利用三角函数求一类无理函数的值域
函数求值域15种方法
函数求值域15种方法在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。
研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。
本文就函数值域求法归纳如下，供参考。
基本知识1.定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。
2.函数值域常见的求解思路：⑴划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。
⑵反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。
⑶可以从方程的角度理解函数的值域，从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程y=f(x)在定义域内有解的y得取值范围。
特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。
⑷可以用函数的单调性求值域。
⑸其他。
1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1. 求函数的值域。
解：∵∴显然函数的值域是：2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例2. 求函数的值域。
解：将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1时，，当x=-1时，故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例3. 求函数的值域。
解：两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵∴∴代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
关于三角函数值域的求法
三角函数最值或值域的求法 类型一：dx c b x a x f ++=cos sin )(型. 思路：利用1cos 1sin ,≤≤x x 这一有界性求最值。
例1：求函数xx y sin 21sin --=的值域。
例2：求函数sin cos 2x y x =-的值域。
类型二：x b x a y cos sin +=型。
此类型通常可以可化为sin cos )y a x b x x ϕ=+=+求其最值（或值域）。
例3：求函数)3sin()6sin(ππ++-=x x y （R x ∈）的最值。
例4：求函数x x y -+=1的最大值和最小值，并指出当x 分别为何值时取到最大值和最小值。
例5：已知函数f(x)=122cos x .求f （x ）的最小周期和最小值；类型三：)0(sin sin 2≠++=a c x b x a y 型。
此类型可化为)0(2≠++=a c bt at y 在区间]1,1[-上的最值问题。
例6：求函数1sin 3cos 2++=x x y （R x ∈）的最值分析：转化为一个角的同一种函数sinx ，将问题化归为“二次函数”的最值问题，用配方法。
例7：函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为?类型四：含有x x x x cos sin cos sin ⋅±与的最值问题。
解此类型最值问题通常令x x t cos sin ±=，x x t cos sin 212⋅±=，22≤≤-t ，再进一步转化为二次函数在区间上的最值问题。
例8：求函数sin cos sin cos y x x x x =⋅++的最大值并指出当x 为何值时，取得最大值。
【三角函数值域的求法】 求三角函数值域图解
所以t∈［-3,3］.
六、三角函数也是函数，所以其他一些函数值域的求法对于求三角
函数的值域照样适用
如分别常数法：
例6 若cos2x+2msinx-2m-2sin2x+1sinx-1，
sinx-1=t∈［-1,0)
所以2m>t+2t+2，因为(t+2t+2)max=-1.
所以m>-12.
巧用“对比法〞解题
江苏靖江季南初中(214523) 陈一平
对比法：把两个或两个以上的事物进行比较，找其共同点与不同点的进行解题的方法.对比法是最基本的思维，也是解题方法.它有时会使思维、解题一清二楚，直接明了.
例1 横河九年级物理兴趣小组的同学在讨论“沙子和水谁的吸热本事大〞时，选用了两只完全相同的酒精灯分别给质量都是200 g的沙子和水加热.他们绘制出沙子与水的温度随加热时间改变的图象如图1所示. 已知酒精的热值是3.0×107 J/kg，水的比热容4.2×103 J/(kg·℃)，加热时酒精灯平均每分钟消耗0.8 g酒精.那么请问：
(1)图中a图和b图哪个是沙子吸热升温的图象?为什么?
(2)请依据图象说出水在受热过程中温度改变的特点.
(3)加热满2 min时,水汲取了多少热量?
(4)给水加热持续了10 min时间,共消耗了多少酒精?这些酒精假如完全燃烧将放出多少热量?
(5)试求出沙子的比热容.
