工程力学第六章
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工程力学 第六章：平面杆件体系的几何组成分析
瞬变体系
工 程 力 学
无多余约束的几何 不变体系变体系
几种常用的分析途径 1、去掉二元体，将体系化简单，然后再分析。 2、如上部体系与基础用满足要求的三个约束相联可去 掉 基础，只分析上部。 3、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，用链杆组 成的虚铰相连，而不用单铰相连。 4、由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范 围，将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。 5、由基础开始逐件组装 6、刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式的 前提下，可以改变它的大小、形状及内部组成。即用一个等效 与外部连结等效）刚片代替它。
β
A P
A
β
Δ是微量
P N N
只有几何不变体系才 能作为建筑结构使用！！
§6.2刚片、自由度和约 束的概念
• 一、刚片 • 是指平面体系中几何形状不变的平面体。 • 在几何组成分析中，由于不考虑材料的应 变，所以，每根梁、每一杆件或已知的几 何不变部分均可视为刚片。 • 支承结构的地基也可以看做是一个刚片。
a
1、单链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不论其形 状和铰的位置如何。
一根链杆可以减少 体系一个自由度，相 工 当于一个约束。！ 程 力 β 学
α
Ⅰ
1 5 3 6 4
1、2、3、4是链杆， 5、6不是链杆。
加链杆前3个自由度
加链杆后2个自由度
2、单铰： 联结 两个 刚片的铰 加单铰前体系有六个自由度 加单铰后体系有四个自由度
三刚片以三个无穷远处虚铰相连 组成瞬变体系
工 程 力 学
4、由一基本 刚片开始，逐 步增加二元体， 扩大刚片的范 围，将体系归 结为两个刚片 或三个刚片相 连，再用规 则判定。
工程力学第六章 弯曲变形
荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形
状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，
就应从上述各种因素入手。
一、增大梁的抗弯刚度EI 二、减小跨度或增加支承 三、改变加载方式 48EI
作 业
1、2、4（a、e)
§6-3 用叠加法计算梁的变形 梁的刚度计算
一、用叠加法计算梁的变形
在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下, 载荷与它所引起的变形成线性关系。 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引 起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个 载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分 别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。
例： 梁AB，横截面为边长为a的正方形，
弹性模量为E1；杆BC，横截面为直径为d的圆 形，弹性模量为E2。试求BC杆的伸长及AB梁 中点的挠度。
例：用叠加法求图示梁B端的挠度和转角。
解：
二、梁的刚度计算
刚度条件：
max [ ] max [ ]
[w]、[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定
q
B
x
l
由边界条件： x 0时， 0 x l时， 0
ql 3 , D0 得： C 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
B
x
l
A qx (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
l 2
x
P AC 解： 段：M ( x ) x 2 y P EI " x 2 A P 2 EI ' x C x 4 l 2 P 3 EI x Cx D 12
工程力学课件 第6章 轴向拉伸与压缩
σ称为正应力，τ称为剪应力。在国际单位制中，应力的单位 是帕斯卡(Pascal)，用Pa（帕）表示，1Pa＝1 N/m2。由于帕斯卡这 一单位很小，工程常用kPa（千帕）、MPa（兆帕）、GPa（吉帕）来 表明。1 KPa＝103Pa，1 MPa＝106Pa，1 GPa＝109 Pa。
工程力学
12
二、拉压杆横截面上的正应力
在应力超过比例极限以后，图形出现了一段近似水平的小锯齿
