(完整)初中数学几个常用模型资料

方形纸板上，能否裁剪制作一个这种模型（侧面和底面要完整，不能拼凑）（ C ）
（Ａ）一个也不能做 （Ｂ）能做一个 （Ｃ）可做二个 （Ｄ）可做二个以上
4、（2004 河北 T7）在正方形铁皮上剪下个圆形和扇形,使之恰好围成如图所示的圆锥模型.设圆的半径
为 r,扇形的半径为 R,则圆半径与扇形半径之间的关系是（D
（1）选择：两船相遇之处 E 点（
）。
A、在线段 AB 上 B、在线段 BC 上 C、可以在线段 AB 上，也可以在线段 BC 上
（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里?（结果保留根号）。
A
D
C
B
⒒将一把三角尺放在边长为 1 的正方形 ABCD 上，并使它的直角顶点 P 在对角线 AC 上滑动，
A
A
A
M
M
M
P
P
C
C
O
DB
O
DB
O
B
图甲
图乙
图丙
⑩如图，客轮沿折线 A－B－C 从 A 出发经 B 再到 C 匀速航行，货轮从 AC 的中点 D 出发沿某
一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮。两船同时起航，并同时到达折线 A－B－C 的某
点 E 处，已知 AB＝BC＝200 海里，∠ABC＝90°，客轮速度是货轮速度的 2 倍。
图②
E M
C
F N
E M
C F
N
A
GD
HB A
GD
HB
图③
图④
第 24 题图
⑥一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含 300 的直角三角形组成,利用这副三角板构成 一个含有 150 角的方法较多,请你画出其中两种不同构成的示意图,并在图上标出必要的标注, 不写作法. ⑦将一副三角尺如图摆放一起,连接 AD, 则∠ADB 的余切值为 .
四边形 ABCD 是正方形
B
C
AC 垂直平分 BD， ODC OCD 450
PB=PD， 4 900
1 2
图 (1)
PB PD
3 4 900
1 3
2 3
PDQ 2 ODC 2 450
PQD 3 OCD 3 450
PDQ PQD
PD PQ
PB PQ
∴ PEB PFQ
------4 分
设 PM=x,BM=1-x, QC=1-x-x=1-2x
S SPBC S PCQ
∴PB=PQ
1 BC PM 1 CQ PF
2
2
1 1 x 1 (2x 1)x
2
2
x2
-----------8 分
③有可能成为等腰三角形，求出 x 值-------11 分
（1） 将一副三角板如图叠放，则左右阴影部分面积 S1 : S2 之比等于________
（2） 将一副三角板如图放置，则上下两块三角板面积 A1 : A2 之比等于________
⑤（2006 年武汉市 T24．10 分）已知：将一副三角板(Rt△ABC 和 Rt△DEF)如图①摆放， 点 E、A、D、B 在一条直线上，且 D 是 AB 的中点。将 Rt△DEF 绕点 D 顺时针方向旋 转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线 DE、AC 相交于点 M，直线 DF、BC 相 交于点 N，分别过点 M、N 作直线 AB 的垂线，垂足为 G、H。
CQ=PC= 2 x, BQ 2 BC 2 CQ 2 1 ( 2 x)2 由（1）证得，PB=PQ，
PB2 ( 2 BQ)2 1 1 ( 2 x)2
2
2
PB2 BO2 OP2
A
1 1 ( 2 x)2 ( 2 )2 (x 2 )2
2
2
2
由 x 1
…………….3 分
（2）操作：将三角板绕点 P 旋转到图 2 情形时，三角板的两边分别交 BA 的延长线、边 AC
于点 E、F．
① 探究１：△BPE 与△CFP 还相似吗？（只需写出结论）
② 探究２：连结 EF，△BPE 与△PFE 是否相似？请说明理由；
③ 设 EF=m，△EPF 的面积为 S，试用 m 的代数式表示 S．
1( 2
2 x)(
2 x)
E C
y 1 x2 1(1 x 2 ) 2
………………………………………………4 分
（3）可能
当 P 与 A 重合时，Q 与 D 重合，有 PQ=QC，X=0
当 PC=CQ 时，且 Q 在 DC 的延长线上时，（图形 3），连接 BD 交 AC 于点 O，连接 BQ，则
直角的另一边始终经过点 B，另一边与射线 DC 相交于点 Q。设 A、P 两点间的距离为 x，
（1）当点 Q 在 CD 上时，线段 PQ、PB 之间有怎样的大小关系？试证明你观察到的结论。
（2）当点 Q 在 CD 上时，求四边形 PBCQ 的面积 y 与 x 的函数解析式，并求出 X 的取值范围；
3 ②在图乙中，点 G 是 CD 与 OP 的交点，且 PG= 2 PD，求△POD 与△PDG 的面积之比.
