19.4第三课时 角平分线
角平分线ppt课件
5．如图，△ABC的两外角的平分线CF，BF相交于点F， 连结AF，则下列结论正确的是( B ) A．AF平分BC B．AF平分∠BAC C．AF⊥BC D．以上结论都正确
6．如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供 大家休息，要求凉亭到草坪三条边的距离都相等，则 凉亭的位置应选在( D ) A．△ABC三条中线的交点 B．△ABC三条高所在直线的交点 C．△ABC三条边的垂直平分线的交点 D．△ABC三条角平分线的交点
【答案】120°
9．【中考·大庆】如图，∠B＝∠C＝90°，点M是BC的 中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则 ∠MAB＝( B ) A．30° B．35° C．45° D．60°
10．【2020·鄂州】如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC ＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°.连结AC，BD交 于点M，连结OM.下列结论： ①∠AMB＝36°；②AC＝BD； ③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD. 其中正确的结论有( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【点拨】∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC.即∠AOC＝∠BOD.
∴△AOC≌△BOD.∴∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，故②正确． 在△AOC 和△BOD 中，O∠AA＝OOC＝B，∠BOD，
OC＝OD， 如图，设AM与OB交于点E，
∵∠AEO＝∠BEM，∴∠AMB＋∠OBD＝∠OAC＋∠AOB.
13．如图，AE∥CF，AG，CG分别平分∠EAC和∠FCA， 过点G的直线BD⊥AE，交AE于点B，交CF于点D. 求证：AB＋CD＝AC.
证明：如图，过点G作GH⊥AC于点H. ∵AE∥CF，BD⊥AE，交CF于点D，∴GD⊥CF. ∵AG平分∠EAC，∴BG＝HG. 在 Rt△AGH 和 Rt△AGB 中，AHGG＝＝ABGG，， ∴Rt△AGH≌Rt△AGB(H.L.)， ∴AH＝AB.同理可得CD＝CH，∴AB＋CD＝AH＋CH＝AC.
角平分线课件
角平分线的性质定理的证明
第四步，根据全等三角形的性质，我们知道全等 三角形的对应边相等，所以$AD = AD$，$DM = DN$，$\angle MAD = \angle NAD$。
第六步，根据全等三角形的对应边相等，我们知 道$AM = AN$。
第五步，根据三角形的全等判定定理，我们知道 如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三 角形全等。因此，$\triangle MAD \cong \triangle NAD$。
第七步，根据角平分线的性质定理的证明结论， 我们知道角平分线上的点到角的两边的距离相等 ，所以$DM = DN$。
05
角平分线的应用举例
利用角平分线求角度的大小
角平分线定理
角平分线将一个角分为两个相等 的角，即$\angle A = \angle B$ 。
实际应用
在几何图形中，可以利用角平分 线求角度的大小，例如在三角形 中，通过作高或利用已知角度求 解未知角度。
第二步，根据角平分线的性质定理，我们知道角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以 $DM = DN$。
第三步，根据直角三角形的全等判定定理，我们知道如果两个直角三角形的一条直角边和斜 边分别相等，那么这两个直角三角形全等。因此，我们可以证明$\triangle MAD \cong \triangle NAD$。
角平分线与平行四边形
在平行四边形中，对角线互相平分， 因此可以利用角的平分线将平行四边 形划分为两个全等的三角形，从而简 化求解平行四边形的问题。
角平分线与梯形
在梯形中，可以利用角的平分线将梯 形划分为一个平行四边形和一个三角 形，从而利用已知的平行四边形和三 角形性质求解梯形的问题。
03
角平分线的作法
1.4角平分线(教案)
同学们，今天我们将要学习的是《角平分线》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要将角平均分成两个相等角的情况？”比如，在剪纸或拼图时，我们可能需要这样的技巧。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索角平分线的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解角平分线的基本概念。角平分线是通过角的顶点，将角分成两个相等角的射线。它在几何图形的分割和证明中有着重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用角平分线来解决实际问题，以及它如何帮助我们解决几何问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调角平分线的定义和性质这两个重点。对于难点部分，比如性质的应用，我会通过具体例题和图示来帮助大家理解。
此外，课后我对学生的作业进行了批改，发现他们在解题过程中对角平分线的应用还不够熟练。为了帮助他们巩固知识点，我计划在下一节课开始时，对一些典型的错误进行讲解，让学生明白自己错在哪里，如何改正。
另外，小组讨论环节，我发现有些学生参与度不高，可能是因为他们对讨论主题不够感兴趣或者不知道如何表达自己的观点。针对这个问题，我打算在下次课中尝试引入一些生活化的例子，激发学生的兴趣，并引导他们如何进行有效讨论。同时，我也会鼓励学生多与同伴交流，培养他们的团队协作能力。
在学生小组讨论的引导过程中，我意识到提问技巧的重要性。提出的问题既要能够启发学生思考，又要具有一定的开放性，让学生有足够的空间发挥。在今后的教学中，我会更加注意问题的设计，努力提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
首先，我意识到在讲解角平分线性质时，需要更多地结合实际例子来帮助学生理解。例如，在证明角平分线上的点到角的两边距离相等时，我可以准备一些具体的图形，让学生观察、测量并自己推导出这个性质。这样既能提高他们的几何直观能力，也能加深对性质的理解。
