湖南省醴陵市第一中学2016_2017学年高二数学下学期期中试题理2

2017年上学期醴陵一中高二年级期中考试数学试卷（理科）时量：120分钟 总分：150分 命题人：班级：_______ 姓名：_______ 考号：_______一．选择题（共12小题）1、复数()i i 13-的共轭复数是（ ）i A -3. i B +3. i C --3. i D +-3.2、dx e m x ⎰=1与dx xn ⎰=11的大小关系是（ ） n m A >. n m B <. n m C =. .D 无法确定3、已知()()*∈++++=N n n n f 131211Λ，计算得()232=f ，()24>f ，()258>f ，()316>f ，()2732>f ，由此推算：当2≥n 时，有（ ） ()()*∈+>N n n n f A 2122. ()()()*∈-+>N n n n f B 21122. ()()*∈+>N n n f C n2122. ()()*∈+>N n n f D n 222. 4、函数()x x x f ln -=的减区间为（ ）()1,.∞-A ()1,0.B ()∞+,1.C ()2,0.D5、用数学归纳法证明()1,12131211>∈<-++++*n N n n n Λ时，第一步应验证不等式（ ）2211.<+A 331211.<++B 34131211.<+++C 231211.<++D6、小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他共7人，一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个，则梨子的不同分法共有（ ）.A 96种 .B 120种 .C 480种 .D 720种7、有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()x f ，如果()00='x f ，那么0x x =是函数()x f 的极值点，因为函数()3x x f =在0=x 处的导数值()00='x f ，所以，0=x 是函数()3x x f =的极值点．以上推理中（ ）.A 大前提错误 .B 小前提错误 .C 推理形式错误 .D 结论正确8、某工厂师徒二人加工相同型号的零件，是否加工出精品互不影响．已知师傅加工一个零件是精品的概率为32，徒弟加工一个零件是精品的概率为21，师徒二人各加工2个零件不全是精品的概率为（ ）.A 98 .B 32 .C 31 .D 919、81⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，2x 的系数是（ ） .A 70 .B 70- .C 28 .D 28-10、某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（ ）.A 35种 .B 24种 .C 18种 .D 9种11、一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为()X P ，则()4=X P 的值为（ ）.A 2201 .B 5527 .C 22027.D 552112、已知()x f ,()x g 都是定义在R 上的函数，且()()()1,0≠>=a a a x g x f x 且，()x f '()x g ＜()x f ()x g '，()()()()251111=--+g f g f ，则a 的值为（ ）.A 2 .B 21 .C 53 .D 35 二．填空题（共4小题）13、已知56101111⨯⨯⨯⨯=ΛmA ，则=m ________。

14、已知C z z ∈21,，121==z z ，321=+z z ，则=-21z z ________。

15、若曲线()x ax x f ln 2+=上存在垂直与y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________。

16、若函数()322+-=x ae x f x（a 为常数，e 是自然对数的底）恰有两个极值点，则实数a 的取值范围是________。

三．解答题（共6小题）17、已知函数()x b ax x f ln 2-=在点()()1,1f A 处的切线方程为1=y ；（1）求实数a ，b 的值； （2）求函数()x f 的极值．18、已知()na 12+展开式中各项系数之和等于521516⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 的展开式的常数项，而()na12+的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a 的值．19、某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：学院 机械工程学院海洋学院医学院 经济学院人数4646（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列．20、一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品x 万件并全部销售完，每万件的销售收入为x -4万元，且每万件国家给予补助xx x e e 1ln 22--万元．（e 为自然对数的底数，e 是一个常数）（Ⅰ）写出月利润()x f （万元）关于月产量x （万件）的函数解析式（Ⅱ）当月产量在[]e 2,1 万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生成量值（万件）．（注：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本）21、已知数列{}n a 满足11=-+n n a a ，11=a ，试比较n a a a a 23211111++++Λ与22+n 的大小并证明．22、已知()()R x a a ax x x f ∈≤++=,22，()xe x g =，()()()x g x f x =Φ． （Ⅰ）当1=a 时，求()x Φ的单调区间；（Ⅱ）求()x Φ在[)∞+∈,1x 是递减的，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）是否存在实数a ，使()x Φ的极大值为3？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．2017年上学期醴陵一中高二年级期中考试数学答案一．选择题（共12小题）D A D B D C A A A C C B二．填空题（共4小题）- 16．（0，）．13、7． 14、1． 15、()0,∞三．解答题（共6小题）17．已知函数f（x）=ax2﹣blnx在点A（1，f（1））处的切线方程为y=1；（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）的极值．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=2ax﹣，f（1）=a=1，f′（1）=2a﹣b=0①，将a=1代入2a﹣b=0，解得：b=2；。

