高三三角函数公式练习题及答案
数学课程三角函数公式练习题及答案
数学课程三角函数公式练习题及答案在学习数学的过程中，三角函数是一个非常重要的概念。
它们是研究三角形及各种周期现象的数学工具。
熟练掌握三角函数公式可以帮助我们解决很多实际问题。
本文将为大家提供一些三角函数公式的练习题及答案，以帮助大家巩固对这一知识点的掌握。
练习题一：正弦函数的基本关系式1. 已知角A的正弦值sin(A)=0.6，求角A的度数。
2. 已知角B的度数为45°，求sin(B)的值。
3. 已知角C的正弦值为√3/2，求角C的度数。
答案一：1. 根据正弦函数的定义，sin(A)=对边/斜边，可得对边=0.6×斜边。
由此可知，三角形中的角A的度数为arcsin(0.6)。
2. 对于一个45°的角度，根据特殊角的性质得知，sin(B)=cos(B)=1/√2。
3. 根据正弦函数的定义，sin(C)=√3/2，可得角C的度数为arcsin(√3/2)。
练习题二：余弦函数的基本关系式1. 已知角D的余弦值cos(D)=0.8，求角D的度数。
2. 已知角E的度数为60°，求cos(E)的值。
3. 已知角F的余弦值为1/2，求角F的度数。
答案二：1. 根据余弦函数的定义，cos(D)=邻边/斜边，可得邻边=0.8×斜边。
由此可知，三角形中的角D的度数为arccos(0.8)。
2. 对于一个60°的角度，根据特殊角的性质得知，cos(E)=1/2。
3. 根据余弦函数的定义，cos(F)=1/2，可得角F的度数为arccos(1/2)。
练习题三：正切函数的基本关系式1. 已知角G的正切值tan(G)=1.5，求角G的度数。
2. 已知角H的度数为30°，求tan(H)的值。
3. 已知角I的正切值为√3，求角I的度数。
答案三：1. 根据正切函数的定义，tan(G)=对边/邻边，可得对边=1.5×邻边。
由此可知，三角形中的角G的度数为arctan(1.5)。
三角函数的公式运用习题含答案解析
三角函数、同角三角函数基本关系、三角函数的诱导公式三角函数要点一：三角函数定义设α是一个任意角,它的终边与半径是r 的圆交于点(,)P x y ,则r =，那么:(1)yr做α的正弦,记做sin α,即sin y r α=；(2) xr叫做α的余弦,记做cos α,即cos x r α=；(3)yx叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y x x α=≠.类型一：三角函数的定义例1．已知角α的终边经过点P （－4a ，3a ）（a ≠0），求sin α，cos α，tan α的值．【解析】 5||r a ==． 若a ＞0，则r =5a ，α是第二象限角，则33sin 55y a r a α===，44cos 55x a r a α-===-，33tan 44y a x a α===--，若a ＜0，则r =－5a ，α是第四象限角，则3sin 5α=-，4cos 5α=，3tan 4α=-．举一反三：【变式1】已知角α的终边在直线y =上，求sin α，cos α，tan α的值．【答案】122122--【解析】因为角α的终边在直线y =上，所以可设()(0)P a a ≠为角α终边上任意一点．则2||r a ==（a ≠0）． 若a ＞0，则α为第一象限角，r=2a ，所以sin 22a α==， 1cos 22a a α==，tan aα==． 若a ＜0，则α为第三象限角，r=－2a ，所以sin 22a α==--，1cos 22a a α=-=-，tan a α==． 要点二：三角函数在各象限的符号 三角函数在各象限的符号：在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．类型二：三角函数的符号例2．判断下列各三角函数值的符号（1）17tan 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）tan120°·sin269°；（3）tan191°－cos191°．【解析】 （1）因为177466πππ-=-+，且76π是第三象限角，所以176π-是第三象限角．所以17tan 06π⎛⎫-> ⎪⎝⎭．（2）∵120°是第二象限的角，∴tan120°＜0． ∵269°是第三象限的角，∴sin269°＜0． ∴tan120°·sin269°＞0． （3）∵191°是第三象限的角，∴tan191°＞0，cos191°＜0，∴tan191°―cos191°＞0． 举一反三： 【变式1】（1）若sin α=―2cos α，确定tan α的符号；正切、余切余弦、正割正弦、余割（2）已知α为第二象限角，判断3sin αcos α+2tan α的符号； （3）若sin α＜0，cos α＞0，则α是第几象限角？ 【答案】（1）负（2）负（3）四 【解析】（1）由sin α=―2cos α，知sin α与cos α异号，故α是第二或第四象限角．当α是第二象限角时，tan α＜0；当α是第四象限角时，tan α＜0．综上知，tan α＜0．（2）因为α为第二象限，所以sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0，所以3sin αcos α+2tan α＜0．（3）因为sin α＜0，所以α为第三或第四象限角， 又cos α＞0，所以α为第一或第四象限角， 所以α为第四象限角．类型三：三角函数定义域的求法例3．求函数sin 1tan y x x =+-的定义域．【思路点拨】要使式子有意义，则必须使被开方数大于等于零，然后再解三角不等式．【解析】 由题意得sin 0tan 1()2x x x n n Z ππ⎧⎪≥⎪≤⎨⎪⎪≠+∈⎩．由图可知：sin x ≥0时，角x 的终边落在图中横线阴影部分； tan x ≤1时，角x 的终边落中图中竖线阴影部分． 从终边落在双重阴影部分的角中排除使2()2x n n Z ππ=+∈的角即为所求．∴该函数的定义域为：22,22,42x n x n n Z x n x n n Z πππππππ⎧⎫⎧⎫≤≤+∈+<≤+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭． 【注意】（1）在求三角函数定义域时，一般应转化为不等式（组），利用数轴或三角函数线解三角不等式是最常用的方法，因此必须牢固掌握三角函数的画法及意义．（2）不可忽略正切函数自身的定义域|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭．举一反三： 【变式1】求函数sin cos tan x xy x+=的定义域：【答案】|,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭【解析】 要使函数有意义，需tan x ≠0，∴2x k ππ≠+（k ∈Z ）且x ≠k π（k ∈Z ）∴2kx π≠（k ∈Z ）．∴函数的定义域为|,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭．角三角函数基本关系要点一：同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：22sin cos 1αα+=(2)商数关系：sin tan cos ααα= (3)倒数关系：tan cot 1⋅=αα，sin csc 1αα⋅=，cos sec 1αα⋅= 要点诠释：2sin α是2(sin )α的简写；要点二：同角三角函数基本关系式的变形 1．平方关系式的变形：2222sin 1cos cos 1sin αααα=-=-，，212sin cos (sin cos )αααα±⋅=±2．商数关系式的变形sin sin cos tan cos tan αααααα=⋅=，。
高中三角函数练习题含答案
高中三角函数练习题含答案一、填空题1．已知函数()f x 在R 上可导，对任意x 都有()()2sin f x f x x --=，当0x ≤时，()1f x '<-，若π2π()3cos 33f t f t t ⎛⎫⎛⎫≤-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数t 的取值范围为_________2．如图，在ABC 中，1cos 3BAC ∠=-，2AC =，D 是边BC 上的点，且2BD DC =，AD DC =，则AB 等于______.3．已知球O 的表面积为16π，点,,,A B C D 均在球O 的表面上，且,64ACB AB π∠=则四面体ABCD 体积的最大值为___________. 4．已知)2,0F为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，P 为AB 的中点，O 为坐标原点.若△OFP 是以OF 为底边的等腰三角形，且△OFP 外接圆的面积为23π，则椭圆C 的长轴长为___________. 5．在平面直角坐标系中，对任意角α，设α的终边上异于原点的任意一点P 的坐标为(,)x y ，它与原点的距离是r .