22.3实际问题与二次函数第一课时
小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
b 30 t 3， 2a 2 （ 5） 4ac b2 302 h 45． 4a 4 （ 5）
小球运动的时间是 3 s 时，小球最高． 小球运动中的最大高度是 45 m．
合作学习
如何求出二次函数 y = ax + bx + c 的最小 （大）值？
反
馈
1、将进货单价为70元的某种商品按零售价 100元售出时，每天能卖出20个．若这种 商品的零售价在一定范围内每降价1元，其 日销售量就增加了1个，为了获得最大利润 ，则应降价多少元？最大利润为多少元？
反
馈
某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价 部门规定每箱售价不得高于55元；市场调查发现 ，若每箱以45元的价格销售，平均每天销售105 箱；每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱 ，假定每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之 间满足一次函数关系式。 （1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/ 箱）之间的函数关系式； （2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与 销售价x（元/箱）之间的函数关系式； （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获 得最大利润？最大利润是多少？
复习回顾
1、 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴 （3，5） .当x= 3 时， 是 x=3 ，顶点坐标是 y的最小值是 5 . 2、二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 x=2 ， 大 顶点坐标是（2,1） .当x= 2 时，函数有最___ 值，是 1 .
学习目标
1
能够分析和表示实际问题中变量之间的 关系. 会运用二次函数的知识求出实际问题中 的最大（小）值.
由于抛物线 y = ax + bx + c 的顶点是最低（高）
b 2 点，当 x 时，二次函数 y = ax + bx + c 有 2a 4ac b 2 最小（大） 值 y 4a
2
2
合作学习
某商品的售价为每件60元，每星期可卖出300件。 市场调查反映：如调整价格 ，每涨价1元，每星期 要少卖出10件；每降价1元，每星期要多卖出20件 。已知商品进价为每件40元，如何定价才能使利 润最大？
合作学习
问题1、已知某商品的售价是每件60元，每星期可卖出300 件。市场调查反映：如调整价格 ，每涨价1元，每星期要少 卖出10件。已知商品进价为每件40元，该商品应定价为多 少元时，商场能获得最大利润？ 解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元. y =(60-40+x)(300-10x) =(20+x)(300-10x) 怎样确定x =-10x2+100x+6000 的取值范围 =-10(x2-10x ) +6000 =-10［(x-5)2-25 ］+6000 =-10(x-5)2+6250 (0≤x≤30) 当x=5时，y的最大值是6250. 定价:60+5=65（元）
合作学习
问题2、已知某商品的售价是每件60元，每星期可卖出300 件。市场调查反映：如调整价格 ，每降价1元，每星期要 多卖出20件。已知商品进价为每件40元，该商品应定价为 多少元时，商场能获得最大利润？ 解:设每件降价x元时的总利润为y元. y=(60-40-x)(300+20x) 怎样确定x =(20-x)(300+20x) 的取值范围 =-20x2+100x+6000 =-20（x2-5x-300） =-20（x-2.5）2+6125（0≤x≤20） 所以定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大值为6125元. 答:综合以上两种情况，定价为65元时可 获得最大利润为6250元.
（1）图中抛物线的顶点在哪里？
（2）这个抛物线的顶点是否是小球运动的最 高点？
（3）小球运动至最高点的时间是什么时间？ （4）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹 的顶点坐标是什么？
合作学习
问题: 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度 h（单
位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系 是 h=30t-5t² （0≤t≤6）. 小球运动的时间是多少时，
2
3
体会二次函数是刻画现实世界的有效模 型.
合作学习
问题: 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高
度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位： s）之间的关系是 h=30t-5t² （0≤t≤6）. 小球运 动的时间是多少时，小球最高？小球运动中 的最大高度是多少？
合作学习
45
3
h=30t-5t² （0≤t≤6）
小
结
1、如何求二次函数的最小（大）值，并利 用其解决实际问题？ 2、在解决问题的过程中应注意哪些问题？ 你学到了哪些思考问题的方法？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
最新人教版初中九年级上册数学【22.3实际问题与二次函数(1)】教学课件
问题2
探究新知
l
问题2
探究新知
(60 l) 2
l
问题2
探究新知
l
l 0，
60 2
l
0.
