用符号形式写出下列命题
离散数学第一章数理逻辑
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例3.他既聪明又用功。 例4.他虽聪明但不用功。 例5.除非你努力，否则你将失败。 例6.张三或李四都可以做这件事。
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作业：
（1）判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合 式公式。
a.(Q→R∧S） b.(P ↔(R →S)) c.((┐P→Q)→(Q→P)) d.(RS→T) e.((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)) （2）用符号形式写出下列命题。 a.假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读
书或看报。
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b.我今天进城，除非下雨。 c.仅当你走我将留下。
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练习：将下列命题符号化。 1）说逻辑学枯燥无味（P）或毫无意义（Q）是不对的。 2）如果明天有雾（P），则我乘车（Q），不坐飞机（R）。 3）有雨（P）就刮风（Q）。 4）如果小王没来上课（P），一定是他生病了（Q）。 5）如果我上街（P），我就去图书馆看看（Q），除非我很累
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结论： 命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。 命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、 条件、实际情况时间才能确定其真值。
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二、命题的分类
1.原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命 题的命题。
游； （5）两个三角形全等当且仅当三角形的三条边全部
相等。 (6) 张辉与王丽是同学。
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例 （解）
02324离散数学(课后习题解答(详细)
离散数学~习题1.11.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。
⑴中国有四大发明。
⑵计算机有空吗?⑶不存在最大素数。
⑷21+3＜5。
⑸老王是山东人或河北人。
⑹2与3都是偶数。
⑺小李在宿舍里。
⑻这朵玫瑰花多美丽呀!⑼请勿随地吐痰!⑽圆的面积等于半径的平方乘以 。
⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。
⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。
⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。
解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。
2. 将下列复合命题分成若干原子命题。
⑴李辛与李末是兄弟。
⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。
⑶天正在下雨或湿度很高。
⑷刘英与李进上山。
⑸王强与刘威都学过法语。
⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。
⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。
⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。
解：⑴本命题为原子命题；⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服；⑶p：天在下雨；q：湿度很高；⑷p：刘英上山；q：李进上山；⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语；⑹p：你看电影；q：我看电影；⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。
3. 将下列命题符号化。
⑴他一面吃饭，一面听音乐。
⑵3是素数或2是素数。
⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。
⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。
⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。
⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。
解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：⌝p→⌝q⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p↔q⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p↔q。
简易逻辑命题