我们规定：比值,,r r xx y y分别叫做角α的正割､余割､余切，分别记作sec α，csc α，cot α，把sec ,csc ,cot y x y x y x ===分别叫做正割函数､余割函数､余切函数，则下列叙述正确的有___________(填上所有正确的序号) ①3cot14π=； ②sin csc 1αα⋅=；③sec y x =的定义域为{}|,Z x x k k π≠∈； ④22sec csc 4αα+；⑤2cot 1cot22cot ααα-=.6．已知函数()233sin cos f x x x x =+①函数()f x 的最小正周期为π；②函数12y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数；③函数()f x 关于点()026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，成中心对称；④函数()f x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数.其中正确的结论是_______.（写出所有正确结论的序号）7．在ABC 中，sin 2sin B C =，2BC =.则CA CB ⋅的取值范围为___________.（结果用区间表示）8．1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知ABC 中，其中60A ∠=︒，1BC =，P 为费马点，则PB PC PA +-的取值范围是__________.9．已知ABC 为等边三角形，点G 是ABC 的重心．过点G 的直线l 与线段AB 交于点D ，与线段AC 交于点E ．设AD AB λ=，AE AC μ=，则11λμ+=__________；ADE 与ABC 周长之比的取值范围为__________．10．已知O 为△ABC 外接圆的圆心，D 为BC 边的中点，且4BC =，6AO AD ⋅=，则△ABC 面积的最大值为___________.二、单选题11．在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅=（ ） A ．-6B ．-8C ．-9D ．-1212．把函数()sin y x x =∈R 的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）A ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈RB ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈RC ．2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈RD ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R13．已知向量a ，b 夹角为3π，向量c 满足1b c -=且 a b a c b c ++=，则下列说法正确的是（ ） A ．2b c +<B ．2a b +>C ．1b <D ．1a >14．已知(){}|sin ,A y y n n Z ωϕ==+∈，若存在ϕ使得集合A 中恰有3个元素，则ω的取值不可能是（ ） A ．27πB ．25π C ．2π D ．23π15．已知O 是三角形ABC 的外心，若()22AC ABAB AO AC AO m AO AB AC⋅+⋅=，且sin sin B C +=，则实数m 的最大值为（ ）A ．3B ．35C ．75D ．3216．在ABC 中，,E F 分别是,AC AB 的中点，且32AB AC =，若BEt CF<恒成立，则t 的最小值为（ ）A ．34B ．78C ．1D ．5417．已知双曲线22413y x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线右支上一点，满足120MF MF →→⋅=，点N 是线段12F F 上一点，满足112F N F F λ→→=.现将12MF F △沿MN 折成直二面角12F MN F --，若使折叠后点1F ，2F 距离最小，则λ=（ ）A ．15B ．25C ．35D ．4518．已知函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列四个结论： ①4πϕ=②93()2k k N ω=+∈ ③02f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭④直线3x π=-是()f x 图象的一条对称轴其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④19．已知1F 、2F 是椭椭圆和双曲线共有焦点，P 为两曲线的一个公共点，且126F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别1e ，2e ，则1212e e e e +⋅的最大值为 A ．4B ．2C ．83D ．16320．在锐角ABC 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin a b C =，则tan tan tan A B C ++的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8三、解答题21．已知函数()cos f x x =. （1）若,αβ为锐角，()f αβ+= 4tan 3α=，求cos2α及tan()βα-的值；（2）函数()(2)3g x f x =-，若对任意x 都有2()(2)()2g x a g x a ≤+--恒成立，求实数a 的最大值；（3）已知3()()()=2f f f αβαβ+-+，,(0,)αβπ∈，求α及β的值.22．如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD 上划出一个三角形地块APQ 种植草坪，两个三角形地块PAB 与QAD 种植花卉，一个三角形地块CPQ 设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P 在边BC 上，点Q 在边CD 上，记PAB α∠=．（1）当4PAQ π∠=时，求花卉种植面积S 关于α的函数表达式，并求S 的最小值；（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB DQ PQ +=，请探究PAQ ∠是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．23．已知()sin ,2cos a x x =，()2sin ,sin b x x =，()f x a b =⋅ （1）求()f x 的解析式，并求出()f x 的最大值；（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最小值和最大值，并指出()f x 取得最值时x 的值.24．设函数()f x a b =⋅，其中向量(2cos ,1)a x =，(cos ,3sin 2)=+b x x m ； 求：（1）函数的最小正周期和单调递增区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求实数m 的值，使函数()f x 的值域恰为17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.25．如图，长方形ABCD 中，2,3AB BC ==，点,,E F G 分别在线段,,AB BC DA （含端点）上，E 为AB 中点，⊥EF EG ，设AEG θ∠=.（1）求角θ的取值范围；（2）求出EFG ∆周长l 关于角θ的函数解析式()f θ，并求EFG ∆周长l 的取值范围.26．已知函数()sin cos cos 63f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1.（1）求常数a 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间； （3）求使()0f x <成立的实数x 的取值集合. 27．设函数2()cos sin 2f x x a x a =-+++（a ∈R ）． （1）求函数()f x 在R 上的最小值；（2）若不等式()0f x <在[0,]2π上恒成立，求a 的取值范围；（3）若方程()0f x =在(0,)π上有四个不相等的实数根，求a 的取值范围．28．已知函数()sin 23cos2f x x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心坐标； （2）若02πα-<<，()1f α=，求sin 2α的值.29．已知函数()()233cos sin cos 02f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.将函数()y f x =的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象.（1）求ω的值及函数()g x 的解析式； （2）求()g x 的单调递增区间及对称中心30．