整式乘除错解分析
整式的乘除与因式分解错例剖析
如果 能 合 并 同类 项 的 一 定 要 合 并
类 项 ．由 于错 解 没 有 合 并 同 类 项 ． 以分 解 也 就 小 ， 底 ． 所 ｝ Ｊ Ｊ
（ ＋）） 一２ ． （ ，）
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例 ７ 分 解 因 式 ： ２ ＋Ｙ （ ｘ 一 ３ ）＋Ｙ ２ （ｘ ）２ ｙ （ ＋ｙ ． ）
误 区 四 、 而 不提 肖 锗 解 剖析
例４ 分解因式：１ ５ｍ＋ ． ８ｍ一 ４ ９
错解 正解 原 式 ＝（ｍ一３ ９ ） ． 原式 ＝ （ｍ 一 ｍ＋１ ＝９３ ９９ ６ ） （ｍ一１２ ） ．
分 解 【式 时 ． 太 ｌ 如
果 有 公 武 ．首 先 要 提 取 公 因 式 ． 题 由于 没有 提 公 因 式 而 Ⅲ ： 本 现 错误 ． －
：（ｎ一６ （ｎ＋５ ） （ａ一６ （ ５ ）一 ｂ ＝一 ５ ）０—５ ） ｂ．
误 区 九 、 冠 李 戴 张
锗解剖析 错 解 混 淆 了 平
例 ９ 分 解 因 式 ：ｍ。 ｎ． ４ 一９
项 应 为 】 而不 是 ０ ． ．
原 式 ＝ ａ ３ ２ ２ （ａ一２ ｂ ｂ．
原 式 ＝２２ （ａ一２ ａ ３ ｂ ｂ＋１ ． ）
Ｗ０ ｋ ｉ ｔ ｅｇ ａ ｄ ｃ ｒ ｏ ｌ ｔｅ ｍａ ａ ｉｓａ ｄ ｍｉｅ ｉ ｓ ｈ ｔ ｖ ｒ ｅ ｅ ｎ ｉ ｄ ｒ ｒ ｎ ｕ ｅｆ ｒ ｌ ｈ ｌｄ ｅ ｎ ｓ ｒ ａ ｅ ｓ ｔ ｓｈ ａ ｅ ｔ ｅ ｂ ｍａ ｋｎ
原 式 ＝２ （ｘ一６ ４ ｙ十８ ． ） 原 式 ＝４ （ｘ一３ ｘ ２ ｙ＋４ ． ）
字 冈 式 ｆ 项 系 数 的 最 大 公 约 各 数 ） 字 母 式 （ 项 的 相 同 字 和 各
初中数学_北师大版数学七年级下册第一章《整式的乘除》讲评课教学设计学情分析教材分析课后反思
四、巩固提升归纳第一章《整式的乘除》中出现的三类典型的蕴含重要数学思想的题型，让学生对知识的运用形成体系，明确在具体题目当中出现的数学方式，并能较好的进行分析和解决。
1.公式的灵活应用将多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个形如（a+b）的完全平方，则添加单项式的方法共有多少种2.数形结合思想我们知道，有些代数恒等式可以用平面图形的面积来表示，例如（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用如图所示的面积关系来说明。
（1）根据图形请你写出一个等式：（2）根据等式请你画出一个能说明等式成立的图形：（2a+b）（a+3b）=2a2+7ab+3b2从代数到图形，从图形到代数，彼此是互相支撑互相补充的关系。
对于给出的代数恒等式（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，可以用同一个图形的面积相等去解释等号左右相等，所谓“以形助数”使代数问题几何化。
另外一方面，给出一个图形，学生也可以根据面积相等列出一个代数恒等式，所谓的“以数辅形”，使几何问题代数化。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，初中数学中实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系。
学情分析学生的知识技能基础：学生在这一章中了解了整数指数幂的意义和正整数指数幂的运算性质，经历了探索整式乘除法法则的过程，理解了整式乘除的算理，运用这些知识解决了一些相关的实际问题。
但这一章的运算法则较多，公式也容易混淆，而且学生对这些知识的理解缺乏整体认知，还没形成体系.学生活动经验基础：在学习整式乘除法的过程中，学生经历了许多数学活动，积累了一定的经验.但是学生有条理的思考和表达能力还比较薄弱，缺乏综合运用知识解决较复杂问题的经验，需要进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力。
学生在进行完章测试之后，迫切希望知道成绩以及自己知识点上的欠缺，所以讲评课要抓住学生的这种心理，趁热打铁，促进知识的稳固和提升。
整式乘除的典型难题及解法
整式乘除的典型难题及解法整式乘除是初中代数中的一个重要部分，也是很多同学比较困难的部分。
在此，本文将介绍整式乘除中的典型难题和解法。
一、分配律运用不准确在整式乘法中，经常需要运用到分配律，也就是(a+b)×c=ac+bc 这个公式。
但是，在实际运用中，很多同学因为对分配律的理解不准确，导致得出的结果错误。
解决方法：加强对分配律的理解即可。
分配律实际上是两个乘法之间的互相作用。
在运用分配律时，要注意将其中的各项依次相乘，并将结果分别相加即可。
例如：(a+2b)(c+d)=a(c+d)+2b(c+d)=ac+ad+2bc+2bd二、因式分解不熟练因式分解也是整式乘除中常见的难题。
很多同学往往不熟悉因式分解的方法，导致出现错误的结果。
解决方法：掌握常用的因式分解公式并熟练运用。
比如：①a²-b²=(a+b)(a-b)②a²+2ab+b²=(a+b)²③a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)当然，在掌握公式的基础上，还要多做一些练习，加强因式分解的熟练程度。
三、分母有分式整式除法中分式的存在也可能成为一道典型难题。
分式对式子的整体运算和结果的计算都有影响，因此，分式的存在很容易导致出现错误。
解决方法：将分式化简为整式。
在整式除法中，通常可以先将分式化简为整式，再进行求解。
比如：将分式化简为整式：$\frac{1}{x}-\frac{2}{x+1}=\frac{(x+1)-2x}{x(x+1)}=\frac{1-x}{x(x+1)}$四、多项式相除不准确多项式相除也很常见，但是其中涉及的长除法过程，很容易出错。
解决方法：掌握多项式长除法的步骤和方法。
在实际运用中，要注意保持耐心，严格按照步骤进行计算。
总的来说，想要解决整式乘除中的难题，首先要加强基础知识的掌握，比如分配律运用、因式分解、分式化简和多项式长除法等。
初中数学整式运算中常见错误分析与对策研究
初中数学整式运算中常见错误分析与对策研究导言：整式运算是初中数学中的重要内容，掌握整式的加减乘除运算是学好初中代数的基础。
在整式运算中，学生常常会犯一些常见的错误，影响了他们的学习效果。
本文将针对初中数学整式运算中常见的错误进行分析，并提出相应的对策，以帮助学生更好地掌握整式的运算。
一、常见错误分析：1. 符号混淆错误：在整式运算中，学生常常混淆加减号和乘号的使用，导致运算结果错误。
比如：将正负号写成加减号，将加减号写成乘号等。
这种错误可能是因为学生对符号的概念和运用方法不清楚。
2. 项的忽略和错误合并：在整式的加减运算中，学生常常会忽略某些项或者错误地合并相同的项。
这可能是因为学生对于项的定义和运用不熟悉，或者没有仔细阅读题目、计算过程中的细节。
3. 运算顺序错误：在整式的乘除运算中，学生常常没有按照规定的顺序进行运算，导致结果错误。
比如：未按照括号法则进行运算，未按照乘法分配律进行运算等。
这种错误可能是因为学生对于运算规则不熟悉，或者没有按照步骤进行思考和计算。
二、对策研究：1. 清晰掌握符号的定义和运用方法：学生应该清晰地了解正负号和加减号的区别，确保在整式运算中使用正确的符号。
可以通过课堂练习和习题训练来加强对符号的掌握。
2. 阅读题目和计算过程细节：学生应该仔细阅读题目，了解每个题目中所给的条件和要求，理解题意，以免忽略某些重要的项。
在计算过程中，应该仔细检查每一步的运算结果，确保没有错误地合并和忽略。
3. 掌握运算规则：学生应该掌握整式运算的基本规则，比如括号法则、乘法分配律等。
在进行乘除运算时，要按照规定的顺序进行，确保每一步的运算正确。
4. 注意运算符号的使用：学生应该清楚运算符号的含义和使用方法，避免将加号写成减号、乘号写成除号等错误。
通过练习和反复思考，加深对运算符号的理解和应用。
三、结语：。
