(完整)七年级数学下---平方差、完全平方公式专项练习题
七年级数学下---平方差、完全平方公式专项练习题平方差：一、选择题1．平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（）A．只能是数 B．只能是单项式 C．只能是多项式 D．以上都可以2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（b+a） B．（－a+b）（a－b C．（13a+b）（b－13a） D．（a2－b）（b2+a）3．下列计算中，错误的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2；③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2．4．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（）A．5 B．6 C．－6 D．－5二、填空题： 5、（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2．6．（－2x+y）（－2x－y）=______．7．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4．8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．三、计算题9．利用平方差公式计算：2023×2113． 10．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．B卷：提高题1．计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）；（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－401632．2．式计算：2009×2007－20082． 3．解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）．（1）计算：22007200720082006-⨯．（2）计算：22007200820061⨯+．4．广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？5．下列运算正确的是（） A．a3+a3=3a6 B．（－a）3·（－a）5=－a8C．（－2a2b）·4a=－24a6b3 D．（－13a－4b）（13a－4b）=16b2－19a26．计算：（a+1）（a－1）=______．C卷：课标新型题1．（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3，（1－x）（•1+x+x2+x3）=1－x4．（1）观察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+…+x n）=_____ _．（n为正整数）（2）根据你的猜想计算：①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______．②2+22+23+…+2n=______（n为正整数）．③（x－1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=_______．（3）通过以上规律请你进行下面的探索：①（a －b ）（a+b ）=_______ ． ②（a －b ）（a 2+ab+b 2）=_____ _． ③（a －b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=____ __．2．（结论开放题）请写出一个平方差公式，使其中含有字母m ，n 和数字4．完全平方公式变形的应用完全平方式常见的变形有:ab b a b a 2)(222-+=+；ab b a b a 2)(222+-=+ab b a b a 4)(22=--+）（； bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++1、已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值2、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。
3、已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。
练一练 A 组：1．已知()5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。
2．已知6,4a b a b +=-=求ab 与22a b +的值。
3、已知224,4a b a b +=+=求22a b 与2()a b -的值。
4、已知(a +b)2=60，(a -b)2=80，求a 2+b 2及a b 的值。
B 组：5、已知6,4a b ab +==，求22223a b a b ab ++的值。
6、已知16x x-=，求221x x +的值。
7、已知222450x y x y +--+=，求21(1)2x xy --的值。
8、0132=++x x ，求（1）221x x +（2）441xx +9、试说明不论x,y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。
10、已知三角形 ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c 满足等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角形是什么三角形？整式的乘法、平方差公式、完全平方公式、整式的除法综合题一、请准确填空1、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,则a 2004+b 2005=________.2、一个长方形的长为(2a +3b ),宽为(2a －3b ),则长方形的面积为________.3、5－(a －b )2的最大值是________，当5－(a －b )2取最大值时，a 与b 的关系是________. 4.要使式子0.36x 2+41y 2成为一个完全平方式，则应加上________. 5.(4a m+1－6a m)÷2am －1=________ . 6.29×31×(302+1)=________.7.已知x 2－5x +1=0,则x 2+21x=________. 8.已知(2005－a )(2003－a )=1000,请你猜想(2005－a )2+(2003－a )2=________. 二、相信你的选择9.若x 2－x －m =(x －m )(x +1)且x ≠0,则m 等于（ ）A.－1B.0C.1D.210.(x +q )与(x +51)的积不含x 的一次项，猜测q 应是（ ）A.5B.51C.－51D.－511. 下列四个算式:①4x 2y 4÷41xy =xy 3； ②16a 6b 4c ÷8a 3b 2=2a 2b 2c ； ③9x 8y 2÷3x 3y =3x 5y ；12. ④(12m 3+8m 2－4m )÷(－2m )=－6m 2+4m +2，其中正确的有（ ） A.0个B.1个C.2个D.3个13.设(x m －1y n +2)·(x 5m y －2)=x 5y 3,则m n 的值为（ ）A.1 B.－1 C.3D.－314.计算［(a 2－b 2)(a 2+b 2)］2等于（ ） A.a 4－2a 2b 2+b 4B.a 6+2a 4b 4+b 6C.a 6－2a 4b 4+b 6D.a 8－2a 4b 4+b 815.已知(a +b )2=11,ab =2,则(a －b )2的值是（ ）A.11 B.3C.5D.1916.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是（ ） A.27y 2B.249y 2C.449y 2D.49y 217.若x ,y 互为不等于0的相反数，n 为正整数,你认为正确的是（ ） A.x n 、y n 一定是互为相反数 B.(x1)n 、(y1)n 一定是互为相反数C.x 2n 、y 2n 一定是互为相反数D.x 2n －1、－y 2n －1一定相等 三、考查你的基本功：18.计算(1)(a －2b +3c )2－(a +2b －3c )2;（2）［ab (3－b )－2a (b －21b 2)］(－3a 2b 3)； （3）－2100×0.5100×(－1)2005÷(－1)－5;（4）［(x +2y )(x －2y )+4(x －y )2－6x ］÷6x . 19.解方程x (9x －5)－(3x －1)(3x +1)=5.四、探究拓展与应用：20.计算.(2+1)(22+1)(24+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)=(22－1)(22+1)(24+1)=(24－1)(24+1)=(28－1).根据上式的计算方法，请计算：(3+1)(32+1)(34+1)…(332+1)－2364的值.练习：1.计算(a+1)(a-1)(2a +1)(4a +1)(8a +1). 2、计算:2481511111(1)(1)(1)(1)22222+++++.3、计算:22222110099989721-+-++-L ； 3、计算:2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23499100-----L .五、“整体思想”在整式运算中的运用1、当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.2、已知2083-=x a ，1883-=x b ，1683-=x c ，求：代数式bc ac ab c b a ---++222的值。
3、已知4=+y x ，1=xy ，求代数式)1)(1(22++y x 的值。
4、已知2=x 时，代数式10835=-++cx bx ax ，求当2-=x 时，代数式835-++cx bx ax 的值。
5、若123456786123456789⨯=M ，123456787123456788⨯=N ；试比较M 与N 的大小。
6、已知012=-+a a ，求2007223++a a 的值.。
七下数学每日一练：完全平方公式及运用练习题及答案_2020年计算题版
答案
~~第6题~~
(2019昆山.七下期中)
（2）
（3）
考点： 代数式求值;完全平方公式及运用;
答案
~~第7题~~
(2019泰兴.七下期中) 计算：
（1）
（2）
（3）
(用简便方法)
考点： 多项式乘多项式;平方差公式及应用;完全平方公式及运用;
答案
~~第8题~~ (2019宁化.七下期中) 先化简，再求值： 考点： 多项式乘多项式;完全平方公式及运用;
答案
~~第2题~~
(2019利辛.七下期末) 先化简，再求值:[(2x+y)2-(2x-y)(2x+y)÷(2y)，其中x=2，y=-1．
考点： 平方差公式及应用;完全平方公式及运用;
答案
~~第3题~~ (2019大埔.七下期末) 先化简，再求值：
，其中：
.
