七年级下册数学复习——平方差公式、完全平方公式
七年级数学下册期末复习
1
再不努力就老了 2.2 平方差公式、完全平方公式
知识要点：
平方差公式：22()()ababab
完全平方公式：222222()2,()2xyxxyyxyxxyy
常用变形：x2+y2＝（x+y）2－2xy； x2+y2＝（x－y）2＋2xy；
（x+y）2 ＝（x－y）2+4xy； （x－y）2＝（x+y）2 — 4xy； （x+y）2 —（x－y）2=4xy
注意：x和y可以表示一个单项式，也可以表示一个多项式，当表示一个多项式时，就将这个多项式视为一个整体。
1. 平方差公式题型1：直接运用公式
1）（a+3）(a-3) 2）(1+2c)(1-2c) 3）(-x+2)(-x-2) 4）(2x+12)(2x-12)
2. 平方差公式题型2：运用公式使计算简便
1）1998×2002 2）498×502 3）1.01×0.99 4）（20-19）×（19-89）
3. 平方差公式题型3：两次运用平方差公式
1）（a+b）(a-b)(a2+b2) 2）(3a+2)(3a-2)(9a2+4)
3）(x-12)(x2+14)(x+12) 4)))94)(64)(32(2aaa
4. 平方差公式题型4：需要先变形再利用平方差公式
1）（-2x-y）(2x-y) 2）(32)(32)aa 3）(ab+1)(1-ab) 4）)43)(43(22xx
七年级数学下册期末复习
2
再不努力就老了 5. 平方差公式题型5：每个多项式含三项，需要打包
1）（a+2b+c）(a+2b-c) 2）(a+b-3)(a-b+3)
3）（x-y+z)(x+y-z) 4）(3x-2y+1)(3x+2y-1)
6. 完全平方公式变形：
1）a2+b2=(a+b)2 =(a-b)2 2）（a-b）2=(a+b)2 ; (a+b)2=(a-b)2
3）(a+b)2 +（a-b）2= 4）(a+b)2 —（a-b）2=
7. 完全平方公式题型1：直接利用公式
2)12(t 2)2332(yx (0.02x+0.1y)2
8. 完全平方公式题型2：括号中的多项式含有三项，需要打包
（1）(2x+y-z)2 （2）(a+2b-2)2
9. 完全平方公式题型3：运用公式使计算简便
（1）1022 （2）1972
10. 其他题型
1) 若622nm，且3nm，则nm ．
2) 若m - n= 8,mn=30,则m2+n2=___________
3) 若016822nnm，则______________,nm。
4) 若16)3(22mx是关于x的完全平方式，则________m。
5) 化简求值),2)(2()2)(2(xyxyxyyx其中x=1，y=2.
6) 已知13aa，求221aa的值。
7年级下册数学公式
7年级下册数学公式：
（一）运用公式法：
我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：
a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用
公式法。
（二）平方差公式
1．平方差公式
（1）式子： (a+b)(a-b) = a2-b2
（2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差
公式。 。
（四）完全平方公式
（1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和 (a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：
a2+2ab+b2 =(a+b)2
a2-2ab+b2 =(a-b)2
这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或
者差）的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
（2）完全平方式的形式和特点
①项数：三项
②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
（3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
（4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。这里只要将多项式看成一
个整体就可以了
立方差 a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
立方和 a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
。
4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，
(x-y)3＝-(y-x)3．
5．分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再
按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的分式之分子分母可直接乘方．
初中数学初一数学下册《完全平方公式与平方差公式》教案、教学设计
