人教版必修1 求函数解析式方法 分段函数 例题 练习试题 及其答案
人教版高中数学必修一知识点与典型习题——第二部分-函数(含答案)
2015-2016高一上学期期末复习知识点与典型例题人教数学必修一 第二部分 函数1、函数的定义域、值域2、判断相同函数3、分段函数4、奇偶性5、单调性1．定义域 值域（最值） 1．函数()()3log 3f x x =++的定义域为____________________ 2．函数22()log (23)f x x x 的定义域是（ ）(A) [3,1] (B) (3,1) (C) (,3][1,)-∞-+∞ (D) (,3)(1,)-∞-+∞3．2()23,(1,3]f x x x x =-+∈-的值域为____________________ 4．若函数21()2f x x x a =-+的定义域和值域均为[1,](1)b b >，求a 、b 的值．2．函数相等步骤：1、看定义域是否相等； 2、看对应关系（解析式）能否化简到相同1．下列哪组是相同函数？2(1)(),()x f x x g x x ==(2)()()f x x g x ==,2(3)()2lg ,()lg f x x g x x ==(4)(),()f x x g x ==3．分段函数基本思路：分段讨论 （1）求值问题1．24(),(5)(1)4xx f x f f x x ⎧<==⎨-≥⎩已知函数则_______________ 2．设函数211()21x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则=))3((f f ______________（2）解方程1．2log ,11(),()1,12x x f x f x x x >⎧==⎨-≤⎩已知函数则的解为_________________2．已知⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ，若()10f x =，则x = .（3）解不等式1．21,0(),()1,0x f x f x x x x ⎧>⎪=>⎨⎪≤⎩已知函数则的解集为__________________2．2log ,0(),()023,0x x f x f x x x >⎧=>⎨+≤⎩已知函数则的解集为__________________（4）作图、求取值范围（最值）1．24-x ,0()2,012,0x f x x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩已知函数．（1）作()f x 的图象；（2）求2(1)f a +，((3))f f 的值；（3）当43x -≤＜，求()f x 的取值集合（5）应用题（列式、求最值）1．为方便旅客出行，某旅游点有50辆自行车供租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出去的自行车就增加3辆，为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)， （1）求函数f(x)的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？4．函数的单调性（1）根据图像判断函数的单调性——单调递增：图像上升 单调递减：图像下降 1．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．ln(2)y x =+ B．y =．1()2xy = D ．1y x x=+2．下列函数中，在其定义域内为减函数的是（ ）A ．3y x =- B ．12y x = C ．2y x = D ．2log y x =（2）证明函数的单调性步骤——取值、作差12()()f x f x -、变形、定号、下结论 1．已知函数11()(0,0)f x a x a x=->>． (1)求证：()f x 在(0,)+∞上是单调递增函数；(2)若()f x 在1[,2]2上的值域是1[,2]2，求a 的值．（3）利用函数的单调性求参数的范围1．2()2(1)2(2]f x x a x =+-+-∞在，上是减函数，则a 的范围是________2．若函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,1)21(,2,)2()(x x x a x f x 是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．)2,(-∞B ．]813,(-∞ C ．)2,0( D ．)2,813[3．讨论函数223f(x)x ax =-+在(2,2)-内的单调性（4）利用函数的单调性解不等式1．()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数，且满足(32)(1)f x f -<，则实数x 的取值范围是（ ） A ． (,1)-∞ B ． 2(,1)3 C ．2(,)3+∞ D ． (1,)+∞ 2．2()[1,1](1)(1)f x f m f m m --<-若是定义在上的增函数，且，求的范围（5）奇偶性、单调性的综合1．奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，且有最小值7，则它在[-3,-1]上是____函数，有最___值___. 2．212()(11)()125ax b f x f x +=-=+函数是，上的奇函数，且． （1）确定()f x 的解析式；（2）用定义法证明()f x 在(1,1)-上递增；（3）解不等式(1)()0f t f t -+>．3．f(x)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且()()()xf f x f y y=-（1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．5．函数的奇偶性（1）根据图像判断函数的奇偶性奇函数：关于原点对称；偶函数：关于y 轴对称 例：判断下列函数的奇偶性① y=x ³ ② y=|x|（2）根据定义判断函数的奇偶性一看定义域是否关于原点对称；二看()f x -与()f x 的关系1．设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ） A ．)()(x g x f +是偶函数 B ．)()(x g x f -是奇函数 C ．)()(x g x f +是偶函数 D ．)()(x g x f -是奇函数 2．已知函数()log (1)log (1)(01)a a f x x x a a =+-->≠且 （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明。
高中数学分段函数解析式及其图像作法练习题含答案
高中数学分段函数解析式及其图像作法练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 若函数f (x )={x +1, x ≥0,f (x +2), x <0则f (−3)的值为 （ ） A.5B.−1C.−7D.22. 已知函数f(x)的图象是两条线段（如图所示，不含端点），则f[f(13)]＝（ ）A.−13B.13C.−23D.233. 已知f(x)={x +2(x ≤−1)x 2(−1<x <2)2x(x ≥2)，若f(x)＝3，则x 的值是（ ）A.1B.1或32C.1，32或±√3D.√34. 已知函数{x 2+1,x ≤0−2x,x >0，f(x)=5，则x 的值为（ ） A.−2B.2或−2C.2或−52D.2或−2或−525. 已知函数f(x)={x 2+4x +3,x ≤03−x,x >0则f （f(5)）＝（ ） A.0B.−2C.−1D.16. 函数f(x)={|3x −4|(x ≤2)2x−1(x >2)，则当f(x)≥1时，自变量x 的取值范围为（ ） A.[1,53]B.[53，3] C.(−∞,1)∪[53，+∞)D.(−∞,1]∪[53，3]7. 函数f(x)=ln1的大致图象是( )(2−x)2A.B.C.D.的部分图象大致为() 8. 函数y=1+x+sin xx2A. B.C.D.9. 若函数f(x)={e x e ,x ≥0，x 2+5x +4，x <0，（其中e 为自然对数的底数），则函数ℎ(x)=f(f(x))−f(x) 的零点个数为( )A.2B.3C.4D.510. 