数量关系解题方法之比例法细讲
高中数学方法总结数与数量关系的比例与比例方程解法
高中数学方法总结数与数量关系的比例与比例方程解法数与数量关系的比例与比例方程解法在高中数学中，我们经常会遇到关于数与数量关系的问题，其中比例与比例方程是常见且重要的内容。
本文旨在总结比例与比例方程的解法，并探讨其应用。
一、比例的定义与性质1. 定义：比例是指两个有相同单位的量之间的相等关系。
数学上用等于号“=”来表示比例关系，表示为a:b或a/b。
2. 性质：a. 比例的前、后项可互换位置，仍然成立。
b. 比例的前项的分子与后项的分子的乘积等于前项的分母与后项的分母的乘积，即a/b=c/d，则ad=bc。
二、比例的运算对于已知的比例关系，我们常需要进行比例的运算，包括比例的等比、乘除、平方、倒数运算。
1. 等比运算：若已知a:b=c:d，可以等比地进行加减运算，即(a±c):(b±d)仍成立。
2. 乘除运算：若已知a:b=c:d，可以对比例的前项和后项进行乘除运算，即ka:kb=kc:kd。
3. 平方运算：若已知a:b=c:d，可以对比例的前项和后项进行平方运算，即a²:b²=c²:d²。
4. 倒数运算：若已知a:b=c:d，可以对比例的前项和后项进行倒数运算，即1/a:1/b=1/c:1/d。
三、比例方程的解法当我们遇到一些未知量的比例关系时，通常会构建比例方程，并利用已知条件解方程求解。
1. 将未知量表示为x：假设有一个比例关系a:b=c:d，其中a和b已知，c和d是未知量。
我们可以假设c为x，那么d也可以用x表示。
2. 构建比例方程：根据已知条件构建比例方程，如a:b=c:d可构建为a/b=c/d。
3. 解比例方程：将比例方程中的已知量带入，得到等式，如ax/b=cx/d。
通过交叉相乘得到ad=bc。
4. 求解未知量：根据ad=bc，将已知量和未知量代入，即可求解未知量x的值。
四、应用举例1. 商品折扣问题：假设商品原价为A元，打折后价格为B元，已知折扣后价格是原价的75%。
小学数学解题方法解题技巧之比例法
小学数学解题方法解题技巧之比例法文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-小学数学解题方法解题技巧之比例法比和比例是传统算术的重要内容，在较早的年代，许多实际问题都是应用比和比例的知识来解答的。
近年来，小学数学教材中比和比例的内容虽然简化了，但它仍是小学数学教学的重要内容之一，是升入中学继续学习的必要基础。
用比例法解应用题，实际上就是用解比例的方法解应用题。
有许多应用题，用比例法解简单、方便，容易理解。
用比例法解答应用题的关键是：正确判断题中两种相关联的量是成正比例还是成反比例，然后列成比例式或方程来解答。
（一）正比例两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
如果用字母x、y表示两种相关联的量，用k表示比值（一定），正比例的数量关系可以用下面的式子表示：例1 一个化肥厂4天生产氮肥32吨。
照这样计算，这个化肥厂4月份生产氮肥多少吨？（适于六年级程度）解：因为日产氮肥的吨数一定，所以生产氮肥的吨数与天数成正比例。
设四月份30天生产氮肥x吨，则：答略。
例2 某工厂要加工1320个零件，前8天加工了320个。
照这样计算，其余的零件还要加工几天？（适于六年级程度）解：因为每一天加工的数量一定，所以加工的数量与天数成正比例。
还需要加工的数量是：1320-320=1000（个）设还需要加工x天，则：例3 一列火车从上海开往天津，行了全程的60％，距离天津还有538千米。
这列火车已行了多少千米？（适于六年级程度）解：火车已行的路程∶剩下的路程=60％∶（1-60％）=3∶2。
设火车已行的路程为x千米。
