2021高考北京版数学教师用书6.1 数列的概念及其表示(试题部分)
【真题探秘】
6.1 数列的概念及表示 探考情 悟真题 【考情探究】
考点
内容解读
考题示例
5 年考情 考向
关联考点
预测 热度
数列的 有关概 念及性 质
①了解数列的概念和几 种简单的表示方法(列表、 图象、通项公式) ② 了 解 数 列 是 自 变 量 为 2019 北京,20,13
分 正整数的一类特殊函数 ③了解递推公式的概念 及数列前 n 项和的定义
值为
.
答案 5
方法 2 利用递推关系求数列的通项
4.(2015 江 苏 ,11,5 分 )设 数 列 {an}满 足 a1=1,且 an+1-an=n+1(n∈N*), 则 数 列 1 前 10 项 的 和
为
.
答案 20 11
5.(2019 北京海淀二模文,10)已知数列{an}满足
+1=
+1
,且 a5=15,则 a8=
逻辑推理、数学抽象的核心素养;渗透数学应用与创新意识,以及由特殊到一般的分类整合思
想.
(1)1,3,5,6.(答案不唯一)
(2)设长度为 q 末项为
的一个递增子列为
0
1,
2 ,…,
由 p<q,得 ≤ -1< 0.
因为{an}的长度为 p 的递增子列末项的最小值为 0,
又 1, 2,…, 是{an}的长度为 p 的递增子列,
(1)求 a2,a3; (2)求{an}的通项公式.
解析 (1)由题意得 a2=12,a3=14. (2)由 2-(2an+1-1)an-2an+1=0 得 2an+1(an+1)=an(an+1).
因为{an}的各项都为正数,所以
+1=1. 2
故{an}是首项为
1,公比为1的等比数列,因此 2
an=2 1-1.
A.当 b=12时,a10>10
B.当 b=14时,a10>10
第4页共9页
C.当 b=-2 时,a10>10 答案 A
D.当 b=-4 时,a10>10
2.(2018 课标Ⅰ,14,5 分)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和.若 Sn=2an+1,则 S6=
.
答案 -63
3.(2016 浙 江 ,13,6 分 ) 设 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn. 若 S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*, 则
①a1>0;②数列{an}的前 n 项和 Sn<1.
试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式:
.
答案 an=21 (答案不唯一)
4.(2015 重庆,16,13 分)已知等差数列{an}满足 a3=2,前 3 项和 S3=92. (1)求{an}的通项公式; (2)设等比数列{bn}满足 b1=a1,b4=a15,求{bn}的前 n 项和 Tn.
求数列的 通项公式
数列的新定义 问题
★☆ ☆
分析解读 掌握数列的概念和有关的表示方法,了解数列的通项公式、递推公式,了解数列
的通项公式与前 n 项和之间的关系,知道数列是自变量为正整数的一类函数.培养学生的创新
能力、抽象概括能力.
第1页共9页
破考点 练考向 【考点集训】
考点 数列的有关概念及性质
1.(2020 届北京西城外国语中学期中,4)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=3n+1,则 a3+a4=( )
第3页共9页
最小值为 0.若 p<q,求证: 0< 0; (3)设无穷数列{an}的各项均为正整数,且任意两项均不相等.若{an}的长度为 s 的递增子列末 项的最小值为 2s-1,且长度为 s 末项为 2s-1 的递增子列恰有 2s-1 个(s=1,2,…),求数列{an}的通项 公式.
解析 本题通过对数列新概念的理解考查学生的逻辑推理、知识的迁移应用能力;重点考查
评析本题主要考查了数列的递推公式及等比数列的定义,属基础题.
3.(2015 浙江,20,15 分)已知数列{an}满足 a1=12且 an+1=an- 2(n∈N*).
(1)证明:1≤ ≤2(n∈N*); +1
(2)设数列{
2}的前
n
项和为
Sn,证明:2(
1≤
+2)
≤ 1 (n∈N*). 2( +1)
再证明:所有正偶数都是{an}中的项.
假设存在正偶数不是{an}中的项,设不在{an}中的最小的正偶数为 2m.
因为 2k 排在 2k-1 之前(k=1,2,…,m-1),所以 2k 和 2k-1 不可能在{an}的同一个递增子列中.
又{an}中不超过 2m+1 的数为 1,2,…,2m-2,2m-1,2m+1,所以{an}的长度为 m+1 且末项为 2m+1
a1=
,S5=
.
答案 1;121
C 组 教师专用题组
考点 数列的有关概念及性质
1.(2014 课标Ⅱ,16,5 分)数列{an}满足 an+1=1-1 ,a8=2,则 a1=
.
答案 1 2
2.(2016 课标Ⅲ,17,12 分)已知各项都为正数的数列{an}满足 a1=1, 2-(2an+1-1)an-2an+1=0.
.
答案 24
【五年高考】 A 组 自主命题·北京卷题组
考点 数列的有关概念及性质
(2019 北京,20,13 分)已知数列{an},从中选取第 i1 项、第 i2 项、…、第 im 项(i1<i2<…<im),若
1< 2<…< ,则称新数列 1, 2,…, 为{an}的长度为 m 的递增子列.规定:数列{an}的任意一 项都是{an}的长度为 1 的递增子列. (1)写出数列 1,8,3,7,5,6,9 的一个长度为 4 的递增子列; (2)已知数列{an}的长度为 p 的递增子列的末项的最小值为 0,长度为 q 的递增子列的末项的
的递增子列个数至多为2 × 2 × 2 × … × 2×1×1=2m-1<2m.
( -1)个
与已知矛盾.
最后证明:2m 排在 2m-3 之后(m≥2 为整数).
假设存在 2m(m≥2),使得 2m 排在 2m-3 之前,则{an}的长度为 m+1 且末项为 2m+1 的递增子列 的个数小于 2m.与已知矛盾.
用 an 表 示 解 下 n(n≤9, 且 n∈N*) 个 圆 环 所 需 移 动 的 最 少 次 数 ,{an} 满 足 a1=1, 且
2 an=
-1-1,n 为偶数,
则解下 4 个圆环所需的最少移动次数为(
)
2 -1 + 2,n 为奇数,
A.7
B.10
答案 A
C.12
D.22
3.(2020 届北京八一学校 10 月月考,8)对于等差数列{an}和等比数列{bn},下列推断中不一定成
立的是( )
A.若 a1>a2,则 a2>a3
B.若 b1>b2,则 b2>b3
C.a1+a3≥2a2
D.b1b3≥
2 2
答案 B
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
4.(2020 届 北 京 海 淀 期 中 ,11) 已 知 数 列 {an} 的 前 n 项 和 Sn=log2n, 则
1
q=2,故{bn}的前源自n项和Tn=
1(11-
)=1×(1-2 )=2n-1. 1-2
评析本题考查等差、等比数列的基本量计算,考查运算求解能力.
第2页共9页
炼技法 提能力
【方法集训】
方法 1 利用 an 与 Sn 的关系求通项
1.(2020 届 北 京 十 五 中 期 中 ,11) 已 知 数 列 {an} 的 前 n 项 和 Sn=3n+1, 则 数 列 的 通 项 公 式
所以 0≤ .所以 0< 0.
(3)由题设知,所有正奇数都是{an}中的项.
-1, 0.
先证明:若 2m 是{an}中的项,则 2m 必排在 2m-1 之前(m 为正整数).
假设 2m 排在 2m-1 之后.
设 1 , 2 ,…, -1 ,2m-1 是 数 列 {an} 的 长 度 为 m 末 项 为 2m-1 的 递 增 子 列 , 则 1, 2,…, -1,2m-1,2m 是数列{an}的长度为 m+1 末项为 2m 的递增子列.与已知矛盾.
<3. 2
所以 1 + 1 +…+ 1 <3.
12
2
方法指导 (1)将已知递推式转化为 an+1+12=3
+ 1 .(2)利用 3n-1≥2×3n-1 进行转化. 2
5.(2014
江西,17,12
分)已知数列{an}的前
n
项和
Sn=3
2-n,n∈N*.
2
第6页共9页
(1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:对任意的 n>1,都存在 m∈N*,使得 a1,an,am 成等比数列.
所以 + 1 是首项为3,公比为 3 的等比数列.
2
2
an+12=32
,因此{an}的通项公式为
an=3
-1.
2
(2)由(1)知 1 = 2 . 3 -1
因为当 n≥1 时,3n-1≥2×3n-1,
所以 3
1≤ 1
-1 2×3
-1.
于是
1+
1
1 +…+
2021年新课标新高考数学复习课件：§6.1 数列的概念及其表示
可得
1 an1
-
1 an
=2
1 an
-
1 an-1
(n≥2),
又 1 - 1 =3-1=2,
a2 a1
∴数列
1 an1
-
1 an
是首项为2,公比为2的等比数列,
∴ 1 - 1 =2n.
an1 an
∴
1 an
=
1 an
-
1 an-1
+
1 an-1
-
1 an-2
+…+
1 a2
-
1 a1
q.
p-1
(2)an+1=pan+q·pn+1(p≠0,q≠0)的求解方法是两端同时除以pn+1,得
an1 p n 1
-
an pn
=q,
数列
an pn
为等差数列.考法三
数列的单调性和最大(小)项
例3 (2019河南新乡二模,9)已知数列{an}的首项a1=21,且满足(2n-5)an+1=(2 n-3)an+4n2-16n+15,则{an}中最小的一项是 ( )
1 3
an+1-1-
1 3
an+1,即有an+1=4an(n≥2),则an=6·
4n-2(n≥2),又a1=1不符合上式,所以an=
1,n 1, 6 4n-2 ,n
2.
答案
1,n 1 6 4n-2 ,n 2
方法总结 1.已知Sn求an的三个步骤: (1)先利用a1=S1求出a1. (2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n ≥2时an的表达式. (3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时an的表达式,如果符合,则可 以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写. 2.Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化. (1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn、Sn-1的关系式,再求解. (2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an、an-1的关系式,再求解.
【走向高考】高考数学总复习 6-1数列的概念与简单表示课件 北师大版
3．数列的分类
分类原则 类型
满足条件
有穷数列 项数
无穷数列
项数有___限__ 项数无 ___限__
项与项间 的大小关系
其他 标准
递增数列
an＋1_>___an
递减数列
an＋1_<___an
其中 n∈N＋
常数列
an＋1＝an
从第 2 项起，有些项大于它的前 摆动数列
一项，有些项小于它的前一项
因而有 an＝3n4＋2. (2)注意到 6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再 把各项同乘以 2，即1×2 2，2×2 3，3×2 4，4×2 5，5×2 6，…，因而 有 an＝nn2＋1.
(3)各项的分母分别为 21,22,23,24，…易看出第 2,3,4 项的分子 分别比分母少 3，因此把第 1 项变为－2－2 3，
[点评] 数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是：
an＝
S1 Sn－Sn－1
n＝1 n≥2 .
此公式经常使用，应引起重视．当 n＝1 时，a1 若适合 Sn－
Sn－1，则 n＝1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an；当 n＝1 时，a1
若不适合 Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．
[解析] (1)由条件得 a1＝0，a2＝0＋1＝1＝12， a3＝1＋(2×2－1)＝4＝22，a4＝4＋(2×3－1)＝9＝32，归纳 通项公式为 an＝(n－1)2. (2)由条件得 a1＝3，a2＝3a1＝32，a3＝3a2＝33，a4＝3a3＝34， 归纳通项公式为 an＝3n.
由数列的前几项探索数列的通项公式 [例 1] 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公 式： (1)45，12，141，27，…； (2)1,3,6,10,15，…；
2021版高2021届高2018级浙江省选考学考高中数学教师用书6.1数列的概念与简单的表示法讲解部分
1 an1
-
1 an
=2(2n+1).
∴当n≥2时,
1 an
-
1 an-1
+
1 an-1
-
1 an-2
+…+
1 a2
-
1 a1
=2(2n-1)+2(2n-3)+…+2×3,
∴
1 an
-
1 a1
=2n2-2.又a1=
2 3
,∴
1 an
=2n2-
1 2
,
∴an=
2
1 n2 -
1 4
(n≥2).经检验a1=
按项数分类:
有穷数列:项数有限; 无穷数列:项数无限.
