2019届安徽省重点高中高三大联考数学(文)试题

2019届安徽省重点高中高三大联考数学(文)试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合{}12A x Z x =∈-≤<，则满足条件A B B =I 的集合B 的个数为（ ） A ．4 B ．7C ．3D ．8 2．已知复数1i z =-，则22z z +，在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．国庆节期间，滕州市实验小学举行了一次科普知识竞赛活动，设置了一等奖、二等奖、三等奖、四等奖及纪念奖，获奖人数的分配情况如图所示，各个奖品的单价分别为：一等奖50元、二等奖20元、三等奖10元，四等奖5元，纪念奖2元，则以下说法中不正确．．．的是（ ）A ．获纪念奖的人数最多B ．各个奖项中二等奖的总费用最高C ．购买奖品的费用平均数为6.65元D ．购买奖品的费用中位数为5元 4．给出下列四个结论：①若p q ∧是真命题，则p ⌝可能是真命题；②命题“若p 则q ”与命题“若q ⌝，则p ⌝”互为逆否命题；③若“p ⌝或q ”是假命题，则“p 且q ⌝”是真命题；④若p 是q 的充分条件，q 是r 的充分条件，则p 是r 的充分条件.其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知函数()1,01,0x e x f x x -⎧>=⎨-≤⎩，函数()()g x f x x =-的一个零点为m ，令()23m h x x -=，则函数()h x 是（ ）A ．奇函数且在()0,∞+上单调递增B ．偶函数且在()0,∞+上单调递减C ．奇函数且在()0,∞+上单调递减D ．偶函数且在()0,∞+上单调递增 6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点为A ，B ，点P 为双曲线上异于A ，B 的任意一点，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，若1212k k =，则双曲线的离心率为（ ）A B ．2 C ．2D ．327．如图，是某几何体的三视图，该几何体的轴截面的面积为8，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．12512π B ．25π C ．252π D ．100π8．若函数()()23sin2cos 2f x x x x ωωω=π-++，且()3f α=，()2f β=，若αβ-的最小值是2π，则下列结论正确的是（ ） A ．1ω=，函数()f x 的最大值为1B ．12ω=，函数()f x 的最大值为3 C ．2ω=，函数()f x 的最大值为3 D ．12ω=，函数()f x 的最大值为1 9．如图,在平行四边形ABCD 中,E,F 分别为BC,CD 上的一点,且1,23BE BC DF FC ==u u u v u u u v u u u v u u u v ,则AF DE +=u u u v u u u v （ ）A ．5133AB AD -u u u v u u u v B ．5533AB AD +u u u v u u u vC ．4233AB AD -u u u v u u u v D ．5133AB AD +u u u v u u u v 10．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．设G 是ABC V 的重心，且()()()sin sin sin 0A GA B GB C GC ++=u u u r u u u r u u u r ，若ABCV 外接圆的半径为1，则ABC V 的面积为（ ）ABC ．34D ．91612．各项均为正数的等比数列{}n a 满足：634a a a =，18128a a =，函数()2201220f x a x a x a x =++⋅⋅⋅+，若曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线垂直于直线1050kx y m -+=，则k =（ ）A ．12-B ．12C ．2D ．2-13．已知x ，y 满足不等式组230y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则11y z x -=+的取值范围是________. 14．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，对角线1DB 与平面11ADD A ，ABCD ，11DCC D 的夹角分别为α，β，θ，且111118A B BB C B ++=，2221111124A B BB C B ++=，则sin sin sin αβθ++=________.15．已知函数()cos ,01,01x x x f x x x x -≤⎧⎪=-⎨>⎪+⎩，()()23log 3g x x =-，则不等式()()1f g x ⎡⎤<⎣⎦的解集为________.16．