第6章 工程力学
弯矩都达到最大值。
第6章 弯 曲 【例6.2】 如图6.9（a） 所示，简支梁AB上作用 一集中力偶M，试绘出梁 AB的剪力图和弯矩图。
A NA x1
M 1 C 1 (a) a x2 l 2 NB 2 B
Fs (b) 0 M/l M B x
(l－a)·M/l
(c)
A 0
C
B x
M·a/l
图 6.9
其单位为m3或mm3。对于常见的截面其抗弯截面系数分别如下。
(1) 矩形截面(如图6.14(a)所示)：
bh2 Wz 6
第6章 弯 曲 (2) 圆形截面(如图6.14(b)所示)：
Wz
d 3
32
(3) 圆环截面(如图6.14(c)所示)：
Wz
其中
D 3
32
(1 4 )
式中，C1为左段截面形心。 若取m-m截面右段为研究对象，作同样分析后，可求得与左段 截面上等值、反向的剪力Ｆs′和弯矩M′，与左段截面上的剪力Fs和 弯矩M互为作用与反作用的关系。
为了使同一截面取左、右不同的两段时求得的剪力和弯矩符 号相同，把剪力和弯矩的符号规定为：使所取该段梁产生“左上 右下”的相对错动的剪力方向为正，反之为负，如图6.6所示； 使 所取该段梁弯曲呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负，如图6.7所示。
第6章 弯 曲
M
b 受压力 z
h
M
M o
y
y
o M
h
中性轴
受拉力 (a) (b)
图 6.13
第6章 弯 曲
从上图可以看出，离中性轴最远的梁的上、下边缘处正应
力最大， 最大正应力用符号σmax表示，其值为
max
Iz Iz 上式中, Wz ymax h /
M Wz
称为截面对中性轴z的抗弯截面系数，
第6章 弯 曲 解 (1) 求AB的支座反力，由力偶系平衡可得
M N A NB l
(2) 列剪力方程和弯矩方程。 1-1截面： 剪力方程为
弯矩方程为
M Fs1 l M M 1 x1 l
(0≤x1<a)
第6章 弯 曲 2-2截面：剪力方程为
M F s 2 l
弯矩方程为
M 1 4 x1
第6章 弯 曲 ② 对CB段，取距A端为x2的截面左段，画出受力图，如图 6.8(c)所示。列平衡方程：
Fs 2 F N A 0
m
Fs 2 N A F 4 12 8kN
C2
M 2 F ( x2 2) N A x2 0 (2 x2 3)
max
Wz
[ ]
对于一般材料其抗拉强度与抗压强度相等时，［σ］采用材料 的许用拉(压)应力。 当材料的抗拉强度与抗压强度不相同，或 横截面相对中性轴不对称时， 应分别校核抗拉强度与抗压强度。 实际工程中，运用强度条件可以进行三方面计算：校核弯 曲强度、求许可载荷和设计截面尺寸。
第6章 弯 曲
第6章 弯 曲
第6章 弯 曲
6.1 弯曲的概念与实例 6.2 梁的内力与内力图 6.3 弯曲时的正应力与强度计算 *6.4 梁的变形 6.5 提高梁的承截能力的措施
*6.6 组合变形简介
思考与练习
第6章 弯 曲
6.1 弯曲的概念与实例
6.1.1 基本概念
q
F (a) (b)
图 6.1
第6章 弯 曲 以上构件的受力特点是：在通过构件轴线的平面内，受到 力偶或垂直于轴线的外力作用。其变形特点是：构件的轴线由
M=M(x)
以上两式分别称为剪力方程和弯矩方程。
为了直观地反映梁上各横截面上的剪力和弯矩的大小及变化
规律，可根据剪力方程和弯矩方程, 用横坐标x表示梁的横截面 的位置, 纵坐标分别表示剪力Fs和弯矩M的大小而画出的图形， 分别称为剪力图和弯矩图。
第6章 弯 曲 【例6.1】如图6.8 (a)所示，简支梁AB受集中截荷F=12kN， 试画出其剪力图和弯矩图。
第6章 弯 曲 解 （1）计算弯矩的最大值Ｍmax。当工人行走到跳板中央 时，弯矩最大。