短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号 表示
（2）p：方程x2－1=0的解是x=1，
q全：称方命程题x2““－对1=pM0中的且所解有是q的x”=x－，1形p；(x)”式可用复符号合简记命为：题的真假可以用下表表示：
“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；
“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示： 命题：可以判断真假的语句叫命题； 复合命题有三种形式：p或q； 由简单命题与逻辑联结词构成的命题。 二．全称量词与存在量词
（3）逆否命题：如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结 含有存在量词的命题，叫做特称命题
如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；
论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆 短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号 表示
短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号 表示
由简单命题与逻辑联结词构成的命题否。 命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。
“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p
非p
q：方程x2－1=0的解是x=－1； 二．全称量词与存在量词
真
短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号 表示
假 复合命题有三种形式：p或q；
如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；
D. 若 p 正确，则 q 正确
例 3．(2008·广东文)命题“若函数 f (x) loga x(a 0, a 1) 在其定义域内是减函数，则 loga 2 0 ”的逆否命题是（ ） A、若 loga 2 0 ，则函数 f (x) loga x(a 0, a 1) 在其定义域内不是减函数 B、若 loga 2 0 ，则函数 f (x) loga x(a 0, a 1) 在其定义域内不是减函数 C、若 loga 2 0 ，则函数 f (x) loga x(a 0, a 1) 在其定义域内是减函数 D、若 loga 2 0 ，则函数 f (x) loga x(a 0, a 1) 在其定义域内是减函数
大学离散数学总复习题
《离散数学》期末复习题一．选择题：1.下列句子为真命题的是（） A(a)能整除7 的正整数只有1 和7 本身。
(b) 胡戈由于导演了“无极”而于2005年获得奥斯卡金像奖。
(c) 买两张星期五去“大剧院”音乐会的票。
(d) 地球是宇宙中惟一存在生命的星球。
2．下列语句中是真命题的是（） DA．我正在说谎B．严禁吸烟C．如果1+2=3，那么雪是黑的D．如果1+2=5，那么雪是黑的3．设P：我们划船，Q：我们跑步。
命题“我们不能既划船又跑步”符号化为（） B A．⎤ P∧⎤ QB．⎤ P∨⎤ QC．⎤（P↔Q）D．⎤（⎤ P∨⎤ Q）4．命题公式（P∧（P→Q））→Q是（） BA．矛盾式B．蕴含式C．重言式D．等价式5．在公式（）F（x，y）→（y）G（x，y）中变元x是（） BA．自由变元B．约束变元C．既是自由变元，又是约束变元D．既不是自由变元，又不是约束变元6、下列语句不是命题的是（） AA.∀xP(x,y)B. ∀xP(x)C. （）F（x，y）→（y）G（x，y）D. ∀x (x2 - 1 > 0)7.集合X = {a, b, c, d}上的关系R = {(a, a), (b, c), (c, b), (d, d)} 是（） DA) 自反的、 B) 传递的、 C) 等价的 D) 对称的8、设R 是X = {1, 2, 3, 4}上的关系，x, y ∈X，如果x ≤ y，则(x, y)∈R。
下列关于关系R的说法错误的是：（） AA)关系R是等价关系，B) 关系R 是自反的C) 关系R 是传递的 D) 以上都不是。
9、集合X = {a, b, c}上的关系 R = {(a, a), (b, b), (c, c)}是（） DA) 自反的、非对称的；B) 自反的、非传递的C) 对称的、非传递的；D) 自反的、对称的和传递的10、令X={1,2,…,10}。
定义xRy的意义是3整除x-y。
则关系R是（） DA) 自反的、非对称的；B) 自反的、非传递的C) 对称的、非传递的D) 自反的、对称的和传递的11、下列S不是集合X＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}的一个划分的是（） DA)S＝{{1, 4, 5}, {2, 6}, {3}, {7, 8}}B)S＝{{1, 4}, {2, 6}, {3,5}, {7, 8}}C)S＝{{1, 4, 5}, {2,3, 6}, {7, 8}}D)S＝{{1, 4}, {2, 6}, {3}, {7, 8}}12、从X = {1, 2, 3}到Y = {a, b, c, d}的函数 f = {(1, b), (3, a), (2,c)} 是( ) AA) 一对一的B) 映上的C) 双射D) 都不是13、设R是X＝{1, 2, 3, 4}上的关系，x, y∈X，如果x≤y，则(x,y)∈R。
命题逻辑习题
命题命题逻辑逻辑逻辑习题习题班级: 学号： 姓名：一．选择题1.由n 个命题变元组成不等值的命题公式的个数为（ ）A.2nB.2nC.n 2D.2n22.设P ：我将去镇上，Q ：我有时间。