三角形的角平分线PPT课件
B
D
C
一特个点三：角（形1）有三几角条形中的线中?有线什是么一特条点线？段；
（2(）三三条角)形的中线的一端平分这条边。
请画出这个三角形的另外两条中线，
你发现了什么？
A
F
E
B
D
C
三角形的三条中线交于一点．
称之为三角形的重心．
1、AD是ΔABC的角平分线（如图），
那么∠BAC= 2 ∠BAD；
2、AE是ΔABC的中线（如图），那么
的角平分线如图那么如图af是abc的角平分线ae是bc边上的中线选择1beec2cafbac3afbcfab4aecb在abcabc中中cdcd是中线是中线已已知知bcbcac5cmdbcac5cmdbc的周长为25cm25cm求求adcadc的周长的周长
怎样才能得到一个角的平分线?
角平分线
用量角器或折纸的办法
B
D
C
三角形的三条角平分线交于一点． 称之为三角形的内心．
例１、如图,AE是 △ ABC的角平分线.已知∠B=4
0
0
５ , ∠ C=60 ,求下列角的大小.
(1) ∠BAE (2) ∠AEB
解：（１）∵ＡE是△ABC的角平分线
∴∠CAE=∠BAE= 1 ∠BAC
C
2
∵ ∠BAC+∠B+∠C=1800
（ 三角形的内角和定理 ）
∴∠BAC=1800-∠B-∠C=1800-450-600=750
∴∠BAE=37.50
A
E B
（2）∵∠AEB=∠CAE+∠C （ 三角形的一个外角等于和它不 ） 相邻的两个内角的和
∠CAE=∠BAE=37.50 ∴∠AEB=37.50+600=97.50
沪教版八年级上册-19.4-线段的垂直平分线和角平分线-讲义
沪教版(上海)八年级上册-19.4-线段的垂直平分线和角平分线-讲义(无答案)(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--线段的垂直平分线与角平分线专题复习知识点复习：1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，∵ CD ⊥AB ，且AD ＝BD∴ AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，∵ AC ＝BC∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于线段垂直平分线性质定理的推论（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等.性质的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部； 若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点； 若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。
4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4，∵ OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，且CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ， ∴ CF ＝DF.图1图2定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.定理的数学表示：如图5，∵点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，且PC ＝PD ，∴点P 在∠AOB 的平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么：① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.精品习题：1．在△ABC 中，∠C=90º，BD 是∠ABC 的平分线.已知，AC=32，且AD ：DC=5：3，则点D 到AB 的距离为_______.2．如图，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则:ABC ACD S S ∆∆= （ ）A．3:4 B．4:3 C．16:19 D．不能确定3．如图，ΔABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将ΔABD分为三个三角形，则SABO∆：SBCO∆：SCAO∆等于______.4．如图所示，∠BAC＝105°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．则∠PAQ的度数为．5．AD∥BC，∠D=90︒，AP平分∠DAB，PB平分∠ABC，点P恰好在CD上，则PD与PC的关系是（）A．PD>PC B．PD<PC C．PD=PC D．无法判断6．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修一个超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )A．在AC、BC两边高线的交点处B.在AC、BC两边中线的交点处C．在AC、BC两边垂直平分线的交点处D.在∠A、∠B的角平分线的交点处7．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB 的中点E处，则∠A等于( )A．25ºººº8．AC=AD，BC=BD，则有（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB9．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP10．随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（）处。
角平分线的性质和判定角平分线画法角平分线的三个基本公式
一、角的平分线性质定理1.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2.到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
3.三角形的三条角平分线交于一点，称作内心。
内心到三角形三边的距离相等；4.三角形一个角的平分线，把对边所分成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
判定：角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上。