5分（2）由（1）得：f（x）=x2﹣2lnx，∴f′（x）=2x﹣=，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴f（x）极小值=f（1）=1．。

10分【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用，求函数的单调区间、极值问题，是一道基础题．18．已知（a2+1）n展开式中各项系数之和等于（x2+）5的展开式的常数项，而（a2+1）n的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值．【解答】解：由（x2+）5得，T r+1=C5r（x2）5﹣r（）r=（）5﹣r•C5r•x．令T r+1为常数项，则20﹣5r=0，∴r=4，∴常数项T5=C54×=16．又（a2+1）n展开式的各项系数之和等于2n．由题意得2n=16，∴n=4．由二项式系数的性质知，（a2+1）n展开式中二项式系数最大的项是中间项T3，∴C42a4=54，∴a=±．【点评】本题考查二项式定理的应用和二项式系数的性质，解题时要注意根据实际情况灵活地运用公式．19、某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：学院机械工程学院海洋学院医学院经济学院人数 4 6 4 6（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列．【解答】解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为：所以（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，，所以ξ的分布列为0 1 2 3P【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．20．一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每万件的销售收入为4﹣x 万元，且每万件国家给予补助2e﹣﹣万元．（e为自然对数的底数，e是一个常数）（Ⅰ）写出月利润f（x）（万元）关于月产量x（万件）的函数解析式（Ⅱ）当月产量在[1，2e]万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生成量值（万件）．（注：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本）【解答】解：（Ⅰ）由于：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本，可得（Ⅱ）f（x）=﹣x2+2（e+1）x﹣2elnx﹣2的定义域为[1，2e]，且列表如下：x （1，e） e （e，2e]f'（x）+ 0 ﹣f（x）增极大值f（e）减由上表得：f（x）=﹣x2+2（e+1）x﹣2elnx﹣2在定义域[1，2e]上的最大值为f（e）．且f（e）=e2﹣2．即：月生产量在[1，2e]万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为f（e）=e2﹣2，此时的月生产量值为e（万件）．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值等知识，考查学生利用导数解决实际问题的能力及运算求解能力，属于难题．21．已知数列{a n}满足a n+1﹣a n=1，a1=1，试比较与的大小并证明．【解答】解：≥．证明如下：由a n+1﹣a n=1，a1=1，知数列{a n}为首项是1，公差为1的等差数列，∴通项公式为a n=n．要证≥，只要证：1+++…+≥，下面用数学归纳证明：n=1时，1+=，结论成立，当n=2时，左边=1+=，结论成立；假设n=k时结论成立，即1+++…+≥，那么：n=k+1时，1+++…++…+＞++…+＞++…+＞+=，即n=k+1时，结论也成立．综上所述，n∈N，结论成立．【点评】本题是数列与不等式的综合题，考查了数学归纳法与放缩法证明数列不等式，是中档题．22．已知f（x）=x2+ax+a（a≤2，x∈R），g（x）=e x，φ（x）=．（Ⅰ）当a=1时，求φ（x）的单调区间；（Ⅱ）求φ（x）在x∈[1，+∞）是递减的，求实数a的取值范围；（Ⅲ）是否存在实数a，使φ（x）的极大值为3？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）当a=1时，φ（x）=（x2+x+1）e﹣x．φ′（x）=e﹣x（﹣x2+x）当φ′（x）＞0时，0＜x＜1；当φ′（x）＜0时，x＞1或x＜0∴φ（x）单调减区间为（﹣∞，0），（1，+∞），单调增区间为（0，1）；（II）φ′（x）=e﹣x[﹣x2+（2﹣a）x]∵φ（x）在x∈[1，+∞）是递减的，∴φ′（x）≤0在x∈[1，+∞）恒成立，∴﹣x2+（2﹣a）x≤0在x∈[1，+∞）恒成立，∴2﹣a≤x在x∈[1，+∞）恒成立，∴2﹣a≤1∴a≥1∵a≤2，1≤a≤2；（III）φ′（x）=（2x+a）e﹣x﹣e﹣x（x2+ax+a）=e﹣x[﹣x2+（2﹣a）x]令φ′（x）=0，得x=0或x=2﹣a：由表可知，φ（x）极大=φ（2﹣a）=（4﹣a）e a﹣2设μ（a）=（4﹣a）e a﹣2，μ′（a）=（3﹣a）e a﹣2＞0，∴μ（a）在（﹣∞，2）上是增函数，∴μ（a）≤μ（2）=2＜3，即（4﹣a）e a﹣2≠3，∴不存在实数a，使φ（x）极大值为3．【点评】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，属于中档题．。