已知f(x)={1,x ≥0,−1,x <0,则不等式x +(x +2)⋅f(x +2)≤5的解集是( ) A.[−2, 1]B.(−∞, −2]C.[−2,32]D.(−∞,32]11. 设函数f(x)={x 2+2x ，x <0，−x 2，x ≥0，f(f(a))≤3，则实数a 的取值范围是________．12. f(x)={(12)x −2,x ≤0，2x −2,x >0，则f(x)−x 的零点个数是________．13. 若函数f(x)={2x(x ≥10)f(x +1)(0<x <10)，则f(5)=________． 14. 已知函数满足，则函数的解析式为________．15. 定义a ⊗b ={a 2+b ，a >b a +b 2，a ≤b ，若a ⊗(−2)=4，则a =________．16. 已知函数f(x)={ax 2+2x +1,(−2<x ≤0)ax −3,(x >0)有3个零点，则实数a 的取值范围是________．17. 若函数f(x)＝，则f(2020)＝________．18. 已知函数f(x)={(12)x ,x ≥4f(x +1),x <4，则f(log 23)＝________．19. 函数f(x)={e x −a ，x ≤1x 2−3ax +2a 2+1，x >1，若函数y =f(x)图象与直线y =1有两个不同的交点，求a 的取值范围________．20. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时， f (x )=x 2+2x −3 .(1)求f (x )的解析式；(2)若f (m +1)<f (2m −1)，求实数m 的取值范围．21. 已知函数f(x)的解析式为f(x)={3x +5，(x ≤0)，x +5，(0<x ≤1)，−2x +8，(x >1).(1)画出这个函数的图象；(2)求函数f(x)的最大值；22. 已知函数f (x )=|2x −1|+|x +2|．（1）在给定的坐标系中画出函数f(x)的图象；（2）设函数g(x)=ax+a，若对任意x∈R，不等式g(x)≤f(x)恒成立，求实数a的取值范围．23. (1)用定义法证明函数f(x)=x2−1x在(0,+∞)上单调递增；(2)已知g(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，g(x)=x3+3x2+1，求g(x)的解析式．24. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=13x3+12x2.(1)求f(x)的解析式，并补全f(x)的图象；(2)求使不等式f(m)−f(1−2m)>0成立的实数m的取值范围．参考答案与试题解析高中数学分段函数解析式及其图像作法练习题含答案一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）1.【答案】D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】解：因为−3<0，所以f(−3)=f(−3+2)=f(−1).因为−1<0，所以f(−1)=f(−1+2)=f(1).因为1>0，所以f(1)=1+1=2.故选D .2.【答案】B【考点】函数的图象与图象的变换分段函数的解析式求法及其图象的作法函数单调性的性质与判断【解析】先根据函数的图象利用分段函数写出函数的解析式，再根据所求由内向外逐一去掉括号，从而求出函数值．【解答】由图象知f(x)={x +1(−1<x <0)x −1(0<x <1)∴ f(13)=13−1=−23，∴ f(f(13))=f(−23)=−23+1=13．3.【答案】D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的零点与方程根的关系【解析】利用分段函数的解析式，根据自变量所在的区间进行讨论表示出含字母x 的方程，通过求解相应的方程得出所求的字母x 的值．或者求出该分段函数在每一段的值域，根据所给的函数值可能属于哪一段确定出字母x 的值．【解答】该分段函数的三段各自的值域为(−∞, 1],[O, 4)．[4, +∞)，而3∈[0, 4)，故所求的字母x 只能位于第二段．∴ f(x)=x 2=3,x =±√3，而−1<x <2，∴ x =√3．4.【答案】【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】C【考点】求函数的值函数的求值分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】分段函数是指在定义域的不同阶段上对应法则不同，因此分段函数求函数值时，一定要看清楚自变量所处阶段，例如本题中，5∈{x|x >0}，而f(5)＝−2∈{x|x ≤0}，分别代入不同的对应法则求值即可得结果【解答】因为5>0，代入函数解析式f(x)={x 2+4x +3,x ≤03−x,x >0得f(5)＝3−5＝−2， 所以f （f(5)）＝f(−2)，因为−2<0，代入函数解析式f(x)={x 2+4x +3,x ≤03−x,x >0得f(−2)＝(−2)2+4×(−2)+3＝−16.【答案】D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】根据题意分两种情况x >2和x ≤2，代入对应的解析式列出不等式求解，最后必须解集和x 的范围求交集．【解答】解：∵ f(x)={|3x −4|(x ≤2)2x−1(x >2)，∴ 分两种情况： ①当x >2时，由f(x)≥1得，{x >22x−1≥1，解得2<x ≤3，②当x≤2时，由f(x)≥1得，|3x−4|≥1，即3x−4≥1或3x−4≤−1，解得，x≤1或x≥53，则x≤1或53≤x≤2．综上，所求的范围是(−∞,1]∪[53，3]．故选D．7.【答案】D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】解：函数f(x)=ln1(2−x)2的定义域为：x≠2，函数图像关于x=2对称，当x=0时，f(0)=ln1(2−0)2=−ln4<0，因为ln4∈(1，2).故选D.8.【答案】B【考点】奇函数分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的图象【解析】通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图象经过的特殊点判断函数的图象即可．【解答】解：函数y=1+x+sin xx2，可知：f(x)=x+sin xx2是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，则函数y=1+x+sin xx2的图象关于(0, 1)对称，当x>0时，f(x)>0，当x=π时，y=1+π．故选B．9.【答案】D【考点】函数零点的判定定理分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】解：根据分段函数解析式作出函数的图像，如图所示：, 0)和(0, +∞)上为增函数，由图可知，函数f(x)在(−52且f(f(x))=f(x)解的个数等价于f(x)=x解的个数.作出图像可知，函数y=f(x)与y=x有(−2, −2)和(e, e)两个公共点，作出f(x)=e的图像，由图可知，f(x)=e有三个解；作出f(x)=−2的图像，由图可知，f(x)=−2有两个解.综上可知，函数ℎ(x)=f(f(x))−f(x)的零点的个数为5. 故选D.【答案】D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】由题意可得，①当x+2≥0时，f(x+2)=1，代入所求不等式可求x，②当x+2< 0即x<−2时，f(x+2)=−1，代入所求不等式可求x，从而可得原不等式的解集【解答】解：①当x+2≥0，即x≥−2时，f(x+2)=1，由x+(x+2)⋅f(x+2)≤5可得x+x+2≤5，∴x≤32，即−2≤x≤32；②当x+2<0即x<−2时，f(x+2)=−1，由x+(x+2)⋅f(x+2)≤5可得x−(x+2)≤5，即−2≤5，∴x<−2.综上，不等式的解集为{x|x≤32}.故选D.二、填空题（本题共计 9 小题，每题 3 分，共计27分）11.