22.3实际问题与二次函数(1)课件
分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，我们先来 看涨价的情况．
（1）设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变 化．我们先来确定y随x变化的函数式．涨价x元时，每星期少 卖10x件，实际卖出（300－10x）件，销售额为( 60＋x )( 300－ 10x )，买进商品需付出40 ( 300－10x ) 怎样确定x的取值范 围？
(2)在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的讨 论自己得出答案． 分析：我们来看降价的情况． （2）设每件降价x元，则每星期价x元时，每星期多卖18x件，
实际卖出（300+18x）件，销售额为( 60－x )( 300+18x )，买进 商品需付出40 ( 300+18x )，因此所得的利润
3200x－200x2 （2）销售额可以表示为____________________ ；
（3）所获利润可以表示为____________________ ； －200x2＋3700x－8000 9.25元 （4）当销售单价是_____________ 元时，可以获得最大利润， 9112.5元 最大利润是___________________ ．
y = ( x－20 )[400－20(x－30)]=－20x2＋140x－20000
链接中考
某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台 的售价y（元）与月份x之间满足函数关系
y 50 x 2600
去年的月销售量p（万台）与月份x之间成一次函数 关系，其中两个月的销售情况如下表：
月份 销售量 1月 3.9万台 5月 4.3万台
（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金 额最大？最大是多少？ （2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品 牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了m% , 且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国 家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的 家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补 贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往 农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情 况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万 台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给 予了财政补贴936万元，求 m 的值（保留一位小数）．
自己动手
某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以 单价30元销售那么半月内可售出400件，根据销售 经验，推广销售单价会导致销售量的减少，即销 售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提 高售价，才能在半月内获得最大利润？
1. 当销售单价提高5元，即销售单价为35元时，
可以获得最大利润4500元．提示：设销售单 价为x(x≥30)元，销售利润为y元，则
y = ( 60－x )( 300+18x ) － 40 ( 300+18x )
即
y = －18x2+60x+6000
当
b 60 5 x 2a 2 (18) 3
y(最大值)
5 5 18 60 6000 5800 3 3
2
由（1）（2）的讨论及现在的想做状况，你知道应 如何定价能使利润最大了吗？ 运用函数来决策定价的问题: 构建二次函数模型:将问题转化为二次函数的一个 具体的表达式. 求二次函数的最大(或最小值):求这个函数的最 大(或最小值)
y = （60＋x）(300－10x) －40 （300－10x） 即 y = －10x2+100x+6000 其中，0≤x≤30. y = －10x2+100x+6000 根据上面的函数，填空： 5 当x = ________ 时，y最大，也就是说，在涨价的情况 下，涨价_____ 5 元， 65 即定价_________ 元时，利润最大，最大利润是 ___________. 6250 其中，0≤x≤30.
某商店经营Ｔ恤衫，已知成批购进时单价是2.5元，根据
市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内， 单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低１元，就 可以多售出200件． 请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？
设销售单价为 x（ x ≤13.5）元，那么 3200－200x （1）销售量可以表示为__________________;
某商场第一年销售计算机5000台,如果每年的销
售量比上一年增加的百分率相同的百分率为x,写
出第三年的销售量增加百分比的函数关系式
解：依题意 y = 5000 (1+x )
2
做 一 做
某种商品每件的进价为30元，在某段时
间内若以每件x元出售，可卖出（200－ x）件，应该如何定价才能使利润最大？
例题讲解
22.3 实际问题与一元 二次方程
复习 1.利润 2.总利润
构建二次函数模型解决 一些实际问题
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查
反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降
价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如 何定价才能使利润最大？
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22.3实际问题与二次函数课件2021-2022学年人教版 九年级 上册 数学
