第七讲 数学基础知识的教学与基本能力的培养

第七讲数学基础知识的教学与基本能力的培养本讲简介：根据中学数学的教学目的，加强数学基础知识的教学与基本能力的培养，是提高数学教学质量的根本措施。

本讲主要讨论中学数学中的概念、命题、思想方法及例题、习题的教学方法，研究培养学生基本能力的主要途径。

知识结构：学习建议：数学概念的教学，是数学教学的一个基本的和重要的环节，要掌握数学概念教学的常用形式和基本步骤。

数学命题教学是数学教学的重要组成部分，对于公理、定理、公式、法则的教学，应熟悉其常用的步骤及有关的注意点。

数学思想方法和数学能力是数学素质的精髓，在数学教学中，应注意经常地自觉地运用和渗透常用的数学思想方法，有意识地加强对学生各种能力的培养。

重点与难点：本讲的重点是探讨如何进行数学概念的教学、数学命题的教学和数学思想方法的教学以及能力的培养。

第七讲数学基础知识的教学与基本能力的培养第一节数学概念的教学第二节数学命题的教学第三节数学思想方法的教学第四节解题的教学第五节能力的培养相关知识第一节数学概念的教学概念是最基本的思维形式，数学中的命题，都是由概念构成的；数学中的推理和证明，又是由命题构成的。

因此，数学概念的教学，是整个数学教学的一个重要环节。

数学概念教学的根本任务，是正确揭示概念的内涵和外延，使学生深刻地理解概念，牢固地掌握概念，灵活地运用概念。

学生理解和掌握数学概念过程，是一个认识的过程。

因此，数学概念的教学，必须遵循认识论的规律，以唯物辩证法作指导，联系现实原型，对概念作唯物的解释；抓住事物的本质，对概念作辩证的分析；并注意在实践中运用概念，在运用中加深理解。

1.联系现实原型，对概念作唯物的解释在数学概念的教学中，要密切联系数学概念的现实原型，引导学生分析日常生活和生产实际中常见的事例，观察有关的实物、图示或模型，在感性认识的基础上逐步形成概念。

例如，正、负数概念的教学，可以联系生活中的现实原型，如温度是零上几度或零下几度，从某地出发向东走几米或向西走几米，收入多少元或支出多少元等等，结合图示的直观进行分析，让学生看到，在现实世界中存在着大量的具有相反意义的量。

为了揭示它们互相矛盾的本质，只有算术数是不够的，必须引进一种新的数，如果把其中的一种量规定为正的，那么另一种量就是负的。

这样就容易建立并理解正、负数的概念。

恰当地联系数学概念的原型，可以丰富学生的感性认识，有利于理解概念的实际内容；同时也有助于学生体会学习新概念的目的意义，弄清每一概念是从什么问题提出的，又是为了解决什么问题的，从而激发学习新概念的主动性和积极性。

2.抓住事物本质，对概念作辩证的分析（1）抓住概念的本质特征。

有些概念涉及的面比较广，教学时要抓住概念的本质特征，通过对本质特征的分析，加深对整个概念的理解。

（2）揭示概念中的每一词、句的真实含义。

有的概念叙述简练，寓意深刻；有的用式子表示，比较抽象。

对于这类概念，必须深刻揭示每一词、句的真实含义。

（3）阐明概念间的内在联系。

数学概念之间有着密切的内部联系，注意把个别概念放在概念的相互关系中来教学，有助于揭示事物的本质。

（4）注意概念的比较。

有比较才有鉴别。

对于容易混淆或难以理解的概念，运用分析比较的方法，指出它们的相同点和不同点，有助于抓住概念的本质。

（5）分析概念的矛盾运动。

有些数学概念的内涵和外延不是一成不变的，它们是在社会实践和数学发展的过程中不断发展、不断充实、逐步完善的。

教学时要把概念的确定性和发展性辩证地统一起来，恰当地分析概念的矛盾运动。

3.在实践中运用概念，在运用中巩固概念由现实原型抽象出数学概念以后，认识并没有结束，还需再回到实践中去。

为此，可引导学生在判断、推理和证明中运用概念，在日常生活或生产实践中运用概念，在运用过程中加深对概念的理解。

人们对客观事物的认识，是不能一次完成的。

数学概念教学也须通过“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践”这样多次反复才能完成第二节数学命题的教学数学中的定义、法则、定律、公式、性质、公理、定理等，都是数学命题。