700 3 M max 525 N m 2 2
校核弯曲强度:
M max 525 103 max 2.52MPa [ ] 2 500 50 Wz 6
所以, 体重为700 N的工人走过是安全的。
既不伸长又不缩短，这一层称为中性层。中性层与横截面的交
线称为中性轴。中性层将横截面分为受拉区和受压区，在受拉 区或受压区内，纵向纤维的变形与到中性轴的距离成正比，这 表明纵向纤维所受的力也与到中性轴的距离成正比。由于每根 纵向纤维可以代表横截面上的一点，因此横截面上任意一点的
正应力与该点到中性轴的距离成正比。
第6章 弯 曲
(＋) Fs Fs Fs
(－) Fs
图 6.6
第6章 弯 曲
M
(＋)
M
(－)
M
M
图 6.7
第6章 弯 曲 6.2.2 剪力图和弯矩图 工程中，梁横截面上的剪力和弯矩沿梁的轴线发生变化。 若以横坐标x表示梁的横截面位置，则梁在各横截面上的剪力Fs
和弯矩M可以写成x的函数：
Fs=Fs(x)
100 2002 Wz 6
由梁的弯曲正应力强度条件得：
M max 4000F [ ] 2 100 200 Wz 6 100 2002 F 150 25 000N 6 4000
因此, 悬臂梁的许可载荷为F=25 000N。
第6章 弯 曲 【例6.5】 某建筑工地上, 用长为l=3 m的矩形截面木板做跳 板, 木板横截面尺寸 b=500 mm, h=50 mm, 木板材料的许用应力 ［σ］=6 MPa, 试求： （1） 一体重为700N的工人走过是否安全？ （2） 要求两名体重均为700N的工人抬着1500 N的货物安 全走过，木板的宽度不变，重新设计木板厚度h。
【例6.4】 如图6.15(a)所示，一矩形截面悬臂梁长l=4m，材
料的许用应力［σ］=150MPa， 求此悬臂梁的许可载荷。
F (a) l 1 00
200
M (b) 0 Fl x
图 6.15
第6章 弯 曲 解 绘出悬臂梁的弯矩图, 如图6.15(b)所示。 图中，Mmax=Fl=4000F。 梁的横截面抗弯截面系数为
第6章 弯 曲 (2) 设工人重力和货物重力合成为一个集中力，且作用在跳 板长度的中点时最危险，此处弯矩最大值为
M max
700 2 1500 3 2175 N m 2 2
M M2 M x2 l
(a<x2≤l)
第6章 弯 曲 (3) 绘制剪力图和弯矩图。 绘制剪力图，如图6.9（b）所示；绘制弯矩图，如图6.9 （c）所示。从弯矩图上可看出，集中力偶作用处其弯矩有突 变， 突变值等于集中力偶矩。
第6章 弯 曲
【例6.3】 如图6.10(a)所示，悬臂梁AB受均布载荷作用,试绘
Fs
M Fs F B NB
m m
(c)
图 6.5
第6章 弯 曲 首先，利用静力平衡条件求出A、B的支座反力NA与NB为
l a NA F, l
a NB F l
其次，假想地用一截面将梁沿m-m截面截开，取左段进行分
析，如图6.5(b)所示。为了达到平衡，在m-m截面上必须作用一 个与NA等值、反向的力Fs 。NA与Fs 构成力偶，又有让梁顺时针
l
m
x
m (b) M Fs m Fs ql (c)
q B
0 M
l
x
(d)
0
x
1 ql2 2
图6.10
第6章 弯 曲
6.3 弯曲时的正应力与强度计算
P A B l C l P D
6.3.1 变形几何关系
Fs A 0 －P M Pl P B C D x
A 0
B
C
D
x
图 6.11
第6章 弯 曲 若将11和22所夹部分取出，如图6.12(c)所示。上部纤维缩短， 下部纤维伸长，根据变形的连续性，它们之间有一层纵向纤维
转动的趋势。为了达到转动平衡，截面上必须作用有一个力偶
M。图6.5中使梁的横截面发生错动的内力Fs称为剪力；使梁的 轴线发生弯曲的内力偶矩M称为弯矩。其大小可以由平衡条件 求出， 即:
第6章 弯 曲
F N m
C1
A
Fs 0
M NA x
la Fs N A F l la M F x l
(d)
0
M
8 k N· m
图 6.8
B x
(e)
A 0
C
第6章 弯 曲
(2) 列剪力方程与弯矩方程。
① 对AC段，取距A端为x1的截面左段，画出受力图，如图 6.8(b)所示。列平衡方程：
Fs1 N A 0
m
Fs1 N A 4kN
C1
M1 N A x 0 (0 x1 2)
如图6.4(b)所示。
(3) 外伸梁： 梁的一端或两端伸在支座之外的简支梁， 如 图6.4(c)所示。
第6章 弯 曲
A B
(a)
A (b)
B
A
B
(c)
图 6.4
第6章 弯 曲
6.2 梁的内力与内力图
6.2.1 剪力与弯矩
A (a) NA x a l A NA
M
m m
F B
NB
(b)
C1 m m
纵向对称面 q M F 对称轴
轴线
NA 弯曲后的轴线
NB
图 6.3
第6章 弯 曲 工程实践中，通常把作用在梁上的所有外力都简化在梁的 纵向对称平面内，且常把梁的轴线被弯曲成一条仍在纵向对称 平面内的光滑平面曲线的弯曲变形称为平面弯曲。
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工程力学第6章剪切变形剖析
Fpc A
c
பைடு நூலகம்
（挤压许用应力）
4.挤压许用应力：由模拟实验测定
塑性材料，比如钢材。许用挤压应力与材料拉 伸许用应力的关系：
[σc]=(1.7[σ]为拉伸许用应力2.0)[σ]
应用
挤压强度条件也可以解决强度计算的三类问题。当 联接件与被联接件的材料不同时，应对挤压强度较 低的构件进行强度计算。
1、校核强度：
，
，
P
P
P
b
P
(1)、 铆钉受力 外力的作用线通过铆钉群中心，故每一个铆钉受力相等；
设每一个铆钉受力为Q， Q P / 4 20KN
(2)、铆钉剪切计算 取单个铆钉进行受力分析；
Q Q
铆钉为单剪，剪切面为铆钉的横截面；
FS Q 4 99.5MPa
A d 2
铆钉满足剪切强度。
(3)挤压强度计算
钢板与铆钉的材料相同，故二者的挤压应力相等；
bs
F Abs
Q Abs
P 4 dt
125 MPa [ bs ]
接头满足挤压强度。
(4)钢板的拉伸强度计算
取上板为研究对象进行受力分析;
在每一个铆钉孔处承受Q=P/4力的作 用
轴力图
P/4 P/4
P/4 上 P
危险面
FN P/4 3P/4
P
+
位于有两个孔的截面处或者右端有一个铆钉孔的截面处；
剪切的强度计算 步骤： （1）根据构件的受力，确定剪切面。 （2）利用截面法求出剪切面上的剪力 FQ。
（3）采用实用计算方法，计算剪切面上的切应力 。
假设剪切面上，切应力均匀分布。
（4）建立剪切强度条件。
Q
工程力学第6章内力和内力图
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例题 6-1
K
FFE
FFA
FFC
内力和内力图
15
FAy A
FAx
K
E FE FB
a a aa
CD B
FC
取节点K，受力分析如图。由平衡方程
Fx 0, FFE FFA cos 45 0
Fy 0, FFC FFA cos 45 0
解得 FFE 2 kN，FFC 2 kN
B
C
F1
C
D
D
E
F
G
A
B
H
(a)
(b)
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内力和内力图
26
4. 小 结 (1) 节点法
(a)一般先研究整体，求支座约束力；
(b) 逐个取各节点为研究对象； (c) 求杆件内力； (d) 所选节点的未知力数目不大于2，由此开始计算。