图1解：(1) 图a表示的是沙子吸热升温的过程，因为沙子的比热比水小，汲取相同热量时沙子温度升得多.。
浅析无理型函数值域的几种常规求法
浅析无理型函数值域的几种常规求法一、观察法：通过对函数定义域及其解析式的分析，从而确定函数值域。
例1．求函数y ＝3＋42+x 值域。
解：∵42+x ≥2，∴函数值域为[5，+)∞。
二、单调性法：如果函数在某个区间上具有单调性，那么在该区间两端点函数取得最值。
例2．求函数y ＝x －x 21-的值域。
解：函数的定义域为]21,(-∞，函数y=x 和函数y ＝－x 21-在]21,(-∞上均为单调递增函数，故y ≤212121⨯--＝21， 因此，函数y ＝x －x 21-的值域是]21,(-∞。
三、换元法：通过代数换元法或者三角函数换元法，把无理函数转化为代数函数来求函数值域的方法。
例3．求函数y ＝x+x 21-的值域 。
解：定义域为x ∈]21,(-∞，令t ＝x 21- (t ≥0)，则x ＝212t -于是y ＝－21(t －1)2＋1，由t ≥0知函数的值域为]21,(-∞。
本题是通过换元将问题转化为求二次函数值域，但是换元后要注意新元的范围。
对于形如“y mx n ax b =++±”的函数, 此法适用于根号内外自变量的次数相同的无理函数，一般令t ax b =+，将原函数转化为t 的二次函数，当然也适用于“y mx n ax b =++22±”的函数。
例4. 求函数y x x =-+-23134的值域。
解：令t x =-134，则t ≥0且x t =-14132()，则y t t =-++12722=--1212()t +4。
当t =1，即x =3时，y max =4，当t →+∞时，y →-∞。
故函数值域为(]-∞，4。
另外对于根号下的是2次的，我们同样可以处理：例5．求函数y ＝x+21x -的值域。
解：∵1－x 2≥0，∴－1≤x ≤1，∴设x ＝cos θ，θ∈［0，π］ 则y ＝cos θ+sin θ＝2sin （θ+4π）， ∵θ∈［0，π］，∴θ+4π∈［4π，45π］，∴sin （θ+4π）∈［－22，1］，∴2sin （θ+4π）∈［－1，2］，∴函数y ＝x+21x -的值域为［－1，2］。
求函数值域的方法大全
求函数值域最值的方法大全函数是中学数学的一个重点,而函数值域最值的求解方法更是一个常考点, 对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,因此能熟练掌握其值域最值求法就显得十分的重要,求解过程中若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用;本文旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域最值的求法,希望对大家有所帮助; 一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠,当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭,当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦., 反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.正,余弦函数的值域为[]1,1-,正,余切函数的值域为R. 二、求函数值域最值的常用方法 1. 直接观察法适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域最值的简单函数例1、求函数y=211x +的值域 解： 22111,011x x +≥∴<≤+ 显然函数的值域是：(]0,1 例2、求函数y=2－x 的值域;解： x ≥0 ∴－x ≤0 2－x ≤2故函数的值域是：-∞,2 2、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型;配方法是求二次函数值域最基本的方法之一;对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题,均可用配方法求解.例3、求函数y=2x -2x+5,x ∈-1,2的值域;解：将函数配方得：y=x-12+4, x ∈-1,2,由二次函数的性质可知： 当x=1时,y m in =4 当x=-1,时m ax y =8 故函数的值域是：4,8例4、求函数的值域：y =解：设()2650x x μμ=---≥,则原函数可化为：y =.又因为()2265344x x x μ=---=-++≤,所以04μ≤≤,故[]0,2,所以,y 的值域为[]0,2. 3、判别式法适用类型：分子.分母中含有二次项的函数类型,此函数经过变形后可以化为0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式,再利用判别式加以判断;例5、求函数的值域22221x x y x x -+=++解：210x x ++>恒成立,∴函数的定义域为R.由22221x x y x x -+=++ 得()()22120y x y x y -+++-= ;① 当20y -=即2y =时,300,0x x R +=∴=∈；② 当20y -≠即2y ≠时,x R ∈时,方程()()22120y x y x y -+++-=恒有实根.()()221420y y ∴=+-⨯-≥ 15y ∴≤≤且2y ≠.∴原函数的值域为[]1,5.