命题“我将去镇上，仅当我有时间的”符号化为（ ）A.P →QB.Q →PC.P ↔QD.¬Q ∨¬P3.设P ：我们划船，Q ：我们跑步。
命题“我们不能即划船又跑步”符号化为（ ）A. ¬p ∧¬QB. ¬P ∨¬QC. ¬(P ↔Q)D.P ↔¬Q4.下面哪一个命题是命题“2是偶数或-3是负数”的否定？（ ）A. 2是偶数或-3不是负数 C. 2是奇数或-3不是负数 C ．2不是偶数且-3不是负数D. 2是奇数且-3不是负数5.设P ：张三可以作这件事，Q ：李四可以作这件事。
命题“张三或李四可以做这件事”符号化为（ ）A.P ∨QB.P ∨¬QC.P ↔QD. ¬(¬P ∨¬Q)6.下列语句中哪个是真命题？（ ）A.我正在说谎。
B.严禁吸烟。
C.如果1+2=3，那么雪是黑的。
D.如果1+2=5，那么雪是黑的。
7.命题公式(P ∧ (P →Q)) →Q 是（ ）。
A.矛盾式B.蕴含式C.重言式D.可满足式8.下面哪个命题公式是重言式？（ ）A.(P →Q)∧(Q → P)B.(P ∧Q)→PC.(¬P ∨Q)∧¬(¬P ∧¬Q)D.¬(P ∨Q)9.下列哪一组命题公式是等值的？（ ）A. ¬P ∧¬Q,P ∨QB.A →(B →A),¬A →(A →¬B)C.Q →(P ∨Q),¬Q ∧ (P ∨Q)D.¬A ∨ (A ∧B),B10.P →Q 的逆否式是（ ）A.Q →¬PB. P →¬ QC. ¬Q →PD. ¬Q →¬P11.¬P →Q 的逆否式是（ ）A.Q →¬PB. P →¬ QC. Q →¬PD.P →¬ Q12.已知A 是B 的充分条件，B 是C 的必要条件，D 是B 的必要条件，则A 是D 的（ ）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.A 、B 、C 都不对13.下面哪一个命题公式是重言式？（ ）A.P →(Q ∨R)B.(P ∨R)∧(P →Q)C.(P ∨Q) ↔ (Q ∨R)D.(P →(Q →R)) →((P →Q) →(P →R))14.下列哪个命题公式不是重言式？（）A.Q→(P∨Q)B.(P∧Q)→PC.¬(P∧¬Q) ∧(¬P∨Q)D.(P→Q)↔(¬P∨Q)15.重言式的否定式是（）A.重言式B.矛盾式C.可满足式D.蕴含式16.下面哪一个命题是假命题？（）A.如果2是偶数，那么一个公式的析取范式惟一B.如果2是偶数，那么一个公式的析取范式不惟一C.如果2是奇数，那么一个公式的析取范式惟一D.如果2是奇数，那么一个公式的析取范式不惟一17.下面哪一组命题公式不是等值的？（）A.¬(A→B),A∧¬BB.¬(A↔B),(A∧¬B)∨(¬A∧B)C.A→(B∨C),¬A∧(B∨C)D. A→(B∨C),(A∧¬B)→C18.P↔¬Q⇔（）A.¬P→ (P→¬Q)B.(¬P∨Q)∨ (¬Q∨P)C.(¬P∨¬Q)∧(¬Q∨P)D.(¬P∨¬Q)∧(Q∨P)19.命题公式¬(P∧Q)→R的主析取范式中含极小项的个数为（）A.8B.3C.5D.020.命题公式¬(P∧Q)→R的主析取范式中含极大项的个数为（）A.0B.3C.5D.821.命题公式¬(P∧Q)→R的成真赋值为（）A.000,001,110B.001,011,101,110,111C.全体赋值D.无22.如果A⇒B成立，则以下各种蕴含关系哪一个成立？（）A.B⇒AB.¬A⇒¬BC.¬B⇒¬AD.¬A⇒B 二．填空题1.下列句子中，是命题的有(1).我是教师。
《离散数学》 习题解答
离散数学习题解 ∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧r) = m0 ∨ m1 ∨ m4 ∨ m5 ∨ m0 ∨ m1 ∨ m2 ∨ m3 ∨ m1 ∨ m3 ∨ m5 ∨ m7 ⇔ m0 ∨ m1 ∨ m2 ∨ m3 ∨ m4 ∨ m5 ∨ m7 ⇔ ∑(0, 1, 2, 3, 4, 5, 7). 两个公式的主吸取范式不同, 所以(p→q) →rk q→ (p→r).
离散数学习题解 ⇔¬ ((p→q) ∧ (q→p)) ⇔¬ ((¬p∨q) ∧ (¬q∨p)) ⇔ (p∧¬q) ∨ (q∧¬p) ⇔ (p∨q) ∧ (p∨¬p) ∧ (¬q∨q) ∧ (¬p∨¬q) ⇔ (p∨q) ∧¬ (p∧q) (4) (p∧¬q) ∨ (¬p∧q) ⇔ (p∨¬p) ∧ (p∨q) ∧ (¬q∨¬p) ∧ (¬q∨q) ⇔ (p∨q) ∧¬ (p∧q) 2.5. 求下列公式的主析取范式, 并求成真赋值: (1)( ¬p→q) → (¬q∨p) (2) ¬ (p→q) ∧q∧r (3)(p∨ (q∧r)) → (p∨q∨r) (1)(¬p→q) → (¬q∨p) ⇔ ¬(p∨q) ∨ (¬q∨p) ⇔ ¬p∧¬q ∨ ¬q ∨ p⇔ ¬p∧¬q ∨ ¬q ∨ p(吸收律)⇔ (p¬∨p)¬∧q ∨ p∧(q¬∨q) ⇔ p¬∧q ¬∨p¬∧q ∨ p∧q ∨ p¬∧q ⇔ m10 ∨ m00 ∨ m11 ∨ m10 ⇔ m0 ∨ m2 ∨ m3 ⇔ ∑(0, 2, 3). 成真赋值为 00, 10, 11. (2)主析取范式为 0, 无成真赋值, 为矛盾式. (3)m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7, 为重言式. 2.6. 求下列公式的主合取范式, 并求成假赋值: (1) ¬ (q→¬p) ∧¬p (2)(p∧q) ∨ (¬p∨r) (3)(p→ (p∨q)) ∨r (1) ¬ (q¬→p) ∧ ¬p ⇔ ¬(¬q¬∨p) ∧ ¬p ⇔ q∧p ∧ ¬p ⇔ q∧0 ⇔0 ⇔ M0∧M1∧M2∧M3 这是矛盾式. 成假赋值为 00, 01, 10, 11. (2)M4, 成假赋值为 100. (3)主合取范式为 1, 为重言式.
