圆锥的侧面展开图及相关计算
圆柱、圆锥的侧面展开图课件
展开
例1.如图，要用钢板制作一个无盖的圆柱形水箱， 它的高为2.5米，容积为10πm³，需用 钢板多少㎡？ （不计加工余料，结果精确到0.1㎡）
1.（2012.潍坊）一矩形纸板,两边长分别为2cm和4cm,绕一
边所在直线旋转一周所形成几何体的表面积为( (A)24π cm2 (C)20π cm2 (B) 24π cm2或48π cm2 (D) 20π cm2或48π cm2 )
1.圆柱体积V=？圆锥体积V=? 2.弧长公式L= ——，扇形面积S= ——
点动成线，线动成面，面动成体
旋 转 O’ 成 “ O 体”
A’
A
A
OBBiblioteka 矩形、直角三角形分别绕一边旋转一周， 分别得到什么几何体？
展开
圆 柱 的 侧 面 展 开 图
如图，将圆锥的侧面沿AB展开，得到一个什么 图形？圆锥的侧面展开图与△OAB又怎样的关系? 圆 锥 的 侧 面 展 开 图
2.（2012.烟台）一个扇形半径是60㎝，圆心角是150°， 若用它做成一个圆锥侧面，则圆锥底面半径（ ）
㎝
一试 身手
结束寄语
•数学使人聪明,数学使人 陶醉,数学的美陶冶着你 ,我，他.
圆锥的侧面展开图
广东实验中学 张兴华
回顾
l
n RO
A
n
BLeabharlann ROn Rl 180
S扇形
n R2
360
对比扇形面积与弧长公式, 用弧长表示扇形面积:
S扇形 1 lR
2
回顾
1.已知扇形的半径为4，其圆心角为90°，则这个扇形
的弧长= 2 .
2.已知扇形的半径为2，其面积为 2 ,则这个扇形的
圆心角= 180 °
A
BO
C
2. 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如 图，是一个蒙古包的示意图，现在想用毛毡搭建1个 底面半径为2m，高为3.5m，外围高为2m的蒙古包，
至少需要多少平方米的毛毡？(结果保留π)
r
r
3. 已知圆锥的底面半径为1cm，母线长为4cm， 若一只甲虫从圆锥底面圆周上一点A出发，沿圆锥侧 面绕行到母线SA的中点B，它所走的最短路程是多 少？
行的最短距离为
cm
A
2. 高
3. 侧面积
4. 全面积;表面积 B O
C
1.圆锥的侧面展开图是扇形 2.母线的长=其侧面展开图扇形的半径 3.底面周长=侧面展开图扇形的弧长
2
为什么要展开圆锥的侧面?
1. 已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为20cm，
则这个圆锥的侧面积为_2_4_0__c_m_2，全面积为_3_8_4__c_m_ 2
S
C
B.
A
A
O
3
如何还原圆锥的侧面展开图?
R
A
n
l
B Or C
n R
l 180
S扇形
n R2
360
圆锥的侧面展开图问题
圆锥的侧面展开图问题解决圆锥问题的关键是明确圆锥的侧面展开图各元素与圆锥各元素的关系——圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥的底面圆的周长．问题往往涉及圆锥的母线长、圆锥的高以及底面半径之间的关系，勾股定理则是架起三元素间的桥梁．如图1，设圆锥的底面半径为r ，母线AB 的长为l ，高为h ，则r 2+h 2=l 2，圆锥的侧面展开图是扇形ACD ，该扇形的半径为l ，设扇形ACD 的圆心角是θ，则扇形的弧CD 的长=2πr =180l θπ，圆锥的侧面积为S 侧=12×2πr ×l =πrl ．一、计算圆锥的侧面积例1 （邵阳）如图2所示的圆锥主视图是一个等边三角形，边长为2，则这外圆锥的侧面积为______（结果保留π）．分析：依题意，圆锥主视图是一个等边三角形，所以圆锥的母线长为2，底面半径为1，可以直接代入公式求得．解：依题意，r=1，l =2，所以S 侧=π×1×2=2π．二、求圆锥的母线长例2 （桂林）已知圆锥的侧面积为8πcm 2, 侧面展开图的圆心角为45°，则该圆锥的母线长为（ ）．（A ）64cm （B ）8cm （C ）22cm （D ）2cm 分析：圆锥的侧面积即其侧面展开图扇形的面积，由扇形的面积公式可求出圆锥的母线长（侧面展开图扇形的半径即为圆锥的母线长）．解：由2360n l S π=扇形，即2360n l π＝8π，解得l ＝8（cm ）．故应选（B ）． 三、计算圆锥的底面半径例3 （日照）将直径为60cm 的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为（ ）．（A ）10cm （B ）30cm （C ）40cm （D ）300cm分析：依题意，将直径为60cm 的圆形铁皮分割成三个大小相等的扇形，这三个扇形即三个相同的圆锥容器的侧面展开图．根据“侧面展开图扇形的弧长是圆锥的底面圆的周长”可求每个圆锥容器的底面半径．