例6、 求函数y=x+)2(x x -的值域; 解：两边平方整理得：22x -2y+1x+y 2=01 x ∈R,∴△=4y+12-8y≥0 解得：1-2≤y≤1+2但此时的函数的定义域由x2-x≥0,得：0≤x≤2;由△≥0,仅保证关于x 的方程：22x -2y+1x+y 2=0在实数集R 有实根,而不能确保其实根在区间0,2上,即不能确保方程1有实根,由△≥0求出的范围可能比y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域为21,23;可以采取如下方法进一步确定原函数的值域; 0≤x≤2,∴y=x+)2(x x -≥0,∴y min =0,y=1+2代入方程1,解得：1x =222224-+∈0,2,即当1x =222224-+时,原函数的值域为：0,1+2;注：由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除; 4、反函数法适用类型：分子.分母只含有一次项的函数即有理分式一次型,也可用于其它易反解出自变量的函数类型; 例7、求函数12+=x xy 的值域; 分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反函数;12+=x x y 反解得y y x -=2 即xxy -=2知识回顾：反函数的定义域即是原函数的值域; 故函数的值域为：),2()2,(+∞-∞∈ y ; 5、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域;适用类型：一般用于三角函数型,即利用]1,1[cos ],1,1[sin -∈-∈x x 等;例8、求函数y=11+-x x e e 的值域;解：由原函数式可得：x e =11-+y y x e ＞0,∴11-+y y ＞0 解得：-1＜y ＜1;故所求函数的值域为-1,1. 例9、求函数y=3sin cos -x x的值域;解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y 可化为：12+y sinxx+β=3y 即 sinxx+β=132+y y∵x∈R,∴sinxx+β∈-1,1;即-1≤132+y y ≤1解得：-42≤y≤42 故函数的值域为-42,42; 6、函数单调性法适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值;原理：同增异减 例10、求函数)4(log 221x x y -=的值域;分析与解：由于函数本身是由一个对数函数外层函数和二次函数内层函数复合而成,故可令：)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：)4,0)(4)2()(2（所以∈+--=x f x x f 由复合函数的单调性同增异减知：),2[+∞-∈y ; 例11、 求函数y=+-25x log31-x 2≤x≤10的值域解：令y 1=25-x ,2y =log31-x ,则 y 1 ,2y 在2,10上都是增函数;所以y= y 1 +2y 在2,10上是增函数; 当x=2时,y m in =32-+log312-=81,当x=10时,m ax y = 52+log39=33;故所求函数的值域为：81,33;例12、求函数y=1+x -1-x 的值域; 解：原函数可化为： y=112-++x x令y 1 =1+x ,2y = 1-x ,显然y 1,2y 在1,+∞上为无上界的增函数,所以y= y 1 +2y 在1,+∞上也为无上界的增函数;所以当x=1时,y=y 1 +2y 有最小值2,原函数有最大值22=2;显然y ＞0,故原函数的值域为0,2; 7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型;换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用;适用类型:无理函数、三角函数用三角代换等; 例13、求函数y=x+1-x 的值域; 解：令x-1=t,t≥0则x=2t +1∵y=2t +t+1=2)21(+t +43,又t≥0,由二次函数的性质可知当t=0时,y m in =1,当t→0时,y→+∞; 故函数的值域为1,+∞;例14、求函数y=x+2+2)1(1+-x 的值域 解：因1-2)1(+x ≥0,即2)1(+x ≤1故可令x+1=cosβ,β∈0,∏;∴y=cosβ+1+B 2cos 1-=sinβ+cosβ+1 =2sinβ+∏/4+1 ∵0≤β≤∏,0≤β+∏/4≤5∏/4 ∴ -22≤sinβ+∏/4≤1 ∴ 0≤2sin β+∏/4+1≤1+2; 故所求函数的值域为0,1+2;例15、求函数 y=12243++-x x xx 的值域解：原函数可变形为：y=-21⨯212x x +⨯2211x x +- 可令x=tgβ,则有212x x+=sin2β,2211x x +-=cos2β∴y=-21sin2β⨯ cos2β=-41sin4β 当β=k∏/2-∏/8时,m ax y =41;当β=k∏/2+∏/8时,y m in =-41而此时tgβ有意义; 故所求函数的值域为-41,41; 例16、求函数y=sinx+1cosx+1,x∈-∏/12∏/2的值域; 解：y=sinx+1cosx+1=sinxcosx+sinx+cosx+1 令sinx+cosx=t,则sinxcosx=212t -1 y=212t -1+t+1=212)1(+t 由t=sinx+cosx=2sinx+∏/4且x∈-∏/12,∏/2 可得：22≤t≤2 ∴当t=2时,m ax y =23+2,当t=22时,y=43+22故所求函数的值域为43+22,23+2; 例17、求函数y=x+4+25x -的值域 解：由5-x≥0,可得∣x∣≤5 故可令x=5cosβ,β∈0,∏y=5cosβ+4+5sinβ=10sinβ+∏/4+4 ∵0≤β≤∏, ∴ ∏/4≤β+∏/4≤5∏/4当β=∏/4时,m ax y =4+10,当β=∏时,y m in =4-5;故所求函数的值域为：4-5,4+10; 8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目; 适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型. 