考点： 多项式乘多项式;多项式除以单项式;完全平方公式及运用;整式的混合运算;
考点： 平方差公式及应用;完全平方公式及运用;
答案
2020年 七 下 数 学 ： 数 与 式 _整 式 _完 全 平 方 公 式 及 运 用 练 习 题 答 案
1.答案：
2.答案： 3.答案：
4.答案： 5.答案：
6.答案：
7.答案：
8.答案： 9.答案： 10.答案：
其中
，．
答案
~~第9题~~
(2016澧.七下期末) 已知x2+y2﹣4x+6y+13=0，求x2﹣6xy+9y2的值．
考点： 完全平方公式及运用;因式分解的应用;非负数之和为0;
答案
~~第10题~~ (2017江阴.七下期中) 先化简，再求值（x﹣2）2+2（x+2）（x+4）﹣（x﹣3）（x+3）；其中x=﹣1．
平方差公式与完全平方公式试题(含答案)
乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，x y y x x 2y 2 ② 符号变化，x y x yx2y 2 x 2y 2③ 指数变化，x 2y 2x 2y 2x 4y 4 ④ 系数变化，2ab 2ab 4a2b 2 ⑤ 换式变化，xy zmxyzmxy 2zm 2x 2y 2z m z m x 2y 2z 2zmzm m 2x 2y 2z 22zmm 2 ⑥ 增项变化，x yz xyzx y 2z 2 x y xy z 2 x 2xyxy y 2z 2x 22xyy 2z 2 ⑦ 连用公式变化，x yxy x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 4y 4 ⑧ 逆用公式变化，xy z 2x y z 2xyzxyzx y z x y z2x 2y 2z4xy4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+ba ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a=-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+ba ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1） =19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。
平方差公式同步检测练习题(含答案)初中数学
平方差公式同步检测练习题1.下列各式中，相等关系一定成立的是( )A.(x-y)2=(y-x)2B.(x+6)(x-6)=x 2-6C.(x+y)2=x 2+y 2D.6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(x-6)2.下列运算正确的是( )A.x 2+x 2=2x 4B.a 2·a 3= a 5C.(-2x 2)4=16x 6D.(x+3y)(x-3y)=x 2-3y 23.下列计算正确的是( )A.(-4x)·(2x 2+3x-1)=-8x 3-12x 2-4xB.(x+y)(x 2+y 2)=x 3+y 3C.(-4a-1)(4a-1)=1-16a 2D.(x-2y)2=x 2-2xy+4y 24.(x+2)(x-2)(x 2+4)的计算结果是( )A.x 4+16B.-x 4-16C.x 4-16D.16-x 45.19922-1991×1993的计算结果是( )A.1B.-1C.2D.-26.对于任意的整数n ，能整除代数式(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)的整数是( )A.4B.3C.5D.27.( )(5a +1)=1-25a 2，(2x-3) =4x 2-9，(-2a 2-5b)( )=4a 4-25b 28.99×101=( )( )= .9.(x-y+z)(-x+y+z)=[z+( )][ ]=z 2-( )2.10.多项式x 2+kx+25是另一个多项式的平方，则k= .11.(a +b)2=(a -b)2+ ，a 2+b 2=[(a +b)2+(a -b)2]( )，a 2+b 2=(a +b)2+ ，a 2+b 2=(a -b)2+ .12.计算.(1)(a +b)2-(a -b)2； (2)(3x-4y)2-(3x+y)2；(3)(2x+3y)2-(4x-9y)(4x+9y)+(2x-3y)2；(4)1.23452+0.76552+2.469×0.7655； (5)(x+2y)(x-y)-(x+y)2.13.已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值14.已知a +a 1=4，求a 2+21a 和a 4+41a的值.15.已知(t+58)2=654481，求(t+84)(t+68)的值.16.解不等式(1-3x)2+(2x-1)2＞13(x-1)(x+1).17.已知a =1990x+1989，b=1990x+1990，c=1990x+1991，求a 2+b 2+c 2-a b-a c-bc 的值.18.(2003·郑州)如果(2a +2b+1)(2a +2b-1)=63，求a +b 的值.19.已知(a +b)2=60，(a -b)2=80，求a 2+b 2及a b 的值.20.化简(x+y)+(2x+21⨯y )+(3x+32⨯y )+…+(9x+98⨯y )，并求当x=2，y=9时的值.21.若f(x)=2x-1(如f(-2)=2×(-2)-1，f(3)=2×3-1)，求2003)2003()2()1(f f f +++ 的值.22.观察下面各式：12+(1×2)2+22=(1×2+1)222+(2×2)2+32=(2×3+1)232+(3×4)2+42=(3×4+1)2……(1)写出第2005个式子；(2)写出第n 个式子，并说明你的结论.参考答案1.A2.B3.C4.C5.A6.C7.1-5a 2x+3 -2a 2+5b8.100-1 100+1 99999.x-y z-(x-y) x-y 10.±10 11.4a b 21 - 2a b 2a b 12.(1)原式=4a b ；(2)原式=-30xy+15y ；(3)原式=-8x 2+99y 2；(4)提示：原式=1.23452+2×1.2345×0.7655+0.76552=(1.2345+0.7655)2=22=4. (5)原式=-xy-3y2.13.提示：逆向应用整式乘法的完全平方公式和平方的非负性.∵m 2+n 2-6m+10n+34=0，∴(m 2-6m+9)+(n 2+10n+25)=0，即(m-3)2+(n+5)2=0，由平方的非负性可知，⎩⎨⎧=+=-,05,03n m ∴⎩⎨⎧-==.5,3n m ∴m+n=3+(-5)=-2. 14.提示：应用倒数的乘积为1和整式乘法的完全平方公式.∵a +a 1=4,∴(a +a1)2=42. ∴a 2+2a ·a 1+21a =16，即a 2+21a+2=16. ∴a 2+21a =14.同理a 4+41a=194. 15.提示：应用整体的数学思想方法，把(t 2+116t)看作一个整体.∵(t+58)2=654481，∴t 2+116t+582=654481.∴t 2+116t=654481-582.∴(t+48)(t+68)=(t 2+116t)+48×68=654481-582+48×68=654481-582+(58-10)(58+10)=654481-582+582-102=654481-100=654381.16.x ＜23 17.解：∵a =1990x+1989，b=1990x+1990，c=1990x+1991，∴a -b=-1，b-c=-1，c-a =2.∴a 2+b 2+c 2-a b-a c-be =21(2a 2+2b 2+2c 2-2a b-2bc-2a c) =21[(a 2-2a b+b 2)+(b 2-2bc+c 2)+(c 2-2a c+a 2)] =21[(a -b 2)+(b-c)2+(c-a)2]=21[(-1)2+(-1)2+22] =21(1+1+4) =3.18.解：∵(2a +2b+1)(2a +2b-1)=63，∴[(2a +2b)+1][(2a +2b)-1]=63，∴(2a +2b)2-1=63，∴(2a +2b)2=64，∴2a +2b=8或2a +2b=-8，∴a +b=4或a +b=-4，∴a +b 的值为4或一4.19.a 2+b 2=70，a b=-5. 20.提示：去括号后合并同类项，然后应用S n =2)1(+n n 与111)1(1+-=+n n n n 解决问题. 原式=x+y+2x+21⨯y +3x+32⨯y +…+9x+98⨯y =(x+2x+3x+…+9x)+(y+21⨯y +32⨯y +…+98⨯y ) =(1+2+3+…+9)x+(1+21⨯y +32⨯y +…+98⨯y )y =2)19(9+·x+(1+1-21+21-31+…+71-81+81-91)y =45x+(1-91)y =45x+917y. 当x=2，y=9时，原式=45×2+917×9=107. 21.∵f(x)=2x-1，∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2003)=(2×1-1)+(2×2-1)+(2×3-1)+…+(2×2003-1)=(2×1+2×2+2×3+…+2×2003)-1×2003=2(1+2+3+…+2003)-2003=2×2)12003(2003+⨯-2003 =20032+2003-2003=20032∴原式=200320032=2003. 22.解：(1)当n=1时，12+(1×2)2+22=(1×2+1)2；当n=2时，22+(2×3)2+32=(2×3+1)2；当n=3时，32+(3×4)2+42=(3×4+1)2；……第2005个式子即当n=2005时，有20052+(2005×2006)2+20062=(2005×2006+1)2.(2)第n个式子为n2+[n(n+1)]2+(n+1)2=[n(n+1)+1]2.证明如下：∵n2+[n(n+1)]2+(n+1)2=n2+n2(n+1)2+(n2+2n+1)=n2+n2(n2+2n+1)+(n2+2n+1)=n2+n4+2n3+n2+n2+2n+1=n4+2n3+3n2+2n+1，且[n(n+1)+1]2=[n(n+1)2]+2[n(n+1)]·1+12=n2(n+1)2+2n(n+1)+1=n2(n2+2n+1)+2n2+2n+1=n4+2n3+n2+2n2+2n+1=n4+2n3+3n2+2n+1，∴n2+[n(n+1)]2+(n+1)2=[n(n+1)+1]2.。