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的部分图象如图所示，把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图像.（1）当17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域（2）令()=()3F x f x -，若对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立，求m 的最大值【参考答案】一、填空题1．π6∞⎛⎤- ⎥⎝⎦，2．33．1)24．5．②④⑤ 6．①②③7．8,83⎛⎫ ⎪⎝⎭8．⎫⎪⎪⎣⎭9． 3 21,32⎡⎢⎣⎦10．二、单选题 11．A 12．D 13．A 14．A 15．D 16．B 17．C 18．B 19．A 20．D 三、解答题21．（1）72cos 2,tan()2511αβα=--=；（2）265-；（3）3παβ== 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的关系和二倍角的余弦公式可求得cos2α的值，利用二倍角的正切公式、同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式可求解tan()βα-的值；（2）由余弦函数的有界性求得()g x 的值域，再将不等式分离参数，并令()1t g x =-，可得1a t t ≤+对[5,3]t ∈--恒成立.易知函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增，求出其最小值，则可得265a ≤-，从而求得a 的最大值；（3）利用和差化积公式（需证明）以及二倍角公式，将该式化简，配凑成22(2coscos)sin 0222αβαβαβ+---+=，再结合,(0,)αβπ∈，即可求出α及β的值.【详解】 解：（1）4tan 3α=，且α为锐角， 4sin 5α∴=，3cos 5α=，22tan 24tan 21tan 7ααα==--则227cos 2cos sin 25ααα=-=-，又()cos()f αβαβ+=+=,αβ为锐角，sin()αβ∴+=，tan()2αβ+=-， tan()tan[()2]βααβα∴-=+-242()tan()tan 227241tan()tan 2111(2)()7αβααβα---+-===+++-⨯-； （2）()(2)3cos 23[4,2]g x f x x =-=-∈--，2()(2)()2g x a g x a ≤+--对任意x 恒成立，即2()2()2(()1)g x g x g x a -+≤-对任意x 恒成立， 令()1[5,3]t g x =-∈--，211t a t t t+∴≤=+对[5,3]t ∈--恒成立，又函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增，∴当5t =-时，min 126()5t t +=-，265a ∴≤-，则a 的最大值为265-； （3）3()()()2f f f αβαβ+-+=， 即3cos cos cos()2αβαβ+-+= ， cos cos()22αβαβα+-=+coscossinsin2222αβαβαβαβ+-+-=-，cos cos()22αβαββ+-=-coscos+sinsin2222αβαβαβαβ+-+-=，cos cos 2coscos22αβαβαβ+-∴+=，又2cos()2cos12αβαβ++=-，232coscos2cos 12222αβαβαβ+-+∴-+=， 则24cos 4coscos10222αβαβαβ++--+=， 22(2coscos)1cos 0222αβαβαβ+---+-=， 即22(2coscos)sin 0222αβαβαβ+---+=，2cos cos 022sin 02αβαβαβ+-⎧-=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩，又0απ<<，0βπ<<， 3παβ∴==.【点睛】本题考查了同角三角函数间的关系，两角和与差的三角函数公式，二倍角余弦和正切公式，不等式恒成立问题，考查了运算能力和转化能力，属于综合性较强的题. 22．（1）S =⎝⎭花卉种植面积0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦]；最小值为)100001 （2）PAQ ∠是定值，且4PAQ π∠=．【解析】 【分析】（1）根据三角函数定义及4PAQ π∠=，表示出,PB DQ ，进而求得,ABP ADQ S S ∆∆.即可用α表示出S 花卉种植面积，（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，，利用正切的和角公式求得()tan αβ+，由PB DQ PQ +=求得,x y 的等量关系.进而求得()tan αβ+的值，即可求得PAQ ∠的值. 【详解】（1）∵边长为1百米的正方形ABCD 中，PAB α∠=，4PAQ π∠=，∴100tan PB α=，100tan 100tan 244DQ πππαα⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ABP ADQ S S S ∆∆+=花卉种植面积 1122AB BP AD DQ =⋅+⋅11100100tan 100100tan 224παα⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯- ⎪⎝⎭()5000cos sin cos ααα==+⎝⎭，其中0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴当sin 214πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，即8πα=时，S)100001=．（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，， 则100100BP x DQ y =-=-，， 在ABP ∆中，100tan 100x α-=，在ADQ ∆中，100tan 100yβ-=， ∴()()()20000100tan tan tan 1tan tan 100x y x y xyαβαβαβ-+++==-⋅+-，∵PB DQ PQ +=，∴100100x y -+-=100200xyx y +=+， ∴()20000100100100002002tan 1100001001002200xy xyxy xy xy αβ⎛⎫-⨯+-⎪⎝⎭+===⎛⎫-⨯+- ⎪⎝⎭， ∴4παβ+=，∴PAQ ∠是定值，且4PAQ π∠=．【点睛】本题考查了三角函数定义，三角形面积求法，正弦函数的图像与性质应用，正切和角公式的应用，属于中档题.23．（1）()fx 214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1.（2）0x =时，最小值0.38x π=1. 【解析】 【分析】（1）利用数量积公式、倍角公式和辅助角公式，化简()f x ，再利用三角函数的有界性，即可得答案； （2）利用整体法求出32444x πππ-≤-≤，再利用三角函数线，即可得答案. 【详解】（1）()22sin 2sin cos f x x x x =+1cos2sin2x x =-+214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∴sin 214x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，()f x ∴1.（2）由（1）得()214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，32444x πππ∴-≤-≤.sin 214x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭， ∴当244x ππ-=-时，即0x =时，()f x 取最小值0.当242x ππ-=，即38x π=时，()f x 1. 【点睛】本题考查向量数量积、二倍角公式、辅助角公式、三角函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体法的应用.24．（1）T π=，,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k z ∈；（2）12.【解析】 【分析】（1）由数量积的坐标运算可得2()2cos 2f x x x m =+，然后将其化为基本型，即可求出周期和单调递增区间 （2）由02x π≤≤，可得()3m f x m ≤≤+，和题目条件对应即可求出m【详解】（1）∵2()2cos 2f x a b x x m =⋅=+1cos22x x m =++2sin 216x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最小正周期T π=， 可知，当222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈时，函数单调递增，解得：36k x k ππππ-≤≤+，故函数的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k z ∈.