数量关系之三集合容斥问题解题技巧
公务员笔试之行测：巧解三集合容斥原理问题
2014年公务员行测：巧解三集合容斥原理问题华图教育三集合容斥原理此类题型主要出现在近年来各省的省考中，主要是有三个独立的个体，此类题型主要的做题方法是公式法和作图法。
近年来直接套用三集合公式的题目有所减少，开始出现条件变形的题目，不管容斥原理的题目怎么变化，但我们只要掌握住核心思想——剔除重复，那么做任何一个容斥原理题目都能够得心应手。
根据上图，可得三集合容斥原理核心公式：=A +B +C -A B -B C -A C +A B C =-x A B C 总数一、直接利用公式型【例1】（2012年4月联考）某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为：A. 7人B. 8人C. 5人D. 6人【答案】A 【解析】设同时报乙、丙职位的人数为x ，则根据三集合容斥原理公式有：22+16+25-8-6-x+0=42-0，解得x=7。
因此，本题答案为A 选项。
二、三集合容斥原理作图型若在题目中任何一个位置看到“只满足”或“仅满足”，则公式法不能够再用，采用作图法来解题，注意，在作图的时候不管三七二十一，先画三个两两相交的圈，再往里填数字即可，填的时候注意从中间往外一层一层填。
【例2】（2007年江苏）一次运动会上，17名游泳运动员中，有8名参加了仰泳，有10 Cx B A名参加蛙泳，有12名参加了自由泳，有4名既参加仰泳又参加蛙泳，有6名既参加蛙泳又参加自由泳，有5名既参加仰泳又参加自由泳，有2名这3个项目都参加，这17名游泳运动员中，只参加1个项目的人有多少？（）A.5名B.6名C.7名D.4名【答案】B【解析】本题问题中出现了“只”，故只能采用作图法。
于是有仰12 2 2 34 3蛙自由只参加1个项目的人数为1+2+3=6。
因此，本题答案为B选项。
三集合容斥原理问题
行测数学运算技巧：三集合容斥原理问题的解决方法容斥原理类型是目前国家、各地区公务员考试数学运算的“常客”题型，对于大部分应试者来说，还是比较头痛的一种类型。
这里我们介绍一下三集合容斥原理问题的解决方法。
1、三个集合的容斥关系公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C2、三个集合的容斥关系(三元)例题：假设有100人参加了三个兴趣小组。
其中参加数学兴趣小组的有55人，参加语文兴趣小组的有65人，参加英语兴趣小组的有70人，同时参加语文和数学兴趣小组的人数是31人，同时参加数学和英语兴趣小组的人数是40人，同时参加语文和英语兴趣小组的有25人，则三个兴趣小组都参加的人数是多少人?(1) A+B+T=至少参与一项的总人数(无重叠)(2) A+2B+3T=至少参与一项的总人数(含重叠部分)(3) B+3T=至少参与两项的总人数(含重叠)(4) T三项都参与的人数。
这里介绍一下A、B、T分别是什么A=x+y+z;表示只参加一个兴趣小组的人数，在图中反应的区域就是每个圆圈互不重叠的部分。
B=a+b+c;表示仅参加了两个兴趣兴趣小组的人数，是图中两两相交的部分总和(不含中间的T区域)T=全部都参加的人数。
也就是图形当中最中间的部分T。
例题通过公式有如下解法：(1) A+B+T=100;(2) A+2B+3T=55+65+70=190(3) B+3T=31+40+25=96实际上我们要求的是T， (1)+(3)-(2)=T。
即得到答案T=100+96-190=63、三元容斥公式应用实例三元容斥涉及的对象比较多。
我们通常建议考生根据不同提问情况区别对待。
本小节先对一般情况的题目做一些分析。
例：如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三个不同形状的纸片，覆盖住桌面的总面积是290，其中X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分的面积依次是24、70、36，那么阴影部分的面积是：【09国考】A.15B.16C.14D.18【解析】参考答案为B。
数量关系之三集合容斥问题解题技巧
数量关系之三集合容斥问题解题技巧：公式法2011-08-30 09:29 作者：罗姮来源：华图教育分享到： 1在国家公务员行测考试中，数量关系模块中的容斥问题必不可少，也是学员觉得最难突破的一大问题。
究其原因，一则是容斥问题很复杂，特别是三集合容斥问题涉及的已知量特别多，读完题容易被绕进去；二则是没有好的方法切入，做出来非常消耗时间。
其实，掌握好公式法对于解决三集合容斥问题很有帮助。
本篇就对三集合容斥问题的解题技巧之公式法进行阐释。
一、三集合标准型公式集合A、B、C，满足标准型公式：三集合标准型公式适用于题目中各类条件都明确给出的情况。
另外，可使用尾数法，判断个位数的相加减快速确定正确答案。
例1、某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门选修课。
有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人？（）（2009年浙江公务员考试行测试卷第55题）A、1人B、2人C、3人D、4人答案：B 各类条件明确给出，直接使用公式法。
三者都不满足的个数=总数-=50-（40+36+30-28-26-24+20），可使用尾数法，尾数为2，选B。