答略。
米。
这时这段公路余下的长度与已修好长度的比是2∶3。
这段公路长多少米？（适于六年级程度）解：余下的长度与已修好长度的比是2∶3，就是说，余下的长度是已这段公路的长度是：答略。
行测数量关系技巧：比例法解工程问题
行测数量关系技巧：比例法解工程问题行测数量关系技巧：比例法解工程问题公务员考试中，工程问题是近年来的热门考题，考察频率也比拟高。
广阔考生在解工程问题的时候，几乎都能想到方程法和特值法，但是对于比例法，很多考生并不容易想到。
在这里教大家利用比例法解决工程问题。
一、工程问题中的正反比例当工作总量W一定时，效率P和时间t成反比例;当效率P一定时，时间t与工作总量W成正比例;当时间t一定时，效率P与工作总量W成正比例。
工程问题当中的正反比例法是指：当工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比，工作效率比可得到工作时间之比，再根据实际提早的天数或推延的天数采用比例法进展求解。
或者，工作时间之比可得到工作效率之比，在根据前后效率只差采用比例法进展求解。
例1：对某批零件进展加工，原方案要18小时完成，改良工作效率后只需12小时就能完成，后来每小时比原方案每小时多加工8个零件，问这批零件共有多少个?【解析】288。
先后时间之比=18：12=3：2，可得先后效率之比=2：3，那么由题意可得1份=8个零件，2份就是16零件，所以零件总数=16×18=288(个)。
例2：某工程由小张、小王两人合作刚好可在规定的时间内完成。
假如小张的工作效率进步20%，那么两人只需用规定时间的就可完成工程;假如小王的工作效率降低25%，那么两人就需延迟2.5小时完成工程。
问规定的时间是多少?A.20 hB.24 hC.26 hD.30 h【解析】答案：A。
“小张的工作效率进步20%”，可设特值为由5进步到6，“两人只需用规定时间的”，根据工作总量不变，效率与时间成反比，得出两人的效率之和由9进步到10，那么小王的效率为4。
“小王的工作效率降低25%”，就是由4降低到3，那么两人的效率之和由9降低到8，还是根据工作总量不变，效率与时间成反比，时间由8份变成9份，“延迟2.5小时”就是9-8=1份，由此推出规定时间8份是2.5×8=20(小时)。
比例问题的解题思路与技巧
比例问题的解题思路与技巧比例问题是数学学科中常见的一类问题，涉及到数量之间的比较和关系。
解决比例问题需要掌握一定的解题思路和技巧。
本文将介绍一些解决比例问题的常用方法，希望能够对读者有所帮助。
一、比例问题的基本概念与表示方法在解决比例问题之前，我们首先要了解比例的基本概念与表示方法。
比例是指两个或多个相关量之间的比较关系。
通常用两个冒号(::)或等于号(=)来表示比例关系。
例如，1:2表示两个数量的比为1比2，3:4:5表示三个数量的比为3比4比5。
二、比例问题的解题思路解决比例问题的关键在于正确理解问题，找到问题的关键信息，并运用适当的解题思路进行求解。
以下是一些常用的解题思路：1. 等比关系法当两个或多个数量之间存在等比关系时，可运用等比关系法求解。
等比关系是指多个数量之间的比例是相等的。
例如，如果三个数量的比例为3比6比12，则可以判断它们存在等比关系。
在解题中，可以总结出某个公倍数与各个数量的比例，进而推导出未知数量的值。
2. 各量单位同比法当比例问题涉及到不同单位之间的换算时，可以运用各量单位同比法。
例如，要将一段路程的单位从公里换算成米，或者将一个长方形的单位从厘米换算成毫米等。
在解题中，需要根据换算关系设置等式，并运用比例关系进行计算。
3. 分段计算法当比例问题的条件较为复杂，不易直接求解时，可以采用分段计算法。
分段计算法是指将问题按照不同的条件进行划分，逐步求解。
