江苏省淮州中学高一三月学情调查

江苏省淮州中学高一三月学情调查数学学科卷一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，计70分) 1.cos670cos370+sin670sin370=2.化简35tan 95tan 335tan 95tan --=3. △ABC 中，cos cos cos a b cA B C ==，则△ABC 的形状一定是4.已知△ABC 中，4a =，b =B ＝60°，则∠A 等于5.在数列{a n }中，1332n n a a +=+，且247920a a a a +++=，则10a =6.等差数列}{n a 的前10项和为10，前20项和为30，那么它的前30项和为7.在锐角△ABC 中，若3,4==b a ，则边长c 的取值范围是_____ ___8．在等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使前n 项和S n 取最大值的正整数n = _ _9.=-0020cos 20sin 10cos 2__________ 10．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________11.等差数列{a n }的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为22∶18，则公差d =12.已知ABC ∆ 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________13.方程=(1sin )(1cos )()m x x x R ++∈恒有解，则m 得取值范围是 14.在△ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

) 15.在等差数列}{n a 中，（1）已知6915=9,=6,a a 求a ；（2）已知69=9,=6s s ，求15s16.已知：54)sin(,31)4cos(,20=+=-<<<<βαπβπβπα． （1）求β2sin 的值； （2）求)4cos(πα+的值．17.已知数列}{n a 满足212+++=n n n a a a （n=1,2,3,………）,它的前n 项和为n S ，且53=a ，6S =24．（1）求n a ；(2)求数列{|a n |}的前n 项和T n .18.三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c （1） 若c b a ∙=-+222，求角C 的大小；（2） 若 223212cos a b C -=，求CA tan 1tan 1+的值。

19.在锐角ABC ∆中，内角A B C 、、的对边的边长为a b c 、、，且c o s (2)c ob C ac B =- （1）求角B 的大小；（2）若22cos cos ,y A C =+求y 的取值范围．20、从某城市中心A 出发的两条公路21,l l ，1l 向正西方向，2l 向正西偏南60方向。

现要铺设一条20公里的乡村公路PQ 连接1l 和2l ，P 在1l 上，Q 在2l 上。

（1）若要使三条公路所围成的三角形APQ 面积最大，求P ，Q 离市中心A 的距离。

（2）若要使公路PQ 经过某小镇E ，且E 在市中心的正西偏南30方向上，AE=30公里，求此时三角形APQ 的面积。

江苏省淮州中学高一三月学情调查数学参考答案1 2、等边三角形 3、3 4、30° 5、8 6、607、 8、5或6 9、3 10、⎝⎛⎦⎤83，3 11、8 12、13、m ≥0 14、3415、解：(1)由a 6=9及a 9=6得a 1+5d=6及a 1+8d=9解得a 1=14，d=-1a 15=a 1+14d=0………………7分(2)由s 6=9及s 9=6得6 a 1+15d=9及9 a 1+36d=6解得a 1=269d=-59s 15=-15………………7分(此题多法，对应给分) 16、解：（1）方法一：31)sin (cos 22)4cos(=+=-ββπβ， 32sin cos =+∴ββ ………………3分 922sin 1=+∴β.972sin -=∴β。

………………6分方法二：971)4(cos 2)22cos(2sin 2-=--=-=πββπβ。

………………6分（2）330,,244422ππππππαβπβαβ<<<<∴<-<<+<Q 。

………………8分 14cos(),sin()435πβαβ-=+=Q3sin(),cos()435πβαβ∴-=+=- ………………………10分15328)]4()cos[()4cos(-=--+=+∴πββαπα………………14分17、解：（1）由条件得a 1=9，d=-2……………4分=n a ∴-2n+11……………6分（2）令b n =|a n |,则当n ≤5时，b n =|a n |=11-2n,s n =2(9+11-2)=10-2nn n n ……………9分 当n ≥6时，b n =|a n |=2n=11, s n =25+2-5(1+2-11)=-10+502n n n n …………12分22-+10,5=-10+50,6n n n n s n n n ⎧≤∴⎨≥⎩……………14分18、解：（1）由余弦定理可知C ab C ab cos cos 2= ………………3分0cos =∴C ……………………………… 5分 又ππ=∴<<C C ，0 ……………………………… 7分 （2）CA C A C A C A C A C C A A C A sin sin )sin(sin sin cos sin sin cos sin cos sin cos tan 1tan 1+=+=+=+…10分 2232cos 21b C a =-Q ，由二倍角和正弦定理得，AB C 222sin sin 16sin =…12分 A C A A B C sin )sin(4sin sin 4sin +==∴， 41sin sin )sin(=+∴C A C A ………… 14分故41tan 1tan 1=+C A ……………………………………… 16分19、解：（1）由正弦定理可得：B C B A C B cos sin cos sin 2cos sin -=…………2分即B A A C B cos sin 2sin )sin(==+， ………………4分 因为π<<A 0，所以0sin ≠A ， 21cos =∴B ，3π=∴B 。

………………6分 （2）由（1）知32π=+C A ，则221cos cos (cos 2cos 2)1214[cos 2cos(2)]123y A C A C A A π=+=++=+-+ ………………8分1)32cos(211)2sin 232cos 21(21++=+-=πA A A ………………10分 ABC Q<为锐角三角形，20,0<232A A πππ∴<<-<,62A ππ∴<< 62A ππ<<Q，23A ππ∴<<, 242333A πππ∴<+<………………12分 则11cos(2)32A π-≤+<- ………………14分所以y 的取值范围为13[,)24………………16分20、解：（1）设θθ-=∠=∠120,AQP APQ ，则 60sin 20sin )120sin(==-ϑϑAQ AP 。