初中数学初一数学下册《完全平方公式与平方差公式》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1. 理解并掌握完全平方公式的结构特点，能够准确运用完全平方公式进行计算。
2. 理解并掌握平方差公式的结构特点，能够准确运用平方差公式进行计算。
3. 能够运用完全平方公式和平方差公式解决实际问题，提高解题能力。
4. 培养学生运用数学符号进行表达、推理的能力。
（二）过程与方法
1. 学会运用数形结合的思想，通过绘制图形，直观感受完全平方公式和平方差公式的形成过程。
2. 学会运用类比、归纳等方法，总结出完全平方公式和平方差公式的规律。
3. 学会运用公式进行简便计算，提高计算速度和准确率。
4. 学会在解决问题时，灵活运用完全平方公式和平方差公式，提高解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1. 培养学生对数学的兴趣和热情，激发学生主动学习的积极性。
2. 培养学生勇于探究、善于合作的精神，增强团队意识。
3. 培养学生面对问题时的耐心和毅力，提高克服困难的信心。
4. 培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，感受数学在生活中的重要作用，增强数学学习的实用性。
在教学过程中，教师要关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。同时，注重培养学生的数学思维能力和创新能力，为学生的终身发展奠定基础。
二、学情分析
初一学生经过上半学期的学习，已具备了一定的数学基础，对代数式的运算也有了一定的了解。但在运用完全平方公式和平方差公式进行计算时，仍存在一些困难。学生对公式的记忆、理解和应用能力有待提高。此外，学生在解决问题的过程中，对数学符号的运用和推理能力仍需加强。因此，在本章节的教学中，教师应关注以下几点：
1. 帮助学生巩固已学过的知识，激发学生的学习兴趣，提高学习积极性。
2. 注重学生对完全平方公式和平方差公式的理解，引导学生通过实际例题，感受公式在解决问题中的简便性。
3. 针对不同学生的认知水平，设计有针对性的教学活动，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
七年级数学下平方差完全平方公式专项练习题
第 1 页 七年级数学下---平方差、完全平方公式专项练习题
平方差： 一、选择题
1．平方差公式〔a+b〕〔a－b〕=a2－b2中字母a，b表示〔 〕
A．只能是数 B．只能是单项式 C．只能是多项式 D．以上都可以
2．以下多项式乘法中，可以用平方差公式计算是〔 〕
A．〔a+b〕〔b+a〕 B．〔－a+b〕〔a－b C．〔a+b〕〔b－a〕 D．〔a2－b〕〔b2+a〕
3．以下计算中，错误有〔 〕 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
①〔3a+4〕〔3a－4〕=9a2－4； ②〔2a2－b〕〔2a2+b〕=4a2－b2；
③〔3－x〕〔x+3〕=x2－9； ④〔－x+y〕·〔x+y〕=－〔x－y〕〔x+y〕=－x2－y2．
4．假设x2－y2=30，且x－y=－5，那么x+y值是〔 〕A．5 B．6 C．－6
D．－5
二、填空题： 5、〔a+b－1〕〔a－b+1〕=〔_____〕2－〔_____〕2．
6．〔－2x+y〕〔－2x－y〕=______．7．〔－3x2+2y2〕〔______〕=9x4－4y4．
8．两个正方形边长之与为5，边长之差为2，那么用较大正方形面积减去较小正方形面积，差是_____．
三、计算题9．利用平方差公式计算：20×21． 10．计算：〔a+2〕〔a2+4〕〔a4+16〕〔a－2〕．
B卷：提高题 1．计算：〔1〕〔2+1〕〔22+1〕〔24+1〕…〔22n+1〕+1〔n是正整数〕；
〔2〕〔3+1〕〔32+1〕〔34+1〕…〔32021+1〕－．
2．式计算：2021×2007－20212． 3．解方程：x〔x+2〕+〔2x+1〕〔2x－1〕=5〔x2+3〕． 第 2 页 〔1〕计算：． 〔2〕计算：．
北师大版七年级下册数学完全平方公式
第一章：整式的乘除
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完全平方公式
知识点一：完全平方公式
1.完全平方和公式：
文字叙述为：两数的 等于这两个数的 加上这两个数
2.完全平方差公式：
文字叙述为：两数的 等于这两个数的 这两个数乘积的2倍
注意：①公式中的字母a b可以表示具体的数，也可以表示 或 。
②可以用口诀来记忆：头平方、尾平方，头乘尾两倍在中央，中间符号照原样。
3. 公式的扩展: 2)(cba
1、利用完全平方公式计算
(1)2)32(x (2)2)54(yx (3)2)(amn （4）2)2(nm
(5）2)5(yx （6）22)3(xx （7）（a+b+3）(-a-b-3)
2.计算
（1）1022 （2） 1972 （3）9982
提高练习
完全平方式：
1.若(x＋m)2＝x2－8x＋n，则m= ，n=
2.若x2+10x＋25=（x-m)2 则m=
3.若x2+kx＋9是一个完全平方式，则k=
4. 若x2-kx＋9是一个完全平方式，则k=
5.若4x2+kx+25是完全平方式，则k=
6.
若x2+10x＋m是一个完全平方式，则m=
7. 若x2+10x＋m2是一个完全平方式，则m=
8.