专题1.2 整式的乘除法【十一大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题1.2 整式的乘除法【十一大题型】【北师大版】【题型1 利用整式乘法求值】 (1)【题型2 利用整式乘法解决不含某项问题】 (2)【题型3 利用整式乘法解决错看问题】 (5)【题型4 利用整式乘法解决遮挡问题】 (7)【题型5 整式乘法的计算】 (8)【题型6 整式乘法的应用】 (9)【题型7 整式除法的运算与求值】 (12)【题型8 整式除法的应用】 (16)【题型9 整式乘法中的新定义问题】 (18)【题型10 整式乘法中的规律探究】 (22)【题型11 整式乘法与面积的综合探究】 (26)【知识点 整式的乘法】单项式×单项式：系数相乘，字母相乘．()xy xy x y 22312æö2×=ç÷33èø单项式×多项式：乘法分配律．()m a b c ma mb mc ++=++多项式×多项式：乘法分配律．()()m n a b ma mb na nb++=+++【题型1 利用整式乘法求值】【例1】（2023春·江苏无锡·七年级期中）若(x−1)(x +b)=x 2+ax−2，则a +b 的值为 ．【答案】3【分析】由多项式乘多项式计算得x 2＋（b ﹣1）x ﹣b ＝x 2＋ax ﹣2，根据对应系数相等即可得出答案．【详解】解：∵（x ﹣1）（x ＋b ）＝x 2＋bx ﹣x ﹣b ＝x 2＋（b ﹣1）x ﹣b ，∴x 2＋（b ﹣1）x ﹣b ＝x 2＋ax ﹣2，∴b ﹣1＝a ，﹣b ＝﹣2，解得：b ＝2，a ＝1，∴a ＋b ＝3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则进行计算是解决本题的关键．【变式1-1】（2023·七年级单元测试）已知x2+x+1=0，则x3−x2−x+7=【答案】9.【分析】观察发现，对x3−x2−x+7的前三项可以提出公因式x，即可发现解答思路.【详解】解：∵x2+x+1=0，∴x3−x2−x+7=x3+x2+x−2x2−2x−2+9=x(x2+x+1)−2(x2+x+1)+9=9【点睛】本题考查了多项式乘法的逆用，解题的关键在于寻找所求多项式与已知等式的关系.【变式1-2】（2023春·上海松江·七年级校考阶段练习）已知：x2+3x=10，则代数式(x−2)2+x(x+10)−5=．【答案】19【分析】先把代数式(x−2)2+x(x+10)−5化简得2(x2+3x)−1，再把已知整式x2+3x=10整体代入其中即可求解.【详解】原式=x2−4x+4+x2+10x−5=2x2+6x−1=2(x2+3x)−1把x2+3x=10整体代入上式：2(x2+3x)−1=2×10−1=19故答案为19.【点睛】本题主要考查整体代入的数学思想.【变式1-3】（2023·七年级单元测试）如果a、b、m均为整数，且(x+a)⋅(x+b)=x2+mx+15，则所有的m的和为.【答案】0【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件即可求出m的值.【详解】∵(x+a)⋅(x+b)=x2+(a+b)x+ab=x2+mx+15∴a+b=m,ab=15，∴{a=1b=15或{a=−1b=−15或{a=15b=1或{a=−15b=−1或{a=3b=5或{a=−3b=−5或{a=5b=3或{a=−5b=−3，∴m取值有16，-16，8，-8.则所有的m的和为0.故答案为0.【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键.【题型2利用整式乘法解决不含某项问题】【例2】（2023春·浙江·七年级专题练习）已知将（x3+mx+n）（x2-3x+4）展开的结果不含x3和x2项，求m、n的值．【答案】m=-4，n=-12.【分析】先利用多项式乘法法则把多项式展开，那么原式=x5-3x4+4x3+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n=x5-3x4+（4+m）x3+（-3m+n）x2+（4m-3n）x+4n．由于展开后不含x3和x2项，则含x3和x2项的系数为0，由此可以得到4+m=0，-3m+n=0，解方程组即可以求出m、n．【详解】解：原式=x5-3x4+4x3+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n=x5-3x4+（4+m）x3+（-3m+n）x2+（4m-3n）x+4n．∵不含x3和x2项，∴4+m=0，-3m+n=0，解得m=-4，n=-12.【点睛】考查了多项式乘多项式，关键是根据多项式相乘法则以及多项式的项的定义解答．【变式2-1】（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）如果（y+5）（y+m）的乘积中不含y的一次项．则m的值为（）A．-5B．5C．0D．3【答案】A【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含y的一次项，确定出m的值即可．【详解】解：原式=y2+（m+5）y+5m，由结果不含y的一次项，得到m+5=0，解得：m=-5，故选：A．【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式2-2】（2023春·四川资阳·七年级统考期末）已知a为任意实数，有多项式M=x2+3ax+6，N=x+3，且MN=A，当多项式A中不含2次项时，a的值为（）．D．1A．－1B．0C．−23【答案】A【分析】根据题意列出整式相乘的式子，再计算多项式乘多项式，最后进行合并同类项，令二次项的系数等于0即可．【详解】解：∵MN=(x2+3ax+6)(x+3)=x3+3ax2+6x+3x2+9ax+18=x 3+(3a +3)x 2+(9a +6)x +18∴A =MN =x 3+(3a +3)x 2+(9a +6)x +18∴3a +3=0∴a =-1故选A ．【点睛】本题考查的是整式的乘法—多项式乘多项式，正确进行多项式的乘法是解答此题的关键．【变式2-3】（2023春·七年级课时练习）若x 2+x 2−3x +n )的积中不含有x 与x 3项．(1)直接写出m 、n 的值，即m =___________，n = ___________；(2)求代数式(−m 2n )3+(9mn )2+(3m )2014n 2016的值．【答案】(1)1，−13(2)9427【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算，然后根据积中不含有x 与x 3项可以求解m 、n 的值．（2）将m 、n 的值代入代数式求值即可．【详解】（1）解：x 2+x 2−3x +n ) =x 4−3x 3+n x 2+3m x 3−9m x 2+3mnx−13x 2+x−13n=x 4+(3m−3)x 3+(n−9m−13)x 2+(3mn +1)x−13n ，∵积中不含有x 与x 3项，∴3m−3=0，3mn +1=0，解得m =1，n =−13．故答案为：1，−13．（2）解：当m =1，n =−13时，(−m 2n )3+(9mn )2+(3m )2014n 2016=−12×−+9×1×−+32014×−=+(−3)2+3×−×−=127+9+19=9427．【点睛】本题考查多项式乘多项式以及代数式求值，解题关键是熟知多项式乘多项式的计算法则．【题型3利用整式乘法解决错看问题】【例3】（2023春·四川内江·七年级校考阶段练习）在数学课堂上，老师写出一道整式乘法题：(2y+a) (3y+b)．王建由于把第一个多项式中的“+a”抄成了“−a”，得到的结果为6y2+5y−10；李楠由于漏抄了第二个多项式中y的系数，得到的结果为2y2−7y+10．（1）求正确的a，b的值；（2）计算这道乘法题的正确结果．【答案】（1）a=−3b=−2；（2）6y2−13y+6【分析】（1）先根据多项式乘以多项式展开，合并同类项，得出两个二元一次方程，组成方程组，求出方程组的解即可；（2）根据多项式乘以多项式法则求出答案即可．【详解】（1）根据王建的解法得：(2y−a)(3y+b)=6y2+2by−3ay−ab=6y2+(2b−3a)y−ab=6y2+5y−10，∴2b−3a=5①根据李楠的解法的：(2y+a)(y+b)=2y2+2by+ay+ab=2y2+(2b+a)y+ab=2y2−7y+10，∴2b+a=−7②联立①②得方程组解得：a=−3b=−2；（2）这道题的正确解法是：(2y−3)(3y−2)=6y2−4y−9y+6=6y2−13y+6．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，解二元一次方程组等知识点，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．