二、角平分线画法方法11、以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M、N。
2、分别以点M、N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。
3、作射线OP。
射线OP即为角平分线。
方法21、在两边OA、OB上分别截取OM、OC和ON、OD，使OM=ON，OC=OD。
2、连接CN与DM，相交于P。
3、作射线OP。
射线OP即为角平分线。
三、角平分线定义1、从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
2、三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。
三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。
三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。
四、角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
1、角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
五、角平分线的性质：角平分线上的点，到角两边的距离相等定理：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。
垂直于两边为最短距离。
角平分线能得到相同的两个角。
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
逆定理：到角两边的距离相等的点在角平分线上。
线段的垂直平分线教案
19.4逆命题与逆定理19.4.4线段垂直平分线教材分析：本课的主要内容是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线证明线段或角相等。
学生分析：对于线段垂直平分线同学们并不陌生。
但是怎么样证明一条直线是线段的垂直平分线。
通过本节课的学习，将助同学们解决这一问题。
教学目标：1、知识与技能：能熟练地应用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理进行证明，提高逻辑推理能力。
2、过程与方法：通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会数学的严密性；3、情感态度与价值观：体会数学源于实践，又服务于实践的辩证唯物主义观点。
重点难点：重点：掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。
难点：理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的关系。
教具准备：教法：“学、探、测”学法：合作探究法课时安排：1课时教学过程：一、预习案1.你如何理解线段垂直平分线的性质定理？2.你能通过逻辑推理的方法证明线段垂直平分线的性质定理吗？3.线段垂直平分线的性质定理的逆命题正确吗？4.你能通过逻辑推理的方法证明线段垂直平分线的性质定理的逆命题吗？5.如何判断一个点是否在线段的垂直平分线上？二、基础知识探究探究点一：线段垂直平分线的性质定理（重点）问题1：线段的垂直平分线是直线，还是线段？有几条？答案：直线；有1条。
问题2：如图所示，直线MN是线段AB的垂直平分线，O为垂足，点P是直线MN上任意一点，连结PA，PB，则图中相等的线段有哪些？答案：线段OA与OB相等，线段PA与PB相等。
问题3：你能逻辑推理的方法证明问题2中的结论PA=PB吗？答案：已知：如图，直线MN经过线段AB的中点O，且MN⊥AB，P是MN上任意一点，求证：PA=PB.证明：因为MN⊥AB（已知），所以∠POA=∠POB（S.A.S），所以PA=PB（全等三角形的对应边相等）.问题4：通过问题3，你能得到什么结论？答案：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
归纳总结：（1）线段垂直平分线上的任意一点到这条线段的两个端点的距离都相等；（2）线段垂直平分线的的性质定理可以用来证明线段相等。
角平分线性质课件
练习与总结
1
练习题与考察
通过练习题和考察，巩固和检验对角平
角平分线的总结
2
分线性质的理解。
总结角平分线的定义、性质、应用，加
深对此概念的理解和记忆。
3
进一步学习
鼓励学生继续学习几何学的其他内容， 拓展知识广度和深度。
角平分线性质ppt课件
这是、 应用及总结，帮助学生提高几何学习和应用能力。
角平分线的定义
角平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线。 通过画两条从角的两边上切割出同样长度的直线来构造角平分线。
角平分线的性质
角平分线相交于角的平分线上
角平分线会相交于角的平分线上，即两条角平 分线的交点也是角的顶点。
角平分线将角分成相等的两部分
一条角平分线可以将角分成两个相等的角。
角平分线的应用
角平分线定理
角平分线定理是指：如果一条直线通过一个角的顶 点，将该角分成两个相等的角，则这条直线为角的 平分线。
角平分线在几何证明中的应用
角平分线在几何证明中常常用来推导出其他性质和 定理。
《角平分线》PPT教学课件
你能用什么方法说明你 的结论是正确的？
A
D C
P
O
E
B
知识讲解
方法一：
用刻度尺测量PD,PE，得到两条线段的长度相等.
A
方法二：
D C
P
O
E
B
利用角的对称性，当沿OC所在的直线对折时，
PD与PE重合，因此PD=PE.
知识讲解
方法三：
证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
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A
F O
E
B
D
C
随堂训练
4.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分
线相交于点F，
Байду номын сангаас
求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明：过点F分别作FG⊥AE于点G，
FH⊥AD于点H，FM⊥BC于点M. ∵点F在∠BCE的平分线上，
E G
C
FG⊥AE， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上， A
B
A
D
C
理由：无法确定点D在∠BAC的平分线上.