已知圆1C ：()()22224x y -+-=，2C ：()()22212x y +++=，点P 是圆1C 上的一个动点，AB 是圆2C 的一条动弦，且2AB =，则PA PB +u u u r u u u r 的最大值是________.17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*23n S n n n N =+∈，数列{}nb 满足：()2*4n n a b n n n N =+∈.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，当45n T >时，求n 的最小值.18．如图，四边形ABCD 是矩形，2AB =π，4=AD ，E ，F 分别为DC ，AB 上的一点，且23DE DC =，23AF AB =，将矩形ABCD 卷成以AD ，BC 为母线的圆柱的半个侧面，且AB ，CD 分别为圆柱的上、下底面的直径.（1）求证：平面ADEF ⊥平面BCEF ；（2）求四棱锥D BCEF -的体积.19．滕州市公交公司一切为了市民着想，为方便市区学生的上下学，专门开通了学生公交专线，在学生上学、放学的时间段运行，为了更好地掌握发车间隔时间，公司工作人员对滕州二中车站发车间隔时间与侯车人数之间的关系进行了调查研究，现得到如下数据：调查小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.（1）求选取的2组数据不相邻的概率；（2）若选取的是前两组数据，请根据后四组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的差均不超过1人，则称为最佳回归方程，在（2）中求出的回归方程是否是最佳回归方程？若规定一辆公交车的载客人数不超过35人，则间隔时间设置为18分钟，是否合适？ 参考公式：()()()1122211ˆn n i i i ii i n n i i i i x y nx y x x y y b xnx x x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-. 20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，上、下顶点为1B ，2B ，四边形1221B F B F 是面积为2的正方形.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点()2,0P ，过点2F 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求证：22MPF NPF ∠=∠.21．已知函数()()21202f x ax x a =+≠，()lng x x =. （1）令()()()h x f x g x =-，若曲线()y h x =在点()()1,1h 处的切线的纵截距为2-，求a 的值；（2）设0a >，若方程()()()21g x xf x a x '=-+在区间1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,内有且只有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点x ，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为1ρ=. （1）若直线l 与圆C 相切，求α的值；（2）直线l 与圆C 相交于不同两点A ，B ，线段AB 的中点为Q ，求点Q 的轨迹的参数方程.23．已知不等式32x a b c +≥++，a ，b ，R c ∈.（1）当22a b +=，1c x =+时，解不等式32x a b c +≥++；（2）当2226a b c ++=时，不等式32x a b c +≥++对所有实数a ，b ，c 都成立，求实数x 的取值范围.参考答案1．D【解析】【分析】先求得集合A 的元素，根据A B B =I 得到B A ⊆，由328=求得集合A 子集的个数，也即集合B 的个数.【详解】{}{}121,0,1A x Z x =∈-≤<=-，∵A B B =I ，∴B A ⊆，∵集合A 有3个元素，∴其子集有328=个.故选：D.【点睛】本小题主要考查根据交集的结果求集合，考查子集个数的计算，属于基础题.2．D【解析】【分析】 利用复数的乘方运算、复数的模运算化简2222i z z +=-，由此判断出其对应点所在象限.【详解】∵1i z =-，∴()22221i 22i z z +=-+=-，则22z z +在复平面上对应的点在第四象限.故选：D.【点睛】本小题主要考查复数的乘方运算、复数的模运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题.3．B【解析】【分析】根据扇形统计图判断出纪念奖占的比例，由此判断A 选项的正确性.计算出各奖项的费用，由此判断B 选项的正确性.计算出平均费用，由此判断C 选项的正确性.计算出中位数，由此判断D 选项的正确性.【详解】设参加竞赛的人数为a 人，由扇形统计图可知，一等奖占2%，二等奖占8%，三等奖占15%，四等奖占35%，获得纪念奖的人数占40%，最多，A 正确；各奖项的费用：一等奖2%a 50a ⨯=，二等奖8%20 1.6a a ⨯=，三等奖15%10 1.5a a ⨯=，四等奖35%5 1.75a a ⨯=，纪念奖40%20.8a a ⨯=，B 错误；平均费用为502%208%1015%535%240% 6.65⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元，C 正确；由各个获奖的人数的比例知，购买奖品的费用的中位数为5元，D 正确.