数学命题的教学，是数学教学的一个重要组成部分。

一、公理的教学公理是数学需要用作自己的出发点的少数思想上的规定，它们的真实性不是由逻辑推理来确定的，而是经过人类长期实践直接验证的。

数学公理的教学，应当使学生了解什么是公理，体会到引入公理的必要性；理解并记忆公理的内容，在推理和计算中能熟练的予以应用。

二、法则的教学法则是揭示对象之间普遍联系的一种命题形式。

中学数学中的法则，一般都是围绕运算展开的。

因此，数学法则的教学，重点是法则的应用，应当使学生了解法则的由来，弄清法则的条件和内容，熟练地运用法则进行计算与推理。

在阐明法则的具体内容以后，应在提高学生的运算能力上多下功夫。

在开始阶段，应注意法则的正确使用，逐步达到熟练程度；在此基础上，再提高运算速度，尽量做到迅速而合理；最后，能够简化运算过程，不再想法则，很快说出结果。

三、定理教学1.了解定理的由来帮助学生了解定理的由来，不仅有助于学生理解和记忆定理的具体内容，而且有利于培养学生的数学发现和数学创造能力。

要使学生了解定理的由来，通常可采用两种方法：一是通对具体事物的观察、测量、计算、作图等实践活动去猜想；二是通过一定的推理来发现。

2.认识定理的结构认识定理的结构是证明定理的基本出发点，它的主要任务是帮助学生分析定理的条件和结论，发掘定理所及的概念的特征或图形的性质，利用有关数学符号，把条件和结论确切而简练地表达出来。