【变式3-1】（2023春•潍坊期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到（3x﹣y），则正确的结果是（ ）A．3x2﹣7xy+2y2B．3x2+7xy+2y2C．3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3D．3x3﹣13x2y+16xy2+4y3【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案．【解答】解：∵小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到（3x﹣y），∴原式＝（3x﹣y）（x﹣2y）＝3x2﹣6xy﹣xy+2y2＝3x2﹣7xy+2y2，则正确计算结果为：（3x2﹣7xy+2y2）（x﹣2y）＝3x3﹣7x2y+2xy2﹣6x2y+14xy2﹣4y3＝3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3．故选：C．【变式3-2】（2023春•云县期末）在计算（x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果x2+x﹣6．你能正确计算（x+a）（x+b）吗？（a、b都是常数）【分析】根据甲的做法求出a的值，根据乙的做法求出b的值，代入原式中计算即可．【解答】解：∵（x+a）（a+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+8x+12，∴6+a＝8，∴a＝2；∵（x﹣a）（x+b）＝x2+（b﹣a）x﹣ab＝x2+x﹣6，∴b﹣a＝1，∴b＝3，∴（x+a）（a+b）＝（x+2）（x+3）＝x2+5x+6．【变式3-3】（2023春•河源期末）甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．（1）求（﹣2a+b）（a+b）的值；（2）若整式中的a的符号不抄错，且a＝3，请计算这道题的正确结果．【分析】（1）按甲乙错误的说法计算得出的系数的数值求出a，b的值；（2）将a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．【解答】解：（1）甲抄错了a的符号的计算结果为：（x﹣a）（2x+b）＝2x2+（﹣2a+b）x﹣ab＝2x2﹣7x+3，故：对应的系数相等，﹣2a+b＝﹣7，ab＝﹣3；乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果为：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+2x﹣3．故：对应的系数相等，a+b＝2，ab＝﹣3，∴−2a+b=−7 a+b=2，解得：a=3b=−1，∴（﹣2a+b）（a+b）＝[（﹣2）×3﹣1]（3﹣1）＝﹣7×2＝﹣14；（2）由（1）可知，b＝﹣1正确的计算结果：（x+3）（2x﹣1）＝2x2+5x﹣3．【题型4利用整式乘法解决遮挡问题】【例4】（2023春•河南月考）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）A．+21xy B．﹣21xy C．﹣3D．﹣10xy【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论．【解答】解：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y+21xy．故选：A．【变式4-1】（2023春•天津期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3+□+3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写（ ）A．9x2B．﹣9x2C．9x D．﹣9x【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则计算可得出答案．【解答】解：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+3x，故选：B．【变式4-2】（2023春•岳麓区校级期中）已知x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n），其中m、n是被墨水弄脏了看不清楚的两处，请求出m2+6mn+9n2的值．【分析】将（x﹣1）（x2+mx+n）展开求得m和n的值后代入代数式即可求得其值．【解答】解：∵x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n）＝x3+（m﹣1）x2+（n﹣m）x﹣n，∴m﹣1＝﹣6，n＝6，∴m ＝﹣5，∴m2+6mn+9n2＝（﹣5）2+6×（﹣5）×6+9×62＝25﹣180+324＝169．【变式4-3】（2023春•江都区期中）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题3x 2y （2xy 2﹣xy ﹣1）＝6x 3y 3 ﹣3x 3y 2 ﹣3x 2y ，空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写 ﹣3x 3y 3 ．【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．【解答】解：∵3x2y （2xy2﹣xy ﹣1）＝6x3y3﹣3x3y2﹣3x2y ，∴横线上应填写﹣3x3y2，故答案为：﹣3x3y2，﹣3x3y2．【题型5 整式乘法的计算】【例5】（2023春·重庆渝中·七年级校考期中）（1）计算：x ⋅2x +x(x−2)；（2）(m +1)(m−5)−m(m−6)【答案】（1）3x 2−2x ；（2）2m-5【分析】（1）利用整式的混合运算法则求解即可．（2）根据单项式乘多项式，多项式乘多项式的运算方法计算即可．【详解】（1）x ⋅2x+x(x−2)=2x 2+x 2−2x=3x 2−2x.（2）（m+1）（m-5）-m （m-6）=m 2-5m+m-5-m 2+6m=2m-5；【点睛】此题考查整式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则.【变式5-1】（2023春·上海·七年级期中）−12x 2y 2⋅2−8xy +【答案】15x 6y 2−2x 5y 3+112x 4y 2【分析】先计算积的乘方，再根据单项式乘以多项式法则进行计算即可．【详解】解：原式=14x 4y 2⋅(45x 2−8xy +13)=15x 6y 2−2x 5y 3+112x 4y 2．【点睛】本题考查整式的混合运算，能灵活运用知识点进行化简是解题的关键．【变式5-2】（2023春·七年级课时练习）先化简，再求值：x (x +2)+(1+x )(1−x )，其中x ＝－2．【答案】2x ＋1，-3【分析】原式根据单项式乘以多项式运算法则以及平方差公式去括号，合并同类项；再代入求值即可．【详解】解：x(x+2)+(1+x)(1−x)=x2+2x+1−x2＝2x＋1，当x＝－2时，原式=2×(−2)+1=−3．【点睛】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．【变式5-3】（2023春·七年级课时练习）计算：(1)(a－1)(a2＋a＋1)；(2)(2x＋5)(2x－5)－(x＋1)(x－4)；(3)(3x－2)(2x＋3)(x－2).【答案】(1) a3－1；(2) 3x2＋3x－21；(3)6x3－7x2－16x＋12.【分析】（1）利用多项式乘以多项式，去括号合并即可得到结果；（2）原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用多项式乘以多项式，去括号合并即可得到结果；（3）利用多项式乘以多项式，去括号合并即可得到结果.【详解】(1)原式＝a·a2＋a·a＋a·1－a2－a－1＝a3－1.(2)原式＝4x2－25－x2＋3x＋4＝3x2＋3x－21.(3)原式＝(6x2＋9x－4x－6)(x－2)＝(6x2＋5x－6)(x－2)＝6x3＋5x2－6x－12x2－10x＋12＝6x3－7x2－16x＋12.