北师大七年级下册数学平方差公式、完全平方公式典型应用(无答案)
平方差公式、完全平方公式 2、22巩固平方差公式例1下列各式哪些可以利用平方差公式计算：（1）()()a b a c +- （2）()()x y y x +-+（3）()()33ab x x ab --- （4）()()m n m n --+ 例2：利用平方差公式计算：（1）()()22x x +- （2）()()1313a a +-例3：计算（1）()()22a a b a b a b +-+ （2）()()()2525223x x x x -+-⋅-例4：填空（1）()()242a a -=+ （2）()()2255x x -=- （3）()()22m n -= （4）()()221413-=例5：计算（1）()()33a b a b +-++ （2）()()2277m n m n +---题型一 应用平方差公式进行计算（1）()()2323a b a b +- （2）()()3232m n m n ---（3）()()2121x x +- （4）()()2332b a a b ---（5）()()22a b a b b +-+ （6）()()()22a b a b a b+-+题型二 平方差公式的几何意义1、如图，在边长为()1a cm +的正方形纸片中，剪去一个边长为()1a cm -的小正方形（1a >），将余下部分拼成一个矩形（不重叠无缝隙），求该矩形的长、宽以及面积。
2.在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）．把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形（如图），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（ ） A. a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ） B.（a+b ）2=a 2+2ab+b2C.（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab ﹣b 2D.a 2﹣ab=a （a ﹣b ）3.张如图1的长为a ，宽为b （a ＞b ）的小长方形纸片，按图2方式不重叠地放在矩形ABCD 内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S ，当BC 的长度变化时，按照同样的放置方式，S 始终保持不变，则a ，b 满足（ ） A. a=2b B. a=3b C. a=4b D. a=b4.图1是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中的虚线剪成四个小长方形， 再按图2围成一个正方形；(1) 图2的大正方形的边长是：___________；(2) 中间小正方形（阴影部分）的边长是：________________； (3) 用两种不同的方法求图2阴影部分的面积；(4) 比较两种方法，得到的等量关系为：________________________________；2m2n5．如图1,在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形,把余下的部分剪拼成一长方形（如图2）,通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是（ ）A ．,B ．C ．, D ．6．如图，在边长为2a 的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形（a ＞2），将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（ ）A ．a 2+4,B ．2a 2+4a,C ．3a 2﹣4a ﹣4,D ．4a 2﹣a ﹣2题型三 运用平方差公式计算（1）19972003⨯ （2）6674⨯ ①题型四 逆用平方差公式（1）()()2222x y x y +-- （2）()()22m n m n +--题型五．拓展提高1、计算：（1）()()a b c a b c -+-- （2）()()22x y x y +--（3）()()()()()42222121224x x x x x x -+---++ （4）222524-2.化简：(a ＋1)2－(a －1)2＝（ ） A. 2 B. 4 C. 4a D. 2a 2＋2 3.下列多项式乘法中不能用平方差公式计算的是（ ）A.（x 2﹣2y ）（2x+y 2） B.（a 2+b 2）（b 2﹣a 2） C.（2x 2y+1）2x 2y ﹣1） D.（a 3+b 3）（a 3﹣b 3） 4．下列各题中，能用平方差公式的是（ ）A ．（1+a ）（a+1）B ．（ x+y ）（﹣y+x ）C ．（x 2﹣y ）（x+y 2） D ．（x ﹣y ）（﹣x+y ） 5．下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ） A ． （x ﹣y ）（﹣x+y ） B ．（﹣x+y ）（﹣x ﹣y ） C ．（﹣x ﹣y ）（x ﹣y ） D ．（x+y ）（﹣x+y ）6．可以运用平方差公式运算的有（ ）个①)21)(21(x x --+-；②(12)(12)x x -+；③)2)(2(b ab b ab ---；④(c)()a b a b c +--+； A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．已知a ﹣b =1，则a 2﹣b 2﹣2b 的值为___8．已知 （x ﹣a ）（x+a ）=x 2﹣9，那么a= ．9.计算：241(21)(21)(41)()16x x x x +-++10.计算2432(21)(21)(21)(21)+++⋅⋅⋅+11.计算2222210099989721-+-+⋅⋅⋅+-.12．定义：如果一个数的平方等于－1，记为，数叫做虚数单位．我们把形如（, 为有理数或无理数）的数称为复数，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似.