高等几何试题及答案
高等几何试题及答案
高等几何试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项是欧几里得几何的公理？A. 两点之间线段最短B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C. 任意两条直线都相交D. 圆的周长与直径的比值是一个常数答案：B2. 球面上的最短路径是：A. 直线B. 曲线C. 大圆D. 任意路径答案：C3. 以下哪个定理是球面几何中的定理？A. 勾股定理B. 泰勒斯定理C. 球面三角形的内角和大于180度D. 三角形内角和等于180度答案：C4. 以下哪个选项是双曲几何的特征？A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行B. 过直线外一点有无数条直线与已知直线平行C. 过直线外一点没有直线与已知直线平行D. 过直线外一点有一条直线与已知直线平行答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 在欧几里得几何中，一个平面上任意两个点确定一条________。
答案：直线2. 球面几何中，球面上的两点之间的最短路径称为________。
答案：大圆3. 在双曲几何中，过直线外一点可以画出________条直线与已知直线平行。
答案：无数4. 根据球面几何的性质，球面上的三角形内角和________180度。
答案：大于三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：在球面几何中，任意两个大圆的交点最多有两个。
证明：假设球面上有两个大圆A和B，它们相交于点P和Q。
如果存在第三个交点R，则R必须位于大圆A和B上。
由于大圆A和B是球面上的最短路径，它们在球面上的交点必须是球面上的最短路径的端点，因此R不可能存在。
因此，任意两个大圆的交点最多有两个。
答案：证明完毕。
2. 已知球面上的三角形ABC，其内角分别为α、β、γ，且α+β+γ=180°+ε，其中ε为正数。
求证：三角形ABC的边长之和小于球面上的任意其他三角形的边长之和。
证明：设球面上的任意其他三角形为DEF，其内角分别为α'、β'、γ'。
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高等几何习题解答习题一1．0设A ，B 为二定点，xy 为定直线。
于xy 上任取P ，Q ，又AP 与BQ 交于L ，AQ 与BP 交于M ，求证：LM 通过AB 上一定点。
解：把直线xy 射影为无穷远直线，则点P ，Q ，2P ，2Q 变为无穷远点1P ∞，1Q ∞，2P ∞，2Q ∞，所以1A L B M ''''∥，22A L B M ''''∥，11A M B L ''''∥，22A M B L ''''∥，得两个平行四边形。
11L B M ''''中，11L M ''，A B ''是对角线，交于1S ，且1S 是A B ''的中点。
22L B M ''''中，22L M ''，A B ''是对角线，交于点1S ，且1S 是A B ''的中点，∴1S '≡2S '＝S '，从而，LM通过AB 上一定点S 。
1.1 写出下列各直线的绝对坐标：（1）123320x x -= （2）23230x x -= （3）30x =答：（1）(3,-；（2）(0,2,3)-；（3）(0,0,1) 1.2 写出下列个点的方程(3,5,1)a =- (0,1,0)b = 1,0)c =-答：123:350a ξξξ-+= 2:0b ξ= 120c ξ-=1.3 求下列三点中每两点连线的方程和坐标：(1,4,1)x =，(2,0,1)y =，(1,1,2)z =- 答：),8,1,4(=⨯y x 084321=++x x x ),2,3,1(--=⨯z y 023321=--x x x ),5,1,9(--=⨯x z 059321=--x x x1.4 求下列三直线中每两条的交点的方程和坐标：),4,1,0(=ξ),3,1,2(=η)0,1,1(-=ζ 答：),2,8,1(-=⨯ηξ028321=+-ξξξ ),1,1,1(-=⨯ξη0321=-+ξξξ),1,4,4(-=⨯ξζ044321=-+ξξξ1.5 如果直线,ξ,η,ζϕ的方程分别是：,031=-x x ,032=-x x ,02321=-+x x x,0321=++x x x 求直线)()(ϕζηξ⨯⨯⨯的方程和坐标。
高等几何试卷及答案
《高等几何》考试试题A 卷(120分钟)一、填空题(2分⨯12=24分)1平行四边形 ;2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0)3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -24、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x5、方程065222121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-=x x x ,则原点的对应点 -317、求点)0,1,1(-关于二阶曲线054753323121232221=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -19、一点列到自身的两射影变换a):21→,32→,43→; b):10→,32→,01→ 其中为对合的就是: b10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件就是 底的交点自对应12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它就是由下列两个射影线束所决定的:130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。