例如，某个物品的价格根据不同的数量有不同的折扣方案，可以将数量分为不同的范围，然后分别计算各个范围内的价格。
4. 代数运算法有些比例问题可以通过代数运算进行求解。
例如，某个物品的价格经过打折后的比例关系可以用代数式表示，然后通过代数运算求解未知量的值。
在解题中，需要建立正确的代数模型，并运用代数性质进行推导计算。
三、比例问题的解题技巧除了解题思路之外，还有一些解题技巧可以帮助我们更好地解决比例问题。
以下是一些常用的解题技巧：1. 画图辅助对于某些比例问题，可以通过画图辅助理解问题和推导解题思路。
数量关系中的比例解题与比例运算
比例是数学中一个重要的概念，是描述两个数量或者两个量之间的关系的一种数值比较方法。
在实际生活和问题解决中，我们经常会遇到涉及到比例的情况。
因此，掌握比例解题与比例运算的方法是非常重要的。
本文将从定义比例、比例的基本性质以及比例解题与比例运算的方法等方面展开讨论。
首先，我们来了解一下比例的概念。
比例是指两个数量之间的关系，通常用一个冒号“:”表示。
比例可以用来揭示两个物体或者两个现象之间的数量关系。
例如，一个矩形的长和宽之比为3:2，表示长是宽的3/2倍。
比例的基本性质有以下几点。
第一，比例的两个比较量必须是同种类的。
比如，在比较两个长度时，我们不能把一个长度和一个时间比较。
第二，比例可以进行等比扩大或者等比缩小。
比如，2:3可以扩大为4:6，或者缩小为1:1.5。
第三，如果两个比例相等，那么它们对应的比较量也相等。
比如，1:2=2:4，所以1等于2。
在比例解题中，常见的题型有三类：已知比例求未知量、已知未知量求比例和已知比例求等价比例。
对于第一类题型，我们可以利用等比例方法进行解答。
设未知量为x，根据已知比例，列出等比例方程，然后解方程求出x的值。
对于第二类题型，我们可以利用等比例方法或合理思考进行解答。
当已知的量之间没有明显的比例关系时，我们需要通过观察和分析问题的特点来确定可以使用的比例关系。
对于第三类题型，我们可以利用比例的基本性质和等价比例的概念进行解答。
等价比例表示数量关系相同但数值不同的比例，例如1:2和2:4就是等价比例。
通过将已知比例和等价比例相结合，我们可以求得另一个未知量。
比例运算是比例的运算规律。
在比例运算中，我们可以进行比例的乘法、除法和取反操作。
比例的乘法表示将两个比例相乘，例如1:2乘以2:3等于2:6。
比例的除法表示将两个比例相除，例如2:3除以1:2等于4:3。
比例的取反表示将两个比例的位置互换，例如1:2的取反是2:1。
这些运算规律在比例解题中经常会被用到，可以帮助我们简化计算过程并得到正确的结果。
事业单位中的数量关系题解题方法
事业单位中的数量关系题解题方法数量关系题是数学中常见的一类题型，在事业单位的招聘考试中也经常出现。
解题方法是解决这类题目的关键，下面将介绍一些事业单位中的数量关系题解题方法。
一、等量关系的题目解题方法等量关系是数量关系题中最常见的一种。
解这类题目，可以通过列方程或者利用已知条件与未知数之间的等量关系进行运算。
举个例子：甲乙两人共有15支铅笔，若甲多1支，那么乙就少10支，求甲共有几支铅笔。
解题步骤：1. 假设甲有x支铅笔，则乙有15-x支铅笔。
2. 由已知条件可得方程：x+1=15-x-10。
3. 解方程可得x=12。
4. 综上，甲共有12支铅笔。
二、比例关系的题目解题方法比例关系题中，常用的解题方法有比例代入法和比例求解法。
（一）比例代入法的解题步骤：1. 确定两个相关物品的比例关系。
2. 将已知条件代入比例关系中，求解未知数的值。
举个例子：小明两天去了工地5次，小红三天去了工地6次，两人的去工地的次数成比例，求小明一周去工地多少次。
解题步骤：1. 确定比例关系：小明的工地次数/小红的工地次数 = 2/3。