故选：B.【点睛】本小题主要考查根据扇形统计图进行分析，属于基础题.4．C【解析】【分析】根据含有逻辑联结词命题真假性的判断，判断①的正确性.利用逆否命题的知识判断②的正确性. 根据含有逻辑联结词命题真假性的判断，判断③的正确性.根据充分条件的概念判断④的正确性.【详解】若p q ∧是真命题，则p ，q 都是真命题，∴p ⌝是假命题，①错误；由逆否命题的定义可得，②正确；若“p ⌝或q ”是假命题，则p ⌝，q 都是假命题，∴p ，q ⌝都是真命题，③正确；④由于p 是q 的充分条件，q 是r 的充分条件，即,p q q r ⇒⇒，则p r ⇒，所以p 是r 的充分条件，故④正确故选：C.【点睛】本小题主要考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，考查逆否命题，考查充分条件，属于基础题.5．B【解析】【分析】根据()f x x =，求得x 的值，由此求得m 的值，进而求得()h x 的解析式，由此判断出()h x 的奇偶性和在()0,∞+上的单调性.【详解】函数()()g x f x x =-的零点，即为()f x x =的根，由10x x e x ->⎧⎨=⎩或01x x ≤⎧⎨-=⎩解得，1x =或1x =-，即1m =±，则()2h x x -=，∴函数()h x 是偶函数且在()0,∞+上单调递减.故选：B.【点睛】本小题主要考查幂函数的单调性和奇偶性，考查函数零点的求法，属于基础题.6．C【解析】【分析】设出P 点坐标，求得12,k k 的表达式，利用1212k k =列方程，结合P 在双曲线上，化简求得222b a =，进而求得双曲线的离心率.【详解】由题设知，(),0A a -，(),0B a ，设(),P x y ，则1y k x a =+，2y k x a=-， ∴2122212y y y k k x a x a x a =⨯==+--，∴(),P x y 点在双曲线上，∴()22222b y x a a=-，则()22222212b x a a x a -=-，化简得，222b a =，又222bc a =-，∴2223c a =，则e =. 故选：C.【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 7．B【解析】【分析】根据三视图判断出几何体为圆锥，利用轴截面的面积列方程求得圆锥的高.利用勾股定理列方程求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积.【详解】由三视图知，该几何体是一个圆锥，底面半径为2r =，设圆锥的高为h ，则轴截面的面积为1482S h =⨯=，∴4h =，设圆锥的外接球的半径为R ，则由题意得，222h R r R -+=，即22242R R -+=，解得，52R =，∴外接球的表面积为2425S R ππ==. 故选：B.【点睛】本小题主要考查根据三视图还原原图，考查几何体外接球有关的计算，属于基础题. 8．B【解析】【分析】利用诱导公式、降次公式和辅助角公式，化简()f x 解析式，根据()3f α=，()2f β=以及αβ-的最小值（四分之一周期），求得()f x 的最小正周期，由此求得ω的值，以及()f x 的最大值.【详解】()()2233sin 2cos sin 222f x x x x x x ωωωωω=π-++=++12cos 22sin 22226x x x ωωωπ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， ∵()3f α=，()2f β=，且αβ-的最小值是2π，∴周期为422ππ⨯=，则222ππω=， ∴12ω=，则()sin 26f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最大值为3. 故选：B.【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的周期性和最值，属于中档题.9．D【解析】【分析】把,AF DE u u u r u u u r 分别用,AB AD u u u r u u u r 表示出来再相加即得．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形,且2DF FC =u u u r u u u r , 2233AF AD DF AD DC AD AB ∴=+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 又13BE BC =u u u r u u u r ,∴2233DE DC CE AB CB AB AD =+=+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 则22513333AF DE AD AB AB AD AB AD +=++-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 故选：D.【点睛】本题考查向量的线性运算，掌握向量加法减法和数乘运算法则是解题基础．10．