例如：计算，计算＝____.完全平方公式的变形及推广：（1）()()[]()222b a b a b a +=+-=--； ()()[]()222b a b a b a -=--=+-；（2）()()22a b b a -=+-； ()()[]22c b a c b a +-=--；（3）()()ab b a ab b a b a 222222+-=-+=+； ()()ab b a b a 422-+=-题型一、完全平方公式的应用1、计算（1）（－21ab 2－32c ）2； （2）（x －3y －2）（x ＋3y －2）；练习1、(1)（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）； （2）、（x －２y ）（x ＋２y ）－（x ＋２y ）2；（3）（２a ＋１）2－（１－２a ）2； （4）（３x －y ）2－（２x ＋y ）2＋５x （y －x ）.2.下列各式与（x ﹣ ）2相等的是（ ）A. x 2﹣ B. x 2﹣x+ C. x 2+2x+ D. x 2﹣2x+ 3．下列等式一定成立的是（ ）A ．（1﹣b ）2=1﹣b+b 2B ．（a+3）2=a 2+9C ．（x+）2=x 2++2D ．（x ﹣3y ）2=x 2﹣9y 4．下列各式中，能够成立的等式是（ ）．A ．B ．C ．D ．5．（ ）A ．B ．C ．D ．6．计算：2()a b --等于（ ）A ．22b a +B ．222b ab a +-C ．22b a -D ．222b ab a ++7．一个正方形的边长为 ，若边长增加 ，则新正方形的面积又增加了（ ）． A ． B ．C ．D ．以上都不对题型二、配完全平方式1、若k x x ++22是完全平方式，则k = 2、.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是3、如果4a 2－N ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，则N = 4、如果224925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k =5.要使x 2－６x ＋a 成为形如（x －b ）2的完全平方式，则a ，b 的值（ ） Ａ.a ＝９，b ＝９ Ｂ.a ＝９，b ＝３ Ｃ.a ＝３，b ＝３ Ｄ.a ＝－３，b ＝－２ 6.若x 2＋mx ＋４是一个完全平方公式，则m 的值为（ ）Ａ.２ Ｂ.２或－２ Ｃ.４ Ｄ.４或－４ 7．若249x mx -+&是一个完全平方式，则常数m 的值为 ( )A ．-14B ． ±14C ．-7D ．±7 8．若一个多项式的平方的结果为 ，则（ ）A ．B ．C ．D ．题型三、公式的逆用1．（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． 2． （3m 2＋_______）2＝_______＋12m 2n ＋________． 3．x 2－xy ＋________＝（x －______）2． 4． 49a 2－________＋81b 2＝（________＋9b ）2． 5．代数式xy －x 2－41y 2等于－（ ）2 6.若（x －y ）2＋Ｎ＝x 2＋xy ＋y 2，则Ｎ为（ ）Ａ.xy Ｂ０ Ｃ.２xy Ｄ.３xy 7.若22()()x y M x y +-=-，则M 为（ ） A ．2xy B ．2xy ± C ．4xy D ．4xy ±题型四、配方思想1、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,则a2004+b2005=_____.2、已知0136422=+-++y x y x ，求y x =_______. 3、已知222450x y x y +--+=，求21(1)2x xy --=_______. 4．已知：2268250x y x y +-++=，则_______x y +=； 5、已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式y x xy +=_______.6．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ． 7.若2226100,x x y y -+++=求,x y 的值。
8、已知三角形ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c 满足等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角形是什么三角形？题型五、完全平方公式的变形技巧1、已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。
2、已知2a －b ＝5，ab ＝23，求4a 2＋b 2－1的值．3、已知：0132=++x x ，求（1）221x x +（2）441xx +4.根据已知条件，求值：（1）已知x －y ＝９，x ·y ＝５，求x 2＋y 2的值.（2）已知a （a －１）＋（b －a 2）＝－７，求222b a +－ab 的值.5．先化简，再求值：2[()()()()](2)x y x y x y y x y y +-+-+-÷，其中2,1x y ==-；6．下图是一正方体的展开图，若正方体相对两个面上的代数式的值相等，求下列代数式的值： (1) x 2+y 2； (2) (x －y)2题型六、“整体思想”在整式运算中的运用 例1、已知2083-=x a ，1883-=x b ，1683-=x c ， 求：代数式bc ac ab c b a ---++222的值。
北师大版七年级下册数学：1.6完全平方公式的应用
方公式。 ( 2 x −3 )2
m2+2×2×m+22
( a − b )2= a2 −2 a b + b2 （2）(2x+2)2= __________; 首平方,尾平方,积的二倍在中央,和是加,差是减. 两数和的平方,等于它们的平方和,加它们的积的2倍.