【答案】(−∞, √3]【考点】分段函数的应用分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的求值【解析】先讨论f(a)的正负，代入求出f(a)≥−3，再讨论a的正负，求实数a的取值范围．【解答】解：①若f(a)<0，则f2(a)+2f(a)≤3，解得，−3≤f(a)≤1，即−3≤f(a)<0；②若f(a)≥0，则−f2(a)≤3，显然成立；则f(a)≥0；③若a<0，则a2+2a≥−3，解得，a∈R，即a<0；④若a≥0，则−a2≥−3，解得，0≤a≤√3；综上所述，实数a的取值范围是：(−∞, √3]．故答案为：(−∞, √3]．12.【答案】【考点】函数零点的判定定理分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】本题考查分段函数图象的作图及函数零点区间的判断问题．【解答】解：函数f(x)={(12)x−2,x ≤0,2x −2,x >0的图象如图所示， 由图示可得直线y =x 与该函数的图象有两个交点，由此可得f(x)−x 有2个零点．故答案为：2．13.【答案】20【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】根据自变量的值代入分段函数求值．【解答】解：由f(x)={2x(x ≥10)f(x +1)(0<x <10)得， f(5)=f(6)=f(7)=f(8)=f(9)=f(10)=2×10=20．故答案为：20．14.【答案】千(x )=三．________3′3x【考点】函数解析式的求解及常用方法函数的图象分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】令f (1x )+2f (x )=1x ．联立f (x )+2f (1x )=x 消去f (1x )即可I 加加加因为f (x )+2f (1x )=x ，所以f (1x )+2f (x )=1x由{f (x )+2f (1x )=x f (1x )+2f (x )=1x，消去f (1x )，得f (x )=−x 3+23x 故答案为：f (x )=−x 3+23【解答】此题暂无解答15.【答案】 √6【考点】函数新定义问题分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的求值【解析】分类讨论，利用新定义即可得出．【解答】解：①当a >−2时，由已知可得4=a ⊗(−2)=a 2−2，解得a =√6．②当a ≤−2时，由已知可得4=a ⊗(−2)=a +(−2)2，解得a =0，应舍去． 综上可知：a =√6．故答案为：√6．16.【答案】(34, 1) 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法函数零点的判定定理【解析】由题意可得，a >0 且 y ＝ax 2+2x +1在(−2, 0)上有2个零点，再利用二次函数的性质求得a 的范围．【解答】∵ 函数f(x)={ax 2+2x +1,(−2<x ≤0)ax −3,(x >0)有3个零点， ∴ a >0 且 y ＝ax 2+2x +1在(−2, 0)上有2个零点，∴ { a >0a(−2)2+2(−2)+1>0−2<−1a <0△=4−4a >0， 解得 34<a <1，17.【答案】1【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】先判断当x>0时，f(x+6)＝f(x)，可得x>0时，f(x)是周期为6的周期函数，再由周期性及分段函数解析式求解．【解答】当x>0时，由f(x)＝f(x−1)−f(x−2)，可得f(x+1)＝f(x)−f(x−1)，两式相加得f(x+1)＝−f(x−2)，则f(x+3)＝−f(x)，∴当x>0时，f(x+6)＝−f(x+3)＝−[−f(x)]＝f(x)，即x>0时，f(x)是周期为6的周期函数，又f(x)＝，∴f(2020)＝f(4)＝−f(1)＝f(−1)−f(0)＝2−1＝1，故答案为：1．18.【答案】124【考点】函数的求值求函数的值分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】先判断出log23的范围，代入对应的解析式求解，根据解析式需要代入同一个式子三次，再把所得的值代入另一个式子求值，需要对底数进行转化，利用a log a N=N进行求解．【解答】由已知得，f(x)={(12)x,x≥4f(x+1),x<4，且1<log23<2，∴f(log23)＝f(log23+1)＝f(log23+2)＝f(log23+3)＝f(log224)=(12)log224=2log2(24)−1=124．19.【答案】【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分）20.【答案】解：(1)当x <0时， f (x )=f (−x )=(−x )2+2⋅(−x )−3=x 2−2x −3，所以f (x )={x 2+2x −3,x ≥0,x 2−2x −3,x <0.(2)当x ≥0时， f (x )=x 2+2x −3=(x +1)2−4，因此当x ≥0时，该函数单调递增，因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，该函数单调递增，所以由f(m +1)<f(2m −1)⇒f(|m +1|)<f(|2m −1|)⇒|m +1|<|2m −1|因此(m +1)2<(2m −1)2⇒m 2−2m >0⇒m >2或m <0，所以实数m 的取值范围是{m|m <0或m >2}.【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法奇偶性与单调性的综合函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当x <0时， f (x )=f (−x )=(−x )2+2⋅(−x )−3=x 2−2x −3，所以f (x )={x 2+2x −3,x ≥0,x 2−2x −3,x <0.(2)当x ≥0时， f (x )=x 2+2x −3=(x +1)2−4，因此当x ≥0时，该函数单调递增，因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，该函数单调递增，所以由f(m +1)<f(2m −1)⇒f(|m +1|)<f(|2m −1|)⇒|m +1|<|2m −1|因此(m +1)2<(2m −1)2⇒m 2−2m >0⇒m >2或m <0，所以实数m 的取值范围是{m|m <0或m >2}.21.【答案】解：(1)函数f(x)的图象由三段构成，每段都为一次函数图象的一部分，其图象如图：(2)由函数图象，数形结合可知当x =1时，函数f(x)取得最大值6，∴ 函数f(x)的最大值为6；【考点】函数的最值及其几何意义分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】（1）分段函数的图象要分段画，本题中分三段，每段都为一次函数图象的一部分，利用一次函数图象的画法即可画出f(x)的图象；（2）由图象，数形结合即可求得函数f(x)的最大值【解答】解：(1)函数f(x)的图象由三段构成，每段都为一次函数图象的一部分，其图象如图：(2)由函数图象，数形结合可知当x=1时，函数f(x)取得最大值6，∴函数f(x)的最大值为6；22.【答案】【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法绝对值不等式的解法与证明不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答23.【答案】(1)证明：任取x1，x2∈(0,+∞)，令x1<x2，则f(x1)−f(x2)=x12−1x1−x22+1x2=(x1+x2)(x1−x2)+x1−x2 x1x2=(x1+x2+1x1x2)(x1−x2)．因为0<x1<x2，所以x1−x2<0，x1+x2+1x1x2>0，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x)=x2−1x在(0,+∞)上单调递增．(2)解：当x>0时，−x<0，g(−x)=(−x)3+3×(−x)2+1=−x3+3x2+1，因为g(x)是定义在R上的奇函数，所以g(x)=−g(−x)=x3−3x2−1，且g(0)=0，故g(x)={x3+3x2+1，x<0，0，x=0，x3−3x2−1，x>0．