(完整word版)平方差公式练习题精选(含答案)
（1）(m+2) (m-2)(2)(1+3a) (1-3a)(3) (x+5y)(x-5y)(4)(y+3z) (y-3z)2、利用平方差公式计算（1）(5+6x) (5-6x)(2)(x-2y) (x+2y)(3)(-m+n)(-m-n)3利用平方差公式计算（1）(1)(-41x-y)(-41x+y)(2)(ab+8)(ab-8)(3)(m+n)(m-n)+3n 24、利用平方差公式计算(1)(a+2)(a-2)(2)(3a+2b)(3a-2b)(3)(-x+1)(-x-1)(4)(-4k+3)(-4k-3)（1）803×797（2）398×4027．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（b+a）B．（－a+b）（a－b）C．（13a+b）（b－13a）D．（a2－b）（b2+a）8．下列计算中，错误的有（）①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2；③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）（x+y）=－（x－y（x+y）=－x2－y2．A．1个B．2个C．3个D．4个9．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（）A．5 B．6 C．－6 D．－510．（－2x+y）（－2x－y）=______．11．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4．12．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2．13．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．14．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．完全平方公式1利用完全平方公式计算：（1）（21x+32y)2 (2)(-2m+5n)2(3)（2a+5b)2(4)(4p-2q)2 2利用完全平方公式计算：（1）(21x-32y 2)2 (2)(1.2m-3n)2(3)(-21a+5b)2 (4)(-43x-32y)23 (1)(3x-2y)2+(3x+2y)2 (2)4(x-1)(x+1)-（2x+3)2（3）(a+b)2-(a-b)2 (4)(a+b-c)2(5)(x-y+z)(x+y+z) (6)(mn-1)2—（mn-1)(mn+1)4先化简，再求值：(x+y)2 —— 4xy,其中x=12,y=9。
专题03 平方差公式与完全平方公式压轴题六种模型(学生版)
专题03平方差公式与完全平方公式压轴题六种模型【类型一利用平方差公式和完全平方公式化简及化简求值问题】例1.（2022·上海金山·七年级期中）先化简，再求值：（2x ）2﹣[（3x ﹣1）（3x ＋1）﹣（x ＋3）（x ﹣5）﹣（2x ﹣3）2]，其中x ＝﹣12．【变式训练1】（2022·重庆黔江·八年级期末）化简后求值：()()()()2223232323a b a b a b a b --+-++，其中：12,3a b =-=【变式训练2】（2021·全国·七年级期中）先化简，再求值：[]26()()2()(29)()x y x y x y x y x y +--++-++，其中133x y ==-．【变式训练3】（2022·湖南长沙·八年级期末）己知x ，y 满足()2230x y -+-=．先化简，再求值：()()()()()22222x y x y x y y y x y ⎡⎤-+--++÷-⎣⎦．【类型二通过乘法公式变式求值问题】例2．（2022·广东·深圳市龙华中学七年级阶段练习）简答下列各题：(1)已知a 2＋b 2＝2，ab ＝1，求a ＋b 和a －b 的值；(2)若a ＋1a＝3，那么a 2＋21a ＝_____；若a －1a ＝3，那么a 4＋41a ＝_____．【变式训练1】（2022·四川南充·八年级期末）已知228a b -=，4a b -=，则a b +=_____．【变式训练2】（2022·湖北荆门·八年级期末）已知a +b =5，ab =-2，那么a 2+b 2的值为______．【变式训练3】（2021·全国·七年级期中）已知a +b =5，ab =﹣2．求下列代数式的值：(1)a 2+b 2；(2)2a 2﹣3ab +2b 2．【类型三展开式是完全平方式问题】例3．（2022·重庆九龙坡·八年级期末）已知关于x ，y 的多项式x 2﹣2kxy +16y 2是完全平方式，则k ＝_____．【变式训练1】（2022·浙江·宁波市海曙外国语学校七年级开学考试）若249y my ++是一个完全平方式，那么m 的值应为______．【变式训练2】（2021·陕西西安·八年级阶段练习）若4x 2+（k ﹣1）x +9是一个完全平方式，则k ＝_____．【变式训练3】（2022·湖北十堰·八年级期末）若222412x xy k y -+是完全平方式，则k =______．【类型四利用完全平方配方求最值问题】例4．（2022·四川省荣县中学校八年级阶段练习）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式()2222±+=±x xy y x y 及()2±x y 的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，求代数式x 2+4x +5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x 2+4x +5＝x 2+4x +4+1＝(x +2)2+1．∵(x +2)2≥0，∴当x ＝﹣2时，(x +2)2的值最小，最小值是0，∴(x +2)2+1≥1∴当(x +2)2＝0时，(x +2)2+1的值最小，最小值是1，∴x 2+4x +5的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题：（1）当x ＝时，代数式x 2﹣6x +12有最小值；最小值是；又如探求多项式22124+-x x 的最大(小)值时，我们可以这样处理：解：原式=22222(62)2(6992)2[(3)11]2(3)22x x x x x x +-=++--=+-=+-，因为无论x 取什么数，都有()23x +的值为非负数，所以()23x +的最小值为0，此时3x =-，进而()22x 322+-的最小值是202222⨯-=-，所以当3x =-时，原多项式的最小值是−22．解决问题：请根据上面的解题思路，探求：（2）多项式23615x x -+的最小值是多少，并写出对应的x 的取值．（3）多项式2x 2x 6--+的最大值是多少，并写出对应的x 的取值．【变式训练1】（2021·河北承德·八年级期末）阅读下面的材料并解答后面的问题：在学了整式的乘法公式后，小明问：能求出243x x ++的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小丽：能．求解过程如下：因为222434443(2)1x x x x x ++=++-+=+-，因为2(2)0x +≥，所以243x x ++的最小值是1-．问题：（1）小丽的求解过程正确吗？（2）你能否求出285x x -+的最小值？如果能，写出你的求解过程；（3）求265x x -+-的最大值．【变式训练2】（2021·湖南永州·七年级期末）先仔细阅读材料，再尝试解决问题．小明在学习完全平方公式a 2±2ab +b 2＝（a ±b ）2时，代数式（a ±b ）2的值具有非负性（即该式的值总是正数或者0）的特点，在数学学习中有着广泛的应用，例如求多项式x 2+6x ﹣4的最小值时，我们可以这样处理：解：x 2+6x ﹣1＝x 2+6x +9﹣10＝（x 2+6x +9）﹣10＝（x +3）2﹣10．因为无论x 取什么数，都有（x +3）2的值为非负数，所以（x +3）2的最小值为0，当x ＝﹣3时，（x +3）2﹣10的最小值是﹣10，所以当x ＝﹣3时，原多项式的最小值是﹣10．解决问题：（1）请根据上面的解题思路探求：多项式x 2﹣4x +7的最小值是多少，并写出此时x 的值；（2）请根据上面的解题思路探求：多项式﹣x 2﹣2x +5的最大值是多少，并写出此时x 的值．