（2）(2x+2)2= __________;
m2+2×2×m+22
（2）(1+3x)2= __________;
12+2×1×3x+(3x)2
这两个数的平方和 再加上 这两数积的2倍
两数差的平方,等于它们的平方和,减去它们的积的2倍.
（1）(m+3) = (m+3) (m+3) = m___+_6_m__+_9; 12+2×1×3x+(3x)2
=(-1)2−(2a)2
（3）(m+2) = _m___+_4_m__+_4_. 解： (2x−3)2
（1）(-m+7)2 = __________;
2
2
=16 x2 - 40 x y +25y2
(3) (x -y)2 =x2-2xy3;3)2 = _m__2_+_6_m__+_9_; （2）(1+3x)2= 1_+__6_x_+_9_x__2_; （3）(m+2)2 = m__2_+__4_m_+__4_.
左边
右边
（1）(m+3)2 = _m__2_+_6_m__+__9; m2+2×3×m+
(新)北师大版七年级数学下册1.5《平方差公式》课件(精品)
目录 contents
课前小测
课堂精讲
课后作业
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课前小测
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课前小测
知识小测 1．（2016春•无锡期中）如图： 内、外两个四边形都是正方形，阴影部分的宽为3， 且面积为51，则内部小正方形的面积是（ B） A．47 B．49 C．51 D．53 2．（2016春•保定期中）通过计算几何图形的面 积可表示代数恒等式，图中可表示的代数恒等式是 （D） A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2 C．2a（a+b）=2a2+2ab D．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
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பைடு நூலகம்
课后作业
（3）原式=（3a）2﹣（2b）2 =9a2﹣4b2． （4）原式=（﹣y）2﹣（2x）2=y2﹣4x2． （5）原式=（2x+7）（2x﹣7） =4x2﹣49． （6）原式=（﹣2a）2﹣（3b）2=4a2﹣9b2．
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课前小测
7．（2015秋•藁城区期末）从边长为a的大正方形 纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其 裁成四个相同的梯形（如图甲），然后拼成一个平 行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴影 部分的面积，可以验证的公式 为 a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） ．
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课前小测
3．三个连续的奇数，若中间一个为a，则它们的 积为（ A） A．a3﹣4a B．a3﹣6a C．4a3﹣a D．4a3﹣6a 4．（2015春•山亭区月考）若x+y=1007.5， x﹣y=2，则代数式x2﹣y2的值是 4030 ． 5．利用平方差公式计算： 2001×1999= 3666666． 6．计算：20022﹣2001×2003= 1 ．
7年级下册初中数学北师大1.5 第1课时 平方差公式的认识
想一想
回答下列各题： (l) (－a + b)(a + b) =_b_2_－__a_2___. (2) (a－b)(b + a) = ___a_2－__b_2___. (3) (－a－b)(－a + b) = _a_2_－__b_2__. (4) (a－b)(－a－b) = ___b_2－__a_2__.
= (－2)2－(3a)2
= 4－9a2.
3. 利用平方差公式计算： (1) (a + 3b)(a - 3b)； 解：原式 = a2－(3b)2 = a2－9b2.
(2) (3 + 2a)(－3 + 2a)；
解：原式 = (2a + 3)(2a－3)
= (2a)2－32
= 4a2－9.
(3) (－2x2－y)(－2x2 + y)； 解：原式 = (－2x2 )2－y2
= 4x4－y2.
(4) (－5 + 6x)(－6x－5). 解：原式 = (－5 + 6x)(－5－6x)
= (－5)2－(6x)2 = 25－36x2.