栏目索引
按an的增减性分类:
递增数列:对于任何n 递减数列:对于任何n 摆动数列:如-1,1,-1,1,? ;
N* ,均有a n 1 N* ,均有a n 1
an; an;
常数列:如6,6,6,6,? .
3.数列的表示方法
(1)列表法;
(2)图象法:数列可用一群孤立的点表示;1=4 4
036 037
,故选A.
2
2
答案 A
栏目索引
栏目索引
方法技巧
方法 已知数列的递推公式求通项公式
递推公式求通项公式有以下几种基本类型:
(1)利用an=SS1n,-nSn-11,n, 2 相互转化,特别要注意检验n=1的情形. (2)若an=an-1+f(n)(n≥2),则用叠加法:an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+f(2)
比数列 an
2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习教师用书：第六章 第1讲 数列的概念及简单表示法 Word版含答案
第1讲数列的概念及简单表示法一、知识梳理1．数列的有关概念(1)数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．(2)数列的分类(3)数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．2．数列的通项公式(1)数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.常用结论1．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集或其子集{1，2，3，…，n }上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值．2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1. 二、教材衍化1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋（－1）na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32 B.53 C.85D ．23解析：选D.a 2＝1＋（－1）2a 1＝2，a 3＝1＋（－1）3a 2＝12，a 4＝1＋（－1）4a 3＝3，a 5＝1＋（－1）5a 4＝23. 2．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝ ．答案：5n －4一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)所有数列的第n 项都能使用通项公式表示．( ) (3)数列{a n }和集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }是一回事．( ) (4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．( ) (5)一个确定的数列，它的通项公式只有一个．( )(6)若数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N ＋，都有a n ＝S n －S n －1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)× 二、易错纠偏常见误区(1)忽视数列是特殊的函数，其自变量为正整数集N ＋或其子集{1，2，…，n }； (2)根据S n 求a n 时忽视对n ＝1的验证．1．在数列－1，0，19，18，…，n －2n 2中，0.08是它的第 项．解析：依题意得n －2n 2＝225，解得n ＝10或n ＝52(舍)．答案：102．已知S n ＝2n ＋3，则a n ＝ ．解析：因为S n ＝2n ＋3，那么当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋3＝5；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n＋3－(2n －1＋3)＝2n －1(*)．由于a 1＝5不满足(*)式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥2由数列的前几项求数列的通项公式(师生共研)(1)数列1，3，6，10，15，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－(n －1)B ．a n ＝n 2－1C ．a n ＝n （n ＋1）2D ．a n ＝n （n －1）2(2)已知数列{a n }为12，14，－58，1316，－2932，6164，…，则数列{a n }的一个通项公式是 ．【解析】 (1)设此数列为{a n }，则由题意可得a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，a 5＝15，…仔细观察数列1，3，6，10，15，…可以发现：1＝1，3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4.…所以第n 项为1＋2＋3＋4＋5＋…＋n ＝n （n ＋1）2，所以数列1，3，6，10，15，…的通项公式a n ＝n （n ＋1）2.(2)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子数比分母少3，且第1项可变为－2－32，故原数列可变为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…故其通项公式可以为a n ＝(－1)n·2n －32n .【答案】 (1)C (2)a n ＝(－1)n·2n －32n解决此类问题，需抓住下面的特征： (1)各项的符号特征，通过(－1)n 或(－1)n＋1来调节正负项．(2)考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系． (3)相邻项(或其绝对值)的变化特征． (4)拆项、添项后的特征．(5)通过通分等方法变化后，观察是否有规律．[注意] 根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法，蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的！1．数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝ ．解析：数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.答案：2n ＋1n 2＋12．数列3，7，11，15，…的一个通项公式是 ．解析：因为7－3＝11－7＝15－11＝4，即a 2n －a 2n －1＝4，所以a 2n ＝3＋(n －1)×4＝4n －1，所以a n ＝4n －1.答案：a n ＝4n －1由a n 与S n 的关系求通项公式a n (师生共研)(1)(2020·河南三市联考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1（4n －1）3，若a 4＝32，则a 1的值为( )A.12B.14C.18D ．116(2)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，则a 1＝ ，{a n }的通项公式为 ．【解析】 (1)因为S n ＝a 1（4n －1）3，a 4＝32，所以S 4－S 3＝255a 13－63a 13＝32，所以a 1＝12，故选A.(2)数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ， 当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)， 所以(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1. 当n ＝1时，a 1＝2，上式也成立． 所以a n ＝22n －1.【答案】 (1)A (2)2 a n ＝22n －1(1)已知S n 求a n 的三个步骤 ①先利用a 1＝S 1求出a 1；②用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系式，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；③注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并． (2)S n 与a n 关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．①利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解； ②利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N ＋)，则a n ＝ ．解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥22．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝ ．解析：由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，整理得a n ＝－2a n －1，又当n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，所以a 1＝1，所以{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，故a n ＝(－2)n －1.答案：(－2)n －1由递推关系求数列的通项公式(师生共研)分别求出满足下列条件的数列的通项公式．(1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N ＋)； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2n a n (n ∈N ＋)； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N ＋)．【解】 (1)a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝0＋1＋3＋…＋(2n －5)＋(2n －3)＝(n －1)2，所以数列的通项公式为a n ＝(n －1)2.(2)由于a n ＋1a n ＝2n ，故a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1＝2n －1，将这n －1个等式叠乘，得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2，故a n ＝2n （n －1）2，所以数列的通项公式为a n ＝2n （n －1）2.(3)因为a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以该数列的通项公式为a n ＝2·3n－1－1.由递推关系求数列的通项公式的常用方法1．在数列{a n}中，若a1＝2，a n＋1＝a n＋2n－1，则a n＝．解析：a1＝2，a n＋1＝a n＋2n－1⇒a n＋1－a n＝2n－1⇒a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1，则a n＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＋a1＝1－2n－11－2＋2＝2n－1＋1.答案：2n－1＋12．若a1＝1，na n－1＝(n＋1)a n(n≥2)，则数列{a n}的通项公式a n＝．解析：由na n－1＝(n＋1)a n(n≥2)，得a na n－1＝nn＋1(n≥2)．所以a n＝a na n－1·a n－1a n－2·a n－2a n－3·…·a3a2·a2a1·a1＝nn＋1·n－1n·n－2n－1·…·34×23×1＝2n＋1，(*)又a1也满足(*)式，所以a n＝2 n＋1.答案：2 n＋1数列的函数特征(多维探究) 角度一 数列的单调性已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋k2n，若数列{a n }为递减数列，则实数k 的取值范围为( ) A ．(3，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)【解析】 因为a n ＋1－a n ＝3n ＋3＋k 2n ＋1－3n ＋k 2n ＝3－3n －k2n ＋1，由数列{a n }为递减数列知，对任意n ∈N ＋，a n ＋1－a n ＝3－3n －k2n ＋1＜0，所以k ＞3－3n 对任意n ∈N ＋恒成立，所以k ∈(0，＋∞)．故选D.【答案】 D(1)解决数列单调性问题的三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列； ②用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n >0或a n <0)与1的大小关系进行判断；③结合相应函数的图象直观判断． (2)求数列最大项或最小项的方法①可以利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)找到数列的最大项；②利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)找到数列的最小项．角度二 数列的周期性等差数列{a n }的公差d ＜0，且a 21＝a 211，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n的值为()A．5 B．6C．5或6 D．6或7【解析】由a21＝a211，可得(a1＋a11)(a1－a11)＝0，因为d＜0，所以a1－a11≠0，所以a1＋a11＝0，又2a6＝a1＋a11，所以a6＝0.因为d＜0，所以{a n}是递减数列，所以a1＞a2＞…＞a5＞a6＝0＞a7＞a8＞…，显然前5项和或前6项和最大，故选C.【答案】 C解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．已知数列{a n}满足a n＝(n－λ)2n(n∈N＋)，若{a n}是递增数列，则实数λ的取值范围是．解析：因为数列{a n}是递增数列，所以a n＋1＞a n，所以(n＋1－λ)2n＋1＞(n－λ)2n，化为λ＜n＋2，对任意的n∈N＋都成立．所以λ＜3.答案：(－∞，3)核心素养系列13逻辑推理——数列的通项公式逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程．主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比推理；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎推理．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2a n(n≥2)，且a1＝1，通过计算a2，a3，猜想a n等于()A.2（n ＋1）2B.2n （n ＋1）C.12n －1D ．12n －1【解析】 法一(归纳推理)：因为S n ＝n 2a n ，所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ， 故a n ＋1＝nn ＋2a n，当n ＝2时，a 1＋a 2＝4a 2，a 1＝1， 所以a 2＝13.所以a 1＝1＝21×2，a 2＝13＝22×3，a 3＝22＋2a 2＝12×13＝16＝23×4，a 4＝33＋2a 3＝35×16＝110＝24×5，a 5＝44＋2a 4＝23×110＝115＝25×6，由此可猜想a n ＝2n （n ＋1）.法二(演绎推理)：因为a 1＝1，S n ＝n 2a n ，所以n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1，即(n ＋1)(n －1)a n ＝(n －1)2a n －1，所以a n a n －1＝n －1n ＋1，所以a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1＝n －1n ＋1×n －2n ×n －3n －1·…·24×13，即a n a 1＝2n （n ＋1），所以a n ＝2n （n ＋1）. 【答案】 B本题是从特殊到一般的归纳，是不完全归纳，解答此类问题的具体策略：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征；(5)化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；(6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N＋处理．1．在数列1，2，7，10，13，…中219是这个数列的第项．解析：数列1，2，7，10，13，…，即数列1，3×1＋1，3×2＋1，3×3＋1，3×4＋1，…，所以该数列的通项公式为a n＝3（n－1）＋1＝3n－2，所以3n－2＝219＝76，所以n＝26，故219是这个数列的第26项．答案：262．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 2 020等于 ． 解析：因为a 1＝1，所以a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的周期数列，所以a 2 020＝a 2＝0.答案：0[基础题组练]1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，则( ) A ．3不是数列{a n }的项 B ．3只是数列{a n }的第2项 C ．3只是数列{a n }的第6项 D ．3是数列{a n }的第2项和第6项解析：选D.令a n ＝3，即n 2－8n ＋15＝3.整理，得n 2－8n ＋12＝0，解得n ＝2或n ＝6.故选D.2．已知数列{a n }满足：任意m ，n ∈N ＋，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，则a 5＝( )A.132B.116C.14D ．12解析：选A.由题意，得a 2＝a 1a 1＝14，a 3＝a 1·a 2＝18，所以a 5＝a 3·a 2＝132.3．在数列{a n }中，“|a n ＋1|>a n ”是“数列{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 B.“|a n ＋1|>a n ”⇔a n ＋1>a n 或－a n ＋1>a n ，充分性不成立，数列{a n }为递增数列⇔|a n ＋1|≥a n ＋1>a n 成立，必要性成立，所以“|a n ＋1|>a n ”是“数列{a n }为递增数列”的必要不充分条件．故选B.4．已知数列{a n }满足a n ＋1＝1－1a n (n ∈N *)，且a 1＝2，则( )A ．a 3＝－1B ．a 2 019＝12C ．S 3＝3D ．S 2 019＝2 019解析：选A.数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n (n ∈N *)，可得a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2，a 5＝12，…所以a n －3＝a n ，数列的周期为3.a 2 019＝a 672×3＋3＝a 3＝－1.S 6＝3，S 2 019＝2 0192.5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n ＝( ) A.13n －1 B.2n （n ＋1） C.6（n ＋1）（n ＋2）D ．5－2n 3解析：选B.由题意知，S n ＋na n ＝2， 当n ≥2时，S n －1＋(n －1)a n －1＝2， 所以(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1，从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13·24·…·n －1n ＋1，则a n ＝2n （n ＋1），当n ＝1时上式成立，所以a n ＝2n （n ＋1）.6．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n ＝ ．解析：由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项公式可以为n2n －1.答案：n2n －17．若数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式为 ． 解析：a 1·a 2·a 3·…·a n ＝(n ＋1)(n ＋2)， 当n ＝1时，a 1＝6；当n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1·a 2·a 3·…·a n －1·a n ＝（n ＋1）（n ＋2），a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝n （n ＋1），故当n ≥2时，a n ＝n ＋2n ，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n，n ≥2，n ∈N *.