狭义相对论中加速度a与力f的关系
大学物理上 第4章 狭义相对论基础
1. 爱因斯坦的理论是牛顿理论的发展 2.光速不变否定了绝对时空概念。不存在绝对运动或 .光速不变否定了绝对时空概念。 绝对静止。 绝对静止。
10
§4.3
狭义相对论时空观
4.3.1 同时的相对性 由于光速不变， 由于光速不变，在某一个惯性系中同时发生的两 个事件， 个事件，在另一相对它运动的其它惯性系中并不一定 是同时发生的，这个结论称为“同时的相对性” 是同时发生的，这个结论称为“同时的相对性”。
v x = v′ + u x v y = v′y vz = v′ z
y = y′
x
P
x'
ut
o z
o'
x′
u
x
伽利略速度变换 v′ = vx − u x S ' 系 v′ = v y y v' z = v z
z'
S系
r r r v = v '+u
经典时空中速度满足速度叠加原理。 经典时空中速度满足速度叠加原理。
17
.
慢 双生子佯谬
慢 .
.
1971年，美空军用两组Cs（铯）原子钟作实验。 年 美空军用两组 （ 原子钟作实验。 实验值： 实验值：绕地球一周的运动 钟变慢： 钟变慢：203± 10ns ± 理论值：绕地球一周的运动 理论值： 钟变慢： 184 ± 23 ns 钟变慢： 实验值和理论值在误差 范围内是一致的。 范围内是一致的。 实验验证了孪生子效应确实是存在的。 实验验证了孪生子效应确实是存在的。
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4.2.2 狭义相对论的基本原理 1.狭义相对性原理：一切物理规律在任何惯性系中 1.狭义相对性原理： 狭义相对性原理 都具有相同的形式。 都具有相同的形式。即：物理定律与惯性系的选择无 对物理定律来说，所有惯性系都是等价的。 关，对物理定律来说，所有惯性系都是等价的。 2.光速不变原理：在所有惯性系中， 2.光速不变原理：在所有惯性系中，光在真空中的 光速不变原理 速率相同，与惯性系之间的相对运动无关,也与光源、 速率相同，与惯性系之间的相对运动无关,也与光源、 观察者的运动无关。 观察者的运动无关。 说明： 说明：
牛顿第二定律
牛顿第二运动定律牛顿第二定律即牛顿第二运动定律。
物体加速度的大小跟物体受到的作用力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。
而以物理学的观点来看，牛顿运动第二定律亦可以表述为“物体随时间变化之动量变化率和所受外力之和成正比”，即动量对时间的一阶导数等于外力之和。
牛顿第二定律说明了在宏观低速下，比例式表达：a∝F/m，F∝ma；用数学表达式可以写成F=kma，其中的k为比例系数，是一个常数。
但由于当时没有规定多大的力作为力的单位，比例系数k的选取就有一定的任意性，如果取k=1，就有F=ma，这就是今天我们熟知的牛顿第二定律的数学表达式。
英文名称Newton's Second Law of Motion-Force and Acceleration2内容物体加速度的大小跟作用力成正比，跟物体的质量成反比，且与物体质量的倒数成正比。
加速度的方向跟作用力的方向相同.在国际单位中，力的单位是牛顿，符号N，它是根据牛顿第二定律定义的：使质量为1kg的物体产生1加速度的力，叫做1N。
即1N=。
3公式F合=ma注：单位为N（牛）或者（千克米每二次方秒），N=。
(当单位皆取国际单位制时，k=1，即为)牛顿发表的原始公式：（见自然哲学之数学原理）动量为p的物体，在合外力为F的作用下，其动量随时间的变化率等于作用于物体的合外力。
用通俗一点的话来说，就是以t为自变量，p为因变量的函数的导数，就是该点所受的合外力。
即：而当物体低速运动，速度远低于光速时，物体的质量为不依赖于速度的常量，所以有这也叫动量定理。
在相对论中F=m a是不成立的，因为质量随速度改变，而依然适用。
由实验可得在加速度一定的情况下，在质量一定的情况下。
（只有当F以N，m以kg，a以为单位时，F合=m a成立）牛顿第二定律可以用比例式来表示，这就是：a∝F/m 或F∝ma这个比例式也可以写成等式：其中k是比例系数。
[1]（详见高中物理人教版教材必修一p74页）4几点说明简介1、牛顿第二定律是力的瞬时作用规律。
大学物理狭义相对论基础全部内容
伽利略 变换
洛仑兹 变换
实验检验
绝对时空观
狭义相对论时空观 比 较
相对论动力学基础
广义相对论时空观
学时： 8 （狭义相对论）; 自学*广义相对论简介