【变式训练3】（2021·湖南·长沙市湘郡培粹实验中学八年级阶段练习）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1∵（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，∴（x+2）2+1≥1∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题（1）知识再现：当x＝时，代数式x2﹣6x+12的最小值是；（2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝时，y有最值（填“大”或“小”），这个值是；（3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值．【类型五平方差公式在几何图形中的应用】例5.（2022·广东·深圳市龙岗区实验学校七年级阶段练习）从边长为a 的正方形剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)上述操作能验证的等式是________________（请选择正确的一个）A .a 2－2ab ＋b 2＝（a －b ）2B .a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）C .a 2＋ab ＝a （a ＋b ）D .a 2－ab ＝a （a －b ）(2)若x 2－9y 2＝12，x ＋3y ＝4，求x －3y 的值；(3)计算：（1－212）（1－213）（1－214）…（1－212019）（1－212020）．【变式训练1】（2022·广西·上思县教育科学研究所八年级期末）如图，图1为边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．(1)设图1中阴影部分面积为S 1，图2中阴影部分面积为S 2，请用含a 、b 的代数式表示：S 1＝，S 2＝（只需表示，不必化简）；(2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式；(3)运用（2）中得到的公式，计算：20152﹣2016×2014．【变式训练2】（2022·江西·新余四中八年级期末）如图1，边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．(1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的选项）A .()()22a b a b a b -=+-；B ．()2222a ab b a b -+=-；C ．()2a ab a a b +=+(2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①己知22424a b -=，26a b +=，则2a b -=______．②计算：222221111111111234910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【变式训练3】（2022·广东东莞·八年级期末）从边长为a 的正方形中减掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后）．（1）上述操作能验证的等式是；（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：①已知：a ﹣b ＝3，a 2﹣b 2＝21，求a +b 的值；②计算：2222211111(1(1)(1)(1)(123420202021-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-．【类型六完全平方公式在几何图形中的应用】例6．（2022·福建·厦门市湖滨中学七年级期末）图a 是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b 的形状拼成一个正方形．(1)你认为图b 中的阴影部分的正方形的边长等于___________；(2)观察图b ，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：()2m n +，()2m n -，mn【变式训练1】（2021·上海浦东新·七年级期中）数学课上，王老师准备了若干个如图1的三种纸片，A 种纸片是边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为b ，宽为a 的长方形．并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形．(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1：；方法2：；(2)观察图2，请你写出代数式：（a +b ）2，a 2+b 2，ab 之间的等量关系；(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a +b ＝5，（a ﹣b ）2＝13，求ab 的值；②已知（2021﹣a ）2+（a ﹣2020）2＝5，求（2021﹣a ）（a ﹣2020）的值．【变式训练2】（2022·广东广州·八年级期末）如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a 的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C 型纸板两张拼成如图2的大正方形．(1)观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积．方法1：；方法2：；请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式：．(2)已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25，求ab的值．(3)用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若a+b＝8，ab＝15，求图3中阴影部分的面积．【变式训练3】（2022·福建龙岩·（1）【观察】如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你写出（a+b）2，（a-b）2，ab之间的等量关系：______；（2）【应用】若m+n=6，mn=5，则m-n=______；（3）【拓展】如图3，正方形ABCD的边长为x，AE=5，CG=15，长方形EFGD的面积是300，四边形NGDH和四边形MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积．【专项训练】一、选择题1．（2022·吉林长春·八年级期末）已知26y y m -+是完全平方式，则m =（）A ．6B ．6-C ．9D ．9-2．（安徽省蚌埠市局属初中2020-2021学年七年级下学期第三次联考数学试题）已知m 2+n 2﹣6m +4n +13＝0，则2m +n 的值（）A ．﹣2B ．3C ．4D ．﹣43．（2022·广东·东莞市光明中学八年级期末）若x 2+2（m ﹣3）x +16是完全平方式，则m 的值等于（）A ．3B ．﹣5C ．7D ．7或﹣14．（2021·重庆永川·八年级期末）已知3x y -=-，则()22y x x y +-的值为（）A ．9B ．9-C ．6D ．6-5．（2022·福建·泉州五中九年级开学考试）已知x ，y 为实数，且满足2244x xy y -+=，记224u x xy y =++的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（）．A ．403B ．6415C ．13615D ．315二、填空题6．（2022·陕西·交大附中分校七年级阶段练习）已知（a ﹣b ）2＝3，（a +b ）2＝6，则ab ＝_____．7．（2022·福建漳州·八年级期末）若a 2﹣b 2＝6，a +b ＝2，则a ﹣b ＝_____．8．（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学七年级开学考试）若x 2﹣3kx +9是一个完全平方式，则常数k ＝_____．9．（2021·全国·七年级期中）若关于x 的二次三项式22(1)4x k x -++是完全平方式，则k =____．10．（2021·江苏南通·八年级期中）已知a ﹣b ＝3，则a 2﹣b 2﹣6b 的值是_____．三、解答题11．（2022·陕西·交大附中分校七年级阶段练习）先化简，再求值：[（x +3y ）（x ﹣3y ）﹣（x ﹣3y ）2]÷（6y ），其中x ＝6，y 13=-．12．（2022·广东广州·八年级期末）先化简，再求值：（3x ＋2y ）2﹣（3x ＋y ）（3x ﹣y ），其中x ＝13，y ＝﹣113．（2022·福建泉州·八年级期末）先化简，再求值：2(2)(2)(2)2()x y x y x y x x y -+-+--，其中38x =-，4y =．14．（2022·广东·湖景中学八年级阶段练习）先化简，再求值：()()()2x y x y x y x ⎡⎤-+-+÷⎣⎦，其中1x =-，12y =．15．（2021·重庆市第九十五初级中学校七年级期中）先化简，再求值：()()()()()22232343a b a b a b a a b +-+-+--，其中222450a a b b ++++=．