北京101中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案
北京101中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试卷一、 选择题：本大题共8小题，共40分.1. 设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U N C M = （ ）A. {}1B. {}3,5C. {}1,3,4,5D. {}1,2,3,5,62. 已知平面直角坐标系内的点()1,1A ，()2,4B ，()1,3C -，则AB AC -=( )A. 8 D.10 3. 已知1sin cos 5αα+=-，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α的值是（ ） A. 34-B. 43C. 34D.43- 4. 已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A. 向左平移8π个单位长度 B. 向右平移8π个单位长度 C. 向左平移4π个单位长度 D. 向右平移4π个单位长度5. 已知a 与b 是非零向量且满足()3a b a -⊥ ，()4a b b -⊥，则a 与b 的夹角是（ ）A.6π B. 3π C. 23π D. 56π 6. 已知,,,E F G H 分别是四边形ABCD 的所在边的中点，若()()0AB BC BC CD +⋅+=，则四边形EFGH 是（ ）Ａ．平行四边形但不是矩形 Ｂ．正方形 Ｃ． 菱形 Ｄ．矩形 7. 设偶函数()log a f x x b =-在(),0-∞是递增函数，则()1f a +与()2f b +的大小关系是（ ）Ａ．()()12f a f b +=+ Ｂ．()()12f a f b +<+Ｃ．()()12f a f b +>+ Ｄ．不确定8. 已知O 为平面内一点，,,A B C 是平面内不共线的三点，且()12OP OB OC =++cos cos AB AC AB B AC C λ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭，()0,λ∈+∞，则动点P 的轨迹一定过ABC ∆的（ ） Ａ．内心 Ｂ．垂心 Ｃ．重心 Ｄ．外心二、填空题：本大题共6小题，共30分9. 若()3f x x =，则满足()1f x <的x 的取值范围是___________.10. 若函数()234f x x x =-+在[]1,3x ∈-上的最大值和最小值分别为,a b ，则a b +=___11. 已知向量()2,1a = ，()1,2b =- ，若()9,8ma nb +=-，则m n -的值为_________.12. 若tan 3θ=，则222sin sin cos cos θθθθ--=_________.13. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点，若BE BA BD λμ=+(),R λμ∈，则________.λμ+=BD14. 已知点O 为三角形ABC 内一点，230OA OB OC ++= ，则ABC AOCSS ∆∆=__________.三、解答题：本大题共5小题，共50分.15. 设全集U R =，集合{}13A x x =-≤<，{}242B x x x =-≥-. （1）求()U C A B ；（2）若集合{}0C x x a =->，满足B C C = ，求实数a 的取值范围.16. 求值：()()()tan150cos 210sin 420sin1050cos 600︒-︒-︒︒-︒17. 已知()1,2a = ，()1,1b =，且a 与a b λ+ 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.18. 设函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，πϕπ-<≤）在6x π=处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为2π. （1）求()f x 的解析式； （2）求函数()4226cos sin 1226x x g x x f π--=⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域.19. 设函数()424xxf x =+ （1）用定义证明：函数()f x 是R 上的增函数； （2）证明：对任意的实数t 都有()()11f t f t +-=； （3）求值：1232015...2016201620162016f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.北京101中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试卷参考答案一、 选择题：本大题共8小题，共40分.二、填空题：本大题共6小题，共30分9. (),1-∞ 10.39411. 3- 12. 7513.34 14. 72三、解答题：本大题共5小题，共50分.15. 解：（1）依题意知：集合{}13A x x =-≤<，{}2B x x =≥（解不等式242x x -≥-可得：2x ≥） 故{}23A B x x =≤<又U R = 从而(){}23U C A B x x x ⋂=<≥或（2）易知集合{}{}0C x x a x x a =->=> 由B C C = 可得：B C ⊆ 故有2a <即所求实数a 的取值范围是(),2-∞16. 解：由诱导公式可得：()tan150tan 18030tan 303︒=︒-︒=-︒=-()()cos 210cos 210cos 18030cos30-︒=︒=︒+︒=-︒= ()()sin 420sin 420sin 36060sin 60-︒=-︒=-︒+︒=-︒= ()1sin1050sin 336030sin 302︒=⨯︒-︒=-︒=-()()1cos 600cos 600cos 318060cos 602-︒=︒=⨯︒+︒=-︒=-故原式4111422⎛ ⎝⎭⎝⎭===⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭17. 解：根据向量的坐标运算可得：()1,2a b λλλ+=++由a 与a b λ+ 的夹角为锐角可得：()0a a b λ⋅+>而()1,2a =，故有()()1++22+=3+50λλλ>从而可得：53λ>-即所求实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭18. 解：（1）由题意可得：()max 2f x A ==，22T T ππ=⇒= 于是222T ππωπ=== 故()()2sin 2f x x ϕ=+ 由()f x 在6x π=处取得最大值2可得：222626k k πππϕπϕπ⨯+=+⇒=+()k Z ∈又πϕπ-<< 故6πϕ=因此()f x 的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）由（1）可得：2sin 22sin 2cos 262662x x f x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故()()()4226cos 1cos 12cos 2x x g x x ---=-4226cos cos 24cos 2x x x +-=- ()()()2223cos 22cos 122cos 1x x x +-=-23cos 22x +=23cos 12x =+ 21cos 2x ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭ 令2cos t x =，可知01t ≤≤且12t ≠ 即211cos 0,,122x ⎡⎫⎛⎤∈⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦从而()7751,,442g x ⎡⎫⎛⎤∈⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦因此，函数()g x 的值域为7751,,442⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦19. 解：（1）证明：在定义域R 上任取两个自变量值12,x x 且12x x <()()()()()()()()()122112121212121242442424444242424242424x x x x x x x x x x x x x x f x f x +-+--=-==++++++ 由12x x <可得：12440xx-<从而()()120f x f x -< 即()()12f x f x <根据函数单调性的定义可得：函数()f x 在R 上为增函数.（2）证明：因为()()114412424t tt tf t f t --+-=+++ ()()()()1114244242424t t t t tt---+++=++()()112448142444tt tt--++==+++ 故对任意的实数t 都有()()11f t f t +-= （3）由（2）可得：12015120162016f f ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22014120162016f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32013120162016f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，...... ，20151120162016f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1232015...2016201620162016f f f f M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 则2015201420131...2016201620162016f f f f M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭上下等式左右两边分别相加可得：201512M ⨯= 故可得：20152M = 因此，12320152015...20162016201620162f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
高一上学期数学期末考试卷-北京-101中学
2017-2018学年北京市101中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分） 1．（5分）计算：sin =（ ）A ．﹣B ．C ．D ．﹣2．（5分）若0＜a ＜1，则函数f （x ）=a x +6的图象一定经过（ ） A ．第一、二象限 B ．第二、四象限 C ．第一、二、四象限D ．第二、三、四象限3．（5分）下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是（ ） A ．y=e xB ．y=tanxC ．y=lnxD ．y=x 3+x4．（5分）已知函数g （x ）=f （x ）﹣x ，若f （x ）是偶函数，且f （2）=1，则g （﹣2）=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．（5分）若向量，满足||=||=，则=（ ）A ．0B ．mC ．﹣mD ．6．（5分）不等式3＞3x 的解集是（ ）A ．（﹣3，2）B ．（﹣2，3）C ．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）7．（5分）函数y=ln （﹣x 2+2x +3）的减区间是（ ） A ．（﹣1，1]B ．[1，3）C ．（﹣∞，1]D ．[1，+∞） 8．（5分）已知函数y=Asin （ωx +φ）+B （A ＞0，ω＞0，|φ|＜）的周期为T ，在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是（ ）A ．A=3，T=2πB ．B=﹣1，ω=2C ．T=4π，φ=﹣D ．A=3，φ=9．（5分）某学生在期中考试中，数学成绩较好，英语成绩较差，为了在后半学期的月考和期末这两次考试中提高英语成绩，他决定重点加强英语学习，结果两次考试中英语成绩每次都比上次提高了10%，但数学成绩每次都比上次降低了10%，期末时这两科分值恰好均为m分，则这名学生这两科的期末总成绩和期中比，结果（）A．提高了B．降低了C．不提不降（相同）D．是否提高与m值有关系10．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，，．若=1，=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）计算：2×80.25+（﹣）0=．12．（5分）要得到y=sin（2x﹣）的图象，只需将函数y=sin2x的图象至少向右平移个单位．13．（5分）函数y=cos2x+3cosx+2的最小值为．14．（5分）已知向量，满足||=2，||=，与的夹角为，，则实数λ=．15．（5分）已知函数f（x）=，定义函数g（x）=f（x）﹣k，若函数g（x）无零点，则实数k的取值范围为．16．（5分）已知数集X={x1，x2，…，x n}（其中x i＞0，i=1，2，…，n，n≥3），若对任意的x k∈X（k=1，2，…n），都存在x i，x j∈X（x i≠x j），使得下列三组向量中恰有一组共线：①向量（x i，x k）与向量（x k，x j）；②向量（x i，x j）与向量（x j，x k）；③向量（x k，x i）与向量（x i，x j），则称X具有性质P，例如{1，2，4}具有性质P．（1）若{1，3，x}具有性质P，则x的取值为（2）若数集{1，3，x1，x2}具有性质P，则x1+x2的最大值与最小值之积为．三、解答题（共40分）17．（10分）已知函数f（x）=2sin（x+）．（I）若点P（1，）在角α的终边上，求：cosα和f（）的值；（II）若x∈[﹣]，求f（x）的值域．18．（8分）设函数f（x）的定义域为R+，且满足条件f（4）=1，对任意x1，x2∈R﹢，有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），且当x1≠x2时，有＞0．（1）求f（1）的值；（2）如果f（x+6）＞2，求x的取值范围．19．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足= +．（1）求证：A、B、C三点共线；（2）已知A（1，cosx）、B（1+sinx，cosx），x∈[0，]，f（x）=•+（2m+）||+m2的最小值为5，求实数m的值．20．（12分）已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断．定义：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得f2（x）﹣f1（x）≤k（x﹣a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．（I）若f（x）=sinx，x∈[﹣]，请直接写出f1（x），f2（x）的表达式；（II）已知函数f（x）=（x﹣1）2，x∈[﹣1，4]，试判断f（x）是否为[﹣1，4]上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k，如果不是，请说明理由．。
2016北京101中学高一上(期末)试题
