【高考数学复习 解析几何专题】第6讲 定点与定线-解析版

第6讲 定点与定线

知识与方法

1 定点问题是指若干个参变量在变化过程中,曲线过定点及图形(点)在变化过程中存在不变量.

2 定点问题的处理策略:

(1)引参法.设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或者曲线系方程,而该方程与参数无关,得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点,即所求的定点. (2)从特殊到一般法.从特殊位置人手,找到定点,再证明该定点与变量无关.

3 定线问题是指动点在运动变化过程中,其运动轨迹是一条直线,其本质是求动点的轨迹方程.

典型例题

【例1】已知抛物线2

:4C x y =,过点()2,1P 引抛物线的两条弦,PA PB ,分别交抛物线于点

,A B ,且AP BP ⊥,则直线AB 恒过定点

A ()

2,5- B.()2,2- C.()3,3-

D.()3,5-

【分析】对于直线AB 恒过定点,有两种思路可以考虑:一是设直线:AB y kx m =+,结合条件

AP BP ⊥,转化为0AP BP ⋅=,得到,k m 的关系;二是设点()()1122,,,A x y B x y ,将直线AB 方

程表示出来.

【解析】（1）直线AB 的斜率必定存在,:AB y kx b =+,点()()1122,,,A x y B x y . 因为AP BP ⊥,则0PA PB ⋅=,则()()()()121222110x x y y --+--=,

即()()22

12122211044x x x x ⎛⎫⎛⎫

--+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

,则()1212240x x x x +++=, 则2

2

,4404,

y kx b x kx b x y =+⎧⇒-==⎨

=⎩， 则12124,4x x k x x b +==-,

代人()1212240x x x x +++=,解得25b k =+,

则直线():2552AB y kx k y k x =++⇒-=+,过定点()2,5-.故选A. 【解析】（2）设点()()1122,,,A x y B x y ,因为AP BP ⊥,所以12

22144

AP BP x x k k ++⋅=⋅=-,所以()()122216x x ++=-,即()1212220x x x x ++=-. 又直线()()12

111212:404

x x AB y y x x x x x y x x +-=

-⇒+--=. 所以()()()12245x x x y ++=-,过定点()2,5-.故选A.

【点睛】本题是圆雉曲线中“张角为直径的弦”为背景的定点问题,对直线方程采用“设”与“求”两种思路.事实上,对于从圆锥曲线上一点P 引两条弦,PA PB ,若PA PB k k r ⋅=(定值),则必有直线

AB 过定点.

【例2】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22

:122

x y C +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为为N ,点P 满足2NP NM =.

(1)求点P 的轨迹方程;

(2)设点Q 在直线3x =-上,且1OP PQ ⋅=,证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过椭圆C 的左焦点F .

【分析】对于(1),直接将向量式2NP NM =

坐标化,即可得两动点坐标之间的关系,运用“代入

法”可以求得点的轨迹方程.对于(2),直接将1OP PQ ⋅=坐标化即可得. 答案(1)点P 的轨迹方程为2

2

2;x y +=(2)见【解析】.

【解析】（1）设点()()00,,,P x y M x y ,则点()()()000,0,,,0,N x NP x x y NM y =-=.

由2NP NM =

得00,2

x x y y ==

. 因为点()00,M x y 在椭圆C 上,所以22

122

x y +=,点P 的轨迹方程为222x y +=.(2)由题意知点()1,0F -,设点()()3,,,Q t P m n -,

则()()3,,1,OQ t PF m n =-=---.

()()33,,,3,OQ PF m tn OP m n PQ m t n ⋅=+-==---.

由1OP PQ ⋅=得22

31m m tn n --+-=.

又由(1)知2

2

2m n +=,故330m tn +-=,所以0OQ PF ⋅=,即OQ PF ⊥. 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ,

所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过椭圆C 的左焦点F .

【点睛】本题(1)只需把例向量式翻译成坐标关系,再利用相关点法(代入法)求解动点轨迹方程即可;(2)则是直接翻译例的条件,再把条件式整体代入即可.

