函数、方程与数学模型
第9节函数与数学模型
第9节函数与数学模型函数与数学模型是数学的两个重要概念，它们在数学应用中发挥着重要的作用。
函数是数学中一个基本概念，描述了两个变量之间的关系；而数学模型则是通过函数的方式来描述和解释实际问题。
首先，让我们来了解一下函数的概念。
函数是一个变量与另一个变量之间的映射关系。
通常情况下，我们用字母"x"表示自变量，用字母"y"表示因变量，函数可以表示为y=f(x)的形式。
在函数中，自变量的取值会决定因变量的取值。
例如，y=2x就是一个简单的函数，意味着y的取值是自变量x的两倍。
函数可以表示各种各样的关系，这取决于函数的定义域和值域。
定义域是自变量能够取值的范围，而值域则是因变量能够取值的范围。
函数可以是线性的，也可以是非线性的，可以是单调的，也可以是非单调的。
通过对函数的研究，我们可以分析其性质，如函数的增减性、极值点等。
数学模型是将实际问题转化为数学形式的方法。
通过建立数学模型，我们可以使用数学方法来解决实际问题。
在建立数学模型时，我们需要选取适当的函数来描述问题，这就要求我们对函数有一定的了解。
例如，在物理学中，我们可以使用函数来描述力的大小和方向，从而建立物理模型来解决问题。
数学模型有着广泛的应用领域。
在经济学中，我们可以使用数学模型来描述供需关系、价格变动等经济现象。
在自然科学中，我们可以使用数学模型来描述物理规律、化学变化等自然现象。
在社会科学中，我们可以使用数学模型来描述人群行为、市场竞争等社会现象。
函数与数学模型是密不可分的。
在建立数学模型时，我们需要选取适当的函数来描述问题，通过分析函数的性质，我们可以得到问题的解析解或数值解。
而在对函数的研究中，我们常常会遇到实际问题，通过建立数学模型，我们可以将实际问题转化为数学问题，从而更好地理解和解决问题。
总之，函数与数学模型是数学应用中不可或缺的两个概念。
函数描述了变量之间的关系，数学模型通过函数描述和解释实际问题。
经济学里面的数学方程
经济学里面的数学方程经济学中常使用的数学方程和模型多种多样，它们帮助经济学家分析和预测经济现象。
以下是一些常见的经济学数学方程和模型：1.供需方程：o供给函数：Qs = f(Ps)o需求函数：Qd = g(Pd)当Qs = Qd时，市场达到均衡，此时的价格称为均衡价格，对应的数量称为均衡数量。
2.市场均衡模型：o P = MC = MR = AR其中，P是价格，MC是边际成本，MR是边际收益，AR是平均收益。
当边际成本等于边际收益时，企业实现利润最大化。
3.消费者行为模型：o效用函数：U = u(x1, x2, ..., xn)描述消费者在给定商品组合下的效用水平。
4.生产函数：o Q = f(K, L)其中，Q是产出，K是资本，L是劳动。
这个函数描述了给定资本和劳动投入下的最大产出。
5.成本函数：o TC = TFC + TVC其中，TC是总成本，TFC是固定成本，TVC是可变成本。
o AC = TC / Q其中，AC是平均成本。
o MC = ∆TC / ∆Q其中，MC是边际成本。
6.无差异曲线：用于描述消费者在不同商品组合之间获得相同效用水平的路径。
7.等产量线：在生产空间中，表示给定生产要素投入组合下能生产出的最大产量。
8.IS-LM模型：o IS曲线：描述产品市场均衡时利率与国民收入之间的关系。
o LM曲线：描述货币市场均衡时利率与国民收入之间的关系。
9.总需求-总供给模型：o AD = C + I + G + (X - M)其中，AD是总需求，C是消费，I是投资，G是政府支出，X是出口，M是进口。
o AS = Y其中，AS是总供给，Y是国民收入。
10.菲利普斯曲线：oπ = πe - β(u - un)其中，π是实际通货膨胀率，πe是预期通货膨胀率，u是实际失业率，un是自然失业率，β是调整系数。
这些方程和模型在经济学中被广泛应用，用于分析市场行为、消费者选择、生产决策、宏观经济政策等各个方面。
初中48个数学模型
初中48个数学模型
1. 直线方程模型
2. 一次函数模型
3. 二次函数模型
4. 指数函数模型
5. 对数函数模型
6. 三角函数模型
7. 幂函数模型
8. 反比例函数模型
9. 绝对值函数模型
10. 分段函数模型
11. 等差数列模型
12. 等比数列模型
13. 等差数列求和模型
14. 等差数列通项求值模型
15. 等差数列前n项和求值模型
16. 等差数列前n项平均值模型
17. 等比数列求和模型
18. 等比数列通项求值模型
19. 等比数列前n项和求值模型
20. 等差数列与等差数列之和关系模型
21. 平方根模型
22. 平方根与二次方程关系模型
23. 正方形面积模型
24. 三角形面积模型
25. 平行四边形面积模型
26. 斜率模型
27. 切线斜率模型
28. 余弦定理模型
29. 正弦定理模型
30. 几何相似模型
31. 三角形相似模型
32. 平行线与平行线之间的角关系模型
33. 同位角与内错角模型
34. 相交弦定理模型
35. 角平分线定理模型
36. 体积模型
37. 圆锥体积模型
38. 圆柱体积模型
39. 球体积模型
40. 柱台体积模型
41. 三维图形表面积模型
42. 立体图形展开模型
43. 均值不等式模型
44. 不等式求解模型
45. 组合数学模型
46. 排列数学模型
47. 方程求解模型
48. 实际问题建模模型
以上是初中数学常见的48个数学模型，希望对你有所帮助！。
初中数学48种模型