D【解析】【分析】运行程序，当k 不是偶数时，退出循环，输出x 的值.【详解】由程序框图知，1k =，21log 0x x =⇒=，否112x ⇒=+=，2log 10x =>，是213x ⇒=+=，31log 32k =+=，是21log 0x x ⇒=⇒=， 否112x ⇒=+=，2log 10x =>，是224x ⇒=+=，32log 4k =+，否，输出4x =.故选：D.【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序框图计算输出的结果，属于基础题.11．B【解析】【分析】根据G 是三角形ABC 的重心得到0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r ，结合已知条件进行化简，求得sin sin sin A B C ==，由此判断出三角形ABC 是等边三角形，再结合三角形ABC 外接圆半径以及正弦定理，求得三角形ABC 的边长，由此求得三角形ABC 的面积.【详解】∵G 是ABC V 的重心，∴0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r， 则GA GB GC =--u u u r u u u r u u u r ，代入()()()sin sin sin 0A GA B GB C GC ++=u u u r u u u r u u u r 得，()()sin sin sin sin 0A B GB A C GC -+-=u u u r u u u r ，∵GB GC ⋅u u u r u u u r 不共线，∴sin sin 0A B -=且sin sin 0A C -=，即sin sin sin A B C ==，∴ABC V 是等边三角形，又ABC V 外接圆的半径为1，∴由正弦定理得，22sin 60a R ==︒，则a =∴244ABC S a ==△. 故选：B.【点睛】 本小题主要考查三角形重心的向量表示，考查正弦定理的运用，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12．A【解析】【分析】将已知条件转化为1,a q 的的形式列方程组，解方程组求得1,a q ，进而求得n a .利用12f ⎛⎫' ⎪⎝⎭求得切线的斜率，根据两条直线垂直的条件列方程，解方程求得k 的值.【详解】设数列{}n a 的公比为q ，由634a a a =，18128a a =得，523111711128a q a q a q a a q ⎧=⋅⎨⋅=⎩， 解得，11a =，2q =，∴12n n a -=，∵()2201220f x a x a x a x =++⋅⋅⋅+，∴()191220220f x a a x a x '=++⋅⋅⋅+，则191220111220222f a a a ⎛⎫⎛⎫'=+⋅+⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵111112122n n n n a ---⎛⎫⎛⎫⋅=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()1912202012011122012202102222f a a a +⎛⎫⎛⎫'=+⋅+⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由题设知，2101105k ⨯=-，∴12k =-. 故选：A.【点睛】 本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，考查导数与切线方程，考查两条直线垂直的条件，属于中档题.13．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】 画出可行域，11y z x -=+表示的是可行域内的点和()1,1B -连线的斜率，结合图像求得斜率的取值范围，也即求得z 的取值范围.【详解】作出不等式组230y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域，如图所示，11y z x -=+的最大值即为直线BA 的斜率12，最小值为直线BO 的斜率1-，故取值范围是11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本小题主要考查斜率型目标函数的取值范围的求法，属于基础题.14【解析】【分析】作出线面角α，β，θ，解直角三角形求得sin ,sin ,sin αβθ的表达式，由此求得sin sin sin αβθ++的值.【详解】连结1DA ，DB ，1DC ，由长方体的性质知，11A DB α∠=，1BDB β∠=，11C DB θ∠=，∵2221111124A B BB C B ++=，∴长方体的对角线1DB =∴11111111111111sin sin sin 3A B BB C B A B BB C B DB DB DB DB αβθ++++=++===.故答案为：3【点睛】本小题主要考查线面角的概念，考查运算求解能力，属于基础题.15．()(),22,-∞-+∞U【解析】【分析】利用导数判断出()f x 在R 上递减，且()01f =，由此化简不等式()()1f g x ⎡⎤<⎣⎦得到()0g x >，列对数不等式求得x 的取值范围，也即求得不等式()()1f g x ⎡⎤<⎣⎦的解集.