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n ，n ≥2，n ∈N*8．(2020·重庆(区县)调研测试)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，2S n ＝(n ＋1)a n ，则a n ＝ ．解析：由2S n ＝(n ＋1)a n 知，当n ≥2时，2S n －1＝na n －1，所以2a n ＝2S n －2S n －1＝(n ＋1)a n－na n －1，所以(n －1)a n ＝na n －1，所以当n ≥2时，a n n ＝a n －1n －1，所以a n n ＝a 11＝1，所以a n ＝n .答案：n9．已知数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ； (2)若S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .解：(1)因为a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1)＝ (－1)n ＋1·[n ＋(n －1)]＝(－1)n ＋1·(2n －1)， 又a 1也适合此式，所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)． (2)因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2×3n －1＋2，由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2×3n －1＋2，n ≥2. 10．(2020·安徽合肥四校联考)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝4a n ＋3. (1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{a n }的通项公式； (2)证明：a n ＋1＋1a n ＋1＝4.解：(1)a 1＝3，a 2＝15，a 3＝63，a 4＝255.因为a 1＝41－1，a 2＝42－1，a 3＝43－1，a 4＝44－1，…，所以归纳得a n ＝4n －1.(2)证明：因为a n ＋1＝4a n ＋3，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝4a n ＋3＋1a n ＋1＝4（a n ＋1）a n ＋1＝4.[综合题组练]1．(2020·河南焦作第四次模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，记数列{a n b n }的前n 项和为S n ，若S n －22n ＋1＋1＝n ，则数列{b n }的通项公式为b n ＝ ．解析：因为S n －22n ＋1＋1＝n ，所以S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.所以当n ≥2时，S n －1＝(n －2)2n ＋2，两式相减，得a n b n ＝n ·2n ，所以b n ＝n ；当n ＝1时，a 1b 1＝2，所以b 1＝1.综上所述，b n ＝n ，n ∈N *.故答案为n .答案：n2．(2020·新疆一诊)数列{a n }满足a 1＝3，a n －a n a n ＋1＝1，A n 表示{a n }的前n 项之积，则A 2 019＝ ．解析：由a n －a n a n ＋1＝1，得a n ＋1＝1－1a n，又a 1＝3，则a 2＝1－1a 1＝23，a 3＝1－1a 2＝1－32＝－12，a 4＝1－1a 3＝1－(－2)＝3，则数列{a n }是周期为3的周期数列，且a 1a 2a 3＝3×⎝⎛⎭⎫23×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，则A 2 019＝(a 1a 2a 3)·(a 4a 5a 6)·…·(a 2017a 2 018a 2 019)＝(－1)673＝－1.答案：－13．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N ＋)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N ＋)，可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2； 同理a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，① 当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0， 所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .4．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N ＋. (1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N ＋，求a 的取值范围． 解：(1)依题意得S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ， 即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )，即b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝S 1－3＝a －3，因此，所求通项公式为b n ＝(a －3)2n －1，n ∈N ＋. (2)由(1)可知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N ＋，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n－2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2 ＝2n －2⎣⎡⎦⎤12·⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3，所以，当n ≥2时， a n ＋1≥a n ⇒12⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9，又a 2＝a 1＋3＞a 1，a ≠3.所以，所求的a 的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．。
高考数学大一轮复习 第六章 数列 6.1 数列的概念及简单表示法学案 文 北师大版-北师大版高三全册
§6.1 数列的概念与简单表示法最新考纲考情考向分析1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.以考查S n 与a n 的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点．本节内容在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度属于低档.1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项． 2．数列的分类分类原则 类型 满足条件 按项数分类有穷数列项数有限 无穷数列 项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n ＋1>a n 其中n ∈N ＋递减数列 a n ＋1<a n 常数列a n ＋1＝a n3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和解析法． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式． 知识拓展1．若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，n ∈N ＋.2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.3．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( × ) (2)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × )(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ ) (4)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( × )(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )(6)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N ＋，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ ) 题组二 教材改编2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32B.53C.85D.23答案 D解析 a 2＝1＋(－1)2a 1＝2，a 3＝1＋(－1)3a 2＝12，a 4＝1＋(－1)4a 3＝3，a 5＝1＋(－1)5a 4＝23.3．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.答案 5n －4 题组三 易错自纠4．已知数列{a n }是递减数列，且对任意的正整数n ，a n ＝－n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围为____________． 答案 (－∞，3)解析 ∵{a n }是递减数列，∴a n ＋1<a n . ∵a n ＝－n 2＋λn 恒成立，∴－(n ＋1)2＋λ(n ＋1)<－n 2＋λn ， 即λ<2n ＋1对于n ∈N ＋恒成立．而2n ＋1在n ＝1时取得最小值3，∴λ<3.5．数列{a n }中，a n ＝－n 2＋11n (n ∈N ＋)，则此数列最大项的值是________． 答案 30解析 a n ＝－n 2＋11n ＝－⎝⎛⎭⎪⎫n －1122＋1214，∵n ∈N ＋，∴当n ＝5或n ＝6时，a n 取最大值30. 6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N ＋解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N ＋.题型一 由数列的前几项求数列的通项公式1．数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝n －1n ＋2(n ∈N ＋) B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N ＋)C ．a n ＝2(n －1)2n －1(n ∈N ＋)D ．a n ＝2n2n ＋1(n ∈N ＋)答案 C解析 注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可．2．数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n ＝________.答案 (－1)n1n (n ＋1)解析 这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n1n (n ＋1).思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N ＋处理．(3)如果是选择题，可采用代入验证的方法． 题型二 由a n 与S n 的关系求通项公式典例 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1(n ∈N ＋)，则其通项公式为______．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2，n ∈N ＋解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2，n ∈N ＋.(2)(2017·南昌模拟)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13(n ∈N ＋)，则{a n }的通项公式a n ＝________.答案 (－2)n －1解析 由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，整理得a n ＝－2a n －1，又当n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1，∴{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，故a n ＝(－2)n －1.思维升华 已知S n ，求a n 的步骤 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1. (2)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.(3)对n ＝1时的情况进行检验，若适合n ≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式． 跟踪训练 (1)(2017·河南八校一联)在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________. 答案 －2n －1解析 由题意得S n ＋1＝2a n ＋1＋1，S n ＝2a n ＋1， 两式相减得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ， 即a n ＋1＝2a n ，又S 1＝2a 1＋1＝a 1，因此a 1＝－1，所以数列{a n }是以a 1＝－1为首项、2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1.(2)(2017·河北衡水中学押题卷)已知数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，数列{b n }满足关系a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n ＝12n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 5的值为( )A ．－454B ．－450C ．－446D ．－442答案 B解析 由题意可得a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1(n ∈N ＋)，且a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n ＝12n ， a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n －1b n －1＝12n －1， 当n ≥2时，两式作差可得a n b n ＝12n －12n －1＝－12n ，则b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，－2n(2n －1)，n ≥2，由此可得S 5＝－450.题型三 由数列的递推关系求通项公式典例 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ；(2)a 1＝1，a n ＋1＝2na n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.解 (1)∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，∴a n －a n －1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n －1＝ln nn －1(n ≥2)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝lnnn －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 32＋ln 2＋2 ＝2＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·32·2＝2＋ln n (n ≥2)．又a 1＝2适合上式，故a n ＝2＋ln n (n ∈N ＋)． (2)∵a n ＋1＝2na n ，∴a n a n －1＝2n －1(n ≥2)， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1 ＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2(1)2n n -.又a 1＝1适合上式，故a n ＝2(1)2n n -(n ∈N ＋)．(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3n －1，故a n ＝2·3n －1－1(n ∈N ＋)．引申探究在本例(2)中，若a n ＝n －1n·a n －1(n ≥2，且n ∈N ＋)，其他条件不变，则a n ＝________. 答案 1n解析 ∵a n ＝n －1na n －1 (n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1. 以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时也满足此等式，∴a n ＝1n.思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列． (2)当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列． (3)当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解． (4)当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解． 跟踪训练 (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式a n ＝______________. 答案 3×2n －1－2解析 由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0， 得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3×2n －1，∴当n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3，将以上各式累加，得a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)，∴a n ＝3×2n －1－2(当n ＝1时，也满足)．(2)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则通项公式a n ＝________.答案 4－1n解析 原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1，a n ＝a n －1＋1n －1－1n ，逐项相加得a n ＝a 1＋1－1n，故a n ＝4－1n.题型四 数列的性质命题点1 数列的单调性 典例 已知a n ＝n －1n ＋1，那么数列{a n }是( ) A ．递减数列 B ．递增数列 C ．常数列 D ．不确定答案 B 解析 a n ＝1－2n ＋1，将a n 看作关于n 的函数，n ∈N ＋，易知{a n }是递增数列．命题点2 数列的周期性 典例 数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，a 8＝2，则a 1＝________________. 答案 12解析 ∵a n ＋1＝11－a n，∴a n ＋1＝11－a n ＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1 ＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2，n ≥3， ∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. ∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12.命题点3 数列的最值 典例 数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( )A ．310B ．19 C.119 D.1060答案 C解析 令f (x )＝x ＋90x(x >0)，运用基本不等式得f (x )≥290，当且仅当x ＝310时等号成立． 