2. 假设小明一周去工地x次，那么小红一周去工地的次数为(3/2)x。
3. 代入比例关系并求解，得到x=10。
4. 综上，小明一周去工地10次。
（二）比例求解法的解题步骤：1. 确定两个相关物品的比例关系。
2. 利用已知条件，建立比例关系的等式。
3. 求解等式中的未知数，得出结果。
举个例子：A、B两个工程队按比例混凝土，A队用了24吨，B队用了40吨，两队的混凝土总共有280吨，求A、B两队按比例混凝土的尺寸。
解题步骤：1. 确定比例关系：A队的混凝土尺寸/B队的混凝土尺寸 = 24/40。
2. 假设A队的混凝土尺寸为x，B队的混凝土尺寸为(40/24)x。
3. 利用已知条件，建立等式：x+(40/24)x=280。
4. 解等式可得x=120。
5. 综上，A队按比例混凝土的尺寸为120，B队按比例混凝土的尺寸为200。
数量关系备考：比例数问题的解法
数量关系备考：比例数问题的解法经常刷题的小伙伴们会发现，在做题的时候题干中总会有比例出现，而学习的理论知识中对于出现比例数这一特征，解题往往会有不同的方法，比如说：整除法、比例法、特值法，那么大家一起就来讨论一下，题干中出现比例数的时候到底应该用哪种方法比较合适。
一、整除法当题干中有比例数，且问题量在题干中有某种整除关系存在，可以优先考虑应用整除法解题。
例1.学校有足球和篮球的数量比为8∶7，先买进若干个足球，这时足球与篮球的比变为3∶2，接着又买进一些篮球，这时足球与篮球数量比为7∶6。
已知买进的足球比买进的篮球多3个，原来有足球多少个？A.48B.42C.36D.30【答案】A。
解析：本题看上去题干比较长，数量关系也比较复杂，但是如果能想到整除法，这个题目就可以秒杀。
题干中的数据中有比例，故想一下能不能应用整除解题，首先观察问题是问原有足球的个数为多少，而在题干中的第一句话中给出学校有足球和篮球的数量比为8∶7，而足球的数量一定是整数，故足球的数量一定是8的倍数，结合选项，能被8整除的选择只有A。
故本题选A。
二、比例法题干中有比例关系，且有与比例数相关的实际量。
例2.王师傅要加工一批零件，他第一天加工的零件个数与这批零件总数的比是3∶8，如果再加工72个零件就可以完成这批零件的60%。
这批零件一共有多少个？A.480B.320C.280D.120【答案】B。
解析：题干中有比例数存在，“他第一天加工的零件个数与这批零件总数的比是3∶8”，问题问的是这批零件一共有多少个，由此可知零件总数能被8整除，四个选项均能被8整除，因此整除的方法行不通。
可以考虑比例法，如果零件总数有8份，那么第一天加工了3份，再加工72个，完成全部的60%，故完成了4.8份，从3份到4.8份，做了1.8份，1.8份对应的就是72个，一份就是40，8份就是320。
故本题选B。
三、特值法题干中存在乘除关系，且对应量未知。
例3：甲、乙、丙三个工程队的效率比为6∶5∶4，现将A、B两项工作量相同的工程交给这三个工程队，甲队负责A工程,乙队负责B工程,丙队参与A工程若干天后转而参与B 工程。
解比例的方法和步骤
解比例的方法和步骤比例是数学中一个非常重要的概念，是指两个量的相对大小关系。
在现实生活中，我们经常用到比例来描述某些事物的大小或数量关系。
比例问题在中考、高考等数学考试中也是一个重点考察的内容。
本文将介绍解决比例问题的方法和步骤。
一、比例的定义和表示方法比例是指两个量之间的相对大小关系。
常用冒号“：”或分数符号“/”表示，比如2:3或2/3。
在比例中，前面的量被称为“比”，后面的量被称为“比例”，比例的值通常为正数。
二、比例的种类1.单纯比例：只有两个比例关系，如A:B=C:D，可以简写成A:B::C:D。
2.复合比例：由多个单纯比例组成，如A:B=C:D，B:C=E:F，可以组成A:B:C::C:D:E::E:F:G。