解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。
由两线束的方程有:1233,'x xx x λλ==。
将它们代入射影对应式并化简得,2122313320x x x x x x x +-+=此即为所求二阶曲线的方程。
三、证明:如果两个三点形内接于同一条二次曲线,则它们也同时外切于一条二次曲线。
(10分)证明:三点形ABC 与三点形C B A '''内接于二次曲线(C),设 AB I C B ''=D AB I C A ''=E B A ''I BC=D ' B A ''I AC=E ',则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以,),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B这两个点列对应点的连线AC,B C '',A C '',BC 连同这两个点列的底AB,B A ''属于同一条二级曲线(C '),亦即三点形ABC 与三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。
《高等几何》习题答案
高几习题集及参考解答第一章 仿射几何的基本概念1、证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。
证明：设T 为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理，T 可使等腰△ABC （AB=AC ）与一般△A'B'C'相对应，设点D 为线段BC 的中点，则AD ⊥BC ，且β=γ，T （D ）=D' （图1）。
∵T 保留简比不变， 即（BCD ）=（B'C'D'）= -1，∴D'是B'C'的中点。
因此线段中点是仿射不变性。
∵在等腰△ABC 中，β=γ。
设T （ β）= β'，T （ γ ）= γ'， 但一般△A'B'C'中，过A'的中线A'D'并不平分∠A'， 即B'与γ'一般不等。
∴角平分线不是仿射不变性。
在等腰△ABC 中，设D 是BC 的中点，则AD ᅩBC ，由于 T(△ABC)= △A'B'C'（一般三角形），D'仍为B'C'的中点。
由于在一般三角形中，中线A'D'并不垂直底边B'C'。
得下题 2、两条直线垂直是不是仿射不变性？ 答:两直线垂直不是仿射不变性。
3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。
证明：设仿射变换T 将△ABC 变为△A'B'C'，D 、E 、F 分别是BC 、CA ，AB 边的中点。
由于仿射变换保留简比不变，所以D' =T(D)，E'=T(E)，F'=T(F)分别是B'C',C'A',A'B' 的中点，因此A'D'，B'E'，C'F'是△A'B'C'的三条中线（图2）。
高等几何试题及答案
高等几何试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知直线l的方程为Ax+By+C=0，直线m的方程为Dx+Ey+F=0，若l与m平行，则以下哪个条件成立？A. A/D = B/E ≠ C/FB. A/D = B/E = C/FC. A/D = B/E ≠ C/FD. A/D ≠ B/E = C/F答案：A2. 已知平面α的方程为Ax+By+Cz+D=0，平面β的方程为Ex+Fy+Gz+H=0，若α与β垂直，则以下哪个条件成立？A. AE + BF + CG = 0B. AE + BF + CG ≠ 0C. AE + BF + CG = D + HD. AE + BF + CG = D - H答案：A3. 已知点P(x1, y1, z1)在平面α：Ax+By+Cz+D=0上，则以下哪个条件成立？A. Ax1+By1+Cz1+D=0B. Ax1+By1+Cz1+D≠0C. Ax1+By1+Cz1+D>0D. Ax1+By1+Cz1+D<0答案：A4. 已知直线l的参数方程为x=x0+at，y=y0+bt，z=z0+ct，其中a、b、c为直线的方向向量，若直线l与平面α：Ax+By+Cz+D=0平行，则以下哪个条件成立？A. Aa+Bb+Cc=0B. Aa+Bb+Cc≠0C. Aa+Bb+Cc=DD. Aa+Bb+Cc=-D答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知直线l的方程为Ax+By+Cz+D=0，直线m的方程为Ex+Fy+Gz+H=0，若l与m相交，则它们的交点坐标为__________。