（2）∵02x π≤≤，∴72666x πππ≤+≤， ∴1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， ∴()3m f x m ≤≤+， 又17()22f x ≤≤， 故12m =. 【点睛】本题考查的是三角函数的图象及其性质，解决这类问题时首先应把函数化成三角函数基本型.25．（1）[,]63ππ（2）1sin cos ()sin cos f θθθθθ++=，[,]63ππθ∈，EFG ∆周长l 的取值范围为1)]【解析】（1）结合图像可得当点G 位于D 点时，角θ取最大值，点F 位于C 点时，BEF ∠取最大值，角θ取最小值，在直角三角形中求解即可.（2）在Rt ΔEAG 中，求出1cos EG θ=，在Rt ΔEBF 中，求得1sin EF θ=，在Rt ΔGEF 中，根据勾股定理得222FG EF EG =+，从而可得111()cos sin sin cos f θθθθθ=++，通分可得1sin cos ()sin cos f θθθθθ++=，令sin cos t θθ=+，借助三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题意知，当点G 位于D 点时，角θ取最大值，此时tan θ=02πθ<<，所以max 3πθ=当点F 位于C 点时，BEF ∠取最大值，角θ取最小值， 此时=3BEF π∠，所以min 236πππθ=-=故所求θ的取值集合为[,]63ππ （2）在Rt ΔEAG 中，cos AE EG θ=，1AE =，所以1cos EG θ= 在Rt ΔEBF 中，cos cos()2BE BEF EF πθ∠=-=，1BE =，所以1sin EF θ= 在Rt ΔGEF 中，有勾股定理得222FG EF EG =+2222222211sin cos 1sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ+=+== 因为[,]63ππθ∈，所以sin 0,cos 0θθ，1sin cos FG θθ=所以111()cos sin sin cos f EG EF FG θθθθθ=++=++ 所以1sin cos ()sin cos f θθθθθ++=，[,]63ππθ∈ 令sin cos t θθ=+，则21sin cos 2t θθ-= 所以22(1)211t l t t +==-- 因为[,]63ππθ∈，57[,]41212πππθ+∈，所以sin()4πθ+∈所以sin cos )4t πθθθ=+=+∈所以EFG ∆周长l 的取值范围为1)]【点睛】本题考查了三角函数的在平面几何中的应用，主要考查了辅助角公式以及换元法求三角函数的值域，属于中档题.26．（1）1a =-（2）22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（3）422|,3k x k k Z x πππ-+<<∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】（1）化简()f x ，求最大值，即可求解；（2）应用整体思想，结合正弦函数的递增区间，即可得出结论；（3）运用正弦函数图像，即可求解.【详解】 解：()sin coscos sin cos cos sin sin cos 6633f x x x x x x a ππππ=-++++11cos cos cos 22x x x x x a =-+++cos x x a =++12cos 2x x a ⎫=++⎪⎪⎝⎭2sin 6x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）函数()f x 的最大值为21a +=，所以1a =-.（2）由22,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈， 解得222,33k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. （3）由（1）知()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.因为()0f x <，即2sin 106x π⎛⎫+-< ⎪⎝⎭. 所以1sin 62x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 所以722,666k x k k Z πππππ-+<+<+∈. 所以422,3k x k k Z πππ-+<<∈， 所以使()0f x <成立的x 的取值集合为422|,3k x k k Z x πππ-+<<∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换，化简解析式，考查三角函数的性质以及三角不等式，属于中档题.27．（1）2min 2,2;()1,22;422,2.a a f x a a a a >⎧⎪⎪=-++-≤≤⎨⎪+<-⎪⎩（2）(,1)a ∈-∞-（3）12a -<<-【解析】【分析】（1）通过换元法将函数变形为二次函数，同时利用分类讨论的方法求解最大值； （2）恒成立需要保证max ()0f x <即可，对二次函数进行分析，根据取到最大值时的情况得到a 的范围；（3）通过条件将问题转化为二次函数在给定区间上有两个零点求a 的范围，这里将所有满足条件的不等式列出来，求解出a 的范围.【详解】解：（1）令sin x t =，[1,1]t ∈-，则2()()1f x g t t at a ==+++，对称轴为2a t =-． ①12a-<-，即2a >，min ()(1)2f x g =-=． ②112a -≤-≤，即22a -≤≤，2min ()()124a a f x g a =-=-++． ③12a ->，即2a <-，min ()(1)22f x g a ==+． 综上可知，2min 2,2;()1,22;422,2.a a f x a a a a >⎧⎪⎪=-++-≤≤⎨⎪+<-⎪⎩ （2）由题意可知，max ()0f x <，2()()1f x g t t at a ==+++，[0,1]t ∈的图象是开口向上的抛物线，最大值一定在端点处取得，所以有(0)10,(1)220,g a g a =+<⎧⎨=+<⎩故(,1)a ∈-∞-．（3）令sin x t =，(0,)x π∈．由题意可知，当01t <<时，sin x t =有两个不等实数解，所以原题可转化为2()10g t t at a =+++=在(0,1)内有两个不等实数根．所以有201,24(1)0,12(0)10,(1)220,a a a a g a g a ⎧<-<⎪⎪⎪∆=-+>⇒-<<-⎨⎪=+>⎪=+>⎪⎩【点睛】（1）三角函数中，形如2()sin sin f x a x b x c =++或者2()cos cos f x a x b x c =++都可以采用换元法求解函数最值；（2）讨论二次函数的零点的分布，最好可以采用数形结合的方法解决问题，这样很大程度上减少了遗漏条件的可能.28．（1）最小正周期为π，对称中心坐标为(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭；（2）12-. 【解析】【分析】（1）利用辅助角公式先将函数()y f x =的解析式化简，然后利用周期公式计算出函数()y f x =的最小正周期，令()23x k k Z ππ+=∈，解出x 的表达式可得出对称中心坐标；（2）由()1f α=得出1sin 232πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合角α的范围求出α的值，代入sin 2α并结合诱导公式求出sin 2α的值．【详解】（1）()1sin 222sin 222f x x x x x ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭2sin 2cos cos 2sin 2sin 2333x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()y f x =的最小正周期为22ππ=， 令()23x k k Z ππ+=∈，解得()26k x k Z ππ=-∈， 因此，函数()y f x =的对称中心坐标为(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭； （2）()2sin 213f παα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得1sin 232πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 02πα-<<，22333πππα∴-<+<，236ππα∴+=，得26πα=-， 因此，1sin 2sin sin 662ππα⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查三角函数的周期和对称中心，考查三角函数求值，解三角函数问题首先就是要将三角函数解析式化简，在求值时，要利用已知角来配凑未知角，借助同角三角函数的基本关系以及两角和差公式进行计算，考查计算能力，属于中等题．