16．（2021·辽宁·沈阳市第四十三中学七年级期中）(1)()()33a b a b +++-．(2)运用乘法公式计算：2202020212019-⨯．17．（2022·吉林白城·八年级期末）下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．解：x （x ＋2y ）－（x ＋1）2＋2x＝（x 2＋2xy ）－（x 2＋2x ＋1）＋2x 第一步＝x 2＋2xy －x 2＋2x ＋1＋2x 第二步＝2xy ＋4x ＋1第三步（1）小颖的化简过程从第步开始出现错误，错误的原因是．（2）写出此题正确的化简过程．18．（2022·吉林长春·八年级期末）例如：若a +b ＝3，ab ＝1，求a 2+b 2的值．解：因为a +b ＝3，所以（a +b ）2＝9，即：a 2+2ab +b 2＝9，又因为ab ＝1，所以a 2+b 2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：(1)若x +y ＝8，x 2+y 2＝40，求xy 的值；(2)填空：若（4﹣x ）x ＝5，则（4﹣x ）2+x 2＝；(3)如图所示，已知正方形ABCD 的边长为x ，E ，F 分别是AD 、DC 上的点，CF ＝2，长方形EMFD 的面积是12，则x 的值为．19．（2022·四川省渠县中学七年级开学考试）我们在求代数式248y y ++的最小值时，可以考虑用如下法求得：解：()2224844424y y y y y ++=+++=++∵()20y +≥∴()244y ++≥∴248y y ++的最小值是4．请用上面的方法解决下面的问题：(1)代数式224m m ++的最小值为______．(2)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m ）的空地上建一个长方形花园ABCD ，花园一边靠墙，另三边用总长为20m 的栅栏围成．如图，设AB =x （m ），请问：当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？20．（2022·云南·昆明市第三中学八年级期末）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1∵（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，∴（x+2）2+1≥1∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题（1）当x＝时，代数式x2﹣6x+12有最小值；最小值是；（2）若y＝﹣x2+2x﹣3，请判断y有最大还是最小值；这个值是多少？此时x等于哪个数？（3）若﹣x2+3x+y+5＝0，则y+x=（用含x，y的代数式表示）请求出y+x的最小值．21．（2021·河北邢台·八年级阶段练习）观察：（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和长方形EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积可表示为（写成平方差的形式）；（2）将图1中的长方形ABGE和长方形EFHD剪下来，拼成如图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是（写成多项式相乘的形式）；探究：（3）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得等量关系；（4）若7x﹣y＝5，y+7x＝7，则49x2﹣y2＝；应用：（5）利用公式计算：（1﹣13）（1+13）（1+213）（1+413）（1+813）…（1+6413）+12813．22．（2022·贵州黔西·八年级期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）写出根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：．（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝；②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．23．（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室八年级期末）探究下面的问题：（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是（用式子表示），即乘法公式中的公式．（2）运用你所得到的公式计算：①10.3×9.7；②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．24．（2021·吉林长春·八年级期末）图①是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形．（1）图②中间空白部分的面积是（填（a＋b）2、（a－b）2或ab）．（2）观察图②，请写出代数式（a＋b）2、（a－b）2、ab之间的等量关系式．（3）根据图②得到的关系式解答下列问题：若x＋y＝4，xy＝3，求x－y的值．25．（2021·福建泉州·八年级期末）我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．比如：用图1所示的正方形与长方形纸片，可以拼成一个图2所示的正方形．请你解决下列问题：(1)利用不同的代数式表示：图2中阴影部分的面积S，写出你从中获得的等式，并加以证明；(2)已知（2022−m）（2019−m）=3505，请用（1）中的结论，求（2022−m）2+（2019−m）2的值．26．（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a 的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形．(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填到题中横线上）．方法1；方法2．(2)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，àb之间的等量关系为；(3)晓晓同学利用上面的纸片拼出了一个面积为a2+3ab+2b2的长方形，这个长方形相邻两边长为；(4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b＝6，a2+b2＝14，求ab的值；②已知：（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝34，求（x﹣2021）2的值．27．（2021·广东·深圳市龙岗区南京师范大学附属龙岗学校七年级阶段练习）如图①，是一个长为2m、宽为2n 的长方形，用剪刀沿图中的虚线(对称轴)剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形(中间是空的)．(1)图②中画有阴影的小正方形的边长为__________(用含m，n的式子表示)；(2)观察图②，写出代数式(m＋n)2，(m-n)2与mn之间的等量关系；(3)根据(2)中的等量关系解决下面的问题：①若m＋n=7，mn=5，求(m-n)2的值；②若a＋1a =3，求a2＋21a的值．28．（2022·江西赣州·八年级期末）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方的形状拼成一个正方形．形，然后按图2(1)观察图2，请你写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为．(2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．(3)如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．21。
第8讲 平方差和完全平方公式-2023-2024学年北师大版数学七年级下册
例2.如图1所示，从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，再沿 着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形， (1)设图1中阴影部分面积为S1,图2中阴影部分面积为S2,请直接用含a、b的代数 式表示S1和S2； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式。
2
完全平方公式
完全平方公式
a b2 a2 2ab b2
文字语音：两数的和的平方，等于这两个数 的平方和加上这两个数积的2倍
a b2 a2 2ab b2
文字语音：两数的差的平方，等于这两个数 的平方和减去这两个数积的2倍
例2.计算.
（1） 3a 12 （2） 2x 3y2
（3） 3x y2
完全平方公式的应用 应用完全平方公式的步骤： ①确定两数，即确定谁相当于公式中的 a，谁相当于公式中的b； ②再看好是两数和，还是两数差； ③选用公式写出结果。
练习3.某校生物兴趣小组有一块正方形种植 基地，现要对它进行扩建，若把边长增加2 米，则所得的新正方形种植基地面积比原 来增加了32平方米，求：原来正方形种植 基地的边长是多少?