【详解】∵()cos ,01,01x x x f x x x x -≤⎧⎪=-⎨>⎪+⎩，∴()()2sin 1,02,01x x f x x x --≤⎧⎪->+'=⎨⎪⎩， 则()0f x '≤，∴()f x 在R 上单调递减，又()01f =，∴不等式()1f g x <⎡⎤⎣⎦即为()()0f g x f <⎡⎤⎣⎦，则()0g x >，即()23log 30x ->， ∴231x ->，解得，2x >或2x <-，∴不等式()1f g x <⎡⎤⎣⎦的解集为()(),22,-∞-+∞U .故答案为：()(),22,-∞-+∞U【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查利用导数研究函数的单调性，考查复合函数不等式的解法，考查对数不等式的解法，属于中档题.16．16【解析】【分析】求得AB 中点D 的轨迹方程，将PA PB +u u u r u u u r 转化为2PD u u u r ，根据圆与圆的位置关系，求得PDu u u r 的最大值，也即求得PA PB +u u u r u u u r 的最大值.【详解】由题设知，圆1C 的圆心为()12,2C ，半径为2，圆2C 的圆心为()22,1C --，，过2C 作2C D AB ⊥交AB 于D ，则D 为AB 的中点， 且21C D ==，∴点D 的轨迹为圆3C ：()()22211x y +++=， 其圆心为()32,1C --，半径为1，由向量的平行四边形法则知，2PA PB PD +=u u u r u u u r u u u r ，∵135213C C ==>+=，∴圆1C 与圆3C 外离，则PD u u u r 的最大值为5218++=，PA PB +u u u r u u u r 的最大值是16.故答案为：16【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查向量运算，考查圆与圆的位置关系，属于中档题.17．（1）n b n =；（2）10【解析】【分析】（1）利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式，结合24n n a b n n =+求得数列{}n b 的通项公式.（2）根据等差数列前n 项和公式求得n T ，由此解不等式45n T >，求得n 的最小值.【详解】（1）∵223n S n n =+，∴当1n =时，115a S ==，当2n ≥时，()()22123213141n n n a S S n n n n n -=-=+----=+， 15a =也满足，∴41n a n =+；∵24n n a b n n =+，∴224441n n n n n n b n a n ++===+， 故数列{}n b 的通项公式为n b n =；（2）由（1）知，n b n =，∴12n n T b b b =++⋅⋅⋅+()11232n n n +=+++⋅⋅⋅+=， 由45n T >得，()1453n n +>，即2900n n +->， ∴9n >或10n <-（舍去），故当45n T >时，n 的最小值为10.【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查等差数列前n 项和，属于基础题.18．（1）证明见解析；（2）3【解析】【分析】（1）根据直径所对圆周角是直角，证得AF BF ⊥，根据圆柱侧棱和底面垂直，证得EF BF ⊥，由此证得BF ⊥平面ADEF ，进而证得平面ADEF ⊥平面BCEF .（2）首先证得DE ⊥平面BCEF ，即DE 是四棱锥D BCEF -的高，再根据锥体体积公式，计算出四棱锥D BCEF -的体积.【详解】（1）证明：∵F 在下底面圆周上，且AB 为下底面半圆的直径，∴AF BF ⊥，由题设知，EF AD ∥，又AD 为圆柱的母线，∴EF 垂直于圆柱的底面，则EF BF ⊥，又AF EF F =I ，∴BF ⊥平面ADEF ，∵BF ⊂平面BCEF ，∴平面ADEF ⊥平面BCEF ；（2）解：设圆柱的底面半径为r ，由题设知，2r π=π，∴2r =，则4CD =， ∵23DE DC =，23AF AB =，∴30∠=︒CDE ，又DE CE ⊥，∴122CE CD ==，DE = 由（1）知，DE ⊥平面BCEF ，∴DE 为四棱锥D BCEF -的高，又4AD BC ==， ∴1133D BCEF BCEF V S DE BC CE DE -=⋅=⋅⋅⋅1423=⨯⨯⨯=. 【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查锥体体积的计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19．（1）23；（2）ˆ 1.49.6y x =+；（3）是，合适 【解析】【分析】（1）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.（2）根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.（3）通过验证估计数据与所选出的检验数据的差均不超过1人，判断出所求回归直线方程为最佳回归方程.