例18、求函数y=)2(2-x +)8(2+x 的值域;解：原函数可化简得：y=∣x -2∣+∣x+8∣上式可以看成数轴上点Px 到定点A2,B-8间的距离之和; 由上图可知：当点P 在线段AB 上时, y=∣x -2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时, y=∣x -2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10 故所求函数的值域为：10,+∞ 例19、求函数y=1362+-x x+542++x x的值域解：原函数可变形为：y=)20()3(22--+x +)10()2(22+++x上式可看成x 轴上的点Px,0到两定点A3,2,B-2,-1的距离之和, 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时,y m in =∣AB∣=)12()23(22+++=43,故所求函数的值域为43,+∞; 例20、求函数y=1362+-x x-542++x x的值域解：将函数变形为：y=)20()3(22--+x -)10()2(22-++x上式可看成定点A3,2到点Px,0的距离与定点B-2,1到点Px,0的距离之差;即：y=∣AP∣-∣BP∣由图可知：1当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时,如点P1,则构成△ABP1,根据三角形两边之差小于第三边, 有 ∣∣AP1∣-∣BP1∣∣＜∣AB∣=)12()23(22-++= 26即：-26＜y ＜26 2当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时,有∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣= 26;综上所述,可知函数的值域为：-26,-26; 注：由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A,B 两点在x 轴的两侧,而求两距离之差时,则要使两点A,B 在x 轴的同侧;如：例17的A,B 两点坐标分别为：3,2,-2,-1,在x 轴的同侧； 例18的A,B 两点坐标分别为：3,2,2,-1,在x 轴的同侧; 例21、求函数xxy cos 2sin 3--=的值域.分析与解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式1212x x y y k --=,将原函数视为定点2,3到动点)sin ,(cos x x 的斜率,又知动点)sin ,(cos x x 满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点2,3到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得: ]3326,3326[+-∈y 9 、不等式法适用类型：能利用几个重要不等式及推论来求得最值;如：ab b a ab b a 2,222≥+≥+ 其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧;例22、 求函y=sinx+1/sinx+cosx+1/cosx 的值域 解：原函数变形为：y=x sin 2+x cos 2+1/x sin 2+1/x cos 2=1+ x csc 2+x sec 2=3+x tg 2+x ctg 2当且仅当tgx=ctgx,即当x=k∏±∏/4时k∈z,等号成立; 故原函数的值域为：5,+∞; 例23、求函数y=2sinxsin2x 的值域解：y=2sinxsinxcosx=4x sin 2cosxy2=16x sin 4x cos 2=8x sin 2x sin 22-2x sin 2≤8x sin 2+x sin 2+2- x sin 2=8x sin 2+x sin 2+2- x sin 2/33=2764当且当x sin 2=2-2x sin 2,即当x sin 2=时,等号成立; 由y 2≤2764,可得：-938≤y≤938 xB故原函数的值域为：-938,938; 例24、当0>x 时,求函数248)(xx x f +=的最值,并指出)(x f 取最值时x 的值; 分析与解：因为2244448)(xx x x x x f ++=+=可利用不等式33abc c b a ≥++即：324443)(x x x x f ••≥所以12)(≥x f 当且仅当244xx =即1=x 时取”=”当1=x 时)(x f 取得最小值12;例25、双曲线12222=-b y a x 的离心率为1e ,双曲线12222=-ax b y 的离心率为2e ,则21e e +的最小值是 ;A 22B 4C 2D 2 分析与解：根据双曲线的离心率公式易得：bb a a b a e e 222221+++=+,我们知道xy y x 2≥+所以abb a e e 22212+≥+当且仅当bb a a b a 2222+=+时取“=”而ab b a 222≥+故2221≥+e e 当且仅当b a =时取“=”22)(min 21=+e e 所以;10、导数法设函数()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 上可导,则()f x 在[],a b 上的最大值和最小值为()f x 在(),a b 内的各极值与()f a ,()f b 中的最大值与最小值;要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最值,通常都用该方法;导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视; 例26、求函数()32362f x x x x =-+-,[]1,1x ∈-的最大值和最小值;解: ()2'366f x x x =-+,令()'0f x =,方程无解.