【例3

】已知椭圆22123422:1(0),(1,1),(0,1),, x y C a b P P P P a b ⎛⎛+=>>- ⎝⎭⎝⎭四点中恰有三个点在椭圆C 上.

(1)求椭圆C 的方程;

(2)设直线l 不经过点2P 且与椭圆C 相交于,A B 两点,若直线2P A 与直线2P B 的斜率之和为1-,证明ll 过定点.

【分析】对于()1,由对称性可知椭圆不经过点()11,1P ,于是利用点()230,1,(1P P -

⎭

,可求椭圆的方程;对于(2),可设直线:AB y kx m =+,利用直线22,P A P B 的斜率之和为1-,发现,k m 之间的关系.

【解析】(1)由于34,P P 两点关于y 轴对称,故由题设知椭圆C 经过34,P P 两点.椭圆C 不经过点

1P ,点2P 在椭圆C 上.

所以222

1

1,131,4b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得22

4,1a b ==.

故椭圆C 的方程为2

214

x y +=. (2)设直线2P A 与直线2P B 的斜率分别为12,k k ,如果l 与x 轴垂直,设:l x t =,由题设知0t ≠且

2t <,可得点,A B

的坐标分别为,,t t ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭

.

则1222

122k k t t

+=

-=-,解得2t =,不符合题设. 从而可设():1l y kx m m =+≠.将y kx m =+代人2

214

x y +=得 ()

2

22418440k

x kmx m +++-=.

由题设可知()

22Δ16410k m =-+>.

设点()()1122,,,A x y B x y ,则2121222

844

,4141

km m x x x x k k -+=-=++. 而()()1212121212121212

211111kx x m x x y y kx m kx m k k x x x x x x +-+--+-+-+=+=+=.

由题设121k k +=-,

故()()()12122110k x x m x x ++-+=,即()()22244821104141

m km

k m k k --+⋅+-⋅=++. 解得1

2

m k +=-

.当且仅当1m >-时,Δ0>. 故1:2m l y x m +=-

+,即()1

122

m y x ++=--,所以l 过定点()2,1-. 【点睛】本题为双斜率模型中AP BP k k +为定值,由AP BP k k +为定值得到k 与m 的一次关系式,再代入直线方程,得到定点.

【例4】如图，过顶点在原点，对称轴为y 轴的抛物线E 上的点()2,1A 作斜率分别为12,k k 的直线,分别交抛物线E 于点,B C . (1)求抛物线E 的标准方程和准线方程;

(2)若1212k k k k +=,证明:直线BC 恒过定点.

【分析】由1212k k k k +=可得对应点的关系,然后设直线:BC y kx b =+

得到变量,k b 的关系,从而发现直线过定点. 【解析】(1)2

4,1x y y ==-.

(2)方法1设点()()2112112211224,,,,,244

AB

AC x x x B x y C x y k k x -

++===-. 1212

121212122222221204444

x x x x k k k k x x x x +++++=⇒

+=⋅⇒+-+=. 设:BC y kx b =+,与抛物线方程联立,得21212440,4,4x kx b x x k x x b --=+==-, 即()244120,230k b k b ⋅--+=++=,

直线():3223BC y kx k k x =--=--过定点()2,3-.

方法2设()111222121,21AB AC y k x k x k y k x k =-+=-+==-+.

1121112

21,

4840,44,

A B y k x k x k x k x x k x y =-+⎧⇒-+-=+=⎨=⎩,即142B x k =-. 所以点()

(

)2

1142,21B k k --.

同理可得点()

()2

2242,21C k k --

.

此时直线BC 的方程为()()()2

112121142y k k k x k ⎡⎤⎡⎤--=+---⎣⎦⎣⎦.

()()()()1212121221,21y k k x k k y k k x x =+--++=+---,直线BC 过定点()2,3-.

【点睛】本题先设直线:AB y kx m =+,联立曲线方程得根与系数的关系,然后由题设条件

1212k k k k +=,得参数之间的关系,()k f m =或者()m f k =;再将()k f m =或者()m f k =代

入y kx m =+,即可得定点.

【例5】已知等轴双曲线的顶点()()122,0,2,0F F -分别是椭圆C 的左右焦点，且x =椭圆与双曲线某个交点的横坐标. (1)求椭圆C 的方程;

(2)设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,以线段AB 为直径的圆过椭圆的上顶点M ,求证:直线l 恒过定点.