(2) 截面法
(a)一般先研究整体，求支座约束力； (b) 根据待求内力杆件，恰当选择截面；
上，对于平面桁架，各力的作用线都在桁架的平 面内。
根据上述假设，桁架的各个杆件都是二力杆。 我们能比较合理的地选用材料，充分发挥材料的作 用，在同样跨度和荷载情况下，桁架比梁更能节省 材料，减轻自重。
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内力和内力图
10
3. 平面简单桁架的构成
节点
杆件
在平面问题中，为保证桁架几何形状不变，可 以由基本三角形ABC为基础，这时是3个节点，以后 每增加一个节点，相应增加两根不在一条直线上的 杆件，依次类推，最后将整个结构简支，这样构成 的桁架称为平面简单桁架。
2C
∑MF (F)=0
F
工程力学第六章杆件的应力
DB
D
t´
上述变形现象表明：微体ABCD既无轴向正应变，也无横 向正应变，只是相邻横截面ab与cd之间发生相对错动，即产生 剪切变形；而且，沿圆周方向所有的剪切变形相同。由于管壁 很薄，故可近似认为管的内外变形相同，则可认为仅存在的垂
直于半径方向的切应力t沿圆周大小不变。
26
剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径 与周线相切
5
B A su
A s B
平均线应变：
e u
s
线应变:
e lim u
s0 s
6
dy
dx
角应变 g
7
练习
8
一 拉压胡克定律
实验表明，在比例极限范围内，正应力与 正应变成正比，即
引入比例系数E，则
胡克定律 比例系数E称为弹性模量
9
二 剪切胡克定律
g
在纯剪状态下，单元体 相对两侧面将发生微小 的相对错动，原来互相 垂直的两个棱边的夹角 改变了一个微量g。
t dx
t t
29
• 剪应力互等定理 : 在相互垂直的两个平面上, 剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同 时指向或背离两平面的交线。
30
6-5 圆轴扭转时横截面上的应力
一、扭转切应力的一般公式
从三方面考虑：变形几何关系 物理关系 静力学关系
31
1.变形几何关系
观察到下列现象:
(1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没有 变化
一 基本假设
用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验:
纯弯曲：梁横截面上 只有弯矩而无剪力时 的弯曲。
46
• 观察到以下变形现象: • (1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长
工程力学 第六章：平面杆件体系的几何组成分析
瞬变体系
工 程 力 学
无多余约束的几何 不变体系变体系
几种常用的分析途径 1、去掉二元体，将体系化简单，然后再分析。 2、如上部体系与基础用满足要求的三个约束相联可去 掉 基础，只分析上部。 3、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，用链杆组 成的虚铰相连，而不用单铰相连。 4、由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范 围，将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。 5、由基础开始逐件组装 6、刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式的 前提下，可以改变它的大小、形状及内部组成。即用一个等效 与外部连结等效）刚片代替它。