因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋90n≤1290，由于n ∈N ＋，不难发现当n ＝9或n ＝10时，a n ＝119最大． 思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列． ②用作商比较法，根据a n ＋1a n(a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图像直观判断． (2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． (3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．跟踪训练 (1)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n≤12，2a n－1，12＜a n＜1， a 1＝35，则数列的第2 018项为________． 答案 15解析 由已知可得，a 2＝2×35－1＝15，a 3＝2×15＝25， a 4＝2×25＝45， a 5＝2×45－1＝35，∴{a n }为周期数列且T ＝4， ∴a 2 018＝a 504×4＋2＝a 2＝15.(2)(2017·安徽名校联考)已知数列{a n }的首项为2，且数列{a n }满足a n ＋1＝a n －1a n ＋1，数列{a n }的前n 项的和为S n ，则S 2 016等于( ) A ．504 B ．588 C ．－588 D ．－504答案 C解析 ∵a 1＝2，a n ＋1＝a n －1a n ＋1，∴a 2＝13，a 3＝－12，a 4＝－3，a 5＝2，…，∴数列{a n }的周期为4，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝－76，∵2 016÷4＝504，∴S 2 016＝504×⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－588，故选C.解决数列问题的函数思想典例 (1)数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n，则此数列的最大项是第________项．(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是__________． 思想方法指导 (1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行分析．解析 (1)∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ×9－n 11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ，∴该数列中有最大项，且最大项为第9,10项． (2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列， 又∵通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4， ∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4， 即k >－1－2n ，又n ∈N ＋，∴k >－3. 答案 (1)9或10 (2)(－3，＋∞)1．(2017·湖南长沙一模)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A ．a n ＝(－1)n －1＋1B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数C ．a n ＝2sinn π2D ．a n ＝cos(n －1)π＋1 答案 C解析 对n ＝1,2,3,4进行验证，知a n ＝2sinn π2不合题意，故选C.2．现有这么一列数：2，32，54，78，( )，1332，1764，…，按照规律，( )中的数应为( )A.916B.1116C.12D.1118 答案 B解析 分母为2n，n ∈N ，分子为连续的质数，所以( )中的数应为1116，故选B.3．(2017·黄冈质检)已知在正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)，则a 6等于( )A ．16B ．4C ．2 2D ．45 答案 B解析 由题意得a 2n ＋1－a 2n ＝a 2n －a 2n －1＝…＝a 22－a 21＝3，故{a 2n }是以3为公差的等差数列，即a 2n ＝3n －2.所以a 26＝3×6－2＝16.又a n >0，所以a 6＝4.故选B. 4．若数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3且n ∈N ＋)，则a 2 018等于( ) A ．3 B ．2 C.12 D.23答案 A解析 由已知a 3＝a 2a 1＝32，a 4＝a 3a 2＝12，a 5＝a 4a 3＝13，a 6＝a 5a 4＝23，a 7＝a 6a 5＝2，a 8＝a 7a 6＝3，∴数列{a n }具有周期性，且T ＝6， ∴a 2 018＝a 336×6＋2＝a 2＝3.5．(2017·辽宁沈阳东北育才学校模拟)已知数列{a n }满足a 1，a 2a 1，a 3a 2，…，a na n －1是首项为1，公比为2的等比数列，则a 101等于( ) A ．2100B ．24 950C ．25 050D ．25 151答案 C解析 ∵数列{a n }满足a 1，a 2a 1，a 3a 2，…，a na n －1是首项为1，公比为2的等比数列， ∴a n a n －1＝2n －1，∴a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a n a n －1＝1×21×22×…×2n －1＝(1)22n n -，∴a 101＝25 050.故选C.6．(2017·河北保定模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －6，x ≤10，a x －9，x >10，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N ＋)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2]C ．(2,3) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2411，3 答案 C解析 因为{a n }是递增数列， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，(3－a )×10－6<a 11－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <3，a >1，a >2或a <－12，即2<a <3，故选C.7．若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋1a n ，a 8＝3421，则a 5＝______________.答案 85解析 借助递推关系，由a 8递推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝85.8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N ＋)，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.9．(2018·大庆模拟)已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n，则数列{a n }的项取最大值时，n ＝________. 答案 4或5解析 假设第n 项为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n ≥(n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n －1，(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n≥(n ＋3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤5，n ≥4，即4≤n ≤5，又n ∈N ＋，所以n ＝4或n ＝5，故数列{a n }中a 4与a 5均为最大项，且a 4＝a 5＝6574.10．(2017·太原模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N ＋)，则a n ＝__________. 答案2n 2－n ＋2解析 由a n －a n ＋1＝na n a n ＋1，得1a n ＋1－1a n＝n ，则由累加法得1a n －1a 1＝1＋2＋…＋(n －1)＝n 2－n2，又因为a 1＝1，所以1a n＝n 2－n2＋1＝n 2－n ＋22，所以a n ＝2n 2－n ＋2(n ∈N ＋)．11．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N ＋)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N ＋)可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1， S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2，同理，a 3＝3，a 4＝4.(2)S n ＝a n 2＋12a 2n ，①当n ≥2时，S n －1＝a n －12＋12a 2n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0.由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }为首项为1，公差为1的等差数列， 故a n ＝n .12．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N ＋，a ∈R 且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N ＋，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围． 解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N ＋，a ∈R 且a ≠0)，又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N ＋)．结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性， 可知1＞a 1＞a 2＞a 3＞a 4，a 5＞a 6＞a 7＞…＞a n ＞1(n ∈N ＋)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a2，已知对任意的n ∈N ＋，都有a n ≤a 6成立， 结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，可知5＜2－a2＜6，即－10＜a ＜－8.即a 的取值范围是(－10，－8)．13．(2018届广东珠海摸底)整数列{a n }满足a n ＋1－a n －1<3n ＋12，a n ＋2－a n >3n ＋1－12，n ∈N ＋，a 2＝3，则a 2 018等于( ) A.32 010－38B.32 009－38C.32 019－38D.32 018－38答案 C解析 由a n ＋1－a n －1<3n ＋12，可得a n ＋2－a n <3n ＋1＋12，又a n ＋2－a n >3n ＋1－12，且{a n }为整数列，所以a n ＋2－a n ＝3n ＋1，a 2 018＝(a 2 018－a 2 016)＋(a 2 016－a 2 014)＋…＋(a 4－a 2)＋a 2＝32 017＋32 015＋…＋33＋3＝3(1－32 018)1－9＝32 019－38.14．若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________.答案 4解析 设数列为{a n }，则a n ＋1－a n ＝(n ＋1)(n ＋5)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1－n (n ＋4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23(n 2＋6n ＋5)－n 2－4n ＝2n3n ＋1(10－n 2)． 所以当n ≤3时，a n ＋1>a n ； 当n ≥4时，a n ＋1<a n .因此，a 1<a 2<a 3<a 4，a 4>a 5>a 6>…， 故a 4最大，所以k ＝4.15．(2017·湖北武汉调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝13，若a n (a n －1＋2a n ＋1)＝3a n －1·a n ＋1(n ≥2，n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项a n 等于( ) A.12n －1B.12n －1C.13n －1D.12n －1＋1答案 B解析 a n a n －1＋2a n a n ＋1＝3a n －1a n ＋1， 1a n ＋1＋2a n －1＝3a n，1a n ＋1－1a n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1，则1a n ＋1－1a n1a n －1a n －1＝2，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1－1a n 是首项为2，公比为2的等比数列，1a n ＋1－1a n＝2×2n －1＝2n，利用累加法， 1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1 ＝1＋2＋22＋…＋2n －1，1a n ＝2n－12－1＝2n －1，则a n ＝12n －1.故选B. 16．(2017·太原五中模拟)设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________. 答案 1n(n ∈N ＋)解析 因为数列{a n }是首项为1的正项数列， 所以a n ·a n ＋1≠0，所以(n ＋1)a n ＋1a n －na na n ＋1＋1＝0.令a n ＋1a n＝t (t >0)，则(n ＋1)t 2＋t －n ＝0， 分解因式，得[(n ＋1)t －n ](t ＋1)＝0， 所以t ＝n n ＋1或t ＝－1(舍去)，即a n ＋1a n ＝nn ＋1. 方法一 (累乘法) 因为a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a na n －1＝12·23·34·45·…·n －1n ， 所以a n ＝1n(n ∈N ＋)．方法二 (迭代法) 因为a n ＋1＝nn ＋1a n ，所以a n ＝n －1n a n －1＝n －1n ·n －2n －1·a n －2 ＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·a n －3 ＝…＝n －1n .n －2n －1.n －3n －2 (1)2a 1， 所以a n ＝1n(n ∈N ＋)． 方法三 (特殊数列法) 因为a n ＋1a n ＝n n ＋1，所以(n ＋1)a n ＋1na n＝1. 所以数列{na n }是以a 1为首项，1为公比的等比数列． 所以na n ＝1×1n －1＝1.所以a n ＝1n(n ∈N ＋)．。
2021高三数学北师大版(理)一轮教师用书：第6章 第1节 数列的概念与简单表示法
全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式高考在本章一般命制2道小题或者1道解答题，分值占10～12分．2.考查内容(1)高考对小题的考查一般以等差、等比数列的基本量运算，等差、等比数列的性质为主．(2)解答题一般以数列递推关系为载体，考查数列通项公式的求法，等差、等比数列的证明，数列求和的方法等．3.备考策略从2019年高考试题可以看出，高考对数列知识的考查既注重基础又注重能力且难度有可能会逐步加大.第一节数列的概念与简单表示法[最新考纲] 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的定义按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n＋1＞a n其中n∈N＋递减数列a n＋1＜a n常数列a n＋1＝a n如果数列{a n}的第n项a n与n之间的关系可以用一个函数式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4．数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．5．a n与S n的关系若数列{a n}的前n项和为S n，则a n＝⎩⎨⎧S1，n＝1，S n－S n－1，n≥2.特别地，若a1满足a n＝S n－S n－1(n≥2)，则不需要分段．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．()(2)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．()(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．()(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N ＋，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 二、教材改编 1．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n (n ＋1)，…，下列各数中是此数列中的项的是( )A.135B.142 C.148D.154B [该数列的通项a n ＝1n (n ＋1)，结合选项可知B 正确．]2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32B.53C.85D.23D [a 2＝1＋(－1)2a 1＝2，a 3＝1＋(－1)3a 2＝12， a 4＝1＋(－1)4a 3＝3，a 5＝1＋(－1)5a 4＝23.]3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________. ⎩⎨⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N ＋ [当n ＝1时，a 1＝S 1＝2. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1， 故a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N ＋.]4．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.5n －4 [由a 1＝1＝5×1－4，a 2＝6＝5×2－4，a 3＝11＝5×3－4，…，归纳a n ＝5n －4.]考点1 由数列的前几项求数列的通项公式利用观察法求数列通项要抓住数列的4个特征 (1)分式中分子、分母的特征． (2)相邻项的变化特征．(3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征． (4)各项符号特征等．根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)23，415，635，863，1099，…； (2)－1,7，－13,19，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5,55,555,5 555，….[解] (1)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2,4,6，…，相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为a n ＝2n(2n －1)(2n ＋1).(2)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n ，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22.(4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n －1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n －1)．(1)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N ＋处理，如T (2)；(2)若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，如T (3)． (3)考查归纳推理，特殊到一般，由数列的前n 项归纳通项公式，答案并不唯一．