29．（1）1ω=，()2sin()23x g x π=+；（2）单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，对称中心为2(2,0)()3k k ππ-∈Z . 【解析】【分析】 （1）整理()f x 可得：()sin(2)3f x x πω=+，利用其最小正周期为π即可求得：1ω=，即可求得：()sin(2)3f x x π=+，再利用函数图象平移规律可得：()2sin()23x g x π=+，问题得解.（2）令222232x k k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解不等式即可求得()g x 的单调递增区间；令23x k ππ+=，k Z ∈，解方程即可求得()g x 的对称中心的横坐标，问题得解. 【详解】解：（1）1()2sin 2sin(2)23f x x x x πωωω=+=+， 由22ππω=,得1ω=. 所以()sin(2)3f x x π=+. 于是()yg x =图象对应的解析式为()2sin()23x g x π=+. （2）由222232x k k πππππ-≤+≤+,k Z ∈得 54433k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈ 所以函数()g x 的单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 由23x k ππ+=，解得22()3x k k ππ=-∈Z . 所以()g x 的对称中心为2(2,0)()3k k ππ-∈Z . 【点睛】本题主要考查了二倍角公式、两角和的正弦公式应用及三角函数性质，考查方程思想及转化能力、计算能力，属于中档题．30．（1）1,0⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）265-【解析】【分析】（1）根据图象的最低点求得A 的值，根据四分之一周期求得ω的值，根据点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭求得ϕ的值，由此求得函数()f x 的解析式，进而根据图象平移变换求得()g x 的解析式，并由此求得17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()g x 的值域.（2）先求得()f x 的值域，由此求得()F x 的值域.令()[4,2]t F x =∈--对题目所给不等式换元，根据二次函数的性质列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围，由此求得m 的最大值.【详解】（1）根据图象可知171,4123A T ππ==- 2,2,()sin(2)T f x x Tππωϕ∴=∴===+ 代入7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭得，7sin 1,2,63k k Z ππϕϕπ⎛⎫+=-=+∈ ⎪⎝⎭， ||,0,23k ππϕϕ<∴==()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ 把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x ()sin 21sin 21436g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 设26t x π=-，则5,34t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时sin t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以值域为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）由（1）可知()sin 2[1,1]3f x x π⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭ ()()3[4,2]F x f x =-∈--对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立令()[4,2]t F x =∈--，2()(2)2h t t m t m =-+++，是关于t 的二次函数，开口向上则max ()0h t ≤恒成立而()h t 的最大值，在4t =-或2t =-时取到最大值则(2)0(4)0hh-≤⎧⎨-≤⎩，4(2)(2)2016(2)(4)20m mm m-+-++≤⎧⎨-+-++≤⎩，解得103265 mm⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩所以265m≤-，则m的最大值为265-.【点睛】本小题主要考查由三角函数图像求三角函数的解析式，考查三角函数图像变换，考查不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。
高中数学《三角函数的诱导公式》经典练习题及参考答案
三角函数的诱导公式经典练习题一、选择题：1．已知sin(4π+α)=23，则sin(43π-α)值为（ ） A. 21 B. —21 C. 23 D. —23 2．cos(π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为（ ） A. 23 B. 21 C. 23± D. —23 3．化简：)2cos()2sin(21-•-+ππ得（ ）A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.sin2-cos2D.± (cos2-sin2)4．已知α和β的终边关于x 轴对称，则下列各式中正确的是（ ）A.sinα=sinβB. sin(α-π2) =sinβC.cosα=cosβD. cos(π2-α) =-cosβ5．设tanθ=-2, 2π-<θ<0，那么sin 2θ+cos(θ-π2)的值等于（ ）， A. 51（4+5） B. 51（4-5） C. 51（4±5） D. 51（5-4） 二、填空题：6．cos(π-x)= 23，x ∈（-π，π），则x 的值为 ． 7．tanα=m ，则=+-+++)cos(-sin()cos(3sin(απα）απ）απ ． 8．|sinα|=sin （-π+α），则α的取值范围是 ．三、解答题：9．)cos(·3sin()cos()n(s 2sin(απα）παπα）π----+-απi ．10．已知：sin （x+6π）=41，求sin （)67x +π+cos 2（65π-x ）的值．11． 求下列三角函数值：（1）sin3π7；（2）cos 4π17；（3）tan （－6π23）；12． 求下列三角函数值：（1）sin 3π4·cos 6π25·tan 4π5； （2）sin ［（2n +1）π－3π2］.13．设f （θ）=)cos()π(2cos 23)2πsin()π2(sin cos 2223θθθθθ-+++-++-+，求f （3π）的值.参考答案1．C 2．A 3．C 4．C 5．A6．±65π 7．11-+m m 8．[(2k -1) π,2k π] 9．原式=)cos (·sin()cos()n s (sin αα）παπα--+--αi =)cos ?(sin )cos (sin 2αααα--= sinα 10．1611 11．解：（1）sin3π7=sin （2π+3π）=sin 3π=23. （2）cos 4π17=cos （4π+4π）=cos 4π=22. （3）tan （－6π23）=cos （－4π+6π）=cos 6π=23. （4）sin （－765°）=sin ［360°×（－2）－45°］=sin （－45°）=－sin45°=－22. 注：利用公式（1）、公式（2）可以将任意角的三角函数转化为终边在第一象限和第二象限的角的三角函数，从而求值.12．解：（1）sin3π4·cos 6π25·tan 4π5=sin （π+3π）·cos （4π+6π）·tan （π+4π） =（－sin 3π）·cos 6π·tan 4π=（－23）·23·1=－43. （2）sin ［（2n +1）π－3π2］=sin （π－3π2）=sin 3π=23. 13．解：f （θ）=θθθθθcos cos 223cos sin cos 2223++-++ =θθθθθcos cos 223cos cos 1cos 2223++-+-+ =θθθθθcos cos 22)cos (cos 2cos 2223++--- =θθθθθcos cos 22)1(cos cos )1(cos 223++--- =θθθθθθθcos cos 22)1(cos cos )1cos )(cos 1(cos 222++--++- =θθθθθcos cos 22)2cos cos 2)(1(cos 22++++- ＝cos θ－1，∴f （3π）=cos 3π－1=21－1=－21.。