答案：（(BF-CE)/(AF-CD), (AG-CF)/(AF-CD), (AE-BF)/(AF-CD)）6. 已知平面α的方程为Ax+By+Cz+D=0，平面β的方程为Ex+Fy+Gz+H=0，若α与β相交，则它们的交线方程为__________。
答案：(Ax+By+Cz+D)(EF-GH) - (Ex+Fy+Gz+H)(AF-CD) = 07. 已知点P(x1, y1, z1)到平面α：Ax+By+Cz+D=0的距离为d，则d=__________。
高等几何习题参考答案
高等几何综合练习题参考答案一、（1）椭圆；（2）三角形；（3）三角形内切椭圆的中心；（4）两个等面积的平行四边形；（5）三角形的重心；（6）面积比相同但不必相似的三角形；（7）不是三角形的垂心；（8）平行四边形。
二、（2）、（3）、（6）、（9）经中心射影后不变。
三、过点(,,),(0,,)a b c b c -的直线为12300x x x ab c bc =-，即12320,bcx acx abx --= 因为1110,a b c ++=所以0bc ca ab ++=，取点1(,1,1)2--代入直线方程，得0bc ca ab ++=，故此直线必过定点1(,1,1)2--。
四、取XYZ 为坐标三点形：(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),X Y Z 设(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(,,)A B C D P f g h ------，可以求得直线l 的方程为230gx hx -=，类似可以求出,m n 的方程。
五、只有恒等变换的群没有相应的几何学，理由是经过恒等变换图形的任何性质都没有改变，因为位置没有改变，就无法进行比较、推广，对任何图形都要一一研究，这是不可能的。
六、因无三点共线的五个点A,B,C,D,E 构成线束A(C,D,E)与B(C,D,E)的射影对应，由此三对对应直线唯一决定，故其对应线之交点唯一确定，因此唯一确定一条二次曲线。
其对偶命题为：非退化的二级曲线是由无三线共点的五条直线唯一决定。
七、设两个透视三点形111222,A B C A B C 的对应边的交点为L,M,N,非对应边之交点为123456,,,,,P P P P P P ,适当编排这六点的顺序，使这六点为定点的简单六点形之对应边交点为L,M,N ，因为L,M,N 共线，根据帕斯卡定理的逆定理知此六点形为二次曲线之内接六点形。
八、主轴为612110,220x y x y +-=--=。
高中几何试题及答案
高中几何试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 已知圆的半径为5，点P到圆心的距离为8，则点P与圆的位置关系是：A. 点P在圆内B. 点P在圆上B. 点P在圆外D. 不能确定2. 三角形ABC中，若∠A=60°，AB=AC=6，求BC的长度：A. 4√3B. 6C. 8D. 103. 已知直线l的斜率为2，且经过点(1,3)，求直线l的方程：A. y = 2x - 1B. y = 2x + 1C. y = -2x + 3D. y = -2x - 14. 一个正方体的体积为27，求其表面积：A. 54B. 27C. 9D. 365. 已知椭圆的长轴为2a，短轴为2b，且a=6，b=4，求椭圆的焦点坐标：A. (±2,0)B. (0,±2)C. (±3,0)D. (0,±3)二、填空题（每题2分，共10分）6. 已知三角形ABC的三边分别为a, b, c，且a² + b² = c²，根据勾股定理，三角形ABC是_________三角形。
7. 已知点A(-3,4)和点B(0,-1)，线段AB的中点坐标为_________。
8. 已知圆锥的底面半径为r，高为h，圆锥的体积公式为V =1/3πr²h，若r=3，h=4，则圆锥的体积为_________。
9. 已知平面直角坐标系中，点P(x,y)到原点O(0,0)的距离公式为d = √(x² + y²)，若P(3,4)，则d =_________。
10. 已知圆的标准方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，若圆心在(2,-3)，半径为5，则圆的方程为_________。
三、解答题（共75分）11. 已知圆的方程为(x-3)² + (y+2)² = 25，求圆上任意一点到直线4x - 3y + 6 = 0的距离的最大值和最小值。
《高等几何》考试练习题及参考答案