考点2 由a n 与S n 的关系求通项公式已知S n 求a n 的3个步骤 (1)利用a 1＝S 1求出a 1.(2)当n ≥2时，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)求出a n 的表达式．(3)看a 1是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则a n ＝____.(2)(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________.(3)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ，则a n ＝________. (1)4n －5 (2)－63 (3)⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n，n ≥2 [(1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5.(2)因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1，所以S 6＝－1×(1－26)1－2＝－63.(3)当n ＝1时， a 1＝21＝2，∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ，①故a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝2n －1(n ≥2)，②由①－②得na n ＝2n －2n －1＝2n －1，∴a n ＝2n －1n .显然当n ＝1时不满足上式， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n，n ≥2.]S n 与a n 关系问题的求解思路要根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．(1)利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式．(2)利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解． 提醒：利用a n ＝S n －S n －1求通项时，应注意n ≥2这一前提条件，易忽视验证n ＝1致误．[教师备选例题]1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则a n ＝________. ⎩⎨⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2 [当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2·3n －1.当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1，所以a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.]2．已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且当n ≥2时，有2a na n S n －S 2n＝1成立，则S 2 019＝________.11 010 [当n ≥2时，由2a n a n S n －S 2n＝1，得2(S n －S n －1)＝(S n －S n －1)·S n －S 2n ＝－S n S n －1，所以2S n －2S n －1＝1，又2S 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫2S n 是以2为首项，1为公差的等差数列，所以2S n＝n ＋1，故S n ＝2n ＋1，则S 2 019＝11 010.]1.已知正项数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (n ＋1)2，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝nB ．a n ＝n 2C ．a n ＝n2D ．a n ＝n 22 B [∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (n ＋1)2，∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝n (n －1)2(n ≥2)，两式相减得a n ＝n (n ＋1)2－n (n －1)2＝n (n ≥2)，∴a n ＝n 2(n ≥2)，①又当n ＝1时，a 1＝1×22＝1，a 1＝1，适合①式， ∴a n ＝n 2，n ∈N ＋.故选B.]2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝________. ⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1[因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n ，所以a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n (n ≥2)， 即a n ＋1a n＝32(n ≥2)，又a 2＝12，所以a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝1≠12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝13，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2，所以S n ＝2a n ＋1＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.]考点3 由递推关系式求数列的通项公式累加法——形如a n ＋1－a n ＝f (n )，求a n利用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ f (n －1)＋f (n －2)＋…＋ f (1)＋a 1求解．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式为________．a n ＝n 2＋n2 [由题意得a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…， ∴a n －a n －1＝n (n ≥2)． 以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(n －1)(2＋n )2＝n 2＋n －22.∵a 1＝1，∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足此式，∴a n ＝n 2＋n2.]应注意题设条件转化为“a n －a n －1＝n ”时，其前提条件为“n ≥2”，易忽视验证“n ＝1”致误．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则通项公式a n ＝________.4－1n [原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1，a n ＝a n －1＋1n －1－1n ，逐项相加得a n ＝a 1＋1－1n ，故a n ＝4－1n ，经验证a 1，a 2也符合．]累乘法——形如a n ＋1a n＝f (n )，求a n利用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1求解．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式为________．a n ＝1n [∵a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，a n －2＝n －3n －2a n －3，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得，a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时，a 1＝1，符合上式，∴a n ＝1n .]反复构造“a na n －1”是解答此类问题的关键．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，求数列{a n }的通项公式． [解] ∵a n ＋1＝2n a n ，∴a n ＋1a n＝2n ，∴a n a n －1＝2n －1(n ≥2)，∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2n (n －1)2.又a 1＝1适合上式，故a n ＝2n (n －1)2.待定系数法——形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1，B ≠0)，求a n 求此类数列的通项公式，通常采用待定系数法将其转化为(a n ＋1＋x )＝A (a n ＋x )，先求出x ，再借助等比数列{a n ＋x }求解．(2019·青岛模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1， a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式为________． a n ＝2·3n －1－1 [∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3， ∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3， 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1， ∴a n ＝2·3n －1－1.]构造“a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)”是解答本题的关键． (2019·葫芦岛二模)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用a n 表示解下n (n ≤9，n ∈N ＋)个圆环所需的移动最少次数，{a n }满足a 1＝1，且a n ＝⎩⎨⎧2a n －1－1，n 为偶数2a n －1＋2，n 为奇数，则解下4个环所需的最少移动次数为( )A ．7B ．10C ．12D ．22A [依题意a 4＝2a 3－1＝2(2a 2＋2)－1＝2[2(2a 1－1)＋2]－1＝7.故选A.]取倒数法——形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C (A ，B ，C 为常数)，求a n将原式变形为1a n ＋1＝C A ·1a n＋B A .①若A ＝C ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且公差为B A ，可直接用公式求通项；②若A ≠C ，则采用待定系数法，构造新数列求解．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2(n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.2n [∵a n ＋1＝2a n a n ＋2，a 1＝2，∴a n ≠0， ∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝2，则1a 1＝12， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，12为公差的等差数列． ∴1a n＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2.∴a n ＝2n .]求解本题的关键是对等式取倒数变形后，发现⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 成等差数列．(2019·张家界模拟)若数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋3a n，则这个数列的第10项a 10＝( ) A ．28 B ．29 C ．128 D ．129C [∵a n ＋1＝a n 1＋3a n ，两边取倒数得1a n ＋1－1a n ＝3，又 a 1＝1所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 表示首项为1，公差为3的等差数列，所以1a n ＝1＋(n －1)×3＝3n －2，即a n ＝13n －2，所以a 10＝13×10－2＝128，故选C.]考点4 数列的性质数列的周期性及应用解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． (2019·包头模拟)在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋13＋a n 1－3a n，则S 2 020＝________. 0 [∵a 1＝0，a n ＋1＝3＋a n 1－3a n， ∴a 2＝31＝3，a 3＝3＋31－3×3＝23－2＝－3， a 4＝3－31＋3×3＝0，即数列{a n }的取值具有周期性，周期为3，且a 1＋a 2＋a 3＝0，则S 2 020＝S 3×673＋1＝a 1＝0.]解答本题的关键是正确求出数列的前3项后，发现数列{a n }是周期数列．已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2 020＝( ) A ．－1B ．12C ．1D ．2B [由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n ，得a 2＝11－a 1＝2， a 3＝11－a 2＝－1，a 4＝11－a 3＝12，a 5＝11－a 4＝2，…， 于是可知数列{a n }是以3为周期的周期数列，因此a 2 020＝a 3×673＋1＝a 1＝12.]数列的单调性及应用1.判断数列单调性的2种方法(1)作差(或商)法；(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．2．求数列中最大(小)项的2种方法(1)根据数列的单调性判断；(2)利用不等式组⎩⎨⎧ a n ≥a n －1a n ≥a n ＋1(或⎩⎨⎧a n ≤a n －1a n ≤a n ＋1)求出n 的值，进而求得a n 的最值． 3．求含整数n 的代数式的最值问题，一般采用作差(作商)研究单调性，特别是在大题中最有效．(1)[一题多解]已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ，则数列{a n }中的最大项为( )A.89B.23C.6481D.125243 (2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N ＋，都有a n ＋1＞a n 成立，则实数k 的取值范围是________．(1)A (2) (－3，＋∞) [(1)法一：(作差比较法)a n ＋1－a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＝2－n 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ， 当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n .所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝89.故选A. 法二：(作商比较法)a n ＋1a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ， 令a n ＋1a n>1，解得n <2； 令a n ＋1a n＝1，解得n ＝2； 令a n ＋1a n<1，解得n >2.又a n >0，故a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝89.故选A. (2)由a n ＋1＞a n 知该数列是一个递增数列，又∵通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4＞n 2＋kn ＋4，即k ＞－1－2n ，又n ∈N ＋，∴k ＞－3.]由于数列对应的函数图像是离散型的点，故其单调性不同于函数的单调性，本例(2)在求解时常因误用二次函数的单调性导致求错实数k 的取值范围．1.已知a n ＝n －1n ＋1，那么数列{a n }是( ) A ．递减数列B ．递增数列C ．常数列D ．摆动数列B [a n ＝1－2n ＋1，将a n 看作关于n 的函数，n ∈N ＋，易知{a n }是递增数列．] 2．数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ，则此数列的最大项是第________项．9或10 [∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ×9－n 11， 当n ＜9时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n ＞9时，a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n ，∴该数列中有最大项，且最大项为第9,10项．]。
【步步高】2021届高考数学总温习 第六章 6.1数列的概念及简单表示法强化训练 理 北师大版(1)
§6.1 数列的概念及简单表示法1． 数列的概念按必然顺序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作那个数列的项． 2． 数列的分类分类原则类型 满足条件 按项数分类有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列 a n ＋1__>__a n 其中n ∈N ＋递减数列 a n ＋1__<__a n 常数列 a n ＋1＝a n按其他标准分类有界数列存在正数M ，使|a n |≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3． 数列的表示法数列有三种表示法，它们别离是列表法、图像法和解析法． 4． 数列的通项公式若是数列{a n }的第n 项与序号n 之间的函数关系能够用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么那个式子叫作那个数列的通项公式．5．已知数列{a n }的前n 项和S n ，那么a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝1S n －S n －1 n ≥2.1．判定下面结论是不是正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有数列的第n 项都能利用公式表达．( × ) (2)依照数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个． ( √ ) (3)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是a n ＝1＋－1n ＋12.( × ) (4)若是数列{a n }的前n 项和为S n ，那么对任意n ∈N ＋，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ )(5)在数列{a n }中，关于任意正整数m ，n ，a m ＋n ＝a mn ＋1，假设a 1＝1，那么a 2＝2. ( √ )(6)假设已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝12a n －1，且a 2＝1，那么能够写出数列{a n }的任何一项．( √ ) 2． 设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，那么a 8的值为( )A ．15B ．16C ．49D ．64答案 A解析 ∵S n ＝n 2，∴a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. ∴a n ＝2n －1，∴a 8＝2×8－1＝15.3． 已知数列{a n }的前n 项和S n 知足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10等于( )A ．1B ．9C ．10D ．55答案 A解析 ∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，a 1＝1，∴S 1＝1. 可令m ＝1，得S n ＋1＝S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝1. 