初中数学48种模型初中数学有很多种模型，其中包括代数模型、几何模型、数据统计模型等等。
接下来将介绍其中的一些重要模型。
首先是代数模型。
代数模型是数学中的一种重要模型，它主要涉及到的内容包括代数式、方程、函数等。
代数模型可以帮助我们解决各种实际问题，如应用方程进行运算、解决实际问题中的未知数等。
在代数模型中，我们需要掌握各种基本代数运算法则，如四则运算、指数运算、根式运算等。
我们还需要学会代数方程的解法，如一元一次方程、一元二次方程的解法等。
第二种模型是几何模型。
几何模型主要涉及到的内容包括图形的性质、图形的相似、图形的对称等。
几何模型可以帮助我们理解图形的特点，如角的性质、线段的性质等。
在几何模型中，我们需要学会计算图形的面积、周长等。
我们还需要了解不同图形之间的关系，如相似图形、全等图形等。
第三种模型是数据统计模型。
数据统计模型主要涉及到的内容包括统计图表的制作、数据的分析与解释等。
数据统计模型可以帮助我们理解数据的变化规律，如数据的集中趋势、离散趋势等。
在数据统计模型中，我们需要学会制作各种统计图表，如条形图、折线图、饼图等。
我们还需要学会从统计图表中分析数据，解释数据的意义。
除了上述三种模型，初中数学还包括其他模型，如概率模型、函数模型等。
概率模型主要涉及到的内容包括事件的概率、随机事件等。
函数模型主要涉及到的内容包括函数的概念、函数的性质等。
初中数学的模型是相互关联的，它们之间有时会有交叉运用。
比如，我们在解决一些实际问题时，可能既需要运用到代数模型，又需要运用到几何模型。
因此，我们需要全面了解各种模型的知识，灵活运用。
总结起来，初中数学的模型包括代数模型、几何模型、数据统计模型等等。
掌握这些模型的知识可以帮助我们解决各种实际问题，在数学学习中起到重要的作用。
同时，这些模型彼此之间有着联系和交叉，我们需要综合运用这些模型来解决复杂的问题。
通过不断学习和实践，我们能够提高数学理解能力和解决问题的能力。
2020届高考数学命题猜想及专题练习--函数与方程﹑函数模型及其应用1(含解析)
2020届高考数学命题猜想函数与方程﹑函数模型及其应用1【考向解读】求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．【命题热点突破一】函数零点的存在性定理1．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．例1 、（2018年全国I卷理数）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.【变式探究】【2017课标1，理21】已知函数.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）()0,1.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时， ()f x 取得最小值，最小值为.①当1a =时，由于，故()f x 只有一个零点；②当()1,a ∈+∞时，由于，即，故()f x 没有零点；③当()0,1a ∈时，，即. 又，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点.设正整数n 满足，则.由于，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点.综上， a 的取值范围为()0,1.【变式探究】(1)已知偶函数y ＝f(x)，x ∈R 满足f(x)＝x2－3x(x ≥0)，函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0，－1x，x<0，则函数y ＝f(x)－g(x)的零点个数为( )A ．1B ．3C ．2D ．4(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x3，x ≤a ，x2，x>a ，若存在实数b ，使函数g(x)＝f(x)－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．【答案】（1）B （2）（－∞，0）∪（1，＋∞）【解析】（1）作出函数f （x ）与g （x ）的图像如图所示，易知两个函数的图像有3个交点，所以函数y ＝f （x ）－g （x ）有3个零点.（2）令φ（x ）＝x3（x ≤a ），h （x ）＝x2（x>a ），函数g （x ）＝f （x ）－b 有两个零点，即函数y ＝f （x ）的图像与直线y ＝b 有两个交点.结合图像，当a<0时，存在实数b 使h （x ）＝x2（x>a ）的图像与直线y ＝b 有两个交点；当a ≥0时，必须满足φ（a ）>h （a ），即a3>a2，解得a>1.综上得a ∈（－∞，0）∪（1，＋∞）.【感悟提升】函数的零点、方程的根的问题都可以转化为函数图像的交点问题，数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数问题的有效方法．在解决函数零点问题时，既要利用函数的图像，也要利用函数零点的存在性定理、函数的性质等，把数与形紧密结合起来．【变式探究】已知函数f(x)＝|x ＋a|(a ∈R)在[－1，1]上的最大值为M(a)，则函数g(x)＝M(x)－|x2－1|的零点的个数为( ) 络的发展，网校教育越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势．