高三数学三角函数试题答案及解析
高三数学三角函数试题答案及解析1.在中,已知,若分别是角所对的边,则的最大值为．【答案】【解析】由正余弦定理得：，化简得因此即最大值为.【考点】正余弦定理,基本不等式2. sin7°cos37°﹣sin83°cos53°的值为（）A．﹣B．C．D．﹣【答案】A【解析】sin7°cos37°﹣sin83°cos53°=cos83°cos37°﹣sin83°sin37°=cos（83°+37°）=cos120°=﹣，故选A．3.三角形ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为(sin A－cos B，cos A－sin C)，则的值是( )A．1B．－1C．3D．4【答案】B【解析】因为三角形ABC是锐角三角形，所以A＋B>90°，即A＞90°－B，则sin A＞sin(90°－B)＝cos B，sin A－cos B＞0，同理cos A－sin C＜0，所以点P在第四象限，＝－1＋1－1＝－1，故选B.4.已知函数则=【答案】【解析】因为函数由需要求的x都是整数，所以当x为奇数时的解析式为，当x为偶数时的解析式为.所以.所以.【考点】1.分段函数的性质.2.归纳推理的思想.3.三角函数的运算.4.等差数列的求和公式.5.若方程有实根，则实数的取值范围为【答案】【解析】由方程得，，即，因为，所以，若方程有实根，则，解得．【考点】方程的根．6.设，将函数在区间内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据三角函数的恒等变换化简，得，再根据三角函数的性质找到极值点，利用等差数列的性质写出数列的通项公式；（2）先根据（1）中的结果写出的通项公式，然后写出的解析式，在构造出，利用错位相减法求，计算量比较大，要细心.试题解析：（1），其极值点为， 2分它在内的全部极值点构成以为首项，为公差的等差数列， 4分所以； 6分（2）， 8分所以，，相减，得，所以. 12分【考点】1、三角函数的恒等变换及化简；2、三角函数的性质的应用；3、等差数列的通项公式；4、错位相减法求数列的前项和；5、等比数列的前项和.7.已知函数d的最大值为2，是集合中的任意两个元素，且的最小值为.（1）求函数的解析式及其对称轴；（2）若，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式、诱导公式、三角函数的最小正周期、单调性等基础知识，考查运算能力.第一问，利用倍角公式化简表达式，先利用周期求出，再求最值，通过解方程求出，确定了解析式后求正弦函数的对称轴；第二问，通过角之间的关系转化角，考查诱导公式和倍角公式.试题解析：（1），由题意知：的周期为，由，知 2分由最大值为2，故，又， 4分∴ 5分令，解得的对称轴为 7分（2）由知，即， 8分∴ 10分12分【考点】1.倍角公式；2.两角和与差的三角函数；3.函数的周期；4.函数的对称轴.8.是偶函数，，则 .【答案】【解析】，，所以，因为为偶函数，所以对任意的，都有即成立，又，所以.【考点】三角函数的恒等变换，偶函数.9.已知方程在上有两个不同的解、，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于方程在上有两个不同的解、，即方程在上有两个不同的解、，也就是说，直线与函数在轴右侧的图象有且仅有两个交点，由图象可知，当时，直线与曲线相切，且切点的横坐标为，当时，，则，故，在切点处有，即，，两边同时乘以得，，故选C.【考点】1.函数的零点；2.函数的图象；3.利用导数求切线的斜率10.将函数图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将函数的图像按题中要求变换后得到函数的图像，令，则，当时，.【考点】1.三角函数的变换；2.三角函数图象的对称轴.11.函数f(x)=sin+ACos(＞0)的图像关于M(,0)对称,且在处函数有最小值,则的一个可能取值是( )A．0B．3C．6D．9【答案】D【解析】根据题意：相邻对称点与最小值之间可以相差也可以是不妨设为：＝，可以为９，故选D.【考点】三角函数的最值；正弦函数的对称性．12.已知函数，（1）求的值；（2）若，且，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直接将代入计算即可；（2）用二倍角的正弦、余弦公式化简，再将正弦、余弦合为同一个的三角函数；根据已知条件，求出的值.试题解析：(1)(2)因为，且，所以，所以【考点】1、三角恒等变换；2、三角函数的基本运算.13.已知函数的最小正周期为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）讨论在区间上的单调性.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当，即时，单调递增；当，即，单调递减.【解析】（1）由题意，所以由（1）知若，则当，即时，单调递增；当，即，单调递减.第（1）题根据三角函数的和差化简，二倍角公式以及辅助角公式，最后化成的形式，利用确定的值；第（2）题用整体法的思想确定的单调性，再反求出在指定范围内的单调性.本题属简单题.【考点】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度.14.已知函数若方程有三个不同的实根，且从小到大依次成等比数列，则m的值为 .【答案】【解析】设三个根由小到大依次为，结合余弦函数图像可知关于直线对称，关于直线对称，代入计算得【考点】三角函数图像及性质点评：题目中主要结合三角函数图像的轴对称性找到三根之间的联系15.已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，即，，所以，=，故选B。
三角函数公式练习题及答案详解
三角函数公式1． 同角三角函数基本关系式sin 2α＋cos 2α=1sin αcos α=tan α tan αcot α=12． 诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限)（一） sin(π－α)＝___________ sin(π+α)＝ ___________cos(π－α)＝___________ cos(π+α)＝___________tan(π－α)＝___________ tan(π+α)＝___________sin(2π－α)＝___________ sin(2π+α)＝___________cos(2π－α)＝___________ cos(2π+α)＝___________tan(2π－α)＝___________ tan(2π+α)＝___________（二） sin(π2 －α)＝____________ sin(π2+α)＝____________ cos(π2 －α)＝____________ cos(π2+α)＝_____________ tan(π2 －α)＝____________ tan(π2+α)＝_____________ sin(3π2 －α)＝____________ sin(3π2+α)＝____________ cos(3π2 －α)＝____________ cos(3π2+α)＝____________ tan(3π2 －α)＝____________ tan(3π2+α)＝____________ sin(－α)＝－sin α cos(－α)=cos α tan(－α)=－tan α公式的配套练习sin(7π－α)＝___________ cos(5π2－α)＝___________ cos(11π－α)＝__________ sin(9π2+α)＝____________ 3． 两角和与差的三角函数cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin βcos(α－β)=cos αcos β＋sin αsin βsin (α+β)=sin αcos β＋cos αsin βsin (α－β)=sin αcos β－cos αsin βtan(α+β)= tan α+tan β1－tan αtan βtan(α－β)=tan α－tan β1＋tan αtan β 4． 二倍角公式sin2α=2sin αcos αcos2α=cos 2α－sin 2α＝2 cos 2α－1＝1－2 sin 2αtan2α=2tan α1－tan 2α5． 公式的变形（1） 升幂公式：1＋cos2α＝2cos 2α 1—cos2α＝2sin 2α（2） 降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2 sin 2α＝1－cos2α2（3） 正切公式变形：tan α+tan β＝tan(α+β)（1－tan αtan β）tan α－tan β＝tan(α－β)（1＋tan αtan β)（4） 万能公式（用tan α表示其他三角函数值）sin2α＝2tan α1+tan 2α cos2α＝1－tan 2α1+tan 2α tan2α＝2tan α1－tan 2α6． 插入辅助角公式asinx ＋bcosx=a 2+b 2 sin(x+φ) (tan φ= b a) 特殊地：sinx ±cosx ＝ 2 sin(x ±π4) 7． 熟悉形式的变形（如何变形）1±sinx ±cosx 1±sinx 1±cosx tanx ＋cotx1－tan α1＋tan α 1＋tan α1－tan α若A 、B 是锐角，A+B ＝π4 ，则（1＋tanA ）(1+tanB)=2 cos αcos2αcos22α…cos2 n α= sin2 n+1α 2 n+1sin α8． 在三角形中的结论（如何证明）若：A ＋B ＋C=π A+B+C 2 =π2tanA ＋tanB ＋tanC=tanAtanBtanCtan A 2 tan B 2 ＋tan B 2 tan C 2 ＋tan C 2 tan A 2＝19．求值问题（1）已知角求值题如：sin555°（2）已知值求值问题常用拼角、凑角如：1）已知若cos(π4 －α)＝35 ，sin(3π4 ＋β)＝513， 又π4 <α<3π4 ,0<β<π4,求sin(α＋β)。