重点： 狭义相对论的两条基本原理 洛仑兹坐标变换 狭义相对论时空观（“同时”的相对性、钟慢尺缩） 质速关系，质能关系，能量与动量关系
难点： 狭义相对论时空观 *广义相对论的两条基本原理 *时空的几何化，空间弯曲
—— 牛顿
即：时间先于运动存在。没有时间，无法描述运动； 而没有运动，时间照样存在和流逝。
2. 空间：用以表征物质及其运动的广延性
空间测量：刚性尺 国际单位：米
光在真空中 29979241秒58的时间间隔内传播的
距离。
长度的测量：
长度 = 在与长度方向平行的坐标轴上，物体两端 坐标值之差 注意：当物体静止时，两端坐标不一定同时记录；
物理学家感到自豪而满足，两个事例：
在已经基本建成的科学大厦中，后辈物理学家只要 做一些零碎的修补工作就行了。也就是在测量数据的 小数点后面添加几位有效数字而已。
——开尔芬（1899年除夕）
理论物理实际上已经完成了，所有的微分方程都 已经解出，青年人不值得选择一种将来不会有任何 发展的事去做。
——约利致普朗克的信
同学们好！
物理书都充满了复 杂的数学公式。可是 思想及理念，而非公 式，才是每一物理理 论的开端。
－－爱因斯坦
《物理学的进化》
阿尔伯特.爱因斯坦（1879 — 1955）
?
第八章 狭义相对论 *广义相对论简介
力学相对性原理 对称性扩展
狭义相对性原理 光速不变原理 对称性扩展 广义相对性原理 等效原理
大学物理2 -5-第1章-狭义相对论时空观
第 1 章 狭义相对论时空观
本章主要讲解四个方面问题：
1）伽利略坐标变换、力学相对性原理及牛顿力 学的时空观 。 2）狭义相对论基本原理。 3）洛仑兹坐标变换和速度变换。 4）狭义相对论时空观。 第 1 章 狭义相对论时空观
狭义相对论时空观 (相对论运动学)
t 与运动状态无关, 时空独立。 牛顿时空观: r 、 空 间 r、 时 间t 相对论时空观 : r 、 t 与运动状态有关, 时空统一。
2、长度收缩（长度的相对性，运动尺度缩短）
Y
O
O Y
u
x 2 t
X
t x1
x1
x2
X
棒的长度: 测量两端坐标来确定
(i ) 棒相对于 K 参考系静止 K系测量: 无论同时或不同时l0 x2 x1 本征长度( 静长 ) (ii) 棒相对于 K 参考系运动 t1 t ) K系测量: 必须同时测量两端坐标 ( t2
空间间隔测量的相对性的反映。
③ 在与相对运动垂直的方向上，无相对运动，故不发
生长度收缩。
第 1 章 狭义相对论时空观
l l0
u 1 c
2
【例题】 马路边竖立着一块正方形广告牌，其面积为 100 m2，以 0.80C 的速度行驶的“爱因斯坦”牌摩托
车的驾驶员测得该广告牌的面积为多少？
dx
dx udt
2
vx u
2
dt
第 1 章 狭义相对论时空观
所以得:
vx u v x uv x 1 2 c 2 u vy 1 c v y uv x 1 2 c 2 u vz 1 c v z uv x 1 c2
狭义相对论公式及证明
狭义相对论公式及证明单位符号单位符号坐标： m (x, y, z) 力： N F(f)时间： s t(T) 质量:kg m(M)位移： m r 动量:kg*m/s p(P)速度： m/s v(u) 能量: J E加速度： m/s^2 a 冲量：N*s I长度： m l(L) 动能：J E k路程： m s(S) 势能：J E p角速度： rad/s ω力矩：N*m M角加速度:rad/s^2α功率：W P一：牛顿力学（预备知识）(一)：质点运动学基本公式：(1)v=dr/dt, r=r0+∫rdt(2)a=dv/dt, v=v0+∫adt(注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式)当v不变时，(1)表示匀速直线运动。
当a不变时，(2)表示匀变速直线运动。
只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。
(二)：质点动力学：(1)牛一：不受力的物体做匀速直线运动。
(2)牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。
F=ma=mdv/dt=dp/dt(3)牛三：作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上。
(4)万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。