若4x2-12x＋m是一个完全平方式，则m=
数学七年级下期培优学案-平方差公式和完全平方公式
数学七年级下期培优学案(3)
----平方差公式和完全平方公式
一、平方差公式
1. 公式：22)()ababab（
2. 公式的特征：（1）左边是两个二项式的乘积，存在一组相同的量和一组相反的量（2）右边是相同量的平方与相反量平方的差；
3. 公式的顺用
例1. 用平方差公式计算
22224433(1)(4)(4)22(2)()()()()aayxyxyxyx
练习1计算
(1)(1)(1)(1)xxxx (2)(23)(23)xyxy (3)()()xyzxzy
4. 公式逆用
例2计算2211(5)(5)22xx
练习2填空
(1)(1)ab（ ）=221ab (2)()()abab（ ）=44ab
2(3)6,3,bab2若a且则a+b= ；
5. 利用平方差公式计算
例3.利用平方差公式计算
2(1)9991001(2)39.840.2(3)200420032005
练习3计算
22222242222222007(1)2007200820061111(2)(1)(1)(1)...(1)23410(3)3(41)(41)(41)1(4)2012201120102009...21
二、完全平方公式
1. 公式及其变形
22222222222222222222)2()())22()()()()22()()4,()()411()2abaabbababababababababababababababababxxxx（（
2. 口诀：（1）展开式：首平方，尾平方，首尾二倍在中央
（2）中间项口诀：同正异负
平方差公式、完全平方公式-2021-2022学年七年级数学下册精讲与精练高分突破(北师大版)
1.5-1.6 平方差公式、完全平方公式
1、平方差公式
两数的和乘以这两数的差，等于这两数的平方差。
即：一项符号相同，另一项符号相反，等于符号相同的平方减去符号相反的平方。
22bababa
2、完全平方公式
两数的和（或差）的平方，等于这两数的平方和再加上（或减去）两数积的2倍。
abbaba2222 abbaba2222
常见错误：222baba 222baba
题型一：运用平方差公式进行运算
1．（2022·全国·七年级）已知（2x＋3y）2＝15，（2x﹣3y）2＝3，则3xy＝（ ）
A．1 B．32 C．3 D．不能确定
2．（2022·全国·七年级）下列各式，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2a＋b）（2b﹣a） B．（﹣a﹣2b）（﹣a＋2b）
C．（2a﹣3b）（﹣2a＋3b） D．（113a）（﹣113a）
3．（2021·黑龙江大庆·七年级期中）记2481212121212nx，且12812x，则n（ ）．
A．128 B．32 C．64 D．16
题型二：平方差公式与几何图形 4．（2022·上海金山·七年级期中）根据图中的图形面积关系可以说明的公式是（ ）
A．2222abaabb B．2222abaabb
C．22ababab D．2aabaab．
5．（2021·广东·深圳市新华中学七年级阶段练习）如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列四种割拼方法，其中能够验证平方差公式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．（2021·广东深圳·七年级期中）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B得图丙，则阴影部分的面积为（ ）
七年级数学下---平方差、完全平方公式专项练习题
时间：二O二一年七月二十九日
时间：二O二一年七月二十九日 七年级数学下---平方差、完全平方公式专项演习题之马矢奏春创作
时间：二O二一年七月二十九日
平方差：一、选择题
1．平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a,b暗示（ ）
A．只能是数 B．只能是单项式 C．只能是多项式
D．以上都可以
2．下列多项式的乘法中,可以用平方差公式计算的是（ ）
A．（a+b）（b+a） B．（－a+b）（a－b C．（a+b）（b－a） D．（a2－b）（b2+a）
3．下列计算中,错误的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2；
③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2．
4．若x2－y2=30,且x－y=－5,则x+y的值是（ ）A．5
B．6 C．－6 D．－5
二、填空题： 5、（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2．
6．（－2x+y）（－2x－y）=______．7．（－3x2+2y2）时间：二O二一年七月二十九日
时间：二O二一年七月二十九日 （______）=9x4－4y4．
8．两个正方形的边长之和为5,边长之差为2,那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积,差是_____．
三、计算题9．运用平方差公式计算：20×21．10．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．
B卷：提高题1．计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）；
（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－．
2．式计算：2009×2007－20082．3．解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）．
七年级下册数学平方差公式
七年级下册数学平方差公式
平方差公式：（a+b）（a-b）=a²-b²
根据多项式乘法法则，去掉括号即可得到：
（a+b）（a-b）=a²-ab+ba-b²=a²-b²
其中a和b可以是任意实数（正数，负数，零），也可以是整式。例如下面的式子也都成立
（-2）²-3²=（-2+3）（-2-3）
（2x+3y-4）（2x+3y+4）=（2x+3y）²-4²
下面看一下平方差公式的一些用法和变化：
平方差公式的变形a²=（a+b）（a-b）+b²
例题2：心算997²
虽然可以利用完全平方公式：
997²=（1000-3）²=1000²-2×3×1000+3²
但是运算过程中有减法，所以心算比较费劲。所以可以利用上面的变形公式转化成加法。一般的简便运算都需要凑成整十整百等，997+3=100，两数相加就是平方差公式的一部分。
997²=（997+3）×（997-3）+3²=1000×994+9=994009
完全可以心算直接写答案，其中a=997，b=3.