2016北京101中高一（上）期末数学一、选择题：本大题共8小题，共40分.1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N∩（∁U M）=（）A．{1}B．{3，5}C．{1，3，4，5}D．{1，2，3，5，6}2．（5分）已知平面直角坐标系内的点A（1，1），B（2，4），C（﹣1，3），则=（）A．B．C．8 D．103．（5分）已知，，则tanα的值是（）A． B． C．D．4．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx 的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度5．（5分）已知是非零向量且满足，则的夹角是（）A．B．C．D．6．（5分）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的所在边的中点，若，则四边形EFGH是（）A．平行四边形但不是矩形B．正方形C．菱形D．矩形7．（5分）已知偶函数f（x）=log a|x﹣b|在（﹣∞，0）上单调递增，则f（a+1）与f（b+2）的大小关系是（）A．f（a+1）≥f（b+2） B．f（a+1）＞f（b+2） C．f（a+1）≤f（b+2） D．f（a+1）＜f（b+2）8．（5分）已知O为平面上的一个定点，A、B、C是该平面上不共线的三个动点，点P满足条件，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．重心B．垂心C．外心D．内心二、填空题：本大题共6小题，共30分9．（5分）若f（x）=x3，则满足f（x）＜1的x的取值范围是．10．（5分）若函数f（x）=x2﹣3x+4在x∈[﹣1，3]上的最大值和最小值分别为a，b，则a+b=．11．（5分）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为．12．（5分）若tanθ=3，则2sin2θ﹣sinθcosθ﹣cos2θ=．13．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若（λ，μ∈R），则λ+μ=．14．（5分）已知点O为三角形ABC内一点，，则=．三、解答题：本大题共5小题，共50分.15．（10分）设全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}．（1）求∁U（A∩B）；（2）若集合C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．16．（10分）求值：．17．（10分）已知=（1，2），=（1，1），且与+λ的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．18．（10分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ≤π）在处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数的值域．19．（10分）设函数（1）用定义证明：函数f（x）是R上的增函数；（2）证明：对任意的实数t都有f（t）+f（1﹣t）=1；（3）求值：．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，共40分.1．【解答】∵全集U={1，2，3，4，5，6}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，∴∁U M={2，3，5，6}．则N∩（∁U M）={1，3，5}∩{2，3，5，6}={3，5}．故选：B．2．【解答】∵A（1，1），B（2，4），C（﹣1，3），∴=（1，3），=（﹣2，2），∴﹣=（3，1），∴==，故选B．3．【解答】因为，，又sin2α+cos2α=1，所以sinα=﹣，cosα=，所以tanα==．故选B．4．【解答】由题知ω=2，所以，故选择A．5．【解答】设的夹角是α∵∴∴=∴故选A6．【解答】连接AC，BD，∵E，F，G，H分别是四边形ABCD 的所在边的中点，∴EF∥GH∥AC，EF=GH=AC，∴四边形EFGH是平行四边形．∵，∴=0，∴AC⊥BD．∵EF∥AC，FG∥BD，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形，故选D．7．【解答】∵y=log a|x﹣b|是偶函数∴log a|x﹣b|=log a|﹣x﹣b|∴|x﹣b|=|﹣x﹣b|∴x2﹣2bx+b2=x2+2bx+b2整理得4bx=0，由于x不恒为0，故b=0由此函数变为y=log a|x|当x∈（﹣∞，0）时，由于内层函数是一个减函数，又偶函数y=log a|x﹣b|在区间（﹣∞，0）上递增故外层函数是减函数，故可得0＜a＜1综上得0＜a＜1，b=0∴a+1＜b+2，而函数f（x）=log a|x﹣b|在（0，+∞）上单调递减∴f（a+1）＞f（b+2）故选B．8．【解答】∵•=﹣||+||=0∴与垂直，设D为BC的中点，则令=∵点P满足条件，∴=+∴点P在BC的垂直平分线上，即P经过△ABC的外心故选C．二、填空题：本大题共6小题，共30分9．【解答】∵f（x）=x3，若f（x）＜1，则x3﹣1=（x﹣1）（x2+x+1）＜0，∵x2+x+1＞0恒成立，故x＜1，即满足f（x）＜1的x的取值范围是（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）．10．【解答】∵y=x2﹣3x+4（﹣1≤x≤3），∴y=（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴为x=，当x=时y有最小值：，∵﹣1≤x≤3，∴x=﹣1时，y=8是最大值．∴函数的最大值为8，最小值为，∴a+b=，故答案为：．11．【解答】向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．12．【解答】∵tanθ=3，∴2sin2θ﹣sinθcosθ﹣cos2θ===．故答案为：．13．【解答】∵，，∴，∵E为线段AO的中点，∴，∴，2μ=，解得μ=，∴λ+μ=．故答案为：．14．【解答】如图，取BC中点D，AC中点E，连接OA，OB，OC，OD，OE；==∴；∴D，O，E三点共线，即DE为△ABC的中位线；∴DE=OE，AB=2DE；∴AB=3OE；∴．故答案为：3．三、解答题：本大题共5小题，共50分.15．【解答】（1）由集合B中的不等式2x﹣4≥x﹣2，解得x≥2，∴B={x|x≥2}，又A={x|﹣1≤x＜3}，∴A∩B={x|2≤x＜3}，又全集U=R，∴∁U（A∩B）={x|x＜2或x≥3}；（2）由集合C中的不等式2x+a＞0，解得x＞﹣，∴C={x|x＞﹣}，∵B∪C=C，∴B⊆C，∴﹣＜2，解得a＞﹣4；故a的取值范围为（﹣4，+∞）．16．【解答】由诱导公式可得：，，，，，∴原式=．17．【解答】因为=（1，2），=（1，1），且与+λ的夹角为锐角，所以：•（）＞0⇒（1，2）•（1+λ，2+λ）＞0⇒3λ＞﹣5⇒λ＞﹣；当与+λ共线时，λ=m⇒（1+λ，2+λ）=m（1，2）⇒⇒λ=0．即λ=0时，两向量共线，∴λ≠0．故λ＞﹣且λ≠0．故实数λ的取值范围：λ＞﹣且λ≠0．18．【解答】（1）由题意可得：f（x）max=A=2，，于是，故f（x）=2sin（2x+φ），由f（x）在处取得最大值2可得：（k∈Z），又﹣π＜φ＜π，故，因此f（x）的解析式为．（2）由（1）可得：，故====，，令t=cos2x，可知0≤t≤1且，即，从而，因此，函数g（x）的值域为．19．【解答】（1）证明：在定义域R上任取两个自变量值x1，x2且x1＜x2由x1＜x2可得：从而f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）根据函数单调性的定义可得：函数f（x）在R上为增函数．（2）证明：因为==故对任意的实数t都有f（t）+f（1﹣t）=1（3）由（2）可得：，，…，令则上下等式左右两边分别相加可得：2015×1=2M故可得：因此，第11页共11 页。
2016-2017年北京市101中学高一上学期数学期中试卷带答案
2016-2017学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）已知集合A={x|x＜1}，则下列关系正确的是（）A．0⊆A B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A2．（3分）三个数a=0.32，b=0.30，c=1.20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c3．（3分）下列函数中，在区间（0，+∞）上存在最小值的是（）A．y=（x﹣1）2 B．y=C．y=2x D．y=4．（3分）函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）5．（3分）集合A={a，b}，B={﹣1，0，1}，从A到B的映射f：A→B满足f（a）+f（b）=0，那么这样的映射f：A→B的个数是（）A．2个 B．3个 C．5个 D．8个6．（3分）函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的大致图象是（）A．B． C． D．7．（3分）设函数，若g（x）=f （x）﹣a有两个零点，则a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，1） C．（0，1]D．（﹣1，+∞）8．（3分）设定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数f （x）满足f （x+1）=﹣f （x），且f （x）在[﹣1，0]上是增函数，下面四个关于f （x）的命题：①f （x）图象关于x=1对称；②f （x）在[0，1]上是增函数；③f （x）在[1，2]上是减函数；④f （2）=f （0）．正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9．（3分）求值：=．10．（3分）设函数f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），则g（x）的表达式是．11．（3分）若二次函数y=x2﹣2ax+1在区间（2，3）内是单调函数，则实数a的取值范围是．12．（3分）已知函数f （2x﹣1）的定义域为（1，2]，则函数f （2x+1）的定义域为．13．（3分）若函数f （x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时候，f （x）=2x ﹣3，则不等式f （x）＞1的解集为．14．（3分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如，A （﹣1.2）=﹣1．若A（2x+1）=3，则x的取值范围是；若x＞0且A（2x•A （x））=5，则x的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分0分）15．计算．16．已知全集U=R，集合A={x|（x+2）（x﹣3）⩽0}，B={x|1⩽x⩽5}，C={x|5﹣a ＜x＜a}．（1）求A，（∁U A）∩B．（2）若C⊆（A∪B），求a的取值范围．17．已知x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）判断f（x）的奇偶性．（2）若x＞0时，f（x）＞0，证明：f（x）在R上为增函数．（3）在条件（Ⅱ）下，若f （1）=3，解不等式f（x2﹣1）﹣f （5x+3）＜6．18．已知函数f （x）=x2+（2a﹣1）x﹣3．（1）当a=2，x∈[﹣2，3]时，求函数f （x）的值域．（2）若函数f （x）在闭区间[﹣1，3]上的最小值为﹣7，求实数a的值．19．已知函数f（x）=x2﹣ax+1，g（x）=4x﹣4•2x﹣a，其中a∈R．（1）当a=0时，求函数g（x）的值域；（2）若对任意x∈[0，2]，均有|f（x）|≤2，求a的取值范围；（3）当a＜0时，设h（x）=，若h（x）的最小值为﹣，求实数a的值．2016-2017学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）已知集合A={x|x＜1}，则下列关系正确的是（）A．0⊆A B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A【解答】解：由元素与集合，集合与集合的关系可知{0}⊆A是正确的．故选：D．2．（3分）三个数a=0.32，b=0.30，c=1.20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c【解答】解：a=0.32∈（0，1），b=0.30=1，c=1.20.3＞1，∴a＜b＜c，故选：D．3．（3分）下列函数中，在区间（0，+∞）上存在最小值的是（）A．y=（x﹣1）2 B．y=C．y=2x D．y=【解答】解：对于A：y=（x﹣1）2，其对称轴x=1，开口向上，当x=1时取得最小值．∴区间（0，+∞）上存在最小值，对于B：y=，是递增函数，在（0，+∞）上不存在最小值，对于C：y=2x，是递增函数，在（0，+∞）上不存在最小值，对于D：y=，是递减函数，在（0，+∞）上不存在最小值，故选：A．4．（3分）函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）【解答】解：函数f（x）=2x+3x是增函数，f（﹣1）=＜0，f（0）=1+0=1＞0，可得f（﹣1）f（0）＜0．由零点判定定理可知：函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间（﹣1，0）．故选：B．5．（3分）集合A={a，b}，B={﹣1，0，1}，从A到B的映射f：A→B满足f（a）+f（b）=0，那么这样的映射f：A→B的个数是（）A．2个 B．3个 C．5个 D．8个【解答】解：∵f（a）+f（b）=0∴或或故选：B．6．（3分）函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的大致图象是（）A．B． C． D．【解答】解：f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点为a，b，由函数图象可知0＜a＜1，b＜﹣1，∴g（x）=a x+b是减函数，且g（0）=1+b＜0，故选：B．7．（3分）设函数，若g（x）=f （x）﹣a有两个零点，则a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，1） C．（0，1]D．（﹣1，+∞）【解答】解：作出f（x）的函数图象如图所示：∵g（x）=f（x）﹣a有两个零点，∴0＜a＜1．故选：B．8．（3分）设定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数f （x）满足f （x+1）=﹣f （x），且f （x）在[﹣1，0]上是增函数，下面四个关于f （x）的命题：①f （x）图象关于x=1对称；②f （x）在[0，1]上是增函数；③f （x）在[1，2]上是减函数；④f （2）=f （0）．正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题意：根据偶函数f （x），可得f（﹣x）=f（x），又f （x+1）=﹣f （x），可得：f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），可得周期T=2．令x=0，可得f（2）=f（0），令x=﹣x，可得f（﹣x+2）=﹣f（x+1）=f（﹣x）=f（x），即f（﹣x+2）=f（x）①f（x）图象关于x=1对称；正确．②f （x）在[﹣1，0]上是增函数，则[0，1]上是减函数，∴f （x）在[0，1]上是增函数，不对；③f （x）在[1，2]上是减函数；不对．④f （2）=f （0）．正确．故选：B．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9．（3分）求值：=．【解答】解：==．故答案为：．10．（3分）设函数f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），则g（x）的表达式是2x﹣1．【解答】解：∵f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），∴g（x+2）=2x+3，令x+2=t，则x=t﹣2，g（t）=2（t﹣2）+3=2t﹣1，∴g（x）=2x﹣1．故答案为：2x﹣1．11．（3分）若二次函数y=x2﹣2ax+1在区间（2，3）内是单调函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，2]∪[3，+∞）．【解答】解：∵y=x2﹣2ax+1=（x﹣a）2+a﹣a2，∴该函数的对称轴为：x=a，且当x＜a时函数单调递减，当x＞a时单调递增，∵该函数在区间（2，3）内是单调函数，∴a≤2或3≤a，故答案为：（﹣∞，2]∪[3，+∞）．12．（3分）已知函数f （2x﹣1）的定义域为（1，2]，则函数f （2x+1）的定义域为（0，1] ．【解答】解：∵函数f （2x﹣1）的定义域为（1，2]，即1＜x≤2，∴1＜2x﹣1≤3，∴函数f（x）的定义域为（1，3]．由1＜2x+1≤3，解得0＜x≤1．∴函数f （2x+1）的定义域为（0，1]．故答案为：（0，1]．13．（3分）若函数f （x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时候，f （x）=2x ﹣3，则不等式f （x）＞1的解集为（﹣1，0）∪（2，+∞）．【解答】解：函数f （x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f （x）=2x﹣3，可得f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x），x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）=2﹣x﹣3，可得f（x）=3﹣2﹣x，则不等式f （x）＞1，可得x＞0时，2x﹣3＞1，解得x＞2；x＜0时，3﹣2﹣x＞1，解得﹣1＜x＜0．则原不等式的解集为（﹣1，0）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣1，0）∪（2，+∞）．14．（3分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如，A （﹣1.2）=﹣1．若A（2x+1）=3，则x的取值范围是（，1] ；若x＞0且A （2x•A（x））=5，则x的取值范围是（1，] ．【解答】解：∵A（2x+1）=3，∴2＜2x+1≤3，解得，x∈（，1]；由A（2x•A（x））=5知，4＜2x•A（x）≤5，即2＜x•A（x）≤；可判断1＜x≤2，则上式可化为2＜x•2≤，故1＜x≤；故答案为：（，1]；（1，]．三、解答题（共5小题，满分0分）15．计算．【解答】解：=2+lg10﹣2﹣0+=2﹣2+=．16．已知全集U=R，集合A={x|（x+2）（x﹣3）⩽0}，B={x|1⩽x⩽5}，C={x|5﹣a ＜x＜a}．（1）求A，（∁U A）∩B．（2）若C⊆（A∪B），求a的取值范围．