《高等几何》考试练习题及参考答案一、单选题1. 菱形的仿射对应图形是()A 、菱形B 、平行四边形C 、正方形D 、不等边四边形答案：B2. 圆经过中心射影之后的对应图形是()A 、圆B 、椭圆C 、二次曲线D 、二共点直线答案：C3. 射影平面上所有射影变换的集合构成群，称为射影变换群，它是()A 、8维群B 、6维群C 、4维群D 、3维群答案：A4. 正六边形经过中心射影后的对应图形是()A 、正六边形B 、二次曲线C 、二平行直线D 、内接于二次曲线的六边形答案：D5. 在射影平面上，两条相交直线可以把平面分成几个区域？()A 、1B 、2C 、3D 、4答案：B6. 欧式平面内所有正交变换的集合构成群，称为正交变换群，它是()A 、3维群B 、4维群C 、6维群D 、8维群答案：A7. 双曲型曲线与无穷远直线的关系是()A 、相交B 、相切C 、相离D 、相割答案：A8. 下面属于欧式几何学的是()A 、梯形B 、离心率C 、重心D 、塞瓦定理和麦尼劳斯定理答案：B9. 直角三角形经过中心射影后的对应图形是()A 、三角形B 、等腰三角形C 、直角三角形D 、四边形答案：A10. 共点的直线经过中心射影之后的对应图形是()A 、二直线B 、二垂直直线C 、共点的直线D 、二平行直线答案：C11. 在射影平面上二阶曲线可共分为（）类.A 、2B 、3C 、4D 、5答案：D12. 双曲线有几条主轴？()A 、1B 、2C 、3D 、4答案：B13. 已知两点A(2,-1,1),B(3,1,-2),下列哪一个点与它们共线？()A 、(7 ，-1 ，0)B 、（7 ，-1 ，1)C 、（5 ，0 ，2)D 、（0 ，0 ，1）答案：A14. 等腰梯形的仿射对应图形是：()A 、等腰梯形B 、梯形C 、四边形D 、平行四边形答案：B15. 对于非恒等二维射影变换下列说法错误的是()A 、是非奇线性对应B 、保持共线四点的交比不变C 、不变直线不能超过三条D 、不共线的不变点至多有三个答案：C16. 下列哪些图形具有射影性质？()A 、平行直线B 、三点共线C 、两点间的距离D 、两直线的夹角答案：B17. 圆的仿射对应图形是：()A 、梯形B 、四边形C 、椭圆D 、平行四边形答案：C18. 矩形的仿射对应图形是：()A 、四边形B 、平行四边形C 、梯形D 、圆答案：B19. 下列名称或者定理不属于仿射几何学的是A 、三角形的垂心B 、梯形C 、在平面内无三线共点的四条直线有六个交点D 、椭圆答案：A二、判断题1. 一维基本形间的射影对应不保持对应四元素的交比. ()A 、正确B 、错误答案：错误2. 两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形()A 、正确B 、错误答案：错误3. 射影平面的不共点三直线将平面分成四部分.()A 、正确B 、错误答案：正确4. 一个角的内外角平分线调和分离角的两边()A 、正确B 、错误答案：正确5. 共线三点的单比经中心射影后不变. ()A 、正确B 、错误答案：错误6. 二直线所成角度是相似群的不变量.()A 、正确B 、错误答案：正确7. 射影平面上的一直线能将射影平面剖分成两部分. ()A 、正确B 、错误答案：错误8. 三点形经中心射影之后还是三点形.()A 、正确B 、错误答案：正确9. 在一维射影变换中，若已知一对对应元素（非自对应元素）符合对合条件，则此射影变换一定是对合. ()A 、正确B 、错误答案：正确10. 在仿射变换下，等腰三角形的对应图形是三角形. ()A 、正确B 、错误答案：正确11. 仿射变换的基本不变量是单比. ()A 、正确B 、错误答案：正确12. 抛物线有一对主轴. ()A 、正确B 、错误答案：错误13. 三角形的垂心属于仿射几何学的范畴()A 、正确B 、错误答案：错误14. 在仿射变换下，正方形的对应图形是正方形.()A 、正确B 、错误答案：错误15. 共线点的极线必共点，共点线的极点必共线()A 、正确B 、错误答案：正确16. 椭圆和双曲线的四个焦点中有二实点二虚点.()A 、正确B 、错误答案：正确17. 配极变换是一种非奇线性对应，()A 、正确B 、错误答案：正确18. 两个三角形的面积之比是仿射不变量. ()A 、正确B 、错误19. 德萨格定理属于射影几何学的范畴. ()A 、正确B 、错误答案：正确20. 二阶曲线上任一点向曲线上四定点作直线，四直线的交比为常数. ()A 、正确B 、错误答案：正确21. 菱形的仿射对应图形是四边形. ()A 、正确B 、错误答案：错误22. 两点列的底只要相交构成的射影对应就是透视对应. ()A 、正确B 、错误答案：错误23.A 、正确B 、错误答案：正确24. 两个不同的无穷远点所决定的直线上可以含有有穷远点.()A 、正确B 、错误答案：错误三、名词解释1. 图形的仿射性质答案：图形经过任何仿射变换后都不变的性质称为图形的仿射性质.2. 二次曲线的直径答案：无穷远点关于二次曲线的有穷极线称为此二次曲线的直径.3. 二次曲线的中心答案：无穷远直线关于二次曲线的极点称为此二次曲线的中心.4. 配极原则答案：如果P点的极线通过Q点，则Q点的极线也通过P点.5. 二阶曲线答案：在射影平面上，成射影对应的两个线束对应直线的交点的集合称为二阶曲线.6. 二次曲线的渐近线答案：二次曲线上的无穷远点的切线，如果不是无穷远直线，则称为二次曲线的渐近线.7. 对偶原则答案：在射影平面里，如果一个命题成立，则它的对偶命题也成立.8. 完全四点形答案：由四个点（其中无三点共线）以及连结其中任意两点的六条直线所组成的图形称为完全四点形.四、问答题1. 下列图形的仿射对应图形是什么？（1）圆；（2）等腰三角形；（3）三角形的内心；（4）两个合同的矩阵；（5）三角形的重心；（6）相似三角形；（7）三角形的垂心；（8）矩形。
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二、 选择题（每小题 2 分，共 10 分）
1.下列哪个图形是仿射不变图形？( A.圆 C.矩形 2.
