高中数学选修2-2：实数系 复数的概念
数学中的实数与复数
数学中的实数与复数在数学中，实数和复数是两个重要的数学概念。
它们具有不同的性质和表示方式，对于数学研究和实际应用具有极大的意义。
本文将介绍实数和复数的定义、性质以及在数学和科学领域的应用。
一、实数的定义和性质实数是最基本也是最常见的数。
简单来说，实数是可以用于测量和计算的数，包括正数、负数和零。
实数可以用有理数和无理数来表示。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数等。
而无理数无法表示为整数的比值，如根号2、圆周率π等。
实数的性质包括封闭性、比较性和连续性等。
实数的封闭性指的是实数进行加、减、乘、除运算的结果仍然是实数。
比较性是指实数之间可以进行大小比较，满足大小关系的传递性、反对称性和完备性等。
实数的连续性是指实数可以填满数轴上的任意两个实数之间的间隙，不存在跳跃或间断的情况。
二、复数的定义和性质复数是由实部和虚部组成的数，形如a+bi，其中a和b分别表示实部和虚部，i表示虚数单位，满足i²=-1。
复数有两种表示方式，一种是代数形式，即a+bi；另一种是三角形式，即r(cosθ + isinθ)。
复数的性质包括加法性、乘法性、除法性和共轭性等。
复数的加法性和乘法性分别满足交换律、结合律和分配律。
复数的除法性表示复数相除可以通过将分子和分母同时乘以分母的共轭来实现，以消除分母的虚部。
复数的共轭性是指复数的共轭是将虚部取负得到的数，即a-bi为a+bi的共轭。
三、实数和复数的应用实数和复数在数学和科学领域有广泛的应用。
实数广泛应用于几何、代数、概率与统计等领域，如解方程、函数图像的绘制和数学推理。
复数在电气工程、物理学等领域也有重要应用。
电气工程中，复数可用于描述交流电流和电压的振幅和相位差；物理学中，复数可用于描述波动和量子力学等现象。
总结：实数和复数作为数学中的两个重要概念，在数学理论和实际应用中都发挥着重要作用。
实数是最基本的数，包括有理数和无理数，具有封闭性、比较性和连续性等性质。
高中数学中的复数
高中数学中的复数在高中数学学习中，我们常常会接触到复数这个概念。
复数是由实数部分和虚数部分构成的数，学习和理解复数对于我们深入了解数学的本质和应用具有重要的意义。
本文将介绍复数的定义、性质以及在高中数学中的应用。
一、复数的定义复数是由实数部分和虚数部分构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。
二、复数的性质1. 复数的加法和减法：将实部相加或相减，虚部相加或相减。
2. 复数的乘法：实部和虚部分别相乘得到新的实部和虚部。
3. 复数的除法：分子和分母同时乘以共轭复数，并运用乘法规则进行计算。
4. 复数的模：复数的模等于实数部分和虚数部分的平方和的平方根。
5. 复数的共轭：将复数的虚数部分取相反数得到共轭复数。
6. 复数的指数表示：根据欧拉公式，复数可以表示为e^ix的形式。
三、复数在高中数学中的应用1. 解方程：复数可以用于解决各类方程，包括二次方程、三次方程等。
复数根定理告诉我们，若一个多项式方程没有实数根，则必定存在复数根。
2. 向量运算：复数可以用于表示平面上的向量，利用复数的加法和乘法可以进行向量的运算，如相加、相减、旋转等。
3. 三角函数：复数可以与三角函数建立联系，通过欧拉公式，我们可以将三角函数用复数表示，进而简化三角函数的计算。
4. 矩阵运算：复数在矩阵运算中也有广泛应用，包括复数矩阵的加法、乘法、求逆等。
5. 物理学中的应用：复数在物理学中也有重要应用，如交流电路中的分析、波动学中的表示等。
综上所述，复数在高中数学中扮演着重要的角色。
通过学习和理解复数的定义和性质，我们可以更好地应用复数解决各种数学问题，并将其应用到更广泛的领域中。
在学习过程中，我们应注重对复数概念的理解和运用能力的培养，以提高自己在数学领域的素养和能力。
通过深入研究和探索，我们能够更好地理解数学的本质，并在实际问题中灵活应用数学知识。
高中数学复数知识点总结
高中数学复数知识点总结1. 复数的定义复数是由实数和虚数单位i（i²=-1）组成的数，一般形式为a+bi，其中a和b都是实数。
实数部分a称为复数的实部，虚数部分b称为复数的虚部。