【解答】解：（1）全集U=R，集合A={x|（x+2）（x﹣3）⩽0}={x|﹣2≤x≤3}，B={x|1⩽x⩽5}，∴∁U A={x|x＜﹣2或x＞3}，∴（∁U A）∩B={x|3＜x≤5}；（2）A∪B={x|﹣2≤x≤5}，C={x|5﹣a＜x＜a}，∵C⊆（A∪B），∴当C=∅时，5﹣a≥a，解得a≤，当C≠∅时，，解得＜a≤5；综上，a的取值范围是（﹣∞，5]．17．已知x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）判断f（x）的奇偶性．（2）若x＞0时，f（x）＞0，证明：f（x）在R上为增函数．（3）在条件（Ⅱ）下，若f （1）=3，解不等式f（x2﹣1）﹣f （5x+3）＜6．【解答】（1）解：令x=y=0，得f（x）=0，令y=﹣x，得f（x）+f（﹣x）=f（x﹣x）=f（0）=0，所以f（﹣x）=﹣f（x），因此f（x）是R上的奇函数．（2）证明：设x1＜x2，则x2﹣x1＞0，所以f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1）＞0，所以f（x2）＞f（x1）．故f（x）在R上是增函数．（3）解：因为f（1）=3，f（x+y）=f（x）+f（y），那么令x=y=1，可得f（2）=6，则不等式f （x2﹣1）﹣f （5x+3）＜f（2），即f （x2﹣1）＜f（5x+5）∵f（x）在R上是增函数．∴x2﹣1＜5x+5解得：﹣1＜x＜6．故得不等式的解集为：{x|﹣1＜x＜6}．18．已知函数f （x）=x2+（2a﹣1）x﹣3．（1）当a=2，x∈[﹣2，3]时，求函数f （x）的值域．（2）若函数f （x）在闭区间[﹣1，3]上的最小值为﹣7，求实数a的值．【解答】解：函数f （x）=x2+（2a﹣1）x﹣3．（1）当a=2，可得f（x）=x2+3x﹣3，其对称轴x=，开口向上，∵x∈[﹣2，3]，∴当x=是取得最小值为当x=3是取得最大值为15．∴函数f （x）的值域为[，15]（2）函数f （x）=x2+（2a﹣1）x﹣3．其对称轴x=，开口向上，∵x[﹣1，3]上∴当≤﹣1时，即，x=﹣1是取得最小值，2a﹣1=5，即a=3．∴当≥3时，即，x=3是取得最小值，2a﹣1=5，即a=（舍去）∴当﹣1＜＜3时，即，x=是取得最小值，，即a=或a=﹣综上可得：a=3或a=．19．已知函数f（x）=x2﹣ax+1，g（x）=4x﹣4•2x﹣a，其中a∈R．（1）当a=0时，求函数g（x）的值域；（2）若对任意x∈[0，2]，均有|f（x）|≤2，求a的取值范围；（3）当a＜0时，设h（x）=，若h（x）的最小值为﹣，求实数a的值．【解答】解：（1）当a=0时，g（x）=（2x﹣2）2﹣4，…（2分）因为2x＞0，所以g（x）≥g（2）=﹣4，g（x）的值域为[﹣4，+∞）．…（4分）（2）若x=0，a∈R．若x∈（0，2]时，|f（x）|≤2可化为﹣2≤x2﹣ax+1≤2 …（6分）所以x﹣≤a≤x+．…（7分）因为y=x﹣在（0，2]为递增函数，所以函数y=x﹣的最大值为，…（8分）因为x+≥2（当且仅当x=，即x=取“=”）…（9分）所以a的取值范围是[，2]．…（10分）（3）因为h（x）=，当x≤a时，h（x）=4x﹣4•2x﹣a，…（11分）令t=2x，t∈（0，2a]，则p（t）=（t﹣）2﹣，当x≤a时，即，P（t）∈[4a﹣4，0）；…（12分）当x＞a时，k（x）=x2﹣ax+1，即k（x）=，因为a＜0，所以＞a，h（x）∈[1﹣，+∞）．…（14分）若4a﹣4=﹣，a=﹣，此时1﹣=＞，若1﹣=，即a=，此时4a﹣4=﹣4＜﹣，所以实数a=．…（16分）赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
D_2017-2018学年北京市101中学高一(上)期末数学试卷(精品解析)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】解： ∵ 函数������(������) = ������(������) ‒ ������，������(������)是偶函数， 若������(2) = 1，则������( ‒ 2) = 1， ������( ‒ 2) = ������( ‒ 2) + 2 = 3， 故选：C． 由已知可得������( ‒ 2) = 1，代入可得答案． 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数求值，难度不大，属于基础题．
1
2
3
5
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
【答案】D
⃗ ⋅ ⃗ = ( ⃗ + ⃗ ) ⋅ ( ⃗ + ⃗ ) = ⃗ ⋅ ⃗ + ⃗ ⋅ ⃗ + ⃗ ⋅ ⃗ + ������������ ⋅ ⃗
【解析】解：由题意可得������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������
∴ ⃗2 + 2⃗ ⋅ ⃗ + ⃗2 = ⃗2 ‒ 2⃗ ⋅ ⃗ + ⃗2
������
������ ������ ������ ������
������ ������ ������ ，
∴⃗⋅⃗=0 ������ ������ ．
故选：A．
|⃗ + ⃗|2 = |⃗ ‒ ⃗|2
⃗⋅⃗=0
推导出 ������ ������
2015-2016学年北京101中高一(上)期末数学试卷
2015-2016学年北京101中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，共40分.1. 设全集U ={1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合M ={1, 4}，N ={1, 3, 5}，则N ∩(∁U M)=( ) A.{1} B.{3, 5} C.{1, 3, 4, 5} D.{1, 2, 3, 5, 6}2. 已知平面直角坐标系内的点A(1, 1)，B(2, 4)，C(−1, 3)，则|AB →−AC →|=( ) A.2√2 B.√10 C.8 D.103. 已知sin α+cos α=−15，α∈(−π2，π2)，则tan α的值是（ ） A.−34 B.−43C.34D.434. 已知函数f(x)＝sin (ωx +π4)(x ∈R , ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)=cos ωx 的图象，只要将y =f(x)的图象( ) A.向左平移π8个单位长度B.向右平移π8个单位长度C.向左平移π4个单位长度 D.向右平移π4个单位长度5. 已知a →，b →是非零向量且满足(3a →−b →)⊥a →，(4a →−b →)⊥b →，则a →与b →的夹角是（ ） A.π6B.π3C.2π3D.5π66. 如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的所在边的中点，若(AB →+BC →)⋅(BC →+CD →)=0，则四边形EFGH是（ ）A.平行四边形但不是矩形B.正方形C.菱形D.矩形7. 已知偶函数f(x)=log a |x −b|在(−∞, 0)上单调递增，则f(a +1)与f(b +2)的大小关系是( ) A.f(a +1)≥f(b +2) B.f(a +1)>f(b +2) C.f(a +1)≤f(b +2) D.f(a +1)<f(b +2)8. 已知O 为平面上的一个定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三个动点，点P 满足条件OP →=OB →+OC →2+λ(AB→|AB →|cos B+AC→|AC →|cos C)，λ∈(0,+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ） A.重心B.垂心C.外心D.内心二、填空题：本大题共6小题，共30分若f(x)=x 3，则满足f(x)<1的x 的取值范围是________．若函数f(x)=x 2−3x +4在x ∈[−1, 3]上的最大值和最小值分别为a ，b ，则a +b =________．已知向量a →=(2, 1)，b →=(1, −2)，若ma →+nb →=(9, −8)(m, n ∈R)，则m −n 的值为________．若tan θ=3，则2sin 2θ−sin θcos θ−cos 2θ=________．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点，若BE →=λBA →+μBD →(λ, μ∈R )，则 λ+μ=________．已知点O 为三角形ABC 内一点，OA →+2OB →+3OC →=0→，则S △ABC S △AOC=________．三、解答题：本大题共5小题，共50分.设全集U =R ，集合A ={x|−1≤x <3}，B ={x|2x −4≥x −2}． (1)求∁U (A ∩B)；(2)若集合C ={x|2x +a >0}，满足B ∪C =C ，求实数a 的取值范围． 求值：tan 150∘cos (−210∘)sin (−420∘)sin 1050∘cos (−600∘)．已知a →=(1, 2)，b →=(1, 1)，且a →与a →+λb →的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．设函数f(x)＝A sin (ωx +φ)（其中A >0，ω>0，−π<φ≤π）在x =π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2．（1）求f(x)的解析式；（2）求函数g(x)=6cos 4x−sin 2x−1[f(x 2+π6)]2−2的值域．设函数f(x)=4x 2+4x（1）用定义证明：函数f(x)是R 上的增函数；（2）证明：对任意的实数t 都有f(t)+f(1−t)=1；（3）求值：f(12016)+f(22016)+f(32016)+⋯+f(20152016)．参考答案与试题解析2015-2016学年北京101中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，共40分. 1.【答案】 B【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】直接由全集U ，集合M 求出∁U M ，则N ∩(∁U M)的答案可求． 【解答】解：∵ 全集U ={1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合M ={1, 4}，N ={1, 3, 5}， ∴ ∁U M ={2, 3, 5, 6}．则N ∩(∁U M)={1, 3, 5}∩{2, 3, 5, 6}={3, 5}． 故选：B ． 2.【答案】 B【考点】 向量的模 【解析】根据所给的三个点的坐标，写出以这三个点为起点和终点的向量的坐标，求两个向量的坐标形式的减法运算，得到两个向量的差，由得到的向量的坐标，表示出向量的模． 【解答】解：∵ A(1, 1)，B(2, 4)，C(−1, 3)， ∴ AB →=(1, 3)，AC →=(−2, 2)， ∴ AB →−AC →=(3, 1)，∴ |AB →−AC →|=√32+12=√10， 故选B ． 3. 【答案】 B【考点】半角公式的运用 求二倍角的正弦【解析】通过平方关系式与已知表达式，求出sin α，cos α，即可得到结果． 【解答】解：因为sin α+cos α=−15，α∈(−π2，π2)，又sin 2α+cos 2α=1， 所以sin α=−45，cos α=35， 所以tan α=−4535=−43．故选B ． 4. 【答案】 A【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】由周期函数的周期计算公式：T =2πω，算得ω＝2．接下来将f(x)的表达式转化成与g(x)同名的三角函数，再观察左右平移的长度即可． 【解答】解：由题知ω=2， 所以f(x)=sin (2x +π4)=cos [π2−(2x +π4)]=cos (2x −π4)=cos 2(x −π8)，∴ f(x +π8)=cos 2(x +π8−π8)=cos 2x .故选A . 5.【答案】 A【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】利用向量垂直数量积为0列出两个等式；利用向量数量积的运算律将等式展开，得到两个向量模的关系及模与数量积的关系；利用向量的数量积公式表示出向量夹角的余弦，求出夹角． 【解答】解：设a →与b →的夹角是α∵ (3a →−b →)⊥a →，(4a →−b →)⊥b →∴ (3a →−b →)⋅a →=0，(4a →−b →)⋅b →=0即3a →2−a →⋅b →=0；4a →⋅b →−b →2=0a →⋅b →=3a →2；b →2=12a →2∴ cos α=|a →||b →|˙=→223a →2=√32∴ α=π6 故选A 6. 【答案】 D【考点】平面向量数量积的运算 平行向量的性质数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】利用E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 的所在边的中点，确定四边形EFGH 是平行四边形，利用(AB →+BC →)⋅(BC →+CD →)=0，可得AC →⊥BD →，从而EF ⊥FG ，即可判断四边形EFGH 是矩形． 【解答】解：连接AC ，BD ，∵ E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 的所在边的中点，∴ EF // GH // AC ，EF =GH =12AC ，∴ 四边形EFGH 是平行四边形．∵ (AB →+BC →)⋅(BC →+CD →)=0，∴ AC →⋅BD →=0，∴ AC ⊥BD ． ∵ EF // AC ，FG // BD ，∴ EF ⊥FG ， ∴ 四边形EFGH 是矩形，故选D ．7.【答案】 B【考点】 偶函数函数单调性的性质 【解析】考查本题的形式，宜先用偶函数的性质求出b 值，再由单调性确定参数a 的值，最后根据函数的单调性可判断f(a +1)与f(b +2)的大小． 【解答】解：∵ y =log a |x −b|是偶函数， ∴ log a |x −b|=log a |−x −b|， ∴ |x −b|=|−x −b|，∴ x 2−2bx +b 2=x 2+2bx +b 2，整理得4bx =0，由于x 不恒为0，故b =0. 由此函数变为y =log a |x|,当x ∈(−∞, 0)时，由于内层函数是一个减函数， 又偶函数y =log a |x −b|在区间(−∞, 0)上递增，故外层函数是减函数，故可得0<a <1. 综上得0<a <1，b =0.∴ a +1<b +2，而函数f(x)=log a |x −b|在(0, +∞)上单调递减， ∴ f(a +1)>f(b +2). 故选B ． 8.【答案】 C【考点】向量在几何中的应用 【解析】 确定BC →与λ(AB→|AB →|cos B+AC→|AC →|cos C)垂直，设D 为BC 的中点，可得OP →=OD →+DP →，从而可得结论．【解答】 解：∵ BC →⋅(AB→|AB →|cos B+AC→|AC →|cos C)=−|BC →|+|BC →|=0∴ BC →与λ(AB→|AB →|cos B+AC→|AC →|cos C )垂直，设D 为BC 的中点，则OD →=OB →+OC →2令DP →=λ(AB→|AB →|cos B+AC→|AC →|cos C)∵ 点P 满足条件OP →=OB →+OC →2+λ(AB→|AB →|cos B+AC→|AC →|cos C)，λ∈(0,+∞)，∴ OP →=OD →+DP →∴ 点P 在BC 的垂直平分线上，即P 经过△ABC 的外心 故选C ．二、填空题：本大题共6小题，共30分 【答案】 (−∞, 1) 【考点】其他不等式的解法 【解析】若f(x)<1，则x 3−1=(x −1)(x 2+x +1)<0，进而得到答案． 【解答】解：∵ f(x)=x 3，若f(x)<1，则x 3−1=(x −1)(x 2+x +1)<0， ∵ x 2+x +1>0恒成立， 故x <1，即满足f(x)<1的x 的取值范围是(−∞, 1)， 故答案为：(−∞, 1)． 【答案】754【考点】二次函数的性质 【解析】先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值． 【解答】解：∵ y =x 2−3x +4(−1≤x ≤3)， ∴ y =(x −32)2+254，∴ 抛物线的对称轴为x =32，当x =32时y 有最小值：254， ∵ −1≤x ≤3， ∴ x =−1时，y =504是最大值．∴ 函数的最大值为504，最小值为254， ∴ a +b =754，故答案为：754．【答案】 −3【考点】平面向量的坐标运算 【解析】直接利用向量的坐标运算，求解即可． 【解答】向量a →=(2, 1)，b →=(1, −2)，若ma →+nb →=(9, −8) 可得{2m +n =9m −2n =−8 ，解得m ＝2，n ＝5，∴ m −n ＝−3． 【答案】 75【考点】同角三角函数基本关系的运用 【解析】根据题意，将平方关系代入化为齐次式，再由商的关系将式子转化为关于tan θ式子，代入求值即可． 【解答】解：∵ tan θ=3，∴ 2sin 2θ+2sin θcos θ−cos 2θ=2sin 2θ−sin θcos θ−cos 2θsin 2θ+cos θ=2tan 2θ−tan θ−1tan 2θ+1=75． 故答案为：75． 【答案】3 【考点】向量的共线定理平面向量的基本定理及其意义 【解析】BD →=2BO →，BE →=λBA →+μBD →，可得BE →=λBA →+2μBO →．