()2'366f x x x =-+()23130x =-+> ∴函数()f x 在[]1,1x ∈-上是增函数.故当1x =-时, ()()min 112f x f =-=-,当1x =时, ()()max 12f x f == 例27、求函数221)(2++=x x x f 的最值.解析: 函数)(x f 是定义在一个开区间()∞+∞-，上的可导函数,令0)22(22)('2=+++-=x x x x f得)(x f 的唯一驻点1-=x 即为最点.1-<x 时,0)('>x f ,函数递增, 1-<x 时,0)('<x f ,函数递减, 故)(x f 有最大值1)1(=-f .说明 本函数是二次函数的复合函数,用配方法求最值也很简便.11)1(1)(2≤++=x x f ,等号成立条件是1-=x .注：最值寻根的导数判定若定义在一个开区间上的函数)(x f y =有导函数)()(x g x f ='存在,那么)(x f 是否有最值的问题可转化为)(x f 的导函数)(x g 是否有最根的问题来研究：1若导函数)(x g 无根,即0)(≠x g ,则)(x f 无最值；2若导函数)(x g 有唯一的根0x ,即0)('0=x f ,则)(x f 有最值)(0x f .此时,导函数)(x f '的根0x 即是函数)(x f 最根0x .3若导函数)(x g 有多个的根,则应从多个驻点中依次判定极点、最点的存在性. 11、多种方法综合运用 例28、求函数y=32++x x 的值域 解：令t=2+x t≥0,则x+3=2t +1 1 当t ＞0时,y=12+t t=t t /11+≤21, 当且仅当t=1,即x=-1时取等号 所以0＜y≤21; 2 当t=0时,y=0;综上所述,函数的值域为：0,21; 注：先换元,后用不等式法;例29、求函数y=xx x x x x 424322121++++-+的值域;解：y=xx x x 42422121+++-+xx xx 42321+++=)11(222xx +-+x x21+令x=tg2β,则)11(222xx +-=βcos 2,xx 21+=21sin β,∴y=βcos 2+21sin β=-βsin 2+ 21sin β+1 =-)41(sin 2-β+1617 ∴当sin β=41时,m ax y =1617;当sin β=-1时,y m in =-2; 此时tg 2β都存在,故函数的值域为：－2,1617;注：此题先用换元法;后用配方法,然后再运用sin β的有界性;总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法; 学生巩固练习1 函数y =x 2+x1 x ≤－21的值域是A －∞,－47]B －47,+∞)C 2233,+∞)D －∞,－32232 函数y =x +x 21-的值域是 A －∞,1]B －∞,－1]C RD 1,+∞)3 一批货物随17列货车从A 市以V 千米/小时匀速直达B 市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车间距离不得小于20V 2千米 ,那么这批物资全部运到B 市,最快需要_________小时不计货车的车身长4 设x 1、x 2为方程4x 2－4mx +m +2=0的两个实根,当m =_________时,x 12+x 22有最小值_________5 某企业生产一种产品时,固定成本为5000元,而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元,市场对此商品年需求量为500台,销售的收入函数为Rx =5x －21x 2万元0≤x ≤5,其中x 是产品售出的数量单位 百台1把利润表示为年产量的函数； 2年产量多少时,企业所得的利润最大3年产量多少时,企业才不亏本6 已知函数fx =lg a 2－1x 2+a +1x +11若fx 的定义域为－∞,+∞,求实数a 的取值范围； 2若fx 的值域为－∞,+∞,求实数a 的取值范围7 某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周按120个工时计算生产空调器、彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台 已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表家电名称 空调器 彩电 冰箱 工时产值千元4 3 2问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高最高产值是多少以千元为单位8 在Rt△ABC 中,∠C =90°,以斜边AB 所在直线为轴将△ABC 旋转一周生成两个圆锥,设这两个圆锥的侧面积之积为S 1,△ABC 的内切圆面积为S 2,记ABCABC =x 1求函数fx =21S S 的解析式并求fx 的定义域 2求函数fx 的最小值 