2. 复数的加法复数的加法和实数的加法类似，即把实部相加，虚部相加，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
3. 复数的减法复数的减法也和实数的减法类似，即把实部相减，虚部相减，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
4. 复数的乘法复数的乘法是通过分配律展开计算的，即(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=ac+(ad+bc)i+bd(-1)=ac-bd+(ad+bc)i。
5. 复数的除法复数的除法需要进行有理化处理，即分子和分母都乘以分母的共轭形式，然后进行化简，最终得到结果。
例如，(a+bi)/(c+di)的结果为[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。
6. 复数的模复数z=a+bi的模记为|z|，它表示复数到原点的距离，它的计算公式为|a+bi| = √(a²+b²)。
7. 复数的共轭复数z=a+bi的共轭记为z，它表示实部不变，虚部相反数的复数，即z=a-bi。
8. 复数的极坐标形式复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|，θ=arctan(b/a)。
9. 复数的三角形式复数z=r(cosθ+isinθ)的三角形式表示为z=r∙e^(iθ)，其中e^(iθ)=cosθ+isinθ，称为欧拉公式。
10. 复数的指数形式复数z=r∙e^(iθ)的指数形式表示为z=r∙exp(iθ)，其中exp表示自然底数e的指数函数。
11. 复数的乘方复数的乘方可以通过三角形式或指数形式进行计算，即z^n = |z|^n∙(cos(nθ)+isin(nθ))或z^n = |z|^n∙exp(inθ)。
复数的有关概念
复数的相关概念引言复数是数学中的一种扩展形式，可以表示实数范围之外的数字。
它由实部和虚部组成，并且遵循特定的运算规则。
本文将介绍复数的定义、表示法、运算法则以及它在实际应用中的相关概念。
一、复数的定义复数是指由实部和虚部组成的数。
实部是一个实数，虚部是一个带有虚单位i的实数。
复数可以表示为a + bi，其中a是实部，b是虚部。
二、复数的表示法复数有多种表示法，常见的有直角坐标表示法和极坐标表示法。
1. 直角坐标表示法在直角坐标系中，一个复数被表示为一个有序实数对(a, b)。
其中，a是实部，b是虚部。
该表示法可以将复数视为复平面上的点，其中a沿着实轴表示，b沿着虚轴表示。
2. 极坐标表示法在极坐标系中，一个复数可以被表示为一个模和一个辐角的有序实数对(r, θ)。
其中，r是复数的模，表示复数与原点的距离；θ是辐角，表示复数与正实轴之间的夹角。
该表示法可以将复数视为复平面上的向量。
三、复数的运算法则复数的运算法则基于实数的运算法则，并额外考虑了虚部之间的运算。
1. 加法和减法复数的加法和减法遵循实部和虚部分别相加或相减的原则。
例如，对于复数z1 = a + bi和z2 = c + di，其中a、b、c、d均为实数，则有z1 + z2 = (a + c) + (b +d)i，z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i。
复数的乘法涉及到实部和虚部之间的相乘。
例如，对于复数z1 = a + bi和z2 = c + di，则有z1 z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i*。
3. 除法复数的除法涉及到实部和虚部的除法运算。
例如，对于复数z1 = a + bi和z2 = c + di，则有z1 / z2 = ( (ac + bd) / (c^2 + d^2) ) + ( (bc - ad) / (c^2 + d^2) )i。
四、复数的相关概念1. 共轭复数共轭复数指的是虚部符号相反的复数。
复数的概念
复数的概念复数是数学中的一个重要概念，它可以用来描述不仅包括实数的数系统，而且还包括了虚数，其中虚数是实数范围之外的一类数。
复数是由实部和虚部构成的，通常写成(a+bi)的形式。