(60 l) 2
问题2
探究新知
(60 l) 2
l
l 0，
b
4ac b2
,
)
的抛物线.
2a 4a
引入新知
问题1 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高 度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s） 之间的关系式是h=30t 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运 动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大 高度是多少？
引入新知
问题1 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高 度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s） 之间的关系式是h=30t 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运 动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大 高度是多少？ h= 5t 2 +30t （0≤t≤6）.
引入新知
问题1 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高 度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s） 之间的关系式是h=30t 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运 动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大 高度是多少？ h= 5t 2 +30t （0≤t≤6）.
a=-5<0
引入新知
问题1 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高 度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s） 之间的关系式是h=30t 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运 动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大 高度是多少？ h= 5t 2 +30t （0≤t≤6）.
九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数(第1课时)课
当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大．
4．归纳探究，总结方法
1．由于抛物线 y = ax2 + bx +数 y = ax2 + bx + c 有最小（大） 值
y 4ac b2 ． 4a
2．列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际
意义，确定自变量的取值范围.
3．在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大
值或最小值.
5．运用新知，拓展训练
为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙
（墙长 25 m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿
化带一边靠墙， 另三边用总长为 40 m 的栅栏围住 （如
下图）．设绿化带的 BC 边长为 x m，绿化带的面积为 y
22.3 实际问题与二次函数 （第1课时）
1．创设情境，引出问题
从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位： m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是
h= 30t - 5t2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小
球最高？小球运动中的最大高度是多少？
t
b 2a
2
30 （
5）
3，
m 2．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系 式，并写出自变量 x 的取值范围.
BA
（2）当 x 为何值时，满足条件 的绿化带的面积最大？
25 m
CD
6．课堂小结
（1） 如何求二次函数的最小（大）值，并利用其 解决实际问题？
（2） 在解决问题的过程中应注意哪些问题？你学 到了哪些思考问题的方法？
7．布置作业
3．类比引入，探究问题
用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化．当 l 是多少米时，场地 的面积 S 最大？
九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数(第1课时)课
◆反馈演练
△基础夯实 △能力跃升 △思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
△题型一 §例题1
变式① △题型二 §例题2
变式② 变式③
◆反馈演练
△基础夯实 △能力跃升 △思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
△题型一 §例题1
变式① △题型二 §例题2
变式② 变式③
◆反馈演练
△基础夯实 △能力跃升 △思维拓展
变式② 变式③
◆典例全解
△题型一 §例题1
变式① △题型二 §例题2
变式② 变式③
◆反馈演练
△基础夯实 △能力跃升 △思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
△题型一 §例题1
变式① △题型二 §例题2
变式② 变式③
◆反馈演练
△基础夯实 △能力跃升 △思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
△题型一 §例题1
变式① △题型二 §例题2
变式② 变式③
◆反馈演练
△基础夯实 △能力跃升 △思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
△题型一 §例题1
变式① △题型二 §例题2
变式② 变式③
◆反馈演练
△基础夯实 △能力跃升 △思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
△题型一 §例题1
变式① △题型二 §例题2
变式② 变式③
◆反馈演练
△基础夯实 △能力跃升 △思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
△题型一 §例题1
变式① △题型二 §例题2
变式② 变式③
◆反馈演练