β
A P
A
β
Δ是微量
P N N
只有几何不变体系才 能作为建筑结构使用！！
§6.2刚片、自由度和约 束的概念
• 一、刚片 • 是指平面体系中几何形状不变的平面体。 • 在几何组成分析中，由于不考虑材料的应 变，所以，每根梁、每一杆件或已知的几 何不变部分均可视为刚片。 • 支承结构的地基也可以看做是一个刚片。
a
1、单链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不论其形 状和铰的位置如何。
一根链杆可以减少 体系一个自由度，相 工 当于一个约束。！ 程 力 β 学
α
Ⅰ
1 5 3 6 4
1、2、3、4是链杆， 5、6不是链杆。
加链杆前3个自由度
加链杆后2个自由度
2、单铰： 联结 两个 刚片的铰 加单铰前体系有六个自由度 加单铰后体系有四个自由度
三刚片以三个无穷远处虚铰相连 组成瞬变体系
工 程 力 学
4、由一基本 刚片开始，逐 步增加二元体， 扩大刚片的范 围，将体系归 结为两个刚片 或三个刚片相 连，再用规 则判定。
工程力学第6章剪切变形
n 下刀刃 上刀刃 P
P FQ
n
剪切面
P
剪力
6
1、内力计算
m
F
m
FQ - 剪力
2、切应力
m
F
剪切面
FS
m
F 式中， FQ - 剪力 A-剪切面的面积 发生相对错动的截面称为剪切面。
剪切实用计算 的强度条件
FQ A
[ ]
许用切应力
剪切极限应力：
许用切应力
剪切安全系数
剪切极限应力：根据连接件实物或模拟剪切破坏试验得到。
FN 3P 1 2 125MPa [ ] A 4 (b 2d )t
钢板满足拉伸强度；故整个接头强度足够。
接头满足挤压强度。 (4)钢板的拉伸强度计算
取上板为研究对象进行受力分析;
在每一个铆钉孔处承受Q=P/4力的作 用
轴力图
P/4
P/4
P/4 上 P
+
P
FN P/4 3P/4 危险面
位于有两个孔的截面处或者右端有一个铆钉孔的截面处；
FN P 1 125MPa [ ] A (b d )t
20
连接处破坏三种形式:
(1)剪切破坏 沿铆钉的剪切面剪断，如 沿n– n面剪断 . (2)挤压破坏 铆钉与钢板在相互接触面 n 上因挤压而使溃压连接松动，
（合力） F
n
n
F （合力）
FS n
发生破坏.
(3)拉伸破坏
F
钢板在受铆钉孔削弱的截面处，应力增大，易在连接处拉断.
例3：两块钢板用四个铆钉搭接，承受P=80KN的力的
剪切的强度计算
步骤： （1）根据构件的受力，确定剪切面。
P FQ
n
剪切面
P
剪力
6
1、内力计算
m
F
m
FQ - 剪力
2、切应力
m
F
剪切面
FS
m
F 式中， FQ - 剪力 A-剪切面的面积 发生相对错动的截面称为剪切面。
剪切实用计算 的强度条件
FQ A
[ ]
许用切应力
剪切极限应力：
许用切应力
剪切安全系数
剪切极限应力：根据连接件实物或模拟剪切破坏试验得到。
FN 3P 1 2 125MPa [ ] A 4 (b 2d )t
钢板满足拉伸强度；故整个接头强度足够。
接头满足挤压强度。 (4)钢板的拉伸强度计算
取上板为研究对象进行受力分析;
在每一个铆钉孔处承受Q=P/4力的作 用
轴力图
P/4
P/4
P/4 上 P
+
P
FN P/4 3P/4 危险面
位于有两个孔的截面处或者右端有一个铆钉孔的截面处；
FN P 1 125MPa [ ] A (b d )t
20
连接处破坏三种形式:
(1)剪切破坏 沿铆钉的剪切面剪断，如 沿n– n面剪断 . (2)挤压破坏 铆钉与钢板在相互接触面 n 上因挤压而使溃压连接松动，
（合力） F
n
n
F （合力）
FS n
发生破坏.
(3)拉伸破坏
F
钢板在受铆钉孔削弱的截面处，应力增大，易在连接处拉断.