由E 为线段AO 的中点，可得BE →=12(BA →+BO →)，再利用平面向量基本定理即可得出． 【解答】解：∵ BD →=2BO →，BE →=λBA →+μBD →， ∴ BE →=λBA →+2μBO →， ∵ E 为线段AO 的中点， ∴ BE →=12(BA →+BO →)，∴ λ=12，2μ=12，解得μ=14，∴ λ+μ=34． 故答案为：34．【答案】 3【考点】平面向量数量积的运算向量的线性运算性质及几何意义 【解析】可作出图形，取BC 的中点D ，AC 的中点E ，并连接OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，根据条件可以得到OE →=−2OD →，从而得出DE 为△ABC 的中位线，这样即可得到AB =3OE ，从而便有S △ABC S △AOC=3．【解答】解：如图，取BC 中点D ，AC 中点E ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，OE ；OA →+2OB →+3OC →=(OA →+OC →)+2(OB →+OC →) =2OE →+4OD →=0→∴ OE →=−2OD →；∴ D ，O ，E 三点共线，即DE 为△ABC 的中位线； ∴ DE =32OE ，AB =2DE ；∴ AB =3OE ； ∴ S △ABCS△AOC=3．故答案为：3．三、解答题：本大题共5小题，共50分. 【答案】解：(1)由已知得B ={x|x ≥2}， ∴ A ∩B ={x|2≤x <3}，∴ ∁U (A ∩B)={x|x <2或x ≥3}； (2)C ={x|x >−a2}， ∵ B ∪C =C ， ∴ B ⊆C ，∴ −a2<2，解得a >−4． 即实数a 的取值范围为{a|a >−4}． 【考点】 补集及其运算 交集及其运算并集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由已知得B ={x|x ≥2}， ∴ A ∩B ={x|2≤x <3}，∴ ∁U (A ∩B)={x|x <2或x ≥3}； (2)C ={x|x >−a2}，∵ B ∪C =C ， ∴ B ⊆C ，∴ −a2<2，解得a >−4．即实数a 的取值范围为{a|a >−4}． 【答案】解：由诱导公式可得：tan 150∘=tan (180∘−30∘)=−tan 30∘=−√33，cos (−210∘)=cos 210∘=cos (180∘+30∘)=−cos 30∘=−√32， sin (−420∘)=−sin 420∘=−sin (360∘+60∘)=−sin 60∘=−√32，sin 1050∘=sin (3×360∘−30∘)=−sin 30∘=−12，cos (−600∘)=cos 600∘=cos (3×180∘+60∘)=−cos 60∘=−12， ∴ 原式=−√33⋅(−√32)(−√32)(−12)(−12)=−√3414=−√3．【考点】三角函数的化简求值 【解析】由条件利用诱导公式求得tan 15∘、cos 210∘、sin 420∘、sin 1050∘、cos (−600∘)的值，可得要求式子的值． 【解答】解：由诱导公式可得：tan 150∘=tan (180∘−30∘)=−tan 30∘=−√33，cos (−210∘)=cos 210∘=cos (180∘+30∘)=−cos 30∘=−√32， sin (−420∘)=−sin 420∘=−sin (360∘+60∘)=−sin 60∘=−√32，sin 1050∘=sin (3×360∘−30∘)=−sin 30∘=−12，cos (−600∘)=cos 600∘=cos (3×180∘+60∘)=−cos 60∘=−12，∴ 原式=−√33⋅(−√32)(−√32)(−12)(−12)=−√3414=−√3．【答案】解：因为a →=(1, 2)，b →=(1, 1)，且a →与a →+λb →的夹角为锐角，所以：a →⋅(a →+λb →)>0⇒(1, 2)⋅(1+λ, 2+λ)>0⇒3λ>−5⇒λ>−53；当a →与a →+λb →共线时，a →+λb →=ma →⇒(1+λ, 2+λ)=m(1, 2)⇒{1+λ=m2+λ=2m⇒λ=0．即λ=0时，两向量共线，∴ λ≠0． 故λ>−53且λ≠0．故实数λ的取值范围：λ>−53且λ≠0．【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】先根据且a →与a →+λb →的夹角为锐角构造一个关于λ的不等式，解不等式并讨论同向时，λ的取值，即可得到答案． 【解答】解：因为a →=(1, 2)，b →=(1, 1)，且a →与a →+λb →的夹角为锐角，所以：a →⋅(a →+λb →)>0⇒(1, 2)⋅(1+λ, 2+λ)>0⇒3λ>−5⇒λ>−53；当a →与a →+λb →共线时，a →+λb →=ma →⇒(1+λ, 2+λ)=m(1, 2)⇒{1+λ=m2+λ=2m⇒λ=0．即λ=0时，两向量共线，∴ λ≠0． 故λ>−53且λ≠0．故实数λ的取值范围：λ>−53且λ≠0． 【答案】由题意可得：f(x)max ＝A ＝2，T2=π2⇒T =π，于是ω=2πT=2ππ=2，故f(x)＝2sin (2x +φ)，由f(x)在x =π6处取得最大值2可得：2×π6+φ=2kπ+π2⇒φ=2kπ+π6(k ∈Z)， 又−π<φ<π，故φ=π6，因此f(x)的解析式为f(x)=2sin (2x +π6)．由（1）可得：f(x2+π6)=2sin [2(x2+π6)+π6]=2sin (x +π2)=2cos x ，故g(x)=6cos 4x−(1−cos 2x)−1(2cos x)2−2=6cos 4x +cos 2x −24cos 2x −2=(3cos 2x +2)(2cos 2x −1)2(2cos 2x −1)=3cos 2x +22=32cos 2x +1，(cos 2x ≠12)， 令t ＝cos 2x ，可知0≤t ≤1且t ≠12，即cos 2x ∈[0,12)∪(12,1]，从而g(x)∈[1,74)∪(74,52]，因此，函数g(x)的值域为[1,74)∪(74,52]．【考点】三角函数中的恒等变换应用由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】（1）先确定函数的周期，可得ω的值，利用函数f(x)＝A sin (ωx +φ)（其中A >0，ω>0，−π<φ<π）在x =π6处取得最大值2，即可求得f(x)的解析式；（2）由三角函数恒等变换的应用化简可得g(x)=32cos 2x +1，(cos 2x ≠12)，由cos 2x ∈[0,12)∪(12,1]，即可求得函数g(x)的值域． 【解答】由题意可得：f(x)max ＝A ＝2，T 2=π2⇒T =π，于是ω=2πT=2ππ=2，故f(x)＝2sin (2x +φ)，由f(x)在x =π6处取得最大值2可得：2×π6+φ=2kπ+π2⇒φ=2kπ+π6(k ∈Z)，又−π<φ<π，故φ=π6，因此f(x)的解析式为f(x)=2sin (2x +π6)．由（1）可得：f(x2+π6)=2sin [2(x2+π6)+π6]=2sin (x +π2)=2cos x ， 故g(x)=6cos 4x−(1−cos 2x)−1(2cos x)2−2=6cos 4x +cos 2x −24cos 2x −2=(3cos 2x +2)(2cos 2x −1)2(2cos 2x −1)=3cos 2x +22=32cos 2x +1，(cos 2x ≠12)， 令t ＝cos 2x ，可知0≤t ≤1且t ≠12， 即cos 2x ∈[0,12)∪(12,1]，从而g(x)∈[1,74)∪(74,52]，因此，函数g(x)的值域为[1,74)∪(74,52]．【答案】解：（1）证明：在定义域R 上任取两个自变量值x 1，x 2且x 1<x 2f(x 1)−f(x 2)=4x 12+4x 1−4x 22+4x 2=4x 1(2+4x 2)−4x 2(2+4x 1)(2+4x 1)(2+4x 2)=2(4x 1−4x 2)(2+4x 1)(2+4x 2)由x 1<x 2可得：4x 1−4x 2<0从而f(x 1)−f(x 2)<0即f(x 1)<f(x 2)根据函数单调性的定义可得：函数f(x)在R 上为增函数． （2）证明：因为f(t)+f(1−t)=4t2+4t +41−t2+41−t =4t (2+41−t )+41−t (2+4t )(2+4t )(2+41−t )=2(4t +41−t )+84+2(4t +41−t )+4=1故对任意的实数t 都有f(t)+f(1−t)=1 （3）由（2）可得：f(12016)+f(20152016)=1，f(22016)+f(20142016)=1f(32016)+f(20132016)=1，…，f(20152016)+f(12016)=1令f(12016)+f(22016)+f(32016)+⋯+f(20152016)=M 则f(20152016)+f(20142016)+f(20132016)+⋯+f(12016)=M上下等式左右两边分别相加可得：2015×1=2M 故可得：M =20152因此，f(12016)+f(22016)+f(32016)+⋯+f(20152016)=20152【考点】函数单调性的性质 函数的求值 【解析】（1）根据函数单调性 定义进行证明．（2）根据指数幂的运算法则进行化简即可． （3）利用（2）的结论进行求解． 【解答】解：（1）证明：在定义域R 上任取两个自变量值x 1，x 2且x 1<x 2f(x 1)−f(x 2)=4x 12+4x 1−4x 22+4x 2=4x 1(2+4x 2)−4x 2(2+4x 1)(2+4x 1)(2+4x 2)=2(4x 1−4x 2)(2+4x 1)(2+4x 2)由x 1<x 2可得：4x 1−4x 2<0从而f(x 1)−f(x 2)<0即f(x 1)<f(x 2)根据函数单调性的定义可得：函数f(x)在R 上为增函数． （2）证明：因为f(t)+f(1−t)=4t2+4+41−t2+4=4t (2+41−t )+41−t (2+4t )(2+4)(2+4)=2(4t +41−t )+84+2(4+4)+4=1故对任意的实数t 都有f(t)+f(1−t)=1 （3）由（2）可得：f(12016)+f(20152016)=1，f(22016)+f(20142016)=1f(32016)+f(20132016)=1，…，f(20152016)+f(12016)=1令f(12016)+f(22016)+f(32016)+⋯+f(20152016)=M 则f(20152016)+f(20142016)+f(20132016)+⋯+f(12016)=M上下等式左右两边分别相加可得：2015×1=2M故可得：M =20152因此，f(12016)+f(22016)+f(32016)+⋯+f(20152016)=20152。
北京市2016-2017学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析
北京市2016-2017学年高一上学期期末数学试卷一、选择题.共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合U={1，3，5，7，9}，A={1，5，7}，则∁U A=（）A．{1，3} B．{3，7，9} C．{3，5，9} D．{3，9}2．（5分）sin240°=（）A．﹣B．﹣C．D．3．（5分）已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，0），B（2，2），C（0，c），若⊥，那么c的值（）A．﹣1 B．3 C．﹣3 D．44．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，1）上单调递减的函数为（）A．y=B．y=lnx C．y=cosx D．y=x25．（5分）函数y=2sin（2x+）的一个对称中心（）A．（，0）B．（﹣，0）C．（，0）D．（﹣，0）6．（5分）函数y=log a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，﹣1），函数y=b x（b＞0且b≠1）的图象经过点（1，2），则下列关系式中正确的是（）A．a2＞b2B．2a＞2b C．D．7．（5分）如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD的中点，则当P沿着路径A﹣B﹣C﹣M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数关系为y=f（x），则y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）=+，在下列结论中：①π是f（x）的一个周期；②f（x）的图象关于直线x=对称；③f（x）在（﹣，0）上单调递减．正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）如果向量=（4，﹣2），=（x，1），且，共线，那么实数x=．10．（5分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=．11．（5分）sin15°sin75°的值是．12．（5分）已知函数f（x）=且f（m）=，则m的值为．13．（5分）已知△ABC是正三角形，若与向量的夹角大于90°，则实数λ的取值范围是．14．（5分）给出定义：若m﹣＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x﹣{x}的四个判断：①y=f（x）的定义域是R，值域是（﹣，]；②点（k，0）是y=f（x）的图象的对称中心，其中k∈Z；③函数y=f（x）的最小正周期为1；④函数y=f（x）在（，]上是增函数．则上述判断中正确的序号是．（填上所有正确的序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=﹣1+log2（x﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）求f（5）的值；（Ⅲ）求函数f（x）的零点．16．（14分）已知sinθ=﹣．其中θ是第三象限角．（Ⅰ）求cosθ，tanθ的值；（Ⅱ）求tan（θ﹣）的值；（Ⅲ）求sin（θ+）﹣2sin（π+θ）+cos2θ的值．17．（13分）已知向量=（cosθ，sinθ），=（sinθ，0），其中θ∈R．（Ⅰ）当θ=时，求•的值；（Ⅱ）当θ∈ [0，]时，求（+）2的最大值．18．（14分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向右平移个单位后得到新函数g（x）的图象，求函数g（x）的解析式；（Ⅲ）求函数2f（x）﹣g（x）的单调增区间．19．（13分）设二次函数f（x）=ax2+bx+ca≠0，x∈R满足条件：①x≤f（x）≤（1+x2），②f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）；③f（x）在R上的最小值为0．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）求最大值m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，都有f（x+t）≤x成立．20．（13分）若函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x﹣1）+f（x+1）≥2f（x），则称函数f（x）具有性质P．（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质P，并说明理由．①y=a x（a＞1）；②y=x3．（Ⅱ）若函数f（x）具有性质P，且f（0）=f（n）=0（n＞2，n∈N*），求证：对任意i∈{1，2，3，…，n﹣1}有f（i）≤0；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0．若成立给出证明，若不成立给出反例．北京市2016-2017学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题.共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合U={1，3，5，7，9}，A={1，5，7}，则∁U A=（）A．{1，3} B．{3，7，9} C．{3，5，9} D．{3，9}考点：补集及其运算．分析：从U中去掉A中的元素就可．解答：解：从全集U中，去掉1，5，7，剩下的元素构成C U A．故选D．点评：集合补集就是从全集中去掉集合本身含有的元素后所构成的集合．2．（5分）sin240°=（）A．﹣B．﹣C．D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：运用诱导公式即可化简求值．解答：解：sin240°=sin（180°+60°）=﹣sin60°=﹣．故选：A．点评：本题主要考察了运用诱导公式化简求值，属于基础题．3．（5分）已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，0），B（2，2），C（0，c），若⊥，那么c的值是（）A．﹣1 B．3 C．﹣3 D．4考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先求出，根据，便有，进行数量积的运算即可求出c．解答：解：；∵；∴；∴c=4．故选D．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．4．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，1）上单调递减的函数为（）A．y=B．y=lnx C．y=cosx D．