形线段bc，说明此阶段的应力虽有波动，但几乎没有增加，却发生
了较大的变形。这种应力变化不大、应变显著增加的现象称为材料
的屈服。屈服阶段除第一次下降的最小应力外的最低应力称为屈服
极限，以σs表示。
4.强度极限
经过了屈服极限阶段，图形变为上升的曲线，说明材料恢复了
工程力学
4
1.1.1 电路的组成
列出左段杆的平衡方程得 Nhomakorabea工程力学
5
若以右段杆为研究对象，如图(c)所示，同样可得
1.1.1 电路的组成
实际上，FN与F′N是一对作用力与反作用力。因此，对同一截面， 如果选取不同的研究对象，所求得的内力必然数值相等、方向相反。
这种假想地用一个截面把杆件截为两部分，取其中一部分作为 研究对象，建立平衡方程，以确定截面上内力的方法，称为截面法。 截面法求解杆件内力的步骤可以归纳如下：
1.1.1 电路的组成
(1)计算AB段杆的轴力。沿截面1－1将杆件截开，取左段杆为研 究对象，以轴力FN1代替右段杆件对左段的作用，如图(b)所示
列平衡方程
得
工程力学
7
若以右段杆为研究对象，如图(c)所示
1.1.1 电路的组成
同样可得
(2)计算BC段杆的轴力，沿截面2－2将杆件截开，取左段杆为研 究对象，如图(d)所示
工程力学
12
二、拉压杆横截面上的正应力
在应力超过比例极限以后，图形出现了一段近似水平的小锯齿
形线段bc，说明此阶段的应力虽有波动，但几乎没有增加，却发生
了较大的变形。这种应力变化不大、应变显著增加的现象称为材料
的屈服。屈服阶段除第一次下降的最小应力外的最低应力称为屈服
极限，以σs表示。
4.强度极限
经过了屈服极限阶段，图形变为上升的曲线，说明材料恢复了
工程力学
4
1.1.1 电路的组成
列出左段杆的平衡方程得 Nhomakorabea工程力学
5
若以右段杆为研究对象，如图(c)所示，同样可得
1.1.1 电路的组成
实际上，FN与F′N是一对作用力与反作用力。因此，对同一截面， 如果选取不同的研究对象，所求得的内力必然数值相等、方向相反。
这种假想地用一个截面把杆件截为两部分，取其中一部分作为 研究对象，建立平衡方程，以确定截面上内力的方法，称为截面法。 截面法求解杆件内力的步骤可以归纳如下：
1.1.1 电路的组成
(1)计算AB段杆的轴力。沿截面1－1将杆件截开，取左段杆为研 究对象，以轴力FN1代替右段杆件对左段的作用，如图(b)所示
列平衡方程
得
工程力学
7
若以右段杆为研究对象，如图(c)所示
1.1.1 电路的组成
同样可得
(2)计算BC段杆的轴力，沿截面2－2将杆件截开，取左段杆为研 究对象，如图(d)所示
工程力学--第六章 剪切和挤压(强度和连接件的设计)
τ =FQ/Aτ≤[τ]=τb/nτ τ τ
连接件、被连接件 连接件、
剪断条件
工件、 工件、连接件
2)强度条件是一种破坏判据。判据的左端是工作状 2)强度条件是一种破坏判据。 强度条件是一种破坏判据 态下的控制参量（如应力），由分析计算给出； ），由分析计算给出 态下的控制参量（如应力），由分析计算给出； 右端则应是该参量的临界值，由实验确定。 右端则应是该参量的临界值，由实验确定。 3) 利用强度条件，可以进行 利用强度条件， 强度校核、截面设计、确定许用载荷或选材。 强度校核、截面设计、确定许用载荷或选材。 4) 强度计算或强度设计的一般方法为： 强度计算或强度设计的一般方法为：
剪切的实用计算
(1)剪力计算
以铆钉连接为例，沿剪切面切开, 取部分铆钉研究， 以铆钉连接为例，沿剪切面切开, 取部分铆钉研究，受力 如图。 如图。
双剪： 双剪：Q=P/2
一个剪切面
二个剪切面
单剪： 单剪：Q=P
强度计算
假定剪力Q均匀分布在剪切面上， 假定剪力 均匀分布在剪切面上， 均匀分布在剪切面上 以平均剪应力作为剪切面上的名义剪应 则有： 力，则有： τ=Q/A
P/A τ=Q/A =
P
剪切强度条件： 剪切强度条件： τ=Q/A≤[τ]=τb/nτ ≤τ τ
是材料剪切强度，由实验确定； τb是材料剪切强度，由实验确定；nτ是剪切安全系数。
剪断条件：对剪板、冲孔等需要剪断的情况， 剪断条件：对剪板、冲孔等需要剪断的情况，应满足
τ=Q/A>τb τ
Байду номын сангаас
功率、 功率、转速与传递的扭矩之关系：
冲 头 N Q
P=400kN d t
P N=P 落 料
工程力学 第6章 弹性静力学基本概念
第6章 弹性静力学的基本概念 刚体静力学研究力系的等效、简化与力系的平衡，并且应用这些基本概念和理论，分析、确定物体的受力。
刚体静力学的模型是质点和质点系以及刚体和刚体系。
弹性静力学则主要研究变形体受力后发生的变形，以及由于变形而产生的附加内力。
分析方法上，弹性静力学与理论力学刚体静力学也不完全相同。
建立在实验基础上的假定、简化计算，是弹性静力学分析方法的主要特点。
本章介绍弹性静力学的基本概念、研究方法以及弹性静力学对于工程设计的重要意义。