令18x =代入回归直线方程，求得$34.835y =<，由此判断合适.【详解】（1）设抽到不相邻两组的数据为事件A ，设这6组数据分别为1，2，3，4，5，6，从中选取2组数据共有：12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56共15种情况，其中，抽到相邻数据的情况有：12，23，34，45，56共5种情况，∴()521153P A =-=； （2）后四组数据是：∴1312151413.54x +++== 2926312828.54y +++==， 又4113291226153114281546i i i x y ==⨯+⨯+⨯+⨯=∑， 22222113121514734n i i x==+++=∑，∴122211546413.528.5ˆ 1.4734413.5ni ii n i i x y nx y b xnx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑， 则ˆˆ28.5 1.413.59.6ay bx =-=-⨯=， ∴y 关于x 的线性回归方程为ˆ 1.49.6yx =+；（3）由（2）知，当10x =时，ˆ23.6y=， ∴23.6231-<，当11x =时，ˆ25y=，∴25251-<， ∴求出的回归方程是最佳回归方程；当18x =时，ˆ 1.4189.634.8y=⨯+=， ∵34.835<，∴间隔时间设置为18分钟合适.【点睛】本小题主要考查古典概型的概率计算，考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，属于中档题.20．（1）2212x y +=；（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）利用正方形的面积和边长关系列方程组，结合222a b c =+解方程组求得2,,a b c 的值，进而求得椭圆的标准方程.（2）当直线l 斜率不存在时，根据对称性判断出22MPF NPF ∠=∠；当直线l 斜率存在时，设出直线l 的方程，联立直线的方程和椭圆方程，化简后写出韦达定理，计算0MP NP k k +=，由此证得22MPF NPF ∠=∠.【详解】（1）解：∵四边形1221B F B F 是面积为2的正方形，∴2222a b c ⎧=⎨=⎩， 又222a b c =+，∴1b c ==，则椭圆C 的标准方程是2212x y +=； （2）证明：由（1）知，()21,0F ，当直线l 的斜率不存在时，l x ⊥轴，则点M ，N 关于x 轴对称，此时有，22MPF NPF ∠=∠；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-，联立()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得， ()2222214220k x k x k +-+-=，设()11,M x y ，()22,N x y ， 则2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+， ∵()2,0P ，∴121222MP NP y y k k x x +=+-- ()()()()()()122112121222k x x k x x x x --+--=-- ()()1212121223424kx x k x x k x x x x -++=-++ 2222222222423421210224242121k k k k k k k k k k k -⨯-⨯+++==--⨯+++， 即MP NP k k =-，∴22MPF NPF ∠=∠.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.21．（1）6；（2）21,21e e e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭【解析】【分析】（1）求得()h x 在点()()1,1h 处的切线方程，根据切线的截距为2-列方程，解方程求得a 的值.（2）将方程()()()21g x xf x a x '=-+转化为()212ln 0ax a x x +--=，构造函数()()212ln H x ax a x x =+--，利用()'H x 研究函数()H x 在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,内的零点，结合零点存在性定理列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】（1）由题设知，()212ln 2h x ax x x =+-，0x >， 则()21212ax x h x ax x x+-'=+-=； ∴()11h a '=+，又()1122h a =+， ∴切点为()11,22a +， 则切线方程为()()12112y a a x --=+-， 令0x =，则112y a =-+， 由题设知，1122a -+=-， ∴6a =；（2）∵()2122f x ax x =+，∴()2f x ax '=+， 则方程()()()21g x xf x a x '=-+，即为()2ln 221x ax x a x =+-+， 即为()212ln 