填一填
(a - b)(a + b) a b
(1 + x)(1 - x)
1
x
(-3 + (-3 - a) －3 a
(1 + a)(-1 + a)
a
1
(0.3x - 1)(1 + 0.3x) 0.3x 1
a2－b2
12－x2 (－3)2－a2
a2－12 (0.3x)2－12
典例精析
例1 利用平方差公式计算：
当堂小结 内容
两个数的和与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方差
北师大版七年级数学下册1.5平方差公式的应用课件
训练检测 巩固提高
1.练一练
(1)x(x 1) (x 1)(x 1) 33
(2)(x 2y)(x 2y) (x 1)(x 1)
训练检测 巩固提高
（3）它的面积又可以怎样表示？
合作探究 释疑点拨
a
a-b
b
a-b
a-b
a
b
(a+b)(a-b)
合作探究 释疑点拨
a
b a-b
a-b
a
b
(a+b)(a-b)
合作探究 释疑点拨
a
b a-b
a-b
a
b
(a+b)(a-b)
合作探究 释疑点拨
a
a
a
a-b
b
a-b
b
b
(a b)(a b)
合作探究 释疑点拨
想一想
（1）计算下列各组算式，并视察它们的共 同特点：
7 × 9 = 63 8 × 8 = 64 11 × 13 = 143 12 × 12 = 144 79 × 81 = 6399 80 × 80 = 6400
（2）由上面的过程中，你发现了什么规律？
(1)7 9
8828 1
(2)1113
121212 2 1
9991 练一练：
(1)118 122 （2）10.19.9
（3）7 1 6 2 33
例2 计算：
1a2 a ba b a2b2
解 : a2 (a b)(a b) a2b2 a2 (a2 b2 ) a2b2 a4 a2b2 a2b2 a4 (2)(2x 5)(2x 5) 2x(2x 3)
北师大版七年级下册数学1.5《平方差公式的应用》课件(共15张PPT)
练一练
计算： （1）704×696 ； （2）9.9 ×10.1
例4
计算： （1）a2(a+b)(a－b)+a2b2 （2）(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
练一练
计算： （1）(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)
（2）x(x-1)- ( x 1 ) (x 1)
3
3
自我检测
活动探究一
a
b 图1-3
如图1-3，边长为a的大正方形中有一个边长为b 的小正方形.
活动探究一
a
b 图1-3
（1）请表示图1-3中阴影部分的面积
活动探究一
a
a
b
b
图1-3
图1-4
（2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形，
如图1-4，这个长方形的长和宽分别是多
少？你能表示出它的面积吗？
活动探究一
a
第一章 整式的乘除
平方差公式的应用
知识回顾
1、平方差公式： (a+b)(a－b)=a2－b2
2、公式的结构特点： 左边是两个二项式的乘积，即两数和与
这两数差的积；右边是两数的平方差。
Байду номын сангаас 巩固练习
计算： (1) (3a+2b)(3a-2b) (2) (-x+1)(-x-1) (3)(a+3b)(3b-a)
计算： 1） 2001×1999 -20002
2）(3mn+1)(3mn-1)-8m2n2
3） (1 x 2) (1 x 2) - 1 x（x+8）
2
2
4
课堂小结
本节课你有哪些收获？ 还有那些困惑？
完全平方公式的应用课件北师大版数学七年级下册
典例精讲 例1
怎样计算1022， 1972更简单呢？
能不能用完全平方公式进行简便计算？
把 1022 改写成 (a+b)2 还是(a−b)2 的形式?
因为102比较接近__1_0_0__，所以102可以写成_（__1_0_0_+_2_）_____, 1022可以写成_（__1_0_0_+_2_）__2___。
(2) 10012
解：(1)
原式 = （ 1 − 0.02）2 = 12 − 2 ×1×0.02 + 0.022 = 1 − 0.04 + 0.0004
= 0.9604
（2）原式 = （ 1000 +1 ）2
= 10002 + 2 × 1000×1 + 12
= 1000000 + 2000 + 1 =1002001
2. 设（2a+3b）2=（2a-3b）2+A，则A= 24ab
．
解：∵（2a+3b）2=4a2+12ab+9b2， （2a-3b）2=4a2-12ab+9b2， ∴（2a+3b）2=（2a-3b）2+24ab， ∴A=24ab， 故答案为：24ab．
选做题
3.利用完全平方公式计算：
(1) 0.982
=(a+b)2− 32 =a2 +2ab+b2－9
温馨提示：将
(a+b)看作一
个整体，解题 中渗透了整体 的数学思想.