3.反比例：两个比例的乘积相等，如A:B=C:D，AB=CD。
三、比例的性质1.比例中四个数中，如果三个已知，则第四个可以通过已知的三个数求出。
2.比例中两个比相等，则它们的比例值也相等。
3.比例中两个数的比例值相等，则它们成比例。
4.比例中两个数成比例，则它们的比例值相等。
四、解决比例问题的步骤1.分析问题，确定已知量和未知量，并写出比例式。
2.根据比例的性质，利用已知量求出未知量。
3.检查计算结果，看是否符合实际意义。
五、解决比例问题的方法1.倍数法：将比例中的一个数乘以一个倍数，另一个数也要乘以同样的倍数。
例题：已知比例3:5=12:x，求x的值。
解：设x的倍数为m，则有3:5=12:x，即3/5=12/m，解得m=20，因此x=100。
2.分数法：将比例中的一个数除以一个分数，另一个数也要除以同样的分数。
例题：已知比例2:3=x:12，求x的值。
解：设x的分数为n，则有2:3=x:12，即2/3=x/n，解得n=18，因此x=12×18/3=72。
3.交叉乘积法：将比例中的第一个比的两个数相乘，第二个比的两个数相乘，然后令它们相等，求未知量。
例题：已知比例2:3=4:x，求x的值。
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数量关系解题方法之比例法细讲
什么是比例?
比例是数量关系之间的相对关系，或指部分在整体中所占的比重。
用比例不用方程，学会比例法可以帮助我们快速提高解题速度，在分秒必争的考场上取得好成绩。
解决比例问题的核心思想是“份数思想”，即根据题目中各数量间的比例关系，设定各个量的份数，将复杂的比例问题简单化
注意：比例问题的重点在于找出两种相关联的量，并明确两种之间的比例关系，从而有助于你能快速，简便的解出题目。
如何运用比例法
当我们采用比例法的一个重要条件就是含有一个固定乘除等式关系。
例如：路程=速度*时间总量=工作效率*时间利润=成本*利润率等，在使用比例法解决这类问题时，三个量必须固定一个量，寻找另外两个量之间的相对关系。
例题讲解
例题1：王师傅加工一批零件,每天加工20个,可以提前一天完成.工作4天后,每天多加工5个,结果提前3天完成,问这批零件有多少个?
解析：效率比是20：25=4:5 总量是不变的则时间比是5:4
因为工作效率没变之前完成工作总量是1天后来工作效率增加时间提前3天
则一份时间相差3-1=2天
所以4份就是8天则总量是4*20+25*8=280
例题2：一辆汽车以每小时40千米的速度从甲城开往乙城，返回时它用原速度走了全程的4分之3多5千米，再改用每小时30千米的速度走完余下的路程，因此，返回甲城的时间比前往乙城的时间多用了10分钟，甲、乙两城相距多远?
解析：速度比是4：3 路程是不变量则时间比是3:4
相差一份是10分钟则速度变化的那一段路程所用时间是3*10=30分钟
那么这一段路程为0.5*40=20千米
设全程为S S/4-5=20 则全程S=100
例题3：一辆从甲地开往乙地，如果车速提高20%，可以比原定时间提前1小时到达;如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25%，则可提前40分钟到达。
那么甲乙两地相距多少千米?
解析：提速20%与原速度的比是1.2:1=6:5 路程是不变量那么时间比是5:6
相差一份时间是1小时，则原定时间是6小时=360分钟
提速25%与原速度的比是1.25:1=5:4，路程是不变量那么时间比是4:5
相差一份时间是40分钟则提速后所用时间是160分钟
120千米的路程所用时间是360-160-40=160
总路程是120/160*360=270千米。