离散数学 第1章 习题解答
习题1.11.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。
⑴中国有四大发明。
⑵计算机有空吗?⑶不存在最大素数。
⑷21+3＜5。
⑸老王是山东人或河北人。
⑹2与3都是偶数。
⑺小李在宿舍里。
⑻这朵玫瑰花多美丽呀!⑼请勿随地吐痰!⑽圆的面积等于半径的平方乘以 。
⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。
⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。
⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。
解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。
2. 将下列复合命题分成若干原子命题。
⑴李辛与李末是兄弟。
⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。
⑶天正在下雨或湿度很高。
⑷刘英与李进上山。
⑸王强与刘威都学过法语。
⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。
⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。
⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。
解：⑴本命题为原子命题；⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服；⑶p：天在下雨；q：湿度很高；⑷p：刘英上山；q：李进上山；⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语；⑹p：你看电影；q：我看电影；⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。
3. 将下列命题符号化。
⑴他一面吃饭，一面听音乐。
⑵3是素数或2是素数。
⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。
⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。
⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。
⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。
解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：⌝p→⌝q⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p↔q⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p↔q。
命题逻辑1
3. 命题公式
命题公式是由0、1、命题常元、命题变元以及命题 联结词、括号等组成的符号串。 定义 （命题公式的递归定义）
（1） 0，1，命题常元是命题公式； （2） 命题变元是命题公式； （3） 如果A是命题公式，则¬ A是命题公式； （4） 如果A和B是命题公式，则（A∨B）， （A∧B）,(A→B）,(A↔ B）也是命题公式； 有限次地利用上述（1）—（4）而产生的符号串是命题公式， 又称为合式公式，简称公式。
命题逻辑
命题符号化 命题公式的赋值 公式的等值
命题逻辑推理理论
公式的标准形式
1.1 命题符号化
命题相关概念 联结词 命题符号化
1.1 命题符号化
一、 命题(statement)的概念
命题：是能判断真假的陈述句。 命题的真值：作为命题的陈述句所表达的判断结果。 真值只取两个值：真(1)或假(0) 真命题：真值为真的命题。 假命题：真值为假的命题。 判断给定句子是否为命题分两步： 1、判定它是否为陈述句 2、判断它是否有唯一的真值
要学好这门课程，首先必须充分认识到这门课程的 上述特点，需要做到以下几点： 1、注重课堂效率，熟读教材。准确理解各个概念和定理 的含义（结合多个例子来理解），必要的推理过程要看懂、 理解（它可以帮助你熟悉和深刻理解定理的含义）。 2、独立思考，做好习题。仅靠熟读教材并不能将书上的 知识变成你自己的知识，在熟读教材的基础上，必须通 过大量练习，独立思考来真正获取知识。 3、注重抽象思维能力的训练。数学与其他学科相比较具 有较高的抽象性，而离散数学的抽象性特点更为显著，它 有着大量抽象的概念和抽象的推理，要学好这门课程必须 具有较好的抽象思维能力，才能深入地掌握课程内容。