思考：如何变形利用平方差公式
(1)(a-b+3)(a-b+3) (2)(a+b+3)(a-b-3) (3)(a-b+3)(a+b-3)
第一章第6讲 平方差公式和完全平方公式(10类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版7年级下册
第06讲平方差公式和完全平方公式(10类热点题型讲练)1.理解并掌握平方差公式和完全平方公式的推导和应用；2.理解平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算；3.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.知识点01平方差公式平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b²公式的几种变化：①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²；（-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a²②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b²a b-③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²=44④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c²a b-⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²=44⑥公式逆运算：a²-b²=(a+b)(a-b)知识点02完全平方公式完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍.即完全平方和(a +b )²=a ²+2ab +b ²完全平方差(a -b )²=a ²-2ab +b ²（1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍（2）公式的变化：①a ²+b ²=(a +b )²-2ab ；②a ²+b ²=(a -b )²+2ab ；③(a +b )²=(a -b )²+4ab ；④(a -b )²=(a +b )²-4ab ⑤(a +b )²-(a -b )²=4ab知识点03平方差和完全平方差区别平方差公式:(a +b )(a -b )=a ²-b ²完全平方差公式：(a -b )²=a ²-2ab +b ²平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍题型01判断是否可用平方差公式运算.【例题】下列各式中不能用平方差公式计算的是（）1．下列能使用平方差公式的是（）A ．()()33x x ++B ．()()x y x y -+-C ．()()55m n m n +--D ．()()33m n m n +-2．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A ．()()22x y x y -+B ．()()x y x y -+-C ．()()b a b a -+D ．()()x y y x ---题型02运用平方差公式进行运算.【变式训练】题型03利用平方差公式进行简便运算.【例题】（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）用简便方法计算：(1)498502⨯(2)2202220232021-⨯【变式训练】题型04平方差公式与几何图形.【例题】（2023上·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校联考期中）图1、图2分别由两个长方形拼成．(1)图1中图形的面积为22a b -，图2中图形的面积为(2)由（1）可以得到等式：．(3)根据你得到的等式解决下列问题：①计算：2268.531.5-．②若42m n +=，求()()()222212121m m n n --+++-【变式训练】（2）请写出图①、图②、图③验证的乘法公式为：______；【应用探究】（3）利用（2）中验证的公式简便计算：4995011⨯+；（4）计算：22222111111111123420232024⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(1)上述操作能验证的公式是______（请选择正确的一个）．A ．()2a ab a a b +=+B ．()()22a b a b a b -=-+C ．()2222a ab b a b -+=-(2)请应用上面的公式完成下列各题：①已知22424a b -=，26a b +=，则2a b -=______；②计算：222222229897.1.....43009921-+-++-+-；③计算：()()()()()2222222221212.....4321223n n n n n -+-+-+----+≥题型05运用完全平方公式进行运算【例题】（2023上·河南信阳·八年级校考阶段练习）用乘法公式计算(1)2()x y z ++(2)()()2323x y x y -+-+【变式训练】1．（2023上·八年级课时练习）计算：(1)()27x y +；(2)()245a b -+；(3)()22m n --；(4)()()2323x y x y +--．2．（2023上·八年级课时练习）计算：(1)()()22x y z x y z +--+；(2)()2523a b c +-；(3)()()532536a b c a b c +--+．题型06利用完全平方公式进行简便运算【变式训练】1．用简便算法计算(1)2201720162018-⨯(2)2220220219698⨯++题型07通过对完全平方公式变形求值【例题】（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）已知：3a b +=-，2ab =，求下列各式的值：(1)22a b +；(2)2()a b -．【变式训练】1．已知4m n -=-，2mn =，求下列代数式的值．(1)22m n +(2)()()11m n +-题型08求完全平方式中的字母系数题型09完全平方式在几何图形中的应用【例题】（2023上·江苏·九年级专题练习）我们已经学习了乘法公式()2222a b a ab b ±=±+的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式245x x ++的最小值．