顶部C离地面的高度为4.4m，现有载满货物的汽车欲通过大门
，货物顶部距地面2.7m，装货宽度为2.4m．这辆汽车能否顺利
通过大门？若能，请你通过计算加以说明；若不能，请简要说
明理由．
C
答案：汽车能顺利通过．
A
B
练习
在篮球赛中，姚小鸣跳起投篮，已知 米，当球出手后水平距离为 4 米时 到达最大高度 4 米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距 离地面 3 米，他能把球投中吗？
教学难点
从实际问题中抽象出二次函数，并利用二次函数解决问题．
知识回顾 二次函数
的顶点公式是什么？
抛球问题
小球的运动时间是多少时，小球最高？ 小球运动中的最大高度是多少？ 可以借助函数图象来解决这个问题． 画出这个函数的图象． 这是一条抛物线的一部分， 这条抛物线的顶点就是 小球运动的最高点．
抛球问题
练习
(1) 求 y 关于 x 的函数表达式，并直接写出自变量 x 的取值范围；
答案：（1） （2）能．
(0＜x＜15)；
定价问题 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出300件．市场调 查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件； 每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件． 已知商品的进价为每件 40 元， 如何定价才能使利润最大？
若你是商家，怎么定价才能利润最大化呢？ 显然，定价为65元时，利润最大，为6250元．
归纳
定价问题的求解步骤
①设未知数：设价格变化为未知数 ②表示销量：用未知数把销量表示出来
③表示利润：用未知数把总利润表示出来
④求最值：化简，求出顶点坐标，写出最值
⑤作答：根据要求作答
取顶点时，一定要考虑自 变量的范围是否符合要求
22.3实际问题与二次函数(一)
22.3实际问题与二次函数（一）一、课前导学1．二次函数c bx ax y ++=2的顶点坐标是（ _, ）2．一般地：(1)如果抛物线c bx ax y ++=2中a>0，那么当=x _______时，二次函数c bx ax y ++=2有最_______值是_____________；(2)如果抛物线c bx ax y ++=2中a<0，那么当=x _______时，二次函数c bx ax y ++=2有最_______值是_____________。
3．分别用配方法和公式法，求当x 取何值时，y 有最值。
（1）223y x x =+- （2）21252y x x =-+-二、自主探究，合作交流问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系为2305(06)h t t t =-≤≤.小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？探究：借助函数图象解决这个问题，画出2305(06)h t t t =-≤≤函数图象如图 可以看出这个函数图象是一条抛物线的 一部分，这条抛物线的顶点是这个函数图象的最高点，也就是说，当t 取顶点横坐标时这个函数之最大. 因此，当2b t a =-=时，h 有最大值244ac b a -=.也就是说小球运动 秒时，小球运动最大高度 米.三、自主探究，交流展示☆探究1：用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形的面积S 随一边长l 的变化而变化，当l 是多少米时，场地面积S 最大？☆应用举例：1.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．（1）若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（2）绿化带的最大面积是多少？2.如图，点E 、F 、G 、H 分别位于正方形ABCD 的四条边上，四边形EFGH 也是正方形．当点E 位于何处时，正方形EFGH 的面积最小？H G F E DC BA☆练检巩固：1. 用长为20cm 的铁丝作两个正方形，两个正方形的边长分别为多少时，面积和最大？是多少？2. 已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？3. 如图，四边形的两条对角线AC 、BD 互相垂直，AC ＋BD ＝10，当AC 、BD 的长是多少时，四边形ABCD 的面积最大？4.一块三角形废料如图所示，∠A ＝30°，∠C ＝90°，AB ＝12．用这块废料剪出一个长方形CDEF ，其中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 上．要使剪出的长方形CDEF 面积最大，点E 应造在何处？D C BAF E DC BA☆能力提升：1. 如图，点E,F,G,H 分别在菱形ABCD 的四条边上，BE=BF=DG=DH ，连接EF 、FG 、GH 、HE ，得到四边形EFGH.(1)求证：四边形EFGH 是矩形；(1)设AB=a ，∠A=60°，当BE 为何值时，矩形EFGH 面积最大？BAC2.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长16m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．（1）若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（2）绿化带的最大面积是多少？。
《实际问题与二次函数》PPT优秀教学课件1
第二十二章 二次函数
22．3 实际问题与二次函数
第2课时 最大利润问题
自主学习
知识点：销售中的最大利润 1．(长葛月考)服装店将进价为100元的服装按x元出售，每天可销售(200－x)
件，若想获得最大利润，则x应定为( A )
A．150元 B．160元 C．170元 D．180元
2．某产品进货单价为9元，按10元一件出售时，能售出50件．若每件每涨
第函2数课(关3时系)设式最为每大y＝利月－润n问获2＋题得14n－的24利，则润该企为业w一年元中，应停由产的题月意份是得( ：)w＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－
(2)设该公司日获利为W元，由题意得W＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2(x－65)2＋2000，∵－2＜0； ②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？