§6-1 弹性静力学概述 §6-2 弹性体及其理想化 ６－２－１ 各向同性与各向异性弹性体 ６－２－２ 各向同性弹性体的均匀连续性 §6-3 弹性体受力与变形特征 §6-4 应力及其与内力分量之间的关系 ６－４－１ 分布内力集度－应力 ６－４－２ 应力与内力分量之间的关系 §6-5 正应变与切应变 §6-6 线弹性材料的物性关系 §6-7工程结构与构件 §6-8 杆件变形的基本形式 §6-9 结论与讨论 ６－９－１ 关于刚体静力学模型与弹性静力学模型 ６－９－２ 关于弹性体受力与变形特点 ６－９－３ 关于刚体静力学概念与原理在弹性静力学中的 可用性与限制性 习 题 本章正文 返回总目录第6章 弹性静力学的基本概念 §６—１ 弹性静力学概述 弹性静力学(elastic statics)又称材料力学(strength of materials)，其研究内容分属于两个学科。
第一个学科是固体力学(solid mechanics)，即研究物体在外力作用下的应力、变形和能量，统称为应力分析(stress analysis)。
但是，弹性静力学所研究的仅限于杆、轴、梁等物体，其几何特征是纵向尺寸远大于横向尺寸，这类物体统称为杆或杆件（bars或rods）。
大多数工程结构的构件或机器的零部件都可以简化为杆件。
《工程力学》第六章 压杆的稳定性计算
x
Fcr
图示两端铰支（球铰）的细长压杆，当压力
B
F达到临界力FCr时，压杆在FCr作用下处于
微弯的平衡状态，
考察微弯状态下局部压杆的平衡
M (x) Fcr w
d 2w dx2
M (x) EI
d 2w Fcr w
w
dx2
EI
x
FCr
M
w
x
根据杆端边界条件，求解上述微分方程 可得两端铰支细长压杆的临界力
FCr
2EI (l)2
Cr
FCr A
Cr
FCr A
2EI (l)2 A
2E (l / i)2
2E 2
Cr
2E 2
——临界应力的欧拉公式
柔度（长细比）： L
i
i I A
——截面对失稳时转动
轴的惯性半径。
——表示压杆的长度、横截面形状和尺寸、杆端的约束 情况对压杆稳定性的综合影响。
200
2.中柔度杆（中长压杆）及其临界应力
工程实际中常见压杆的柔度往往小于p，其临界应力超过材料的
比例极限，属于非弹性稳定问题。这类压杆的临界应力通常采用直线 经验公式计算， 即
Cr a b ——直线型经验公式
式中，a、b为与材料有关的常数，单位为MPa。
由于当应力达到压缩极限应力时，压杆已因强度问题而失效，因此
12 h
1 2300 60
12 133
在xz平面内，压杆两端为固定端，=0.5，则
iy
Iy A
b 12
y
l
iy
l 12
b
0.5 2300 40
12 100
因为 z＞y，连杆将在xy平面内失稳（绕z轴弯曲），因 此应按 =z=133计算连杆的临界应力。
工程力学第六章概论
S3 S1 'sin 300 S4 sin 300 0
代入S1' S1
解得: S3 10 kN, S4
10 kN
X0
S5 S2' 0
代入S2' S2后 解得 S5 7.66 kN
节点D的另一个方程可用来校核计算结果
Y 0 , P S3' 0
解得S '3 10 kN,
恰与 S3相等,计算准确无误。
20
型
12
桁架分类
平面桁架
平面结构， 载荷作用在结构 平面内；
对称结构， 载荷作用在对称 面内。
13
桁架分类
空间桁架
结构是空间的， 载荷是任意的；
结构是平面的， 载荷与结构不共面。
本节我们只研 究平面桁架
14
桁架：由杆组成，用铰联接，受力不变形的系统。
节点
杆件
15
桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。 桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；②杆端铰接； ③外力作用在节点上。
力学中的桁架模型 ( 基本三角形)
三角形有稳定性
(a)
(b)
(c)
16
工程力学中常见的桁架简化计算模型
杆件 节点
节点
杆件
节点
杆件
17
力学中的桁架模型 ---模型与实际结构的差异
工程中实际的桁架
18
一、节点法
[例] 已知：如图 P=10kN，求各杆内力？ 解：①研究整体，求支座反力
X 0, mA(F) 0,
本组成单位都是由
三杆通过铰链连接
而成的三角形，称
为基本三角形。在
这个基本单位上再
增加一个节点，相
应增加两根不在同
代入S1' S1
解得: S3 10 kN, S4
10 kN
X0
S5 S2' 0
代入S2' S2后 解得 S5 7.66 kN
节点D的另一个方程可用来校核计算结果
Y 0 , P S3' 0
解得S '3 10 kN,
恰与 S3相等,计算准确无误。
20
型
12
桁架分类
平面桁架
平面结构， 载荷作用在结构 平面内；
对称结构， 载荷作用在对称 面内。
13
桁架分类
空间桁架
结构是空间的， 载荷是任意的；