练习4.先化简，再求值：
3x 23x 2 5xx 1 2x 12 ，
其中 x 1 . 3
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课堂小结
平方差公式及其应用
完全平方公式及其应 用
课堂训练
Thank you 感谢聆听
例1.下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A. 3a b 3a b
B. 3a ba b
C. 3a b 3a b
D. 3a b3a b
如图所示，阴影部分的面积为 a ba b，
a
b
a-b
而图中阴影部分的面积还等于两个边长分
别为a与b的正方形的面积之差，即 a2 b2，
七年级下1.6完全平方公式习题含详细答案
《完全平方公式》习题一、选择题1．下列等式成立的是( )A.（-1）3=-3B.（-2）2×（-2）3=（-2）6C.2a-a=2D.（x-2）2=x2-4x+42．若(2x-5y)2=(2x+5y)2+m，则代数式m为( )A.-20xyB.20xyC.40xyD.-40xy3．下列计算中，正确的是( )A.x2•x5=x10B.3a+5b=8abC.（a+b）2=a2+b2D.（-x）6÷（-x）4=x24．下面各运算中，结果正确的是( )A.2a3+3a3=5a6B.-a2•a3=a5C.（a+b）（-a-b）=a2-b2D.（-a-b）2=a2+2ab+b25．若m+n=3，则2m2+4mn+2n2-6的值为( )A.12B.6C.3D.06．不论x，y为何有理数，x2+y2-10x+8y+45的值均为( )A.正数B.零C.负数D.非负数二、填空题7．已知：a-b=3，ab=1，则a2-3ab+b2=_____．8．若a+b=4，则a2+2ab+b2的值为_____．9．若a2b2+a2+b2+1-2ab=2ab，则a+b的值为_____．10．填上适当的整式，使等式成立：(x-y)2+_____=(x+y)2．三、解答题11．已知实数x、y都大于2，试比较这两个数的积与这两个数的和的大小，并说明理由．12．已知(a+b)2=24，(a-b)2=20，求：(1)ab的值是多少？(2)a2+b2的值是多少？13．已知2(x+y)=-6，xy=1，求代数式(x+2)-(3xy-y)的值．14．计算：①29.8×30.2；②46×512；③2052．15．计算：(a-2b+3c)(a+2b-3c)．参考答案一、选择题1．答案：D解析：【解答】A：（-1）3=（-1）×（-1）×（-1）=-1，故选项A错误；B：（-2）2×（-2）3=（-2）2+3=（-2）5，故选项B错误；C：2a-a=（2-1）a=a，故选项C错误；D：（x-2）2=x2-2•x•2+22=x2-4x+4，故选项D正确．故选：D【分析】根据同底数幂的乘法运算，底数不变指数相加，以及有理数的乘方，完全平方公式算出即可．2．答案：D解析：【解答】（2x-5y）2=（2x+5y）2+m，整理得：4x2-20xy+25y2=4x2+20xy+25y2+m，∴-20xy=20xy+m，则m=-40xy．故选：D【分析】利用完全平方公式化简已知等式，根据多项式相等的条件即可求出m．3．答案：D解析：【解答】A、因为x2•x5=x2+5=x7，故本选项错误；B、3a和5b不是同类项的不能合并，故本选项错误；C、应为（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误；D、（-x）6÷（-x）4=（-x）6-4=（-x）2=x2．正确．故选D．【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加；完全平方公式；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解．4．答案：D解析：【解答】A、原式=5a3，故选项错误；B、原式=-a5，故选项错误；C、原式=-（a+b）2=-a2-2ab-b2，故选项错误；D、原式=（a+b）2=a2+2ab+b2，故选项正确．故选D．【分析】A、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式变形后，利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断；D、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．5．答案：A解析：【解答】原式=2（m2+2mn+n2）-6，=2（m+n）2-6，=2×9-6，=12．故选A．【分析】根据完全平方公式的逆用，先整理出完全平方公式的形式，再代入数据计算即可．6．答案：A解析：【解答】x2+y2-10x+8y+45，=x2-10x+25+y2+8y+16+4，=（x-5）2+（y+4）2+4，∵（x-5）2≥0，（y+4）2≥0，∴（x-5）2+（y+4）2+4＞0，故选A．【分析】根据完全平方公式对代数式整理，然后再根据平方数非负数的性质进行判断．二、填空题7．答案：8解析：【解答】∵（a-b）2=32=9，∴a2-3ab+b2=（a-b）2-ab=9-1=8【分析】应把所给式子整理为含（a-b）2和ab的式子，然后把值代入即可．8．答案：16解析：【解答】∵a+b=4，∴a2+2ab+b2=（a+b）2=16．【分析】原式利用完全平方公式化简，将a+b的值代入计算即可求出值．9．答案：2或-2解析：【解答】∵a2b2+a2+b2+1-2ab=2ab，∴a2b2+a2+b2+1-2ab-2ab=0，∴a2b2-2ab+1+a2+b2-2ab=0，∴（ab-1）2+（a-b）2=0，∴ab=1，a-b=0，∴a=b=1或-1，∴a+b=2或-2．【分析】首先把2ab移到等式的左边，然后变为a2b2+a2+b2+1-2ab-2ab=0，接着利用完全平方公式分解因式，最后利用非负数的性质即可求解．10．答案：4xy解析：【解答】（x+y）2-（x-y）2=（x2+2xy+y2）-（x2-2xy+y2）=4xy．【分析】所填的式子是：（x+y）2-（x-y）2，化简即可求解．三、解答题11．答案：见解答过程解析：【解答】xy＞x+y，理由是：∵x＞2，y＞2，∴xy＞2y，xy＞2x，∴相加得：xy+xy＞2y+2x，∴2xy＞2（x+y），∴xy＞x+y．【分析】根据已知得出xy＞2y，xy＞2x，相加得出xy+xy＞2y+2x，即可求出答案．12．答案：（1）ab=1；（2）a2+b2=22．解析：【解答】∵（a+b）2=24，（a-b）2=20，∴a2+b2+2ab=24…①，a2+b2-2ab=20…②，（1）①-②得：4ab=4，则ab=1；（2）①+②得：2（a2+b2）=44，则a2+b2=22．【分析】由（a+b）2=24，（a-b）2=20，可以得到：a2+b2+2ab=24…①，a2+b2-2ab=20…②，通过两式的加减即可求解．13．答案：-4．解析：【解答】∵2（x+y）=-6，即x+y=-3，xy=1，∴（x+2）-（3xy-y）=x+2-3xy+y=（x+y）-3xy+2=-3-3+2=-4．【分析】将所求式子去括号整理变形后，把x+y与xy的值代入计算，即可求出值．14．答案：①899.96；②1012；③42025．解析：【解答】①29.8×30.2=（30+0.2）（30-0.2）=302-0.22=900-0.04=899.96；②46×512=212×512=（2×5）12=1012；③2052=（200+5）2=40000+2000+25=42025．【分析】①首先将原式变为：（30+0.2）（30-0.2），然后利用平方差公式求解即可求得答案；②利用幂的乘方，可得46=212，然后由积的乘方，可得原式=（2×5）12=1012；③首先将205化为：200+5，然后利用完全平方公式求解即可求得答案．15．答案：a2-4b2+12bc-9c2解析：【解答】（a-2b+3c）（a+2b-3c）=[a-（2b-3c）][a+（2b-3c）]=a2-（2b-3c）2=a2-（4b2-12bc+9c2）=a2-4b2+12bc-9c2．【分析】首先将原式变为：[a-（2b-3c）][a+（2b-3c）]，然后利用平方差公式，即可得到a2-（2b-3c）2，求出结果．。
平方差公式练习题精选(含答案)