△基础夯实 △能力跃升 △思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
△题型一 §例题1
22.3实际问题与二次函数第一课时教案
22.3 实际问题与二次函数第1课时 实际问题与二次函数（1）※教学目标※【知识与技能】1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系.2.会运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值.【过程与方法】通过对“矩形面积”、“销售利润”等实际问题的探究，让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想.【情感态度】体会二次函数是一类最优化问题的模型，感受数学的应用价值，增强数学的应用意识.【教学重点】通过解决问题，掌握如何应用二次函数来解决生活中的最值问题.【教学难点】分析现实问题中数量关系，从中构建出二次函数模型，达到解决实际问题的目的. ※教学过程※一、复习导入从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是2305h t t =-（0≤t ≤6）．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是少？提问 （1）图中抛物线的顶点在哪里？（2）这条抛物线的顶点是否是小球预定的最高点？（3）小球运动至最高点的时间是什么时间？（4）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？二、探索新知探究1 用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化.当l 是多少米时，场地的面积S 最大？分析：先写出S 与l 的函数关系式，再求出使S 最大的l 值.矩形场地的周长是60m ，一边长为l m ，则另一边长为 ,场地的面积S= .化简得S= .当l= 时，S 有最大值 .探究2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？（1）设每件涨价x 元，则每星期售出商品的利润y 随之变化.我们先来确定y 随x 变化的函数解析式.涨价x 元时，每星期少卖10x 件，实际卖出()30010x -件，销售额为()60x +· ()30010x -元，买进商品需付()4030010x -元.因此，所得利润()()()60300104030010y x x x =+---，即2101006000y x x =-++，其中，0≤x ≤30.根据上面的函数，填空：当x= 时,y 最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价 元，即定价 元时，利润最大，最大利润是 .（2）在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的讨论，自己得出答案. 由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道如何定价能使利润最大了吗？三、巩固练习1.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米. （1）求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ 2.鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x （元）的一次函数，且当x =60时 ，y =80；当x =50时，y =100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（2）求该公司销售该原料日获利W (元)与销售单价x (元)之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？答案：1.(1) ∵ AB 为x 米，篱笆长为24米,∴ 花圃宽为()244x －米.∴ ()()2244424?06?S x x x x x =+<<－=-.（2）当32b x a =-=时，有最大值24364ac b y a -==（平方米）.2.（1）设y kx b =+ .根据题意，得8060,10050.k b k b +⎧⎨=+⎩＝解得2,200.k b ∴2200y x =-+（30 ≤x ≤60）.（2）23022004()()5022606450W x x x x =+=+-----.（3）()2? 2652000W x =+－－.∵30 ≤x ≤60，∴当x =60时,W 有最大值为1950元.∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元.四、归纳小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？有哪些地方需要特别注意？※布置作业※从教材习题22.3中选取．※教学反思※二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型，也是某些单变量最优化的数学模 型，如最大利润、最大面积等实际问题，因此本课时主要结合这两类问题进行了一些探讨.生活中的最优化问题通过数学模型可抽象为二次函数的最值问题，由于学生对于这一转化过程较难理解，因此教学时教师可通过分步设问的方式让学生逐层深入、稳步推出，让学生自主建立数学模型，在这个过程中，教师可通过让学生画图探讨最值.总之，在本课时的教学过程中，要让学生经历数学建模的基本过程，体验探究知识的乐趣.。
人教版九年级数学上册22.3 实际问题与二次函数第一课时课件
解：(1)S＝12·x(60－x)＝－12x2＋30x
(2)∵S＝－12x2＋30x，a＝－12＜0，∴S 有最大值，∴当 x＝－2ba＝ －2×（30－12）＝30 时，S 有最大值为4ac4－a b2＝4×（4×－（12）－×12）0－302＝ 450.∴当 x 为 30 cm 时，菱形风筝的的面积最大，为 450 cm2
(1)求四边形APQC的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数关 系式，并写出x的取值范围．
(2)求四边形APQC面积的最小值，并求出此时x的值．
由题意，得 AP＝2x，BQ＝x，∴S△PBQ＝12PB·BQ＝12(22－2x)x ＝－x2＋11x.∵S 四边形 APQC＝S△ABC－S△PBQ，∴y＝12×22×20－(－x2 ＋11x)＝x2－11x＋220(0≤x≤11)
最大(小)值__4_a_．
2．面积最值问题应设图形的一边长为 自变量 ，所求面积为因 变量，建立 二次函数 的模型，利用二次函数有关知识求得最值， 要注意函数自变量的 取值范围 ．
知识点1 求二次函数的最值问题
1．(4分)关于二次函数y＝x2－8x＋c的最小值为0，那么c的
值等于( D )
A．4 B. 8