F=GMm/r2,G=6.67259*10-11m3/(kg*s2)动量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化)动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。
动能定理：W=∫Fds=E k2-E k1(合外力的功等于动能的变化)机械能守恒：只有重力做功时，E k1+E p1=E k2+E p2(注：牛顿力学的核心是牛二：F=ma,它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t),若知受力情况，根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。
同样，若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。
)二：狭义相对论力学：(注：γ=1/sqr(1-u2/c2),β=u/c, u为惯性系速度。
张三慧《大学物理学：力学、电磁学》(第3版)(B版)(章节题库 狭义相对论基础)【圣才出品】
依题意，
，所以
则飞船相对地球的运动速度为
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（2）根据洛伦兹正变换
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可得飞船上测得这两城市相距为
2．某观察者测得一静止细棒的长度为 l，质量为 m，于是求得此棒的线密度匀．λ
在相对论情况下解下列问题： （1）若此棒以速度 υ 在棒长方向上运动，观察者再测此棒的线密度应为多少？ （2）若此棒以速度 υ 在垂直于棒长的方向上运动，此棒的线密度又为多少？ 解：（1）沿棒长方向运动时，由长度收缩公式可得观察者测得的棒长为
3．作用于物体上的外力，是否会因为惯性系的不同而不同？分别从经典力学与相对 论力学的角度讨论．
答：在惯性系中，力的定义是被作用物体的动量随时间的变化率，即
在经典力学中，动量
其中质量 m 是常量．故
因为加速度 a 在所有惯性系中相等，所以力 F＝ma 是个不变量，即与惯性系的选取无 关．
在相对论力学中，m 是个随惯性系的不同而变化的量．故
5．经典力学的动能定理和相对论力学的动能定理有什么相同和不同之处？
答：相同之处在于都认为动能是物体因运动而具有的能量，而且都以
的
形式表明物体动能的增量与外力对其所做功等值．不同之处在于经典力学中
其中质量 m 是常量；相对论力学中
其中 是物体静止时
的质量，运动质量 m 是随其运动速度变化的量，
称静止能量，
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第 6 章 狭义相对论基础
一、选择题 1．一宇航员要到离地球为 5 光年的星球去旅行，如果宇航员希望把这路程缩短为 3 光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度为（ ）。
第二十章 狭义相对论
二.“以太”模型 当时科学家认为：光波的传播需要一种弹性介质， 光速就是光振动的相位相对于介质的传播速度。 在真空中也存在这种介质，这种介质叫以太。
三.爱因斯坦的狭义相对论原理 狭义：指参考系都是惯性参考系（静止或匀速）
1.在一切惯性系中，真空中的光速度都具有相同的值c —— 光速不变原理
8
真空中的光速c 3 10 m / s
2.在一切惯性系中，物理规律都是相同的
-----狭义相对性原理
Einstein 的相对性理论是Newton理论的发展
三、长度收缩效应
1、本征长度（固有长度） 在相对于被测物体静止的参照系中测量的物体长度叫 做物体的固有长度或本征长度；而在相对被测物体运动的 参照系测量的物体长度叫运动长度。
在月台参照系（S系）上看，火车司机驾驶火车经过月 台A端点的时间为 t1，经过B端点的时间为 t2，则月台长度为：
L v(t2 t1 ) vt
如果以太存在，地球在以太中运动，地球上的观察 者会感受到以太风。
光对地球上的观察者的速度（以太为静止参考系）：
c c v
c为光对以太的速度 v为地球相对以太的速度
迈克尔逊-莫雷实验
迈克尔逊-莫雷实验的零结果
导致两种理解： （1）没有以太 （2）以太和迈克尔逊仪干涉仪一起运动 但第二种理解与光行差实验矛盾。 光行差实验结果表明如果有以太，以太并没有 被拖动，以太是绝对静止的。 结合迈克耳逊-莫雷实验和光行差实验的结果，得 到如下结论：没有以太，电磁规律对所有惯性系等 价，真空中的光速在任何惯性参考系下都是c .