y=x2考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数单调性和奇偶性的性质分别进行判断即可．解答：解：首先y=cosx是偶函数，且在（0，π）上单减，而（0，1）⊂（0，π），故y=cosx满足条件．故选C．点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．5．（5分）函数y=2sin（2x+）的一个对称中心（）A．（，0）B．（﹣，0）C．（，0）D．（﹣，0）考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：令2x+=kπ，k∈Z，可解得：x=，k∈Z，即可得k=0时，由（﹣，0）是函数y=2sin （2x+）的一个对称中心．解答：解：∵y=2sin（2x+）∴令2x+=kπ，k∈Z，可解得：x=，k∈Z，∴k=0时，由（﹣，0）是函数y=2sin（2x+）的一个对称中心．故选：B．点评：本题主要考查了正弦函数的图象与性质，属于基础题．6．（5分）函数y=log a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，﹣1），函数y=b x（b＞0且b≠1）的图象经过点（1，2），则下列关系式中正确的是（）A．a2＞b2B．2a＞2b C．D．考点：对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：由已知条件，把点的坐标代入对应的函数解析式，求出a=、b=2，从而可得结论．解答：解：∵函数y=log a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，﹣1），∴log a 2=﹣1，∴a=．由于函数y=b x（b＞0且b≠1）的图象经过点（1，2），故有b1=2，即 b=2．故有 b＞a＞0，∴，故选C．点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，指数函数的单调性和特殊点，求出a=、b=2，是解题的关键，属于中档题．7．（5分）如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD的中点，则当P沿着路径A﹣B﹣C﹣M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数关系为y=f（x），则y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：本题是一个分段函数，分点P在AB，BC和CM上得到三个一次函数，然后由一次函数的图象与性质确定选项．解答：解：①当点P在AB上时，如图：y=×x×1=（0≤x≤1）．②当点P在BC上时，如图：∵PB=x﹣1，PC=2﹣x，∴y=S正方形ABCD﹣S△ADM﹣S△ABP﹣S△PCM=1﹣×﹣（x﹣1）﹣××（2﹣x）=﹣ x+，∴y=﹣ x+（1＜x≤2）③当点P在CM上时，如图，∵MP=2.5﹣x，∴y=（2.5﹣x）=﹣x+．（2＜x≤2.5）综上①②③，得到的三个函数都是一次函数，由一次函数的图象与性质可以确定y与x的图形．只有A的图象是三个一次函数，且在第二段上y随x的增大而减小，故选：A．点评：本题考查的是动点问题的函数图象，分别考虑点O在AB，BC和CM上，由三角形的面积公式得到函数的解析式．8．（5分）已知函数f（x）=+，在下列结论中：①π是f（x）的一个周期；②f（x）的图象关于直线x=对称；③f（x）在（﹣，0）上单调递减．正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：变形可得f（x+π）≠f（x），可判①错误；可得f（﹣x）=f（x），可判②正确；换元t=sinx+cosx，可得y=，求导数可判单调性．解答：解：∵f（x）=+，∴f（x+π）=+=≠f（x），∴π不是f（x）的周期，故①错误；∵f（﹣x）=+==f（x），∴f（x）的图象关于直线x=对称，故②正确；设t=sinx+cosx，则sinxcosx=，∴y=+==，当x∈（﹣，0）时，t=sinx+cosx=sin（x+）∈（﹣1，1），求导数可得y′==＜0，∴函数单调递减，故③正确．故选：C点评：本题考查三角函数的性质，涉及周期性和对称性，以及导数法判函数的单调性，属中档题．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）如果向量=（4，﹣2），=（x，1），且，共线，那么实数x=﹣2．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理即可得出．解答：解：∵，∴﹣2x﹣4=0，解得x=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查了向量共线定理，属于基础题．10．（5分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=（1，3）．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即B=（﹣1，3），∵A=（1，+∞），则A∩B=（1，3），故答案为：（1，3）点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．11．（5分）sin15°sin75°的值是．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：注意角之间的关系，先将原式化成sin15°cos15°，再反用二倍角求解即得．解答：解：∵sin15°sin75°=sin15°cos15°=sin30°=．∴sin15°sin75°的值是．故填：．点评：本题主要考查三角函数中二倍角公式，求三角函数的值，通常借助于三角恒等变换，有时须逆向使用二倍角公式．12．（5分）已知函数f（x）=且f（m）=，则m的值为．考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：讨论m2+1=与2m=；从而解得．解答：解：若m2+1=；则m=或m=﹣（舍去）；若2m=；则m＞0（舍去）；故答案为；．点评：本题考查了分段函数的应用，属于基础题．13．（5分）已知△ABC是正三角形，若与向量的夹角大于90°，则实数λ的取值范围是（2，+∞）．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由于与向量的夹角大于90°，可得0，利用数量积运算和正三角形的性质即可得出．解答：解：∵△ABC是正三角形，∴=．∵与向量的夹角大于90°，∴==＜0，解得λ＞2．∴实数λ的取值范围是λ＞2．故答案为（2，+∞）．点评：本题考查了数量积运算和正三角形的性质等基础知识与基本方法，属于基础题．14．（5分）给出定义：若m﹣＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x﹣{x}的四个判断：①y=f（x）的定义域是R，值域是（﹣，]；②点（k，0）是y=f（x）的图象的对称中心，其中k∈Z；③函数y=f（x）的最小正周期为1；④函数y=f（x）在（，]上是增函数．则上述判断中正确的序号是①③④．（填上所有正确的序号）考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据让函数解析式有意义的原则确定函数的定义域，然后根据解析式易用分析法求出函数的值域；根据f（2k﹣x）与f（x）的关系，可以判断函数y=f（x）的图象是否关于点（k，0）（k∈Z）对称；再判断f（x+1）=f（x）是否成立，可以判断③的正误；而由①的结论，易判断函数y=f（x）在（，]上的单调性，但要说明④成立．解答：解：①中，令x=m+a，a∈（﹣，]∴f（x）=x﹣{x}=a∈（﹣，]所以①正确；②中∵f（2k﹣x）=（2k﹣x）﹣{2k﹣x}=（﹣x）﹣{﹣x}=f（﹣x）∴点（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的图象的对称中心；故②错；③中，∵f（x+1）=（x+1）﹣{x+1}=x﹣{x}=f（x）所以周期为1，故③正确；④中，令x∈（，]，m=1，则a∈（﹣，]，f（x）=a，由区间（，]上，随x的增大而增大，故f（x）在区间（，]上为增函数，所以④正确．故答案为：①③④点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了函数f（x）=x﹣{x}的性质，难度中档．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=﹣1+log2（x﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）求f（5）的值；（Ⅲ）求函数f（x）的零点．考点：对数函数的图像与性质；函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：（I）根据对数函数的性质：真数大于0，得到不等式，解出即可；（II）将x=5代入函数的表达式，求出即可；（III）令f（x）=0，解方程求出即可．解答：解：（I）由题意得：x﹣1＞0，∴x＞1；∴函数f（x）的定义域{x|x＞1}．（II）f（5）=﹣1+log2（5﹣1）=﹣1+2=1．（III）令f（x）=﹣1+log2（x﹣1）=0，∴log2（x﹣1）=1，∴x﹣1=2，∴x=3，∴函数f（x）的零点为3．点评：本题考查了对数函数的性质，考查了函数的零点问题，是一道基础题．16．（14分）已知sinθ=﹣．其中θ是第三象限角．（Ⅰ）求cosθ，tanθ的值；（Ⅱ）求tan（θ﹣）的值；（Ⅲ）求sin（θ+）﹣2sin（π+θ）+cos2θ的值．考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正切函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（Ⅰ）由同角三角函数基本关系先求cosθ，即可求tanθ的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）及两角和与差的正切函数公式即可求值；（ III）由诱导公式及倍角公式展开代入即可求值．解答：（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵且θ是第三象限角，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（ III）=cosθ+2sinθ+2cos2θ﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，两角和与差的正切函数公式的应用，属于基础题．17．（13分）已知向量=（cosθ，sinθ），=（sinθ，0），其中θ∈R．（Ⅰ）当θ=时，求•的值；（Ⅱ）当θ∈[0，]时，求（+）2的最大值．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；三角函数的求值；平面向量及应用．分析：（Ⅰ）运用向量的数量积的坐标表示和特殊角的三角函数值，即可计算得到；（Ⅱ）运用向量的数量积的坐标表示和性质，结合二倍角公式和两角差的正弦公式，由正弦函数的图象和性质，即可得到最大值．解答：解：（Ⅰ）当时，，∴；（Ⅱ）由题意得：===2cosθ•sinθ+2sin2θ+1=sin2θ+2﹣cos2θ=，∵，∴．∴当即时，取得最大值，且为．点评：本题考查平面向量的数量积的坐标运算和性质，考查二倍角公式和两角差的正弦公式的运用，考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．18．（14分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向右平移个单位后得到新函数g（x）的图象，求函数g（x）的解析式；（Ⅲ）求函数2f（x）﹣g（x）的单调增区间．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由所给图象知A=1，可求T的值，可得ω的值，由sin（2×+φ）=1，|φ|＜可得φ的值，从而可求解析式．（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可求解析式．（Ⅲ）先求2f（x）﹣g（x）的解析式，从而可求单调递增区间．解答：（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由所给图象知A=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）T=﹣=，T=π，所以ω==2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由sin（2×+φ）=1，|φ|＜得+φ=，解得φ=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所以f（x）=sin（2x+）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数解析式为g（x）=sin[2（x﹣）+]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）=sin（2x﹣）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（Ⅲ）由题：2f（x）﹣g（x）====．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分），∴函数f（x）的增区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．19．（13分）设二次函数f（x）=ax2+bx+ca≠0，x∈R满足条件：①x≤f（x）≤（1+x2），②f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）；③f（x）在R上的最小值为0．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）求最大值m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，都有f（x+t）≤x成立．考点：二次函数的性质；函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）根据①1≤f（1）≤1，所以得到f（1）=1；（Ⅱ）由f（1）=1，a+b+c=1；由②知f（x）的对称轴为x=﹣1，所以﹣=﹣1，b=2a；由③知f（﹣1）=a﹣b+c=0．所以解，即得a=c=，b=，这便可求出f（x）；（Ⅲ）根据题设，所以由（1）可得到﹣4≤t≤0，由（2）可得．而容易得到在[﹣4，0]的最大值是t=﹣4时的值9，所以便得到m≤9，所以m的最大值为9．解答：解：（Ⅰ）∵在R上恒成立；∴1≤f（1）≤1；即f（1）=1；（II）∵f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x），∴函数图象关于直线x=﹣1对称；∴，b=2a；∵f（1）=1，∴a+b+c=1；又∵f（x）在R上的最小值为0，∴f（﹣1）=0，即a﹣b+c=0；由，解得；∴；（III）∵当x∈[1，m]时，f（x+t）≤x恒成立；∴f（1+t）≤1，且f（m+t）≤m；由f（1+t）≤1得，t2+4t≤0，解得﹣4≤t≤0；由f（m+t）≤m得，m2+2（t﹣1）m+t2+2t+1≤0；解得；∵﹣4≤t≤0，∴=9；当t=﹣4时，对于任意x∈[1，9]，恒有=；∴m的最大值为9．点评：考查已知函数求函数值，由f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）知道f（x）的对称轴为x=﹣1，二次函数的对称轴，二次函数在R上的最值，以及解一元二次不等式．20．（13分）若函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x﹣1）+f（x+1）≥2f（x），则称函数f（x）具有性质P．（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质P，并说明理由．①y=a x（a＞1）；②y=x3．（Ⅱ）若函数f（x）具有性质P，且f（0）=f（n）=0（n＞2，n∈N*），求证：对任意i∈{1，2，3，…，n﹣1}有f（i）≤0；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0．若成立给出证明，若不成立给出反例．考点：抽象函数及其应用．专题：证明题；综合题；压轴题；新定义；探究型；转化思想；分析法．分析：（I）①根据已知中函数的解析式，结合指数的运算性质，计算出f（x﹣1）+f（x+1）﹣2f（x）的表达式，进而根据基本不等式，判断其符号即可得到结论；②由y=x3，举出当x=﹣1时，不满足f（x﹣1）+f（x+1）≥2f（x），即可得到结论；（II）由于本题是任意性的证明，从下面证明比较困难，故可以采用反证法进行证明，即假设f（i）为f （1），f（2），…，f（n﹣1）中第一个大于0的值，由此推理得到矛盾，进而假设不成立，原命题为真；（III）由（II）中的结论，我们可以举出反例，如证明对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0不成立．解答：证明：（Ⅰ）①函数f（x）=a x（a＞1）具有性质P．…（1分），因为a＞1，，…（3分）即f（x﹣1）+f（x+1）≥2f（x），此函数为具有性质P．②函数f（x）=x3不具有性质P．…（4分）例如，当x=﹣1时，f（x﹣1）+f（x+1）=f（﹣2）+f（0）=﹣8，2f（x）=﹣2，…（5分）所以，f（﹣2）+f（0）＜f（﹣1），此函数不具有性质P．（Ⅱ）假设f（i）为f（1），f（2），…，f（n﹣1）中第一个大于0的值，…（6分）则f（i）﹣f（i﹣1）＞0，因为函数f（x）具有性质P，所以，对于任意n∈N*，均有f（n+1）﹣f（n）≥f（n）﹣f（n﹣1），所以f（n）﹣f（n﹣1）≥f（n﹣1）﹣f（n﹣2）≥…≥f（i）﹣f（i﹣1）＞0，所以f（n）=[f（n）﹣f（n﹣1）]+…+[f（i+1）﹣f（i）]+f（i）＞0，与f（n）=0矛盾，所以，对任意的i∈{1，2，3，…，n﹣1}有f（i）≤0．…（9分）（Ⅲ）不成立．例如…（10分）证明：当x为有理数时，x﹣1，x+1均为有理数，f（x﹣1）+f（x+1）﹣2f（x）=（x﹣1）2+（x+1）2﹣2x2﹣n（x﹣1+x+1﹣2x）=2，当x为无理数时，x﹣1，x+1均为无理数，f（x﹣1）+f（x+1）﹣2f（x）=（x﹣1）2+（x+1）2﹣2x2=2所以，函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x﹣1）+f（x+1）≥2f（x），即函数f（x）具有性质P．…（12分）而当x∈[0，n]（n＞2）且当x为无理数时，f（x）＞0．所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0”不成立．…（13分）（其他反例仿此给分．如，，，等．）点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，指数函数和幂函数的性质，反证法，其中在证明全称命题为假命题时，举出反例是最有效，快捷，准确的方法．。