结构是平面的， 载荷与结构不共面。
本节我们只研 究平面桁架
14
桁架：由杆组成，用铰联接，受力不变形的系统。
节点
杆件
15
桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。 桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；②杆端铰接； ③外力作用在节点上。
力学中的桁架模型 ( 基本三角形)
三角形有稳定性
(a)
(b)
(c)
16
工程力学中常见的桁架简化计算模型
杆件 节点
节点
杆件
节点
杆件
17
力学中的桁架模型 ---模型与实际结构的差异
工程中实际的桁架
18
一、节点法
[例] 已知：如图 P=10kN，求各杆内力？ 解：①研究整体，求支座反力
X 0, mA(F) 0,
本组成单位都是由
三杆通过铰链连接
而成的三角形，称
为基本三角形。在
这个基本单位上再
增加一个节点，相
应增加两根不在同
工程力学(第3版)第6章
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图 6-1
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图 6-2
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图 6-3
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图 6-4
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图 6-5
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图 6-6
返回图Biblioteka 6-9返回• 下面以铆钉连接（图 6−3（a））为例进行分析。钢板受外力 F 作用 后又将力传递到铆钉上，而使铆钉的右上侧面和左下侧面受力（图 6−3（b））。这时，铆钉的上、下两半部分将沿着 m—n 截面发生 相对错动（图 6−3（c））。当外力足够大时，将会使铆钉剪断。由 铆钉受剪的实例分析可以看出剪切变形的受力特点是：作用在构件两 侧面上的外力的合力大小相等，方向相反，作用线平行且相距很近。 其变形特点是：介于两作用力之间的截面发生相对错动。这种变形称 为剪切变形。
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6.1 剪切与挤压概念
• 在承受剪切的构件中，发生相对错动的截面称为剪切面。剪切面上与 截面相切的内力称为剪力，用 F Q 表示（图 6−3（d）），其大小可 用截面法通过列平衡方程求出。
• 构件中只有一个剪切面的剪切称为单剪，如图 6−3 中的铆钉。构件 中有两个剪切面的剪切则称为双剪，拖车挂钩中螺栓所受的剪切是双 剪的实例，如图 6−4 所示。
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6.3 剪切胡克定律和切应力互等定理
• 由 ∑M =0得 • 得 τ ′ =τ （ 6 − 6 ） • 为了明确切应力的作用方向，对其作如下符号规定：使单元体产生顺
时针方向转动趋势的切应力为正，反之为负，则式（ 6 − 6 ）应改写 为τ = −τ ′ （ 6 − 7 ） • 式（ 6 − 7 ）表明，单元体互相垂直的两个平面上的切应力必定是同 时成对存在，且大小相等，方向都垂直指向或背离两个平面的交线。 这一关系称为切应力互等定理。
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Engineering Mechanics
Chap4
9/13/2009
6
4.梁的力学模型的简化 （1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
集中力
（2）载荷类型
集中力偶 分布载荷
（3） 支座的类型
AA
A
9/13/2009 Engineering Mechanics
Chap4
7
固定铰支座 (pin support)
Chap4
l
Fa M A 0 , FRB l F (l a ) Fy 0 , FRAy l
9/13/2009
F
B
FRB
Engineering Mechanics
11
求内力——截面法
Fy 0 , M
C
FS FRAy
0 ,
F (l a ) l M FRAy x
F SA左 0
(0 x l )
FS
x
(0 x l )
M F
9/13/2009
Engineering Mechanics
Chap4
x
F SA右 F
21
例6-3 图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载 用.试作此梁的剪力图和弯矩图.