平方差公式之阿布丰王创作1、利用平方差公式计算： （1）(m+2) (m-2) (2)(1+3a) (1-3a) (3) (x+5y)(x-5y) (4)(y+3z) (y-3z)2、利用平方差公式计算（1）(5+6x)(5-6x) (2)(x-2y)(x+2y) (3)(-m+n)(-m-n) 3利用平方差公式计算（1）(1)(-41x-y)(-41x+y) (2)(ab+8)(ab-8) (3)(m+n)(m-n)+3n 24、利用平方差公式计算 (1)(a+2)(a-2) (2)(3a+2b)(3a-2b)(3)(-x+1)(-x-1)(4)(-4k+3)(-4k-3)5、利用平方差公式计算（1）803×797 （2）398×4027．下列多项式的乘法中,可以用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（b+a） B．（－a+b）（a－b）C．（13a+b）（b－13a） D．（a2－b）（b2+a）8．下列计算中,毛病的有（）①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2；③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．若x2－y2=30,且x－y=－5,则x+y的值是（）A．5 B．6 C．－6 D．－5 10．（－2x+y）（－2x－y）=______．11．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4．12．（a+b －1）（a －b+1）=（_____）2－（_____）2．13．两个正方形的边长之和为5,边长之差为2,那么用较年夜的正方形的面积减去较小的正方形的面积,差是_____．14．计算：（a+2）（a 2+4）（a 4+16）（a －2）．完全平方公式1利用完全平方公式计算：（1）（21x+32y)2(2)(-2m+5n)2(3)（2a+5b)2(4)(4p-2q)22利用完全平方公式计算： （1）(21x-32y 2)2(2)(1.2m-3n)2(3)(-21a+5b)2(4)(-43x-32y)23 (1)(3x-2y)2+(3x+2y)2(2)4(x-1)(x+1)-（2x+3)2(a+b)2-(a-b)2(4)(a+b-c)2(5)(x-y+z)(x+y+z)(6)(mn-1)2—（mn-1)(mn+1)4先化简,再求值：(x+y)2-4xy,其中x=12,y=9.5已知x≠0且x+1x =5,求441xx的值.平方差公式练习题精选(含谜底)一、基础训练1．下列运算中,正确的是（）A．（a+3）（a-3）=a2-3 B．（3b+2）（3b-2）=3b2-4C．（3m-2n）（-2n-3m）=4n2-9m2 D．（x+2）（x-3）=x2-62．在下列多项式的乘法中,可以用平方差公式计算的是（）A．（x+1）（1+x） B．（12a+b）（b-12a）C．（-a+b）（a-b） D．（x2-y）（x+y2）3．对任意的正整数n,能整除代数式（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）的整数是（）A．3 B．6 C．10 D．94．若（x-5）2=x2+kx+25,则k=（）A．5 B．-5 C．10 D．-105．9.8×10.2=________; 6．a2+b2=（a+b）2+______=（a-b）2+________．7．（x-y+z）（x+y+z）=________; 8．（a+b+c）2=_______．9．（12x+3）2-（12x-3）2=________．10．（1）（2a-3b）（2a+3b）；（2）（-p2+q）（-p2-q）；（3）（x-2y）2；（4）（-2x-12y）2．11．（1）（2a-b）（2a+b）（4a2+b2）；（2）（x+y-z）（x-y+z）-（x+y+z）（x-y-z）．12．有一块边长为m的正方形空地,想在中间位置修一条“十”字型小路,•小路的宽为n,试求剩余的空空中积；用两种方法暗示出来,比力这两种暗示方法,•验证了什么公式？二、能力训练13．如果x2+4x+k2恰好是另一个整式的平方,那么常数k的值为（）A．4 B．2 C．-2 D．±214．已知a+1a =3,则a2+21a,则a+的值是（）A．1 B．7 C．9 D．1115．若a-b=2,a-c=1,则（2a-b-c）2+（c-a）2的值为（）A．10 B．9 C．2 D．116．│5x-2y│·│2y-5x│的结果是（）A．25x2-4y2B．25x2-20xy+4y2 C．25x2+20xy+4y2 D．-25x2+20xy-4y217．若a2+2a=1,则（a+1）2=_________．三、综合训练18．（1）已知a+b=3,ab=2,求a2+b2；（2）若已知a+b=10,a2+b2=4,ab的值呢？19．解不等式（3x-4）2>（-4+3x）（3x+4）．参考谜底1．C 点拨：在运用平方差公式写结果时,要注意平方后作差,尤其当呈现数与字母乘积的项,系数不要忘记平方；D项不具有平方差公式的结构,不能用平方差公式,•而应是多项式乘多项式．2．B 点拨：（a+b）（b-a）=（b+a）（b-a）=b2-a2．3．C 点拨：利用平方差公式化简得10（n2-1）,故能被10整除．4．D 点拨：（x-5）2=x2-2x×5+25=x2-10x+25．5．99.96 点拨：9.8×10.2=（10-0.2）（10+0.2）=10-0.2=100-0.04=99.96．6．（-2ab）；2ab7．x2+z2-y2+2xz点拨：把（x+z）作为整体,先利用平方差公式,•然后运用完全平方公式．8．a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc点拨：把三项中的某两项看做一个整体,•运用完全平方公式展开．9．6x 点拨：把（12x+3）和（12x-3）分别看做两个整体,运用平方差公式（12x+3）2-（12x-3）2=（12x+3+12x-3）[12x+3-（12x-3）]=x·6=6x．10．（1）4a2-9b2；（2）原式=（-p2）2-q2=p4-q2．点拨：在运用平方差公式时,要注意找准公式中的a,b．（3）x4-4xy+4y2；（4）解法一：（-2x-12y）2=（-2x）2+2·（-2x）·（-12y）+（-12y）2=4x2+2xy+14y2．解法二：（-2x-12y）2=（2x+12y）2=4x2+2xy+14y2．点拨：运用完全平方公式时,要注意中间项的符号．11．（1）原式=（4a2-b2）（4a2+b2）=（4a2）2-（b2）2=16a4-b4．点拨：当呈现三个或三个以上多项式相乘时,根据多项式的结构特征,•先进行恰当的组合．（2）原式=[x+（y-z）][x-（y-z）]-[x+（y+z）][x-（y+z）]=x2-（y-z）2-[x2-（y+z）2]=x2-（y-z）2-x2+（y+z）2=（y+z）2-（y-z）2=（y+z+y-z）[y+z-（y-z）]=2y ·2z=4yz ．点拨：此题若用多项式乘多项式法则,会呈现18项,书写会非常繁琐,认真观察此式子的特点,恰被选择公式,会使计算过程简化．12．解法一：如图（1）,剩余部份面积=m 2-mn-mn+n 2=m 2-2mn+n 2．解法二：如图（2）,剩余部份面积=（m-n ）2． ∴（m-n ）2=m 2-2mn+n 2,此即完全平方公式．点拨：解法一：是用边长为m 的正方形面积减去两条小路的面积,注意两条小路有一个重合的边长为n 的正方形．解法二：运用运动的方法把两条小路分别移到边缘,剩余面积即为边长为（m-n ）•的正方形面积．做此类题要注意数形结合．13．D 点拨：x 2+4x+k 2=（x+2）2=x 2+4x+4,所以k 2=4,k 取±2．14．B 点拨：a 2+21a =（a+1a）2-2=32-2=7．15．A 点拨：（2a-b-c）2+（c-a）2=（a+a-b-c）2+（c-a）2=[（a-b）+（a-c）] 2+（c-a）2=（2+1）2+（-1）2=9+1=10．16．B 点拨：（5x-2y）与（2y-5x）互为相反数；│5x-2y│·│2y-5x│=（5x-•2y）2•=25x2-20xy+4y2．17．2 点拨：（a+1）2=a2+2a+1,然后把a2+2a=1整体代入上式．18．（1）a2+b2=（a+b）2-2ab．∵a+b=3,ab=2,∴a2+b2=32-2×2=5．（2）∵a+b=10,∴（a+b）2=102,a2+2ab+b2=100,∴2ab=100-（a2+b2）．又∵a2+b2=4,∴2ab=100-4,ab=48．点拨：上述两个小题都是利用完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2中（a+）、ab、（a2+b2）•三者之间的关系,只要已知其中两者利用整体代入的方法可求出圈外人．19．（3x-4）2>（-4+3x）（3x+4）,（3x）2+2×3x·（-4）+（-4）2>（3x）2-42,9x2-24x+16>9x2-16,-24x>-32．x<4．3点拨：先利用完全平方公式,平方差公式分别把不等式两边展开,然后移项,合并同类项,解一元一次不等式．八年级数学上学期平方差公式同步检测练习题1.(2004·青海)下列各式中,相等关系一定成立的是( )A.(x-y)2=(y-x)2B.