C．135元 (2)若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
第2．2课 某销时产售品最进统货大单利计价润为问，9题元一，件按10工元一艺件出品售每时，降能售价出510元件．，若每则件每每涨天价1可元，多销售售量就出减4少件10件，，则要该使产品每能获天得的获最得大利的润为(
A )8．生利产润季节最性产大品，的企则业，每当件它的的产品售无价利润应时就定会为及时(停产．现)有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间的
(2)设该公司日获利为W元，由题意得W＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2(x －65)2＋2000，∵－2＜0；∴抛物线开口向下；∵对称轴x＝65；∴当x＜65 时，W随着x的增大而增大；∵30≤x≤60，∴当x＝60时，W有最大值；W最大 值＝－2×(60－65)2＋2000＝1950.即当销售单价为每千克60元时，日获利最 大，最大获利为1950元
22．3 实际问题与二次函数
第2课时 最大利润问题
自主学习
知识点：销售中的最大利润 1．(长葛月考)服装店将进价为100元的服装按x元出售，每天可销售(200－x)
件，若想获得最大利润，则x应定为( A )
A．150元 B．160元 C．170元 D．180元
2．某产品进货单价为9元，按10元一件出售时，能售出50件．若每件每涨
第函2数课(关3时系)设式最为每大y＝利月－润n问获2＋题得14n－的24利，则润该企为业w一年元中，应停由产的题月意份是得( ：)w＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－
(2)设该公司日获利为W元，由题意得W＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2(x－65)2＋2000，∵－2＜0； ②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？
C．135元 (2)若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
第2．2课 某销时产售品最进统货大单利计价润为问，9题元一，件按10工元一艺件出品售每时，降能售价出510元件．，若每则件每每涨天价1可元，多销售售量就出减4少件10件，，则要该使产品每能获天得的获最得大利的润为(
A )8．生利产润季节最性产大品，的企则业，每当件它的的产品售无价利润应时就定会为及时(停产．现)有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间的
(2)设该公司日获利为W元，由题意得W＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2(x －65)2＋2000，∵－2＜0；∴抛物线开口向下；∵对称轴x＝65；∴当x＜65 时，W随着x的增大而增大；∵30≤x≤60，∴当x＝60时，W有最大值；W最大 值＝－2×(60－65)2＋2000＝1950.即当销售单价为每千克60元时，日获利最 大，最大获利为1950元
《实际问题与二次函数》第1课时示范公开课教学PPT课件【部编新人教版九年级数学上册】
–75
25 50 75 x
225 cm² 15 cm 15 cm
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例：如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，
墙长32 m，这个矩形与墙平行的一边长为x m，则当x为多少时，菜
园的面积最大，最大面积是多少？
32m
思考： (1)菜园另一边的长＝
这些矩形的面积一定相等吗？ 不一定
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
一起探究
当周长为60 cm时，你能画出一个面积最大的矩形吗？
分组交流讨论： 1.学生分组交流讨论； 2.各组展示方法过程； 3.教师带领大家完善探究过程.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
一起探究
当周长为60 cm时，你能画出一个面积最大的矩形吗？
30x
x SS矩矩形形 x(x3²0x3)0x 求S的最大值
x
–
2×
30 (–
1)
15
S最大 –15²3015 225
y 225 200 175 150 125 100 75 50 25
对应的 函数值
–75–50 –25 O –25
–50
30 x 2
m，
ห้องสมุดไป่ตู้
菜园的面积＝
1 2
x2＋30 x
.
(2) x的取值范围是 0＜x≤32 .
(3) 当x＝ 30 时，菜园面积 最大，最大面积＝ 450 m².
y
500
60 x
400
2
300
x 200
x1(3x021＋ 00 x30) x 2 2 –200 –100 O 100 200 x
25 50 75 x
225 cm² 15 cm 15 cm
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例：如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，
墙长32 m，这个矩形与墙平行的一边长为x m，则当x为多少时，菜
园的面积最大，最大面积是多少？
32m
思考： (1)菜园另一边的长＝
这些矩形的面积一定相等吗？ 不一定
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
一起探究
当周长为60 cm时，你能画出一个面积最大的矩形吗？
分组交流讨论： 1.学生分组交流讨论； 2.各组展示方法过程； 3.教师带领大家完善探究过程.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
一起探究
当周长为60 cm时，你能画出一个面积最大的矩形吗？
30x
x SS矩矩形形 x(x3²0x3)0x 求S的最大值
x
–
2×
30 (–
1)
15
S最大 –15²3015 225
y 225 200 175 150 125 100 75 50 25
对应的 函数值
–75–50 –25 O –25
–50
30 x 2
m，
ห้องสมุดไป่ตู้
菜园的面积＝
1 2
x2＋30 x
.