【考点】函数单调性的判断与证明分段函数的解析式求法及其图象的作法函数解析式的求解及常用方法【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：任取x1，x2∈(0,+∞)，令x1<x2，则f(x1)−f(x2)=x12−1x1−x22+1x2=(x1+x2)(x1−x2)+x1−x2 x1x2=(x1+x2+1x1x2)(x1−x2)．因为0<x1<x2，所以x1−x2<0，x1+x2+1x1x2>0，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x)=x2−1x在(0,+∞)上单调递增．(2)解：当x>0时，−x<0，g(−x)=(−x)3+3×(−x)2+1=−x3+3x2+1，因为g(x)是定义在R上的奇函数，所以g(x)=−g(−x)=x3−3x2−1，且g(0)=0，故g(x)={x3+3x2+1，x<0，0，x=0，x3−3x2−1，x>0．24.【答案】解：(1)设x<0，则−x>0，于是f(−x)=−13x3+12x2，又因为f(x)是偶函数，所以f(x)=f(−x)=−13x3+12x2，所以 f (x )={−13x 3+12x 2,x <0,13x 3+12x 2,x ≥0, 补充图象如图，(2)因为f (x )是偶函数，所以原不等式等价于f (|m|)>f (|1−2m|)． 又由(1)的图象知，f (x )在[0,+∞)上单调递增， 所以|m|>|1−2m|，两边平方得m 2>1−4m +4m 2，即3m 2−4m +1<0， 解得13<m <1， 所以实数m 的取值范围是{m|13<m <1}．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法 函数奇偶性的性质奇偶性与单调性的综合【解析】【解答】解：(1)设x <0，则−x >0，于是f (−x )=−13x 3+12x 2， 又因为f (x )是偶函数，所以f (x )=f (−x )=−13x 3+12x 2，所以 f (x )={−13x 3+12x 2,x <0,13x 3+12x 2,x ≥0, 补充图象如图，(2)因为f(x)是偶函数，所以原不等式等价于f(|m|)>f(|1−2m|)．又由(1)的图象知，f(x)在[0,+∞)上单调递增，所以|m|>|1−2m|，两边平方得m2>1−4m+4m2，即3m2−4m+1<0，解得13<m<1，所以实数m的取值范围是{m|13<m<1}．。
必修一 数学 定义域,值域,解析式 求法,例题,习题(含答案)
函数的定义域（1）函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合（2）求函数定义域的注意事项☉分式分母不为零； ☉偶次根式的被开方数大于等于零；☉零次幂的底数不为零； ☉实际问题对自变量的限制若函数由几个式子构成，求其定义域时要满足每个式子都要有意义（取“交集”）。
（3）抽象复合函数定义域的求法☉已知y=f （x ）的定义域是A ，求y=f （g （x ））的定义域，可通过解关于g （x ）∈A 的不等式，求出x 的范围☉已知y=f （g （x ））的定义域是A ，求y=f （x ）的定义域，可由x ∈A ，求g （x ）的取值范围（即y=g （x ）的值域）。
例1．函数()1f x x =- 的定义域为 ( ) A. (－∞，4) B. [4，＋∞) C. (－∞，4] D. (－∞，1)∪(1,4] 【答案】D 【解析】要使解析式有意义需满足：40{10x x -≥-≠，即x 4≤且1x ≠所以函数()f x =的定义域为(－∞，1)∪(1,4] 故选：D例2．函数y =( )A. {|11}x x x ≥≤-或B. {|11}x x -≤≤C. {1}D. {-1,1}【答案】D 【解析】函数y 可知: 2210{ 10x x -≥-≥,解得： 1x =±.函数y =的定义域为{-1,1}.故选D.例3．已知函数()21y f x =-的定义域为()2,2-，函数()f x 定义域为__________.【答案】[]1,3-【解析】由函数()21y f x =-的的定义域为(−2,2)，得： 2113x -≤-≤，故函数f (x )的定义域是[]1,3-.例4．若函数()y f x =的定义域为[]0,2,则函数()()21f xg x x =-的定义域是（ ）A. [)0,1B. []0,1C. [)(]0,11,4⋃ D. ()0,1 【答案】A函数()y f x =的定义域是[]0,2， 022{10x x ≤≤∴-≠，解不等式组：01x ≤<，故选A.例5．已知函数()1y f x =+的定义域是[]2,3-，则()2y f x =的定义域是（ ） A. []1,4- B. []0,16 C. []2,2- D. []1,4【答案】C 【解析】解：由条件知： ()1f x +的定义域是[]2,3-，则1x 14-≤+≤，所以214x -≤≤，得[]x 2,2∈-例6．已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（ ）A ．[]052， B. []-14， C. []-55， D. []-37，【答案】A 【解析】523,114,1214,02x x x x -≤≤-≤+≤-≤-≤≤≤例7．函数y =的定义域为___________．【答案】[]3,4-【解析】要使函数有意义，则2120x x +-≥，即2120x x --≤，即34x -≤≤，故函数的定义域为[]3,4-，故答案为[]3,4-.函数值域定义：对于函数y=f （x ），x ∈A 的值相对应的y 值叫函数值，函数值得集合{f （x ）|x ∈A }叫做函数的值域。
分段函数知识点及例题解析
分段函数常见题型例析所谓“分段函数”是指在定义域的不同部分，有不同对应关系的函数，因此分段函数不是几个函数而是一个函数，它在解题中有着广泛的应用，不少同学对此认识不深，解题时常出现错误．现就分段函数的常见题型例析如下：１．求分段函数的定义域、值域例１．求函数)(x f ＝⎪⎩⎪⎨⎧->-≤+)2(,2)2(,42x x x x x 的值域．解：当x ≤－２时，4)2(422-+=+=x x x y ， ∴ y ≥－４．当x ＞－２时，y ＝2x ， ∴y ＞22-＝－１． ∴ 函数)(x f 的值域是｛y ∣y ≥－４，或y ＞－１｝＝｛y ∣y ≥－４｝． 评注：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．２．作分段函数的图象例２ 已知函数2(2)()3[22)3[2)x f x x x x -∈-∞-⎧⎪=+∈-⎨⎪∈+∞⎩，，，，，，，画函数(f x 解：函数图象如图１所示．评注：分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同，分别由表达式做出其图象．作图时，一要注意每段自变量的取值范围；二要注意间断函数的图象中每段的端点的虚实． ３．求分段函数的函数值例３．已知)(x f ＝⎪⎩⎪⎨⎧<=>+)0.(0)0(,)0(,1x x x x π 求(((3)))f f f -的值．解：∵ －３＜０ ∴ f （－３）＝０，∴ f （f （－３））＝f （０）＝π又π＞０ ∴(((3)))f f f -＝f （π）＝π＋１． 评注：求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值．４．求分段函数的最值x 图1例４．已知函数)(x f ＝22(0)(0)x x x ⎧⎨<⎩，≥， 求出这个函数的最值．解：由于本分段函数有两段，所以这个函数的图象由两部分组成，其中一部分是一段抛物线，另一部分是一条射线，如图２所示．因此易得，函数最小值为０，没有最大值．５．表达式问题例５． 如图３，动点P 从边长为１的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B C D ，，再回到A ，设x 表示P 点的行程，y 表示PA 的长度，求y 关于x 的表达式．解：如图3所示，当P 点在AB 上运动时，PA x =；当P 点在BC 上运动时，由PBA △Rt ，求得PA =；当P 点在CD 上运动时，由PDA Rt △求出PA =；当P 点在DA 上运动时，4PA x =-，所以y 关于x的表达式是01122343 4.x x x y x x x ⎧<=<-<⎩， ≤≤，≤， ≤，， ≤ 在此基础上，强调“分段”的意义，指出分段函数的各段合并成一个整体，必须用符号“｛”来表示，以纠正同学们的错误认识． A BP 图３。