解：直径为60cm 的圆形铁皮的周长为60πcm ，故将该铁皮分割成三个大小相等的扇形的弧长为20πcm ．图1 图2设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝20π，解得r ＝10．故应选（A ）．四、计算圆锥的高例4 （鸡西）如图3，小明想用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5cm ，弧长是6πcm ，那么围成的圆锥的高度是 cm ． 分析：借助图1分析，知在r 2+h 2=l 2中，欲求h ，需知道r ，l ，显然这里l ＝5 cm ，故只需再求出r ．解：设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝6π，解得r ＝3．所以h 2=l 2－ r 2＝52－32，所以h ＝4（cm ）．五、计算侧面展开图中扇形圆心角的度数 例5 （成都）若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm ，母线长是6cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（ ）．（A ）40° （B ）80° （C ）120° （D ）150°分析：设圆锥展开图的圆心角为n °，根据弧长公式可求出侧面展开图扇形的弧长为180n l π，再根据“侧面展开图扇形的弧长是圆锥的底面圆的周长”列方程可解． 解：设圆锥展开图的圆心角为n °，则4π=6180n πg ． 解得n ＝120．所以选（C ）．六、最短路径问题例6 （青岛）如图4是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF 长为10cm ．母线OE （OF ）长为10cm ．在母线OF 上的点A 处有一块爆米花残渣，且FA ＝2cm ，一只蚂蚁从杯口的点E 处沿圆锥表面爬行到A 点．则此蚂蚁爬行的最短距离为 cm ．分析：由于小蚂蚁只能在圆锥侧面上爬行，所以我们可考虑把圆锥侧面展开，将问题转化为平面图形解决.将圆锥沿母线OE 剪开，如图7所示的展开图，根据“两点之间线段最短”，知EA 即为最短路径．解：设圆锥侧面展开后扇形的圆心角为n °，因为底面的周长等于展开后扇形的弧长，所以180n OE π⋅＝π E F ，即10180n π⋅＝10π，解得n °＝180°． 此圆锥的侧面展开图为扇形（如图5），在Rt △AEO 中， OA ＝OF －AF ＝8（cm ），O B A 图3 5cm 图5 Ａ Ｆ Ｅ Ｏ 图4。
沪科版九年级数学下册圆锥的侧面展开图
解：S=
1 2
×32×7=16×7=112(m2)
答：所需油毡的面积至少是112m2.
课堂小结
R A
n l
h
B Or C
公式一：S侧 rR
公式二：
S扇形
nR2 360
.
S全=S侧+S底 rR r 2
课后作业
1.从教材习题中选取. 2.完成练习册本课时的习题.
S扇形 360 ,60
nR r 360
n
l nR 360r
h
B
r
O
C
由圆锥的两个侧面积公式
推导出了n、R、r三个量之
间的关系式，即nR=360r.
练习
填空、根据下列条件求值 .
R
A
(1) R=2，r=1，则n =__1_8_0_°__.
B
n
h Or
l
C
(2) R=9，r=3，则n =__1_2_0_°_ . (3) n=90°，R=4，则r =__1__. (4) n=60°，r= 3，则R =__1_8__ .
第2课时 圆锥的侧 面展开图
沪科版 九年级下册
知识回顾
1.弧长计算公式
l nR 180
2.扇形面积计算公式
nR2 S
或S 1 lR
360
2
R
l
n° O
新课推进
生活中的圆锥
ah
圆锥的相关概念
（1）连结圆锥顶点与底面圆心 的线段叫做圆锥的高. （2）连接圆锥顶点和底面圆周上 任意一点的线段叫做圆锥的母线. (母线有无数条,母线都是相等的)
ah r
（3）圆锥的底面半径、高、 母线长三者之间的关系:
a2 h2 r2
圆锥的侧面展开图
快速抢答:
1
2
3
4
快速抢答:
1.底面半径为5cm, 母线长为16cm的圆 锥,它的侧面展开图 80π 的面积是_____cm²
返回 前进
快速抢答:
2.圆锥的底面周长为58cm, 母线长30cm,则圆锥的侧 A 面积为___cm² . A.870 B.908 C.1125 D.1740
返回 前进
快速抢答:
3.圆锥侧面展开图是 一个弧长为36π的扇 形,则这个圆锥的底面 18 半径是____
2πr =36π
返回 前进
快速抢答:
4.一个圆心角为90°,半径为8
cm的扇形纸片,恰好围成一个 圆锥的侧面, (接缝忽略不计), 则该圆锥底面圆的半径为( C)
A.4cm B.3cm C.2cm D.1cm
返回 前进
本节课我们有什么收获?