解： （1） 求支反力
A
q
B
x
FRA FRB
(a x l )
AC,CB 两梁段的弯矩图各是一条倾斜直线. AC段 x = 0 ,
Ma x=a, M C左 l Mb CB段 x = a, M C 右 l
9/13/2009
16
FRA
A c E
FSE
ME
FSE ME
E
F1
C a-c b-c l-c
F2
D
FRB
B
取右段为研究对象
Fy 0
解得
F SE FRB F 1 F 2 0
M E 0 FRB (l c ) F 1 (a c ) F 2 (b c ) M E 0
FSF FRB 0 M F FRB d 0
Engineering Mechanics
解得：
FSF FRB
-
M F FRB d +
Chap4
18
6.2.2 剪力方程和弯矩方程
用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，
分别称作剪力方程和弯矩方程.
1.剪力方程 2.弯矩方程
9/13/2009
Engineering Mechanics
Chap4
26
将坐标原点取在梁的左端
FRA
A
F
FRB
B b x
AC段
C a x l
Fb FS ( x ) (0 x a ) l Fb M ( x) x (0 x a ) l
CB段
(1) ( 2)
Fb F ( l b) Fa FS ( x ) F ( a x l ) ( 3) l l l Fb Fa M ( x) x F ( x a) ( l x ) ( a x l ) ( 4) l l
Chap4
22
ql FS ( x ) qx 2
剪力图为一倾斜直线
q
(0 x l )
A
x
B
l
FRA
FRB
ql x=0 处 ， FS 2 x= l 处 , F ql S 2
绘出剪力图
ql/2
+
ql/2
9/13/2009
Engineering Mechanics
Chap4
x qlx qx M ( x ) FRA x qx 2 2 2
（1）剪力正负号
+
m
FS
使dx 微段有左端向上而右端向下的相对 错动时,横截面m-m上的剪力为正.或使dx微段 有顺时针转动趋势的剪力为正. 使dx微段有左端向下而右端向上的相对 错动时,横截面m-m上的剪力为负.或使dx微 段有逆时针转动趋势的剪力为负.
m
dx
9/13/2009 Engineering Mechanics
M
B
0
c
b l
FRAl F1 ( l a ) F2 ( l b) 0
FRA F1 ( l a ) F2 ( l b) l FRB
d
F1a F2b l
Chap4
9/13/2009
Engineering Mechanics
15
记 E 截面处的剪力为 FSE 和弯矩 ME ，且假设
FS= FS(x) M= M(x)
9/13/2009
Engineering Mechanics
Chap4
19
6.2.3
剪力图和弯矩图
以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵坐标表示相
应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图
FS(x)
M(x)
x FS 图的坐标系
M 图的坐标系
剪力图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧
剪力
FRAxA FRAy
x
m
F
B
m
弯曲构件内力 弯矩 1.弯矩 M 构件受弯时，横截面上其作用面垂 FS M
C
FRB
直于截面的内力偶矩.
2. 剪力 FS 构件受弯时，横截面上其作用线平行 于截面的内力.
9/13/2009 Engineering Mechanics
FRAy
M
C
F
FS
FRB
Chap4
12
29
例6-5 图示的简支梁在 C点处受矩为M的集中力偶作用.