分段函数、解析式与图像含详解答案
解析式、分段函数、函数图像作业题型一分段函数1．已知函数2,01,()2,12,1,2,2x x f x x x ⎧⎪≤≤⎪=<<⎨⎪⎪≥⎩，则3[()]2f f f ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的值为2．设函数23,0()(2),0x x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩，则(3)f -=_____3．设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩，若()12f a =，则a =4.分段函数已知函数3,0,()4,0.x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩(1)画函数图像(2)求((1))f f -；(3)若0()2f x >,求0x 的取值范围.题型二解析式1.求下列函数的解析式（1）已知2()f x x x =+，求(1)f x -的解析式（2）若1)f x +=+()f x 的解析式（3）如果1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1x x-，则当x ≠0，1时，求()f x 的解析式（4）已知2112f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，求()f x 的解析式2.求下列函数的解析式（1）已知函数()f x 是一次函数，若()48f f x x =+⎡⎤⎣⎦，求()f x 的解析式；（2）已知()f x 是二次函数，且满足()01f =，()()12f x f x x +-=，求()f x 的解析式（3）已知函数f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x，求()f x 的解析式．（4）已知函数()f x 的定义域是一切非零实数，且满足13()24f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭．求()f x 的解析式．3.已知函数()21f x x =-，2,0,(){1,0,x x g x x ≥=-<求()f g x ⎡⎤⎣⎦和()g f x ⎡⎤⎣⎦的解析式．题型三函数图像1.画出函数2)(x x f =的图像，并用变换的方法画出以下函数的图像。
（1）2)(2+=x x f （2）2)1()(-=x x f （3）2)2()(2+-=x x f （4）32)(2+-=x x x f （5）542)(2-+=x x x f 2.画出下列函数函数的图像。
人教版必修1-求函数解析式方法-分段函数-----例题---练习试题---及其答案
函数概念及其表示练习（4）一、求函数解析式（1）代入法求函数解析式例1．已知f （x ）=2x x +2，则f （x －１）=例2．已知f （x ）=2x x +2，g （x ）=12+x ，则()[]x g f =练习．已知f (x )，g (x )对应值如表.则f (g (1))的值为( ) A ．－1B ．0C ．1D ．不存在（2）换元法求函数解析式例1．已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，则f (x )的解析式是( ) A ．3x ＋2 B ．3x ＋1 C ．3x －1 D ．3x ＋4 例2．设函数，则的表达式为（ ）A. B. C. D.例3．已知()x x x f21+=+，求f （x ）解析式.例4．已知g （x ）=1-2x,f [g （x ）]=)0(122≠-x xx ,则f （21）等于例5．若函数[]12)(36)(+=+=x x g x x g f 且，则)(x f 等于（ ） A ．3 B ．3x C ．6x+3 D ．6x+1练习1．已知2211()11x x f x x --=++，则()f x 的解析式为（ ） A ．21x x + B ．212x x +- C ．212x x + D ．21x x+- 练习2．设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ ） A ．21x + B ．21x - C ．23x - D ．27x + 练习3．已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f =x 0 1 －1 g (x )－11x 0 1 －1 f (x )1－1练习4. 已知函数=-=)3(,1)(2f x x f 则（ ）A. 8B. 6560C. 80D. 2 （3）待定系数法求函数解析式例1．在一定范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系，如果购买1000吨，每吨为800元，购买2000吨，每吨为700元，那么客户购买400吨，单价应该是________元．例2. 为了提倡节约用水，自来水公司决定采取分段计费，月用水量x （立方米）与相应水费y （元）之间函数关系式如图所示.（1）月用水量为6方，应交水费 元； （2）写出y 与x 之间的函数关系式；（3）若某月水费是78元，用水量是多少？例3．若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是练习1．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是（ ） A ．x =60t B ．x =60t +50tC ．x =⎩⎨⎧>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t t D ．x =⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150)5.20(,60t t t t t 练习2．若是一次函数，，则=练习3．下列图中，画在同一坐标系中，函数bx ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 函数的图象只可能是（ ）（4）方程组法求函数解析式例1．已知f（x ）满足()xx f x f 212=⎪⎭⎫⎝⎛+①，求f （x ）解析式.例 2．已知f （x ）满足()()x x f x f 22=-+，求f （x ）解析式.二、分段函数练习例1．函数 ⎩⎨⎧->-≤+=1,1,2)(2x x x x x f ，则((2))f f -= ；()3,f x =则x=例2．已知函数y ＝f (n )满足f (n )＝⎩⎨⎧2 (n ＝1)3f (n －1) (n ≥2)，则f (3)＝________例3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2， x ≤0，－x ＋2， x >0，则不等式f (x )≥x 的解集为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．(]1，∞-D ．[－1,2]例4．设⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=)0(,0)0(,)0(,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f （ ）A ．1+πB ．0C ．πD ．1-例5．已知f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧+++-333322xx x x ),1()1,(+∞∈-∞∈x x ,求f [f （0）]的值．练习1．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x －1 (x ≥2)－x 2＋3x (x <2)，则f (－1)＋f (4)的值为( ) A ．－7B ．3C ．－8D ．4练习2．若函数234(0)()(0)0(0)x x f x x x π⎧->⎪==⎨⎪<⎩，则((0))f f =练习3．