1.认识了圆锥的侧面展开图: 圆锥的底面周长就是它侧面展开图 扇形的弧长,圆锥的母线就是它侧 面展开图扇形的半径. 2.学会计算圆锥的侧面积和全面积.
作业:
如图，圆锥的底面半径为1，母线长 为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点 B出发，沿圆锥侧面爬行一周再回到 B，问它爬行的最短路线是多少？
1、圆锥是由一个底面（圆） 和一个侧面围成的，我们 把连接圆锥顶点和底面圆 周上任意一点的线段叫做 圆锥的母线。
母线 高
2、连接圆锥的顶点和 底面圆心的线段叫做圆 锥的高。
把圆锥沿一条母线剪开,它的侧面展开 图是怎样的图形呢?
12.exe
(1) 圆锥的侧面展开图是一个什么图形? 圆锥的侧面展开图是一个扇形. (2) 圆锥的底面周长与侧面展开图有什么关系? 圆锥的底面周长就是它侧面展开图扇形的弧长. (3) 圆锥的母线与侧面展开图有什么关系? 圆锥的母线就是它侧面展开图扇形的半径.
《圆锥的侧面展开图》教案设计
《圆锥的侧面展开图》教案设计第一章：圆锥的侧面展开图概念介绍1.1 圆锥的侧面展开图定义引导学生回顾圆锥的基本概念，理解圆锥的侧面展开图是将圆锥的侧面展开后形成的平面图形。
通过实物演示或图片展示，让学生直观地感受圆锥的侧面展开图的形成过程。
1.2 圆锥的侧面展开图的特点分析圆锥的侧面展开图的形状，引导学生发现它是一个扇形。
解释圆锥的侧面展开图与圆锥的底面之间的关系，让学生理解展开图的弧长等于圆锥底面的周长。
第二章：圆锥的侧面展开图的计算2.1 圆锥的侧面积计算引导学生利用圆锥的侧面展开图来计算圆锥的侧面积。
给出圆锥的侧面积计算公式：侧面积= π×r ×l，其中r为圆锥的底面半径，l为圆锥的母线长。
2.2 圆锥的全面积计算引导学生理解圆锥的全面积包括底面积和侧面积。
给出圆锥的全面积计算公式：全面积= π×r ×(r + l)，其中r为圆锥的底面半径，l为圆锥的母线长。
第三章：圆锥的侧面展开图的应用3.1 圆锥的侧面积在实际问题中的应用通过举例或情景设置，让学生理解圆锥的侧面积在实际问题中的应用，如制作圆锥形状的物体时计算材料用量等。
3.2 圆锥的全面积在实际问题中的应用通过举例或情景设置，让学生理解圆锥的全面积在实际问题中的应用，如计算圆锥形物体的表面积等。
第四章：圆锥的侧面展开图的绘制4.1 圆锥的侧面展开图的绘制方法引导学生学习如何将圆锥的侧面展开成一个扇形，并绘制出圆锥的侧面展开图。
通过步骤讲解和示范，让学生掌握绘制圆锥的侧面展开图的方法。
4.2 圆锥的侧面展开图的绘制技巧介绍一些绘制圆锥的侧面展开图的技巧，如如何准确地测量和标记圆锥的底面半径和母线长等。
第五章：圆锥的侧面展开图的综合练习5.1 圆锥的侧面展开图的计算练习提供一些有关圆锥的侧面展开图的计算题目，让学生巩固圆锥的侧面积和全面积的计算方法。
5.2 圆锥的侧面展开图的应用练习提供一些有关圆锥的侧面展开图的应用题目，让学生将所学知识应用到实际问题中。
圆柱和圆锥的侧面展开图
例 （1）若圆锥的底面半径是3cm ，母线长是5cm ，则它的侧面展开图的面积是2cm ______.（2）若圆锥的母线长为5cm ，高为3cm ，则其侧面展开图中扇形的圆心角是 度. 分析 首先弄清圆的侧面展开图是扇形，（1）中可直接用lR S 21=扇求得2cm 15π，（2）中先求底面圆半径，扇形弧长，再由弧长公式求圆内角为288°.例 一个圆锥的高是10㎝，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积.分析：如图，欲求圆锥的侧面积，即求母线长l ，底面半径r .由圆锥的形成过程可知，圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形即SOA Rt ∆，且,,,10r OA l SA SO ===关键找出l 与r 的关系，又其侧面展开图是半圆，可得关系,222l lππ=，即r l 2=. 解：设圆锥底面半径r ，扇形弧长为C ，母线长为l ， 由题意得,22lC π=又.2r C π= ,222l lππ=∴得r l 2= ① 在SOA Rt ∆中，22210+=r l ② 由①、②得：cm.2320cm,2310==l r ∴所求圆锥的侧面积为)cm (3200332033102πππ=⨯⨯==rl S例 圆锥的轴截面是等腰PAB ∆，EG ,2,3===AB PB PA M 是AB 上一点，且2=PM ，那么在锥面上A 、M 两点间的最短距离是多少？分析：设圆锥的侧面展开图是扇形,B PB 'A 点落在A '点，则所求A '、M 之间的最短距离就是侧面展开图中线段A 'M 的长度.解：如图，扇形的圆心角.12031360360οοο=⨯=⨯=l r ο60='∠∴PB A ，在PM A '∆中，过A '作PM N A ⊥'于N ，则,5.121='=A P PN ,3235.1322=-='∴N A MNA Rt '∆中，.74142722=+=+'='MN N A M A典型例题八例 已知一个三角形的边长分别为3 cm 、4 cm 、5 cm ， 求以一边所在的直线为轴旋转一周形成的几何体的全面积．