（2）将三角板的直角顶点 P 在射线 OM 上移动，一直角边与边 OB 交于点 D，OD=1，另一直 角边与直线 OA，直线 OB 分别交于点 C，E，使以 P，D，E 为顶点的三角形与△OCD 相似，在 图丙中作出图形，试求 OP 的长.
……………………………..4 分
（2）连接 BD 交 AC 于点 O，作 QE AC 于点 E（如图 2）
A
D
P
PB PQ, PBO QPE, POB QEP 900
O
Q
POB QEP
QE OP OA AP 2 x
2
B
SPBCQ
S PBC
S PCQ
1 2
PC(BO QE)
）A、2r=R B、9 r R C、3r R 4
D、 4r R
模型 2、角平分线+平行=等腰三角形
如图， ABC 中 BD、CD 平分∠ABC、∠ACB，过 D 作直线平行于 BC，
交 AB、AC 于 E、F，当∠A 的位置及大小变化时，线段 EF 和 BE+CF 的
大小关系（ B ）.
（A）EF>BE+CF
（3）当点 P 在线段 AC 上滑动时，三角形 PCQ 是否能为等腰三角形？如果可能，指出所有可
能使三角形 PCQ 成为等腰三角形的点 Q 的位置，并求出相应
的 X 的值；如果不能说明理由（以下三个图的形状，大小相 A
P
同，以供操与解题时备用）
3
解：（1）PQ=PB
4O
D 1
Q
证明：连接 BD 交 AC 于点 O，连接 PD，如图（1）
（B）EF=BE+CF
（C）EF<BE+CF
（D）不能确定
模型 3、一副三角板
①在△ABC 中，a=1,b= 3 ,∠A=300，则∠B=___60___度。
②两个全等的含 300, 600 角的三角板 ADE 和三角板 ABC 如图所示放置，E,A,C 三点在一条 直线上，连结 BD，取 BD 的中点 M，连结 ME，MC．试判断△EMC 的形状，并说明理由．（等 腰直角三角形）
在 Rt△BPH 中, PH BP sin PBH = 2 3
∴S= 3m
……………… 8 分
B
模型 4 知二求四
H AE
F G
P
C
(2)
在上图中隐含有以下重要性质： ⑴两对相等的锐角；∠A= ∠BCD ,∠B= ∠ACD ⑵三对相似三角形:⊿ACD∽⊿ CBD∽⊿ABC, AC2=AD·AB BC2=BD·AB CD2=BD·AD ⑶边之比的推广
⑧如图， ABC中， ACB 90 ， B 30 ， AC 1，过点 C 作 CD1 AB 于 D1 ，
过 D1 作 D1D2 BC 于 D2 ，过 D2 作 D2 D3 AB 于 D3 ，这样继续作下去，……，线段
Dn Dn1 能等于（ n 为正整数）
3 n (A) 2
(B)Βιβλιοθήκη 3 2n1(C)
3 2
n
(D)
3 2
n 1
C D2 D4 D6
A
⑨已知∠AOB=90°，OM 是∠AOB 的平分线，按以下要求解答问题：
D1 D3 D5
（第⑧题图）
B
（1）将三角板的直角顶点 P 在射线 OM 上移动,两直角边分别与边 OA，OB 交于点 C，D..
①在图甲中，证明：PC=PD；
--------5 分
13．（12 分）用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成菱形 ABCD.把一个含 60°角的三 角尺与这个菱形叠合，使三角尺的 60°角的顶点与点 A 重合，两边分别与 AB，AC 重合.将 三角尺绕点 A 按逆时针方向旋转. （1）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC，CD 相交于点 E，F 时，（如图 13—1），通过观 察或测量 BE，CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论； （2）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC，CD 的延长线相交于点 E，F 时（如图 13—2），
（1）当 α＝30°时(如图②)，求证：AG=DH； （2）当 α＝60°时(如图③)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由； （3）当 0°＜α＜90°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图④说明理由。
EA
F
45°
D
图①
C
60°
B
E M
AG
第 24 题图
F C (N)
D HB
12.如图，操作：将一把三角尺放在边长为 1 的正方形 ABCD 上，并使 B 它的直角顶点 P 在对角线 AC 上滑动，直角的一边始终经过点 B，另一 边与边 DC 或射线 DC 相交于点 Q。 当点 Q 在边 CD 上时，线段 PQ 与线段 PB 之间有怎样的大小关系？试证 明你观察得到的结论； ② 当点 Q 在边 CD 运动上时，设四边形 PBCQ 的面积为 S 时，试用含有 x 的代数式表示 S： ③ 当点 P 在线段 AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果 可能，指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点 Q 的位置，并求出相应 的 x 的值；如果不可能，试说明理由。