参考答案1 解析 ∵m 1=x 2在－∞,－21上是减函数,m 2=x1在－∞,－21上是减函数,∴y =x 2+x1在x ∈－∞,－21上为减函数,∴y =x 2+x1 x ≤－21的值域为－47,+∞)答案 B2 解析 令x 21-=tt ≥0,则x =212t -∵y =212t -+t =－21 t －12+1≤1∴值域为－∞,1] 答案 A 3 解析 t =V 400+16×20V 2/V =V 400+40016V≥216=8 答案 84 解析 由韦达定理知 x 1+x 2=m ,x 1x 2=42+m , ∴x 12+x 22=x 1+x 22－2x 1x 2=m 2－22+m =m －412－1617,又x 1,x 2为实根,∴Δ≥0 ∴m ≤－1或m ≥2,y =m －412－1617在区间－∞,1上是减函数,在2,+∞)上是增函数,又抛物线y 开口向上且以m =41为对称轴 故m =1时,y min =21答案 －1 215 解 1利润y 是指生产数量x 的产品售出后的总收入Rx 与其总成本Cx 之差,由题意,当x ≤5时,产品能全部售出,当x >5时,只能销售500台,所以y =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-⨯-⨯≤≤+--)1( 25.012)50(5.02175.4)5)(25.05.0()52155()50)(25.05.0(215222x x x x x x x x x x x 2在0≤x ≤5时,y =－21x 2+4 75x －0 5,当x =－ab2=4 75百台时,y max =10 78125万元,当x >5百台时,y ＜12－0 25×5=10 75万元,所以当生产475台时,利润最大3要使企业不亏本,即要求⎩⎨⎧≥->⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤025.012505.075.421502x x x x x 或 解得5≥x ≥4 75－5625.21≈0 1百台或5＜x ＜48百台时,即企业年产量在10台到4800台之间时,企业不亏本6 解 1依题意a 2－1x 2+a +1x +1>0对一切x ∈R 恒成立,当a 2－1≠0时,其充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧-<>-<>⎪⎩⎪⎨⎧<--+=∆>-13511,0)1(4)1(01222a a a a a a a 或或即, ∴a ＜－1或a >35又a =－1时,fx =0满足题意,a =1时不合题意 故a ≤－1或a >为35所求2依题意只要t =a 2－1x 2+a +1x +1能取到0,+∞上的任何值,则fx 的值域为R ,故有⎩⎨⎧≥∆>-0012a ,解得1＜a ≤35,又当a 2－1=0即a =1时,t =2x +1符合题意而a =－1时不合题意,∴1≤a ≤35为所求7 解 设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x 台、y 台、z 台,由题意得x +y +z =360 ①120413121=++z y x ② x >0,y >0,z ≥60③假定每周总产值为S 千元,则S =4x +3y +2z ,在限制条件①②③之下,为求目标函数S 的最大值,由①②消去z ,得y =360－3x ④将④代入①得 x +360－3x +z =360,∴z =2x ⑤ ∵z ≥60,∴x ≥30⑥再将④⑤代入S 中,得S =4x +3360－3x +2·2x ,即S =－x +1080 由条件⑥及上式知,当x =30时,产值S 最大,最大值为S =－30+1080=1050千元得x =30分别代入④和⑤得y =360－90=270,z =2×30=60∴每周应生产空调器30台,彩电270台,冰箱60台,才能使产值最大,最大产值为1050千元8 解 1如图所示 设BC =a ,CA =b ,AB =c ,则斜边AB 上的高h =cab , ∴S 1=πah +πbh =,)2(),(22c b a S b a cab-+=+ππ, ∴fx =221)()(4c b a c b a ab S S -++= ①abCBcA又⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+)1(222222x c ab cxb ac b a x c b a 代入①消c ,得fx =1)(22-+x x x在Rt△ABC 中,有a =c sin A ,b =c cos A 0＜A ＜2π),则 x =c b a +=sin A +cos A =2sin A +4π∴1＜x ≤2 2fx =]12)1[(21)(22-+-=-+x x x x x +6,设t =x －1,则t ∈0, 2－1,y =2t +t2+6 在0,2－1]上是减函数,∴当x =2－1+1=2时,fx 的最小值为62+8。
三角函数最值或值域地求法
三角函数最值或值域的求法三角函数的最值问题是本章的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。
类型一：利用1cos 1sin ,xx这一有界性求最值。
例1：求函数xx ysin 21sin 的值域。
解：由xx ys in 21s in 变形为(1)si n 21y x y ，知1y ，则有21sin 1y xy，由21|sin |||11y x y22221||1(21)(1)1y yyy203y ，则此函数的值域是2[,0]3y类型二：x b x a y cos sin 型。
此类型通常可以可化为22sin cos ()y a x b x ab x求其最值（或值域）。