例3：两块钢板用四个铆钉搭接，承受P=80KN的力的
剪切的强度计算
步骤： （1）根据构件的受力，确定剪切面。
工程力学课件 第6章 轴向拉伸与压缩
σ称为正应力，τ称为剪应力。在国际单位制中，应力的单位 是帕斯卡(Pascal)，用Pa（帕）表示，1Pa＝1 N/m2。由于帕斯卡这 一单位很小，工程常用kPa（千帕）、MPa（兆帕）、GPa（吉帕）来 表明。1 KPa＝103Pa，1 MPa＝106Pa，1 GPa＝109 Pa。
工程力学
12
二、拉压杆横截面上的正应力
在应力超过比例极限以后，图形出现了一段近似水平的小锯齿
形线段bc，说明此阶段的应力虽有波动，但几乎没有增加，却发生
了较大的变形。这种应力变化不大、应变显著增加的现象称为材料
的屈服。屈服阶段除第一次下降的最小应力外的最低应力称为屈服
极限，以σs表示。
4.强度极限
经过了屈服极限阶段，图形变为上升的曲线，说明材料恢复了
工程力学
4
1.1.1 电路的组成
列出左段杆的平衡方程得 Nhomakorabea工程力学
5
若以右段杆为研究对象，如图(c)所示，同样可得
1.1.1 电路的组成
实际上，FN与F′N是一对作用力与反作用力。因此，对同一截面， 如果选取不同的研究对象，所求得的内力必然数值相等、方向相反。
这种假想地用一个截面把杆件截为两部分，取其中一部分作为 研究对象，建立平衡方程，以确定截面上内力的方法，称为截面法。 截面法求解杆件内力的步骤可以归纳如下：
1.1.1 电路的组成
(1)计算AB段杆的轴力。沿截面1－1将杆件截开，取左段杆为研 究对象，以轴力FN1代替右段杆件对左段的作用，如图(b)所示
列平衡方程
得
工程力学
7
若以右段杆为研究对象，如图(c)所示
1.1.1 电路的组成
同样可得
(2)计算BC段杆的轴力，沿截面2－2将杆件截开，取左段杆为研 究对象，如图(d)所示
工程力学
12
二、拉压杆横截面上的正应力
在应力超过比例极限以后，图形出现了一段近似水平的小锯齿
形线段bc，说明此阶段的应力虽有波动，但几乎没有增加，却发生
了较大的变形。这种应力变化不大、应变显著增加的现象称为材料
的屈服。屈服阶段除第一次下降的最小应力外的最低应力称为屈服
极限，以σs表示。
4.强度极限
经过了屈服极限阶段，图形变为上升的曲线，说明材料恢复了
工程力学
4
1.1.1 电路的组成
列出左段杆的平衡方程得 Nhomakorabea工程力学
5
若以右段杆为研究对象，如图(c)所示，同样可得
1.1.1 电路的组成
实际上，FN与F′N是一对作用力与反作用力。因此，对同一截面， 如果选取不同的研究对象，所求得的内力必然数值相等、方向相反。
这种假想地用一个截面把杆件截为两部分，取其中一部分作为 研究对象，建立平衡方程，以确定截面上内力的方法，称为截面法。 截面法求解杆件内力的步骤可以归纳如下：
1.1.1 电路的组成
(1)计算AB段杆的轴力。沿截面1－1将杆件截开，取左段杆为研 究对象，以轴力FN1代替右段杆件对左段的作用，如图(b)所示
列平衡方程
得
工程力学
7
若以右段杆为研究对象，如图(c)所示
1.1.1 电路的组成
同样可得
(2)计算BC段杆的轴力，沿截面2－2将杆件截开，取左段杆为研 究对象，如图(d)所示
工程力学 第6章 弹性静力学基本概念
第6章 弹性静力学的基本概念 刚体静力学研究力系的等效、简化与力系的平衡，并且应用这些基本概念和理论，分析、确定物体的受力。
刚体静力学的模型是质点和质点系以及刚体和刚体系。
弹性静力学则主要研究变形体受力后发生的变形，以及由于变形而产生的附加内力。
分析方法上，弹性静力学与理论力学刚体静力学也不完全相同。
建立在实验基础上的假定、简化计算，是弹性静力学分析方法的主要特点。
本章介绍弹性静力学的基本概念、研究方法以及弹性静力学对于工程设计的重要意义。