【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键.【题型6整式乘法的应用】【例6】（2023春·浙江宁波·七年级校考期中）长方形的长和宽分别是a厘米、b厘米,如果长方形的长和宽各减少3厘米．新长方形的面积比原长方形的面积减少了多少平方厘米（用含的代数式表示）？【答案】3a+3b-9【详解】分析：根据题意表示出原来长方形与新长方形的面积，相减即可得到结果；详解：根据题意得，原长方形的面积为：ab平方厘米，新长方形的面积为：(a−2)(b−2)平方厘米，则新长方形的面积比原长方形的面积减少了：ab−(a−3)(b−3)=ab−ab+3a+3b−9=3a+3b−9(平方厘米).点睛：本题考查了长方形的面积和整式的混合运算，长方形的面积=长×宽，整式的混合运算是先算乘方，再算乘除，后算加减.【变式6-1】（2023春·上海静安·七年级新中初级中学校考期末）用长为24米的木条，做成一个“目”字形的窗框（如图所示，窗框外沿ABCD是长方形），若窗框的横条长度都为x米．（1）用代数式表示长方形ABCD的面积．（2）当x=3时，求出长方形ABCD的面积．【答案】（1）−2x2+12x；（2）18m2．【分析】（1）根据题意“目”字形的窗框，长有4段，总长为4AD＝4x米，则AB＝24−4x米，再根据长方形2面积计算公式即可得出答案；（2）把x＝3代入（1）中关于面积的代数式中即可得出答案．=12−2x，【详解】（1）根据题意得AB=24−4x2∴S长方形ABCD=(12−2x)⋅x=−2x2+12x．（2）当x=3时，−2x2+12x=−2×9+12×3=−18+36=18m2．答：长方形ABCD面积为18m2．【点睛】本题主要考查了列代数及代数式的求值，根据题意列出合理的代数式是解决本题的关键．【变式6-2】（2023春·上海·七年级专题练习）如图，用一张高为30cm，宽为20cm的长方形打印纸打印文档，如果左右的页边距都为xcm，上下页边距比左右页边距多1cm.（1）请用x的代数式表示中间打印部分的面积.（2）当x=2时，中间打印部分的面积是多少平方厘米？【答案】（1）4x2-96x+560；（2）384cm2.【分析】（1）分别用含x的代数式表示出中间打印部分的高和宽，利用长方形面积公式即可得答案；（2）把x=2代入（1）中代数式，即可得答案.【详解】（1）∵左右的页边距都为xcm，上下页边距比左右页边距多1cm，∴中间打印部分的高为30-2(x+1)=28-2x,宽为20-2x，∴中间打印部分的面积为(28-2x)(20-2x)=4x2-96x+560.（2）由（1）得中间打印部分的面积为4x2-96x+560，∴当x=2时，中间打印部分的面积为4×22-96×2+560=384(cm2).答：当x=2时，中间打印部分的面积是384cm2.【点睛】本题考查了列代数式，正确理解题意，根据图示表示出中间打印部分的高和宽是解题关键.【变式6-3】（2023春·广东茂名·七年级校联考阶段练习）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a，同时B区就会自动加上3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16（如图所示）．例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：25﹣a，﹣16+3a．(1)那么第二次按键后，A区显示的结果为______，B区显示的结果为______．(2)计算（1）中A、B两区显示的代数式的乘积，并求当a＝1时，代数式乘积的值．【答案】(1)A区显示的结果为-2a+25；B区显示的结果为6a-16(2)−12a 2+182a−400；代数式乘积的值为−230【分析】（1）根据题意列出代数式即可；（2）根据多项式乘以多项式法则进行计算，然后将a ＝1代入求值即可．【详解】（1）第二次按键后，A 区显示的结果为25−2a ，B 区显示的结果为6a−16 故答案为：25−2a ，6a−16（2）（-2a+25）（6a -16）=−12a 2+182a−400 当a ＝1时原式=﹣12+182﹣400=−230【点睛】本题考查了列代数式、多项式乘以多项式，准确理解题意，并熟练掌握运算法则是解题的关键．【知识点2 整式的除法】单项式÷单项式：系数相除，字母相除．xy xy y21æö2¸=6ç÷3èø（）多项式÷单项式：除法性质．()a b c m a m b m c m++¸=¸+¸+¸多项式÷多项式：大除法．()()x x x x23+3¸+1=3【题型7 整式除法的运算与求值】【例7】（2023春·河北承德·七年级统考期末）下列计算27a 2÷13a 3÷9a 2的顺序不正确的是（ ）A ．27a 2÷(13a 3÷9a 2)B ．(27a 2÷13a 3)÷9a 2C ．(27÷13÷9)a 2−3−2D ．(27a 2÷9a 2)÷13a【答案】A【分析】本题是单项式的连除运算，根据运算顺序、除法的性质及单项式除以单项式的法则即可求解．【详解】解：A 、∵27a 2÷(13a 3÷9a 2)=27a 2÷127a =729a ，27a 2÷13a 3÷9a 2=81a −1÷9a 2=9a −3，∴27a 2÷(13a 3÷9a 2)≠27a 2÷13a 3÷9a 2，故A 项错误；B 、根据运算顺序连续除以两个数即从左往右依次计算，可知27a 2÷13a 3÷9a 2=(27a 2÷13a 3)÷9a 2，故B 项正确；C 、根据单项式除以单项式的法则，可知27a 2÷13a 3÷9a 2=(27÷13÷9)a 2−3−2，故C 项正确；D 、根据运算顺序及除法的性质，可知27a 2÷13a 3÷9a 2=(27a 2÷9a 2)÷13a ，故D 项正确．故选∶A ．【点睛】本题主要考查了连除的运算顺序及单项式除以单项式的法则．熟练掌握单项式除以单项式的运算法则是解题的关键．【变式7-1】（2023春·陕西咸阳·七年级统考期末）已知4m 2−7m +6=0，求代数式(3m 2−2m )÷m−(2m−1)2的值．【答案】3【分析】首先求出4m 2−7m =−6，再根据完全平方公式，多项式除以单项式化简代数式得出原式−4m 2+7m−3，代入即可得出答案．【详解】解：∵ 4m 2−7m +6=0∴ 4m 2−7m =−6∴ (3m 2−2m )÷m−(2m−1)2=3m−2−(4m 2−4m +1)=3m−2−4m 2+4m−1=−4m 2+7m−3=−(4m 2−7m )−3=6−3=3．【点睛】本题考查代数式求值，完全平方公式，多项式除以单项式，得出4m 2−7m =−6，正确化简代数式是解题的关键．【变式7-2】（2023·四川·石室佳兴外国语学校七年级阶段练习）已知多项式2x 2﹣4x ﹣1除以一个多项式A ，得商式为2x ，余式为x ﹣1，则这个多项式A ＝_____．【分析】根据“除式=（被除式-余式）÷商”列式，再利用多项式除单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，计算即可．【解答】解：由题意可得：A =[(2x 2−4x −1)−(x −1)]÷2x =(2x 2−5x)÷2x =x −52故答案为：x−52【变式7-3】（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法.多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算．如图1：∴278÷12=232，∴(x3+2x2−3)÷(x−1)=x2+3x+3．即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下：①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）．②用竖式进行运算．③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式.若余式为零，说明被除式能被除式整除．例如：(x3+2x2−3)÷(x−1)=x2+3x+3余式为0，∴x3+2x−3能被x−1整除．根据阅读材料，请回答下列问题：(1)多项式x2+5x+6除以多项式x+2，所得的商式为______ ；(2)已知x3+2x2−ax−10能被x−2整除，则a=______ ；(3)如图2，有2张A卡片，21张B卡片，40张C卡片，能否将这63片拼成一个与原来总面积相等且一边长为(a+8b)的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由．