(1)设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式； (2)当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折得到△PCQ ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由．
解：(1)∵OA＝12，OB＝6，由题意得 BQ＝t，OP＝t.∴OQ＝6 －t，∴y＝12·OP·OQ＝12t(6－t)＝－12t2＋3t(0≤t≤6)
解：根据题意，得 y＝20x·(1280－x)，整理得 y＝－20x2＋1 800x ＝－20(x2－90x＋2 025)＋40 500＝－20(x－45)2＋40 500，∵a＝－20 ＜0，∴当 x＝45 时，函数 y 有最大值，y 最大＝40 500
九年级数学上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第1课时二次函数与图形面积教案(新版)新人教版
22．3 第1课时 二次函数与图形面积01 教学目标1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小(大)值．2．能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数及性质解决与面积有关的最小(大)值问题．02 预习反馈阅读教材P 49～50(探究1)，完成下列问题．1．一般地，当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低点，也就是说，当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小值4ac －b 24a；当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最高点，也就是说，当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最大值4ac －b 24a．2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m )与小球的运动时间t(单位：s )之间的关系式是h ＝30t －5t 2(0≤t≤6)，其图象如图所示．(1)小球运动的时间是3s 时，小球最高； (2)小球运动中的最大高度是45m .3．一个直角三角形的两条直角边长的和为20 cm ，其中一直角边长为x cm ，面积为y cm 2，则y 与x 的函数的关系式是y ＝12x(20－x)，当x ＝10时，面积y 最大，为50cm 2.03 新课讲授例1 (教材P49探究)用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？【思路点拨】 先写出S 关于l 的函数解析式，再求出使S 最大的l 值．【解答】 ∵矩形场地的周长是60 m ，一边长为l m ，则另一边长为(602－l )m ，∴场地的面积S ＝l (602－l )＝－l 2＋30l (0＜l ＜30)．∴当l ＝－b 2a ＝－302×（－1）＝15时，S 有最大值4ac －b 24a ＝－3024×（－1）＝225．答：当l 是15 m 时，场地的面积S 最大．【点拨】 在实际问题中，求函数的解析式时，一定要标注自变量的取值范围，同时在求函数的最值时，一定要注意顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内．【跟踪训练1】 (22.3第1课时习题)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是(C)A ．60 m 2B ．63 m 2C ．64 m 2D ．66 m 2例2 (教材P49探究的变式)如图，用长为6 m 的铝合金条制成一个“日”字形窗框，已知窗框的宽为x m ，窗户的透光面积为y m 2(铝合金条的宽度不计)．(1)求出y 与x 的函数关系式；【思路点拨】由题意可知，窗户的透光面积为长方形，根据长方形的面积公式即可得到y 和x 的函数关系式．【解答】 ∵大长方形的周长为6 m ，宽为x m ， ∴长为6－3x2m.∴y ＝x ·（6－3x ）2＝－32x 2＋3x (0＜x ＜2)．【点拨】 求y 与x 的函数关系式时，一定不能漏掉自变量的取值范围．(2)如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积． 【思路点拨】 由(1)中的函数关系可知，y 和x 是二次函数关系，根据二次函数的性质即可得到最大面积．【解答】 由(1)可知，y 和x 是二次函数关系． ∵a ＝－32＜0，∴函数有最大值．当x ＝－32×（－32）＝1时，y 最大＝32 m 2，此时6－3x2＝1.5.答：窗框的长和宽分别为1.5 m 和1 m 时，才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5 m 2.【点拨】 要考虑x ＝1是不是在自变量的取值范围内．【跟踪训练2】 如图，点C 是线段AB 上的一点，AB ＝1，分别以AC 和CB 为一边作正方形，用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是(A )A ．当C 是AB 的中点时，S 最小 B ．当C 是AB 的中点时，S 最大 C ．当C 为AB 的三等分点时，S 最小D ．当C 是AB 的三等分点时，S 最大04 巩固训练1．为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m ，则池底的最大面积是(B )A ．600 m 2B ．625 m 2C ．650 m 2D ．675m 22．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m )，用80 m 长的篱笆围成一个矩形场地，当AD ＝20m 时，矩形场地的面积最大，最大面积为800m 2.3．(22.3第1课时习题)手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm ，菱形的面积S (单位：cm 2)随其中一条对角线的长x (单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)； (2)当x 是多少时，菱形风筝面积S 最大？最大面积是多少？ 解：(1)S ＝－12x 2＋30x .(2)∵S ＝－12x 2＋30x ＝－12(x －30)2＋450，且a ＝－12＜0，∴当x ＝30时，S 有最大值，最大值为450.即当x 为30 cm 时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450 cm 2.05 课堂小结1．主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法．2．利用二次函数解决实际问题时，根据面积公式等关系写出二次函数表达式是解决问题的关键．。
精编课件人教版九年级数学上册第22章二次函数22.3实际问题与二次函数(共12张PPT)(第1课时)
… 2分
2
∴当x为30cm时，菱形风筝面积最大，最大面积是450 cm .