u1 2 u1u 2 8 u 2 0
2 2
) B.直角三角形 D.平行四边形
系
表示(
)
A.以-1/4 为方向的无穷远点和以 1/2 为方向的无穷远点
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B. 以-4 为方向的无穷远点和以 2 为方向的无穷远点 C. 以 4 为方向的无穷远点和以-2 为方向的无穷远点 D. 以 1/4 为方向的无穷远点和以-1/2 为方向的无穷远点 3.两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？( A.一次 C.三次 B.两次 D.四次 )： B. 梯形 D.椭圆 )
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六、计算题（42 分）
1. （6 分）平面上经过 A（-3，2）和 B（6，1）两点的直线被直线 x+3y-6=0 截于 P 点， 求单比(ABP)
2. （6 分）已知仿射平面上直线 l 的非齐次坐标方程为 x-2y+1=0，求 （1）l 的齐次坐标方程； （2）l 上无穷远点的坐标； （3）l 上无穷远点的方程。
0, 0
（2 分）
6 a 2 b 3c d 0
,6a+3b+2c+d=0
得到： a : b : c : d
3 : 5 : 5 : 7 0
故射影变换方程为： 3 ' 5 5 ' 7 二重元素满足： 3 2 10
7 0
（4 分） （2 分）
4.下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有( A. 三角形的垂心 C.在平面内无三线共点的四条直线有六个交点 5.二次曲线按射影分类总共可分为( A.4 类 C.6 类 ) B.5 类 D.8 类
三、判断题（每小题 2 分，共 10 分）
1.仿射对应不一定保持二直线的平行性。 （ 2.两直线能把射影平面分成两个区域。 ） （ 3.当正负号任意选取时，齐次坐标 ( 1, 1, 1) 表示两个相异的点。 ） （ 4. 在一维射影变换中，若已知一对对应元素(非自对应元素)符合对合条件，则此 射影变换一定是对合。 ） （ 5.配极变换是一种非奇线性对应。 ） （ ）
u 1 u 3 u 2 0 （4
2
分）
二、 选择题（每小题 2 分，共 10 分） 1.( D),2.( C),3.(B),4.( A),5.( B) 三、 判断题（每小题 2 分，共 10 分） 1.( ×),2.( √),3.( ×),4.( √),5.( √) 四、 作图题（8 分）
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作法过程： 1、设 a,b,c 交于点 A，在 c 上任取一点 C, （2 分） 2、过 C 点作两直线分别与 a 交于 B、E，与 b 交于 F，D， 分） （2 3、BD 与 EF 交于 G,4、AG 即为所求的 d。 分） （2 根据：完全四点形的调和共轭性（2 分） 五、 证明题（10 分） 证明： 在三点形 BTS 与三点形 DQP 中（4 分） 对应顶点的连线 BD,TQ,SP 三线共点， 分） （2 由德萨格定理的逆定理知， 分） （2 对应边的交点 BT 与 DQ 的交点 G，TS 与 QP 的交点 M 以及 BS 与 DP 的交点 H 三点共线，即 TS 与 QP 的交点 M 在直线 GH 上。 分） （2 六、计算题（42 分） 1. （6 分） 解：设 P 点的坐标为（x0，yo） AP AP ， （2 分） ( ABP ) （分割比）
1 D a ij 3 2 1 5 0
A3 1 A3 3 A3 2 A3 3
3 2 4
1 5 36 0
∴二次曲线为常态的，
设中心 ( , ),
3 而 ： A31 2 4 1 5
14 25
且
,
7 2
1 , A23 3 2
1 5
13 2
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一、 填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1、 2、 1（4 分） 如果两个三线形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点的连线 交于一点。 分） （4 3、 4、 2（4 分） 射影群包含仿射群，仿射群包含相似群，相似群包含正交群（4 分） 5、
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3. (8 分)在直线上取笛氏坐标为 2，0，3 的三点作为射影坐标系的 P*,P0, E，(i) 求此直线上任一点 P 的笛氏坐标 x 与射影坐标 λ 的关系； （ii）问有没有一点， 它的两种坐标相等？
