22.3实际问题与二次函数第1课时二次函数与图形面积
二次函数与面积问题
二、二次函数与面积问题
1．如图，直线y=x﹣3与x轴、y轴交于A，B两点，抛物线y=x2+bx+c经过点A，B两点，M是射线BA上一个动点，MN∥y轴交抛物线于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AN，BN，设△ABN的面积为S，点M在线段AB上运动，在点M的运动过程中，S是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由
（3）点M从点B出发，沿射线BA方向以每秒5个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为ts，当t为何值时，MB=MN，请直接写出所有符合条件的t值．
2．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．
（1）求b、c的值；
（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；
（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．
3．如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；
（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．
4．如图，已知直角坐标系中，A、B、D三点的坐标分别为A（8，0），B（0，4），D（﹣1，0），点C与点B关于x轴对称，连接AB、AC．
（1）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（2）有一动点E从原点O出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点P，交线段CA于点M，连接PA、PB，设点E运动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；
第五讲 二次函数的实际应用
第五讲二次函数的实际应用
【知识速览】
1．实际问题中函数解析式的求法
设x为自变量，y为x的函数，在求解析式时，一般与解应用题列方程一样，先列出关于变量x，y的二元方程，再用含x的代数式表示y，最后还要写出自变量x的取值范围.
2．利用函数知识解应用题的一般步骤
（1）设定实际问题中的变量；
（2）建立变量与变量之间的函数关系式，如一次函数、二次函数或其他复合而成的函数式；
（3）确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；
（4）解答函数问题，如最值等；
（5）写出答案
2.与二次函数有关的实际问题大概有以下几种类型：
图形问题、销售利润问题、抛物线形建筑物问题等
【典型例题】
例1.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？（考查应用二次函数解决销售利润问题）
例2. 恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的
香菇损坏不能出售．
（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式．
（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润=销售总金额-收购成本-各种费用）
（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？（考查应用二次函数解决销售利润问题）
例3.现有60米长的篱笆，准备围成一个如图所示的养鸡场，为了节省篱笆，养鸡场一面可以用墙来替代，另一面的篱笆与墙平行，中间再用篱笆分开.设与墙平行的一边长为x米，养鸡场的总面积为y平方米.
22.3实际问题与二次函数第一课时教案
22.3 实际问题与二次函数
第1课时 实际问题与二次函数（1）
※教学目标※
【知识与技能】
1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系.
2.会运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值.
【过程与方法】
通过对“矩形面积”、“销售利润”等实际问题的探究，让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想.
【情感态度】
体会二次函数是一类最优化问题的模型，感受数学的应用价值，增强数学的应用意识.
【教学重点】
通过解决问题，掌握如何应用二次函数来解决生活中的最值问题.
【教学难点】
分析现实问题中数量关系，从中构建出二次函数模型，达到解决实际问题的目的.
※教学过程※
一、复习导入
从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是2305htt（0≤t≤6）．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是少？
提问 （1）图中抛物线的顶点在哪里？
（2）这条抛物线的顶点是否是小球预定的最高点？
（3）小球运动至最高点的时间是什么时间？
（4）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？
二、探索新知
探究1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？
分析：先写出S与l的函数关系式，再求出使S最大的l值.
矩形场地的周长是60m，一边长为lm，则另一边长为 ,场地的面积S= .化简得S= .当l= 时，S有最大值 .
探究2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
人教版九年级数学下册精品教案 实际问题与二次函数3个课时
22．3 实际问题与二次函数
第1课时 几何图形的最大面积
1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．
2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．
3．能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题．
一、情境导入
孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD.设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．
二、合作探究
探究点：最大面积问题
【类型一】利用二次函数求最大面积
小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．
(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？
解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x，则另一边长为60－2x2，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．
解：(1)根据题意，得S＝60－2x2·x＝－x2＋30x.自变量x的取值范围是0＜x＜30.
(2)S＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，∵a＝－1＜0，∴S有最大值，即当x＝15(米)时，S最大值＝225平方米．
方法总结：二次函数与日常生活的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．
【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件 用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？
(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．
解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)求出y的最大值，与70比较大小，即可作出判断．
21 专题 实际问题与二次函数(二)以面积问题为背景
专题 实际问题与二次函数(二)以面积问题为背景
1．(2011·武汉·中考)星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．
(1)若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；
(3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出x的取值范围．
2．(2013·日照)如图，矩形ABCD的两边长AB＝18cm，AD＝4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为ycm2．
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求△PBQ的面积的最大值．
26.3实际问题与二次函数(1)：图形面积问题
授课教师： 授课时间： 2013 年 月 日 课型: 命题新授课
课题：26.3实际问题与二次函数（1）：图形面积问题 主备人
教学目标 基础知识： 用二次函数解决几何图形面积最值问题的方法；
基本技能： 能根据几何面积问题中的数量关系，列出二次函数关系式；能根据具体问题的实际意义，计算几何图形面积最值。
基本思想方法： 在问题转化、建模过程中，体会二次函数最值的应用及数形结合的思想．经历用二次函数解决几何面积最值问题的过程中体验数学建模和数形结合的思想。
基本活动经验： 积累用二次函数最值解决几何图形面积问题和灵活设“元”的经验。
教学
重点 用二次函数解决几何图形面积最值问题
教学
难点 发现问题中的等量关系。
教学活动流程 活动内容和目的
一、活动1 问题的引入
二、活动2 模型的建立
三、活动3 巩固与运用
四、活动4 拓展与提升
五、活动5 小结与作业
引出本节课的内容，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生学习热情．通过对最值问题，激发学生对函数实际应用的探索兴趣．
通过对实际问题的分析，把问题转化为二次函数求最值问题，让学生体会数学建模思想．
让学生进一步熟悉函数建模的实际应用价值，掌握实际问题的解决方法．
让学生灵活运用二次函数解决几何图形面积最值问题，提升能力
回顾、反思、交流．布置课后作业，巩固、发展提高．
ABCD25m教 学 过 程 师生行为 设计意图
活动一
问题：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积s随矩形一边长l的变化而变化。当l是多少时，场地的面积s最大？
活动二
例2、(2007广东韶关)为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图1）. 若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2.