【答案】(1)x+3(2)3(3)能，另一边长为(2a+5b)【分析】（1）列竖式进行计算即可得到答案；（2）列竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数即可得到答案；（3）根据题意，得到63张卡片的总面积为2a2+21ab+40b2，列竖式计算，根据2a2+21ab+40b2能被a+8b整除，即可得到答案．【详解】（1）解：列竖式如下：x+2x+3x2+2x3x+63x+6∴多项式x2+5x+6除以多项式x+2，所得的商式为x+3，故答案为：x+3；（2）列竖式如下：x−2x2+4x+(8−a)x3−2x24x2−ax−104x2−8x(8−a)x−10(8−a)x−2(8−a)2(8−a)−10∵x3+2x2−ax−10能被x−2整除，∴2（8−a）−10=0，解得：a=3，故答案为：3；（3）解：能，理由如下：根据题意，A卡片的面积是a2，B卡片的面积是ab，C卡片的面积是b2，∴2张A卡片，21张B卡片，40张C卡片的总面积为2a2+21ab+40b2，列竖式如下：a+8b2a+5b2a2+16ab5ab+40b25ab+40b2∵余式为0，∴2a2+21ab+40b2能被a+8b整除，商式为2a+5b，∴可以拼成与原来总面积相等且一边长为（a+8b）的长方形，另一边长为（2a+5b）．【点睛】本题考查了利用竖式计算整式的除法，解题关键是注意同类项的对应，理解被除式=除式×商式+余式．【题型8 整式除法的应用】【例8】（2023春·七年级统考期末）某农场种植了蔬菜和水果，现在还有两片空地，农场计划在这两片空地上种植水果黄瓜、白黄瓜和青黄瓜．已知不同品种的黄瓜亩产量不同，其中白黄瓜的亩产量是青黄瓜的12，如果在空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为2：3：4，则水果黄瓜的产量是白黄瓜与青黄瓜产量之和的2倍；如果在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为 ．【答案】5:8:12【分析】设青黄瓜的亩产量为x ，则白黄瓜的亩产量为12x ，白黄瓜的种植面积为2y ，青黄瓜的种植面积为3y ，水果黄瓜的种植面积为4y ，据此求出水果黄瓜的产量是8xy ，进而得到水果黄瓜的亩产量为2x ，再根据种植面积的比值即可得到答案．【详解】解：设青黄瓜的亩产量为x ，则白黄瓜的亩产量为12x ，白黄瓜的种植面积为2y ，青黄瓜的种植面积为3y ，水果黄瓜的种植面积为4y ，∴青黄瓜的产量为3xy ，白黄瓜的产量为xy ，∴水果黄瓜的产量是2(3xy +xy )=8xy ，∴水果黄瓜的亩产量为8xy4y =2x ，∴当种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为5×12x:4x:3×2x =5:8:12，故答案为：5:8:12．【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，单项式除以单项式，正确根据题意求出水果黄瓜的亩产量为2x 是解题的关键．【变式8-1】（2023春•渝中区校级期中）某玩具加工厂要制造如图所示的两种形状的玩具配件，其中，配件①是由大、小两个长方体构成的，大长方体的长、宽、高分别为：52a 、2a 、32a ，小长方体的长、宽、高分别为：2a 、a 、a2；配件②是一个正方体，其棱长为a（1）生产配件①与配件②分别需要多长体积的原材料（不计损耗）？（2）若两个配件①与一个配件②可以用于加工一个玩具，每个玩具在市场销售后可获利30元，则1000a 3体积的这种原材料可使该厂最多获利多少元？【分析】（1）先算出两个长方体的体积，再相加，即可得出配件①的体积，求出棱长为a 的正方体体积，即可得出配件②的体积；（2）根据题意列出算式1000a3÷（2×172a3+a3）×30，求出即可．【解答】解：（1）生产配件①需要的原材料的体积是：52a •2a •32a+2a •a •a2=172a3；生产配件②需要的原材料的体积是：a •a •a ＝a3；（2）根据题意得：1000a3÷（2×172a3+a3）×30=50003（元），答：1000a3体积的这种原材料可使该厂最多获利50003元．【变式8-2】（2023春•蜀山区期中）爱动脑筋的丽丽与娜娜在做数学小游戏，两人各报一个整式，丽丽报的整式A 作被除式，娜娜报的整式B 作除式，要求商式必须为﹣3xy （即A ÷B ＝﹣3xy ）（1）若丽丽报的是x 3y ﹣6xy 2，则娜娜应报什么整式？（2）若娜娜也报x 3y ﹣6xy 2，则丽丽能报一个整式吗？若能，则是个什么整式？说说你的理由．【分析】根据A ÷B ＝﹣3xy ，可知：（1）B ＝（x 3y ﹣6xy 2）÷（﹣3xy ）=−13x 2+2y ；（2）A ＝（x 3y ﹣6xy 2）（﹣3xy ）＝﹣3x 4y 2+18x 2y 3；【解答】解：（1）A ＝x 3y ﹣6xy 2，∴B ＝（x 3y ﹣6xy 2）÷（﹣3xy ）=−13x 2+2y ；（2）A ＝（x 3y ﹣6xy 2）（﹣3xy ）＝﹣3x 4y 2+18x 2y 3【变式8-3】（2023·七年级单元测试）甲、乙两个同学从A 地到B 地，甲步行的速度为3千米/小时，乙步行的速度是5千米/小时，两人骑车的速度都是15千米/小时.现在甲先步行，乙先骑自行车，两人同时从A 地出发，走了一段路程后，乙放下自行车步行，甲到乙放自行车的地方处改骑自行车.后面不断这样交替进行，两人恰好同时到达B 地.那么，甲走全程的平均速度是多少？【答案】457千米/小时．【分析】根据题意甲、乙从A 地到B 地，即甲步行共走的路程恰好等于乙骑车共走的路程；甲骑车共走的路程恰好等于乙步行共走的路程．故首先设甲步行共走x千米，骑车共走y千米，则乙骑车共行x千米，步行共行y千米．再根据路程=速度×时间，且甲、乙两人行走过程中经过的时间相同，那么可列出方程x3+y15=x 15+y5，解方程可得y用x表示表达式．再根据平均速度=总路程总时间，在求解过程中约去x，即可甲走完全程的平均速度．【详解】解：设甲步行共走x千米，骑车共走y千米，则乙骑车共行x千米，步行共行y千米．则根据题意，得x3+y15=x15+y5，解得y=2x．故甲的平均速度为(x+y)÷+=457（千米/时）；答：甲走完全程的平均速度457（千米/时）．【点睛】考查了一元一次方程的应用．本题解决的关键是根据题意画出路线草图，明白甲步行共走的路程恰好等于乙骑车共走的路程，甲骑车共走的路程恰好等于乙步行共走的路程；再就是求解过程中能够约去未知数．【题型9整式乘法中的新定义问题】【例9】（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）海伦是古希腊数学家，约公元62年左右活跃于亚历山大，年青时海伦酷爱数学，他的代表作《量度论》主要是研究面积、体积和几何分比问题，其中一段探究三角形面积的方法翻译如下：如图，设三角形面积为S，以三角形各边为边向外作正方形，三个正方形的面积分别记作S1、S2、S3，定义：S=S1S2S32；S′1=S−S1；S′2=S−S2；S′3=S−S3；Fs=S′1×S′2+S′2×S′3+S′3×S′1，经研究发现，F s=4S2．如：三角形三条边分别为13、14、15，则S1=169，S2=196，S3=225，S=295，S′1=126；S′2=99；S′3=70；Fs=28224，所以S2=28224÷4=7056=842，故三角形的面积S=84．(1)若S 1=3，S 2=4，S 3=5，则S =_______．F s =_______．(2)当S ′1=x−3；S ′2=x +3；S ′3=5−x 时．①求F s 的表达式；②若S 1+S 2+S 3=20，求三角形的面积．【答案】(1)6，11(2)①−x 2+10x−9；②三角形的面积S =2．【分析】（1）根据定义计算即可求解；（2）①根据F s =S ′1×S ′2+S ′2×S ′3+S ′3×S ′1，利用整式乘法运算法则计算即可求解；②先求得S 的值，再根据定义分别求得S 1、S 2、S 3的值，根据S 1+S 2+S 3=20，求得x =5，代入①中即可求解.