课堂小结
将一 来定 的会 你感 激 现 在 拼 命 的 自 己
牛刀小试
变式1：现要用60米长的篱笆围成一个矩形 场地（一边靠墙且墙长40米）。应怎样围 才能使矩形的面积s最大？最大是多少？
变式2现要用60米长的篱笆围成一个矩形 场地（一边靠墙且墙长28米）。应怎样围才 能使矩形的面积s最大？最大是多少？
（1）列出二次函数的解析式，并根 据自变量的实际意义，确定自变量的 取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用 公式法或通过配方求出二次函数的 最大值或最小值。
参考答案及评分标准
解：（1）S=
（2）∵S= -
-
1 2 x 30 x ，a= 2
30
1 x 2
2
30 x
1 2
… 2分
＜0,
∴S有最大值
b ∴当x= 2a
= —
S的最大值为
4ac b 2 4a
1 2 ( ) 2 2
30 … 2分
30
4 (
1 ) 2
450
临沂太平中学
牛雅琪
视频
问题
排球运动员从地面竖直向上抛出排球，排球的高 度 h（单位：m）与排球的运动时间 t（单位：s）之间 的关系式是h= 20t - 5t 2 （0≤t≤4）．排球的运动时间 是多少时，排球最高？排球运动中的最大高度是多少 ？ h
0 4
t
探究1
用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化．当 l是多少米时，场地 的面积 S 最大？
A B D C
九年级数学上册 第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与
情况下的最大值,然后综合考虑.
4.某商店经营一种水产品,成本为40元/千克,据市场分析,若按50 元/千克销售,一个月能售出500千克;销售价每涨1元,月销售量就减 少10千克,针对这种水产品的销售情况,销售单价定为 70 元时,获 得的利润最多.
1.利用二次函数解决几何问题 【例1】 如图,已知AB=2,C是AB上一点,四边形ACDE和四边形 CBFG都是正方形,设BC=x.
22.3 实际问题与二次函数
第1课时 实际问题与二次函数(1)
1.因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低(高)点,所以当x=_-_2���_���������___
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时,二次函数y=ax2+bx+c有最小(大)值
4������ .
2.当x= -1
时,二次函数y=x2+2x-2有最小值.
获利最多?最多是多少?
(3)若将这种化工原料全部售出,比较日均获利最多和销售单价最
高这两种方式,哪一种获总利较多?多多少?
分析(1)由日均获利=每千克获利×日均销售数量-支出费用,可列 出关系式;(2)画草图的关键是确定抛物线顶点的坐标,这可由二次 函数配方实现;(3)在(1)(2)的基础上通过计算可解.
点拨为了用图象更好地表示二次函数的关系,针对不同的情况要 具体分析,如x轴和y轴的单位长度可以不统一,但在同一坐标轴上的 单位长度必须统一.