九年级数学上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第1课时二次函数与图形面积教案(新版)新人教版
1 22．3 第1课时 二次函数与图形面积
01 教学目标
1．会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小(大)值．
2．能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数及性质解决与面积有关的最小(大)值问题．
02 预习反馈
阅读教材P49～50(探究1)，完成下列问题．
1．一般地，当a＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低点，也就是说，当x＝－b2a时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小值4ac－b24a；当a＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最高点，也就是说，当x＝－b2a时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最大值4ac－b24a．
2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)，其图象如图所示．
(1)小球运动的时间是3s时，小球最高；
(2)小球运动中的最大高度是45m.
3．一个直角三角形的两条直角边长的和为20 cm，其中一直角边长为x cm，面积为y cm2，则y与x的函数的关系式是y＝12x(20－x)，当x＝10时，面积y最大，为50cm2.
03 新课讲授
例1 (教材P49探究)用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？
【思路点拨】 先写出S关于l的函数解析式，再求出使S最大的l值．
【解答】 ∵矩形场地的周长是60 m，一边长为l m，则另一边长为(602－l)m，∴场地的面积S＝l(602－l)＝－l2＋30l(0＜l＜30)． 2 ∴当l＝－b2a＝－302×（－1）＝15时，S有最大值4ac－b24a＝－3024×（－1）＝225．
答：当l是15 m时，场地的面积S最大．
【点拨】 在实际问题中，求函数的解析式时，一定要标注自变量的取值范围，同时在求函数的最值时，一定要注意顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内．
26.3实际问题与二次函数(1)：图形面积问题 2
授课教师： 授课时间： 2013 年 月 日 课型: 命题新授课
课题：26.3实际问题与二次函数（1）：图形面积问题 主备人
教学目标 基础知识： 用二次函数解决几何图形面积最值问题的方法；
基本技能： 能根据几何面积问题中的数量关系，列出二次函数关系式；能根据具体问题的实际意义，计算几何图形面积最值。
基本思想方法： 在问题转化、建模过程中，体会二次函数最值的应用及数形结合的思想．经历用二次函数解决几何面积最值问题的过程中体验数学建模和数形结合的思想。
基本活动经验： 积累用二次函数最值解决几何图形面积问题和灵活设“元”的经验。
教学
重点 用二次函数解决几何图形面积最值问题
教学
难点 发现问题中的等量关系。
教学活动流程 活动内容和目的
一、活动1 问题的引入
二、活动2 模型的建立
三、活动3 巩固与运用
四、活动4 拓展与提升
五、活动5 小结与作业
引出本节课的内容，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生学习热情．通过对最值问题，激发学生对函数实际应用的探索兴趣．
通过对实际问题的分析，把问题转化为二次函数求最值问题，让学生体会数学建模思想．
让学生进一步熟悉函数建模的实际应用价值，掌握实际问题的解决方法．
让学生灵活运用二次函数解决几何图形面积最值问题，提升能力
回顾、反思、交流．布置课后作业，巩固、发展提高．
ABCD25m教 学 过 程 师生行为 设计意图
活动一
问题：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积s随矩形一边长l的变化而变化。当l是多少时，场地的面积s最大？
活动二
例2、(2007广东韶关)为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图1）. 若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2.
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时教案
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时教案
一. 教材分析
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时主要介绍了二次函数在实际问题中的应用。这部分内容是对前面学习的二次函数知识的巩固和拓展，通过实际问题引导学生将理论知识和实际应用相结合，提高解决问题的能力。教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握二次函数在实际问题中的运用方法。
二. 学情分析
九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有了初步的了解。但是，将二次函数应用于实际问题中，解决实际问题对学生来说还是一个挑战。因此，在教学过程中，需要关注学生对知识的掌握程度，以及他们在解决实际问题时的思维方式和方法。
三. 教学目标
1. 了解二次函数在实际问题中的应用。
2. 能够将实际问题转化为二次函数问题，利用二次函数解决实际问题。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点
1. 掌握二次函数在实际问题中的应用。
2. 将实际问题转化为二次函数问题。
五. 教学方法
采用问题驱动的教学方法，通过引导学生解决实际问题，让学生理解和掌握二次函数在实际问题中的应用。同时，运用讨论法、案例分析法等，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。
六. 教学准备
1. 准备相关的实际问题案例。
2. 准备PPT，展示二次函数在实际问题中的应用。
七. 教学过程
1. 导入（5分钟） 通过一个简单的实际问题引出本节课的主题，激发学生的兴趣。例如：一个农场计划种植两种作物，种植面积一定的条件下，如何安排两种作物的种植面积，使得总收益最大？
2. 呈现（10分钟）
呈现实际问题，引导学生认识到实际问题可以通过二次函数来解决。通过PPT展示实际问题的图像，让学生观察和分析图像，理解二次函数在实际问题中的应用。
3. 操练（10分钟）
让学生分组讨论，尝试将实际问题转化为二次函数问题。每组选择一个实际问题，分析问题中的变量关系，列出二次函数的表达式。