(完整版)高考三角函数经典解答题及答案
(完整版)高考三角函数经典解答题及答案1. 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，且 a²+c²-b²=(1) 求 sin²(2A+C)+cos²B 的值；(2) 若 b=2，求△ABC 面积的最大值。
解：(1) 由余弦定理：cosB=(a²+ c²- b²)/(2ac)=4/√115，得sinB=√(1-cos²B)=3√(23)/23。
由正弦定理sin²(2A+C)+cos²B=4sin²B+cos²B=13/23。
2. 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且bcosC=3acosB-ccosB。
(I) 求 cosB 的值；(II) 若 BA·BC=2，且b=√2，求 a 和 c·b 的值。
解：(I) 由正弦定理得 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则 2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即 sin(B+C)=3sinAcosB，可得 sinA=3sinAcosB/sinB。
又sinA≠0，因此 cosB=1/3。
3. 已知向量 m=(sinB,1-cosB)，向量 n=(2,k)，且 m 与 n 所成角为π/3，其中 A、B、C 是△ABC 的内角。
(1) 求角 B 的大小；(2) 求 sinA+sinC 的取值范围。
解：(1) ∠m与∠n所成角为π/3，且 m·n=2sinB+ k(1-cosB)=2√3/2cosB+k√(1-cos²B)，又 m·n=2cosB+k(1-cosB)，解得 k=4/3。
(完整版)高中数学-三角函数诱导公式练习题与答案
三角函数定义及诱导公式练习题代数式sin 120o cos21C °的值为（A.6 .已知 tan( ) 4 A 、4B5A. B. C. D.2. tan120 A.、.3.■■ 3贝U sin a+ cos a 等于()7 5a 的终边经过点 B.753. A.154. 已知扇形的面积为2cm,扇形圆心角B 的弧度数是4,则扇形的周长为（ 已知角 (3a ,— 4a)(a <0), C . -15D .(A)2cm(B)4cm (C)6cm (D)8cm5 .已知f ()cos(— 2 cos(3 )si n()2，则 f( )tan()25§ ）的值为（3“)，则sin( ?)10. (14分)已知tan a =—，求证: /八 sin a cosa ⑴ 二_ _ ；sin a cosa(2)sin 2 a+ sin a COS a = - .11 .已知 tan 2.(1)求 3sin 一2CO 二的值; sin coscos( )cos( )sin()⑵求品盘窗勺的值;(3)若 是第三象限角，求cos 的值. 312.已知 sin ( a — 3n ) = 2cos( a — 4n )，求 si (2si n— — si n(—二)+ 5cos (2 —3-的值. )f(25 )=cos 325 325 =cos- 3 = cos 8 1 —=cos —= 3 3 2参考答案1. B【解析】 试题分析：180°，故1200 -.3考点：弧度制与角度的相互转化•2. A.【解析】试题分析：由诱导公式以可得，sin 120 ° cos210° =sin60 ° x (-cos30 ° )=- ^ x2十3,选A.考点：诱导公式的应用. 3. C【解析】试题分析：本题主要考查三角诱导公式及特殊角的三角函数值.由tan120 tan(18060 ) tan 603，选 C.考点：诱导公式• 4. A【解析】 试题分析：r 55 , sin —-, cos -, sin cos r 55考点：三角函数的定义 5. C【解析】设扇形的半径为R,则错误！未找到引用源。
高中数学三角函数公式练习(答案)
高中数学三角函数公式练习(答案)1.sin(29π/6)的值为（）A。
-1133B。
-C。
D。
2222答案】C解析】考点：任意角的三角函数2.已知sin(α-π/4)=7/√5301，cos2α=71/2525，sinα=5/13，求cosα的值。
A。
-/6662B。
-1025/4433C。
-727/5555D。
5555/2553答案】D解析】考点：两角和与差的三角函数，二倍角公式3.cos690°的值为（）A。
-1133B。
C。
-2222D。
-答案】C解析】考点：三角函数的诱导公式4.tan(π/3)的值为（）A。
-33B。
C。
3D。
-333答案】C解析】考点：三角函数的求值，诱导公式5.若-π<β<α<π，且cos(β+π/4)=5/√5301，则cos(α+β)的值为（）A。
-B。
-3399C。
D。
-答案】C解析】考点：诱导公式，三角函数的化简求值。
6.若角 $\alpha$ 的终边在第二象限且经过点 $P(-1,3)$，则$\sin\alpha$ 等于 $\dfrac{3}{2}$。
7.$\sin7^\circ\cos37^\circ-\sin83^\circ\cos53^\circ$ 的值为$-\dfrac{1}{3}$。
8.已知 $\cos(-x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，那么 $\sin2x=-\dfrac{1}{2}$。
9.已知 $\sin\dfrac{5\pi}{2}+\alpha=\dfrac{1}{23}$，则$\cos2\alpha=-\dfrac{5}{9}$。
10.已知 $\sin(\dfrac{\pi}{2}+a)=\dfrac{1}{27}$，则$\cos2a=-\dfrac{1}{9}$。
11.已知点 $P(\tan\alpha,\cos\alpha)$ 在第三象限，则角$\alpha$ 在第二象限。
12.已知 $\alpha$ 是第四象限角，$\tan\alpha=-\dfrac{5}{22}$，则 $\sin\alpha=-\dfrac{12}{13}$。
三角函数公式汇总及练习题
三角函数公式汇总及练习题一、倍角公式1、Sin2A=2SinA*CosA2、Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-13、tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）（注：SinA^2是sinA的平方sin2（A））向左转|向右转二、降幂公式1、sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/22、2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/23、tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))三、推导公式1、1tanα+cotα=2/sin2α2、tanα-cotα=-2cot2α3、1+cos2α=2cos^2α4、、4-cos2α=2sin^2α5、1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina四、两角和差1、1cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ2、cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ3、sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ4、4tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)5、tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)五、和差化积1、sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]2、sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]3、cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]4、cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]5、tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)六、积化和差1、sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/22、sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/23、cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2七、诱导公式1、(-α)=-sinα、cos(-α)=cosα2、tan(—a)=-tanα、sin(π/2-α)=cosα、cos(π/2-α)=sinα、sin(π/2+α)=cosα3、3cos(π/2+α)=-sinα4、(π-α)=sinα、cos(π-α)=-cosα5、5tanA=sinA/cosA、tan（π/2＋α）＝－cotα、tan（π/2－α）＝cotα6、tan（π－α）＝－tanα、tan（π＋α）＝tanα八、锐角三角函数公式1、sinα=∠α的对边/斜边2、α=∠α的邻边/斜边3、tanα=∠α的对边/∠α的邻边4、cotα=∠α的邻边/∠α的对边例1下列说法中，正确的是[]A.第一象限的角是锐角B.锐角是第一象限的角C.小于90°的角是锐角D.0°到90°的角是第一象限的角【分析】本题涉及了几个基本概念，即“第一象限的角”、“锐角”、“小于90°的角”和“0°到90°的角”.在角的概念推广以后，这些概念容易混淆.因此，弄清楚这些概念及它们之间的区别，是正确解答本题的关键.【解】第一象限的角可表示为{θ|k·360°<θ<90°+k·360°，k∈Z｝，锐角可表示为{θ|0°<θ<90°｝，小于90°的角为{θ|θ<90°｝，0°到90°的角为{θ|0°≤θ<90°｝.因此，锐角的集合是第一象限角的集合当k=0时的子集，故(A)，(C)，(D)均不正确，应选(B).例2(90°-α)分别是第几象限角?【分析】由sinα·cosα<0，所以α在二、四象限;由sin α·tanα<0，所以α在二、三象限.因此α为第二象限的角，然后由角α的【解】(1)由题设可知α是第二象限的角，即90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z)，的角.(2)因为180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z)，所以2α是第三、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角.(3)解法一：因为90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z)，所以-180°-k·360°<-α<-90°-k·360°(k∈Z).故-90°-k·360°<90°-α<-k·360°(k∈Z).因此90°-α是第四象限的角.。
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三角函数公式
1． 同角三角函数基本关系式
sin 2α＋cos 2α=1
sin αcos α
=tan α tan αcot α=1
2． 诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限)
（一） sin(π－α)＝___________ sin(π+α)＝ ___________
cos(π－α)＝___________ cos(π+α)＝___________
tan(π－α)＝___________ tan(π+α)＝___________
sin(2π－α)＝___________ sin(2π+α)＝___________
cos(2π－α)＝___________ cos(2π+α)＝___________
tan(2π－α)＝___________ tan(2π+α)＝___________
（二） sin(π2 －α)＝____________ sin(π2 +α)＝____________
cos(π2 －α)＝____________ cos(π2 +α)＝_____________
tan(π2 －α)＝____________ tan(π2 +α)＝_____________
sin(3π2 －α)＝____________ sin(3π2 +α)＝____________
cos(3π2 －α)＝____________ cos(3π2 +α)＝____________
tan(3π2 －α)＝____________ tan(3π2 +α)＝____________
sin(－α)＝－sin α cos(－α)=cos α tan(－α)=－tan α
公式的配套练习
sin(7π－α)＝___________ cos(5π2 －α)＝___________
cos(11π－α)＝__________ sin(9π2 +α)＝____________
3． 两角和与差的三角函数
cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β
cos(α－β)=cos αcos β＋sin αsin β
sin (α+β)=sin αcos β＋cos αsin β
sin (α－β)=sin αcos β－cos αsin β
tan(α+β)= tan α+tan β1－tan αtan β
tan(α－β)=
tan α－tan β1＋tan αtan β 4． 二倍角公式
sin2α=2sin αcos α
cos2α=cos 2α－sin 2α＝2 cos 2α－1＝1－2 sin 2α
tan2α=2tan α1－tan 2α
5． 公式的变形
（1） 升幂公式：1＋cos2α＝2cos 2α 1—cos2α＝2sin 2α
（2） 降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2 sin 2α＝1－cos2α2
（3） 正切公式变形：tan α+tan β＝tan(α+β)（1－tan αtan β） tan α－tan β＝tan(α－β)（1＋tan αtan β)
（4） 万能公式（用tan α表示其他三角函数值）
sin2α＝2tan α1+tan 2α cos2α＝1－tan 2α1+tan 2α tan2α＝2tan α1－tan 2α
6． 插入辅助角公式
asinx ＋bcosx=a 2+b 2 sin(x+φ) (tan φ= b a )
特殊地：sinx ±cosx ＝ 2 sin(x ±π4 )
7． 熟悉形式的变形（如何变形）
1±sinx ±cosx 1±sinx 1±cosx tanx ＋cotx 1－tan α1＋tan α 1＋tan α1－tan α
若A 、B 是锐角，A+B ＝π4 ，则（1＋tanA ）(1+tanB)=2
cos αcos2αcos22α…cos2 n α= sin2 n+1α 2 n+1sin α
8． 在三角形中的结论（如何证明）
若：A ＋B ＋C=π A+B+C 2 =π2
tanA ＋tanB ＋tanC=tanAtanBtanC
tan A 2 tan B 2 ＋tan B 2 tan C 2 ＋tan C 2 tan A 2 ＝1
9．求值问题
（1）已知角求值题
如：sin555°
（2）已知值求值问题
常用拼角、凑角
如：1）已知若cos(π4 －α)＝35 ，sin(3π4 ＋β)＝513 ，
又π4 <α<3π4 ,0<β<π4 ,求sin(α＋β)。
2）已知sin α+sin β=35 ,cos α+cos β=45 ,求cos(α－β)的值。
（3）已知值求角问题
必须分两步：1）求这个角的某一三角函数值。
2）确定这个角的范围。
如：．已知tan α= 17 ,tan β= 13 ,且αβ都是锐角，求证：α＋2β＝π4
10．满足条件的x 的集合
sinx>cosx ________________________________
sinx<cosx _________________________________
|sinx|>|cosx| __________________________________
|sinx|<|cosx| __________________________________
11．三角函数的图像与性质
y=sinx 的图像与性质是关键
y=Asin(ωx ＋φ)的性质都仿照y=sinx 来做，注意在求其单调性的时候遵循“同增异减”（保证一定要在定义域范围讨论）。