解答如下：解：()2224544121x x x x x ++=+++=++，()220x +≥，∴当2x =-时，()22x +的值最小，最小值是0，∴()2211x ++≥，∴当()220x +=时，()221x ++的值最小，最小值是1，∴245x x ++的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题．(1)知识再现：当x =______时，代数式2415x x -+的最小值是______；(2)知识运用：若2615y x x =-+-，当x =______时，y 有最______值（填“大”或“小”），这个值是______；(3)知识拓展：若25100x x y -+++=，求y x +的最小值．【变式训练】1．例：求代数式245x x +-的最小值.解： ()22245444529x x x x x +-=++--=+-，()220x +≥，∴()2299x +-≥-，∴当2x =-时，代数式245x x +-有最小值9-，(1)代数式241-+有最（填大或小）值，这个值x x(2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为①用含x的式子表示花圃的面积；题型10完全平方公式在几何图形中的应用【例题】现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：【变式训练】2．如图①，正方形ABCD是由两个长为一、单选题A ．12B ．11C ．10D ．9二、填空题9．（2023上·黑龙江牡丹江·八年级统考阶段练习）设四个推断：①**a b b a =；②()222**a b a b =；③(-的序号是．10．（2023上·甘肃兰州·七年级兰州市第五十五中学校考开学考试）对于任意的代数式定一种新运算：a a c db b dc =-．根据这一规定，计算三、解答题11．（2023上·江苏南通·八年级校联考期中）计算：(1)()243x y -；(2)()()11x y x y +++-；(3)()()()22322x y x y x y +-+-；(4)()()325x y xy -⋅．12．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）利用乘法公式计算下列各题(1)()()22m n m n ---(2)()23x y -+(3)2210397+16．（2023上·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）如图，图1为边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形，图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．(1)设图1中阴影部分的面积为1S ，图2中阴影部分的面积为2S ，则1S =______，2S =______（请用含a ，b 的代数式表示，只需表示，不必化简）．(2)以上结果可以验证哪个乘法公式？这个乘法公式是______(3)运用（2）中得到的公式，计算：()()()()24821212121+⨯+⨯+⨯+．17．（2023上·甘肃武威·八年级校考期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A 种纸片是边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为b 、宽为a 的长方形，并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形．(1)观察图2，请你写出下列三个代数式：2()a b +，22a b +，ab 之间的等量关系；(2)若要拼出一个面积为()()2a b a b ++的矩形，则需要A 号卡片多少张，B 号卡片多少张，C 号卡片多少张．(3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：5a b +=，2211a b +=，求ab 的值；②已知22(2021)(2023)20x x -+-=，求2022x -的值．18．（2023上·河南周口·八年级校考期中）若x 满足()()604020x x --=，求()()226040x x +--的值．解：设60x a -=，40x b -=，则20ab =，604020a b x x +=-+-=．∴()()226040x x +--22a b =+。
最新北师大版七年级数学下册-第一章 整式的乘除-《完全平方公式》典型例题
《完全平方公式》典型例题例1 利用完全平方公式计算：（1）2)32(x -；（2）2)42(a ab +；（3）2)221(b am -．例2 计算：（1）2)13(-a ；（2）2)32(y x +-；（3）2)3(y x --．例3 用完全平方公式计算：（1）2)323(x y +-； （2）2)(b a --； （3）2)543(c b a -+．例4 运用乘法公式计算：（1）))()((22a x a x a x -+-； （2）))((c b a c b a ---+；（3）2222)1()1()1(+-+x x x ．例5 计算：（1）2241)321(x x --；（2）)212)(212(+---b a b a ；（3）22)()(y x y x --+．例6 利用完全平方公式进行计算：（1）2201；（2）299；（3）2)3130(例7 已知12,3-==+ab b a ，求下列各式的值．（1）22b a +；（2）22b ab a +-；（3）2)(b a -．例8 若2222)()(3c b a c b a ++=++，求证：c b a ==．参考答案例1 分析：这几个题都符合完全平方公式的特征，可以直接应用该公式进行计算． 解：（1）22229124)3(3222)32(x x x x x +-=+⨯⨯-=-；（2）222222216164)4(422)2()42(a b a b a a a ab ab a ab ++=+⨯⨯+=+；（3）22224241)221(b amb m a b am +-=-． 说明：（1）必须注意观察式子的特征，必须符合完全平方公式，才能应用该公式；（2）在进行两数和或两数差的平方时，应注意将两数分别平方，避免出现223124)32(x x x +-=-的错误．例2 分析：（2）题可看成2]3)2[(y x +-，也可看成2)23(x y -；（3）题可看成2)]3([y x +-，也可以看成2])3[(y x --，变形后都符合完全平方公式．