假设某网校每日的套题销售量y(单位：万套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，其中2<x<6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21万套．(1)求m 的值；(2)假设每套题的成本为2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)【解析】解：（1）因为x ＝4时，y ＝21，代入y ＝mx －2＋4（x －6）2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.（2）由（1）可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4（x －6）2，所以每日销售套题所获得的利润f （x ）＝（x －2）·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10x －2＋4（x －6）2＝10＋4（x －6）2（x －2）＝4x3－56x2＋240x －278（2<x<6），从而f ′（x ）＝12x2－112x ＋240＝4（3x －10）（x －6）（2<x<6）.令f ′（x ）＝0，得x ＝103（x ＝6舍去），且在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，103上，f ′（x ）>0，函数f （x ）单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫103，6上，f ′（x ）<0，函数f （x ）单调递减，所以x ＝103是函数f （x ）在（2，6）内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f （x ）取得最大值，即当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.【感悟提升】 函数建模首先要会根据题目的要求建立起求解问题需要的函数关系式(数学模型)，然后通过求解这个函数模型(求单调性、最值、特殊的函数值等)，对实际问题作出合乎要求的解释．需要注意实际问题中函数的定义域要根据实际意义给出，不是单纯根据函数的解析式得出．【变式探究】调查发现，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是关于车流密度x （单位：辆/千米）的连续函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当20<x<200时，车流速度v 是关于车流密度x 的一次函数.（1）当0<x<200时，求函数v （x ）的解析式；（2）当车流密度x 为多少时，车流量（每小时通过桥上某观测点的车辆数）f （x ）＝x ·v （x ）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）【解析】解：（1）由题意知，当0<x ≤20时，v （x ）＝60；当20<x<200时，设v （x ）＝ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故所求函数v （x ）的解析式为v （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤20，13（200－x ），20<x<200. （2）由（1）可知v （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤20，13（200－x ），20<x<200.当0<x ≤20时，f （x ）＝60x 为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20<x<200时，f （x ）＝13x （200－x ）＝－13（x2－200x ）＝－13（x －100）2＋10 0003，当x ＝100时，f （x ）取得最大值10 0003≈3333.综上可知，当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.【高考真题解读】1. （2018年全国I 卷理数）已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】画出函数的图像，在y 轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.2. （2018年浙江卷）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1). (1,4) (2).【解析】由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为。
流体力学的数学模型和方程
流体力学的数学模型和方程在研究流体力学时，数学模型和方程起着至关重要的作用。
通过建立准确的数学模型，我们可以描述和预测各种流体行为，从而实现对流体流动的深入理解。
一、基本概念和方程1. 流体力学简介流体力学是一门研究流体如何运动和相互作用的学科。