略解：如图，在△ABC 中，AB=5，AC=4，BC=3， ∵AB 2=AC 2+BC 2，∴∠C=90°． （1）当以AC 所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是以底面半径为3，母线长为5的圆锥．π=+⨯⨯π=+=24)35(3S S S 侧底全（cm 2）．（2）当以BC 所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是以底面半径为4，母线长为5的圆锥．π=+⨯⨯π=+=36)45(4S S S 侧底全（cm 2）．（3）当以AB 所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是同底面的两个圆锥的侧组成的几何体，母线长分别为4、3． 圆锥的底面半径=512543=⨯ π=⨯⨯π+⨯⨯π=+=58435124512S S S 21侧侧全（cm 2）． 说明：①分类思想；②圆锥的侧面积和表面积．典型例题九例 一个圆锥形的零件，经过轴的剖面是一个等腰直角三角形，求它的侧面展开图的中心角．解：设圆锥的母线SA=l ，底面半径为r ，则底边周长c=2πr ，即为展开扇形的弧长，这个扇形的半径为l ，它的中心角为α，则 c=πα180l ， 又△ASB 为等腰直角三角形，∴l =2r ． ∴r 2r 2180π=⋅πα，∴︒=α)2180(． 说明：圆锥展开图的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径等于圆锥母线的345ABC 345ABCD长，扇形的弧长等于圆锥底面周长，千万不要借把圆锥底面的半径当作扇形的半径．典型例题十例矩形的边，，以为轴旋转一周得到的圆柱体的表面积是（）（A）（B）（C）（D）分析与解答：圆柱表面积是两底面积之和加上侧面积.圆柱的侧面展开图是矩形.因此，圆柱的侧面积是矩形的面积，即底面周长（）与圆柱的高（母线）的积，解之选（C ）.典型例题十二例 一个圆锥的底面半径为10cm ，母线长20cm ，求：（1）圆锥的表面积；（2）圆锥的高；（3）轴与一条母线所夹的角；（4）侧面展开图扇形的圆心角.解 （1）).cm (30020010022πππππ=+=+=rl r S 圆锥表（2）如图，OS 为圆锥的高，在Rt OSA ∆中，31010202222=-=-=AS OA OS （cm ）.（3）设轴与一条母线所夹的角为α，在Rt OSA ∆中，.30,21sin ︒=∴==ααOA AS （4）设侧面展开图扇形的圆心角度数为β，则由1802lr βππ=得︒=180β，∴侧面展开图扇形的圆心角为180°.说明：本题考查与圆锥有关的计算问题，解题关键是掌握与圆锥有关的性质与公式.典型例题十三例 一个圆锥形工件的轴截面是一个等腰直角三角形，这个直角三角形的斜边长为10厘米，现为这个工件刷油漆，若每平方厘米要2.5克油漆，问至少要油漆多少克（备用数据：π取3.14，2取1.41，结果精确到0.1）解 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，表面积为S .∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，∴由勾股定理得.10222=+l l ∴25=l （负值已舍）.又 )cm (19.189)525(514.3)(,510212≈+⨯⨯=+=∴=⨯=r l r S r π 则.0.47398.47219.1895.2≈=⨯答 至少要油漆473.0克.说明：本题考查圆锥表面积计算的应用，易错点是忽视精确度误得472.98克.例 （1）如果圆柱底面半径为4cm ，它的侧面积为2cm 64π，那么圆柱的母线长为（ ）. （A ）16cm （B ）16πcm （C ）8cm （D ）8πcm（2）如果圆柱底面直径为6cm ，母线长为10cm ，那么圆柱的侧面积为（ ） （A ）302cm π （B ）602cm π （C ）902cm π （D ）1202cm π分析 圆柱侧面展开图是矩形，（1）可直接用公式求出母线长为8cm ，故选（C ），（2）中，由直径求出半径是关键，应选（B ）.典型例题二例 已知矩形ABCD 一边AB=10cm ，AD=6 cm ，求以此矩形为侧面所围成圆柱的表面积．解：（1）以AD 为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径r=π5则圆柱表面积为π+=π⋅π⋅+=5060)5(260S 2． （2）以AB 为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径r=π3 则圆柱表面积为π+=π⋅π⋅+=1860)3(260S 2． 说明：①圆柱表面积的计算；②分类思想；③圆柱各元素的关系和计算．典型例题五例 已知矩形ABCD 一边AB=10cm ，AD=6 cm ，求以此矩形为侧面所围成圆柱的表面积．解：（1）以AD 为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径r=π5则圆柱表面积为π+=π⋅π⋅+=5060)5(260S 2． （2）以AB 为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径r=π3 则圆柱表面积为π+=π⋅π⋅+=1860)3(260S 2． 