【分析】(1)利用等轴双曲线的定义求出双曲线方程,令x =求出交点坐标.设椭圆的标准方程,由焦点坐标得到22

4a b =+,将交点坐标代入标准方程,得到22164133a b

+=,求出,a b 的值,

即可得到答案.

(2)设直线l 的方程,与椭圆方程联立,由90AMB ∠=转化为韦达定理进行表示,化简整理,即可得到答案.

【解析】(1)因为等轴双曲线的顶点()()122,0,2,0F F -,所以双曲线方程为

22

144

x y -=.

因为直线x =则直线与双曲线的交点为⎝⎭

,

因为()()122,0,2,0F F -分别是椭圆C 的左、右焦点,设椭圆C 的标准方程为22

221x y a b

+=,则

224a b =+(1)

将,33⎛±

⎝

⎭代人椭圆方程,可得22164

133a b +=(2)由(1)(2)两式可得22

8,4a b ==.

所以椭圆C 的方程为22

184

x y +=.

(2)证明:由题意可知,直线l 与x 轴不垂直,

设直线():2l y kx m m =+≠,与椭圆22

:184

x y C +=相交于点()()1122,,,A x y B x y . ()

2222

2

,

2142801,84y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+

=⎪⎩

, 所以2121222

428

,2121

km m x x x x k k -+=-=++. 由90AMB ∠=得()()1122,2,20x y x y --=,

即()()()()()1212121212220,240x x y y x x kx m kx m kx m kx m +--=+++-++++=,

整理可得(

)

()22

2

22

28412(2)02121

m km k k m m k k --+⋅+-⋅+-=++. 因为2m ≠,所以()()()

()22221242120k m k m k m ++-++-=,得2

320,3

m m +==-

. 故直线l 恒过定点20,3⎛⎫-

⎪⎝⎭

. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用.在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时,注意几何条件90AMB ∠=解析化的途径. 【例6】 已知抛物线2

:2C x py =-经过点()2,1-

(1)求抛物线C 的方程及其准线方程;

(2)设O 为原点,过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于,M N 两点,直线1y =-分别交直线,OM ON 于点,A B ,求证:以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.

【分析】根据题设条件写出直线,OM ON 的方程,并解出交点,A B 的坐标,从而得到以AB 为直径的圆的方程.结合直线MN 过焦点F ,通过联立抛物线方程,运用韦达定理得到点,M N 的坐标关系,求出定点.

【解析】(1)将点()2,1-代人抛物线方程,有()2

221p =⨯-,可得2p =,

故抛物线方程为2

4x y =-,其准线方程为1y =.

(2)很明显,直线l 的斜率存在,焦点坐标为()0,1-,

设直线l 的方程为1y kx =-,与抛物线方程2

4x y =-联立,可得2

440x kx +-=.

故12124,4x x k x x +=-=-.

设点22

1212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭,则12,44OM ON x x k k =-=-,直线OM 的方程为1

4x y x =-,与直线方程1y =-联立,可得点14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.同理可得点24,1B x ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

.

易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为1222,1x x ⎛⎫+-

⎪⎝⎭

,圆的半径为1222

x x -, 且()

12121212

22222

2,2x x k x x x x x x ++==-==,

则圆的方程为()

222(2)(1)41x k y k -++=+. 令0x =整理可得2

230y y +-=,

解得123,1y y =-=,即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-.

【点睛】对于曲线或直线过定点,首先将曲线或直线方程表示为只含一个参量的方程,然后根据代数形式,确定曲线或直线过定点.

【例7】已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>经过点

)

,. (1)求椭圆的方程;

(2)过点()4,0M 的直线交椭圆于,A B 两点,若AM MB λ=,

在线段AB 上取点D ,使

AD DB λ=-,求证:点D 在定直线上.

【分析】由AM MB λ=知()12M M y y y y λ-=-.