狭义相对论的动力学
⑥ v > c时, m为虚数而无实际意义. 这阐明：真空中 旳光速c是一切物体运动速率旳极限.
2 动量与速度旳关系
p mv m0 v 1 v2 / c2
相对论中，质点所受旳力定义为：F
dp dt
d dt
mv
经典力学中，质点受力旳定义：
F
dp dt
m
d dt
v
显然，两者不再等效，因而用加速度表达旳牛顿 第二定律在相对论力学中不再成立.
A
B
2. 设有宇宙飞船A和B，固有长度均为l0 = 100m，沿 同一方向匀速飞行，在飞船B上观察到飞船A旳船头、
船尾经过飞船B船头旳时间间隔为0.6×10-7s，则飞船
B相对于飞船A旳速度是
。
解： 在B 船中观察A船旳长度
l l0 1 v c2
在B 船船头观察A船船头船尾飞过旳时间间隔
0
l v
• 爱因斯坦建立旳质能关系式被以为是一种具有划时
代意义旳理论公式，原子能旳利用使人类进入原子
时代。
E m0c2
这个关系式中 c2 旳数值很大，以至微小旳质量变化， 就相应着巨大旳能量变化。
在原子核裂变反应中，1g 235U裂变释放旳结合 能约 8.2 1010 J 。
在原子核聚变反应中，1g 氘和氚聚变释放旳结 合能大约是上述裂变反应释放能量旳3.5倍。
A
A 0.4kg B 0.8kg C 12×10-7kg D 1/12 ×10-7kg
m0c2 36 1015 J
m0
36 1015 9 1016
0.4kg
3. 一种立方体旳静质量为 m０，体积为 V0，当它相 对某惯性系S沿一边长方向以 v匀速运动时，静止在 S 中旳观察者测得其密度为多少？
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第18卷第2期荆州师专学报(自然科学版)Vo l.18N o.21995年4月Jo urnal of Jingzhou T eacher s Co lleg e(N atur al Science)A pr.1995收稿日期:1994狭义相对论中加速度a 与力f 的关系阳荣华 程庆华(荆门市竹园中学) (物理系) 摘要 本文针对关于狭义相对论中加速度a 与力f 的方向关系的一些讨论[1],采用更为直观、简单的方法,同样得出了加速度a 与力f 的方向关系的普适结果;并通过典型例子较全面地讨论和描述了加速度a 和力f 的方向和大小的相互关系,揭示了在狭义相对论和经典力学中a 与f 相互关系的不同;并讨论了在v /c →0时它们的一致性,从一个侧面说明了经典力学的局限性。
关键词 四维矢量;洛仑兹变换;协变1 引言众所周知,在洛仑兹变换下,牛顿力学定律不能保持协变性。
由牛顿第二定律f =m a 可以看出,在经典情况下,f 与a 方向一致,a 与f 大小成正比。
在狭义相对论中,力f 与加速度a 的方向、大小关系如何呢?本文从狭义相对论基本方程出发,采用直观、简单的方法,较全面地讨论了狭义相对论中f 与a 的关系。
2 相对论的基本方程静止质量为m 0,相对于参考系速度为u 的质点,其四维速度矢量为[2]:U = u (u ,ic )(1)其四维加速度矢量为:A =d U d ={ u 2a +1c 2 u 4u(u ・a )},1c i u4(u ・a )(2)其四维动量为[2]:P =m 0U =m 0 u (u ,ic )=(P ,ic u m 0)(3)质点所受的四维力为[2]:K =d P d = (dp t ,i c d E d t )= u (f,i c f ・u)(4)狭义相对论的基本方程为[3]:K =dP /d =m 0A(5)将(2)、(4)两式代入(5)式可得:f= u m 0a +1c 2 3u m 0(u ・a )u (6)其中 u =(1-u 2/c 2)-1/2,a =du /d t 为三维加速度,P =m 0 u u 为三维动量,f 为三维力。
3 f,a ,u 的关系在经典力学中,物体受到的力f 和其产生的加速度a 的方向是一致的。