已知函数⎩⎨⎧<≥=0,0,2)(2x x x x x f ，则=-)]2([f f （ ）A. 8B.—8 C .8或—8 D.16练习4．f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1， (x ≤0)，－2x ， (x >0)，)若f (x )＝10，则x ＝练习5．设f (x )＝⎩⎨⎧x ＋3， (x >10)，f (x ＋5)， (x ≤10)，则f (5)的值为( )A ．16B ．18C ．21D ．24函数概念及其表示练习（4）一、求函数解析式（1）代入法求函数解析式例1．已知f （x ）=2x x +2，则f （x －１）=2231x x -+例2．已知f （x ）=2x x +2，g （x ）=12+x ，则()[]x g f =42253x x ++练习．已知f (x )，g (x )对应值如表.则f (g (1))的值为( C ) A ．－1B ．0C ．1D ．不存在（2）换元法求函数解析式例1．已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，则f (x )的解析式是( C ) A ．3x ＋2 B ．3x ＋1 C ．3x －1 D ．3x ＋4 例2．设函数，则的表达式为（ C ）A. B. C. D.例3．已知()x x x f21+=+，求f （x ）解析式.解析1：()()()()22211,1121 1.1, 1.x t x t f t t t t f x x x +=≥=-∴=-+-=-∴=-≥令则解析2：))()()222121111,1.1, 1.fx x x x x t f t t f x x x +=+=+-+=≥∴==-∴=-≥则例4．已知g （x ）=1-2x,f [g （x ）]=)0(122≠-x xx ,则f （21）等于15x 0 1 －1 g (x )－11x 0 1 －1 f (x )1－1例5．若函数[]12)(36)(+=+=x x g x x g f 且，则)(x f 等于（ B ） A ．3 B ．3x C ．6x+3 D ．6x+1练习1．已知2211()11x x f x x --=++，则()f x 的解析式为（ C ） A ．21x x + B ．212x x +- C ．212x x + D ．21x x+- 练习2．设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ B ） A ．21x + B ．21x - C ．23x - D ．27x + 练习3．已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = －１ 练习4. 已知函数=-=)3(,1)(2f x x f 则（ C ）A. 8B. 6560C. 80D. 2 （3）待定系数法求函数解析式例1．在一定范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系，如果购买1000吨，每吨为800元，购买2000吨，每吨为700元，那么客户购买400吨，单价应该是________元．解析：设一次函数y ＝ax ＋b ，(a ≠0) 求得⎩⎨⎧a ＝－10，b ＝9000.∴y ＝－10x ＋9000，于是当y ＝400时，y ＝860.例2. 为了提倡节约用水，自来水公司决定采取分段计费，月用水量x （立方米）与相应水费y （元）之间函数关系式如图所示.（1）月用水量为6方，应交水费 元； （2）写出y 与x 之间的函数关系式；（3）若某月水费是78元，用水量是多少？ 解析：（1）18（2）⎩⎨⎧>-≤≤=)10(,306)100(,3x x x x y（3）18方例3．若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是 ()822++=-x x f x练习1．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是（ D ） A ．x =60t B ．x =60t +50tC ．x =⎩⎨⎧>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t t D ．x =⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150)5.20(,60t t t t t 练习2．若是一次函数，，则=或()12+-=x x f练习3．下列图中，画在同一坐标系中，函数bx ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 函数的图象只可能是（ B ）（4）方程组法求函数解析式例1．已知f （x ）满足()x x f x f 212=⎪⎭⎫⎝⎛+①，求f （x ）解析式.例 2．已知f （x ）满足()()x x f x f 22=-+，求f （x ）解析式. 解析： （1）()122f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ①()1122f f x x x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭②∴由①×2-②得()234f x x x=-， ()4233x f x x =-.（2）()()22f x f x x +-= ①xyAxyBxyCxyD()()()22f x f x x ∴-+=- ② ∴由①×2-②得()()342f x x x =--，()2f x x =.二、分段函数练习例1．函数 ⎩⎨⎧->-≤+=1,1,2)(2x x x x x f ，则((2))f f -= 0 ；()3,f x =则例2．已知函数y ＝f (n )满足f (n )＝⎩⎨⎧2 (n ＝1)3f (n －1) (n ≥2)，则f (3)＝___18_____例3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2， x ≤0，－x ＋2， x >0，则不等式f (x )≥x 的解集为( C )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．(]1，∞-D ．[－1,2]例4．设⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=)0(,0)0(,)0(,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f （ A ）A ．1+πB ．0C ．πD ．1-例5．已知f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧+++-333322xx x x ),1()1,(+∞∈-∞∈x x ,求f [f （0）]的值．25练习1．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x －1 (x ≥2)－x 2＋3x (x <2)，则f (－1)＋f (4)的值为( B )A ．－7B ．3C ．－8D ．4练习2．若函数234(0)()(0)0(0)x x f x x x π⎧->⎪==⎨⎪<⎩，则((0))f f = 432-π ．练习3．已知函数⎩⎨⎧<≥=0,0,2)(2x x x x x f ，则=-)]2([f f （ Ａ ）A. 8B.—8 C .8或—8 D.16练习4．f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1， (x ≤0)，－2x ， (x >0)，)若f (x )＝10，则x ＝ －3练习5．设f (x )＝⎩⎨⎧x ＋3， (x >10)，f (x ＋5)， (x ≤10)，则f (5)的值为( B )A ．16B ．18C ．21D ．24。
微专题18分段函数10种常考题型总结(解析版)-人教A版2019必修第一册高一数学习题