(2) x的取值范围是 0＜x≤32 .
(3) 当x＝ 30 时，菜园面积 最大，最大面积＝ 450 m².
y
500
60 x
400
2
300
x 200
x1(3x021＋ 00 x30) x 2 2 –200 –100 O 100 200 x
【人教版】九年级上册数学教学课件22.3.1用二次函数解决利润等代数问题
提问1：如何理解“每涨1元，每星 期要少卖出10件” ？能否用具体售 价解答此问题？
问题探究
提问2：当售价为每件70元时，涨价多 少？数量怎样变化？数量是升高还是降 低？是在谁的基础上变化？
涨价10元
减少(x-60) ×10件
问题探究
提问3：当售价每件x元，如何表示 数量？
数量=300x6010 1
10、你的假装努力，欺骗的只有你自己，永远不要用战术上的勤奋，来掩饰战略上的懒惰。 11、时间只是过客，自己才是主人，人生的路无需苛求，只要你迈步，路就在你的脚下延伸，只要你扬帆，便会有八面来风，启程了，人的生命才真正开始。 12、不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。失败。11、学会学习的人，是非常幸福的人。——米南德
适时小结
问：如何理解“一般地”？
主要看顶点的横坐标是否在实 际问题中自变量的取值范围内.
利用二次函数可以解决利润等 代数问题.
问题探究
问题2：某商品现在的售价为每件60元， 经过市场调查，商家决定提高售价，同 时销售数量 y（件）与销售单价x（元） 之间的函数关系为 y= -10x+900，已知该 商品的进价为每件40元，如何定价才能 使利润最大？
谢谢 !
LOGO
1、快乐总和宽厚的人相伴，财富总与诚信的人相伴，聪明总与高尚的人相伴，魅力总与幽默的人相伴，健康总与阔达的人相伴。 2、人生就有许多这样的奇迹，看似比登天还难的事，有时轻而易举就可以做到，其中的差别就在于非凡的信念。
3、影响我们人生的绝不仅仅是环境，其实是心态在控制个人的行动和思想。同时，心态也决定了一个人的视野和成就，甚至一生。 4、无论你觉得自己多么了不起，也永远有人比更强;无论你觉得自己多么不幸，永远有人比你更不幸。
问题探究
提问2：当售价为每件70元时，涨价多 少？数量怎样变化？数量是升高还是降 低？是在谁的基础上变化？
涨价10元
减少(x-60) ×10件
问题探究
提问3：当售价每件x元，如何表示 数量？
数量=300x6010 1
10、你的假装努力，欺骗的只有你自己，永远不要用战术上的勤奋，来掩饰战略上的懒惰。 11、时间只是过客，自己才是主人，人生的路无需苛求，只要你迈步，路就在你的脚下延伸，只要你扬帆，便会有八面来风，启程了，人的生命才真正开始。 12、不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。失败。11、学会学习的人，是非常幸福的人。——米南德
适时小结
问：如何理解“一般地”？
主要看顶点的横坐标是否在实 际问题中自变量的取值范围内.
利用二次函数可以解决利润等 代数问题.
问题探究
问题2：某商品现在的售价为每件60元， 经过市场调查，商家决定提高售价，同 时销售数量 y（件）与销售单价x（元） 之间的函数关系为 y= -10x+900，已知该 商品的进价为每件40元，如何定价才能 使利润最大？
谢谢 !
LOGO
1、快乐总和宽厚的人相伴，财富总与诚信的人相伴，聪明总与高尚的人相伴，魅力总与幽默的人相伴，健康总与阔达的人相伴。 2、人生就有许多这样的奇迹，看似比登天还难的事，有时轻而易举就可以做到，其中的差别就在于非凡的信念。
3、影响我们人生的绝不仅仅是环境，其实是心态在控制个人的行动和思想。同时，心态也决定了一个人的视野和成就，甚至一生。 4、无论你觉得自己多么了不起，也永远有人比更强;无论你觉得自己多么不幸，永远有人比你更不幸。
22.3实际问题与二次函数(实物抛物线)
A、5米 B、6米；C、8米；D、9米
y
x
0
h
A
B
练习2一个涵洞成抛物线形，它的截面如图, 现测得，当水面宽AB＝1.6 m时，涵洞顶点与 水面的距离为2.4 m．这时，离开水面1.5 m处， 涵洞宽ED是多少？是否会超过1 m？
加入QQ群：259315766，可获得无法上传的免费文档《二次曲线压轴100题真人讲解WORD精排打印版》100页
y 0.5 x 2 2
当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-1,这时有:
1 0.5 x2 2 x 6 这时水面宽度为2 6m
∴当水面下降1m时,水面宽度 增加了 ( 2 6 4 )m
解三 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中
的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.