说明：①圆柱表面积的计算；②分类思想；③圆柱各元素的关系和计算．典型例题九例 一个圆锥形的零件，经过轴的剖面是一个等腰直角三角形，求它的侧面展开图的中心角．解：设圆锥的母线SA=l ，底面半径为r ，则底边周长c=2πr ，即为展开扇形的弧长，这个扇形的半径为l ，它的中心角为α，则 c=πα180l ， 又△ASB 为等腰直角三角形，∴l =2r ．∴r 2r 2180π=⋅πα，∴︒=α)2180(． 说明：圆锥展开图的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径等于圆锥母线的长，扇形的弧长等于圆锥底面周长，千万不要借把圆锥底面的半径当作扇形的半径．典型例题七例 一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm ，圆心角为240°的扇形，求这个圆锥的轴截面积．解：∵扇形的半径为18cm ，圆心角为240°，∴扇形的弧长L=π=⨯π⨯2418018240∵扇形弧长等于底面圆周长，∴圆锥的母线长为18cm ，底面半径=12224=ππcm ∴圆锥的高为56121822=-（cm ），∴圆锥的轴截面积S=572562421=⨯⨯（cm 2） 说明：巩固圆锥的各元素之间的关系，弧长公式和解直角三角形等知识的应用．典型例题六例 已知一个圆柱的轴截面是一个面积为16cm 2的正方形，求它们侧面积． 解：∵圆柱的轴截面是正方形，且面积为16cm 2∴圆柱的高为4cm ，圆柱底面直径也是4cm 即底面半径为2cm ．∴圆柱的侧面积=2π×2×4＝16πcm 2．说明：此题为基础题．应用圆柱轴截面的特征，圆柱各元素的关系，侧面积计算．典型例题一例 矩形的边，，以为轴旋转一周得到的圆柱体的表面积是（）（A）（B）（C）（D）分析与解答：圆柱表面积是两底面积之和加上侧面积.圆柱的侧面展开图是矩形.因此，圆柱的侧面积是矩形的面积，即底面周长（）与圆柱的高（母线）的积，解之选（C ）.典型例题七例 一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm ，圆心角为240°的扇形，求这个圆锥的轴截面积．解：∵扇形的半径为18cm ，圆心角为240°，∴扇形的弧长L=π=⨯π⨯2418018240∵扇形弧长等于底面圆周长，∴圆锥的母线长为18cm ，底面半径=12224=ππcm ∴圆锥的高为56121822=-（cm ）， ∴圆锥的轴截面积S=572562421=⨯⨯（cm 2） 说明：巩固圆锥的各元素之间的关系，弧长公式和解直角三角形等知识的应用．典型例题四例 已知一个圆柱的轴截面是一个面积为16cm 2的正方形，求它们侧面积． 解：∵圆柱的轴截面是正方形，且面积为16cm 2∴圆柱的高为4cm ，圆柱底面直径也是4cm 即底面半径为2cm ．∴圆柱的侧面积=2π×2×4＝16πcm 2．说明：此题为基础题．应用圆柱轴截面的特征，圆柱各元素的关系，侧面积计算．典型例题五例 （1）若圆锥的底面半径是3cm ，母线长是5cm ，则它的侧面展开图的面积是2cm ______.（2）若圆锥的母线长为5cm ，高为3cm ，则其侧面展开图中扇形的圆心角是 度. 分析 首先弄清圆的侧面展开图是扇形，（1）中可直接用lR S 21=扇求得2cm 15π，（2）中先求底面圆半径，扇形弧长，再由弧长公式求圆内角为288°.典型例题十一例 已知：斜边，以直线为轴旋转一周得一表面积为的圆锥，则这个圆锥的高等于 .分析与解答：圆锥的表面积是底面积与圆锥侧面积之和.圆锥的侧面展开图是扇形.圆锥的侧面积是扇形的面积，即等于底面周长×母线长的一半.此题在分析中要结合图形（如图）弄清欲求圆锥的高即为的长，关键在于求底面半径，不妨设，则，即可求出，解之得高＝12cm.典型例题八例 已知一个三角形的边长分别为3 cm 、4 cm 、5 cm ， 求以一边所在的直线为轴旋转一周形成的几何体的全面积．略解：如图，在△ABC 中，AB=5，AC=4，BC=3， ∵AB 2=AC 2+BC 2，∴∠C=90°． （1）当以AC 所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是以底面半径为3，母线长为5的圆锥．π=+⨯⨯π=+=24)35(3S S S 侧底全（cm 2）．（2）当以BC 所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是以底面半径为4，母线长为5的圆锥．π=+⨯⨯π=+=36)45(4S S S 侧底全（cm 2）．（3）当以AB 所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是同底面的两个圆锥的侧组成的几何体，母线长分别为4、3． 圆锥的底面半径=512543=⨯ π=⨯⨯π+⨯⨯π=+=58435124512S S S 21侧侧全（cm 2）． 说明：①分类思想；②圆锥的侧面积和表面积．