微专题18 分段函数10种常考题型总结题型1 分段函数求函数值题型2 已知函数值求参数题型3 解分段函数不等式题型4 分段函数的图象题型5 分段函数的单调性题型6 分段函数的奇偶性题型7 分段函数的值域或最值题型8 分段函数与零点问题题型9 max/min 型分段函数题型10 新定义题一、分段函数1、分段函数的定义函数y x =与函数,0,0x x y x x ³ì=í-<î是同一函数，但在表达方式上有所区别，前者在定义域内有一个表达式，而后者的定义域被分成两部分，而在不同的部分有不同的解析式．在函数的定义域内，对于自变量x 在不同取值范围内，函数有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数．2、对分段函数的理解（1）分段函数是一个函数而不是几个函数。
处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪一个范围，从而选择相应的对应关系；（2）分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，各段定义域的交集是空集；（3）分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集．3、分段函数常见的几种类型（1）取整函数：()[]f x x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）．（2）1,()(1)1,x x f x x -ì=-=íî为正奇数为非负偶数．（3）含绝对值符号的函数．如2,2()|2|(2),2x x f x x x x +³-ì=+=í-+<-î．（4）自定义函数．如21,1(),122,2x x f x x x x x x--£-ìï=--<£íï->î二、有关分段函数的求解问题1、分段函数的表达式因其特点可以分解成两个或两个以上的不同表达式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或线段，而分段函数的值域，也就是各部分的函数值集合的并集，最好的求解方法是“图象法”。
新高中数学必修1求函数解析式基础题(含详解)
解析：法一：(换元法)
令 ，则x＝(t－1)2，
∴f(t)＝(t－1)2＋2 ＝t2－1.
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二：(配凑法)
∵x＋2 ＝( ＋1)2－1，∴f( ＋1)＝( ＋1)2－1.
又∵ ＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
【点睛】
吧求函数的解析式，涉及换元方法和配方法，属基础题，难度较易.
A． B．
C． D．
5．设 ， ，则 等于( )
A． B． C． D．
6．已知 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
7．定义 ，例如 ，则 的范围是（）
A． B． C． D．
二、解答题
8．（1）已知 是一次函数，满足 ，求 的解析式.
（2）已知 ，求 的解析式.
9．已知f( ＋1)＝x＋2 ，求f(x)．
新高中数学必修1求函数解析式基础题训练（含详解）
一、单选题
1．已知 ，则 ( )
A．36B．16C．100D．8
2．已知函数 满足 且 ，则实数 的值为（）
A． B． C．7D．6
3．如果 ＝ ，则当x≠0，1时，f(x)等于（）
A． B． C． D．
4．已知 是二次函数，且 ， ，则 的解析式为（）
11． 或
【解析】
【分析】
由题意知， 为一次函数，故可设一次函数 ，利用函数解析式求得 ，结合待定系数法列出关于 ， 的方程，求得 ， ．最后写出所求函数的解析式即可．
【详解】
解：设一次函数 ，
则 ，
又 ，
则有 ，得 解得 或 ，
故所求函数的解析式为： 或
【点睛】
本小题主要考查函数解析式的求解及常用方法等基础知识，考查运算求解能力，考查待定系数法．属于基础题．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数概念及其表示练习（4）一、求函数解析式（1）代入法求函数解析式例1．已知f （x ）=2x x +2，则f （x －１）=例2．已知f （x ）=2x x +2，g （x ）=12+x ，则()[]x g f =练习．已知f (x )，g (x )对应值如表.则f (g (1))的值为( ) A ．－1B ．0C ．1D ．不存在（2）换元法求函数解析式例1．已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，则f (x )的解析式是( ) A ．3x ＋2 B ．3x ＋1 C ．3x －1 D ．3x ＋4 例2．设函数，则的表达式为（ ）A. B. C. D.例3．已知()x x x f21+=+，求f （x ）解析式.例4．已知g （x ）=1-2x,f [g （x ）]=)0(122≠-x x x ,则f （21）等于例5．若函数[]12)(36)(+=+=x x g x x g f 且，则)(x f 等于（ ） A ．3 B ．3x C ．6x+3 D ．6x+1练习1．已知2211()11x x f x x--=++，则()f x 的解析式为（ ） A ．21x x + B ．212x x +- C ．212x x + D ．21xx+- 练习2．设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ ） A ．21x + B ．21x - C ．23x - D ．27x + 练习3．已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f =练习4. 已知函数=-=)3(,1)(2f x x f 则（ ）A. 8B. 6560C. 80D. 2 （3）待定系数法求函数解析式例1．在一定范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系，如果购买1000吨，每吨为800元，购买2000吨，每吨为700元，那么客户购买400吨，单价应该是________元．例2. 为了提倡节约用水，自来水公司决定采取分段计费，月用水量x （立方米）与相应水费y （元）之间函数关系式如图所示.（1）月用水量为6方，应交水费 元； （2）写出y 与x 之间的函数关系式；（3）若某月水费是78元，用水量是多少？例3．若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是练习1．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是（ ） A ．x =60t B ．x =60t +50tC ．x =⎩⎨⎧>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t t D ．x =⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150)5.20(,60t t t t t练习2．若是一次函数，，则=练习3．下列图中，画在同一坐标系中，函数bx ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 函数的图象只可能是（ ）（4）方程组法求函数解析式例1．已知f （x ）满足()x xf x f 212=⎪⎭⎫⎝⎛+①，求f （x ）解析式.例 2．已知f （x ）满足()()x x f x f 22=-+，求f （x ）解析式.二、分段函数练习例1．函数 ⎩⎨⎧->-≤+=1,1,2)(2x x x x x f ，则((2))f f -= ；()3,f x =则x=例2．已知函数y ＝f (n )满足f (n )＝⎩⎨⎧2 (n ＝1)3f (n －1) (n ≥2)，则f (3)＝________例3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2， x ≤0，－x ＋2， x >0，则不等式f (x )≥x 的解集为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．(]1，∞-D ．[－1,2]例4．设⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=)0(,0)0(,)0(,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f （ ）A ．1+πB ．0C ．πD ．1-例5．