解：（1）2221132)3()13(+⋅⋅-=-a a a1692+-=a a（2）原式22)3(3)2(2)2(y y x x +⋅-⋅+-=229124y xy x +-=或原式2)23(x y -22)2(232)3(x x y y +⋅⋅-=224129x xy y +-=（3）原式2)]3([y x +-=2)3(y x +=2232)3(y y x x +⋅⋅+=2269y xy x ++=或原式22)3(2)3(y y x x +⋅-⋅--=2269y xy x ++=说明：把题目变形为符合公式标准的形式有多种方式，做题时要灵活运用．例3 分析：第（1）小题，直接运用完全平方公式x 32为公式中a ，y 3为公式中b ，利用差的平方计算；第（2）小题应把2)(b a --化为2)(b a +再利用和的平方计算；第（3）小题，可把任意两项看作公式中a ，如把)43(b a +作为公式中的a ，c 5作为公式中的b ，再两次运用完全平方公式计算．解：（1）2)323(x y +-=2229494)332(y xy x y x +-=- （2）2)(b a --=2222)(b ab a b a ++=+（3）22225)43(10)43()543(c b a c b a c b a ++-+=++=ab b c bc ac a 24162540309222+++-+说明：运用完全平方公式计算要防止出现以下错误：222)(b a b a +=+，222)(b a b a -=-．例4 分析：第（1）小题先用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完全平方式计算．第（2）小题，根据题目特点，两式中都有完全相同的项c a -，和互为相反数的项b ，所以先利用平方差公式计算])[(b c a +-与])[(b c a --的积，再利用完全平方公式计算2)(c a -；第三小题先需要利用幂的性质把原式化为22)]1)(1(10[(+-+x x x ，再利用乘法公式计算．解：（1）原式=422422222222)())((a x a x a x a x a x +-=-=--（2）原式=22)(])][()[(b c a b c a b c a --=--+-=2222b c ac a -+-（3）原式=22222)]1)(1[()]1)(1)(1[(+-=+-+x x x x x=12)1(4824+-=-x x x ．说明：计算本题时先观察题目特点，灵活运用所学过的乘法公式和幂的性质，以达到简化运算的目的．例5 分析：（1）和（3）首先我们都可以用完全平方公式展开，然后合并同类项；第（2）题可以先根据平方差公式进行计算，然后如果还可以应用公式，我们继续应用公式．解：（1）x x x x x x 3941934141)321(2222-=-+-=--； （2）]21)2][(21)2[()212)(212(+---=+---b a b a b a b a 414441)2(222-+-=--=b ab a b a ； （3）)2(2)()(222222y xy x y xy x y x y x +--++=--+xy y xy x y xy x 4222222=-+-++=．说明：当相乘的多项式是两个三项式时，在观察时应把其中的两项看成一个整体来研究．例6 分析：在利用完全平方公式求一个数的平方时，一定要把原有数拆成两个数的和或差．解：（1）4040112002200)1200(201222=+⨯+=+=；（2）980111002100)1100(99222=+⨯-=-=．（3）2)3130(＝222)31(3130230)3130(+⨯⨯+=+ .219209120900=++= 说明：在利用完全平方公式，进行数的平方的简算时，应注意拆成的两个数必须是便于计算的两个数，这才能达到简算的目的．例7 分析：（1）由完全平方公式2222)(b ab a b a +==+，可知=+22b a 2)(b a +ab 2-，可求得3322=+b a ；（2）45)12(332222=--=-+=+-ab b a b ab a ；（3）57)12(2332)(222=-⋅-=+-=-b ab a b a ．解：（1）33249)12(232)(2222=+=-⨯-=-+=+ab b a b a（2）451233)12(33)(2222=+=--=-+=+-ab b a b ab a（3）ab b a b ab a b a 2)(2)(22222-+=+-=-572433)12(233=+=-⨯-=说明：该题是2222)(b ab a b a ++=+是灵活运用，变形为ab b a b a 2)(222-+=+，再进行代换．例8 分析：由已知条件展开，若能得出,0)()()(222=-+-+-a c c b b a 就可得到,0,0,0=-=-=-a c c b b a 进而,,c b a a cc b b a ==⇒===同时此题还用到公式bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++．证明：由,)()(32222c b a c b a ++=++得ac bc ab c b a c b a 222333222222+++++=++.022*******=---++bc ac ab c b a则0)2()2()2(222222=+-++-++-a ac c c bc b b ab a .0)()()(222=-+-+-a c c b b a∵ .0)(,0)(,0)(222≥-≥-≥-a c c b b a∴ .0,0,0=-=-=-a c c b b a即,,,a c c b b a ===得c b a ==．。