在数学、物理学、电子学等领域中，复数被广泛应用。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数组成的数，用实部和虚部表示。
实数是人们日常生活中所接触到的数，它们可以直接用于计算。
而虚数则是不能用于直接计算的数。
虚数是指那些不满足平方根是实数的数，也就是说，虚数是不存在的，只是一种数学上的概念。
以一个复数z为例，它的实部和虚部分别是a和b。
因此可以将z表示为：z = a + bi其中i称为虚数单位，满足i²=-1。
a和b都是实数，可以是正数、负数、零或小数。
虚部b可以是负数或正数，但实部a只能为实数。
复数的实部和虚部是不同的，它们具有不同的物理意义。
通常情况下，实部表示了复数在x轴上的位置，而虚部则表示了复数在y轴上的位置。
二、复数的基本性质（1）加法性质：设z1 = a1+b1i，z2 = a2+b2i，z1+z2 =(a1+a2)+(b1+b2)i。
这说明了两个复数之和的实部是它们各自实部之和，虚部是它们各自虚部之和。
（2）减法性质：设z1 = a1+b1i，z2 = a2+b2i，z1-z2 = (a1-a2)+(b1-b2)i。
这说明了两个复数之差的实部是它们各自实部之差，虚部是它们各自虚部之差。
（3）乘法性质：设z1 = a1+b1i，z2 = a2+b2i，z1×z2 = (a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i。
这说明了两个复数的乘积的实部是它们各自实部的乘积减去各自虚部的乘积，虚部是它们各自实部的乘积加上各自虚部的乘积。
（4）除法性质：设z1 = a1+b1i，z2 = a2+b2i，z1÷z2 = [(a1a2+b1b2)÷(a2²+b2²)]+[(a2b1-a1b2)÷(a2²+b2²)]i。
高二数学复数知识点
高二数学复数知识点一、复数的概念与定义复数是实数的扩展，它由一个实部和一个虚部组成，一般形式为a+bi，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i²=-1的条件。
在复数中，当b不等于零时，我们称b为复数的虚部，而a则是实部。
如果b等于零，则复数退化为实数。
复数的引入，极大地丰富了数学的内涵，使得许多在实数范围内无法解决的问题得以解决。
二、复数的几何意义复数不仅仅是一种代数结构，它还具有丰富的几何意义。
在复平面上，每一个复数z=a+bi可以对应一个点(a,b)，其中a是该点在实轴上的位置，b是该点在虚轴上的位置。
这样，复数与平面上的点建立了一一对应的关系。
复数的这种几何解释，使得我们可以用图形的方式直观地理解和处理复数问题。
三、复数的运算规则复数的运算是复数理论中的重要内容。
两个复数的加法、减法、乘法和除法都有明确的规则。
例如，两个复数相加时，只需将对应的实部和虚部分别相加即可；相乘时，则需要使用分配律，即将一个复数的实部与另一个复数的实部和虚部分别相乘，然后再将结果相加。
复数的除法则稍微复杂，需要引入共轭复数的概念，通过乘以分母的共轭来消除虚部，从而简化计算。
四、复数的模与辐角复数的模（或绝对值）是指复数在复平面上对应的点到原点的距离，用符号|z|表示，计算公式为√(a²+b²)。
复数的辐角（或称为相位角）则是复数向量与实轴正方向的夹角，用符号arg(z)表示。
辐角的计算需要使用反三角函数，并且在计算时需要注意角度的范围。
模和辐角是复数的两个重要属性，它们在解决复数问题时具有重要的应用价值。
五、复数的应用复数在数学的许多领域都有广泛的应用，例如在解析几何中，复数可以用来描述和解决平面上的点和直线的问题；在代数中，复数域是实数域的自然扩展，它使得多项式方程的根的个数不再受限于实数范围内；在物理学中，复数用于处理交变电流、波动等现象；在工程学中，复数则用于信号处理和系统分析等领域。
数学中的实数与复数概念
数学中的实数与复数概念实数与复数是数学领域中两个重要的数集，它们在数学的各个分支中都扮演着重要的角色。
本文将首先介绍实数的概念和性质，然后深入讨论复数的定义和特点，最后探讨实数和复数在数学中的应用。
通过对这两个概念的详细讨论和举例解释，我们将更好地理解数学中的实数和复数。
实数是我们日常生活中最常见的数，包括整数、分数和无限小数。