例2：求函数)3sin()6sin(xxy（R x）的最值。
解法1：)12sin(2]4)6sin[(2)6cos()6sin(xxxxy ，∴函数的最大值为2，最小值为2。
分析2：运用公式sin (α±β) = sin αcos β± cos αsin β解法2：xxycos 213sin 213∴函数的最大值为2，最小值为2。
分析3：观察发现角)3(x 与角)6(x的差恰好为2，故将)6(x看成基本量，将函数化归为同一角)6(x的函数式。
解法3：（运用和差化积公式）)4cos()12sin(2xy )12sin(2x∴函数的最大值为2，最小值为2。
类型三：)0(sin sin 2a c xb xa y型。
此类型可化为)0(2a c bt aty在区间]1,1[上的最值问题。
例3：求函数1sin 3cos 2x xy（R x）的最值分析：转化为一个角的同一种函数sinx ，将问题化归为“二次函数”的最值问题，用配方法。
解：49)23(sin 1sin 3sin 122x x xy∴函数的最大值为49，最小值为4325例4：求函数1sin 3cos 2x a xy （R a，R x）的最大值。
解：1sin 3cos 2x a xy转化为2sin 3sin 2y xa x配方得：243)23(sin 22aa x y①当123a ，即332a 时，在sinx=1，即)(22z kk x时，13maxa y ②当123a时，即332a 时，在sinx=－1，即)(22z k k x时，13maxa y ③当1231a，即332332a时，在a x23sin ，即a kx 23arcsin 2或)(23arcsin2z ka k x 时，2432maxay 综上：2max2331()3323232()4332331()3a ay a aa a类型四：)0(cos sin sin 2ac xx b xa y 型。
三角函数求值域专题
三角函数求值域专题求三角函数值域及最值的常用方法：(1)一次函数型：或利用为：y asinx bcosx a2b2sin(x ),利用函数的有界性或单调性求解；化为一个角的同名三角函数形式，(1)：y 2sin(3x —) 5，y sin xcosx12(2)y 4sin x 3cosx(3) _____________________________________ .函数在区间上的最小值为_1.(4 )函数且的值域是—(,1] [1,)(2)二次函数型：化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、换元及图像法求解;二倍角公式的应用：女口. ( 1) y sin x cos2x3(2)函数的最大值等于3.4(3) _____________________________ .当时，函数的最小值为_4 •(4).已知k v—4,则函数y = cos2x + k(cos x-1)的最小值是 1 •(5).若，则的最大值与最小值之和为2— _ •(3) 借助直线的斜率的关系用数形结合求解；a sin x b型如f(x) 型。
此类型最值问题可考虑如下几种解法：ccos x d①转化为asinx bcosx c再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法(转化为斜率问题)求最值。
例1 ：求函数y sinx的值域。
cosx 2结合图形可知，此函数的值域是［』3,』3］。
33例2.求函数的最小值.解法一：原式可化为，得，即， 故，解得或(舍)，所以的最小值为. 解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点 B 在左半圆上，由图像知，当 AB 与半圆相切时，最小, 此时，所以的最小值为.(4) 换元法•识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为 解法2：将函数ycosx sinx_变形为 2y cosx sin x2y ，二 sin( x )2y 1 y 2|sin(x )| 理 1V 1 y2(2y)y2，解得：彳，故值域是3]解法 3:利用万能公式求解: 由万能公式sin x -1 2t cosx 口;，代入1 t 2sinx得到cosx 22t2厂沪则有3yt2t0知：当t0,则y满足条件；当0，由24 12y 0 ,乜，故所求函数的值域是3解法4：利用重要不等式求解：由万能公式sinx -12t T ， cosx.代入t 2sinx得到cosx 20,2t1 3t 20时，则y 0,满足条件；当t 0时,2 1" t 3t——,如果t >3t)2 ([)(3t)2 ~1 (：3t)2 2、于，此时即有如果t2、( ；)( 3t)彳，此时有0 y 于。
与三角函数有关的值域求法总结
c sin x d
ccosx d
同角、同次；常采用分离常数的方法化为部分分式，再利用三角函数的有界性结合反比
例函数性质求解或者也可先反解再用三角函数的有界性求解
七.数形结合、三角换元
例7.1.求函数y sin x 0 x 的最小值 2.求函数y sin x 1 的值域
2 cosx
a sin x
acosx
或者y
a sin x
、y
acosx
b sin 2 x c sin x d
bcos2 x ccosx d
六.分离常数
例6.求函数y 2cosx 1的值域 2cosx 1
此为 y a sin x b 或 y acosx b 型的三角函数求最值问题，分子分母的三角函数同名、
x
பைடு நூலகம்
4
cos
x
sin
x
6
1,求f
x在区间-
6
，,4 上的最大值和最小值。
4.已知函数f x 2 cos 2x sin 2 x 4 cos x,求f x的最值。