1
2
3
4
5
6
1.为搞好环保,某公司准备修建一个长方体的污水处理池,池底矩形
的周长为100 m,则池底的最大面积是( )
A.600 m2
B.625 m2
C.650 m2
22.3 第1课时 实际问题与二次函数(1)
22.3实际问题与二次函数第1课时实际问题与二次函数(1)知能演练提升能力提升1.生产季节性产品的企业,当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业,其一年中每月获得的利润y和月份n之间的函数关系式为y=-n2+14n-24,则该企业一年中应停产的月份是()A.1月、2月、3月B.2月、3月、4月C.1月、2月、12月D.1月、11月、12月2.如图,在正方形ABCD中,AB=8 cm,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别从B,C两点同时出发,以1 cm/s的速度沿BC,CD运动,到点C,D时停止运动.设运动时间为t(单位:s),△OEF的面积为S(单位:cm2),则S与t的函数关系可用图象表示为()3.某果园有100棵橘子树,平均每一棵树结600个橘子.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橘子.设果园增种x棵橘子树,果园橘子总个数为y个,则果园里增种棵橘子树,橘子总个数最多.4.某电商销售一款夏季时装,进价40元/件,售价110元/件,每天销售20件,每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0).未来30天,这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动,即从第1天起每天的单价均比前一天降1元.通过市场调研发现,该时装单价每降1元,每天销量增加4件.在这30天内,要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t为正整数)的增大而增大,a的取值范围应为.5.(2018·四川达州中考)“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中,因此,越来越多的人喜欢骑自行车出行.某自行车店在销售某型号自行车时,以高出进价的50%标价.已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同.(1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元?(2)若该型号自行车的进价不变,按(1)中的标价出售,则该店平均每月可售出51辆;若每辆自行车每降价20元,则每月可多售出3辆,求该型号自行车降价多少元时,每月获利最大?最大利润是多少?6.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用周长为30 m的篱笆围成.已知墙长为18 m(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x m.(1)若苗圃园的面积为72 m2,求x.(2)若平行于墙的一边长不小于8 m,这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有,求出最大值和最小值;如果没有,请说明理由.(3)当这个苗圃园的面积不小于100 m2时,直接写出x的取值范围.7.(2018·湖南衡阳中考)一名在校大学生利用“互联网+”自主创业,销售一种产品,这种产品的成本价为10元/件,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件.市场调查发现,该产品每天的销售量y(单位:件)与销售价x(单位:元/件)之间的函数关系如图所示.(1)求y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;(2)求每天的销售利润W(单位:元)与销售价x(单位:元/件)之间的函数解析式,并求出每件销售价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?★8.由于受干旱的影响,5月份,某市某蔬菜价格呈上升趋势,其前四周每周的平均销售价格变化如下表:进入6月,由于本地蔬菜的上市,此种蔬菜的平均销售价格y(单位:元/千克)从6月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克,且y与周数x的变化情况满足二次函数y=-x2+bx+c.(1)请观察题中的表格,用所学过的一次函数或二次函数的有关知识直接写出5月份y与x的函数解析式,并求出6月份y与x的函数解析式.(2)若5月份此种蔬菜的进价m(单位:元/千克)与周数x所满足的函数关系为m=x+1.2,6月份此种蔬菜的进价m(单位:元/千克)与周数x所满足的函数关系为m=-x+2.试问5月份与6月份分别在哪一周销售此种蔬菜1千克的利润最大?最大利润分别是多少?创新应用★9.某电子厂商投产一种新型电子产品,每件制造成本为18元,试销过程中发现,每月销售量y(单位:万件)与销售单价x(单位:元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100.(利润=售价-制造成本)(1)写出每月的利润z(单位:万元)与销售单价x(单位:元)之间的函数解析式.(2)当销售单价为多少元时,厂商每月能获得350万元的利润?当销售单价为多少元时,厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少?(3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于32元,如果厂商要获得每月不低于350万元的利润,那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元?知能演练·提升能力提升1.C∵y=-n2+14n-24=-(n-2)(n-12),∴当y=0时,n=2或n=12.又该函数的图象开口向下,∴1月,y<0;2月、12月,y=0.∴该企业一年中应停产的月份是1月、2月、12月.