即当n ≥1时，a n ＋1＝1，∴a 10＝1.4． (2021·课标全国Ⅰ)假设数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，那么{a n }的通项公式是a n ＝________.答案 (－2)n －1解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，故a n a n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1.当n ＝1时，也符合a n ＝(－2)n －1. 综上，a n ＝(－2)n －1.5． (2021·安徽)如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n …别离在角O 的两条边上，所有A n B n 彼此平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n ，假设a 1＝1，a 2＝2，那么数列{a n }的通项公式是________．答案 a n ＝3n －2解析 由已知221111++++++=n n n n n n n n A B B A A BB A S S 梯形梯形112211++++++∆∆∆∆-=-n n n n n n n n A OB A OB A OB A OB S S S S ，即S △OBnAn ＋11222++++∆∆=n n n n A OB A OB S S由相似三角形面积比是相似比的平方知OA 2n ＋OA 2n ＋2＝2OA 2n ＋1，即a 2n ＋a 2n ＋2＝2a 2n ＋1， 因此{a 2n }为等差数列且a 2n ＝a 21＋3(n －1)＝3n －2，故a n ＝3n －2.题型一 由数列的前几项求数列的通项 例1 写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3 333，….思维启发 先观看各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系．解 (1)各项减去1后为正偶数，因此a n ＝2n ＋1. (2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，因此a n ＝2n －12n .(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，因此a n ＝(－1)n ·2＋－1nn.也可写为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－1n ，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.(4)将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子别离是10－1,102－1,103－1,104－1，…，因此a n ＝13(10n －1)．思维升华 依照所给数列的前几项求其通项时，需认真观看分析，抓住其几方面的特点：分式中分子、分母的各自特点；相邻项的联系特点；拆项后的各部份特点；符号特点，应多进行对照、分析，从整体到局部多角度观看、归纳、联想．(1)数列－1,7，－13,19，…的一个通项公式是a n ＝________________.(2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，那么那个数列的一个通项公式是a n ＝________.答案 (1)(－1)n ·(6n －5) (2)2n ＋1n 2＋1解析 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(2)数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.题型二 由数列的前n 项和S n 求数列的通项例2 已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式：(1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b .思维启发 当n ＝1时，由a 1＝S 1，求a 1；当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1消去S n ，得a n ＋1与a n 的关系．转化成由递推关系求通项． 解 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ， n ＝1，2·3n －1， n ≥2.思维升华 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1假设适合S n －S n －1，那么n ＝1的情形可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1假设不适合S n －S n －1，那么用分段函数的形式表示．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，那么其通项公式为________________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝16n －5，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不知足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式例3 (1)设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，那么通项a n ＝________.(2)数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，那么它的一个通项公式为a n ＝________.(3)在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .那么{a n }的通项公式为________．思维启发 观看递推式的特点，能够利用累加(乘)或迭代法求通项公式． 答案 (1)n n ＋12＋1 (2)2×3n －1－1 (3)a n ＝n n ＋12解析 (1)由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋n －12＋n2＝n n ＋12＋1.又a 1＝2＝1×1＋12＋1，符合上式，因此a n ＝n n ＋12＋1.(2)方式一 (累乘法)a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3，因此a 2＋1a 1＋1＝3，a 3＋1a 2＋1＝3，a 4＋1a 3＋1＝3，…，a n ＋1＋1a n ＋1＝3.将这些等式两边别离相乘得a n ＋1＋1a 1＋1＝3n .因为a 1＝1，因此a n ＋1＋11＋1＝3n ，即a n ＋1＝2×3n －1(n ≥1)， 因此a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)， 又a 1＝1也知足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1. 方式二 (迭代法)a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)＝32(a n －1＋1)＝33(a n －2＋1) ＝…＝3n (a 1＋1)＝2×3n (n ≥1)，因此a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)， 又a 1＝1也知足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1. (3)由题设知，a 1＝1.当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1.∴a na n －1＝n ＋1n －1.∴a na n －1＝n ＋1n －1，…，a 4a 3＝53， a 3a 2＝42，a 2a 1＝3.以上n －1个式子的等号两头别离相乘，取得a n a 1＝n n ＋12，又∵a 1＝1，∴a n ＝n n ＋12.思维升华 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通经常使用累加、累乘、构造法求解．当显现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列；当显现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；当显现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；当显现a n a n －1＝f (n )时，用累乘法求解．(1)已知数列{a n }知足a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2)，那么a n ＝________.(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N ＋)，那么a 5等于( )A ．－16B ．16C ．31D ．32答案 (1)1n(2)B解析 (1)∵a n ＝n －1n a n －1 (n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n.(2)当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1， ∴a n ＝2a n －2a n －1， ∴a n ＝2a n －1.∴{a n }是等比数列且a 1＝1，q ＝2， 故a 5＝a 1×q 4＝24＝16. 数列问题中的函数思想 典例：(12分)已知数列{a n }．(1)假设a n ＝n 2－5n ＋4， ①数列中有多少项是负数？②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．(2)假设a n ＝n 2＋kn ＋4且关于n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n .求实数k 的取值范围．思维启发 (1)求使a n <0的n 值；从二次函数看a n 的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项公式能够看做相应的解析式f (n )＝n 2＋kn ＋4.f (n )在N ＋上单调递增，但自变量不持续．从二次函数的对称轴研究单调性． 标准解答解 (1)①由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. ∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.[4分]②∵a n＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94的对称轴方程为n ＝52.又n ∈N ＋，∴当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.[8分](2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，能够看做是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N ＋，因此－k 2<32，即得k >－3.[12分]温馨提示 (1)此题给出的数列通项公式能够看做是一个概念在正整数集N ＋上的二次函数，因此能够利用二次函数的对称轴来研究其单调性，取得实数k 的取值范围，使问题取得解决． (2)在利用二次函数的观点解决该题时，必然要注意二次函数对称轴位置的选取．(3)易错分析：此题易错答案为k >－2.缘故是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数． 方式与技术1． 求数列通项或指定项．通经常使用观观点(关于交织数列一样用(－1)n 或(－1)n ＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一样只要求写出数列的前几项，假设求通项可用归纳、猜想和转化的方式．2． 强调a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝1S n －S n －1 n ≥2.3． 已知递推关系求通项：对这种问题的要求不高，但试题难度较难把握．一样有两种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加或累乘法可求数列的通项公式． 失误与防范1． 数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，必然要注意自变量的取值，如数列a n ＝f (n )和函数y＝f (x )的单调性是不同的． 2． 数列的通项公式不必然唯一．A 组 专项基础训练 (时刻：40分钟) 一、选择题1． 数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( )A.－1n ＋12B ．cosn π2C ．cosn ＋12π D ．cosn ＋22π答案 D解析 令n ＝1,2,3，…一一验证四个选项，易患D 正确．2．数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，那么a 6等于( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1答案 A解析 当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，那么a n ＋2＝3S n ＋1，∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1， ∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n ＝1，3×4n －2n ≥2.∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.3． 假设数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，那么a 1＋a 2＋…＋a 10等于( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15答案 A解析 由题意知，a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)] ＝3×5＝15.4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(49)n －1－(23)n －1，那么数列{a n }( )A ．有最大项，没有最小项B ．有最小项，没有最大项C ．既有最大项又有最小项D ．既没有最大项也没有最小项 答案 C解析 ∵数列{a n }的通项公式为a n ＝(49)n －1－(23)n －1， 令t ＝(23)n －1，t ∈(0,1]，t 是减函数，则a n＝t 2－t ＝(t －12)2－14， 由复合函数单调性知a n 先递增后递减． 故有最大项和最小项，选C.5．假设S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝nn ＋1，那么1a 5等于( )A.56B.65C.130 D ．30答案 D 解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n n ＋1， 因此1a 5＝5×6＝30. 二、填空题6．已知数列{n 2n 2＋1}，那么0.98是它的第________项． 答案 7解析 n 2n 2＋1＝0.98＝4950，∴n ＝7. 7． 数列{a n }中，a 1＝1，关于所有的n ≥2，n ∈N ＋，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，那么a 3＋a 5＝________. 答案 6116解析 由题意知：a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，∴a n ＝(nn －1)2(n ≥2)， ∴a 3＋a 5＝(32)2＋(54)2＝6116. 8．已知{a n }是递增数列，且关于任意的n ∈N ＋，a n ＝n 2＋λn 恒成立，那么实数λ的取值范围是________．答案 (－3，＋∞)解析 方式一 (概念法)因为{a n }是递增数列，因此对任意的n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ>0，即λ>－(2n ＋1)． (*)因为n ≥1，因此－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.方式二 (函数法)设f (n )＝a n ＝n 2＋λn ，其图像的对称轴为直线n ＝－λ2，要使数列{a n }为递增数列，只需使概念在正整数上的函数f (n )为增函数，故只需知足f (1)<f (2)，即λ>－3.三、解答题9．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.(1)那个数列的第4项是多少？(2)150是不是那个数列的项？假设是那个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，即150是那个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)．故数列从第7项起各项都是正数．10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9nn ＋110n ，试判定此数列是不是有最大项？假设有，第几项最大，最大项是多少？假设没有，说明理由．解 a n ＋1－a n ＝9n ＋1n ＋210n ＋1－9n n ＋110n ＝9n 10n ·8－n 10， 当n <8时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝8时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >8时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n .则a 1<a 2<a 3<…<a 8＝a 9>a 10>a 11>…，故数列{a n }有最大项，为第8项和第9项，且a 8＝a 9＝98×9108＝99108. B 组 专项能力提升(时刻：30分钟)1．跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方式种数为 ( )A ．8种B ．13种C ．21种D ．34种 答案 C解析 设跳到第n 个格子的方式种数有a n ，那么抵达第n 个格子的方式有两类： ①向前跳1格抵达第n 个格子，方式种数为a n －1；②向前跳2格抵达第n 个格子，方式种数为a n －2，那么a n ＝a n －1＋a n －2， 由数列的递推关系取得数列的前8项别离是1,1,2,3,5,8,13,21. ∴跳到第8个格子的方式种数是21.应选C.2．数列{a n }知足a n ＋a n ＋1＝12 (n ∈N ＋)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，那么S 21为()A ．5 B.72 C.92 D.132答案 B解析 ∵a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ＋)，∴a 1＝12－a 2＝12－2，a 2＝2，a 3＝12－2，a 4＝2，…，故a 2n ＝2，a 2n －1＝12－2.∴S 21＝10×12＋a 1＝5＋12－2＝72.3． 假设数列{n (n ＋4)(23)n }中的最大项是第k 项，那么k ＝________.答案 4解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ k k ＋423k ≥k ＋1k ＋523k ＋1k k ＋423k ≥k －1k ＋323k －1，因此⎩⎪⎨⎪⎧ k 2≥10k 2－2k －9≤0，由k ∈N ＋可得k ＝4.4． 已知数列{a n }知足前n 项和S n＝n 2＋1，数列{b n }知足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n . (1)求数列{b n }的通项公式；(2)判定数列{c n }的增减性． 解 (1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)．∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 23n ＝11n n ≥2.(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－12n ＋32n ＋2<0， ∴{c n }是递减数列．5． 设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a ，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N ＋.(1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式；(2)假设a n ＋1≥a n ，n ∈N ＋，求a 的取值范围． 解 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ， 即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )． 即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝S 1－3＝a －3， 因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N ＋.(2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N ＋， 于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2 ＝2×3n －1＋(a －3)2n －2， a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2 ＝2n －2[12(32)n －2＋a －3]， 当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇒12(32)n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9. 又a 2＝a 1＋3>a 1.综上，所求的a 的取值范围是[－9，＋∞)．。
