动量与角动量2

方向： 方向： ⊙
L md (V V ) m( L d )(V V )
⊙ 方向：
2．力对参考点的力矩
M
M r F
力矩的大小：
0
r
P
F

M rF sin
力矩的方向：
由右手螺旋法则确定，垂直于 r和 F 确定的平面。
单位： N m
3）单位：Kg · m2· s-1
如果质点绕参考点O作圆周运动
p
o
L r p mvr
方向： ⊙
r
θ
例 A和B是两个滑冰者，质量都是m，且都以速度 V 沿着互相平行的直线相对滑行，两条平行直线间距 为L。第三个滑冰者C，在与A 、B滑行的直线平行的 另一直线上，以V′的速度滑行。C的滑行直线与B的滑 行直线相距为d，三条滑行直线在同一平面内，如图。 当A、B、C三人在垂直滑行线的同一直线上时，若C 与B同方向运动如图（a）所示，A和B相对C的总角动 量大小为多少？若 C与B 反方向运动如图（b）所示， A和B相对C的总角动量大小为多少？
或：L2 L1
质点所受的合外力对某固定点的力矩为零时， 质点对该点的角动量守恒。
讨论
1） M r F 0
F 0
F
力心
r
F
r
r // F
2）有心力：运动质点所受的力总是通过一个固定点。 质点对力心的 特征： r // F , L 恒矢量 ! 角动量永远守恒！ 3） 质点对某点的角动量守恒，对另一点不一定守恒。
二、质心
质量中心
z
mi
1. N个质点的系统（质点系） 质心的位置矢量
m2 ri
rC
rc
mi ri
i 1 N
N
m
i 1

mi ri
i 1
N
m1 r1
O x
N
N
m
y
i
分量式： xc
m x
i 1 i
N
i
m
yc
m y
i 1 i
i
m
zc
m z
i 1
dx
解： 取坐标轴如图示。
xc
xdm m
o x
x
在距原点x处取长为dx的小段， l x x 0 dx x dx xdm 0 2 l l xc l x 3 dx dm 0 0 l dx
例 已知一均匀半圆环半径为 R，质量为M。
求它的质心位置 。
dm所受的摩擦力
df
df mdmg
方向： df r ，与转动方向相反
dm所受的摩擦力矩
dm

dM rdf sin rmdmg m mgr dr l 方向：
m 1 M gmr dr mgml 0 l 2
l
r df dr
所有dM方向相同，则杆所受总摩擦力矩
★ 动量为 p 的质点对惯性系中一点o的角动量：
L r p r mv
0
L
mv
大小：rmv sin （ 是r 与v间的夹角）
r

方向： 与 r mv 相同
（满足右手螺旋法则）
★ 注意：
1）角动量与转轴以及参照系均有关系。
2）注意角度θ的取法。
总质量 线分布 dm dr 总长度
dm
总质量 面分布 dm ds 总面积 总质量 体分布 dm dV 总体积
说明：
1. 质心是一个点，一个可以“代表”整个物体运动的 点；这个点的位置与物体质量分布有关。就是当我们把实 际物体看作质点来处理问题时，质量应该全部集中的点。 2. 同一物体选取不同坐标系则质心坐标数值不同，但 是质心相对物体的位置是固定的，只与质量分布有关，不 随坐标系选择而变化。但质心不一定在物体上。 3. 质量均匀的物体质心在几何中心。 4.质心与重心不是一个概念。 质心： 物体质量分布中心，由物体质量分布确定。 重心： 地球对物体各部分引力的合力的作用点。
mab k
i i 0
j j 0
i j k
分散力矩的计算：
1. 集中力 （力集中在一点） M r F
2. 分散力（力分散在一区域内） M r F 元力矩 dM r dF
总力矩 M dM rdF sin
r 2 M r F r ( m r )
2
dv 2 2 a a cos t i b sin t j dt
质点对原点的角动量
L r mv
0
L m(a cos t i b sin t j ) ( a sin t i b cos t j )
方向： 方向： ⊙ 方向：
L m( L d )(V V ) md(V V )
L rAC mVAC rBC mVBC
(b)
A V
B
C
V
rAC m V AC m ( L d )(V V ) rBC m VBC md (V V )
A V A
L
B
C
B
V
d
V
C
V
(a )
(b)
解：A和B相对C的总角动量
L rAC mVAC rBC mVBC
V
(a)
A
L
d
B
C
V
rAC m V AC m ( L d )(V V )
rBC m VBC md (V V )
例：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。
y
（x1，y1）
o
x2
x
解：
mx1 mx2 x1 x 2 xc 3m 3
my1 y1 yc 3m 3
例 长为l 的细杆的密度按关系式 ＝0 x/l 随x而变 化，其中x是从杆的一端算起的距离，0为常量，试 求该细杆质心的位置。
例 唱机的转盘绕着通过盘心的固定竖直轴转 动，唱片放上去后将受转盘的摩擦力作用而随 转盘转动。设唱片可以看成是半径为R的均匀圆 盘，质量为m ，唱片和转盘之间的滑动摩擦系 数为mk 。如果转盘原来以角速度 匀速转动， 问唱片刚放上去时所受的摩擦力矩有多大？ 解：摩擦力分布在整个圆盘上，因此
M r F
建坐标系如图， 任取弧长dl，其质量dm 解：
dm = dl M Rd
πR
y
d
dm
O

x Rcos y Rsin
ydm 0 yc M
π
M Rsin Rd 2 R πR M π
x
xc 0
（几何对称性）
2. 质心运动定理
rc
mi 运动定理
说明：
（1）质心的运动：在质心的位置处有一个质点，该质点集 中整个系统质量，并集中系统受的外力。 （2）质心运动状态取决系统所受外力，内力不能使质心产 生加速度。质心的运动可能相当简单。 （3）当一质点系所受合外力为零时，其质心速度不变—— 系统动量守恒。
i i
m
质量连续分布的系统的质心位置
z
N i 1 rc m
lim ri mi
N
N

r dm m
O
i
r
xdm
m
x
dm
y
xc
yc
x m
i 1
N
i
m

y m
i 1 i
i
分量：
zc
z m
i 1 i
N
m
i
ydm m
m
zdm m
例 一质量为M的质点沿着一条空间曲线运动，该曲 线在直角坐标系下的定义式为
r a cos t i b sin t j
其中 a 、 b 、 皆为常数，则此质点所受的对原点的力矩 M ? 该质点对原点的角动量 L ?
解：质点所受的对原点的力矩 M r F F ma dr v a sin t i b cos t j dt
2 m k mgR 3
3. 质点的角动量定理 质点的角动量 L 随时间的变化率为
dL d r p dr dp pr dt dt dt dt dp dr F p v p 0 dt dt dL dL r F 或： M dt dt
简单的质心运动
质心系 ——质点系的质心在其中静止的平动参考系。
z'
z
ri ri rc
r'i ri
y mi
rc x'
y'
N mi (ri rc ) mi ri ' 0 i 1 i 1
N
' mi v i 0
i 1
N
x
零动量参照系
例：水平桌面上拉动纸，纸张上有一静止均匀球， 球的质量M，纸被拉动时与球的摩擦力为F，求：t 秒后球相对桌面移动多少距离？
y . o
ac
解： F Ma c
F ac M
x
1 F 2 xc Mac t t 2M
2
例 质量m的人站在质量M长度l的船头，开始船静止，当 人从船头走到船尾，求人和船各移动的距离(相对岸）。
解： 在水平方向上，外力为零，则
dv cx acx 0 dt mx1 Mx2 xc mM