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∧q 0 0 0 1
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5. 用符号形式写出下列命题。
⑴假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
⑵我今天进城，除非下雨。
⑶仅当你走，我将留下。
解：⑴p：上午下雨；q：我去看电影；r：我在家读书；s：我在家看报；原命题符号化为：（⌝p→q）∧（p→r∨s）。
⑵p：我今天进城；q：天下雨；原命题符号化为：⌝q→p。
⑶p：你走；q：我留下；原命题符号化为：q→p。
3.构造下列命题公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。
⑸((¬p→(p∧¬q))→r)∨(q∧¬r)解：⑸((⌝p→(p∧⌝q))→r)∨(q∧⌝r)的真值表如表1.28所示。
表1.28使得公式((⌝p→(p∧⌝q))→r)∨(q∧⌝r)成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式((⌝p→(p∧⌝q))→r)∨(q∧⌝r)成假的赋值是：100。
4.用真值表证明下列等价式：⑸p→(q→p)⇔ ⌝p→(p→⌝q)证明：证明p→(q→p)和⌝p→(p→⌝q)的真值表如表1.33所示。
表1.33由上表可见：p→(q→p)和⌝p→(p→⌝q)的真值表完全相同，且都是永真式，所以p→(q →p)⇔⌝p→(p→⌝q)。
⑹⌝(p↔q)⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)证明：证明⌝(p↔q)和(p∨q)∧⌝(p∧q)的真值表如表1.34所示。
表1.34由上表可见：⌝(p↔q)和(p∨q)∧⌝(p∧q)的真值表完全相同，所以⌝(p↔q)⇔(p∨q)∧⌝(p ∧q)⑺⌝(p↔q)⇔(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)证明：证明⌝(p↔q)和(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)的真值表如表1.35所示。
表1.35由上表可见：⌝(p↔q)和(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)的真值表完全相同，所以⌝(p↔q)⇔(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)。
⑻p→(q∨r)⇔(p∧⌝q)→r证明：证明p→(q∨r)和(p∧⌝q)→r的真值表如表1.36所示。
表1.36由上表可见：p→(q∨r)和(p∧⌝q)→r的真值表完全相同，所以p→(q∨r)⇔(p∧⌝q)→r。
5. 用等价演算证明习题4中的等价式。
⑸p→(q→p)⇔⌝p∨(⌝q∨p) (条件等价式)⇔T⌝p→(p→⌝q)⇔p∨(⌝p∨⌝q) (条件等价式)⇔T所以p→(q→p)⇔ ⌝p→(p→⌝q)⑹⌝(p↔q)⇔⌝((p∧q)∨(⌝p∧⌝q)) (例1.17)⇔(p∨q)∧(⌝p∨⌝q) (德·摩根律)⇔(p∨q)∧⌝(p∧q) (德·摩根律)所以⌝(p↔q)⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)⑺⌝(p↔q)⇔⌝((p→q)∧(q→p)) (双条件等价式)⇔⌝((⌝p∨q)∧(⌝q∨p)) (条件等价式)⇔(p∧⌝q)∨(⌝p∧q) (德·摩根律)⑻p→(q∨r)⇔⌝p∨(q∨r) (条件等价式)⇔(⌝p∨q)∨r (结合律)⇔⌝(p∧⌝q)∨r (德·摩根律)⇔(p∧⌝q)→r (条件等价式)1.求下列命题公式的析取范式。
⑴(p∧⌝q)→r⇔⌝(p∧⌝q)∨r⇔⌝p∨q∨r⑵⌝(p→q)→r⇔⌝⌝(⌝p∨q)∨r⇔(⌝p∨q)∨r⇔⌝p∨q∨r⑶p∧(p→q)⇔ p∧(⌝p∨q)⇔(p∧⌝p)∨(p∧q)⇔ p∧q⑷(p→q)∧(q∨r)⇔(⌝p∨q)∧(q∨r)⇔ q∨(⌝p∧r)⑸⌝(p∨⌝q)∧(r→t)⇔(⌝p∧q)∧(⌝r∨t)⇔(⌝p∧q∧⌝r)∨(⌝p∧q∧t)2. 求下列命题公式的合取范式。
