由题意，得34kk＋＋bb＝＝64，.5.解得kb＝＝－101.5.5. ， ∴y＝－1.5x＋10.5. 当 x＝2.5 时，y＝6.75≠7.2. ∴一次函数不能表示其变化规律． 设 y＝mx (m 为常数，m≠0)．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式； （2）求恒温系统设定的恒定温度； （3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤 害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能 使蔬菜避免受到伤害？
解：（1）设线段AB解析式为y=k1x+b（k≠0） ∵线段AB过点（0，10），（2，14） 代入得 b＝10 2k1+b＝14 解得 k1＝2 ∴AB解析式为：y=2x+10（0≤x＜5） ∵B在线段AB上当x=5时，y=20 ∴B坐标为（5，20） ∴线段BC的解析式为：y=20（5≤x＜10） 设双曲线CD解析式为：y= k （k2≠0） x ∵C（10，20） ∴k2=200 200 ∴双曲线CD解析式为：y= x （10≤x≤24）
例1、随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户借助市 场优势，一次性收购了10000Kg小龙虾，计划养殖一段 时间后再出售.已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天 的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元.设 这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为 y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为
方法提炼： 本题主要考察的是一元一次方程与一次函数的应用， 解决此类问题的关键是首先用待定系数法求出函数表达 式，然后利用两直线的交点转换为一元一次方程，从而 得出经过20min在返回途中追上爸爸，这时他们距离家 还有480m，突出体现了函数与方程转化的思想。
例3、某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统 的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒 温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x （h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统 开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶 段．请根据图中信息解答下列问题：
中考专题复习资料
—
【专题解读】
数学思想是数学学科发生和发展的根本．数学的基本思想包 括：抽象的思想，推理的思想，建模的思想等等，是课程目标--“四基”的一个重要方面．模型思想是《数学课程标准 (2011版)》 . 新增的核心概念，是近年中考数学考查的要点和热点题型，主要 考查建立数学模型解决实际应用问题的能力．其意图是引领学生 建立数学与生活的联系，让学生明确数学是解决现实生活和生产 实践问题的有效工具，并能利用所学的数学知识解决生活中的实 际问题．
解:（1）依题意得
10m n 166000 30m n 178000
解得
m 600 n 160000
答：每天的养殖成本为600元，收购成本为160000元.
方法提炼： 本题是二元一次方程组、一次函数、二次函数的综 合应用，整个问题的设置联系生活实际，符合现实情境， 考查综合运用所学知识解决问题的能力，第一问解答的 关键是提炼题目中的等量关系，恰当建立方程模型；而 第二问中，根据已知的图象，可以分析出y是t的一次函 数，可以用待定系数法建立函数模型．但是，因为图象 呈折线型，应该根据放养时间t的不同，进行分类讨论， 分别求出此时的一次函数表达式.第三问通过分析可知， 利润是时间的函数，根据题目中的数量关系，当 20 t 50 时建立二次函数模型，再利用二次函数的性质，确定何 时取得最大值，最大值是多少，从而确定最大利润.
【专题解读】
关于数学建模与问题解决的中考试题，是把在实际中出现的 相关问题从数学的角度去分析和解决，目的是让学生明确数学是 解决现实生活和生产实践问题的有效工具．
【专题解读】
数学建模与问题解决的中考试题是山西省中考的必考题．一 类是建立代数模型（方程，函数，不等式）解决问题，这类试题 通常会设计一个现实情境，其中隐含若干个数学模型，需要学生 将实际问题转化为数学问题，并建立方程模型、不等式模型或函 数模型来求解.另一类是建立几何模型（主要是“相似三角形模型” 与“直角三角形模型”）解决问题.它们或以三角形为背景，或以 四边形为背景，通常还会与图形变换、平面直角坐标系等知识结 合起来，在解决此类问题时，最终要根据题目中的内容抽象成数 学问题中相似三角形模型与直角三角形的模型，根据其性质使问 题得到解决．
方法提炼： 本题主要考查反比例函数的应用，解决这类问题首 x 先应用待定系数法分段求函数解析式，特别是反比例函 表达式的确定，增减倒置，观察图象可得恒温系统设定 的恒定温度，代入临界值y=10即可，解答时应注意临界 点的应用.
【专题潜能挑战】 详见滚动迁移课本
谢 谢 大 家 ！
2
∴y关于x的函数解析式为： y=
2 x + 10(0 ≤ x 5) 20(5≤ x 10) 200 (10 ≤ x ≤24) x
（2）由（1）恒温系统设定恒温为20°C
（3）把y=10代入y= 200 中，解得，x=20 x ∴20-10=10 答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤 害．
例2．小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距 2400m的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以 96m/min速度从邮局同一条道路步行回家，小明在邮局 停留2min后沿原路以原速返回，设他们出发后经过t min时，小明与家之间的距离为s1m，小明爸爸与家之 间的距离为s2m，图中折线OABD、线段EF分别表示s1、 s2与t之间的函数关系的图象．
0 t 20 10000 y与t的函数关系如图所示. a 100t 8000 20 t 50
（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m 与n的值； （2）求y与t的函数关系式； （3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润 为W元.问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一 次性出售所得利润最大？最大利润是多少？ （总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额-总成 本）
（1）求s2与t之间的函数关系式 ； （2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸 爸？这时他们距离家还有多远？
解：(1) s2与t之间的函数关系式：s2=-96t+2400
(2)由题可知小明的速度为240m/min，可得点D(22，0)、 点B(12，2400) ， 设BD的表达式为y=kx+b,代入可得k=-240 b=5280, BD的表达式为y=-240x+5280. 联立 y=-240x+5280与y=-96x+2400. 可得 -240x+5280=-96x+2400 解得 x=20 y=480 答：小明从家出发，经过20min在返回途中追上爸爸， 这时他们距离家还有480m.
【专题解读】
在近几年的山西中考中，关于数学建模与问题解决的中考试 题，占比都很大，通常结合方程、函数、不等式和几何图形，考 查学生数学建模、几何直观、推理能力、运算能力、阅读素养和 应用意识．预计在2019年的中考题中，此类题目仍会涉及．在解 决此类问题时，要根据题目中的数据抽象成数学模型问题，根据 所学数学知识进行解答．