2016-2017学年北京市海淀区高一(上)期末数学试卷
2016-2017学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一■选择题（每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合 题目要求的）1. (4 分)已知集合 U={1, 2, 3, 4, 5, 6} , M={1, 5} , P={2, 4}，则下列结论正确的是（ ）A . 1€ ?U (M U P ) B. 2€ ?U (M U P ) C. 3€ ?U ( M U P ) D. 6??u ( M U P )2.(4分)下列函数在区间( —X, 0)上是增函数的是()2 - x A . f (x ) =x — 4x B. g (x ) =3x+1 C. h (x ) =3 D . t (x ) =tanx3. (4分)已知向量□= (1, 3), b = (3, t )，若□ O ,则实数t 的值为()A .— 9 B.- 1 C. 1 D . 9 4. (4分)下列函数中，对于任意的x € R,满足条件f (x ) +f ( — x ) =0的函数 是( )1 2A . f (x ) =x ； B. f (x ) =sinx C. f (x ) =cosx D . f (x ) =log 2 (x +1)5. (4分)代数式 sin (=+) +cos ( -—)的值为( ) 2 3 2 6 A . — 1 B. 0 C. 1 D .— 26. (4分)在边长为1的正方形ABCD 中，向量=:■',则向量 小， 2 3的夹角为（5兀~127. （4分）如果函数f （x ） =3sin （2x+©）的图象关于点（丁，0）成中心对称（|创 V 今），那么函数f （ X ）图象的一条对称轴是（） D . x= 3 m H 其中M U P=R 则下列结论中一定正确的xgPA . 7171 71 A . x =— B. “ C x =8. （4分）已知函数f （x ）」2是（）A.函数f （x）一定存在最大值B•函数f （x）—定存在最小值C.函数f (x) —定不存在最大值D.函数f (x) —定不存在最小值二■填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分)9. ___________________________________ (4分)函数严的定义域为.10. (4分)已知a=40.5, b=0.54, c=log o.54,则a, b, c从小到大的排列为________ .11. ( 4分)已知角a终边上有一点P ( X, 1),且COS a =丄，贝U tan a _____ .212. (4 分)已知△ ABC 中，点A (-2, 0), B (2, 0), C (X, 1)(i)若/ ACB是直角，贝U x= ____(ii)__________________________________________ 若厶ABC是锐角三角形，则x的取值范围是 _______________________________ .13. (4分)燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v=alo§'：.若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为v=10m/s,则两岁燕子飞行速度为25m/s时，耗氧量达至y ______ 单位.14. (4 分)已知函数f (x) =| ax- 11 -(a- 1) x(1)当aJ时，满足不等式f (x)> 1的x的取值范围为；2(2)若函数f (x)的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为____________ .三■解答题(本大题共4小题，共44分)15. (12分)已知函数f (x) =x2+bx+c，其对称轴为y轴(其中b, c为常数)(I)求实数b的值；(n)记函数g (x) =f (x)- 2,若函数g (x)有两个不同的零点，求实数c 的取值范围；(川)求证：不等式f (c2+1)>f (c)对任意c€ R成立.16. (12分)已知如表为五点法”绘制函数f (x) =Asin(3X®图象时的五个关键点的坐标(其中A>0, 3>0, |创v n(I)请写出函数f (X )的最小正周期和解析式；(U)求函数f (x )的单调递减区间；(川)求函数f (x )在区间［0, 一 ］上的取值范围. 217. (10分)如图，在平面直角坐标系中，点 A (-务0), B (丰，0),锐角a £ £ 的终边与单位圆O 交于点P.(I)用a 的三角函数表示点P 的坐标；(U)当，卜？卜=--时，求a 的值； 4(川)在x 轴上是否存在定点M ，使得|屮|=］| 丫|「|恒成立？若存在，求出点 M 的横坐标；若不存在，请说明理由.18. (10分)已知函数f (x )的定义域为R,若存在常数T M 0,使得f (x ) =Tf (x+T )对任意的x € R 成立，则称函数f (x )是Q 函数.(I)判断函数f (x ) =x , g (x ) =sin n 是否是Q 函数；(只需写出结论)(n)说明：请在(i )、(ii )问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择(i ) 计分 (i) 求证：若函数f (x )是Q 函数，且f (x )是偶函数，贝U f (x )是周期函数； (ii) 求证：若函数f (x )是Q 函数，且f (x )是奇函数，贝U f (x )是周期函数； (川)求证：当a > 1时，函数f (x ) =a x 一定是Q 函数.选做题(本题满分10分)■■) =| x € V| x? i=x? |(1)请你任意写出两个平面向量 「，并写出集合V ( 1,「‘)中的三个元素;19. (10分)记所有非零向量构成的集合为V ,对于1,：疋V , d,定义V ( 1,。
北京市西城区2016-2017学年高一上学期期末数学试卷Word版含解析
2016-2017学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷A卷[必修模块4]本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．如果θ是第三象限的角，那么（）A．sinθ＞0 B．cosθ＞0 C．tanθ＞0 D．以上都不对2．若向量=（1，﹣2），=（x，4）满足⊥，则实数x等于（）A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣23．若角α的终边经过点（﹣4，3），则tanα=（）A．B．C．D．4．函数是（）A．奇函数，且在区间上单调递增B．奇函数，且在区间上单调递减C．偶函数，且在区间上单调递增D．偶函数，且在区间上单调递减5．函数f（x）=sinx﹣cosx的图象（）A．关于直线对称B．关于直线对称C．关于直线对称D．关于直线对称6．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC，若，则=（）A．B．C．2 D．7．定义在R上，且最小正周期为π的函数是（）A．y=sin|x| B．y=cos|x|C．y=|sinx| D．y=|cos2x|8．设向量，的模分别为2和3，且夹角为60°，则|+|等于（）A． B．13 C． D．199．函数（其中ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一部分如图所示，则（）A．B．C．D．10．如图，半径为1的圆M，切直线AB于点O，射线OC从OA出发，绕O点顺时针方向旋转到OB，旋转过程中OC交⊙M于P，记∠PMO为x，弓形PNO 的面积S=f（x），那么f （x）的图象是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．若向量=（﹣1，2）与向量=（x，4）平行，则实数x=．12．若θ为第四象限的角，且，则cosθ=；sin2θ=．13．将函数y=cos2x的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数表达式为．14．若，均为单位向量，且与的夹角为120°，则﹣与的夹角等于．15．已知，则cos（x﹣y）=．16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））满足，给出以下四个结论：①ω=3；②ω≠6k，k∈N*；③φ可能等于；④符合条件的ω有无数个，且均为整数．其中所有正确的结论序号是．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知φ∈（0，π），且．（Ⅰ）求tan2φ的值；（Ⅱ）求的值．18．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）若直线y=a与函数f（x）的图象无公共点，求实数a的取值范围．19．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设，，则得到函数y=f（x）．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）对于任意a∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值．B卷[学期综合]本卷满分：50分．一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.20．设全集U=R，集合A={x|x＜0}，B={x||x|＞1}，则A∩（∁U B）=．21．已知函数若f（a）=2，则实数a=．22．定义在R上的函数f （x）是奇函数，且f（x）在（0，+∞）是增函数，f （3）=0，则不等式f（x）＞0的解集为．23．函数的值域为．（其中[x]表示不大于x的最大整数，例如[3.15]=3，[0.7]=0．）24．在如图所示的三角形空地中，欲建一个面积不小于200m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位：m）的取值范围是．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.25．（10分）已知函数．（Ⅰ）若，求a的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论．26．（10分）已知函数f（x）=3x，g（x）=|x+a|﹣3，其中a∈R．（Ⅰ）若函数h（x）=f[g（x）]的图象关于直线x=2对称，求a的值；（Ⅱ）给出函数y=g[f（x）]的零点个数，并说明理由．27．（10分）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）．（1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．2016-2017学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析A卷[必修模块4]本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．如果θ是第三象限的角，那么（）A．sinθ＞0 B．cosθ＞0 C．tanθ＞0 D．以上都不对【考点】三角函数值的符号．【分析】根据象限角的符号特点即可判断．【解答】解：如果θ是第三象限的角，则sinθ＜0，cosθ＜0，tanθ＞0，故选：C．【点评】本题考查了象限角的符号无问题，属于基础题．2．若向量=（1，﹣2），=（x，4）满足⊥，则实数x等于（）A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，分析可得•=0，由向量数量积的坐标的运算公式可得•=1×x+（﹣2）×4=0，解可得x的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，若向量、满足⊥，必有•=0，又由=（1，﹣2），=（x，4），则有•=1×x+（﹣2）×4=0，解可得x=8；故选：A．【点评】本题考查向量数量积的坐标运算，若两个非零向量互相垂直，则其数量积为0．3．若角α的终边经过点（﹣4，3），则tanα=（）A．B．C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由题设条件，根据三角函数终边上一点的定义即可求得正切值，正切值为纵坐标与横坐标的商．【解答】解：由定义若角α的终边经过点（﹣4，3），∴tanα=﹣，故选：D．【点评】本题考查任意角三角函数的定义，求解的关键是熟练掌握定义中知道了终边上一点的坐标，求正切值的规律．知道了终边上一点的坐标的三角函数的定义用途较广泛，应好好掌握．4．函数是（）A．奇函数，且在区间上单调递增B．奇函数，且在区间上单调递减C．偶函数，且在区间上单调递增D．偶函数，且在区间上单调递减【考点】正弦函数的图象．【分析】函数=cosx，即可得出结论．【解答】解：函数=cosx，是偶函数，且在区间上单调递减，故选D．【点评】本题考查诱导公式，考查余弦函数的性质，比较基础．5．函数f（x）=sinx﹣cosx的图象（）A．关于直线对称B．关于直线对称C．关于直线对称D．关于直线对称【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【分析】函数解析式提取，利用两角差的正弦函数公式化简，利用正弦函数图象的性质即可做出判断．【解答】解：函数y=sinx﹣cosx=sin（x﹣），∴x﹣=kπ+，k∈Z，得到x=kπ+，k∈Z，则函数的图象关于直线x=﹣对称．故选：B．【点评】本题考查了两角差的正弦函数公式，考查正弦函数图象的性质，熟练掌握公式是解本题的关键，是基础题．6．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC，若，则=（）A．B．C．2 D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据向量加减的几何意义可得，λ=，μ=，问题得以解决．【解答】解：∵BD=2DC，∴=+=+=+（﹣）=+，∵，∴λ=，μ=，∴=，故选：A【点评】本题考查了向量的加减的几何意义，属于基础题．7．定义在R上，且最小正周期为π的函数是（）A．y=sin|x| B．y=cos|x|C．y=|sinx| D．y=|cos2x|【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】分别求出函数的最小正周期，判断即可． 【解答】解：对于A ：y=sin |x |的最小正周期为2π， 对于B ，y=cos |x |的最小正周期为2π， 对于C ，y=|sinx |最小正周期为π，对于D ，y=|cos2x |最小正周期为，故选：C【点评】本题考查了三角形函数的最小正周期，属于基础题．8．设向量，的模分别为2和3，且夹角为60°，则|+|等于（ ）A ．B ．13C ．D ．19【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用两个向量的数量积的定义求出，再利用|+|2=||2+||2+2，即可求出答案．【解答】解：∵向量，的模分别为2和3，且夹角为60°，∴=||•||cos60°=2×3×=3，∴|+|2=||2+||2+2=4+9+2×3=19，∴|+|=，故选：C ．【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，向量的模的定义，求向量的模的方法．9．函数（其中ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一部分如图所示，则（ ）A ．B ．C ．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先利用图象中求得函数的周期，求得ω，最后根据x=2时取最大值，求得φ，即可得解．