⑴⌝(p→q)⇔⌝(⌝p∨q)⇔p∧⌝q⑵⌝q∨(p∧q∧r)⇔(⌝q∨p)∧(⌝q∨q)∧(⌝q∨r)⇔(⌝q∨p)∧(⌝q∨r)⑶(⌝p∧q)∨(p∧⌝q)⇔((⌝p∧q)∨p)∧((⌝p∧q)∨⌝q))⇔(⌝p∨p)∧(q∨p)∧(⌝p∨⌝q)∧(q∨⌝q)⇔(p∨q)∧(⌝p∨⌝q)⑷⌝(p↔q)⇔⌝((p∧q)∨(⌝p∧⌝q))⇔(⌝p∨⌝q)∧(p∨q)⑸⌝(p→q)→r⇔⌝⌝(⌝p∨q)∨r⇔(⌝p∨q)∨r⇔⌝p∨q∨r3.求下列命题公式的主析取范式，并求命题公式的成真赋值。
⑵⌝(p∨q)→(⌝p∧r)⇔⌝⌝(p∨q)∨(⌝p∧r)⇔(p∨q)∨(⌝p∧r)⇔(p∨q∨⌝p)∧(p∨q∨r)⇔p∨q∨r⇔(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧⌝r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧⌝r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r)(主析取范式)⇔∑1,2,3,4,5,6,7使得命题公式⌝(p∨q)→(⌝p∧r)成真的赋值是：001，010、011，100，101，110，111。
⑷(⌝p→q)→(p∨⌝q)⇔⌝(⌝⌝p∨q)∨(p∨⌝q)⇔⌝(p∨q)∨(p∨⌝q)⇔(⌝p∧⌝q)∨(p∨⌝q)⇔(p∨⌝q∨⌝p)∧(p∨⌝q∨⌝q)⇔p∨⌝q⇔(⌝p∧⌝q)∨(p∧⌝q)∨(p∧q)(主析取范式)⇔∑0,2,34.求下列命题公式的主合取范式，并求命题公式的成假赋值。
⑴(p→q)∧r⇔(⌝p∨q)∧r⇔(⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨⌝r)∧(⌝p∨r)∧(p∨r)⇔(⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨⌝r)∧(⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨⌝q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨⌝q∨r)⇔(⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨⌝r)∧(⌝p∨⌝q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨⌝q∨r)⇔∏0,2,4,5,6使得命题公式(p→q)∧r成假的赋值是：000,010,100,101,110。
5.求下列命题公式的主析取范式，再用主析取范式求出主合取范式。
⑴(p→q)∧(q→r)⇔(⌝p∨q)∧(⌝q∨r)⇔((⌝p∨q)∧⌝q)∨((⌝p∨q)∧r)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝p∧r)∨(q∧r)⇔(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧⌝r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧q∧r) ⇔(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧⌝r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧q∧r)(主析取范式)⇔∑0,1,3,7⇔∏2,4,5,6⇔(p∨⌝q∨r)∧(⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨⌝r)∧(⌝p∨⌝q∨r)(主合取范式)6. 求下列命题公式的主合取范式，再用主合取范式求出主析取范式。
⑵(p∧q)→q⇔⌝(p∧q)∨q⇔⌝p∨⌝q∨q⇔T(无主合取范式)⇔∑0,1,2,3⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝p∧q)∨(p∧⌝q)∨(p∧q)1.将下列命题公式用只含⌝，∧，∨的等价式表示。