5.求函数y
3sin x 1的最值。 sin x 2
6.求函数y
2 cosx 0
sin x
x 的最小值
7.1.求函数y x 4 9 x2的值域2.求函数y x 4 15 3x的值域
2 或sin x cosx t 2 1，但一定要注意换元后新元的范围
2
五.换元然后运用对勾函数单调性求值域或最值
例5.已知x 0， ，求函数 y sin x 2 的最小值
sin x
此种类型函数解析式通常是形如y b sin 2 x c sin x d 或者y bcos2 x ccosx d
巧用三角代换 妙求函数值域
、想方法2020年第10期中学数学教学参考（下旬）巧用三角代换妙求函数值域王威（安徽省天长中学）摘要：无理函数一般由几个初等函数复合而成，解题时需要先变形，再转化求解。
本文针对双根号一次型无理函数、单根号简单型无理函数、双根号二次型无理函数、双根号复杂型无理函数四种类型，研究利用 三角函数代换求无理函数值域的策略，以提高学生解决无理函数值域的能力。
关键词：三角函数；无理函数；值域文章编号：1002-2171(2020) 10-0037-02无理函数通常是指根号下含有自变量的函数，一般是由几个初等函数复合而成，如/(■!•)=3 ^/^T是由二次函数、一次函数和幂函数复合而成。
在初等函数中，这类函数比较复杂，尤其是其值 域问题一直是难点。
学生只有认真分析无理函数表达式的特征，并与其他知识进行链接，才可以找到合 理的解决方法。
实际上，求无理函数的值域问题时，最关键的步骤是去根号，化无理函数为有理函数或其 他类型的函数来求解。
对于有些无理函数，我们则可 以灵活应用三角代换的方法，把无理函数的值域问题 转化为三角函数的值域问题来求解。
下面笔者结合 例题予以阐释。
1双根号一次型无理函数这类无理函数的特征是未知数分别含在两个根号下，且两个根号下的函数是一次项系数互为相反数 的一次函数，具有将这两个根式同时平方并相加就可 消去未知数的特征。
这类无理函数适合利用三角代换法求值域。
例1求函数710—j r—2#的 值域。
分析：题目中含有两个一次函数的根式，符合同 时平方并相加可消去未知数的特征。
解：因为 y/x—l^-0 , \/l〇—且（1)2+ (V l〇_Jr)2==9,所以可令 \A r—1=3cos Q,V^IO-x=3sin 0, ^■，有 3;=15cos 0 +3sin 0 —2 \/26^ =3 a/26^(—^=c o s 沒+—汐)一2 \/26。
v26 v26令sin史=i，cos史6(0，I)，则 ^7263\/26(sin ^cos ^+cos ^?s i n O')—2 ^/26 =3\/26sin(^ + (p)_2y/26〇又因为所以+p所以-~_<sin(f f+y X l，所以 15 —2 \/^<3 \/^sin(0+ v 26故所求值域为[15_2#，#]。
求三角函数的值域(或最值)的方法
C 2
(其中A 、B 、C 为
三角形内角) 的最大值.
解 原函数化为
y=
1 2
s in
A 2
(cos B
2
C
-
cos B
+ 2
C) ,
∴ s in2
A 2
-
cos B
2
C sin
A 2
+
2y = 0,
∴ 关于
sin
A 2
的二次方程的判别式
∃ = co s2 B - C 2
8y ≥ 0,
∴ y ≤
可 以看
作 是 过 ( 2, 2)、( cos x , sin x )
两点的直线的斜率, 在平面直
角坐标系中作出点 (2, 2) 和
图1
单位圆, 则很容易确定 y 的取值范围.
解 联立方程组 x 2 + y 2 = 1 y = k (x - 2) + 2
得 (k2 + 1) x 2 - (4k 2 - 4k) x + 4k2 - 8k + 3 = 0,
1 3sin x +
2.
当 sin x = - 1 时, y 有极小值, y 极小 = 2;
当 sin x = 1 时, y 有极大值, y 极大 =
4 5
,
∴ 原函数的值域是
y ∈ (-
∞,
4 5
] ∪ [2,
+
∞).
(2) 原函数化为部分分式为:
y =
2
1 + 4co s x -
cos2 x -
2000 年第 12 期 中学数学
21
求 三 角 函 数 的 值 域 (或 最 值 ) 的 方 法
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数 学 家 希 尔 伯 特 说 9:数 学 科 学 是 一 个 不
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利用三角函数求一类无理函数的值域
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
陈德明 浙江省鄞州中学,315101
中学数学月刊 THE MONTHLY JOURNAL OF HIGH SCHOOL MATHEMATICS 2004(8) 5次
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引证文献(5条)
1.熊成毅 构造向量求一类无理函数的值域[期刊论文]-中学数学月刊 2008(3) 2.吴家华 一类无理函数值域的一般性结论及应用[期刊论文]-中学数学月刊 2005(8) 3.郭兴甫 构造对偶函数求一类无理函数的值域[期刊论文]-中学数学月刊 2005(6) 4.叶露 三角代换求无理函数值域的补充举例[期刊论文]-中学数学月刊 2005(12) 5.吴爱龙.吴淑珍 构造圆巧求一类无理函数的值域[期刊论文]-中学数学月刊 2004(12)
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