2021年高考数学复习§6.1 数列的概念及其表示讲解附真题及解析
专题六数列【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、数列的概念及其表示1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.从近几年高考情况来看,数列问题每年都考查,难度中等.考查内容主要集中在两个方面:一是以选择题或填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质,题目多为常规试题;二是等差、等比数列的通项与求和问题,近两年结合概率、统计、函数、不等式等进行综合考查,涉及内容较为全面,题型新颖、方法灵活多变.1.解决等差(比)数列的基本问题时,要灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式,利用基本量法求解.2.数列的通项与求和是高考常考内容,其中求通项是求和的基础.3.重视方程、函数、分类讨论思想的应用.(1)方程思想:等差(比)数列中,由五个量a1,d(q),n,a n,S n中的三个量可求出其余两个量,要求选用公式要恰当,善于应用性质,减少计算量.(2)函数思想:在等差数列中,当d≠0时,a n与自变量n为一次函数关系.S n与n的关系:当d=0时,S n=na1为一次函数;当d≠0时,S n=d2n2+(a1-d2)n为二次函数.在等比数列中,通项公式a n=a1q n-1可化为a n=a1q·q n,这是指数型函数.(3)分类讨论思想:当q=1时,{a n}的前n项和S n=na1;当q≠1时,{a n}的前n项和S n=a1(1-q n)1−q=a1-a n q1−q.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,此处是易错点.二、等差数列1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.三、等比数列1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.四、数列求和及综合应用1.掌握数列求和的几种常见方法.2.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.【真题探秘】§6.1数列的概念及其表示基础篇固本夯基【基础集训】考点 数列的概念及其表示1.数列1,23,35,47,59,…的一个通项公式a n =( ) A.n2n+1B.n 2n -1 C.n 2n -3D.n2n+3答案 B2.已知数列{a n }满足:∀m,n ∈N *,都有a n ·a m =a n+m ,且a 1=12,那么a 5=( ) A.132B.116C.14D.12答案 A3.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,S n =(n+1)a n2,则a 2 017=( )A.2 016B.2 017C.4 032D.4 034 答案 B4.在数列{a n }中,a 1=-14,a n =1-1a n -1(n ≥2,n ∈N *),则a 2 018的值为( )A.-14B.5C.45D.54答案 B5.已知数列{a n }满足a n+1=a n -a n-1(n ≥2),a 1=m,a 2=n,S n 为数列{a n }的前n 项和,则S 2 017的值为( ) A.2 017n-m B.n-2 017m C.m D.n 答案 C综合篇知能转换【综合集训】考法一 利用S n 与a n 的关系求通项公式1.(2018山东省实验中学期中,5)若数列{a n }满足a 1+a 2+a 3+…+a n =3n-2,那么这个数列的通项公式为( ) A.a n =2×3n-1B.a n =3×(12)n -1C.a n =3n-2D.a n ={1,n =12×3n -1,n ≥2答案 D2.已知数列{a n }中,a 1=1,S n 为数列{a n }的前n 项和,且当n ≥2时,有2a na n S n -S n 2=1成立,则S 2 017= .答案11 009考法二 由递推关系求数列的通项公式3.(2018广东深圳耀华实验学校期中,11)在数列{a n }中,a 1=1,a n+1=2a n -2n,则a 17=( ) A.-15×216 B.15×217C.-16×216D.16×217答案 A4.(2019广东广雅中学模拟,7)在数列{a n }中,已知a 1=2,a n+1=a n 3a n +1(n ∈N *),则a n 的通项公式为( )A.a n =24n -3B.a n =26n -5C.a n =24n+3D.a n =22n-1答案 B5.(2019河南濮阳重点高中联考,9)已知数列{a n }的首项a 1=35,且满足a n -a n-1=2n-1(n ∈N *,n ≥2),则a n n的最小值为( )A.2√34B.595C.353 D.12答案 C6.(2019山西盂县一中模拟,8)设数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,且2na n =(n-1)a n-1+(n+1)a n+1(n ≥2且n ∈N *),则a 18=( ) A.259B.269C.3D.289答案 B考法三 数列的单调性和最大(小)项7.(2019河南中原名校第三次联考,18)设数列{a n }满足:a 1+a 2+a 3+…+a n =n-a n (n ∈N *). (1)求a 1,a 2;(2)若b n =n(2-n)(a n -1),求{b n }的最大项,并写出取最大项的项数.解析 (1)∵数列{a n }满足:a 1+a 2+a 3+…+a n =n-a n (n ∈N *),∴a 1=1-a 1,a 1+a 2=2-a 2,解得a 1=12,a 2=34.(2)由数列{a n }满足:a 1+a 2+a 3+…+a n =n-a n (n ∈N *),得n ≥2时,a 1+a 2+a 3+…+a n-1=n-1-a n-1, 相减可得a n =1-a n +a n-1,可得a n -1=12(a n-1-1)(n ≥2), ∴数列{a n -1}是等比数列,公比为12,首项为-12. ∴a n -1=-(12)n (n ∈N *),∴b n =n(2-n)(a n -1)=n(n-2)×(12)n . b n+1-b n =(n+1)(n-1)×(12)n+1-n(n-2)×(12)n =-(n 2-4n+1)2n+1,令b n+1-b n >0,解得2-√3<n<2+√3.∴b 1<b 2<b 3<b 4>b 5>b 6>…>b n .∴b 4是最大项,b 4=12.【五年高考】考点 数列的概念及其表示1.(2018课标Ⅰ,14,5分)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n =2a n +1,则S 6= . 答案 -632.(2015课标Ⅱ,16,5分)设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n = . 答案 -1n3.(2019上海,8,5分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S n +a n =2,则S 5= . 答案 31164.(2016浙江,13,6分)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *,则a 1= ,S 5= . 答案 1;121教师专用题组考点 数列的概念及其表示1.(2013课标Ⅰ,14,5分)若数列{a n }的前n 项和S n =23a n +13,则{a n }的通项公式是a n = . 答案 (-2)n-12.(2015浙江,20,15分)已知数列{a n }满足a 1=12且a n+1=a n -a n2(n ∈N *). (1)证明:1≤a n a n+1≤2(n ∈N *); (2)设数列{a n 2}的前n 项和为S n,证明:12(n+2)≤S n n ≤12(n+1)(n ∈N *). 证明 (1)由题意得a n+1-a n =-a n 2≤0,即a n+1≤a n ,故a n ≤12.由a n =(1-a n-1)a n-1得a n =(1-a n-1)(1-a n-2)…(1-a 1)a 1>0. 由0<a n ≤12得a n a n+1=a n a n -a n2=11−a n ∈[1,2],即1≤a na n+1≤2. (2)由题意得a n 2=a n -a n+1,所以a na n+1=1a n+1-1a n,S n =a 1-a n+1.① 由a na n+1=1a n+1-1a n 和1≤a na n+1≤2得1≤1a n+1-1a n≤2,所以n ≤1a n+1-1a 1≤2n,因此12(n+1)≤a n+1≤1n+2(n ∈N *).② 由①②得12(n+2)≤S n n ≤12(n+1)(n ∈N *).【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共35分)1.(2018广东惠州模拟,7)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2a n -1,则S6a 6=( ) A.6332 B.3116 C.12364D.127128答案 A2.(2018广东广州一模,9)已知数列{a n }满足a 1=2,2a n a n+1=a n 2+1,设b n=a n -1a n +1,则数列{b n }是( )A.常数列B.摆动数列C.递增数列D.递减数列 答案 D3.(2018河南安阳二模,9)已知数列:11,21,12,31,22,13,41,32,23,14,…,依它的前10项的规律,这个数列的第2 018项a 2 018等于( ) A.131B.163C.64D.632答案 D4.(2018河北保定一模,10)已知函数f(x)={(3-a)x -6,x ≤10,a x -9,x >10,若数列{a n }满足a n =f(n)(n ∈N *),且{a n }是递增数列,则实数a 的取值范围是( )A.(1,3)B.(1,2]C.(2,3)D.[2411,3) 答案 C5.(2019福建龙岩一模,10)已知数列{a n }各项均为整数,共有7项,且满足|a k+1-a k |=1,k=1,2,…,6,其中a 1=1,a 7=a(a 为常数且a>0).若满足上述条件的不同数列共有15个,则a 的值为( ) A.1 B.3 C.5 D.7 答案 B6.(2019福建福州一模,10)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=(n+1)a n22a n2+4na n +n 2,则a 8=( )A.8964-2B.8932-2C.8916-2D.897-2答案 A7.(2020届浙江丽水四校联考,7)数列{a n }满足a 1=43,a n+1=a n 2-a n+1(n ∈N *),则m=1a 1+1a 2+…+1a 2 014的整数部分是( )A.1B.2C.3D.4 答案 B二、多项选择题(每题5分,共10分)8.(改编题)数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1=1,a n+1=3S n (n ∈N *),则有( ) A.S n =4n-1B.{S n }为等比数列C.a n =3×4n-1D.a n ={1,n =13×4n -2,n ≥2答案 ABD9.(改编题)已知数列{a n }的通项公式为a n =2n-1,数列{b n }满足b n =2log 2a n+1.记S n =b 1+b 2+…+b n ,若对任意n ∈N *,都有S n a n ≤S k a k成立,则正整数k 的值为( )A.5B.4C.2D.3 答案 CD三、填空题(每题5分,共10分)10.(2019届皖中名校联盟高三10月联考,14)已知数列{a n }满足:a n =1-1a n+1,且a 1=2,则a 2 019= .答案1211.(2019河南开封一模,16)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{b n }的前n 项和为T n .满足a 1=2,3S n =(n+m)a n (m ∈R),且a n b n =n,若存在n ∈N *,使得λ+T n ≥T 2n 成立,则实数λ的最小值为 .答案13四、解答题(共25分)12.(2018山东六校联考,17)已知数列{a n }中,a 1=1,前n 项和S n =n+23a n . (1)求a 2,a 3;(2)求{a n }的通项公式.。
【精准解析】2021届高考数学(浙江专用)：§6.1 数列的概念及其表示
专题六数列【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、数列的概念及其表示1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.从近几年高考情况来看,数列问题每年都考查,难度中等.考查内容主要集中在两个方面:一是以选择题或填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质,题目多为常规试题;二是等差、等比数列的通项与求和问题,近两年结合概率、统计、函数、不等式等进行综合考查,涉及内容较为全面,题型新颖、方法灵活多变.1.解决等差(比)数列的基本问题时,要灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式,利用基本量法求解.2.数列的通项与求和是高考常考内容,其中求通项是求和的基础.3.重视方程、函数、分类讨论思想的应用.(1)方程思想:等差(比)数列中,由五个量a1,d(q),n,a n,S n中的三个量可求出其余两个量,要求选用公式要恰当,善于应用性质,减少计算量.(2)函数思想:在等差数列中,当d≠0时,a n与自变量n为一次函数关系.S n与n的关系:当d=0时,S n=na1为一次函数;当d≠0时,S n=d2n2+(a1-d2)n为二次函数.在等比数列中,通项公式a n=a1q n-1可化为a n=a1q·q n,这是指数型函数.(3)分类讨论思想:当q=1时,{a n}的前n项和S n=na1;当q≠1时,{a n}的前n项和S n=a1(1-q n)1−q=a1-a n q1−q.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,此处是易错点.二、等差数列1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.三、等比数列1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.四、数列求和及综合应用1.掌握数列求和的几种常见方法.2.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.【真题探秘】§6.1数列的概念及其表示基础篇固本夯基【基础集训】考点 数列的概念及其表示1.数列1,23,35,47,59,…的一个通项公式a n =( ) A.n2n+1B.n 2n -1 C.n 2n -3D.n2n+3答案 B2.已知数列{a n }满足:∀m,n ∈N *,都有a n ·a m =a n+m ,且a 1=12,那么a 5=( ) A.132B.116C.14D.12答案 A3.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,S n =(n+1)a n2,则a 2 017=( )A.2 016B.2 017C.4 032D.4 034 答案 B4.在数列{a n }中,a 1=-14,a n =1-1a n -1(n ≥2,n ∈N *),则a 2 018的值为( )A.-14B.5C.45D.54答案 B5.已知数列{a n }满足a n+1=a n -a n-1(n ≥2),a 1=m,a 2=n,S n 为数列{a n }的前n 项和,则S 2 017的值为( ) A.2 017n-m B.n-2 017m C.m D.n 答案 C综合篇知能转换【综合集训】考法一 利用S n 与a n 的关系求通项公式1.(2018山东省实验中学期中,5)若数列{a n }满足a 1+a 2+a 3+…+a n =3n-2,那么这个数列的通项公式为( ) A.a n =2×3n-1B.a n =3×(12)n -1C.a n =3n-2D.a n ={1,n =12×3n -1,n ≥2答案 D2.已知数列{a n }中,a 1=1,S n 为数列{a n }的前n 项和,且当n ≥2时,有2a na n S n -S n 2=1成立,则S 2 017= .答案11 009考法二 由递推关系求数列的通项公式3.(2018广东深圳耀华实验学校期中,11)在数列{a n }中,a 1=1,a n+1=2a n -2n,则a 17=( ) A.-15×216 B.15×217C.-16×216D.16×217答案 A4.(2019广东广雅中学模拟,7)在数列{a n }中,已知a 1=2,a n+1=a n 3a n +1(n ∈N *),则a n 的通项公式为( )A.a n =24n -3B.a n =26n -5C.a n =24n+3D.a n =22n-1答案 B5.(2019河南濮阳重点高中联考,9)已知数列{a n }的首项a 1=35,且满足a n -a n-1=2n-1(n ∈N *,n ≥2),则a n n的最小值为( )A.2√34B.595C.353 D.12答案 C6.(2019山西盂县一中模拟,8)设数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,且2na n =(n-1)a n-1+(n+1)a n+1(n ≥2且n ∈N *),则a 18=( ) A.259B.269C.3D.289答案 B考法三 数列的单调性和最大(小)项7.(2019河南中原名校第三次联考,18)设数列{a n }满足:a 1+a 2+a 3+…+a n =n-a n (n ∈N *). (1)求a 1,a 2;(2)若b n =n(2-n)(a n -1),求{b n }的最大项,并写出取最大项的项数.解析 (1)∵数列{a n }满足:a 1+a 2+a 3+…+a n =n-a n (n ∈N *),∴a 1=1-a 1,a 1+a 2=2-a 2,解得a 1=12,a 2=34.(2)由数列{a n }满足:a 1+a 2+a 3+…+a n =n-a n (n ∈N *),得n ≥2时,a 1+a 2+a 3+…+a n-1=n-1-a n-1, 相减可得a n =1-a n +a n-1,可得a n -1=12(a n-1-1)(n ≥2), ∴数列{a n -1}是等比数列,公比为12,首项为-12. ∴a n -1=-(12)n (n ∈N *),∴b n =n(2-n)(a n -1)=n(n-2)×(12)n . b n+1-b n =(n+1)(n-1)×(12)n+1-n(n-2)×(12)n =-(n 2-4n+1)2n+1,令b n+1-b n >0,解得2-√3<n<2+√3.∴b 1<b 2<b 3<b 4>b 5>b 6>…>b n .∴b 4是最大项,b 4=12.【五年高考】考点 数列的概念及其表示1.(2018课标Ⅰ,14,5分)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n =2a n +1,则S 6= . 答案 -632.(2015课标Ⅱ,16,5分)设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n = . 答案 -1n3.(2019上海,8,5分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S n +a n =2,则S 5= . 答案 31164.(2016浙江,13,6分)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *,则a 1= ,S 5= . 