⑷(p↔q)↔r⇔((p∧q)∨(⌝p∧⌝q))↔r⇔(((p∧q)∨(⌝p∧⌝q))∧r)∨(⌝((p∧q)∨(⌝p∧⌝q))∧⌝r)⇔((p∧q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧r))∨(((⌝p∨⌝q)∧(p∨q))∧⌝r)⇔(p∧q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨((⌝p∨⌝q)∧(p∨q)∧⌝r)3.将下列命题公式用只含⌝，∧的等价式表示。
⑷(⌝p→q)→(p∨⌝q)⇔⌝(p∨q)∨⌝(p↔⌝q)⇔(⌝p∧⌝q)∨⌝((p∧⌝q)∨(⌝p∧q))⇔⌝(⌝(⌝p∧⌝q)∧⌝(⌝(p∧⌝q)∧⌝(⌝p∧q)))7.将下列命题公式仅用“↑”表示。
⑴⌝p⇔⌝(p∧p)⇔p↑p3.推理证明下列各题的有效结论。
⑴p→(q∨r)，(t∨s)→p，(t∨s)⇒q∨r证明：⑴t∨s P⑵(t∨s)→p P⑶p T⑴⑵假言推理⑷p→(q∨r) P⑸q∨r T⑶⑷假言推理⑵p∧q，(p↔q)→(t∨s)⇒(t∨s)证明:⑴p∧q P⑵p T⑴化简律⑶q T⑴化简律⑷p→q T⑶例1.30(2)⑸q→p T⑵例1.30(2)⑹(p→q)∧(q→p) T⑷⑸合取引入⑺p↔q T⑹双条件等价式⑻(p↔q)→(t∨s) P⑼t∨s T⑺⑻假言推理⑹⌝p∨⌝s，p→q，r→s⇒⌝p∨⌝r证明:⑴⌝(⌝p∨⌝r) P(附加前提)⑵p∧r T⑴条件等价式⑶p T⑵化简律⑷r T⑵化简律⑸r→s P⑹s T⑷⑸假言推理⑺⌝p∨⌝s P⑻⌝p T⑹⑺析取三段论⑼⌝p∧p(矛盾)T⑶⑻合取引入4.用CP规则推证下列各题的有效结论。
⑴⌝p∨q,r→⌝q⇒p→⌝r证明:⑴p P(附加前提)⑵⌝p∨q P⑶q T⑴⑵析取三段论⑷r→⌝q P⑸⌝r T⑶⑷拒取式⑹p→⌝r CP规则⑵p∨q→r∧s，s∨t→u⇒p→u证明:⑴p P(附加前提)⑵p∨q T⑴附加律⑶p∨q→r∧s P⑷r∧s T⑵⑶假言推理⑸s T⑷化简律⑹s∨t T⑸附加律⑺s∨t→u P⑻u T⑹⑺假言推理⑼p→u CP规则5.用归谬法推证下列各题的有效结论。
⑴p∧q，(p↔q)→(t∨s)⇒t∨s证明:⑴⌝(t∨s) P(附加前提)⑵(p↔q)→(t∨s) P⑶⌝(p↔q)T⑴⑵拒取式⑷⌝((p∧q)∨(⌝p∧⌝q))T⑶例1.17⑸⌝(p∧q)∧⌝ (⌝p∧⌝q)T⑷德·摩根律⑹⌝(p∧q) T⑸化简律⑺p∧q P⑻(p∧q)∧⌝(p∧q)(矛盾)T⑹⑺合取引入6.证明下面各命题推得的结论是有效的：如果今天是星期三，那么我有一次离散数学或数字逻辑测验。
如果离散数学课老师有事，那么没有离散数学测验。
今天是星期三且离散数学老师有事。
所以，我有一次数字逻辑测验。
证明：设p：今天是星期三。
q：我有一次离散数学测验。
r：我有一次数字逻辑测验。
s：离散数学课老师有事。
该推理就是要证明：p→(q∨r)，s→⌝q，p∧s⇒r⑴p∧s P⑵p T⑴化简律⑶s T⑴化简律⑷s→⌝q P⑸⌝q T⑶⑷假言推理⑹p→(q∨r) P⑺q∨r T⑵⑹假言推理⑻r T⑸⑺析取三段论2．将下列命题符号化。
并讨论它们的真值。
(1) 有些实数是有理数。
解：设R(x)：x是实数。
Q(x)：x是有理数。
“有些实数是有理数。
”符号化为：(∃x)(R(x)∧Q(x))它的真值为：真。
(2) 凡是人都要休息。
解：设R(x)：x是人。
S(x)：x要休息。
“凡是人都要休息。
”符号化为：(∀x)(R(x)→S(x))它的真值为：真。
4．分别在全总个体域和实数个体域中，将下列命题符号化。
(1) 对所有的实数x，都存着实数y，使得x－y=0解：设R(x)：x是实数。
B(x,y)：x－y=0。
在实数个体域符号化为：(∀x)(∃y)B(x,y)在全总个体域符号化为：(∀x)(R(x)→(∃y)(R(y)∧B(x,y)))(2) 存在着实数x，对所有的实数y，都有x－y=0解：设R(x)：x是实数。
B(x,y)：x－y=0。
在实数个体域符号化为：(∃x)(∀y)B(x,y)在全总个体域符号化为：(∃x)(R(x)∧(∀y)(R(y)→B(x,y)))1. 设个体域为D=⎨1,2,3⎬，试消去下列各式的量词。
(1) (∀x)P(x)解：(∀x)P(x)⇔P(1)∧P(2)∧P(3)(2) (∀x)P(x)→(∃y)Q(y)解：(∀x)P(x)→(∃y)Q(y)⇔(P(1)∧P(2)∧P(3))→(Q(1)∨Q(2)∨Q(3)) (3) (∀x)P(x)∨(∃y)Q(y)解：(∀x)P(x)∨(∃y)Q(y)⇔(P(1)∧P(2)∧P(3))∨(Q(1)∨Q(2)∨Q(3))2. 求下列各式的真值。