在流体力学中，我们关注流体的动力学性质，例如速度、压力、密度等，并通过数学模型和方程来描述这些特征。
2. 流体的基本性质流体有四个基本性质：质量、体积、压力和温度。
这些特性与流体的运动和相互作用密切相关。
3. 流体的连续性方程流体的连续性方程描述了在任何给定点上质量守恒的原理。
它表明，一个控制体积中质量的变化等于流体通过该控制体积的流量。
4. 动量守恒方程动量守恒方程描述了流体如何对外力做出反应。
根据牛顿第二定律，加上流体的加速度项，该方程可以给出流体的运动状态。
5. 能量守恒方程能量守恒方程描述了流体如何在运动中保持能量的平衡。
它考虑了流体的内能、压力和外部力对流体能量的影响。
二、数学模型1. 定常流和非定常流定常流指流体在时间上保持稳定的流动方式，不随时间变化。
相反，非定常流指流体在一定时间内发生变化的流动方式。
2. 线性流和非线性流线性流指流体流动时速度与应力之间的关系是线性的。
而非线性流则指在流体的速度和应力之间存在非线性关系，例如湍流。
3. 理想流体和真实流体理想流体是指没有粘性、不可压缩且不受外部作用力的流体。
真实流体则考虑了粘性和可压缩性等实际情况。
4. 纳维-斯托克斯方程纳维-斯托克斯方程是描述流体运动的重要方程。
它基于质量守恒、动量守恒和能量守恒等定律，可以用来模拟各种流体流动行为。
5. 常见数学模型除了纳维-斯托克斯方程，流体力学中还有一些常见的数学模型，例如欧拉方程、拉普拉斯方程和黏性流体方程等，它们适用于不同的流动情境和假设条件。
三、应用领域1. 工程流体力学工程流体力学将流体力学的原理应用于工程实践中。
例如，通过数学模型和方程，我们可以预测飞行器的空气动力学性能，设计管道和泵站的水力系统等。
小学数学中主要的数学模型
2011版课标与原课标相比有了较大变化，在课程内 容的十大核心概念中是唯一以“思想”出现的，并具体 解释为“模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与 外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括： 从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号 建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系 和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容 的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的 兴趣和应用意识”。 模型思想是数学的基本思想之一。
[1]吴正宪、张秋爽《对数学核心概念的思考》，2012 年《课程教材教法》增刊。
３.数学建模能力的培养是一个长期的过程。
低年级学生的基础知识目标达到的水平、语言理 解水平、思维水平、生活经验等各方面因素都决定 了学生的建模能力培养的艰巨性、长期性。 低年级的数学模型主要是应用加、减、乘、除及 混合运算解决简单的实际问题，重点是让学生理解 和掌握四则运算的概念，这是培养学生模型思想的 基础。 传统上，应用题按类型进行教学，让学生死记硬 背一些关键词和公式。这样做的结果是没有抓住问 题的核心，没有真正培养分析问题、解决问题的能 力，及抽象思维能力。
2. 数的运算。 a+b=c，c－a =b, c－b＝a， a×b＝c(a≠0,b≠0)，c÷a=b, c÷b＝a 四则运算关系式是小学数学最基本的数学模型，其 他很多模型都是在此基础上的进一步发展。 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：a+b+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法分配律：a(b+c)=ab+ac
需要学生理解各种生活语言，不仅仅是看到一共用 加法，如前面案例，再转化为数学语言： a＋b＋c＋…＝ 最后抽象概括出“把若干个数合并成一个数的运算， 就是加法”。
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2.增长函数模型的选取
例 2 某公司为了实现60万元的生产利润目标，准备制订一个激励生产人员的奖励方案：在生产利润
达到5万元时，按生产利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随生产利润x（单位：万元）的增加而
增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，
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【归纳】指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较
函数
在（0，+∞）上的
y＝ax（a>1）
y＝logax（a>1）
y＝xα（α>0）
单调递增，且a越大，增长越 单调递增，且a越小，增长 单调递增，且当x>1时，α越大，增
单调性
快
越快
长越快
增长速度
越来越快
越来越慢
随着α值的不同而不同
指数函数模型y＝ax（a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度
急剧，形象地称为“爆炸式增长”.