在狭义相对论中,由(6)式可知,f 与a 的方向一般是不一致的。
f,u,a 三矢量共面,f 的方向由a 和u 共同决定。
由下面的讨论我们还可看到,f 与a 大小变化关系也与经典情形不同。
下面结合具体的例子,分四种情况加以讨论。
(Ⅰ)u=0;此时, u =1,(6)式成为f=m 0a ,即有f ∥a ,且a 与f 大小成正比,与经典情形一致。
图1 静止质量为m 0,带电量为q 的粒子在匀强电场E 中从静止开始加速(Ⅱ)u ‖a;(6)式为f=m 0 3u a ,此时亦有f ∥a ,我们称 3u m 0为纵向质量。
因 u 随u 值不断改变,可知a 与f 不是简单的正比关系。
我们用初速度为零的带电粒子在均匀电场中的运动来说明a 与f 的大小关系及其运动规律,并与经典情形相比较。
设粒子静止质量为m 0,带电量q ,在均匀电场E 中从静止开始加速,如图1。
粒子所受的力为f=q E,由(6)式可得:d d t ( u m 0u)=qE (7)初始条件为u t =0=0,对t 积分得:u =(qE /m 0)t /1+(qEt /m 0c )2(8)式中(q E /m 0)t 是经典加速度与时间之积,即经典速度u 经=(q E /m 0)t .于是:u =u 经/1+u 2经/c 2(9)从(8)、(9)两式可以看出,粒子的相对论加速度和速度均小于其经典加速度和速度。
将(8)式对t 积分,得:x =(m 0c 2/qE )[1+(qEt /m 0c )2-1](10)整理上式得:(x +m 0c /qE )2-(ct )2=m 0c 4/q 2E 2(11)显然,(11)式为一双曲线方程。
因而我们称这种运动为双曲线运动。
用二项式定理展开(10)式:x =(m 0c 2/qE )[1+(1/2)q 2(E 2t 2/m 20c 2)+ (1)(12)可见,在qEt /m 0<<c 时,(12)式简化为:x =12(qE m 0)t 2=12qE m 0c 2・(ct )2(13)图2 经典抛物线(虚线)与相对论双曲线(实线)之比较这正是在经典常力作用下粒子运动的抛物线。
图2给出了两种不同运动曲线的比较。
从图中可以看到,t 很小时,ct较小,粒子速度u 也较小,虚线与实线有“重合”现象.这说明在低速情况下,相对论结果与经典结果趋于一致。
而随着ct 的增加,两线的“差别”越来越显著,这是因为 u >1,相对论速度(加速度)小于经典速度(加速度),从而导致相对论位移小于经典位移,而且两者位移之差随着u 值的增大而增大。
双曲线的渐近线与ct 成45°夹角,A 为渐近线与ct 轴之交点。
由渐近线性质,随着ct 的增大,双曲线与渐近线趋于一致,在极端情形下两者重合。
此时,双曲线满足x =OA +ct 。
所以,粒子的速度为x =c ;加速度为x =0。
即极端情况下加速度为零。
这也可以说明电场不可能无限制地加速带电粒子,带电粒子在加速电场中所获的最大速度为c 。
因而,在u ∥a 时,f 与a 的关系虽然形式上与经典情形相同,但其包含的物理内容却大不相同。
(Ⅲ)u ⊥a ;此时,u ・a =0,(6)式成为f = u m 0a ,故亦有f ∥a ,我们称 u m 0为横向质量。
还可看到,只有当u 值保持不变时, u 值才不会变,a 与f 的大小才有正比关系。
下面就用一带电粒子在均匀磁场中运动的典型例子来加以说明。
在均匀磁场内,静止质量为m 0,带电量为q ,以速度u 垂直于磁场的方向进入磁场,磁场垂直于纸面向里,61第18卷 第2期 阳荣华等:狭义相对论中加速度a 与力f 的关系图3大小为B ,如图3。