(x+6)(x-6)=x2-6C.(x+y)2=x2+y2D.6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(x-6)2.(2003·泰州)下列运算正确的是( )A.x2+x2=2x4B.a2·a3= a5C.(-2x2)4=16x6D.(x+3y)(x-3y)=x2-3y23.(2003·河南)下列计算正确的是( )A.(-4x)·(2x2+3x-1)=-8x3-12x2-4xB.(x+y)(x2+y2)=x3+y3C.(-4a-1)(4a-1)=1-16a2D.(x-2y)2=x2-2xy+4y24.(x+2)(x-2)(x2+4)的计算结果是( )A.x4+16B.-x4-16C.x4-16D.16-x45.19922-1991×1993的计算结果是( )A.1B.-1C.2D.-26.对任意的整数n,能整除代数式(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)的整数是( )A.4B.3C.5D.27.()(5a+1)=1-25a2,(2x-3)=4x2-9,(-2a2-5b)()=4a4-25b28.99×101=()()=.9.(x-y+z)(-x+y+z)=[z+()][]=z2-()2.10.多项式x2+kx+25是另一个多项式的平方,则k=.11.(a+b)2=(a-b)2+,a2+b2=[(a+b)2+(a-b)2](),a2+b2=(a+b)2+,a2+b2=(a-b)2+.12.计算.(1)(a +b)2-(a -b)2； (2)(3x-4y)2-(3x+y)2；(3)(2x+3y)2-(4x-9y)(4x+9y)+(2x-3y)2； (4)1.23452+0.76552+2.469×0.7655； (5)(x+2y)(x-y)-(x+y)2.13.已知m 2+n 2-6m+10n+34=0,求m+n 的值 14.已知a +a1=4,求a 2+21a 和a 4+41a 的值.15.已知(t+58)2=654481,求(t+84)(t+68)的值. 16.解不等式(1-3x)2+(2x-1)2＞13(x-1)(x+1). 17.已知a =1990x+1989,b=1990x+1990,c=1990x+1991,求a 2+b 2+c 2-a b-a c-bc 的值.18.(2003·郑州)如果(2a +2b+1)(2a +2b-1)=63,求a +b 的值.19.已知(a +b)2=60,(a -b)2=80,求a 2+b 2及a b 的值.参考谜底1.A2.B3.C4.C5.A6.C7.1-5a 2x+3 -2a 2+5b8.100-1100+1 99999.x-yz-(x-y) x-y10.±1011.4a b21- 2a b 2a b12.(1)原式=4a b ；(2)原式=-30xy+15y ；(3)原式=-8x 2+99y 2；(4)提示：原式=1.23452+2×1.2345×0.7655+0.76552=(1.2345+0.7655)2=22=4. (5)原式=-xy-3y 2.13.提示：逆向应用整式乘法的完全平方公式和平方的非负性.∵m 2+n 2-6m+10n+34=0, ∴(m 2-6m+9)+(n 2+10n+25)=0, 即(m-3)2+(n+5)2=0, 由平方的非负性可知,⎩⎨⎧=+=-,05,03n m ∴⎩⎨⎧-==.5,3n m ∴m+n=3+(-5)=-2. 14.提示：应用倒数的乘积为1和整式乘法的完全平方公式.∵a +a 1=4,∴(a +a1)2=42. ∴a 2+2a ·a 1+21a =16,即a 2+21a +2=16.∴a 2+21a =14.同理a 4+41a =194.15.提示：应用整体的数学思想方法,把(t 2+116t)看作一个整体.∵(t+58)2=654481,∴t2+116t+582=654481.∴t2+116t=654481-582.∴(t+48)(t+68)=(t2+116t)+48×68=654481-582+48×68=654481-582+(58-10)(58+10)=654481-582+582-102=654481-100=654381.316.x＜217.解：∵a=1990x+1989,b=1990x+1990,c=1990x+1991,∴a-b=-1,b-c=-1,c-a=2.∴a2+b2+c2-a b-a c-be1(2a2+2b2+2c2-2a b-2bc-2a c)=21[(a2-2a b+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2a c+a2)]=21[(a-b2)+(b-c)2+(c-a)2]=21[(-1)2+(-1)2+22]=21(1+1+4)=2=3.18.解：∵(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,∴[(2a+2b)+1][(2a+2b)-1]=63,∴(2a+2b)2-1=63,∴(2a+2b)2=64,∴2a+2b=8或2a+2b=-8,∴a+b=4或a+b=-4,∴a+b的值为4或一4.19.a2+b2=70,a b=-5.。
七下数学每日一练：平方差公式及应用练习题及答案_2020年计算题版
（2） （2x-1）2-(x-1)(x+1)
考点： 平方差公式及应用;完全平方式;0指数幂的运算性质;负整数指数幂的运算性质;
答案
~~第3题~~
(2019岑溪.七下期末) 利用乘法公式计算：598×602
考点： 平方差公式及应用;
答案
~~第4题~~ (2019苏州.七下期末) 先化简，再求值:
，其中
考点： 平方差公式及应用;完全平方式;
答案
~~第9题~~ (2019杭州.七下期中) （1） 计算：2﹣2+（π﹣3.14）0+（﹣ ）﹣1 （2） 计算：（﹣2019）2+2018×（﹣2020）
（3） 解方程组
考点： 实数的运算;平方差公式及应用;解二元一次方程组;
答案
~~第10题~~ (2019海曙.七下期中) 利用乘法公式计算： （1）
七下数学每日一练：平方差公式及应用练习题及答案_2020年计算题版
2020年 七 下 数 学 ： 数 与 式 _整 式 _平 方 差 公 式 及 应 用 练 习 题
~~第1题~~ (2019东阳.七下期末) 已知
，求代数式x2-4y2的值。
考点： 平方差公式及应用;解二元一次方程组;
答案
~~第2题~~ (2019嵊州.七下期末) 计算： （1） (-2)2+(π- )0-（- ）-2
（2）
（3）
考点： 平方差公式及应用;完全平方公式及运用;整式的混 ： 数 与 式 _整 式 _平 方 差 公 式 及 应 用 练 习 题 答 案
1.答案：
2.答案：
3.答案： 4.答案： 5.答案： 6.答案： 7.答案：
8.答案： 9.答案：
10.答案：
完全平方公式练习题一
完全平方公式为：注：1.完全平方公式和平方差公式不同：形式不同．结果不同：完全平方公式的结果是三项，即 （a b ）2＝a 2 2ab+b 2;平方差公式的结果是两项， 即（a+b ）（a −b ）＝a 2−b 2.2. 解题过程中要准确确定a 和b ，对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab 时不少乘2。
3. 口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减。
例1 用完全平方公式计算：（1）(2x −3)2 ； (2) (4x +5y )2 ; (3) (mn −a )2练习：1、计算：2)221(y x - (n +1)2－n 2 (2x 2－3y 2)22、下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算（1）()()x y y x +-+ （2）()()a b b a --（3）()()ab x x ab +--33 （4）()()n m n m +--例2.计算：（1）(-1-2x )2（2）()()n m n m +--22（3）)432)(432(-++-y x y x （4）22)321()321(b a b a +-练习：(1)()2c b a -+ (2) (-2x +1)2（3))4)(2)(2(22y x y x y x --+ （4）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a b a 321321拓展：1.已知31=+x x ，则=+221xx ________________ 2. 已知131-=x y ，那么2323122-+-y xy x 的值是________________ 3、已知2216)1(2y xy m x +-+是完全平方公式，则m =4、若22()12,()16,x y x y xy -=+=则=。