实数集包含了所有的有理数和无理数。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，例如整数和分数。
无理数是不能表示为有理数的比值的数，例如根号2和π。
实数集在数轴上表示了一个无限延伸的直线，每一个点都对应一个实数。
实数有一些基本的性质。
首先，实数满足比较性，即对于任意两个不相等的实数a和b，必然有a小于b或a大于b。
其次，实数满足结合律、交换律和分配律等运算性质，这使得实数集成为一个完备的数学体系。
另外，实数集是无限的，它包含了无限的数，这使得实数能够描述各种现实生活中的量。
而复数是实数的扩展，它由一个实部和一个虚部组成。
复数的虚部用虚数单位i表示，满足i的平方等于-1。
复数的一般形式为a+bi，其中a是实部，b是虚部。
复数集包含了实数和虚数，可以在复平面上表示为复数轴上的点。
复平面是一个由实轴和虚轴构成的坐标平面，其中实轴代表实部，虚轴代表虚部。
复数具有许多有趣的性质。
首先，复数的加法和乘法满足交换律、结合律和分配律等基本运算性质，这使得复数成为一个有序域。
其次，复数集是代数闭域，也就是说，任何一个非常数的代数方程都有至少一个复数根。
这个性质在解析几何和复变函数等领域有着广泛的应用。
实数和复数在数学中有丰富的应用。
实数广泛应用于几何、代数、数论和计算等各个领域。
它们用于描述长度、面积、体积等物理量，也用于解决方程、证明定理和构造模型。
复数在电磁学、量子力学、信号处理等领域中扮演着重要的角色。
它们用于描述交流电路、谐振系统和波动现象等物理问题，也用于分析周期性信号和数学变换等工程应用。
实数复数知识点归纳总结
实数复数知识点归纳总结一、实数的概念实数是指包括有理数和无理数在内的所有数的集合。
有理数是指可以写成两个整数的比的数，包括整数和分数。
无理数是指不能写成两个整数的比的数，例如$\pi$、$\sqrt{2}$等。
1.1、有理数有理数是可以表示为分数的数，包括正整数、负整数、正分数、负分数以及0。
有理数可以用分数表示，形如$\frac{a}{b}$，其中a、b是整数且b≠0。
有理数的集合用符号Q表示。
1.2、无理数无理数是不是有理数的数，无法用分数形式表示。
无理数有无穷多位小数，也不能完全表示为连分数形式。
无理数的集合用符号R-Q表示。
1.3、实数的性质实数具有以下性质：① 闭合性：实数的四则运算结果仍为实数。
② 交换律和结合律：实数的加法和乘法满足交换律和结合律。
③ 分配律：实数的乘法对加法有分配律。
④ 0元素和1元素：实数集合中有加法单位元素0和乘法单位元素1。
1.4、实数的有序性实数集合具有有序性，对于任意的两个实数a和b，要么a>b，要么a<b，要么a=b。
这个性质也称为实数的大小关系。
通过大小关系可以定义实数的加法、乘法、除法等运算。
二、复数的概念复数是由实数和虚数单位i组成的数。
虚数单位i是满足i²=-1的数，实数和虚数单位i的组合称为复数。
复数的一般形式是a+bi，其中a是实部，bi是虚部。
复数的概念源自方程$x^2+1=0$，这个方程没有实数解，但引入虚数单位i后可以得到复数解。
2.1、复数的性质复数具有以下性质：① 互异性：两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等。
② 加法和乘法：复数之间的加法和乘法满足分配律和结合律。
③ 共轭复数：设z=a+bi，z的共轭复数记作$\bar{z}$，是a-bi。
④ 复数的模：模是复数到原点的距离，模的平方是复数的实部平方和虚部平方的和。
2.2、复数的幂运算复数的幂运算是指求复数的正整数次方，其中包括幂的求解和求解复数方程。
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3．若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复 数能比较大小，则它们必是实数．
(1)复数 a＋bi(a，b∈R)虚数b≠0非纯纯虚虚数数a＝a≠0，0. (2)集合表示：
2．复数相等的充要条件 如果 a，b，c，d 都是实数，那么 a＋bi＝c＋di⇔ a＝c，且 b＝d ； a＋bi＝0⇔ a＝0，且 b＝0.
1．对复数 z＝a＋bi 只有在 a、b∈R 时，a 和 b 才分别是复 数的实部和虚部，并注意：虚部是实数 b 而非 bi.