试作此梁的的剪力图和弯矩图.
解：求梁的支反力
M M FRA FRB l l 将坐标原点取在梁的左端.
因为梁上没有横向外力，所以 全梁只有一个剪力方程
FRA
A a
M
FRB
C b l B
M FS ( x ) (0 x l ) (1) l
由(1)式画出整个梁的剪力图 是一条平行于 x 轴的直线.
9/13/2009 Engineering Mechanics
Chap4
M l
+
30
AC 段和 BC 段的弯矩方程不同 AC段
M M ( x) x (0 x a ) l
M FRA
A a x C b x l
Ma l
FRB
B
CB段
M M M ( x ) x M (l x ) l l
(simply supported beam)
外伸梁
(overhanging beam)
悬臂梁
(cantilever beam)
9/13/2009
Engineering Mechanics
Chap4
9
起重机大梁为No.25a工字钢,如图所示,梁长L=10m,单位长度
的重量为38.105kg/m,起吊重物的重量为100kN,试求起重机大梁 的计算简图.
FRA A
a
F1 C E
F2 D F
FSE 和弯矩ME 的指向和转
向均为正值.
B
c
d
b l
Fy 0 ,
FRA FS E 0
M E 0,
M E FRA c 0
FRA
A c
Engineering Mechanics
Chap4
FSE
E
解得 FSE FRA
ME
M E FRA c
Engineering Mechanics
25
例6-4 图示的简支梁在C点处受集中荷载 F 作用. 试作此梁的剪力图和弯矩图. FRA 解: （1）求梁的支反力
A
F
FRB
B b
FRA
Fb l
FRB
Fa l
C
a l
因为AC段和CB段的内力方程不同，所以必须分段列剪力 方程和弯矩方程. 将坐标原点取在梁的左端
Chap4
FS
m dx
-
m
FS
13
（2）弯矩正负号
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部
受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
-
m
m
（受压）
9/13/2009 Engineering Mechanics
2.梁 件
以弯曲变形为主的杆
3.平面弯曲 作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴 线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲.
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Chap4
5
纵向对称面
F1
F2
梁的轴线
A B
FRB
FRA
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
弯矩图为一条二次抛物线
2
23
(0 x l )
q
x 0， M 0 x l, M 0
A
x
B l
FRA
FRB
dM ( x ) ql qx 0 令 dx 2
l 得驻点 x 2
ql l 弯矩的极值 M max M x 2 8
绘出弯矩图
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+
2
ql 8
2
l/2
Chap4
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6
4.梁的力学模型的简化 （1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
集中力
（2）载荷类型
集中力偶 分布载荷
（3） 支座的类型
AA
A
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7
固定铰支座 (pin support)
Chap4
l
Fa M A 0 , FRB l F (l a ) Fy 0 , FRAy l
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F
B
FRB
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11
求内力——截面法
Fy 0 , M
C
FS FRAy
0 ,
F (l a ) l M FRAy x
F SA左 0
(0 x l )
FS
x
(0 x l )
M F
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Chap4
x
F SA右 F
21
例6-3 图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载 用.试作此梁的剪力图和弯矩图.
解： （1） 求支反力
A
q
B
x
FRA FRB
(a x l )
AC,CB 两梁段的弯矩图各是一条倾斜直线. AC段 x = 0 ,
Ma x=a, M C左 l Mb CB段 x = a, M C 右 l
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16
FRA
A c E
FSE
ME
FSE ME
E
F1
C a-c b-c l-c
F2
D
FRB
B
取右段为研究对象
Fy 0
解得
F SE FRB F 1 F 2 0
M E 0 FRB (l c ) F 1 (a c ) F 2 (b c ) M E 0
FSF FRB 0 M F FRB d 0
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解得：
FSF FRB
-
M F FRB d +
Chap4
18
6.2.2 剪力方程和弯矩方程
用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，
分别称作剪力方程和弯矩方程.