4分AP ∙AQ=)120sin(sin ϑϑ-=)302sin(2141 -+ϑ。

6分60=ϑ时 ，APQ S ∆最大，即AQ=AP=20公里。

8分 （2）在三角形APQ 中，设AP=a, AQ =b. 则30sin sin PEP AE =，30sin sin EQ Q AE =，两式相加的30,40sin sin ==+AE QAEP AE 。

10分 又60sin 20sin sin ==P AQ Q AP3040)11(340sin 1sin 1=+=+b a P Q 。

12分 ab b a 101=+。

14分 又有余弦定理得 2060cos 2222ab b a =+= ab ab ab b a 3)(1013)(40022-=-+= 解得 80=ab ，此时三角形APQ 面积为320.。

16分11.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C =∵8=5b c ,由正弦定理得8sin =5sin B C ,又∵=2C B ,∴8sin =5sin 2B B ,所以8sin =10sin cos B B B ,易知sin 0B ≠,∴4cos =5B ,2cos =cos 2=2cos 1C B B -=725.14．设α为锐角,若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则)122sin(π+a 的值为___ _. ∵α为锐角,即02<<πα,∴2=66263<<πππππα++. ∵4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,∴3sin 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴3424sin 22sin cos =2=3665525αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .∴7cos 2325απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12343434a a a a πππππππ⎛⎫⎛⎫++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭247=252252⋅-. 18.（本小题共15分）如图，小岛A 在港口P 的南偏西60°方向，距离港口81 n mile 处．甲船从A 出发，沿AP 方向以9 n mile /h 的速度驶向港口，乙船从港口P 出发，沿南偏东75°方向，以9 2 n mile /h 的速度驶离港口．现两船同时出发，（1）出发后3 h 两船之间的距离是多少？（2）出发后几小时乙船在甲船的正东方向？ 解：（1）设出发后3h 甲船到达C 点，乙船到达D 点，PD ＝272．由题意，可知∠CPD ＝135°．在△PCD 中，CD 2＝PC 2＋PD 2－2 PC ·PDcos ∠ ＝542＋(272)2－2×54×272×(－22)＝272×10＝7290． 所以CD ＝2710．………………………………………6分 所以出发后3h 两船相距2710 n mile ．…………………7分（2）设出发后xh 乙船位于甲船的正东方向，此时甲船到达E 点，乙船到达F 点，则∠PEF ＝30°，∠PFE ＝15°，PE ＝81－9x ，PF ＝92x ． 在△PEF 中，PE sin ∠PFE ＝PFsin ∠PEF．即81－9x sin15°＝92x sin30°．………………14分解得x ＝33．…………………………………………………………………16分答：出发后3h 两船相距2710 n mile ，出发后33h 乙船在甲船的正东方向． (16)分设三角形的三边长分别为4,,4a a a -+，最大角为θ，由余弦定理得222(4)(4)2(4)cos120a a a a a +=+--- ，则10a =，所以三边长为6,10,14.△ABC的面积为1610sin1202S =⨯⨯⨯=已知数列{}n a 满足10a =，1n n a a n +=+，则 2．45【解析】1n n a a n +-=,101213221109()()()()a a aa a a a a a a =+-+-+-++-已知函数()2cos sin 222xx x f x =-．（1）设ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()1f θ=，求θ的值；（2）在△ABC 中，AB =1，()1f C ，且△ABC，求sin A +sin B 的值．19.（1）2()2sin cos 222x x xf x =-cos )sin x x +-=()π2cos 6x +．由()π2cos 16x +，得()π1cos 62x +=，于是ππ2π()63x k k +=±∈Z ，因为ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ26x =-或． （2）因为(0π)C ∈，，由（1）知π6C =． 因为△ABC1πsin 26ab =，于是ab = ①在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b . 由余弦定理得2222π12cos66a b ab a b =+-=+-，所以227a b +=． ② 已知圆内接四边形ABCD 中，,4,6,2====CD AD BC AB (1)连接BD,设y BD =,θ=∠A ，请将y 表示为θ的函数；(2)求四边形ABCD 的面积. 17.(1)θcos 1620-=y ＝θcos 452-；（2）38=ABCD S . (书P17练习第12题)⒖（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列．（1）若AB →·BC →＝－32，b ＝3，求a ＋c 的值； （2）求2sin A －sin C 的取值范围．⒖解：1）因为A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝π3．∵AB →·BC →＝－32，∴accos(π－B )＝－32，∴12ac ＝32，即ac ＝3．∵b ＝3，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴a 2＋c 2－ac ＝3，即(a ＋c )2－3ac ＝3．∴(a ＋c )2＝12，所以a ＋c ＝23． …………………7分DCBA（2）2sinA －sinC ＝2sin(2π3－C)－sinC ＝2(32cosC ＋12sinC)－sinC ＝3cosC ．∵0＜C ＜2π3，∴3cos C ∈(－32，3)．∴2sinA －sinC 的取值范围是(－32，3)．18．（本小题满分15分）某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米。