由AD DB λ=-知()12D D y y y y λ-=--, 得到1

2

y y λ=-

,从而求出D y . 【解析】(1)

由已知条件知22::31

1,a b c a b

⎧==⎪

⎨+=⎪⎩

解得a b =

=即椭圆的方程为22

162

x y +=. (2)由于点()4,0M 在椭圆外,记点()()1122,,,A x y B x y .设直线:4AB x my =+.

222

2

4,

(4)3601,6

2x my my y x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩,即()2238100m y my +++=,其中Δ0>, 所以1212

22

810

,33m y y y y m m +=-

=++.由AM MB λ=知()12M M y y y y λ-=-, 即12

01M y y y λλ

+=

=+.

故1

2

y y λ=-

.

由AD DB λ=-知()12D D y y y y λ-=--, 即1211121122

2205

1821D y y y y y y y y y y m m y λλ-+=

====-

-+-+. 由于点D 在直线AB 上,则534422D D x my =+=-

+=,故点D 在定直线32

x =上. 【点睛】本题是椭圆中向量背景下的动点在定直线上的问题.由于参数λ作为中间变量沟通了

,,,A B M D 四点关系,故将参数λ用12,y y 表示,然后再将目标点D 用参数λ和1y ,2y 表示.在解题过程中,坐标关系的转化是本题的易错点.

【例8】如图,已知过点()1,0M 的直线l 与抛物线2

2(0)y px p =>交于,A B 两点,且OA

OB ⊥

(1)求抛物线的方程;

(2)在平面直角坐标系xOy 中,是否存在与点M 不同的定点N ,使得NA MA NB

MB

=

恒成立?若存

在，求出点N 的坐标;若不存在，请说明理由.

【分析】(1)设直线:1,0A B A B

l x ty OA OB

x x y y ,联立直线方程与抛物线方程,运用韦达定理即得. (2)先假设存在点,M m n ，使NA MA NB

MB

得恒成立，将等式

对应线段坐标化,通过代数变形得到某个变量的恒等式;也可考虑由NA MA NB

MB

得

NM 平分ANB ,于是转化为0NA NB

k k 进行分析求解.

【解析】解法1：(1)设点1122,,,A x y B x y ,直线:1l

x ty .

222,2201,y px y pty p x ty .故12

12

2,2y y pt y y p .

因为OA

OB ,所以12120x x y y ,即

2212

12

2

04y y y y p ,

即

22

(2)204p p p ,可得12

p

. 抛物线的方程为2

y x .

(2)假设存在点,N m n 使得

NA MA

NB

MB

∣恒成立, 221112

2

2

2

2

m x n y y y m x n y 恒成立.

两边平方,去分母,把1

1221,1x ty x ty 代人,化简整理得

22

2

22

22

212

1212

12

12

(1)2120m n y y m t y y y y n y y y y .

又由(1)得12

12,1y y t y y ,代人可得 221

2

2

1

2

1

(1)2120m n t y y m t y y n y y ,

即22(1)2120m n t m t n (1)

由于(1)式对于

t R 恒成立,

所以

22(1)210,

20,m n m n 解得

1,

m n 或

1,0.

m n (舍去)

综上所述,存在点1,0N

使得

NA MA

NB

MB

∣恒成立. 解法2：(1)设直线:1AB mx ny ,代人22y px ,

得2

2222y px mx ny

pmx pnxy ,

两边同除以2

x ,得

2

220y

y pn

pm x

x

.

因为OA

OB ,所以21OA OB

k k pm ,解得12m

p .所以直线1

:

12AB x ny p

过定点2,0p ,所以21p ,解得1

2

p

,所以抛物线的方程为2y x .

（2）假设存在点N 满足条件,由对称性可设点,0N t . 由NA MA NB

MB

可得NM 平分ANB ,所以0NA NB

k k .

设

点

1122

,,,A x y B x y ,

则

121212121

2

2222121

2

1

2

0NA NB

y y y y t y y y y y y k k x t

x t

y t y

t

y

t y

t

,

即12120y y y y t

.

由

2,1

y x x

ny 得210y ny ,故12

1y y .

因为12120y y y y t

恒成立, 所以1t

.所以存在点1,0N

满足条件.

【点睛】本题的背景是极点极线问题,即直线AB 的极点为1,0N

.