1.剪力方程 2.弯矩方程
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Chap4
26
将坐标原点取在梁的左端
FRA
A
F
FRB
B b x
AC段
C a x l
Fb FS ( x ) (0 x a ) l Fb M ( x) x (0 x a ) l
CB段
(1) ( 2)
Fb F ( l b) Fa FS ( x ) F ( a x l ) ( 3) l l l Fb Fa M ( x) x F ( x a) ( l x ) ( a x l ) ( 4) l l
Chap4
22
ql FS ( x ) qx 2
剪力图为一倾斜直线
q
(0 x l )
A
x
B
l
FRA
FRB
ql x=0 处 ， FS 2 x= l 处 , F ql S 2
绘出剪力图
ql/2
+
ql/2
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x qlx qx M ( x ) FRA x qx 2 2 2
（1）剪力正负号
+
m
FS
使dx 微段有左端向上而右端向下的相对 错动时,横截面m-m上的剪力为正.或使dx微段 有顺时针转动趋势的剪力为正. 使dx微段有左端向下而右端向上的相对 错动时,横截面m-m上的剪力为负.或使dx微 段有逆时针转动趋势的剪力为负.
m
dx
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M
B
0
c
b l
FRAl F1 ( l a ) F2 ( l b) 0
FRA F1 ( l a ) F2 ( l b) l FRB
d
F1a F2b l
Chap4
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15
记 E 截面处的剪力为 FSE 和弯矩 ME ，且假设
FS= FS(x) M= M(x)
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Chap4
19
6.2.3
剪力图和弯矩图
以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵坐标表示相
应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图
FS(x)
M(x)
x FS 图的坐标系
M 图的坐标系
剪力图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧
剪力
FRAxA FRAy
x
m
F
B
m
弯曲构件内力 弯矩 1.弯矩 M 构件受弯时，横截面上其作用面垂 FS M
C
FRB
直于截面的内力偶矩.
2. 剪力 FS 构件受弯时，横截面上其作用线平行 于截面的内力.
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FRAy
M
C
F
FS
FRB
Chap4
12
29
例6-5 图示的简支梁在 C点处受矩为M的集中力偶作用.
试作此梁的的剪力图和弯矩图.
解：求梁的支反力
M M FRA FRB l l 将坐标原点取在梁的左端.
因为梁上没有横向外力，所以 全梁只有一个剪力方程
FRA
A a
M
FRB
C b l B
M FS ( x ) (0 x l ) (1) l
由(1)式画出整个梁的剪力图 是一条平行于 x 轴的直线.
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M l
+
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AC 段和 BC 段的弯矩方程不同 AC段
M M ( x) x (0 x a ) l
M FRA
A a x C b x l
Ma l
FRB
B
CB段
M M M ( x ) x M (l x ) l l
(simply supported beam)
外伸梁
(overhanging beam)
悬臂梁
(cantilever beam)
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Chap4
9
起重机大梁为No.25a工字钢,如图所示,梁长L=10m,单位长度
的重量为38.105kg/m,起吊重物的重量为100kN,试求起重机大梁 的计算简图.
FRA A
a
F1 C E
F2 D F
FSE 和弯矩ME 的指向和转
向均为正值.
B
c
d
b l
Fy 0 ,
FRA FS E 0
M E 0,
M E FRA c 0
FRA
A c
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Chap4
FSE
E
解得 FSE FRA
ME
M E FRA c
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例6-4 图示的简支梁在C点处受集中荷载 F 作用. 试作此梁的剪力图和弯矩图. FRA 解: （1）求梁的支反力
A
F
FRB
B b
FRA
Fb l
FRB
Fa l
C
a l
因为AC段和CB段的内力方程不同，所以必须分段列剪力 方程和弯矩方程. 将坐标原点取在梁的左端
Chap4
FS
m dx
-
m
FS
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（2）弯矩正负号
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部
受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
-
m
m
（受压）
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2.梁 件
以弯曲变形为主的杆
3.平面弯曲 作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴 线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲.
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5
纵向对称面
F1
F2
梁的轴线
A B
FRB
FRA
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
弯矩图为一条二次抛物线
2
23
(0 x l )
q
x 0， M 0 x l, M 0
A
x
B l
FRA
FRB
dM ( x ) ql qx 0 令 dx 2
l 得驻点 x 2
ql l 弯矩的极值 M max M x 2 8
绘出弯矩图
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+
2
ql 8
2
l/2