例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所 示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到 水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系 内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什
么？
解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点 O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系。
由题意，得点B的坐标为（0.8，-2.4）， 又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入
∴汽车长方形构成，长方
形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用 y 1 x2 4 4
表示.（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧 道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡 车是否可以通过？
（1）卡车可以通过.
3
提示：当x=±1时，y =3.75, 3.75＋2>4.
x1 2 6 , x2 2 6
∴这时水面的宽度为:
x2 x1 2 6m
∴当水面下降1m时,水面宽度 增加了 ( 2 6 4 )m
人教九年级数学上册《二次函数与图形面积问题》课件
第1课时 二次函数与图形面积问题
重难互动探究
探究问题 求几何图形的最大（小）面积 例 ［教材探究1变式题］ 一条隧道的截面如图22－3－2所 示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形 ABCD.
图22－3－2
第1课时 二次函数与图形面积问题
（1）当AD＝4米时，求隧道截面上部半圆O的面积； （2）已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米. ①求隧道截面的面积S（平方米）关于半径r（米）的函数关系 式（不要求写出r的取值范围）； ②若2米≤CD≤3米，求隧道截面的面积S的最大值（π取3.14， 结果精确到0.1平方米）.
与x间的函数关系，再求解.
解： 不妨设矩形纸较短边长为 a，设 DE＝x，则 AE＝a －x.
那么两个正方形的面积和为 y＝x2＋（a－x）2 ＝2x2－2ax＋a2. 当 x＝－－2×22a＝12a 时， y 最小＝2×12a2－2a×12a＋a2＝12a2. 即点 E 选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的 面积和最小.
［解析］ （1）已知AD＝4米，即半圆O的半径为2米，直接根 据圆的面积公式计算；（2）①隧道的截面积由两部分组成， 即半圆面积和矩形面积；②注意自变量的取值范围，在实际问 题中求最大（小）值，要注意自变量的范围是否符合实际意义.
第1课时 二次函数与图形面积问题
解：（1）当 AD＝4 米时，S 半圆＝12π·A2D2＝12π×22＝2 π（平方米），
数学
新课标（RJ） 九年级上册
22.3 实际问题与二次函数
第1课时 二次函数与图形面积问题
第1课时 二次函数与图形面积问题
新知梳理
► 知识点 用二次函数求几何图形的最大（小）面积 在解答有关二次函数求几何图形的最大（小）面积的问题时 ，应遵循以下规律： （1）利用几何图形的面积（或体积）公式得到关于面积（ 或体积）的二次函数关系式； （2）由已得到的二次函数关系式求解问题； （3）结合实际问题中自变量的取值范围得出实际问题的答 案.
22.3 实际问题与二次函数(商品利润问题)课件人教版数学九年级上册
巩固练习
该怎么解这个题 目呢？
本题是以文字信息形式出现的求最大总收入的 实际应用问题，解题时要抓住题目中关键词语， 对信息进行梳理，分析，建立二次函数模型。
新知探究 知识点一：利润问题中的数量关系
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑 单件利润就可以，故 20-x≥0，且x≥0, 因此自变量的取值范围是 0≤x≤20.
新知探究 知识点一：利润问题中的数量关系
③降价多少元时，利润y最大，是多少？ 即：y=-20x2+100x+6000，
复习回顾
利润问题 一.几个量之间的关系. 1.总价、单价、数量的关系：总价＝单价×数量 2.利润、售价、进价的关系：利润＝售价－进价 3.总利润、单件利润、数量的关系：总利润＝单件利润×数量 二.在商品销售中，通常采用哪些方法增加利润？
新课导入
某商店经营衬衫，已知获利以y(元)与销售单价x(元)之间满足关系式y=x2+24x+2956，则此店销售单价定为多少时，获利多少？最多获利多少？
巩固练习
解析 总利润=单件产品利润×销售教量
解：（1）获利(30-20）[105-5（30-25）]=800（元)。 (2)设售价为每件x元时一个月的获利为y元。 由题意得y=（x-20）［105-5（x-25）］ =-5x2+330x-4600 =-5（x-33）2+845 当x=33时，y的最大值是845. 故当售价定为每件33元时，一个月获利最大，最大利润是845元。
新课导入
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润、最大铸量等问题，解此类题的关健 是通过题意，找出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x 的取值范围。
22.3.1二次函数与图形面积问题课件 2024-2025学年人教版数学九上
位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．
(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？
(2)S＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，
∵a＝－1＜0，∴S有最大值，
即当x＝15(米)时，S最大值＝225平方米．
知识讲解
(4) 当l是多少米时，场地的面积S最大？
（4）解：根据题意得S=-l2+30l (0<l<30).