【详解】（1）解：∵S 1=3，S 2=4，S 3=5，∴S =S 1S 2S 32=3452=6，S ′1=S−S 1=6−3=3；S ′2=S−S 2=6−4=2；S ′3=S−S 3=6−5=1；∴F s =S ′1×S ′2+S ′2×S ′3+S ′3×S ′1=3×2+2×1+1×3=11；故答案为：6，11；（2）解：①∵S ′1=x−3；S ′2=x +3；S ′3=5−x ，∴F s =S ′1×S ′2+S ′2×S ′3+S ′3×S ′1=(x−3)(x +3)+(x +3)(5−x)+(5−x)(x−3)=x 2−9+5x−x 2+15−3x +5x−15−x 2+3x =−x 2+10x−9；②∵S 1+S 2+S 3=20，∴S =S 1S 2S 32=10，∴S1′=S−S1=10−S1=x−3，故S1=10−(x−3)=13−x；S2′=S−S2=10−S2=x+3，故S2=10−(x+3)=7−x；S3′=S−S3=10−S3=5−x，故S3=10−(5−x)=5+x；∴S1+S2+S3=13−x+7−x+5+x=25−x=20，∴x=5，∴F S=−x2+10x−9=−52+10×5−9=16，∴S2=F s÷4=16÷4=4，故三角形的面积S=2．【点睛】本题考查了整式的乘法的应用，掌握新定义的内容，整式乘法的运算法则是解题的关键.【变式9-1】（2023春·浙江衢州·七年级统考期中）定义新运算|a b c d|=ad+3b−2c，如|1537|=1×7+3×5−2×3=7+15−6=16．（1）计算|23−14|的值；（2）化简：|x+y7xy−x22xy−3x2+1−3x−y|．【答案】（1）19；（2）−y2+13xy−2．【分析】（1）根据定义的新运算，把相关数值代入计算即可；（2）把相关式子代入，进行整式运算即可．【详解】（1）|23−14|=2×4+3×3−2×(−1)=19．（2）|x+y7xy−x22xy−3x2+1−3x−y|=(x+y)(−3x−y)+3(7xy−x2)−2(2xy−3x2+1)=−3x2−4xy−y2+21xy−3x2−4xy+6x2−2=−y2+13xy−2．【点睛】本题考查了新定义下的实数运算、整式的混合运算，正确理解定义的新运算的含义，根据数（式）位置确定a、b、c、d的值是解题关键．【变式9-2】（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考期中）给出如下定义：我们把有序实数对(a,b,c)叫做关于x的二次多项式a x2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式a x2+bx+c叫做有序实数对(a,b,c)的特征多项式．(1)关于x的二次多项式3x2+2x−1的特征系数对为__________；(2)求有序实数对(1,4,4)的特征多项式与有序实数对(1,−4,4)的特征多项式的乘积；(3)有序实数对(2,1,1)的特征多项式与有序实数对(a,−2,4)的特征多项式的乘积不含x2项，求a的值；【答案】(1)（3，2，-1）；(2)x4−8x2+16；(3)-6【分析】（1）根据定义得到a，b，c的值即可得到答案；（2）根据特征多项式的定义得到两个多项式，根据多项式乘以多项式的计算法则计算可得答案；（3）根据定义得到特征多项式，计算乘积，根据特征多项式的乘积不含x2项得到x2项的系数等于0，由此求出a．【详解】（1）解：由定义得a=3，b=2，c=-1，∴二次多项式3x2+2x−1的特征系数对为（3，2，-1），故答案为：（3，2，-1）；（2）有序实数对(1,4,4)的特征多项式为x2+4x+4，有序实数对(1,−4,4)的特征多项式为x2−4x+4，∴（x2+4x+4）（x2−4x+4）=(x+2)2(x−2)2=[(x+2)(x−2)]2=(x2−4)2=x4−8x2+16；（3）有序实数对(2,1,1)的特征多项式为2x2+x+1，有序实数对(a,−2,4)的特征多项式为a x2−2x+4，∴（2x2+x+1）（a x2−2x+4）=2a x4+(a−4)x3+(6+a)x2+2x+4，∵乘积不含x2项，∴6+a=0，解得a=-6．【点睛】此题考查了新定义，多项式乘以多项式的计算法则，以及多项式不含项的应用，正确理解新定义得到多项式是解题的关键．【变式9-3】（2023春·四川宜宾·七年级统考期中）阅读下列材料，解答下列问题：定义：如果一个数的平方等于−1，记为i2＝−1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：(2−i)+(5+3i)＝(2+5)+(−1+3)i＝7+2i；(1+i)×(2−i)＝1×2−i+2×i−i2＝2+(−1+2)i+1＝3+i；根据以上信息，完成下列问题：（1）填空：i3＝________，i4＝________；（2）计算：（2＋3i）×（3－4i）；（3）计算：i＋i2＋i3＋ (i2019)【答案】(1) -i，1；(2) 18+i；(3)-1.【分析】（1）把i2=-1代入求出即可；（2）根据多项式乘以多项式的计算法则进行计算，再把i2=-1代入求出即可；（3）先根据复数的定义计算，再合并即可求解．【详解】解：（1）由题意可知，i3=i2×i=-1×i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1，故答案为-i，1；（2）（2＋3i）×（3－4i）=6-8i+9 i -12i2=6+i-12×（-1）=18+i；（3）由i=i，i2=-1，i3=-i，i4=1，i5=i4•i=i，i6=i4×i2=1×（-1）=-1，i7=i4×i3=1×（-i）=-i，i8=i4×i4=1×1=1…且i+i2+i3+i4=i+（-1）+（-i）+1=0，同理：i5+i6+i7+i8=0，可以看出每隔4位相加都等于0，且第五项第于第一项，第六项等于第二项…∴i+i2+i3+…+i2019=504×0+i2017+i2018+ i2019 =i-1- i=-1．【点睛】本题考查了整式的混合运算，复数的定义，能读懂题意是解此题的关键．【题型10整式乘法中的规律探究】【例10】（2023春·广东梅州·七年级统考期末）若正整数a，b的和为10，则称a，b“互补”，如果两个两位数的十位数字相同，个位数字“互补”（如24与26，52与58，简称它们“首同尾补”）；那么这两个数的积是三位数或四位数，其末尾的两位数等于两数的个位数字之积，其起始的一位或两位数等于两数的十位数字与比这个十位数字大1的数之积．例如：24×26=624（积中的6=2×(2+1)，24=4×6）52×58=3016（积中的30=5×(5+1)，16=2×8）(1)直接写出下列各式运算结果：95×95=______，81×89=______；(2)用ab和ac分别表示两个两位数，其中a表示十位数字，b和c表示它们的个位数字，且b+c=10，①依据题意，两位数ab表示为______，两位数ac表示为______；。
整式的乘除与因式分解错例剖析
要从事伟大的工作 ， 一个人必须既非常勤劳又非常空闲。—— 塞缪尔 ・ 勃特勒
１ １
误 ｊ 七 、 而 不 尽 区 提
镑解剖析 提取 公因式后 ．
锗解 正解
原 式 ：（ｘ＋ ）２ 一３ ２ Ｙ （ｘ ｙ＋Ｙ ＝（ｘ ）２ ） ２ ＋Ｙ （ｘ一２ ） ｙ． 原 式 ＝（ｘ ｙ （ｘ一３ Ｙ ： （ｘ＋ Ｙ）（ ｘ 一 ２ ）＝ ２ ＋ ）２ ｙ＋ ） ２ ２ ｙ
对 余 下 的 因 式 应 先 化 简 ．然 后 再
一 一
再 分 解 为 止 ． 解 中因 式 １ 还 ： 错 一
可 以利 用 平 方 差 公 式 分 解 下 去 ． ｒ 犯 了 半途 而 废 的 错 误 ． ：
Ｔ ｏｇ ｅ ｔ ｒ ｎｍｕ ｔ ｅｖ ｒ ｌ ａ ｅｌ ｓｖ ｒ ｄ ｓｒ ｕ ． ｏｄ ｒ ａ ｋａｍａ ｓ ｅｙ ｉ ｅ ｓｗ ｌ ａ ｅｙ ｉ ｕ ｔ ｏ ｓ ｗｏ ｂ ｄ ｎ ｉ
毫
因式 分解 是数 学 中 的一种 重 要 的恒等 变形 ， 学 时 ， 些 题 型往往 会 出 现一 些错 误 ． 初 有 为此 ． 本文 就常 见误 区归 纳如 下 ， 信大家 阅读后 定敢 对 因式 分解 常见误 区说 “ ” 相 不 ！
误 区一、 违背定义
定 义 分
例１ 分解 因式 ：ｘ ＋１ｘ ５ ０ ．
误 区五 、 后 丢 项 提 锗解剖析 在 提 公 冈式 时 ．
例 分解因式： 一 ａ ａ ５ ６ ｂ ４： ＋２２ ． ａ ｂ ｂ
错解 正解 原 式 ＝２ ２ （ａ～２ ） ａ ３ ｂ ｂ． 原 式 ＝２ 。３ ６（ａ一２ ｂ＋１ ． ）