§6-1 弹性静力学概述 §6-2 弹性体及其理想化 ６－２－１ 各向同性与各向异性弹性体 ６－２－２ 各向同性弹性体的均匀连续性 §6-3 弹性体受力与变形特征 §6-4 应力及其与内力分量之间的关系 ６－４－１ 分布内力集度－应力 ６－４－２ 应力与内力分量之间的关系 §6-5 正应变与切应变 §6-6 线弹性材料的物性关系 §6-7工程结构与构件 §6-8 杆件变形的基本形式 §6-9 结论与讨论 ６－９－１ 关于刚体静力学模型与弹性静力学模型 ６－９－２ 关于弹性体受力与变形特点 ６－９－３ 关于刚体静力学概念与原理在弹性静力学中的 可用性与限制性 习 题 本章正文 返回总目录第6章 弹性静力学的基本概念 §６—１ 弹性静力学概述 弹性静力学(elastic statics)又称材料力学(strength of materials)，其研究内容分属于两个学科。
第一个学科是固体力学(solid mechanics)，即研究物体在外力作用下的应力、变形和能量，统称为应力分析(stress analysis)。
但是，弹性静力学所研究的仅限于杆、轴、梁等物体，其几何特征是纵向尺寸远大于横向尺寸，这类物体统称为杆或杆件（bars或rods）。
大多数工程结构的构件或机器的零部件都可以简化为杆件。
第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
B
D C
FP
图所示连接螺栓，内径d1＝15.3mm，被连接部分的总长度l＝ 54mm ， 拧 紧 时 螺 栓 AB 段 的 Δl=0.04mm ， 钢 的 弹 性 模 量 E=200GPa，泊松比μ=0.3。试求螺栓横截面上的正应力及螺栓 的横向变形。
工程力学 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
式中负号表示：纵向伸长时横向缩短；纵向缩短时则横向伸长。
【例题6-1】如图所示之变截面直杆，已知：ADEB段杆的横截面 面积 AAB=10·102mm2，BC段杆的横截面面积ABC=5*102mm2； FP=60KN；铜的弹性模量EC=100MPa，钢的弹性量 EC=210MPa ； 各段长度如图，单位为mm。试求：
FP
FP
l l1 杆件的伸长量： l l1 l
工程力学 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
实验表明：对于由结构钢等材料制成的拉杆，当横截面上 的σ≤σp时，不仅变形是弹性的，且存在
l Pl A
引入比例常数E，得到
l Pl FNl EA EA
胡克定律
E：弹性模量，材料拉伸或压缩时抵抗弹性变形的能力，实验测定
其值为Fmax。取AC为研究对象，在不计杆件自重及连接处的摩擦时
，受力分析如图 所示。
根据平衡方程
ΣMC=0， Fmax sin AC W AC 0
解得
Fmax
W
s in
由三角形ABC求出
sin BC 0.8 0.388
AB 0.82 1.92
故有
Fmax
Байду номын сангаас
W
sin
15 0.388
38.7 kN
的最大载荷？ B
D C
FP
图所示连接螺栓，内径d1＝15.3mm，被连接部分的总长度l＝ 54mm ， 拧 紧 时 螺 栓 AB 段 的 Δl=0.04mm ， 钢 的 弹 性 模 量 E=200GPa，泊松比μ=0.3。试求螺栓横截面上的正应力及螺栓 的横向变形。
工程力学 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
式中负号表示：纵向伸长时横向缩短；纵向缩短时则横向伸长。
【例题6-1】如图所示之变截面直杆，已知：ADEB段杆的横截面 面积 AAB=10·102mm2，BC段杆的横截面面积ABC=5*102mm2； FP=60KN；铜的弹性模量EC=100MPa，钢的弹性量 EC=210MPa ； 各段长度如图，单位为mm。试求：
FP
FP
l l1 杆件的伸长量： l l1 l
工程力学 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