【解答】解：如图根据函数的图象可得：函数的周期为（6﹣2）×4=16，又∵ω＞0，∴ω==，当x=2时取最大值，即2sin（2×+φ）=2，可得：2×+φ=2kπ+，k ∈Z，∴φ=2kπ+，k∈Z，∵0＜φ＜π，∴φ=，故选：B．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了学生基础知识的运用和图象观察能力，属于基本知识的考查．10．如图，半径为1的圆M，切直线AB于点O，射线OC从OA出发，绕O点顺时针方向旋转到OB，旋转过程中OC交⊙M于P，记∠PMO为x，弓形PNO 的面积S=f（x），那么f （x）的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象与图象变化．【分析】写出函数S=f （x ）的解析式．根据函数的单调性和极值判断出函数图象的大体形状即可．【解答】解：由题意得S=f （x ）=x﹣f′（x）=≥0当x=0和x=2π时，f′（x）=0，取得极值．则函数S=f （x ）在[0，2π]上为增函数，当x=0和x=2π时，取得极值．结合选项，A正确．故选A．【点评】本题考查了函数的解析式的求法以及函数的求导，根据函数的性质判断函数的图象，求出函数的解析式是解决此题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．若向量=（﹣1，2）与向量=（x，4）平行，则实数x=﹣2．【考点】平行向量与共线向量．【分析】由于向量=（﹣1，2）与向量=（x，4）平行，可得，进而列出方程组求解出答案即可．【解答】解：因为向量=（﹣1，2）与向量=（x，4）平行，所以，所以﹣1=λx，2=λ4，解得：λ=，x=﹣2．故答案为﹣2．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握向量共线的坐标表示，并且结合正确的计算．12．若θ为第四象限的角，且，则cosθ=；sin2θ=﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosθ，进而利用二倍角的正弦函数公式可求sin2θ的值．【解答】解：∵θ为第四象限的角，且，∴cosθ==，sin2θ=2sinθcosθ=2×（﹣）×=﹣．故答案为：，﹣．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．13．将函数y=cos2x 的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数表达式为y=﹣sin2x ．【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：将函数y=cos2x 的图象向左平移个单位，所得图象对应的解析式为y=cos2（x +）=cos （2x +）=﹣sin2x ．故答案为：y=﹣sin2x ．【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律，考查了转化思想，属于基础题．14．若，均为单位向量，且与的夹角为120°，则﹣与的夹角等于 150° ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积公式和向量的夹角公式计算即可． 【解答】解：∵，均为单位向量，且与的夹角为120°，∴（﹣）•=﹣||2=1×1×（﹣）﹣1=﹣， |﹣|2=||2﹣2+||2=1﹣2×1×1×（﹣）+1=3，∴|﹣|=，设﹣与的夹角为θ，则cosθ===﹣，∵0°≤θ≤180°，∴θ=150°，故答案为：150°【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握平面向量数量积的运算性质与公式，以及向量的求模公式的应用，此题属于基础题，主要细心的运算即可得到全分．15．已知，则cos（x﹣y）=﹣．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】对已知两式分别平方相加，逆用两角和与差的余弦函数公式即可求得答案．【解答】解：∵sinx+siny=，①cosx+cosy=，②①2+②2得：2+2sinxsiny+2cosxcosy=，∴cos（x﹣y）=sinxsiny+cosxcosy=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查两角和与差的余弦函数，考查三角函数的平方关系的应用，属于基础题．16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））满足，给出以下四个结论：①ω=3；②ω≠6k，k∈N*；③φ可能等于；④符合条件的ω有无数个，且均为整数．其中所有正确的结论序号是①③．【考点】正弦函数的图象．【分析】函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））满足，可得ω（）=nπ，ω=n（n∈Z），即可得出结论．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））满足，∴ω（）=nπ，∴ω=n （n ∈Z ），∴①ω=3正确； ②ω≠6k ，k ∈N *，不正确；③φ可能等于，正确； ④符合条件的ω有无数个，且均为整数，不正确． 故答案为①③．【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2016秋•西城区期末）已知φ∈（0，π），且．（Ⅰ）求tan2φ的值；（Ⅱ）求的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】（Ⅰ）利用特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式可求tanφ的值，进而利用二倍角的正切函数公式即可计算得解． （Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．【解答】解：（Ⅰ）∵φ∈（0，π），且=，可得：tanφ=﹣2，∴tan2φ==．（Ⅱ）===﹣．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式，二倍角的正切函数公式，同角三角函数基本关系式的应用，考查了转化思想，属于基础题．18．（12分）（2016秋•西城区期末）已知函数．（1）求函数f （x ）的单调增区间；（2）若直线y=a与函数f（x）的图象无公共点，求实数a的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）运用两角差的余弦公式和二倍角公式，化简可得f（x），再由余弦函数的单调区间，解不等式可得所求增区间；（2）求得f（x）的最值，即可得到a的取值范围．【解答】解：（1）函数=cosx（cosx+sinx）=+sin2x=cos（2x﹣）+，由2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）由（1）可得当2x﹣=2kπ，即x=kπ+，k∈Z时，f（x）取得最大值；当2x﹣=2kπ+π，即x=kπ+，k∈Z时，f（x）取得最小值﹣．由直线y=a与函数f（x）的图象无公共点，可得a的范围是a＞或a＜﹣．【点评】本题考查三角函数的化简和求值，考查余弦函数的图象和性质，属于中档题．19．（12分）（2016秋•西城区期末）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设，，则得到函数y=f（x）．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）对于任意a∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）画出图形，建立直角坐标系，即得y=f（x）的解析式，代值计算即可（Ⅱ）通过分类讨论，利用二次函数的单调性即可判断出．【解答】解：（1）如图所示，建立直角坐标系．∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），∴B（0，0），A（﹣2，0），D（﹣1，a），C（0，a）．∵=x，（0≤x≤1）．∴=+x=（﹣2，0）+x（1，a）=（x﹣2，xa），∴=﹣=（0，a）﹣（x﹣2，xa）=（2﹣x，a﹣xa）∴y=f（x）=•=（2﹣x，﹣xa）•（2﹣x，a﹣xa）=（2﹣x）2﹣ax（a﹣xa）=（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．∴f（1）=a2+1﹣（4+a2）+4=1（Ⅱ）由y=f（x）=（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．可知：对称轴x0=．当0＜a≤时，1＜x0，∴函数f（x）在[0，1]单调递减，因此当x=0时，函数f（x）取得最大值4．当a＞时，0＜x0＜1，函数f（x）在[0，x0）单调递减，在（x0，1]上单调递增．又f（0）=4，f（1）=1，∴f（x）max=f（0）=4．综上所述函数f（x）的最大值为4【点评】本题考查了数量积运算、分类讨论、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．B卷[学期综合]本卷满分：50分．一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.20．设全集U=R，集合A={x|x＜0}，B={x||x|＞1}，则A∩（∁U B）={x|﹣1≤x＜0} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合B，根据补集与交集的定义求出结果即可．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x＜0}，B={x||x|＞1}={x|x＜﹣1或x＞1}，则∁U B={x|﹣1≤x≤1}，A∩（∁U B）={x|﹣1≤x＜0}．故答案为：{x|﹣1≤x＜0}．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目．21．已知函数若f（a）=2，则实数a=e2．【考点】函数的值．【分析】当a＜0时，f（a）=a﹣2=2；当a＞0时，f（a）=lna=2．由此能求出实数a．【解答】解：∵函数，f（a）=2，∴当a＜0时，f（a）=a﹣2=2，解得a=，不成立；当a＞0时，f（a）=lna=2，解得a=e2．∴实数a=e2．故答案为：e2．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．22．定义在R上的函数f （x）是奇函数，且f（x）在（0，+∞）是增函数，f （3）=0，则不等式f（x）＞0的解集为（﹣3，0）∪（3，+∞）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】易判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性及f（x）图象所过特殊点，作出f（x）的草图，根据图象可解不等式．【解答】解：∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（﹣3）=0，得﹣f（3）=0，即f（3）=0，由f（﹣0）=﹣f（0），得f（0）=0，作出f（x）的草图，如图所示：∴f（x）＞0的解集为：（﹣3，0）∪（3，+∞），故答案为：（﹣3，0）∪（3，+∞）．【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．23．函数的值域为{0，1} ．（其中[x]表示不大于x的最大整数，例如[3.15]=3，[0.7]=0．）【考点】函数的值域．【分析】由题设中的定义，可对x分区间讨论，设m表示整数，综合此四类即可得到函数的值域【解答】解：设m表示整数．①当x=2m时，[]=[m+0.5]=m，[]=[m]=m．∴此时恒有y=0．②当x=2m+1时，[]=[m+1]=m+1，[]=[m+0.5]=m．∴此时恒有y=1．③当2m＜x＜2m+1时，2m+1＜x+1＜2m+2∴m＜＜m+0.5m+0.5＜＜m+1∴[]=m，[]=m∴此时恒有y=0④当2m+1＜x＜2m+2时，2m+2＜x+1＜2m+3∴m+0.5＜＜m+1m+1＜＜m+1.5∴此时[]=m，[]=m+1∴此时恒有y=1．综上可知，y∈{0，1}．故答案为{0，1}．【点评】此题是新定义一个函数，根据所给的规则求函数的值域，求解的关键是理解所给的定义，一般从函数的解析式入手，要找出准确的切入点，理解[x]表示数x的整数部分，考察了分析理解，判断推理的能力及分类讨论的思想24．在如图所示的三角形空地中，欲建一个面积不小于200m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位：m）的取值范围是[10，20] ．【考点】基本不等式．【分析】设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得：=，（0＜x＜30）．矩形的面积S=x（30﹣x），利用S≥200解出即可．【解答】解：设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得：=，解得y=30﹣x，（0＜x＜30）∴矩形的面积S=x（30﹣x），∵矩形花园的面积不小于200m2，∴x（30﹣x）≥200，化为（x﹣10）（x﹣20）≤0，解得10≤x≤20．满足0＜x＜30．故其边长x（单位m）的取值范围是[10，20]．故答案为：[10，20]．【点评】本题考查了相似三角形的性质、三角形的面积计算公式、一元二次不等式的解法等基础知识与基本技能方法，属于基础题．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.25．（10分）（2016秋•西城区期末）已知函数．（Ⅰ）若，求a的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论．【考点】对数函数的图象与性质；函数奇偶性的判断．【分析】（Ⅰ）若，则=2，解得a的值；（Ⅱ）函数f（x）为奇函数，结合函数奇偶性的定义和对数的运算性质，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵函数．，∴=，∴=2，解得：a=3；（Ⅱ）函数f（x）为奇函数，理由如下：函数f（x）的定义域（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）关于原点对称，且f（﹣x）+f（x）=+=0，即f（﹣x）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数．【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，对数函数的图象和性质，函数求值，难度中档．26．（10分）（2016秋•西城区期末）已知函数f（x）=3x，g（x）=|x+a|﹣3，其中a∈R．（Ⅰ）若函数h（x）=f[g（x）]的图象关于直线x=2对称，求a的值；（Ⅱ）给出函数y=g[f（x）]的零点个数，并说明理由．【考点】函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）函数h（x）=f[g（x）]=3|x+a|﹣3的图象关于直线x=2对称，则h （4﹣x）=h（x）⇒|x+a|=|4﹣x+a|恒成立⇒a=﹣2；（Ⅱ）函数y=g[f（x）]=|3x+a|﹣3的零点个数，就是函数G（x）=|3x+a|与y=3的交点，分①当0≤a＜3时；②当a≥3时；③﹣3≤a＜0时；④当a＜﹣3时，画出图象判断个数．【解答】解：（Ⅰ）函数h（x）=f[g（x）]=3|x+a|﹣3的图象关于直线x=2对称，则h（4﹣x）=h（x）⇒|x+a|=|4﹣x+a|恒成立⇒a=﹣2；（Ⅱ）函数y=g[f（x）]=|3x+a|﹣3的零点个数，就是函数G（x）=|3x+a|与y=3的交点，①当0≤a＜3时，G（x）=|3x+a|=3x+a与y=3的交点只有一个，即函数y=g[f（x）]的零点个数为1个（如图1）；②当a≥3时，G（x）=|3x+a|=3x+a与y=3没有交点，即函数y=g[f（x）]的零点个数为0个（如图1）；③﹣3≤a＜0时，G（x）=|3x+a|与y=3的交点只有1个（如图2）；④当a＜﹣3时，G（x）=|3x+a|与y=3的交点有2个（如图2）；【点评】本题考查了函数的零点，把零点个数转化为两函数交点个数是常用方法，属于中档题．27．（10分）（2016秋•西城区期末）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f （x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）．（1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）由题意可得c=1，进而得到f（x），可取g（x）=x；（2）假设存在常数a，b，c满足题意，令x=1，可得a+b+c=1，再由二次不等式恒成立问题解法，运用判别式小于等于0，化简整理，即可判断存在．【解答】解：（1）函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），可得a﹣b+c=0，又a=1，b=2，则f（x）=x2+2x+1，由新定义可得g（x）=x为函数f（x）的一个承托函数；（2）假设存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数的一个承托函数．即有x≤ax2+bx+c≤x2+恒成立，令x=1可得1≤a+b+c≤1，即为a+b+c=1，即1﹣b=a+c，又ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，可得a＞0，且（b﹣1）2﹣4ac≤0，即为（a+c）2﹣4ac≤0，即有a=c；又（a﹣）x2+bx+c﹣≤0恒成立，可得a＜，且b2﹣4（a﹣）（c﹣）≤0，即有（1﹣2a）2﹣4（a﹣）2≤0恒成立．故存在常数a，b，c，且0＜a=c＜，b=1﹣2a，可取a=c=，b=．满足题意．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用赋值法和判别式法，考查运算能力，属于中档题．。