典型例题六例 一个圆锥的高是10㎝，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积.分析：如图，欲求圆锥的侧面积，即求母线长l ，底面半径r .由圆锥的形成过程可知，圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形即SOA Rt ∆，且,,,10r OA l SA SO ===关键找出l 与r 的关系，又其侧面展开图是345ABC 345ABCD半圆，可得关系,222l lππ=，即r l 2=. 解：设圆锥底面半径r ，扇形弧长为C ，母线长为l ， 由题意得,22lC π=又.2r C π= ,222l lππ=∴得r l 2= ① 在SOA Rt ∆中，22210+=r l ② 由①、②得：cm.2320cm,2310==l r ∴所求圆锥的侧面积为)cm (3200332033102πππ=⨯⨯==rl S典型例题十例 已知：斜边，以直线为轴旋转一周得一表面积为的圆锥，则这个圆锥的高等于 .分析与解答：圆锥的表面积是底面积与圆锥侧面积之和.圆锥的侧面展开图是扇形.圆锥的侧面积是扇形的面积，即等于底面周长×母线长的一半.此题在分析中要结合图形（如图）弄清欲求圆锥的高即为的长，关键在于求底面半径，不妨设，则，即可求出，解之得高＝12cm.典型例题十二例 一个圆锥的底面半径为10cm ，母线长20cm ，求：（1）圆锥的表面积；（2）圆锥的高；（3）轴与一条母线所夹的角；（4）侧面展开图扇形的圆心角.解 （1）).cm (30020010022πππππ=+=+=rl r S 圆锥表（2）如图，OS 为圆锥的高，在Rt OSA ∆中，31010202222=-=-=AS OA OS （cm ）.（3）设轴与一条母线所夹的角为α，在Rt OSA ∆中，.30,21sin ︒=∴==ααOA AS （4）设侧面展开图扇形的圆心角度数为β，则由1802lr βππ=得︒=180β，∴侧面展开图扇形的圆心角为180°.说明：本题考查与圆锥有关的计算问题，解题关键是掌握与圆锥有关的性质与公式.典型例题十三例 一个圆锥形工件的轴截面是一个等腰直角三角形，这个直角三角形的斜边长为10厘米，现为这个工件刷油漆，若每平方厘米要2.5克油漆，问至少要油漆多少克（备用数据：π取3.14，2取1.41，结果精确到0.1）解 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，表面积为S .∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，∴由勾股定理得.10222=+l l ∴25=l （负值已舍）.又 )cm (19.189)525(514.3)(,510212≈+⨯⨯=+=∴=⨯=r l r S r π 则.0.47398.47219.1895.2≈=⨯答 至少要油漆473.0克.说明：本题考查圆锥表面积计算的应用，易错点是忽视精确度误得472.98克.典型例题十二例 圆锥的轴截面是等腰PAB ∆，EG ,2,3===AB PB PA M 是AB 上一点，且2=PM ，那么在锥面上A 、M 两点间的最短距离是多少？分析：设圆锥的侧面展开图是扇形,B PB 'A 点落在A '点，则所求A '、M 之间的最短距离就是侧面展开图中线段A 'M 的长度.解：如图，扇形的圆心角.12031360360οοο=⨯=⨯=l r ο60='∠∴PB A ，在PM A '∆中，过A '作PM N A ⊥'于N ，则,5.121='=A P PN ,3235.1322=-='∴N A MNA Rt '∆中，.74142722=+=+'='MN N A M A典型例题三例 （1）如果圆柱底面半径为4cm ，它的侧面积为2cm 64π，那么圆柱的母线长为（ ）. （A ）16cm （B ）16πcm （C ）8cm （D ）8πcm（2）如果圆柱底面直径为6cm ，母线长为10cm ，那么圆柱的侧面积为（ ） （A ）302cm π （B ）602cm π （C ）902cm π （D ）1202cm π分析 圆柱侧面展开图是矩形，（1）可直接用公式求出母线长为8cm ，故选（C ），（2）中，由直径求出半径是关键，应选（B ）.填空题1．用边长分别为π8和π6的矩形卷成圆柱，则圆柱的底面面积是 . 2．如果圆锥的高为8㎝，圆锥的底面半径为6㎝，那么它的侧面展开图的面积为 . 3．已知矩形ABCD ，一边AB=30㎝，另一边AD =9㎝，以直线AB 为轴旋转一周所得到的圆柱的表面积为 2cm （结果用π表示）.4．已知一矩形的长为AB =6，宽AD =4，若以它垂直于一组对边的对称轴为轴旋转180°，得到的立体图形的表面积为 .5．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形做一个圆锥，那么这个圆锥的底面周长为 .6．用过轴线的平面把一个圆锥剖开得到一个等腰直角三角形，则这个圆锥的底面半径是高的 倍，母线是高的 倍.7. 圆柱的高与底面直径相等，如果它的侧面积为S ，则底面积是________8. 矩形ABCD 的边cm 4=AB ，cm 2=AD ，以直线AD 为轴旋转一周，所得的圆柱的侧面积是_______2cm9. 