知识讲解
线段的垂直平分线的性质定理有逆定理，角的平分 线的性质定理是否也有逆定理呢？
角平分线课件PPT
生活中有趣角平分线现象
建筑设计中的应用
在建筑设计中，角平分线常被用来确保建筑物的对称性和平衡感。例如，古希腊的帕特 农神庙就运用了角平分线的原理来设计其立面和柱子。
自然界的角平分线
在自然界中，角平分线的现象也很常见。例如，当阳光照射在树叶上时，树叶的脉络就 会呈现出角平分线的形状，这是因为树叶在生长过程中会自然地沿着角平分线的方向扩
例题2
已知在△ABC中，∠C=90° ，AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB于E，F在AC上， BD=DF。求证：CF=EB 。
解析
过点D作DM⊥AC于M。 根据角平分线的性质，可 得DE=DM。在Rt△FCD 和Rt△EBD中，DF=BD， DE=DM。 ∴Rt△FCD≌Rt△EBD（HL ）。∴CF=EB。
的两边分别与OA、OB相交于点C、D。求证： PC=PD。
输入 标题
解析
根据角平分线的性质和直角三角形的性质，可以证明 △OPC和△OPD全等，从而得出PC=PD。具体证明过 程略。
例题1
例题2
根据角平分线的性质和勾股定理，可以求出点D到AB 的距离。具体求解过程略。
解析
在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若 BC=32，且BD:CD=9:7，求点D到AB的距离。
04
角平分线在几何变换中应用
旋转对称性质及应用
旋转对称性质
角平分线将一个角分为两个相等的小角，且两个小角关于角平分线对称。当图形 绕角平分线旋转一定角度时，两个小角能够重合，具有旋转对称性。
应用
利用旋转对称性质，可以解决与角平分线相关的角度计算、线段长度等问题。例 如，通过旋转对称性质可以证明两个三角形全等或相似。
建筑设计中角平分线应用
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思 考 分 析
M F C
随
练习 课时训练
A
1、 ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB DC=DE ∴___________
角平分线上的点到角的两边的距离相等 (________________________________)
1 2 E D B
2、判断题（ ∴ BD (
∵ BD是∠ABC的平分线 （D在∠ABC的平分线上）B
又∵ DE⊥BA，垂足为E， DC⊥BC，垂足为C， ∴ DE=DC。
思考
C
做完本题后，你对角平分线,又增加了什么认 识?
角平分线的性质， 为我们证明两线段相等 又提供了新的方法与途径。
•
反过来，到一个角的两边的距离相等的点 是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点 D、E 为垂足，PD＝PE． 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上．
第19章 全等三角形
19.4 逆命题与逆定理
回顾
思考
角平分线的这条性 质是怎样得到的呢？
•角平分线的性质是什么
？
• 用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两 边叠合在一起，再把纸片展开，你看到 了什么？
• 角平分线上的点到这个角的两边 的距离相等
开启智慧 定理 角平分线上的点到这个角的两边 距离相等.
×）
C
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
B
= DC
，
角的平分线上的点到角的 ) 两边的距离相等。
A C
D
练习 1． 如图，在直线l上找出一点P，使得点P到 ∠AOB的两边OA、OB的距离相等．
提示：作 ∠AOB的平分 线，交直线l于P 就是所求的点 （第 1 题）
练习2.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE 的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明： PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E 为垂足， ∴∠PDO= ∠PEO=Rt ∠ 在Rt △PDO 与Rt △PEO中 O A
D
1 2 E B P
｛
C
PD=PE（已知）
OP=OP（公共边）
∴Rt△PDO≌△PDO ∴∠1=∠2 即点P在∠AOB的平分线上
于是就有定理： 到一个角的两边距离 相等的点，在这个角 的平分线上
A 在△PDO和△PEO中，因为 ∠DOP＝∠EOP（已知）， ∠PDO＝∠PEO（已证）， PO＝PO（公共边）， ∴△PDO≌△PEO (A.A.S)
｛
D
O 1 2 E B P C
∴PD=PE
于是就有定理： 角平分线上的点到这个角的两 边的距离相等．
四 问答 ：1、如图，在Rt△ABC 中， BD是∠B 的平分线 ， A DE⊥AB，垂足为E， E DE与DC 相等吗？ 为什么？ 答： DE=DC。 D
命题:三角形三个角的平分线相交于一点.
基本想法是这样的:我们知道,两条直线 相交只有一个交点.要想证明三条直线相交 于一点,只要能证明两条直线的交点在第三 条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学习 A 的内容. ND 如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P, P 过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是 E,F,D. B E ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD=PF. ∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到 角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).
A
如图,已知:OC是∠AOB的 平分线,P是OC上任意一点 ,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别 是D,E. O 求证:PD=PE(平分线上的 点到这个角的两角边距离 相等).D1 2 E B P C
• 证明: 因为PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
• 所以 ∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）
证明：作FG⊥AE于G.FH⊥AD于H
G
FP⊥CB于P,作射线OF ∵CF平分∠ECB ∴FG=FP(角平分线上的点到角 两边距离相等) H
P
同理可证:FH=FP
∴FG=FH ∴点F在∠EOD的平分线上(到角两边距离相等的点在这个 角的平分线上)
《课课练》P60—P61 第3课时 全做