数学-北京市海淀区2016-2017学年高一上学期期末考试试题
北京市海淀区2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题一.选择题：本大题共8小题, 每小题4分,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{1,5}M =，{24},P =，则下列结论正确的是 ( ) A ．1()U M P ∈ð B ．2()U M P ∈ð C ．3()U MP ∈ð D ．6()U MP ∉ð2．下列函数在区间(,0)-∞上是增函数的是 ( ) A. 2()4f x x x =- B. ()31g x x =+ C. ()3x h x -= D. ()tan t x x = 3. 已知向量(1,3), (3,),t ==a b 若ab , 则实数t 的值为 ( )A. 9-B. 1-C. 1D. 94. 下列函数中，对于任意的x ∈R ，满足条件()()0f x f x +-=的函数是 ( ) A. 13()f x x = B. si ()n 1f x x =+ C. 2()f x x =D. 22()log (1)f x x =+5. 代数式ππππsin()cos()2326++-的值为 ( )A. 1-B. 0C. 1D.6. 在边长为1的正方形ABCD 中，向量11,23DE DC BF BC == ，则向量,AE AF 的夹角为 ( ) A.π6 B. π4 C. π3 D. 5π2１ 7. 如果函数()3sin(2)f x x ϕ=+的图象关于点π(,0)3成中心对称(π||2ϕ<)，那么函数()f x 的一条对称轴是 ( )A.π6x =-B.π12x =C. π6x =D. π3x = 8. 已知函数22() xx M f x x x P ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，，，，其中M P =R ，则下列结论中一定正确的是 ( )A. 函数()f x 一定存在最大值B. 函数()f x 一定存在最小值C. 函数()f x 一定不存在最大值D. 函数()f x 一定不存在最小值 二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分, 共24分. 9．函数()f x =的定义域为_____________.10. 已知0.540.540.5,log 4，a b c ===，则,,a b c 从小到大的排列为_____________. 11. 已知角α终边上有一点(,1)P x ,且21cos -=α,则_________ta _n ___α=. 12. 已知ABC ∆中，点(20), (2,0)A B -，, (,1)C x . (i) 若ACB ∠是直角，则_____________x =；(ii) 若ABC ∆是锐角三角形，则x 的取值范围是_____________.13. 燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬. 鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v 可以表示为耗氧量x 的函数2log 10xv a =. 若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为y =10m/s ，则两岁燕子飞行速度为25m/s 时，耗氧量达到_____________单位. 14. 已知函数()|1|(1)f x ax a x =---. (i) 当１２a =时，满足不等式()1f x >的x 的取值范围为_____________； (ii) 若函数()f x 的图象与x 轴没有交点，则实数a 的取值范围为_____________.三.解答题: 本大题共4小题, 共44分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分12分）已知函数2()f x x bx c =++，其对称轴为y 轴(其中,b c 为常数) . (Ⅰ) 求实数b 的值；(Ⅱ) 记函数()()2g x f x =-，若函数()g x 有两个不同的零点，求实数c 的取值范围；(Ⅲ) 求证：不等式2(1)()f c f c +> 对任意c ∈R 成立.16．（本小题满分12分）已知下表为“五点法”绘制函数()sin()f x A x ωϕ=+图象时的五个关键点的坐标(其中0,0,πA ωϕ>><).(Ⅰ) 请写出函数)(x f 的最小正周期和解析式； (Ⅱ) 求函数)(x f 的单调递增区间；(Ⅲ) 求函数)(x f 在区间π[0,]2上的取值范围.如图，在平面直角坐标系中，点1(,0)2A-，3(,0)2B，锐角α的终边与单位圆O交于点P.(Ⅰ) 用角α的三角函数表示点P的坐标；(Ⅱ) 当14AP BP⋅=-时，求α的值；(Ⅲ) 在x轴上是否存在定点M，使得1||||2AP MP=恒成立?若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由.已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0T ≠，使得()()f x Tf x T =+对任意的x ∈R 成立，则称函数()f x 是Ω函数.（Ⅰ）判断函数()f x x =，()sin πg x x =是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）说明：请在（ⅰ）、（ⅱ）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（ⅰ）计分. （ⅰ）若函数()f x 是Ω函数，且()f x 是偶函数，则()f x 是周期函数； （ⅱ）若函数()f x 是Ω函数，且()f x 是奇函数，则()f x 是周期函数； (Ⅲ) 求证：当1a >时，函数 ()x f x a =一定是Ω函数.选作题：（本小题满分10分）记所有非零平面向量构成的集合为V ，对于∈V a,b ，≠a b ，定义(){|}=∈⋅⋅V V a,b m m a =m b .(Ⅰ) 请你任意写出两个平面向量a,b ，并写出集合()V a,b 中的三个元素；（Ⅱ）请根据你在(Ⅰ)中写出的三个元素，猜想集合()V a,b 中元素的关系，并试着给出证明；(Ⅲ) 若()()=V V a,b a,c ，其中≠b c ，求证：一定存在实数12λλ,，121λλ=+，使得12λλ+a =b c .参考答案一. 选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分.二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.9. [2,)+∞ 10. <<c b a 11.12. (2,(3,2)- 13. 320 14. 1(2,), [,1)2+∞说明：12，14题每个答案两分，丢掉一个减2分 三.解答题:本大题共4小题, 共44分. 15. （本小题满分12分）解: （I ）因为()f x 的对称轴为y 轴，所以()()-=f x f x 对任意的x ∈R 成立，即22++=-+x bx c x bx c 对任意的x ∈R 成立，整理有20=bx 对任意的x ∈R 成立，所以0=b . ………………………4分法二：因为()f x 的对称轴为y 轴， 而()f x 的对称轴为2bx =-， 所以有 02b-=，所以0=b . ………………………4分 （II ）依题意2()2=+-g x x c 有两个不同的零点， 即关于x 的方程220x c +-=有两个不相等的实数根， 所以0>,即20c -<，2c <为所求. ………………………8分(Ⅲ) 因为2222(1)()[(1)]()+-=++-+f c f c c c c c 4222131()024c c c =++=++>恒成立， 所以2(1)()+>f c f c 对c ∈R 恒成立. ………………………12分 法二：因为()f x 的对称轴为y 轴, 其开口向上且22131||(||)024c c c +-=-+>，即21c +到对称轴的距离大于||c 到对称轴的距离， 根据二次函数的性质，所以2(1)()+>f c f c 对c ∈R 恒成立. ………………………12分16．（本小题满分12分） 解: （I ）5ππ()π66T =--=, ………………………2分 即2ππT ω==, 所以2ω=.又2=A , ()2sin(2)=+f x x ϕ,将π(,2)12代入()f x , 有π2sin()26ϕ+=，即πsin()16ϕ+=. 因为||π,ϕ< 所以π57(π,π)666ϕ+∈-，因此ππ62ϕ+=，即π3ϕ=. 故π()2sin(2)3f x x =+. ………………………4分说明：这里只要结果正确，就给分，不用考虑过程. （II ） 因为函数sin y x =的单调区间为ππ2π2π22k x k -<<+， 所以令πππ2π22π232k x k -<+<+， 即 5ππ2π22π66k x k -<<+， 解得 5ππππ1212k x k -<<+， 所以()f x 的增区间为5ππ(ππ),()1212k k k -+∈Z ，. ………………………8分 (Ⅲ) 因为π[0,]2x ∈，所以有ππ4π2[,]333x +∈，所以当 π12x =时 ，函数()f x 取得最大值2， 当 π2x =时， 函数()f x取得最小值 所以函数()f x 在 π[0,]2上的取值范围为[ ………………………12分 17.（本小题满分10分）解: （I ）(cos ,sin )P αα. ………………………2分（II ）13(cos ,sin ) (cos ,sin )22AP BP αααα=+=-， 213(cos )(cos )sin 22AP BP ααα⋅=+-+，223cos cos sin 41cos 4αααα=--+=-因为14AP BP ⋅=-，所以11cos 44α-=-，即1cos 2α=， 因为α为锐角，所以π3α=. ………………………6分 (Ⅲ) 法一：设(,0)M m ，则222115||(cos )sin 1cos cos 244AP αααα=++=++=+， 2222||(c o s )s i n 12c o s M P m m m ααα=-+=-+，因为1||||2=AP AP ，所以251cos (12cos )44m m αα+=-+， 所以2(1)cos (1)024m m α++-=对任意π(0,)2α∈成立，所以2102104m m ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 所以2m =-. M 点的横坐标为2-. ………………………10分法二：设(,0)M m ，则222115||(cos )sin 1cos cos 244AP αααα=++=++=+， 2222||(cos )sin 12cos MP m m m ααα=-+=-+，因为1||||2=AP AP ， 所以251cos (12cos )44m m αα+=-+，即22cos 4cos 40m m αα---=， (2)[(2)2c o s ]m m α+--=，因为α可以为任意的锐角，(2)2cos 0m α--=不能总成立，所以20m +=，即2m =-，M 点的横坐标为2-. ………………………10分18．（本小题满分10分）解: （I ）函数()f x 不是Ω函数，函数()g x 是Ω函数. ………………………2分 （II ）(i)因为()f x 是Ω函数，所以()()f x Tf x T =+， 所以()()f x Tf x T -=-+，又因为()f x 是偶函数，所以()()f x f x =-，所以()()Tf x T Tf x T +=-+，即()()f x T f x T +=-+， 所以()()f x T f x T +=-，所以()(2)=+f x f x T ，所以()f x 是以2T 为周期的周期函数. ………………………6分(ii) 因为()f x 是Ω函数，所以()()f x Tf x T =+，所以()()f x Tf x T -=-+，又因为()f x 是奇函数， ()()f x f x -=-所以()()f x Tf x T -=--，即 ()()f x Tf x T =-，所以()()Tf x T Tf x T +=-，所以()()f x T f x T +=-，所以()(2)=+f x f x T ，所以()f x 是以2T 为周期的周期函数. ………………………6分 (Ⅲ) 法一：设()1x g x xa =-，所以(0)1g =-，(1)10g a =->所以至少存在一个(0,1)T ∈，满足()0=g T ，即1T Ta =，所以()()x T x T Tf x T Ta Ta a f x ++==⋅=，所以函数()f x 是Ω函数. ………………………10分 法二：设1()=-x g x a x， 因为1a >，所以(1)10g a =-<，11()0=->a g a a a， 所以至少存在一个1(,1)∈T a， 满足()0=g T ，即1T a T=， 所以()()x T x T Tf x T Ta Ta a f x ++==⋅=，所以函数()f x 是Ω函数. ………………………10分 选作题：（I ）例如(1,0),(0,1),a a ==则(,)a b V 中的三个元素可以为(1,1),x =(1,1),y =-- (2,2)z = .……………3分 （II ）猜想：(,)a b V 中的所有向量都是共线向量.证明如下：不妨设1212(,),(,),a a a b b b ==因为a b ≠，所以1122a b a b --，中至少有一个不为0，若220a b -≠，记1122(1)a b e a b -=--，, 显然()0e a b ⋅-=，即e a e b ⋅=⋅，所以e ∈(,)a b V .任取(,)v x y =∈(,)a b V ，因为v a v b ⋅=⋅，所以()0v a b ⋅-=，所以1122()()0x a b y a b -+-=，则有1122a b y x a b -=--， 所以(,)v x y xe ==，所以(,){|,}a b v v e λλ==∈V R ，问题得证；若220a b -=，110a b -≠时，可证明(,){|,}a b v v e λλ==∈V R ，其中2211(1)a b e a b -=--，. 所以(,)a b V 中的所有向量都是共线向量. ………………………6分 (Ⅲ) 因为(,)a b V (,)a c =V ，不妨设12v v ∈，(,)a b V ，12v v ≠.则由(,)a b V 的定义知道，11v a v b ⋅=⋅，即1()0v a b ⋅-=, 同理2()0v a b ⋅-=,所以1()v a b ⋅-2()v a b =⋅-，所以()a b -∈12(,)v v V ，同理得到()a c -∈12(,)v v V由（II ）得，(),()a b a c --共线，所以()()a c a b λ-=-，所以(1)a b c λλ-=-+. 因为b c ≠，所以1λ≠， 所以11)1)a b c λλλ=-+--（（ 记1211)1)λλλλλ=-=--，（（，则12+1λλ=，问题得证. ………………………10分。
北京101中学2016-2017学年高一下学期期末考试数学试卷+Word版含答案
北京 101 中学 2016-2017 学年下学期高一年级期末考试数学试卷 本试卷满分 120 分，考试时间 100 分钟
一、选择题共 8 小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合 M={x|x 2-4x+3<0} ， N={x|3-x>1} ，则 M N=（
）
A. {x| 1<x<3}
）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题共 6 小题。
9. 已知函数 f （ x） =x+ 8 -3 （ x>0），则 f （ x）的最小值是 __________ 。 x
10. 抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩（单位：环） ，结果如下：
运动员 甲 乙
第一次 87 89
第二次 9l 90
12. 从 1， 2，3， 4 这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为
_______。
13. 已知直线 l ⊥平面 ，直线 m 平面 ，给出下列命题， 其中正确命题的序号是 _______。
①∥
l ⊥m；② ⊥
l ∥m；③ l ∥ｍ ⊥ ；④ l ⊥ｍ ∥ 。
14. 在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影。由区域
B. {x| 1<x<2}
C.
D. {x| x<3}
2. 某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，
在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本中的老年教师人数为（
）
类别
人数
老年教师
900
中年教师