底面直径是0cm 1，高是cm 12的圆锥，沿它的轴剖开得到一个______三角形，该三角形的面积是______2cm10. 一个圆锥形零件的高为0cm 1，若经过轴的剖面是一个等腰直角三角形，则这个圆锥的底面半径为______cm ，母线长为______cm ，侧面积为______2cm ，表面积为_____2cm 11. 若一圆锥的侧面积为415π，母线长为3，则侧面展开图的圆心角为________. 12．若一个圆锥的母线长是5cm ，底面半径是3cm ，则它的侧面展开图的面积是 2cm . 13．一位同学制作一圆锥模型，这个模型的侧面是用一个半径为9cm ，圆心角为240°的扇形铁皮制作，再用一块圆铁片做底，那么这块圆铁片的半径为 . 14．已知圆柱底面半径为π2，高为10，则圆柱侧面积是 .参考答案:1．;916ππ和 2．π60； 3．π702； 4．ππ3242或； 5．38π；6．1，2.7.4S8. π16 9. 等腰 60 10. cm 10，cm 210，2cm 2100π 2cm )12(100π+11. ︒150. 12．π1513．6cm 14．40.选择题1．在矩形ABCD 中，CA AB ≠，分别以直线AB ，AC 为轴旋转一周得两个圆柱，这两个圆柱的底面积与侧面积分别有什么关系？（） A ．底面积相等，侧面积也相等 B ．底面积不等，侧面积相等 C ．底面积相等，侧面积不相等 D ．底面积不等，侧面积也不等2．如图，已知圆锥的高为cm 4，底面半径为cm 3，则圆锥侧面展开图的面积为（）A ．2cm 9πB ．2cm 15πC ．2cm 24πD ．2cm 30π3．一个圆锥的高为cm 310，侧面展开后是一个半圆，则圆锥的表面积是（） A ．2cm 002π B ．2cm 003π C ．2cm 004πD ．2cm 603π4．在ABC ∆中，︒=∠90C ，a BC =，b AC = )(b a >，分别以AC ，BC 所在的直线为轴旋转一周，所得的圆锥的侧面积依次记为1S ，2S ，则1S 和2S 的大小关系为（） A ．21S S >B ．21S S =C ．21S S <D ．以上情况都有可能5．一个圆柱的侧面展开图是正方形，那么它的侧面积和底面积的比是（ ）（A ）1 （B ）π （C ）π4 （D ）46．在△ABC 中，,90,4,3ο=∠==A AC AB 把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥，其表面积为1S ；把Rt △ABC 绕直线AB 一周得到另一个圆锥，其表面积为2S ，则=21:S S （ ）（A ）3:2 （B ）4:3 （C ）9:4 （D ）56:397．已知一个扇形的半径为60厘米，圆心角为150°，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）（A ）12.5厘米 （B ）25厘米 （C ）50厘米 （D ）75厘米8．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（ ）（A ）60° （B ）90° （C ）120° （D ）180°9．如果圆柱的底面直径为4，母线长为2，那么圆柱的侧面展开图的面积等于（ ）（A ）π8 （B ）π4 （C ）π16 （D ）810．一张矩形纸片，两边长分别为2cm 和4cm ，以它的一边所在直线为轴旋转一周，所得的圆柱的表面积一定是（ ）（A ）2cm 24π或2cm 48π （B ）2cm 32π或2cm 20π （C ）2cm 24π或2cm 32π （D ）2cm 20π或2cm 48π参考答案：1．B 2. B 3. B 4. A 5．C ； 6．A ； 7．B ； 8．D. 9．A 10．A.解答题1．已知圆柱的底面半径为2cm ，圆柱的高为3cm ．求它的侧面积． 2．已知圆柱的底面直径为4cm ，圆柱的高为5cm ．求它的全面积． 3．已知圆拄的高为4cm ，侧面积为40πcm 2．求它的全面积．4．已知矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=2cm ，以AB 为轴旋转一周，补上底面，求所成的圆柱的全面积；再以BC 为轴旋转一周，补上底面．求所成的圆柱的全面积．比较一下两个圆柱全面积的大小．5．已知圆锥的母线长为6cm ；底面半径为2cm ．求它侧面展开图的圆心角的度数． 6．已知扇形的半径为4cm ，圆心角为120°，用它做成一个圆锥．求圆锥的底面面积． 7．已知圆锥的高为6cm ，底面半径为8cm ．求这个圆锥的侧面积． 8．在如图所示的矩形ABCD 中，cm 2=AB ，cm 3=BC ，MN 是它的一条对称轴。
圆锥的侧面展开图
例1、圆锥形烟囱帽(如图)的母线长为80cm，高
为38.7cm,求这个烟囱帽的面积（ 取3.14，结
果保留2个有效数字）
l h
r
解：∵l=80，h=38.7 ∴r= l2 h2 802 38.72 70 ∴S侧=πrl≈3.14×70×80≈1.8×104（cm2）
答：烟囱帽的面积约为1.8×104cm2。
例2：如图所示的扇形中，半径R=10，圆心 角θ=144°用这个扇形围成一个圆锥的侧面.