例2、如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。
它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。
且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。
问图中阴影部分的面积为多少（）？（2009年国家公务员考试行测第116题）A、14B、15C、16D、17答案：C 直接使用三集合标准型公式，=290-(64+180+160-24-70-36)，根据尾数法得，尾数为6，选C。
二、三集合整体重复型公式三集合容斥问题中，有些条件未知时，就不能直接使用标准型公式，而是运用整体重复型公式同样可以解答。
公务员考试数量关系之三集合容斥问题
公务员考试数量关系之三集合容斥问题在最近几年的公务员考试中，考察了相关的三集合容斥问题，对于这样的一个问题，华图教研中心提醒你，在复习三集合容斥问题时一定不能停留在表面，一定要从实质上理解它，因为现在在考察容斥问题时，考的比较细致。
但是题目难度并不是很大，只要能够掌握它的实质，熟练运用我们的解题方法，那么这种问题肯定能够轻松应对。
一浅识三集合容斥问题对于三集合容斥问题，一定要弄清楚它题目的关键词语及问法。
A+B+C-AB-AC-BC-ABC=总数-三个条件都不满足的情形A+B+C-满足两个条件-2满足三个条件=总数-三个条件都不满足的情形二真题回放1.某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为：A. 7人B. 8人C. 5人D. 6人【华图解析】根据题意，“按规定每人至多可投考两个职位”则表明这次招聘中不存在有人报考三个职位的情形，共有42人报名，也表明不存在一个人是三个职位都不报考的情形。
故可以直接代入三集合的标准形公式即可。
22+16+25-8-6-x=42 x=7，故选择A选项。
2.某通讯公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个客户使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用无线网络上网。
如果使用不只一种上网方式的有352个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个?（）A. 148B. 248C. 350D. 500【华图解析】设三种上网方式都使用的客户有x个，则使用两种上网方式的就有352-x,根据三集合容斥问题的公式，可以得到 1258+1852+932-（352-x）—2x=3542 解得x=148 故答案选择A3. 某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。
集合整体重复型公式巧解容斥原理问题
行测数学运算技巧：三集合整体重复型公式巧解容斥原理问题一、介绍三集合整体重复型核心公式在三集合题型中，假设满足三个条件的元素数量分别是A、B和C，而至少满足三个条件之一的元素的总量为W。
其中，满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为z，可以得到以下两个等式：W=x+y+zA+B+C=x×1+y×2+z×3二、典型的三集合整体重复型的题目讲解例1、某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动。
现已知参加英语小组的有17人，参加语文小组的有30人，参加数学小组的有13人。
如果有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加了一个小组?(2004年浙江公务员考试行测第20题)A. 15人B.16人C.17人D.18人【答案】A 解析：此题有两种解法可以解出：解一：分别设只参加英语和语文、英语和数学、语文和数学小组的人为x、y、z，则只参加英语小组的人为17-5-x-y，只参加语文小组的人有30-5-x-z，只参加数学小组的人有13-5-y-z，则只参加三个小组中的一个小组的人和只参加其中两个小组的人和三个小组都参加的人的总和为总人数，即17-5-x-y+30-5-x-z+13-5-y-z+x+y+z+5=35。
则求x+y+z=15，所以只参加一个小组的人数的和为15。
解二：套用三集合整体重复型公式：W=x+y+zA+B+C=x×1+y×2+z×335=x+y+517+30+13=x×1+y×2+5×3解得：x= 15，y=15例2、某调查公司就甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影全看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是( )(2009年江苏公务员考试行测A类试卷第19题)A. 69B.65C.57D.46【答案】D 解析：本题也是一道典型的三集合整体重复型题目，直接套用三集合整体重复型公式：W=x+y+zA+B+C=x×1+y×2+z×3这里需要注意的是W=105，而非125，105=x+y+2489+47+63=x×1+y×2+24×3两个方程，两个未知数，解出y=46，这里y表示只看过两部电影的人数，即所求。
三集合容斥非标准公式原理
三集合容斥非标准公式原理容斥原理一直都是各省行测考试的重点，尤其是三集合容斥原理，屡出不穷。