平方差公式和完全平方公式的辨识应用(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：平方差公式：_____________________；完全平方公式：①_________________；②__________________．我们记完全平方公式的口诀是什么？问题2：①已知，求的值；②已知，求的值；③已知，求的值．平方差公式和完全平方公式的辨识应用（北师版）一、单选题(共14道，每道7分)1.图1是一个长为，宽为（）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，通过计算，用拼接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证的等式为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：由题意得两个图形阴影部分面积相等，图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积是大正方形的面积减去小正方形的面积，所以面积为，所以验证的等式为．故选A．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式——几何表示2.如图1可以用来解释：，则图2可以用来解释( )A. B.C. D.答案：A解题思路：图1是利用大正方形面积相等验证等量关系，对图2可采取同样的方法：正方形的面积有两种表示方法：或，故可验证等式：．故选A．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式——几何表示3.如图，在边长为的正方形中裁掉一个边长为的小正方形（如图1），将剩余部分沿虚线剪开后拼接（如图2），通过计算，用拼接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证的等式为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：本题用几何的方法证明了平方差公式．根据题意，得：图1中阴影部分的面积可表示为，由图1知图2中阴影部分的面积可表示为．所以验证的等式为．故选A．试题难度：三颗星知识点：平方差公式——几何表示4.化简的结果是( )A.5B.C. D.答案：B解题思路：两种解题方法：方法一：直接利用多×多法则进行计算，较为麻烦，不建议使用；方法二：观察式子特征，我们发现这是平方差公式的逆用，相当于公式中的，相当于公式中的，计算如下：故选B．试题难度：三颗星知识点：平方差公式5.若，则的值是( )A.3B.6C.9D.18答案：C解题思路：，即，所求为，故选C．试题难度：三颗星知识点：平方差公式6.利用完全平方公式计算的结果为( )A.27 501B.29 501C.39601D.49 501答案：C解题思路：观察式子特征，直接算较为复杂，可将199看成(200-1)，利用完全平方公式求解．故选C．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用7.计算的结果是( )A.0B.1C.-1D.2004答案：B解题思路：观察式子特征，可分为两部分，直接计算比较复杂，结合所学公式，可将第二部分写成的形式，利用平方差公式处理：故选B．试题难度：三颗星知识点：平方差公式8.已知是完全平方式，则的值为( )A.1B.3C.-3D.±3答案：D解题思路：观察式子特征，是完全平方式，所以应该由首平方，尾平方，二倍乘积组成，据此可判断为二倍乘积项，∴，又因为完全平方公式有两个，故，对比可得，故选D．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式9.若，则的值为( )A.4B.-4C.±4D.16答案：C解题思路：观察式子特征，先把等式左边用完全平方公式展开，然后和等式右边的式子对比确定字母的值．∴，∴．故选C．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式10.计算，则括号里应填入的式子是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：观察这个式子，等号后面是一个平方差的形式，其中相当于公式中的，相当于公式中的，等号前面已经有了的形式，所以括号里应填的是的形式的代数式，即．故选D．试题难度：三颗星知识点：平方差公式11.已知，则的值分别为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：观察已知的等式，等号后面是平方差的形式，其中相当于公式中的，相当于公式中的，利用平方差公式，等号前面可以写成的形式，所以，，，故选C．试题难度：三颗星知识点：平方差公式12.计算的结果为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：观察式子特征，可以先算，和相乘仍可用平方差公式，故选C．试题难度：三颗星知识点：平方差公式13.计算的结果为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：故选C．试题难度：三颗星知识点：平方差公式14.已知，则代数式的值为( )A.1B.C. D.答案：C解题思路：当时，故选C．试题难度：三颗星知识点：平方差公式学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：计算．你是怎么思考的？问题2：计算．你是怎么思考的？问题3：已知，求的值；问题4：利用完全平方公式或平方差公式计算：①；②．。
北师大版七年级下册数学 1.5 《平方差公式的应用》课件(共14张PPT)
初中数学课程体系
平方差公式的应用
合作探究 平方差公式的几何验证 将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪
下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，你能 表示剪拼前后的图形的面积关系吗？
(a+b)(a−b)
？=
a2−b2
初中数学课程体系
初中数学课程体系
课堂小测.
平方差公式的应用
1.已知a=7202,b=721×719；则（ B ）
A.a=b
B.a>b
C.a<b
D.a≤b
2.97×103=(100－3)×( 100+3)=(1002－32).
3.(x+6)(x－6)－x(x－9)=0的解是_x_=_4___.
初中数学课程体系
平方差公式的应用
(3)原式=(9x2－16)－(6x2+5x-6) =3x2－5x－10.
初中数学课程体系
课堂小结
平方差公式的应用
内容
两个数的和与这两个数的差的 积，等于这两个数的平方差
平方差 公式
1.符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2
注意
2.抓住 “一同一反”这一特征，只 有两个二项式的积才有可能应用平 方差公式；不能直接应用公式的， 要经过变形才可以应用
平方差公式的应用
初中数学课程体系
北师大数学专场
平方差公式的应用
初中数学课程体系
平方差公式的应用
学习目标
1.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的 思想方法 2.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简 便运算；
初中数学课程体系