已知f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧+++-333322xx x x ),1()1,(+∞∈-∞∈x x ,求f [f （0）]的值．练习1．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x －1 (x ≥2)－x 2＋3x (x <2)，则f (－1)＋f (4)的值为( ) A ．－7B ．3C ．－8D ．4练习2．若函数234(0)()(0)0(0)x x f x x x π⎧->⎪==⎨⎪<⎩，则((0))f f =练习3．已知函数⎩⎨⎧<≥=0,0,2)(2x x x x x f ，则=-)]2([f f （ ）A. 8B.—8 C .8或—8 D.16练习4．f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1， (x ≤0)，－2x ， (x >0)，)若f (x )＝10，则x ＝练习5．设f (x )＝⎩⎨⎧x ＋3， (x >10)，f (x ＋5)， (x ≤10)，则f (5)的值为( )A ．16B ．18C ．21D ．24函数概念及其表示练习（4）一、求函数解析式（1）代入法求函数解析式例1．已知f （x ）=2x x +2，则f （x －１）=2231x x -+例2．已知f （x ）=2x x +2，g （x ）=12+x ，则()[]x g f =42253x x ++练习．已知f (x )，g (x )对应值如表.则f (g (1))的值为( C ) A ．－1B ．0C ．1D ．不存在（2）换元法求函数解析式例1．已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，则f (x )的解析式是( C ) A ．3x ＋2 B ．3x ＋1 C ．3x －1 D ．3x ＋4 例2．设函数，则的表达式为（ C ）A. B. C. D.例3．已知()x x x f21+=+，求f （x ）解析式.解析1：()()()()22211,1121 1.1, 1.t t f t t t t f x x x +=≥=-∴=-+-=-∴=-≥解析2：))()()22211111,1.1, 1.fx t f t t f x x x +=+=+-+=≥∴==-∴=-≥则例4．已知g （x ）=1-2x,f [g （x ）]=)0(122≠-x x x ,则f （21）等于15例5．若函数[]12)(36)(+=+=x x g x x g f 且，则)(x f 等于（ B ） A ．3 B ．3x C ．6x+3 D ．6x+1练习1．已知2211()11x x f x x--=++，则()f x 的解析式为（ C ） A ．21x x + B ．212x x +- C ．212x x + D ．21xx+- 练习2．设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ B ） A ．21x + B ．21x - C ．23x - D ．27x + 练习3．已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = －１ 练习4. 已知函数=-=)3(,1)(2f x x f 则（ C ）A. 8B. 6560C. 80D. 2 （3）待定系数法求函数解析式例1．在一定范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系，如果购买1000吨，每吨为800元，购买2000吨，每吨为700元，那么客户购买400吨，单价应该是________元．解析：设一次函数y ＝ax ＋b ，(a ≠0) 求得⎩⎨⎧a ＝－10，b ＝9000.∴y ＝－10x ＋9000，于是当y ＝400时，y ＝860.例2. 为了提倡节约用水，自来水公司决定采取分段计费，月用水量x （立方米）与相应水费y （元）之间函数关系式如图所示.（1）月用水量为6方，应交水费 元； （2）写出y 与x 之间的函数关系式；（3）若某月水费是78元，用水量是多少？ 解析：（1）18（2）⎩⎨⎧>-≤≤=)10(,306)100(,3x x x x y（3）18方例3．若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是 ()822++=-x x f x练习1．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是（ D ） A ．x =60t B ．x =60t +50tC ．x =⎩⎨⎧>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t t D ．x =⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150)5.20(,60t t t t t练习2．若是一次函数，，则=或()12+-=x x f练习3．下列图中，画在同一坐标系中，函数bx ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 函数的图象只可能是（ B ）（4）方程组法求函数解析式例1．已知f（x ）满足()x xf x f 212=⎪⎭⎫⎝⎛+①，求f （x ）解析式.例 2．已知f （x ）满足()()x x f x f 22=-+，求f （x ）解析式. 解析： （1）()122f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ①()1122f f x x x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭②∴由①×2-②得()234f x x x =-， ()4233x f x x =-.（2）()()22f x f x x +-= ①()()()22f x f x x ∴-+=- ②∴由①×2-②得()()342f x x x =--，()2f x x =.二、分段函数练习例1．函数 ⎩⎨⎧->-≤+=1,1,2)(2x x x x x f ，则((2))f f -= 0 ；()3,f x =则例2．已知函数y ＝f (n )满足f (n )＝⎩⎨⎧2 (n ＝1)3f (n －1) (n ≥2)，则f (3)＝___18_____例3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2， x ≤0，－x ＋2， x >0，则不等式f (x )≥x 的解集为( C )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．(]1，∞-D ．[－1,2]例4．设⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=)0(,0)0(,)0(,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f （ A ）A ．1+πB ．0C ．πD ．1-例5．已知f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧+++-333322xx x x ),1()1,(+∞∈-∞∈x x ,求f [f （0）]的值．25练习1．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x －1 (x ≥2)－x 2＋3x (x <2)，则f (－1)＋f (4)的值为( B ) A ．－7B ．3C ．－8D ．4练习2．若函数234(0)()(0)0(0)x x f x x x π⎧->⎪==⎨⎪<⎩，则((0))f f = 432-π．练习3．已知函数⎩⎨⎧<≥=0,0,2)(2x x x x x f ，则=-)]2([f f （ Ａ ）A. 8B.—8 C .8或—8 D.16练习4．f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1， (x ≤0)，－2x ， (x >0)，)若f (x )＝10，则x ＝ －3练习5．设f (x )＝⎩⎨⎧x ＋3， (x >10)，f (x ＋5)， (x ≤10)，则f (5)的值为( B )A ．16B ．18C ．21D ．24。