复数的概念与分类 [例 2] (12 分)当实数 m 为何值时，复数 z＝m2＋mm－6＋(m2 －2m)i 为 (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？
[精解详析] (1)当mm2≠－02，m＝0， 即 m＝2 时，复数 z 是实数； (2)当 m2－2m≠0，且 m≠0， 即 m≠0 且 m≠2 时， 复数 z 是虚数；
提示：有解(x＝i)，但不在实数范围内． 问题 3：设想新数 i 和实数 b 相乘后再与 a 相加，且满足加 法和乘法的运算律，则运算的结果可以写成什么形式？ 提示：a＋bi(a，b∈R)的形式．
1．复数的概念 设 a，b 都是实数，形如 a＋bi 的数叫做复数． 2．复数的表示： 复数通常用小写字母 z 表示，即 z＝a＋bi (a，b∈R)，其中 a 叫做复数 z 的实部，b 叫做复数 z 的虚部，i 称作虚数单位.
3．已知 M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若 M
∪P＝P，求实数 m 的值． 解：∵M∪P＝P，∴M⊆P， 即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1 或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i. 由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1， 得mm22－ ＋2mm－＝2－ ＝10， ， 解得 m＝1； 由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i， 得mm22－ ＋2mm－＝2＝0，4， 解得 m＝2. 综上可知 m＝1 或 m＝2.
1．若 5－12i＝xi＋y(x，y∈R)，则 x＝______，y＝________. 答案：－12 5
2．已知复数 z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且 z1 ＝z2，则实数 m＝________，n＝________. 解析：根据两个复数相等的充要条件得 －3＝n2－3m－1， －4＝n2－m－6， 解得：mn＝＝22，， 或mn＝＝－2，2. 答案：2 ±2
解：(1)要使复数 z 为实数，需满足mm22－＋23mm－＋22>＝00，， 解得 m＝－2 或－1. 即当 m＝－2 或－1 时，z 是实数． (2)要使复数 z 为纯虚数，需满足mm22－＋23mm－＋22＝≠10，， 解得 m＝3. 即当 m＝3 时，z 是纯虚数．
1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实 数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数 bi(b≠0，b ∈R)不要只记形式，要注意 b≠0.
4．若复数 z＝(x2－1)＋(x－1)i 为纯虚数，则实数 x 的值为 ( )
A．－1
B．0
C．1
D．－1 或 1
解析：由复数 z＝(x2－1)＋(x－1)i 为纯虚数得
x2－1＝0， x－1≠0，
解得 x＝－1.
答案：A
5．设复数 z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当 m 为何值时， (1)z 是实数？(2)z 是纯虚数？
[思路点拨] 先利用复数相等的充要条件列出关于 x，y 的方 程，然后解出 x，y 的值．
[精解详析] 根据复数相等的充要条件， 由(2x－1)＋i＝y－(3－y)i， 得21x＝－－1＝ 3－y，y，
解得x＝52， y＝4.
∴x＝52，y＝4.
[一点通] 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部 与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应 用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化的体现．
2．当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相 等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．
3．利用复数相等，可以把复数问题转化成实数问题进行解 决，并且一个复数等式可得到两个实数等式，为应用方程思想提 供了条件．
复数相等的充要条件
[例 1] 已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中 x，y∈R，i 为虚 数单位．求实数 x，y 的值．
3.1 3.1.
数 1&
系 3.1.
的
2
第扩 三充 章与
复
实 数 系 复
数
数
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概概念来自念理解教材 新知
把握热点 考向
应用创新 演练
知识点一 知识点二
考点一 考点二
复数的概念及代数表示
问题 1：方程 x2＋1＝0 在实数范围内有解吗？ 提示：没有．
问题 2：若有一个新数 i 满足 i2＝－1，试想方程 x2＋1＝0 有 解吗？
(3)当m2＋mm－6＝0， m2－2m≠0，
即 m＝－3 时，复数 z 是纯虚数．
(4 分) (8 分) (12 分)
[一点通] 利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列 出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组))，求解参数时， 注意参数本身的取值范围，如分母不能为 0.
复数的分类与相等
问题 1：复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，当 b＝0 时，z 是什么数？ 提示：b＝0 时，z＝a 为实数． 问题 2：复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，当 a＝0 且 b≠0 时，z 是 什么数？ 提示：当 a＝0，b≠0 时，z＝bi，这样的数我们称为纯虚数．
1．复数的分类 实数b＝0，