粒子所受力为:f=q u ×B (14)此时,f 分别垂直于u 和B,又因f= u m 0a ,所以 u m 0a =q u ×B 即a =q u m 0u ×B (15)此时,a 与f 方向相同,故a 始终垂直于粒子速度u.粒子速率为一常量,粒子就沿圆周运动,其半径为!,向心加速度为u 2/!,这一加速度应与(15)式大小相等,所以1 u m 0quB =1!u 2或!= u m 0u qB =P qB(16)经典情形下的半径公式为!=m 0u /qB ,与上式相差因子 u ,取B为2.0W b /m 2,电子能量为10M eV 进行计算。
经典情形下P =2m 0K =(2×9.1×10-31kg ×10M eV ×1.60×1013J/M eV )1/2=1.7×10-21kg ・m/s!=m 0u /qB =P /qB = 1.7×10-211.60×10-19×2.0m = 5.3×10-3m =0.53cm (17)相对论情形下 P =1c (K +m 0c 2)2-(m 0c 2)2=13×108×(10+0.51)2-0.512M eV ・m /s ×1.60×10-13J /M eV =5.6×10-21kg ・m /s !=mu /q B =P /qB =5.6×10-211.60×10-19×2.0m =1.8×10-2m =1.8cm (18)从以上可以看出,在经典与相对论情形下,!所得的结果大不相同。
而最早由玻歇勒所做的相对论动力学实验证实了相对论结果。
玻歇勒实验的电子(来自放射粒子的∀衰变)进入滤波器以确定其速度,然后电子又进入一匀强磁场,在其中可测得电子的回转半径,将其实验结果列于表1[4]。
表1 玻歇勒实验结果u /c e /m (=u /!B )库/千克e /m 0(= u e /m )库/千克0.3173 1.661×10″ 1.752×10″0.3787 1.630×10″ 1.761×10″0.4281 1.590×10″ 1.760×10″0.5154 1.511×10″ 1.763×10″0.6870 1.283×10″ 1.767×10″表1的前两项(u /c 与e /m )为测量值,第三项(e /m 0)为计算值。
由表1可知,e /m 随着电子速率而变,而e /m 0为一常数。
这一结果与相对论关系式!= u m 0u /qB 相一致,与经典关系式!=m 0u /q B 不符合。
这说明在u ⊥a 的情况下,相对论关系式f = u m 0a 与经典关系式f =m 0a 虽然形式上相似,且两者都有a ∥f ,a 与f 大小成正比(此时u 为一常量, u 不变)等共同特征,但是两者所反映的问题的本质并不相同,后者只是前者在u /c →0的情况下的特例而已,前者包含更加丰富广阔的内容。
(Ⅳ)u 与a 成任意角;此时,f 与a 将成夹角#.若u 与a 之夹角为∃,由(6)式有:f =m 0 u a +(1/c 2)ua cos ∃ u 3u (19)在[0,2%]内,co s ∃曲线如图4(a)。
我们取a 的方向与水平方向一致,u 与a 夹角∃的变化看作u 从与a 重合(∃=0)开始沿逆时针“转动”产生,则co s ∃u 的矢端曲线如图4(b)所示。
图4(b)中,∃在[0,%/2]变化时, cos ∃u 由最大变化到最小,方向逆时针转过90°。
在(%/2,%]时,因co s ∃值为负,其矢端曲线“跳”到图中下半部分,从而形成一闭合曲线。
在[%,2%]时,曲线与∃在[0,%]内的结果相同。
因而,以下只讨论∃取在[0,%]区间即可。
图5(a )给出了(19)式描述的矢量关系。
取a 为水平方向,a 与u 夹角为∃,a 与f 夹角为#。
当∃在[0,%]内62荆州师专学报(自然科学版) 1995年4月图4(a ) 图4(b)图5(a ) 图5(b )变化时,#随∃的变化如图5(b)所示。
由图5(a)可得: cos &=(m 02 u 2a 2+f 2-(1/c 4)m 02 u 6u 4a 2co s 2∃)/2m 0 u afa =(f /m 0 u )[1+∀2 u 2cos 2∃(1+ u 2)]-1/2(20)(21)式中∀=u /c 。