故选C.2.B设△OEF中EF边上的高为h,则易知h=EF,于是S△OEF=h·EF=EF2=(EC2+FC2)=[(8-t)2+t2]=t2-4t+16(0≤t≤8).故选B.3.104.0<a<6根据题意,设每天缴纳电商平台推广费用后的利润为W元,则每件获得的利润为(110-40-a-t)=(70-a-t)元,而件数为(20+4t),因此W=(70-t-a)(4t+20)=-4t2+(260-4a)t+1 400-20a,其图象的对称轴为x=-,因为W随x的增大而增大,所以->29.5,所以a<6,故答案为0<a<6.5.解(1)设进价为x元,则标价是1.5x元,由题意,得1.5x×0.9×8-8x=(1.5x-100)×7-7x,解得x=1 000,1.5×1 000=1 500.∴进价为1 000元,标价为1 500元.(2)设该型号自行车降价a元,利润为w元,由题意,得w=(1 500-1 000-a)=-(a-80)2+26 460.∵-<0,∴当a=80时,w最大=26 460.∴该型号自行车降价80元出售每月获利最大,最大利润是26 460元.6.解(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30-2x)m.依题意可列方程x(30-2x)=72,即x2-15x+36=0.解得x1=3,x2=12.当x=3时,30-2x=30-6=24>18,故舍去x=3.x=12.(2)依题意,得8≤30-2x≤18,解得6≤x≤11.面积S=x(30-2x)=-2-(6≤x≤11).①当x=时,S有最大值,S最大=(m2);②当x=11时,S有最小值,S最小=11×(30-22)=88(m2).(3)令x(30-2x)=100,得x2-15x+50=0.解得x1=5,x2=10.又30-2x≤18,x≥6,故x的取值范围是6≤x≤10.7.解(1)设y与x的函数解析式为y=kx+b,将(10,30),(16,24)代入y=kx+b,得解得-∴y与x的函数解析式为y=-x+40(10≤x≤16).(2)W=(x-10)y=(x-10)·(-x+40)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225,∵a=-1<0,∴当x<25时,W随x的增大而增大.∵10≤x≤16,∴当x=16时,W取得最大值,最大值为144.∴每件销售价为16元时,每天的销售利润最大,最大利润是144元.8.解(1)通过观察可见5月份价格y与周数x符合一次函数解析式,即y=0.2x+1.8.将(1,2.8),(2,2.4)代入y=-x2+bx+c,可得--解之,得-即y=-x2-x+3.1.(2)设5月份第x周销售此种蔬菜1千克的利润为W1元,6月份第x周销售此种蔬菜1千克的利润为W2元,W1=(0.2x+1.8)-=-0.05x+0.6,因为-0.05<0,所以W1随x的增大而减小.=-0.05+0.6=0.55.所以当x=1时,最大W2=(-0.05x2-0.25x+3.1)--=-0.05x2-0.05x+1.1.因为其图象的对称轴为x=--=-0.5,且-0.05<0,所以当x>-0.5时,y随x的增大而减小.-=1.所以当x=1时,最大所以5月份销售此种蔬菜1千克的利润在第1周最大,最大利润为0.55元;6月份销售此种蔬菜1千克的利润在第1周最大,最大利润为1元.创新应用9.解(1)z=(x-18)y=(x-18)·(-2x+100)=-2x2+136x-1 800,所以z与x之间的函数解析式为z=-2x2+136x-1 800.(2)由z=350,得350=-2x2+136x-1 800,解这个方程得x1=25,x2=43.所以销售单价定为25元或43元.将z=-2x2+136x-1 800配方,得z=-2(x-34)2+512,因此,当销售单价为34元时,厂商每月能获得最大利润,最大利润是512万元.(3)结合(2)及函数z=-2x2+136x-1 800的图象(如图)可知,当25≤x≤43时,z≥350.又由这种电子产品的销售单价不能高于32元,得25≤x≤32.根据一次函数的性质,得y=-2x+100中y随x的增大而减小,所以当x=32时,每月制造成本最低.最低成本是18×(-2×32+100)=648(万元),即所求每月最低制造成本为648万元.。
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2
课堂检测
基础巩固题
1. 用一段长为15m的篱笆围成一个一边靠墙的
矩形菜园，墙长为18m，这个矩形菜园的最大 面积是___2_82_5_m_2_.
课堂检测
2.如图1，在△ABC中， ∠B=90°,AB=12cm,BC=24cm,动点P
从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动
【分析】
由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）
点，当
x
b 2a
时，二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
有最小
（大） 值 y 4ac b2 ．
4a
探究新知
h/m
解：
t
b 2a
30 2 （
5）
3，
40
h
4ac b2 4a
4 （3025）
45．
20
h= 30t - 5t 2
O 12 34 56
1 (x 20)2 200 2
∵0＜x＜25，
∴当x=20时，满足条件的绿化带面积ymax=200.
课堂检测
拓广探索题
某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告 设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m), 面积为S(m2). (1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范 围；
链接中考
如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用
旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩
形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．