实验表明：对于由结构钢等材料制成的拉杆，当横截面上 的σ≤σp时，不仅变形是弹性的，且存在
l Pl A
引入比例常数E，得到
l Pl FNl EA EA
胡克定律
E：弹性模量，材料拉伸或压缩时抵抗弹性变形的能力，实验测定
其值为Fmax。取AC为研究对象，在不计杆件自重及连接处的摩擦时
，受力分析如图 所示。
根据平衡方程
ΣMC=0， Fmax sin AC W AC 0
解得
Fmax
W
s in
由三角形ABC求出
sin BC 0.8 0.388
AB 0.82 1.92
故有
Fmax
Байду номын сангаас
W
sin
15 0.388
38.7 kN
的最大载荷？ B
工程力学第6章 扭转
T 2 A0
6.2.2 切应力互等定理
从薄壁圆筒中包括横截 面取出一个单元体
将（d）图投影到铅垂坐标平面，得到一个平面单元
根据力偶平衡理论
y
(dydz )dx ( dxdz)dy
dy
dz
在相互垂直的两个平面 上，切应力必成对出现， 两切应力的数值相等， 方向均垂直于该平面的 x 交线，且同时指向或背 离其交线。
对于各向同性材料，在弹性变形范围内，切变 模量G 、弹性模量E 和泊松比之间有下列关系：
G
E （1 ） 2
6-3 实心圆轴扭转时的应力和强度条件
6.3.1 、 扭转剪应力在横截面上的分布规律
Ⅰ. 横截面上的应力 表面 变形 情况 推断 横截面 的变形 情况 横截面 上应变 应力-应变关系
两互相垂直截面上在其相交处的剪应力 成对存在，且数值相等、符号相反，这称为 剪应力互等定理。
例题 3
试根据切应力互等定理，判断图中所示的各 单元体上的切应力是否正确。
10 kN
30 kN 50 kN
10 kN
20 kN
50 kN 30 kN
20 kN
30 kN
6.2.3 剪切胡克定律(Hooke’s law in shear) Me Me
n
主轴
主动轮 叶片
本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的 情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要
研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工
作的情况。
6-1 概述
1. 扭转的概念 4种基本变形（轴向拉压、剪切、扭转、弯曲）之一 特点： 圆截面轴（实心、空心）
考研复习—工程力学——第6章 扭转
Wt
IP d2
d3
16
0.2d 3
第6章
6.3 扭转时横截面上的应力
6.3.3 极惯性矩Ip与抗扭截面模量Wt
2.圆环形截面
与圆形截面方法相同，如图所示，有
IP 2dA
A
D 2 2 3d
d2
32
D4 d 4
0.1 D4 d 4
第6章
6.3 扭转时横截面上的应力
6.3.3 极惯性矩Ip与抗扭截面模量Wt
第6章
6.2 扭转时横截面上的内力——扭矩
6.2.3 扭矩图
例6-1 传动轴受力如图6-7(a)所示。转速n=300 r/min，主动轮A输
入功率PA=50 kW，从动轮B、C、D的输出功率分别为PB=PC=15 kW，
PD=20 kW。试作出轴的扭矩图，并确定轴的最大扭矩值。
图6-7
第6章
6.2 扭转时横截面上的内力——扭矩
图6-8
第6章
6.3 扭转时横截面上的应力
6.3.1 横截面上的剪应力计算公式
由平面假设可推出如下推论： （1）横截面上无正应力。因为扭转变形时，横截面大小、形状、纵向间距均未 发生变化，说明没有发生线应变。由胡克定律可知，没有线应变，也就没有正应 力。
（2）横截面上有剪应力。因为扭转变形时，相邻横截面间发生相对转动。但 对截面上的点而言，只要不是轴心点，那两截面上的相邻两点，实际发生的是相
第6章
6.4 圆轴扭转强度条件及应用
6.4.3 应用实例
（2）校核轴的强度。由扭矩图可知，最大扭矩在AB段，由于是等截面轴，故
AB段最危险。
max
T
Wt
267 103 0.2 303