3.掌握定理的证明定理的证明是定理教学的重点。

应使学生明确证明的思路，掌握证明的方法，遵守证明的规则。

为此，在教学时必须加强分析，把分析法和综合法结合起来使用。

在定理教学的入门阶段，应注意规范化的板书，说明书写的格式和每一步推理的依据，给学生提供必要的示范。

4.熟悉定理的应用学生掌握数学定理是有一个过程的，一般是先懂---再会---后熟。

应用所学定理去解答有关的实际问题，是实现这一过程的重要环节。

通常，可结合例题和习题教学，让学生通过动笔、动口、动脑，自己总结定理的适用范围，明确应用时的注意事项，把握所解决问题的基本类型。

5.整理定理的系统数学教材中的定理是一个有系统的知识体系。

弄清各个定理在数学体系中的地位、作用，以及定理之间的内在联系，可以从总体上把握数学定理的全貌。

在定理教学时，应让学生了解每个定理在知识体系中的来龙去脉；在总结复习时，可运用图示、表解等方法，把学过的定理进行系统的整理。

四、公式的教学1.理解公式的意义数学公式中的字母，一般既可以表示数，又可以表示式。

为使学生深刻理解公式的意义，教学时应指导学生用不含字母的语言叙述公式的内容，并突出换元法的基本思想。

2.掌握公式的逆用和变形中学数学教材中，一般只给出公式的“标准型”。

为克服标准型的负迁移作用，使学生能熟练地、灵活地运用所学的公式，教学时要注意公式的逆用和变形，加强变形练习。

3.增强公式的记忆数学公式应在理解的基础上进行记忆，在运用中巩固记忆。

记忆数学公式有多种方法，常用的有逻辑记忆法、系统记忆法、对立记忆法、区别记忆法、简化记忆法、形象记忆法等，可根据公式的特点予以选择。

第三节数学思想方法的教学一、数学思想方法的涵义数学思想和方法没有明确的界限。

一般说来，作为方法，相对来说比较具体，应有一定确切的内涵，是一种可操作的步骤和作法，常常可直接用来解决有关的问题。

与方法相比较，思想具有更高的抽象层次，一般是提示思考的方向或策略，而没有明确指导具体的操作步骤，但应用范围更加广泛。

中学数学中的方法，大体可分为两类，即数学方法和逻辑方法。

数学方法主要有代入法、比较法、配方法、换元法、待定系数法、递推法、初等变换法、数学模型法等。

逻辑方法主要有分析法、综合法、演绎法、归纳法、类比法、反证法、同一法等。

这些方法在第三讲、第四讲和第六讲已有所涉及。

中学数学的思想，主要有方程思想、函数思想、分类思想、数形结合思想、转化思想等。

1.方程思想方程思想就是把所研究的实际问题或数学问题通过已知量与未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组，从而使问题得到解决的思维方法。

中学数学学中，方程是一个重要研究课题，让学生熟练掌握方程思想，利用方程思想，即列方程（组）处理有关实际问题，，有助于提高数学应用能力，增强用数学的意识。

2.函数思想函数描述了现实世界中变量之间的依存关系。

函数思想的实质，是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点考察数学对象，抽象其数量特征，建立函数关系。

掌握了函数思想，可以对中学数学的许多内容有更深刻的理解。

同时，函数思想反映了事物的运动变化和相互联系，用以分析教材，有助于揭示知识的内在联系。

例如，一元二次方程、一元二次不等式、二次函数在教材中是分别研究的，用函数思想来考察，函数值为零，或函数值为正（负）时，自变量的取值范围就是相应的一元二次方程与一元二次不等式的解集。

3.分类思想数学中的分类（或逻辑划分）思想，实质上就是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同种类的思想方法。

在教学中，无论概念的剖析，命题的论证，还是知识的整理和系统化，都贯穿着分类思想。

在解题中，分类思想也具有积极的指导意义。

当遇到的问题情景复杂、层次繁多时，常常可以寻求一个适当的分类标准，把它分解成一系列不同的层次或不同的侧面，从而把原问题转化为几个小题，逐一加以解决。

4.数形结合思想在中学数学中，数形结合思想主要包含两方面的内容：一是运用代数、三角知识，通过数量关系的讨论，去处理几何图形的问题；二是运用几何知识，通过对图形性质的研究，去解决数量关系的问题。

就具体的实施方法而论，前者常用的方法有解析法、三角法、复数法、向量法等；后者常用的方法有图表法、图解法等。

5.转化思想未知向已知的转化，陌生向熟悉的转化，复杂向简单的转化，抽象向具体的转化，特殊与一般的转化，局部与整体的转化，直接与间接的转化；多元向一元的转化，高次向低次的转化，空间向平面的转化，数与形的转化，等等，都是转化思想在数学研究与数学学习中的体现。

从一定意义上说，转化思想是数学思想方法论的核心，其他的数学思想方法可以看成是转化的手段或策略。

二、数学思想方法的教学数学思想方法的教学，除了要遵循通常的数学教学原则外，还应注意以下几点：•首先，要把数学思想方法作为教学对象，纳入教学目的，写到教案之中使之明朗化。

•其次，数学思想方法的教学应当循序渐进，与知识教学、学生认知水平相适应，按照反复孕育渗透、初步形成、应用发展、系统整理的顺序逐步完成。

•第三，要组织学生积极参与数学思想方法的教学过程。

第四节解题的教学解题是一种创造性的思维活动，解题教学要以科学的解题理论作指导，按照大纲、教材所规定的内容和要求来进行，让学生了解解题的要素，掌握解题的程序，学会解题后的推广和引申，适时总结解题的经验，不断提高解题的能力。