如 果 一 个 多 项 式 有 ／ 项 ． 提 取 ７ ， 则
初中数学 整式的加减法运算的解题错误分析是什么
初中数学整式的加减法运算的解题错误分析是什么错误分析1：在整式的加减法运算中，有时候容易出现符号错误。
比如在计算整式的差时，容易将减号后面的整式中的符号忽略掉，导致最终结果出错。
例如，计算(3x^2 + 4xy - 2) - (2xy^2 - 3x^2 + 5y) 的结果时，如果忽略减号后面整式中的负号，可能会错误地计算出(3x^2 + 4xy - 2) + (2xy^2 -3x^2 + 5y) 的结果。
解决方法：在计算整式的差时，要仔细考虑减号后面整式中的符号，将其正确地应用到计算中。
可以使用括号或将减号后面的整式用括号括起来，以强调整式中的负号。
错误分析2：在整式的加减法运算中，容易忽略相同项的合并。
相同项是指具有相同的字母和指数的项。
如果在计算整式的和或差时，没有合并相同项，最终结果将不正确。
例如，计算(3a^2 + 2ab - 4a) + (5a^2 - 3ab + 2a) 的结果时，如果没有合并相同项，可能会得到(3a^2 + 5a^2) + (2ab -3ab) + (-4a + 2a) 的结果。
解决方法：在计算整式的和或差时，要仔细观察每一项的字母和指数，并将相同项合并。
可以先将相同项放在一起，然后合并它们的系数。
错误分析3：在整式的加减法运算中，容易出现计算错误。
这可能是因为在运算过程中出现了数学计算错误，比如加减法计算错误、乘除法计算错误等。
例如，在计算(4x^2 - 3xy + 2) + (5xy^2 - 2x^2 - 3y) 的结果时，可能在计算过程中出现了计算错误。
解决方法：在进行整式的加减法运算时，要仔细进行数学计算，避免出现计算错误。
可以使用计算器或者将每一步的计算写下来，以确保计算的准确性。
通过以上的错误分析，我们可以看到在整式的加减法运算中容易出现的一些常见错误。
为了避免这些错误，我们需要注意符号的运用、合并相同项以及进行准确的数学计算。
通过大量的练习和反复的检查，能够更好地掌握整式的加减法运算，并避免出现错误。
中考数学复习指导：整式乘除运算中的常见错误
整式乘除运算中的常见错误《整式的乘除》是初中数学教学的重点和难点之一，不少学生在运算时会出现这样或那样的错误，现将整式乘除运算中常见的错误归纳分析如下．一、性质、法则混淆的错误例1 计算：（－x）3·（－x）5．错解（－x）3·（－x）5．＝．剖析本题应根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的性质进行计算，而错解犯了变指数相加为指数相乘的错误．例2 计算：(1)y10＋y10；(2)b10·b10．错解 (1) y10＋y10＝y20；(2)b10·b10＝2b10．剖析本题中的(1)是加法运算，应按合并同类项的法则进行，只把系数相加，字母和字母的指数不变；(2)是同底数幂的乘法，应是底数不变，指数相加．错解在把合并同类项与同底数幂相乘混淆了．正解 (1) y10＋y10＝（1＋1）y10＝2 y10．(2) b10b10＝b10＋10＝b20．例3 计算：．剖析幂的乘方性质为“幂的乘方，底数不变，指数相乘”．而错解中把指数相加了．例4 计算：．剖析本题错在把指数进行乘方运算了，正确的解法应按幂的运算性质“底数不变，指数相乘”进行计算．例5 下列运算中，正确的是( )(A)x3·x5＝x15(B)(y5)6＝y30(C)a5＋a4＝a9(D)a7÷a8＝错解选A或C或D．剖析出现上述错误的原因是对整式乘法运算及整式加减运算的运算法则把握不准，事实上，A中属于同底数幂的乘法，应是底数不变，指数相加而不是相乘；C中两个单项式不是同类项，不能再进行合并计算；D中应用同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减来得到结果，避免上述错误只有准确把握整式的运算法才行．正解选B．二、公式运用的错误例6 下列计算中正确的有( )①(a＋b)2＝a2＋b2；②（x－4）2＝x2－4x＋16；③（5a－1)（－5a－1)＝25a2－1；④（－a－b)2＝a2＋2ab＋b2(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个错解B或C或D．剖析本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的灵活应用．①(a＋b)2应等于a2＋2ab＋b2，而不是a2＋b2．中间一项是两数乘积的2倍，不能漏掉．②（x－4)2应等于x2－8x＋16，而不是x2－4x＋16．中间一项是两数乘积的2倍，不是乘积的一倍．③（5a－1)（－5a－1)应等于1－25a2，而不是25a2－1．－1在两括号中符号没变，相当于公式中的第一个数，5a在两括号中符号改变了，相当于公式中的第二个数，先改写成（－1＋5a)（－1－5a)，就不容易做错了．正解A．例7 计算：(2x＋y)(2x－y)．错解(2x＋y)（2x－y)＝2x2－y2．剖析式子在计算中都没有明确“项”的概念，包括字母前面的系数，因此在平方时漏掉了系数．应是2x与y这两项的平方差．正解（2x＋y)（2x－y)＝(2x)2－y2＝4x2－y2．三、忽视符号的错误例8 计算：（－2a2b2)2．错解（－2a2b2)2＝－22a4b4＝－4a4b4．剖析错解中忽略了积中数字因数的符号，这类错误比较常见．（－2)2，结果应是正数．正解（－2a2b2)2＝(－2)2(a2)2(b2)2＝4a4b4．例9 计算：(－2xy)2·（－x2)3．错解(－2xy)2·（－x2)3＝4x2y2·x6＝4x8y2．剖析本题错在符号上．（－x2)3－（－x2)·（－x2)·（－x2)＝－x6，（－x2)3所表示的意义是有三个（－x2)相乘，而积的符号又有负因数的个数来决定，负因数的个数有奇数个时积为负．（－x2)3与[（－x)2]3＝x6不同，解题时应注意符号．正解(－2xy)2．（－x2)3＝4x2y2．（－x6)＝－4x8y2．例10 计算：(2x－3y)(－3x－y)．错解(2x－3y)（－3x－y)＝－6x2－2xy－9xy－3y2＝－6x2－11xy－3y2．剖析本题错在解题时符号出现错误．进行多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都包括它前面的符号，计算过程中如(－3y)乘以（－y)应该是3y2，错解中把项前面的符号弄错了，因此在计算类似题时一定要注意确定乘积中各项的符号．正解(2x－3y)（－3x－y)＝－6x2－2xy＋9xy＋3y2＝－6x2＋7xy＋3y2．四、漏乘的问题例11 计算：3a（2a2－y＋1)．错解3a（2a2－a＋1)＝3a·2a2－3ay＝6a3－3ay．剖析错在3a与1没有相乘，即漏乘了最后的常数项．正解3a(2a2－y＋1)＝6a3－3ay＋3a．例12 计算(2x－3y)(3x－4y)．错解(2x－3y)(3x－4y)＝6x2＋12y2．剖析错解的原因在于没有掌握多项式的乘法法则，实际上两项的多项式乘以两项的多项式时，应得四项，然后再合并同类项．正解(2x－3y)(3x－4y)＝6x2－8xy－9xy＋12y2＝6x2－17xy＋12y2．例13 计算：3x2y·．错解3x2y·＝－x5y2．剖析根据单项式乘以单项式的运算法则，只在一个单项式里的因式，应连同他的指数作为积的一个因式．而错解在积中漏掉了第二个单项式中的因式z．正解 3x2y·＝－xyy2x．例14 计算：(3x－2y) (4x＋7y)．剖析两个多项式相乘，应根据多项式的乘法法则进行．在合并同类项之前，积的项数等于两个相乘多项式的项数的积，利用这一点可以检查积中是否有漏乘的项，错解中漏掉两项．。