因此，当l=
b
30
15时，
2a
2 ( 1)
2
2
S有最大值 4ac b 30 225.
4a
4 ( 1)
也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.
随堂练习
2. 用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与
随堂练习
4. 某广告公司设计一幅周长为12 m的矩形广告牌，广告设计费用每平
方米1 000元，设矩形的一边长为x(m)，面积为S(m2).
(1) 写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2) 请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
解：(1)设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),
知识点 利用二次函数解决几何图形的最值问题
【例 2】用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为
x米，面积为y平方米．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？
(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果
不能，请说明理由．
知识讲解
(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？
(2)S＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，
∵a＝－1＜0，∴S有最大值，
即当x＝15(米)时，S最大值＝225平方米．
知识讲解
(4) 当l是多少米时，场地的面积S最大？
（4）解：根据题意得S=-l2+30l (0<l<30).
因此，当l=
b
30
15时，
2a
2 ( 1)
2
2
S有最大值 4ac b 30 225.
4a
4 ( 1)
也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.
随堂练习
2. 用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与
随堂练习
4. 某广告公司设计一幅周长为12 m的矩形广告牌，广告设计费用每平
方米1 000元，设矩形的一边长为x(m)，面积为S(m2).
(1) 写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2) 请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
解：(1)设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),
知识点 利用二次函数解决几何图形的最值问题
【例 2】用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为
x米，面积为y平方米．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？
(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果
不能，请说明理由．
知识讲解
实际问题与二次函数—建立二次函数模型解决实际问题(教材配套课件)
是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解
到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
典例精析
例1 图中是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离
水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增
加了多少？
解法一: 如图所示以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建
立平面直角坐标系.
∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=ax2
∴-4=100a，a=-0.04
∴y=-0.04x2 .
C
A
O
h
20 m
D
x
B
在“拱桥类”问题中，一般知道拱高和拱长，这时可根据抛物线的对
称性建立以对称轴为y轴的坐标系，然后根据所建立的坐标系，确定抛物线
上一些点的坐标.若顶点在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2；若
顶点不在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2+k.
面的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）
2
近似满足函数关系y＝﹣ x + x+c，其图象如
图所示．已知铅球落地时的水平距离为10m．
（1）求铅球出手时离地面的高度；
（2）在铅球行进过程中，当它离
地面的高度为 m时，求此时铅球
的水平距离．
2
解：（1）根据题意，将（10，0）代入y＝﹣ x +
当拱桥离水面2m时,水面宽4m
即抛物线过点(2,-2)
∴-2=a×22
∴a=-0.5
∴这条抛物线所表示的二次函数为y=-0.5x2 .
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有:
-3=-0.5x² 解得x=± ，这时水面宽度为2 m
到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
典例精析
例1 图中是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离
水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增
加了多少？
解法一: 如图所示以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建
立平面直角坐标系.
∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=ax2
∴-4=100a，a=-0.04
∴y=-0.04x2 .
C
A
O
h
20 m
D
x
B
在“拱桥类”问题中，一般知道拱高和拱长，这时可根据抛物线的对
称性建立以对称轴为y轴的坐标系，然后根据所建立的坐标系，确定抛物线
上一些点的坐标.若顶点在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2；若
顶点不在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2+k.
面的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）
2
近似满足函数关系y＝﹣ x + x+c，其图象如
图所示．已知铅球落地时的水平距离为10m．
（1）求铅球出手时离地面的高度；
（2）在铅球行进过程中，当它离
地面的高度为 m时，求此时铅球
的水平距离．
2
解：（1）根据题意，将（10，0）代入y＝﹣ x +
当拱桥离水面2m时,水面宽4m
即抛物线过点(2,-2)
∴-2=a×22
∴a=-0.5
∴这条抛物线所表示的二次函数为y=-0.5x2 .
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有:
-3=-0.5x² 解得x=± ，这时水面宽度为2 m