0ax a x x +--=； 令()()212ln H x ax a x x =+--，于是原方程在区间1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,内根的问题， 转化为函数()H x 在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,内的零点问题；∵()()1212H x ax a x'=+-- ()()()22121211ax a x ax x x x+--+-==； ∵0a >，∴当()0,1x ∈时，()0H x '<，()H x 是减函数，当()1,x ∈+∞时，()0H x '>，()H x 是增函数，若使()H x 在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,内有且只有两个不相等的零点， 只需()()()()()()()()222min 22121121011210121210e a e e a a H e e e e H x H a a a H e ae a e e e a e ⎧-++-⎛⎫=++=>⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪==+-=-<⎨⎪=+--=-+->⎪⎪⎩即可， 解得，2121e e a e +<<-， 即a 的取值范围是21,21e e e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查利用导数与切线方程求参数，考查利用导数研究方程的根，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.22．（1）π6α=或5π6α=；（2）1cos 2sin 2x y αα=-+⎧⎨=⎩（α为参数，π5π0,,π66α⎡⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭U ） 【解析】【分析】（1）将圆C 的极坐标方程转化为直角坐标方程，求得直线l 的直角坐标方程，根据圆心到直线的距离等于半径列方程，解方程求得直线l 的斜率，从而求得直线l 的倾斜角.（2）根据直线l 的参数方程，求得,,A B Q 三点对应参数的关系，结合韦达定理，求得点Q 的轨迹的参数方程.【详解】（1）∵圆C 的极坐标方程为1ρ=，∴C 的直角坐标方程为221x y +=，圆心为()0,0，半径为1r =；∵直线l 过点()2,0P -，倾斜角为α，∴当π2α=时，不合题意， 当π2α≠时，斜率为tan k α=， 则直线的方程为()2y k x =+，即20kx y k -+=，∵直线l 与圆C 相切，1=，解得，3k =±，即tan α=，∴π6α=或5π6α=； （2）∵直线l 与圆C 相交于不同两点A ，B ，∴由（1）知，π5π0,,π66α⎡⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭U ， 设A ，B ，Q 对应的参数分别为A t ，B t ，Q t ， 则2A B Q t t t +=， 将2cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入221x y +=得， 24cos 30t t α-+=，则4cos A B t t α+=，∴2cos Q t α=，又点Q 的坐标(),x y 满足2cos sin Q Q x t y t αα=-+⎧⎨=⎩， 即222sin 2cos sin x y ααα⎧=-+⎨=⎩，故点Q 的轨迹的参数方程是1cos 2sin 2x y αα=-+⎧⎨=⎩（α为参数，π5π0,,π66α⎡⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭U ）. 【点睛】本小题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查直线参数方程中参数的运用，属于中档题.23．（1）{}1x x ≥-；（2）(][),93,-∞-+∞U【解析】【分析】（1）利用零点分段法去绝对值，由此求得不等式的解集.（2）利用柯西不等式证得26a b c ++≤，由36x +≥求得实数x 的取值范围.【详解】（1）当22a b +=，1c x =+时， 不等式32x a b c +≥++为321x x +≥++，当3x ≤-时，321x x --≥--，31-≥，无解；当31x -<<-时，321x x +≥--，1x ≥-，无解；当1x ≥-时，321x x +≥++，33≥，∴1x ≥-； 综上，不等式的解集为{}1x x ≥-；（2）由柯西不等式得， ()()()22222222211a b c a b c ++≤++++，∵2226a b c ++=，∴()2236a b c ++≤，则26a b c ++≤；∵不等式32x a b c +≥++对所有实数a ，b ，c 都成立， ∴36x +≥，∴36x +≥或36x +≤-，则3x ≥或9x ≤-，故实数x 的取值范围是：(][),93,-∞-+∞U .【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查柯西不等式的运用，属于中档题.。