请仔细体会这种运算方法，对平方差公式的理解会提升一个高度。
初一人教版七年级下册数学完全平方公式
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初一人教版七年级下册数学完全平方公式知识点归纳总结
一、完全平方公式的概念
完全平方公式是数学中一种重要的恒等式，它描述了一个二次多项式如何表示为一个平方的形式。具体地说，完全平方公式是形如a²±2ab+b²=(a±b)²的等式。其中，a和b是任意实数或代数式，它们可以是数字、字母、单项式或多项式。
二、完全平方公式的定义
完全平方公式可以定义为：一个二次多项式，如果它可以表示为(a±b)²的形式，则称该二次多项式为完全平方公式。其中，a和b可以是任意实数或代数式。
三、完全平方公式的性质
唯一性：对于给定的a和b，完全平方公式(a±b)²是唯一的。这意味着没有其他形式的二次多项式可以表示为完全平方。
展开性：完全平方公式可以展开为a²±2ab+b²的形式。这是完全平方公式的一个重要性质，它允许我们将一个看似复杂的二次多项式简化为一个更简单的形式。
对称性：完全平方公式具有对称性，即(a+b)²=(b+a)²和(a-b)²=(b-a)²。这意味着在完全平方公式中，a和b的位置可以互换而不影响公式的值。 - 2 -
四、完全平方公式的特点
平方项：完全平方公式的第一项和最后一项都是平方项，即a²和b²。这两项代表了公式中的主要部分，它们决定了公式的整体形状。
乘积项：完全平方公式的中间项是a和b的乘积的两倍，即±2ab。这项是公式中的关键部分，它连接了平方项并使整个公式成为一个整体。
正负号：完全平方公式中的正负号取决于中间项是正是负。如果中间项是正数，则公式为(a+b)²；如果中间项是负数，则公式为(a-b)²。
五、完全平方公式的规律
二次项和一次项的关系：在完全平方公式中，二次项（a²）和一次项（±2ab）之间存在密切的关系。具体来说，二次项是a的平方，而一次项是a和b的乘积的两倍。这种关系使得我们可以轻松地识别一个二次多项式是否为完全平方公式。
平方差公式与完全平方公式的联系：平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)可以看作是完全平方公式的一种特殊情况。当我们将平方差公式展开时，它会变成a²-2ab+b²的形式，这正是(a-b)²的完全平方形式。因此，平方差公式和完全平方公式之间存在着密切的联系。
初一数学平方差和完全平方公式
学科教师辅导讲义
年 级：初一 辅导科目：数学 辅导教师： 课时数:
课 题 平方差公式和完全平方公式
教学内容
一、概念梳理
（一）平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
特征：
①左边：二项式乘以二项式，两数（a与b）的和与它们差的乘积.
②右边：这两数的平方差.
平方差公式的常见变形：
①位置变化：如22abbabababa
②符号变化：如2222ababbabababa
或2222abababababab
③系数变化：如22mambabmababmab
（二）完全平方公式22222222abaabbabaabb
完全平方公式常见变形：
① 符号变化：如22222ababaabb
22222ababaabb
②移项变化：22222222abaabbabaabb22222222abababababab224ababab
二、例题讲解
（一）平方差公式
例1：计算：2244abbababa
例2：计算：
①（2x+y）(2x-y) ②(yx3121)(yx3121)
③(-x+3y)(-x-3y) ④(2a+b)(2a-b)(4)22ba.
【同步演练】应用平方差公式计算
（1）aa2121 （2）3121312122xx （3）yxyx3232