答案 1;121教师专用题组考点 数列的概念及其表示1.(2013课标Ⅰ,14,5分)若数列{a n }的前n 项和S n =23a n +13,则{a n }的通项公式是a n = . 答案 (-2)n-12.(2015浙江,20,15分)已知数列{a n }满足a 1=12且a n+1=a n -a n2(n ∈N *). (1)证明:1≤a n a n+1≤2(n ∈N *); (2)设数列{a n 2}的前n 项和为S n,证明:12(n+2)≤S n n ≤12(n+1)(n ∈N *). 证明 (1)由题意得a n+1-a n =-a n 2≤0,即a n+1≤a n ,故a n ≤12.由a n =(1-a n-1)a n-1得a n =(1-a n-1)(1-a n-2)…(1-a 1)a 1>0. 由0<a n ≤12得a n a n+1=a n a n -a n2=11−a n ∈[1,2],即1≤a na n+1≤2. (2)由题意得a n 2=a n -a n+1,所以a na n+1=1a n+1-1a n,S n =a 1-a n+1.① 由a na n+1=1a n+1-1a n 和1≤a na n+1≤2得1≤1a n+1-1a n≤2,所以n ≤1a n+1-1a 1≤2n,因此12(n+1)≤a n+1≤1n+2(n ∈N *).② 由①②得12(n+2)≤S n n ≤12(n+1)(n ∈N *).【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共35分)1.(2018广东惠州模拟,7)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2a n -1,则S6a 6=( ) A.6332 B.3116 C.12364D.127128答案 A2.(2018广东广州一模,9)已知数列{a n }满足a 1=2,2a n a n+1=a n 2+1,设b n=a n -1a n +1,则数列{b n }是( )A.常数列B.摆动数列C.递增数列D.递减数列 答案 D3.(2018河南安阳二模,9)已知数列:11,21,12,31,22,13,41,32,23,14,…,依它的前10项的规律,这个数列的第2 018项a 2 018等于( ) A.131B.163C.64D.632答案 D4.(2018河北保定一模,10)已知函数f(x)={(3-a)x -6,x ≤10,a x -9,x >10,若数列{a n }满足a n =f(n)(n ∈N *),且{a n }是递增数列,则实数a 的取值范围是( )A.(1,3)B.(1,2]C.(2,3)D.[2411,3) 答案 C5.(2019福建龙岩一模,10)已知数列{a n }各项均为整数,共有7项,且满足|a k+1-a k |=1,k=1,2,…,6,其中a 1=1,a 7=a(a 为常数且a>0).若满足上述条件的不同数列共有15个,则a 的值为( ) A.1 B.3 C.5 D.7 答案 B6.(2019福建福州一模,10)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=(n+1)a n22a n2+4na n +n 2,则a 8=( )A.8964-2B.8932-2C.8916-2D.897-2答案 A7.(2020届浙江丽水四校联考,7)数列{a n }满足a 1=43,a n+1=a n 2-a n+1(n ∈N *),则m=1a 1+1a 2+…+1a 2 014的整数部分是( )A.1B.2C.3D.4 答案 B二、多项选择题(每题5分,共10分)8.(改编题)数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1=1,a n+1=3S n (n ∈N *),则有( ) A.S n =4n-1B.{S n }为等比数列C.a n =3×4n-1D.a n ={1,n =13×4n -2,n ≥2答案 ABD9.(改编题)已知数列{a n }的通项公式为a n =2n-1,数列{b n }满足b n =2log 2a n+1.记S n =b 1+b 2+…+b n ,若对任意n ∈N *,都有S n a n ≤S k a k成立,则正整数k 的值为( )A.5B.4C.2D.3 答案 CD三、填空题(每题5分,共10分)10.(2019届皖中名校联盟高三10月联考,14)已知数列{a n }满足:a n =1-1a n+1,且a 1=2,则a 2 019= .答案1211.(2019河南开封一模,16)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{b n }的前n 项和为T n .满足a 1=2,3S n =(n+m)a n (m ∈R),且a n b n =n,若存在n ∈N *,使得λ+T n ≥T 2n 成立,则实数λ的最小值为 .答案13四、解答题(共25分)12.(2018山东六校联考,17)已知数列{a n }中,a 1=1,前n 项和S n =n+23a n . (1)求a 2,a 3;(2)求{a n }的通项公式.解析 (1)由S 2=43a 2得3(a 1+a 2)=4a 2, 解得a 2=3a 1=3.由S 3=53a 3得3(a 1+a 2+a 3)=5a 3, 解得a 3=32(a 1+a 2)=6.(2)由题设知,当n ≥2时,有a n =S n -S n-1=n+23a n -n+13a n-1, 整理得a n a n -1=n+1n -1, 因此a n a n -1·a n -1a n -2·…·a 3a 2·a 2a 1=n+1n -1·n n -2·…·42·31, 化简得a n =(n+1)n 2×1·a 1=n(n+1)2, 当n=1时,a 1=1满足上式, 所以{a n }的通项公式为a n =n(n+1)2(n ∈N *). 13.(2019 5·3原创题)已知二次函数f(x)=x 2-ax+a(a>0,x ∈R)有且只有一个零点,数列{a n }的前n 项和S n =f(n)(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设c n =1-4a n(n ∈N *),定义所有满足c m ·c m+1<0的正整数m 的个数,称为这个数列{c n }的变号数,求数列{c n }的变号数.解析 (1)依题意,知Δ=a 2-4a=0,所以a=0或a=4.又由a>0得a=4,所以f(x)=x 2-4x+4.所以S n =n 2-4n+4.当n=1时,a 1=S 1=1-4+4=1;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n-5.所以a n ={1,n =1,2n -5,n ≥2.(2)由题意得c n ={-3,n =1,1−42n -5,n ≥2.由c n =1-42n -5(n ≥2)可知,当n ≥5时,恒有c n >0.又c 1=-3,c 2=5,c 3=-3,c 4=-13,c 5=15,c 6=37,所以c 1·c 2<0,c 2·c 3<0,c 4·c 5<0,所以数列{c n }的变号数为3.。
【走向高考】2021届高考数学一轮总温习 6-1数列的概念与简单表示法课后强化作业 北师大版 (1)
"【走向高考】2021届高考数学一轮总温习 6-1数列的概念与简单表示法课后强化作业 北师大版 "基础达标检测一、选择题 1．(文)数列2，5，22，…，那么25是该数列的( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第10项 D ．第11项[答案] B[解析] 原数列可写成2，5，8，…，∵25＝20，∴20＝2＋(n －1)×3，∴n ＝7.(理)已知数列2，7，10，13，4，…，那么27是该数列的( )A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项[答案] C[解析] 前5项可写成4，7，10，13，16，故而可归纳通项公式为3n ＋1，故令3n ＋1＝27， ∴n ＝9.2．数列1，85，157，249，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 22n ＋1 B ．a n ＝n n ＋2n ＋1C ．a n ＝n ＋12－12n ＋1D ．a n ＝n n ＋22n ＋1[答案] D[解析] ∵1能够看成33，∴分母为3,5,7,9，即2n ＋1，分子能够看成1×3,2×4,3×5,4×6，故为n (n ＋2)，即a n ＝n n ＋22n ＋1.3．以下关于星星的图案组成一个数列，该数列的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n n －12C ．a n ＝n n ＋12D ．a n ＝n n ＋22[答案] C[解析] 从图中可观看星星的组成规律：n ＝1时有1个，排除B 、D ；n ＝3时有6个，排除A. 4．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N ＋)，那么a 1 000＝( ) A ．5 B ．－5 C ．1 D ．－1[答案] D[解析] 由a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N ＋)可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，…，以6为周期，由此可得a 1 000＝a 4＝－1.应选D.5．(文)数列{－2n 2＋29n ＋3}中最大项是( ) A ．107 B ．108 C ．10813D ．109 [答案] B[解析] a n ＝－2n 2＋29n ＋3 ＝－2(n －294)2＋10818， ∵294＝714且n ∈N ＋， ∴当n ＝7时，a n 最大，最大值为a 7＝108. 应选B.(理)假设数列{a n }(n ∈N ＋)的首项为14，前n 项的和为S n ，点(a n ，a n ＋1)在直线x －y －2＝0上，那么以下说法正确的选项是( )A ．当且仅当n ＝1时，S n 最小B ．当且仅当n ＝8时，S n 最大C ．当且仅当n ＝7或8时，S n 最大D ．S n 有最小值，无最大值 [答案] C[解析] 由题意得：a n －a n ＋1－2＝0，那么a n ＋1－a n ＝－2，因此数列{a n }是以a 1＝14，d ＝－2的等差数列，则S n ＝14n ＋n n －12×(－2)＝－n 2＋15n ，因此当且仅当n ＝7或8时，S n 最大．6．已知数列{a n }知足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，那么a 2 015的值是( ) A ．2 012×2 013 B ．2 014×2 015 C ．2 0142 D ．2 013×2 014[答案] B[解析] 解法1：a 1＝0，a 2＝2，a 3＝6，a 4＝12，考虑到所给结论都是相邻或相近两整数乘积的形式，可变形为：a 1＝0×1，a 2＝1×2，a 3＝2×3，a 4＝3×4，猜想a 2 015＝2 014×2 015，应选B. 解法2：a n －a n －1＝2(n －1)，a n －1－a n －2＝2(n －2)，…a 3－a 2＝2×2， a 2－a 1＝2×1.所有等式左右两边别离相加(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1) ＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋1]． ∴a n －a 1＝2n －1n －1＋12＝n (n －1)．∴a n ＝n (n －1)．故a 2 015＝2 014×2 015. 二、填空题7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，假设它的第k 项知足5<a k <8，那么k 的值为________． [答案] 8[解析] 因为S n ＝n 2－9n ，那么S n －1＝(n －1)2－9(n －1)(n ≥2)，因此a n ＝S n －S n －1＝2n －10. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－8知足上式． 因此a n ＝2n －10(n ∈N ＋)． 由已知5<a k <8，即5<2k －10<8. 解得7.5<k <9.又k ∈N ＋，因此k ＝8. 8．已知数列{a n }知足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N ＋)，那么a 2021＝________.[答案] －3[解析] 由已知条件可推得a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，a 5＝－3故可知数列{a n }的周期为3，因此a 2021＝a 2＝－3.9．将全部正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10… … … … … … …依照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________． [答案]n 2－n ＋62[解析] 前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个，即n 2－n2个，因此第n 行第3个数是全部正整数中第n 2－n2＋3个，即为n 2－n ＋62.三、解答题10．(文)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N ＋)．(1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求a n 的通项公式及S 10.[解析] (1)由a 1＝S 1＝13(a 1－1)得a 1＝－12.又a 1＋a 2＝S 2＝13(a 2－1)，解得a 2＝14.同理a 3＝－18(2)n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a na n －1＝－12. ∴数列{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．即a n ＝(－12)n ，∴S 10＝a 11－q 101－q ＝－3411 024. (理)(2021·江西高考)正项数列{a n }的前n 项和S n 知足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.求数列{a n }的通项公式a n .[解析] 由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，因此S n >0，S n ＝n 2＋n . 于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)2＝2n . 综上，数列{a n }的通项a n ＝2n . 能力强化训练 一、选择题1．已知数列{a n }的前n 项和S n 知足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10＝( ) A ．1 B ．9 C ．10 D ．55[答案] A[解析] 此题要紧考查数列的求和公式和赋值法．令m ＝n ＝1，那么S 1＋S 1＝S 2，即a 1＋a 1＝a 1＋a 2，因此a 2＝a 1＝1；令n ＝1，m ＝2，因此S 1＋S 2＝S 3.即a 1＋a 1＋a 2＝a 1＋a 2＋a 3，那么a 3＝a 1＝a 2＝1，…，故a 10＝1，应选A.2．已知整数按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，那么第60个数对是( )A ．(5,5)B ．(5,6)C ．(5,7)D ．(5,8)[答案] C[解析] 按规律分组：第一组(1,1)，第二组(1,2)，(2,1)，第三组(1,3)，(2,2)，(3,1)，那么前10组共有10×112＝55个有序实数对．第60项应在第11组中即(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，(11,1)因此第60项为(5,7)．二、填空题3．已知数列{a n }的首项a 1＝13，且知足1a n ＋1＝1a n ＋2(n ∈N ＋)，那么a 1 007＝________.[答案]12 015[解析] 由1a n ＋1－1a n ＝2知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝3为首项，以2为公差的等差数列，故1a 1 007＝1a 1＋1 006d＝3＋2 012＝2 015.即a 1 007＝12 015. 4．(文)已知a n ＝n －98n －99(n ∈N ＋)，那么在数列{a n }的前30项中，最大项和最小项别离是第________项． [答案] 10 9 [解析] a n ＝n －98n －99＝n －99＋99－98n －99＝1＋99－98n －99当1≤n ≤9时，99－98n －99<0，a n 递减．当n ≥10时，99－98n －99>0，a n 递减． ∴最大项为a 10，最小项为a 9.(理)假设数列{n (n ＋4)(23)n }中的最大项是第k 项，那么k ＝________.[答案] 4[解析] 此题考查了求数列中最大项问题，可利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1a n ≥a n －1来求解；由题意可列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k ＋1a k ≥a k －1，即⎩⎪⎨⎪⎧kk ＋423k ≥k ＋1k ＋523k ＋1kk ＋423k ≥k －1k ＋323k －1，化简可得⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥10k 2－2k －9≤0解之得10≤k ≤1＋10，又∵k ∈N ＋，∴k ＝4. 三、解答题5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，知足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求a n . [解析] 由log 2(S n ＋1)＝n ＋1， 知S n ＋1＝2n ＋1，∴S n ＝2n ＋1－1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝22－1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n ＋1－2n ＝2n .∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.6．(文)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．[解析] (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1.当n ≥2时有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，……a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两头别离相乘，整理得a n ＝n n ＋12.综上，{a n }的通项公式a n ＝n n ＋12.(理)(2021·广东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N ＋.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式.[解析] (1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，因此a 2＝4；(2)解法1：当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23 整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－(n ＋1)， 即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 22－a 11＝1故数列{a n n }是首项为a 11＝1，公差为1的等差数列，因此a n n＝1＋(n －1)×1＝n ，因此a n ＝n 2.解法2：因为2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，因此2S n n ＝S n ＋1－S n －13n 2－n －23.整理得n ＋2n S n ＝S n ＋1－13(n ＋1)(n ＋2)，因此S n ＋1n ＋1n ＋2－S nnn ＋1＝13，因此数列{S nn n ＋1}是首项为S 12，公差为13的等差数列，因此S n n n ＋1＝S 12＋13(n －1)＝2n ＋16，因此S n ＝n n ＋12n ＋16，因此S n －1＝n －1n 2n －16，(n ≥2)．因此a n ＝S n －S n －1＝n 2(n ≥2)． 因为a 1＝1符合上式，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2(n ∈N ＋)．。