(1)求这个圆锥的底面半径r; r=4
(2)求这个圆锥的高. 2 21
A
r
C
B
O
1.圆锥的底面直径为80cm.母线长为90cm, 求它的全面积.
S全=5200 cm2
2.扇形的半径为30,圆心角为120°用它做一个 圆锥模型的侧面,求这个圆锥的底面半径和高.
A
BO
C
圆锥的侧面展开图是扇形
A
l
BO
C
其侧面展开图扇形的半径=母线的长l
侧面展开图扇形的弧长=底面周长2r
S
A
Or
B
做一做
(1)已知一个圆锥的高为6cm，半径为8cm，则这
个圆锥的母长为_1_0_c_m___
(2)已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为20cm，
则这个圆锥的侧面积为_2_4_0___c_m__2，全面积为_3_8_4___c_m2
C. 28cm2
B.30cm2 D. 15cm2
例2.蒙古包可以近似地看成由圆锥
和圆柱组成的.如果想用毛毡搭建
20个底面积为16πm2,高为4.5 m，外 围高1.5 m的蒙古包,至少需要多少
m2的毛毡?
解:如图是一个蒙古包的示意图 依题意,下部圆柱的底面积16πm2,高为1.5m;
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆锥的侧面展开图及相关计算
教学目标：
1、了解母线的意义，体会母线、高与底面圆的半径的关系.
2、理解掌握圆锥的侧面积和全面积的计算公式，并会运用它解决相关问题.
3、进一步培养学生分析，解决问题的能力.
教学过程：
一、创设情境，激发兴趣
1、生活中的圆锥欣赏
2、圆锥的形成
二、自主学习，问题探究
l
3、如上图，你能用刚才得到的结论快速的解决下列问题吗？
①如r=12，a=20，则S
侧=，S
全
=.
②如h=12，r=5，则S
侧=，S
全
=.
③如a=2， r=1，则n=.
④如h=3， r=4，则n=.
⑤已知△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，将△ABC分别绕直角
边AC、BC和斜边AB旋转一周，画出旋转后的图形并求所得几何体的侧面积？
三、直击中考，发现问题
1、小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作圆锥形的生日礼帽，如下图，圆锥帽底面半径为9cm，母线长为36cm，请你帮助他们计算制作一个这样的生日礼貌需要纸板的面积为（）
（A）648πcm2（B）432πcm2（
C
）324πcm2（D）216πcm2
2、一个扇形，半径为30cm，圆心角为120度，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为_____ .
3、已知圆锥的侧面积为10πcm2，侧面展开图的圆心角为36°，则该圆锥的母线长为（）
A.100cm
B.
C.10cm
D.
4、若圆锥侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是（）
（A）120° （B）135° （C）150° （D）180°
5、如图已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（）
A.4π cm2
B.6π cm2
C.9π cm2
D.12π cm26、如下图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪
去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（）
A.
B.
C.
D.
7、如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪
出一个最大圆心角为60°的扇形ABC ．那么剪下的扇形ABC （阴影部分）的面积为______；
用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径r=______.
8、如下图，矩形ABCD 中，AB=4，以点B 为圆心，BA 为半径画弧交BC 于点E ，以点
O 为圆心的⊙O 与弧AE ，边AD ，DC 都相切．把扇形BAE 作一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆恰好是⊙O ，则AD 的长为．
9、如下图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从点A 出发绕侧面一周，
再回到点A 的最短的路线长是（ ）
(A) 36 (B)
2
3
3 (C) 33 (D) 3
10、如下图，已知在⊙O 中，
，AC 是⊙O 的直径，AC ⊥BD 于F ，∠A=30°．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）若用阴影扇形OBD 围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．
四、个性问题，小组解决。