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整式的乘法易错题展示幂的运算是学习整式乘除运算的基础，由于幂的运算涉及到的运算性质较多，计算时易将性质混用导致错解．为帮助同学们学好这部分内容以及整式乘法的运算，避免解题出错，现就常见的错误类型例析如下．例1 计算(-x)3·(-x)5． ()(-y)2y12 =-y14错解： (-x)3·(-x)5=(-x)3×5=-x15．剖析：该题应根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的性质进行计算，而错解犯了变指数相加为指数相乘的错误,与幂的乘方混淆把(-x)3·(-x)5误解成〔(-x)3〕5原因：1.是对乘方和幂的意义以及a m·a n=a m+n理解不准确、不牢固，；2. 对相近的式子不能准确区分、归类，以致张冠李戴，用错法则，这里把(-x)3·(-x)5误解成〔(-x)3〕5．对策：1.仔细观察，强化对比.2.理解知识的来龙去脉，会推导公式.3.准确归类，带着警觉解题4.边做边查正解：(-x)3·(-x)5=(-x)3+ 5=(-x)8=x8．例2 计算： (1)a10+a10；(2)a10·a10．错解：(1) a10+a10=a20；(2) a10·a10=2a10．剖析：本题中的(1)是加法运算，应按合并同类项的法则进行，只把系数相加，字母和字母的指数不变；(2)是同底数幂的乘法，应是底数不变，指数相加．错解在把合并同类项与同底数幂相乘混淆了．原因：1.对相近的式子不能准确区分、归类，用错法则，2.对法则的理解记忆就不准确的、模糊不清，以致张冠李戴.对策：1.仔细观察，强化对比.2.理解知识的来龙去脉，会推导公式.3.准确归类，带着警觉解题4.边做边查正解：(1)a10+a10=(1+1)a10=2a10；(2)a10·a10=a10+10=a20．例3 计算(-a3)4·(-a)3．错解：(-a3)4·(-a)3=(-a)7·(-a)3=(-a)10=a10．剖析：幂的乘方性质为“幂的乘方，底数不变，指数相乘”．而错解中把指数相加了，这就把(-a3)4．误解为(-a)3·(-a)4原因：1.是对乘方和幂的意义以及(a m)n=a mn理解不准确、不牢固，；2. 对相近的式子不能准确区分、归类，以致张冠李戴，用错法则，对策：1.仔细观察，强化对比.2.理解知识的来龙去脉，会推导公式.3.准确归类，带着警觉解题4.边做边查正解：(-a3)4·(-a)3=-a12·a3=-a15．例4 计算(x6)2·(-x3)2．错解： (x6)2·(-x3)2=x36·x9=x45．剖析：本题错在把指数进行乘方运算了，把(x6)2误解为（）正确的解法应按幂的运算性质“底数不变，指数相乘”进行计算．原因：1.是对乘方和幂的意义以及(a m)n=a mn理解不准确、不牢固，；2. 对相近的式子不能准确区分、归类，以致张冠李戴，用错法则，对策：1.仔细观察，强化对比.2.理解知识的来龙去脉，会推导公式.3.准确归类，带着警觉解题4.边做边查正解：(x6)2·(-x3)2=x12·x6=x18．例5 计算(-3×103)3．错解： (-3×103)3=(-3)×(103)3=-3×109．剖析：积的乘方的运算性质是“先把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”．错解中没有把-3这个因数乘方．原因：1.是对乘方和幂的意义以及(ab)n=a n b n理解不准确、不牢固；2. 观察的视野狭窄，误解了原式的意义；3.训练不足对策：1. 理解知识的来龙去脉，会推导公式.2 .居高临下，仔细观察，一览众山小.3.带着警觉解题4.边做边查正解：(-3×103)3=(-3)3×(103)3=-27×109=-2.7×1010．例6 计算(-2a2b2)2．错解：(-2a2b2)2=-22a4b4=-4a4b4．剖析：错解中忽略了积中数字因数的符号，这类错误比较常见．(-2)2 表示(-2)×(-2)，结果应是正数．正解：(-2a2b2)2=(-2)2(a2)2(b2)2=4a4b4．例7 计算(-2a2b2)3．错解：(-2a2b2)3=-23a6b6=-6a6b6．剖析：错解中23 =6,把乘方与乘法弄混,这类错误比较常见．23=2×2×2=8 ，指数、根指数不在算式中出现，这是乘方、开方与加减乘除四则运算不同的地方！原因：1.对乘方和幂的意义理解不正确，把乘方与乘法弄混；2.训练不足对策：1. 理解知识的来龙去脉，牢记a n.的意义2 .强化训练.3.带着警觉解题4.边做边查正解：(-2a2b2)3=(-2)3(a2)3(b2)3=-8a6b6．例8 计算(-a)3·(-2a)2．错解： (-a)3·(-2a)2=［(-a)·(-2a)］6=(2a2)6=64a12．剖析：错在将底数乘以底数，指数乘以指数了，实际上，应先进行幂的运算，然后再根据单项式的乘法法则进行计算．正解：(-a)3·(-2a)2=(-a3)·(4a2)=-4a5．提示：当单项式的乘法运算中含有幂的乘方或积的乘方运算时，要先算乘方，然后再进行单项式的乘法运算．例9 计算3x(2x2-y+1)．错解： 3x(2x2-y+1)=3x·2x2-3xy=6x3-3xy．剖析：错在3x与1没有相乘，即漏乘了最后的常数项．正解：3x(2x2-y+1)=6x3-3xy+3x．提示：单项式与多项式相乘，一要注意符号的确定，二要注意用单项式分别乘以多项式的每一项，尤其不要漏乘常数项(积的项数=多项式项数)．例10. 计算(2a-3b)(3a-4b)．错解：(2a-3b)(3a-4b)=6a2+12b2．剖析：错解的原因在于没有掌握多项式的乘法法则，实际上两项的多项式乘以两项的多项式时，应得四项，然后再进行合并同类项．正解：(2a-3b)(3a-4b)=6a2-8ab-9ab+12b2=6a2-17ab+12b2．提示：进行多项式的乘法运算，一定要把握运算法则，计算时不要漏乘．例题11.都是括号惹的祸（1） y2-(y-3)(y+7)= y2-y2+7y-3y-21（2）（3）（4）（5）原因：(y-3)(y+7)的结果是一个多项式，减去一个多项式，应该把这个多项式括起来，错解丢了这个必要的括号，改变了式子的意义，也改变了其结果.另外，负数、分数作为底数都要带括号，作为因数、除数负数也要带括号.对策：1. 弄清式子的意义；2.不轻易省括号.3.带着警觉解题4.边做边查正解：y2-(y-3)(y+7)= y2-（y2+7y-3y-21）= y2-y2-7y+3y+21=-4y+21七年级下册第一章整式的乘除知识点、易错点整理一、知识点：1、同底数幂的乘法：am·an＝am+n（m，n都是正整数）即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2、幂的乘方法则：（am）n＝amn（m，n都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
3、积的乘方法则：（ab）n ＝an·bn（n为正整数）积的乘方=乘方的积4、单项式与单项式相乘法则：（1）系数与系数相乘（2）同底数幂与同底数幂相乘（3）其余字母及其指数不变作为积的因式注意点：（1）任何一个因式都不可丢掉（2）结果仍是单项式（3）要注意运算顺序5、多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
（注意：项是包括前面的符号的，每一次单项式相乘的时候先处理符号问题。
）注意点：（1）多项式与多项式相乘的结果仍是多项式；（2）结果的项数应该是原两个多项式项数的积（没有经过合并同类项之前），检验项数常常作为检验解题过程是否的一个有效方法。
6、乘法公式一：平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2。
（同-反，即可把相同的项看作a，把相反的项看作b。
）乘法公式二：完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2（前±后）2＝前2±2×前×后＋后2口诀：前平方，后平方，积的两倍中间放，中间符号看情况。
（这个情况就是前后两项同号得正，异号得负。
）7、am÷an==amn（a≠0，m，n都是正整数，且m＞n）即同底数幂相除，底数不变，指数相减。
8、①a0=1（a≠0）－221= （a≠0，p是正整数）ap=p-②a⎭a⎝，即底数互为倒数，指数互为相反数，当底数为分数时，可以把底数变为a⎪=p=⎫1⎛p1-注意点：因为a⎭3⎝⎪-倒数，指数变为相反数再计算会更加简便。
如：⎫1⎛2p-单。
③用科学记数法表示绝对值较小的数9，这个方法比直接套用公式更加简2=)3-(=n -如：即0.000 ……01=109、单项式相除除以单项式（1）系数相除（2）同底数幂相除（3）只在被除式里的幂不变多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
二、易错点：底数互为相反数的情况需化为同底数，注意符号问题，并把括号里面的多项式看作一个整体。
；=x)3-y)4(y-（s-t）2·（t-s）·[-（t-s）3 (x。