（3）对数函数模型
对数函数模型y＝logax（a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速
度平缓.
（4）幂函数模型
当x>0，α>1时，幂函数y＝xα是增函数，且当x>1时，α越大其函数值的增长速度就越快.
d/cm
1
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3
4
5
描点画出弹簧伸长的长度随拉力变化的图象，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式.
【解】图象如图所示，通过图象中点的分布特征，可以考虑用函数d＝kf+b（k≠0）
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1.1.6 数学模型
1.1.6 数学模型
数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从 数学角度来反映或近似地反映实际问题时所得出的关于 实际问题的数学描述. 建立数学模型的全过程称为数学 建模（见图 1-24）.
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1.1.6 数学模型
建立函数关系式是解决实际问题时较简单的一类数学模型.
例7 ［种群生长模型］ 表1-4是生物学家皮尔 （R. Pearl）于1927年所采集的酵母细胞（以生物量度 量）在营养物中随时间（以小时度量）增长的数据.
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1.1.6 数学模型
解（利用最常用的工具软件Excel求解）
图1-28 回归曲线
图1-29 酵母数量实际观测值与预测值的偏差
图1-29中菱形点曲线是实际中大量存在的S形曲线
1. 由方程 F(x,确y)定=0的函数──隐函数
一元函数： y f (x)
一定 不一定
二元方程： F(x, y) 0
可以表示为 y f (x) 形式的函数称为显函数.
方程 x2 y2 4 隐式地（隐藏在方程中）定义了函数 f (x) 与 g(x) ，函数 f (x) 与 g(x) 称为由方程 x2 y2 4 确定的隐函数.
x 50t
y
50
3 t 1 gt2 2
（1-2）
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1.1.5 方程与函数
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一 点的坐标 x ， y 都是某个变数 t 的函数
x f (t)
y
g (t )
（1-3）
并且对于 t 的每一个允许值，由方程组(1-3)所确定的点 M (x, y) 都在这条曲线上，那么方程组（1-3）就称为这条
y 3kx2 k 40 (0 x ) x
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1.1.6 数学模型
例5 设有半径为 R 的圆（见图 1-25），试建立圆内接 正 n 边形的面积 An 与边数 n（ n≥3 ）之间的函数关系式.
解 如果把内接正多边形各顶点与圆心连结，则得到 n 个
全等的等腰三角形，在图 1-25 中，△AOB 是其中一个三
y kx b
取点 (2004,13.6515) 和点 (2007, 24.6619) ，代入上式 得 k 3.6701 ， b 7 341.3 因此所求的函数关系式为 y f (x) 3.6701x 7 341.3 （2）由于 f (2006) 20.920 6 ， | 20.920 6 20.940 7 | 0.0201 说明 2006 年与实际误差小；而 f (2008) 28.260 8 | 28.260 8 30.067 | 1.806 2 ，说明 2008 年与实际误差大. （3）因为 f (2010) 3.6701 2010 7 341.3 35.601 ，则预
曲线的参数方程. 联系变数 x ， y 的变数 t 称为参数.
与隐函数的讨论类似，在一定条件下，参数方程中的参 数不管能否消去，都能确定 y与 x 间的函数关系 ，一般有
若参数方程组（1-3）确定 y 与 x 间的函数关系，则称
此函数关系所表达的函数为由参数方程组（1-3）所确定的
函数.
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1.1.5 方程与函数
一般地，如果变量 x 与 y 满足一个方程 F(x, y) 0 ， 在一定条件下，当 x 取某区间内的任一值时，相应的总有 满足这个方程的唯一的 y 值存在，那么就说方程 F(x, y) 0 在该区间内确定了一个隐函数.
把一个隐函数化成显函数，称为隐函数的显化.
例4 要建造一个容积为 10 m3 的无盖长方体水池，它的 底为正方形. 如池底的单位面积造价为侧面积造价的 3 倍，试求水池总造价与底面边长之间的函数关系式.
解 设底面边长为 x ，总造价为 y ，侧面单位面积造价
为 k . 由已知可得水池深为 10 x2
，侧面积为
4x g1x02
40 x
，从而可得水池总造价与底面边长之间的函数关系式为
（1）画出函数图形猜想它们之间的函数关系，近似地写出 一个函数关系式；
（2）利用得出的关系式求2006年、2008年的生产总值，与 表中实际生产总值比较；
（3）利用关系式预侧2010年我国的国内生产总值.