这次，小编带领大家一起来好好的看看目前的有关三集合容斥原理的题型概况和通用思路。
三集合容斥原理按题型可以分为两种题型，一种为标准型公式，另一种为变异型公式，接下来，我们就着重看看三集合容斥原理的解题方法1.解题步骤涉及三个事件的集合，解题步骤分三步：①画文氏图;②弄清图形中每一部分所代表的含义，填充各部分的数字;③代入公式(A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C)进行求解。
2.解题技巧三集合类型题的解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。
公式：总数=各集合数之和-两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数【例1】（陕西2015）针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢黄山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有（）人。
A.20B.18C.17D.15【解析】可以用上述公式，我们将数据逐个代入可得：28＋30＋42－8－10－5＋3＝100－x，其中x为我们要求的量，求得x＝20，答案选择A。
【例2】（国家2015）某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90%。
调查对象中有179人使用搜索引擎获取信息，146人从官方网站获取信息，246人从社交网络获取信息，同时使用这三种方式的有115人，使用其中两种的有24人，另有52人这三种方式都不使用，问这次调查共发出了多少份问卷？（）A.310B.360C.390D.410【解析】由于题目中出现了“使用其中两种的有24人”，故我们要使用的就是三集合的变异型公式，如下列式：179＋146＋246－1×24－2×115＝x－52，此时，我们分析一下可以看出，我们所求的x为收回的问卷数量，而题目所求为发出的问卷，明显所求非所问，但是题目中有个条件为“问卷回收率为90%”，故我们将所求的x÷90%即所求的答案，通过列式可得x=369，故发出的问卷为369÷90%=410，故选D。
三集合容斥两个公式的用法
三集合容斥两个公式的用法容斥原理是一种集合论中常用的计数技巧，它通过巧妙地组合集合的交集和并集来解决计数问题。
在这篇文章中，我们将介绍三集合容斥原理的基本概念和用法，并通过两个具体的例子来说明容斥原理的运用。
一、三集合容斥原理的基本概念在集合论中，我们经常会遇到要计算若干个集合的并集和交集中元素个数的问题。
三集合容斥原理就是针对三个集合进行计数的一种技巧。
假设有三个集合A、B和C，我们希望计算它们的并集和交集中元素的个数。
根据容斥原理，可以得到如下公式：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C||X| 表示集合X中元素的个数，A ∪ B 表示集合A和B的并集，A ∩ B表示集合A和B的交集。
二、三集合容斥原理的两个具体例子接下来，我们通过两个具体的例子来说明三集合容斥原理的用法。
1. 例子一：三个班级学生参加数学竞赛，其中A班有40名学生，B班有35名学生，C 班有30名学生。
如果A班有12名学生参加了英语竞赛，B班有10名学生参加了英语竞赛，C班有8名学生参加了英语竞赛，而且有3名学生同时参加了数学竞赛和英语竞赛。
那么参加了数学竞赛或者英语竞赛的学生总数是多少？根据容斥原理，我们可以利用上面的公式来计算参加了数学竞赛或者英语竞赛的学生总数：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|= 40 + 35 + 30 - 12 - 10 - 8 + 3= 78参加了数学竞赛或者英语竞赛的学生总数是78人。
2. 例子二：某餐馆供应三种果汁，分别是橙汁、苹果汁和西瓜汁。
一天内统计发现，有30人点了橙汁，25人点了苹果汁，20人点了西瓜汁，同时有7人点了橙汁和苹果汁，6人点了橙汁和西瓜汁，5人点了苹果汁和西瓜汁，而且有2人同时点了三种果汁。
三集合容斥原理的新题型和解题技巧
三集合容斥原理的新题型和解题技巧之吉白夕凡创作纵观历年真题，我们可以发现，对于容斥原理类的题目，近年来在国家公务员行测中每年必考，已成为国考题目中的“常青树”。
随着考试难度的提升，两集合的容斥原理已慢慢淡出人们的视线，三集合容斥原理类题目的发展却如日中天而且出题形式趋于稳定。
但2010和2011这两年的国考里又出现了一种新的三集合题目，这种题目的难度在容斥问题里面算是比较大的，也是最新的一种题型，这里我们重点来探讨一番。
以2010年的题目为例我们具体说明一下。
（国家2010一类—74）某高校对一些学生进行问卷，在接收调查的学生中，准备介入注册会计师考试的有63人，准备介入英语六级考试的有89人，准备介入计算机考试的有47人，三种考试都准备介入的有24人，准备选择两种考试介入的有46人，不介入其中任何一种考试的有15人，问接受调查的学生共有多少人？（）依照我们之前的解题思路，这个题目明显可以确定为三集合容斥问题，先把三集合容斥原理的公式摆上：根据题目所给的条件令注会为A，六级为B，计算机为C，设学生总数为x,代入上面公式为：x-15= 63+89+47- A∩B - B∩C - C∩A+24,有的考生认为A∩B + B∩C+ C∩A就是题目所给的介入两种考试的46人，这种想法是错误的，像这种情况下公式不管用了，我们就画一下图来看看，如右图所A∩B=a+24,B∩C=c+24,C∩A=b+24, A∩B + B∩C+C∩A=a+b+c+72,这里a+b+c才是介入两种考试的人，也就是46，代入公式得x=120.为什么很多考生在做这种题目的时候犯错误，主要是因为没有清楚地认识到集合中重叠部分所代表的含义，那么这里咱们再看另外一种思考方式，如下图所示。