而 : x0 BP 3 6 1 PB , y0 2 1
且 P 在直线 x+3y-6=0 上，
( 3 6 1 ) 3( 2 1 )6 0
解得 λ=1， 即 P 是 AB 中点，且（ABP）=－1
（2 分） （2 分）
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┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉
( x 2 )(3 0 )
故： x 3x 6 ，且 1 3 0 6 60
x 3x 6
（4 分）
(ii) 若有一点它的两种坐标相等，即 x=λ 则有 x 7x=0， ∴当 x=0 及 x= 7 时两种坐标相等。
3
x 3x 6
，即 3x2－
（4 分）
3. （8 分） 设射影变换的方程为： a b c d 由题意知：a+ b c d
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四、作图题（8 分）
已知线束中三直线 a,b,c，求作直线 d，使(ab,cd)=-1。 （画图，写出作法过程和 根据）
五、证明题（10 分）
如图，设 FGH 是完全四点形 ABCD 对边三点形，过 F 的两直线 TQ 与 SP 分别交 AB，BC，CD，DA 于 T，S，Q，P.试利用德萨格定理（或逆定理）证明： TS 与 QP 的交点 M 在直线 GH 上。
1. （6 分） （1） x
1
- 2x 2 + x 3 = 0
（2 分）
（2） （1，1/2，0） （2 分） （3） u 2.
1
u 21 / 2 0
（2 分）
(8 分)
解：笛氏坐标
0 2 3 x ． ． ． ． 射影坐标： P* P0 E λ （i）由定义 λ=（P*P0，EP）=（2 0，3x）= (3 2 )( x 0 )
4. （8 分）求点列上的射影变换，它将参数为 1,2,3 的点分别变为参数为 1,3,2 的点，并求出此射影变换的自对应元素的参数。
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5. (6 分)求由两个射影线束 x1 x 3 0 ， x 2 x 3 0 ，3 程。
0
所构成的二阶曲线的方
6. (8 分) 试求二次曲线Γ ： x12 4 x1 x 2 3 x 22 +2x1x3-4x2x3=0 的中心与渐近线。
25 14
)－(y+
25 26
)=0→5x－5y－8=0。
（2 分）
25
25
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试卷类型： A
姓名
高等几何
使用专业年级 考试方式：开卷（ ）闭卷（√） 共 6 页
题号 一 二 三 四 得分
五Leabharlann 六合计学号
一、 填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1、设 P1 (1)， P2 (-1)， P3 ( )为共线三点，则 ( P1 P2 P3 ) 2、写出德萨格定理的对偶命题： 。 3、若共点四直线 a,b,c,d 的交比为(ab,cd)=-1，则交比(ad,bc)=______。 4、平面上 4 个变换群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小关系为： 。 5、二次曲线的点坐标方程为 4 x1 x 3 x 22 0 ，则其线坐标方程为是 。 。
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得 =7/3 或 =1
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（6 分） 解：由题意： 3
x 2 3 x3 0
（2 分）
x2 3 x3 x1 x3
x 2 x3 0
由上式得：
（2 分） （2 分）
故所求方程即为 3 x x
1
3
6.(8 分) 解：二次曲线的齐次方程为：x12+3x1x2-4x22+2x1x3－10x2x3=0，
1 , A33 3 2
3 2 4 25 4
则中心为 (
,
26 25
)
（4 分）
求渐近线方程：a11X2+2a12XY+a22Y2=0， X=x－ξ，Y=y－η。 从 X2+3XY－4Y2=0 →（X+4Y） （X－Y）=0. X+4Y=(x－ 1 4 )+4 (y+ 2 6 )=0→5x+20y+18=0， （2 分） X－Y=(x－