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1.1.6 数学模型
解法1 （1）根据表中的数据描点画出图形（见图1-26） （这个图形称为散点图） 设所求的函数关系式为
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1.1.6 数学模型
科学家们研究发现这类曲线近似于以下函数：
y
1
k cerx
这类函数称为逻辑
斯谛模型，主要用 于描述动、植物的 自然生长过程，故
又称生长曲线. 本例 中酵母培养物增长的 模型被证明是逻辑斯谛函数
图1-30 酵母生成模型
y
1
665 73.8e0
.
5x
5
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1.1 函数、方程与数学模型
小结
了解方程与函数的关系 隐函数，参数方程的概念 渐开线、摆线的参数方程及实际应用 建立简单实际问题的函数关系式 数学模型的基本概念 由散点图用EXCEL软件求近似曲线（简单回归分析）
作业
P16，习题1-1: 8；9；12；14
1.1.5 方程与函数
例2 ［圆的渐开线］ 把一条没有弹性的细绳绕在一 个定圆上，拉开绳子的一端并拉直，使绳子与圆周始终 相切. 绳子端点的轨迹是一条曲线，这条曲线称为圆的 渐开线（见图 1-19），这个定圆称为渐开线的基圆.
由几何或向量的知识可得圆的渐开线的参数方程为
x r(cos sin)
角形，容易知道
AOB
2π n
，所以内接正
n
边形面积
An
为
An
n S△AOB
n
1 2
| OA | g| OB | sin AOB
n R2 sin 2π
2
n
课堂练习
P16，习题1-1: 10,11
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1.1.6 数学模型
例6 ［GDP增长］ 国内生产总值（简称GDP）是指在 一定时期内（一个季度或一年），一个国家或地区的经济 中所生产出的全部最终产品和劳务的价值，常被公认为衡 量国家经济状况的最佳指标. 我国2004—2008年国内生产 总值（单位：万亿元）如表1-3所示.
100 m/s 的初速度射出(不考虑空气阻力)，试求抛射体的运动
轨迹.
解 如 图 1-18 建 立 平 面 直 角 坐 标
系. 在时刻 t 时抛射物的位置点为 M (x, y) ，则 x 表示抛射物的水平位移
量， y 表示抛射物距地面的高度. 由 由两种不同的运动得到的，由物理知识可以把抛射运动看成 是做水平方向的匀速直线运动和竖直上抛运动的合成，即
2x y3 1 0
显化
y 3 1 2x
ex y xy 0
无法显化
y f (x)
在一定条件下，以方程表达的变量间的关系可以通 过函数关系进行处理研究，不管该方程所确定的隐函数 能否显化。
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1.1.5 方程与函数
2. 由参数方程确定的函数 例1 ［抛射运动］ 某物体以与水平正方向成 π 的夹角、 3
测 2010 年国内生产总值约为 35.601 万亿元.
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1.1.6 数学模型
研究表明最佳的拟合直线是用“最小二乘法”（即最小化 各数据点到直线的垂直距离的平方和）的方法来得到的直 线──回归直线.
解法2（利用最常用的工具软件Excel求解）
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1.1.6 数学模型
类似地，如果散点图的形状近似某种曲线，通过“最小 二乘法”的方法可以求得最佳拟合的近似曲线，即回归曲线， 实现的方法和过程也称曲线回归.
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1.1 函数、方程与数学模型
1.1 函数、方程与数学模型
➢ 1.1.1 函数的概念 ➢ 1.1.2 函数的几种特性 ➢ 1.1.3 反函数与反三角函数 ➢ 1.1.4 初等函数 ➢ 1.1.5 方程与函数 ➢ 1.1.6 数学模型
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1.1.5 方程与函数
1.1.5 方程与函数
y
r
(sin
cos
)
（ 是参数）
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1.1.5 方程与函数
例3 ［摆线］ 当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动
时，圆周上一个定点 M 的轨迹称为平摆线，简称摆线，又
称旋轮线（见图 1-20）. 求摆线的参数方程.
摆线的参数方程为
x y
r( sin) r(1 cos)
（
是参数）