陕西省中考数学试题研究类型2二次函数与特殊四边形判定练习
陕西省中考数学试题研究类型2二次函数与特殊四边形判定练
习
3. 如图，经过点C(0，－4)的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A(－2，0)，B两点．
(1)若该抛物线关于直线x＝2对称，求抛物线的函数表达式；
(2)在(1)的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
第3题图
解：(1)设y＝a(x－2)2＋k，将点C(0，－4)，
A(－2，0)分别代入，
得
??
?
??－4＝a（0－2）2＋k
0＝a（－2－2）2＋k
，解得
??
?
??a＝13
k＝－
16
3
，
故所求抛物线的函数表达式为y＝
1
3
(x－2)2－
16
3
，即y＝
1
3
x2－
4
3
x－4；
第3题解图
(2)存在．
如解图，过点E作EM⊥x轴于点M，
∵EF是平行四边形AC边的对边，
∴EF＝AC，EF∥AC，
∴∠OAC＝∠MFE，∠AOC＝∠FME＝90°，
∴Rt△OAC≌Rt△MFE，
∴OC＝ME＝4，
∴即点E的纵坐标为4或－4.
i)
1
3
x2－
4
3
x－4＝－4，解得x1＝0(即点C，舍去)，x2＝4，
即E(4，－4)，
ii )13x 2－43
x －4＝4，解得x 1＝2＋7，x 2＝2－27，
即E (2＋27，4)或E (2－27，4)．
综上所述，满足条件的点E 的坐标为(4，－4)，(2＋27，4)或(2－27，4)．
4. 已知抛物线C 1：y ＝－14
x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点(2，0)，对称轴为直线x ＝－3. (1)求b 、c 的值；
(2)若抛物线C 1与抛物线C 2关于y 轴对称，求抛物线C 2的函数表达式；
(3)若抛物线C 1与x 轴的交点分别为A ，B 两点(A 在B 左侧)，抛物线C 2与x 轴交于A ′，B ′两点(A ′在B ′左侧)，且抛物线C 2与y 轴交于点M ，则在抛物线C 1及C 2上是否存在点N ，使得以点A ′、A 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N 坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵抛物线C 1：y ＝－14x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝－3， ∴x ＝－b 2×（－14）＝－3，解得b ＝－32， 又∵y ＝－14
x 2＋bx ＋c 过点(2，0)， ∴0＝－14×22＋(－32
)×2＋c ，解得c ＝4， ∴b ＝－32
，c ＝4； (2)由(1)得抛物线C 1∶y ＝－14x 2－32
x ＋4， ∵抛物线C 1与抛物线C 2关于y 轴对称，
∴抛物线C 1与抛物线C 2上对应点的横坐标相反，纵坐标相等，
∴将－x 代入y ＝－14x 2－32x ＋4中，得y ＝－14
(－x )2－32(－x )＋4，即y ＝－14x 2＋32
x ＋4， ∴抛物线C 2的函数表达式为y ＝－14x 2＋32
x ＋4； (3)令－14x 2＋32
x ＋4＝0，解得x 1＝－2，x 2＝8， ∵A ′在B ′左侧，
∴A ′(－2，0)，B ′(8，0)，
∵以点A 、A ′、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，点A (－8，0)，
∴①当AA ′为边时，有MN ＝AA ′，且MN ∥AA ′，
∵AA ′＝－2－(－8)＝6，且当x ＝0时，y ＝4，即点M 坐标为(0，4)，
∴令－14x 2－32
x ＋4＝4，解得x 1＝－6，x 2＝0(舍)， ∴N 1(－6，4)，且MN 1＝AA ′＝6，
∴N 1符合题意．
同理，令－14x 2＋32
x ＋4＝4， 解得x 1＝6，x 2＝0(舍)，
∴N 2(6，4)，则MN 2＝AA ′＝6，
∴N 2符合题意；
②当AA ′为对角线时，令AA ′中点为G ，
∵A (－8，0)，A ′(－2，0)，M (0，4)，
∴G (－5，0)，
令N 3(m ，n )，则 0＋m 2＝－5，得m ＝－10，4＋n 2
＝0，得n ＝－4， 将m ＝－10代入y ＝－14x 2－32
x ＋4中得y ＝－6≠－4， 将m ＝－10代入y ＝－14x 2＋32
x ＋4中得y ＝－36≠－4， ∴N 3不存在．
综上所述，符合条件的点N 有(－6，4)、(6，4)．
5. 已知抛物线C 1：y ＝ax 2－bx －1经过(1，－2)和(3，2)两点．
(1)求抛物线C 1的表达式；
(2)将抛物线C 1沿直线y ＝－1翻折，再将翻折后的抛物线向上平移2个单位，再向右平移m 个单位，得到抛物线C 2.若C 2的顶点B 在抛物线C 1上，求m 的值；
(3)在(2)的条件下，设抛物线C 1的顶点为A ，E 为抛物线C 1上的一点，F 为抛物线C 2上的一点，则是否存在以A 、B 、E 、F 为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出矩形的面积；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵抛物线C 1：y ＝ax 2－bx －1经过(1，－2)和(3，2)两点，
∴?
????a －b －1＝－29a －3b －1＝2， 解得?
????a ＝1b ＝2， ∴抛物线C 1的表达式为y ＝x 2
－2x －1；
(2)∵抛物线C 1的表达式为y ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，
∴顶点坐标为(1，－2)．
∵点(1，－2)关于直线y ＝－1对称点的坐标为(1，0)，
∴点B 的坐标为(1＋m ，2)．
∵B 在抛物线C 1上，
∴(1＋m －1)2－2＝2.
解得m 1＝2，m 2＝－2(舍去)，
∴m 的值为2；
(3)存在以A 、B 、E 、F 为顶点的四边形是矩形．
由题可知：A (1，－2)、B (3，2)，
抛物线C 2的表达式为y ＝－(x －3)2＋2，
则线段AB 的中点C 的坐标为(1＋32，－2＋22)，即C (2，0)．
当x＝1时，y＝－(1－3)2＋2＝－2，
∴点A(1，－2)在抛物线C2上，
∴抛物线C1与抛物线C2关于点C成中心对称．
当AB为四边形的一边时，分别过点A、B作AB的垂线，与抛物线C1、C2交于点M、N，则点M、N分别位于AB的两侧，故此时不存在以A、B、E、F为顶点的矩形；
当AB为四边形的对角线时，如解图，在抛物线C1上任取一点E(A、B除外)，连接EC并延长交抛物线C2于点F，连接AE、AF、BF、BE，则EC＝FC.
第5题解图
∵EC＝FC，AC＝BC，
∴四边形EAFB是平行四边形．
要使四边形EAFB为矩形，则需满足∠AEB＝90°，
设E(a，a2－2a－1)，
∵A(1，－2)，B(3，2)，
∴EA2＝(a－1)2＋(a2－2a＋1)2，
EB2＝(a－3)2＋(a2－2a－3)2，
AB2＝(1－3)2＋(－2－2)2＝20，
在Rt△AEB中，AB2＝EA2＋EB2，
即(a－1)2＋(a2－2a＋1)2＋(a－3)2＋(a2－2a－3)2＝20，
解得a1＝0，a2＝1(舍)，a3＝3(舍)，
∴点E的坐标为(0，－1)，
∴存在以A、B、E、F为顶点的四边形是矩形．
∵E(0，－1)，A(1，－2)，B(3，2)，
∴AE＝2，BE＝32，
∴S矩形EAFB＝AE·BE＝6.