图中三个圆圈代表三个集合A、B、C，方框代表全集P，Q代表既不属于A集合也不属于B集合还不属于C集合的那部分集合，数字代表各个部分，这里我们将所有标着数字1的部分之和设为X，可以看出来X代表三个集合中没有交集的部分之和，将所有标着数字2的部分之和设为Y，可以看出来Y代表三个集合中两两相交的部分之和，将标着数字3的部分设为Z，可以看出来Z代表三个集合中三三相交的部分，由图我们可以得出以下两个公式：这里一定要明白第二个公式里乘以1乘以2乘以3代表的含义，X×1代表的是X这部分覆盖了一层，Y×2代表Y这部分覆盖了两层，同理Z×3代表Z这部分覆盖了三层。
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2012年备考数量关系之三集合容斥问题解题技巧：公式法2011年08月29日 21:10:58 来源：新华教育【字号大小】【收藏】【打印】【关闭】
在国家公务员行测考试中，数量关系模块中的容斥问题必不可少，也是学员觉得最难突破的一大问题。
究其原因，一则是容斥问题很复杂，特别是三集合容斥问题涉及的已知量特别多，读完题容易被绕进去；二则是没有好的方法切入，做出来非常消耗时间。
其实，掌握好公式法对于解决三集合容斥问题很有帮助。
本篇就对三集合容斥问题的解题技巧之公式法进行阐释。
一、三集合标准型公式
集合A、B、C，满足标准型公式：
=
=总数-三者都不满足的个数
三集合标准型公式适用于题目中各类条件都明确给出的情况。
另外，可使用尾数法，判断个位数的相加减快速确定正确答案。
【例题1】（浙江-行测-2009-55）某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门选修课。
有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人？（）
A.1人
B.2人
C.3人
D.4人
【答案】B。
各类条件明确给出，直接使用公式法。
三者都不满足的个数=总数-=50-（40+36+30-28-26-24+20），可使用尾数法，尾数为2，选B。
【例题2】（国家-行测-2009-116）如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。
它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。
且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。
问图中阴影部分的面积为多少（）？
A.14
B.15
C.16
D.17
【答案】C 。
直接使用三集合标准型公式，
=
-(
)=290-(64+180+160-24-70-36)，根据尾数法得，尾数为6，选C 。
二、三集合整体重复型公式
三集合容斥问题中，有些条件未知时，就不能直接使用标准型公式，而是运用整体重复型公式同样可以解答。
特别当题目中说明分别满足一种、两种、三种条件的个数时，使用整体重复型公式。
并且，三集合整体重复型公式是现在国家公务员考试考查三集合容斥问题的重点。
另外，仍可利用尾数法可以快速求解。
三集合A 、B 、C ，用W 代表，满足一个条件的数量为x （仅单色区域），满足两个条件的数量为y （双色区域），满足三个条件的数量为z （三色区域），则有：
W=x+y+z
A+B+C=x+2y+3z
【例题3】（国家-行测-2010-50）某高校对一些学生进行问卷调查。
在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试参加的有46人，不参加其中任何一种考试的有15人。
问接受调查的学生共有多少人？（）
A. 120
B.144
C. 177
D.192
【答案】A。
根据题意，分别已知两种条件、三种条件都满足的个数，使用三集合整体重复型公式：
W=x+46+24
63+89+47=x+2*46+3*24 根据尾数法，解得x尾数是5，W尾数是5。
因此，学生总数=W+15，尾数为0，选A。
【例题4】（国家-行测-2011-74）某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。
则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种？（）
A. 37
B.36
C. 35
D. 34
【答案】D。
根据题意，分别已知满足一种条件、两种条件的个数，使用三集合整体重复型公式：
W=x+7+1
8+9+10=x+2*7+3*1 根据尾数法，解得x尾数为0，W尾数为8。
因此，全合格的产品数=总数-W=52-W，尾数为4，选D。
三集合标准型公式和整体重复型公式的适用情况是不同的：标准型公式适用于各项条件都明确给出的情况，而整体重复型公式适用于分别给出满足一种、两种、三种条件的个数，因为这三者之间没有任何包含关系。
区分好两种情形，特别是整体重复型公式，三集合容斥问题就迎刃而解了。