水力学4.1(2)欧拉运动微分方程(理想流体动力学)
水力学水动力学基础
• 单位时间微元内 x
方向动量的增加为
( u x ) t d xd yd z
流入动量
( u yu x ) y
p xx x
( u zu x ) z
p yx y
]d x d y d z
X d x d y d z (
p zx z
)d xd y d z
2
d ux dt
u x t
ux
u x x
uy
u x y
uz
u x z
X
1 p
x
1 p
u x
2
duy dt
d uz dt
u y t
u z t
ux
ux
u y x
u z x
uy
uy
u y y
u z y
uz
uz
u y z
u z z
Y
Z
y
1 p
u y
2
z
u z
2
方 程 组 封 闭
矢量形式
du dt u t (u )u f 1
p u
2
时变 惯性力
位变 惯性力
质量力
压差力
粘性力
三.理想流体的运动微分方程——欧拉方程
u y y
u z z
)
2
x2Biblioteka 2 y2 2
z
2 2
拉普拉斯算子
u x
2
0
不 可 压
对跟随其后的量求调和量
流体力学欧拉方程公式
流体力学欧拉方程公式流体力学中的欧拉方程公式可是个相当重要的家伙！它就像是流体世界的密码，能帮我们解开很多关于流体运动的谜团。
欧拉方程公式描述了无黏性流体的运动规律。
咱们先来说说它的表达式：$\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \vec{g}$ 。
这里面的每一项都有它独特的含义。
$\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}$ 这一项表示的是流体速度随时间的变化率，就好比你在操场上跑步，速度一会儿快一会儿慢，这个变化率就是在描述这种快慢的改变。
$(\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v}$ 这部分稍微有点复杂，它描述的是流体速度的空间变化对速度本身的影响。
想象一下河里的水，水流在不同位置速度不一样，这种速度的差异会影响整体的流动。
$-\frac{1}{\rho} \nabla p$ 这里的 $p$ 是压强，这一项表示压强梯度对流体运动的作用。
比如说，高压区的流体就会往低压区跑。
$\vec{g}$ 就是重力啦，很容易理解，在地球上，流体都会受到重力的影响。
给您讲讲我之前的一次经历，那回我去参观一个大型的水坝。
站在水坝边上，看着那汹涌奔腾的水流，我就在想，这背后不就是欧拉方程在起作用嘛！水从高处冲下来，速度越来越快，这就是重力在发挥作用。
而且不同位置的水速不同，也是因为水流所受的压力不同。
在实际应用中，欧拉方程公式可是大有用处。
比如说在航空领域，设计飞机的外形时，就得考虑空气这个流体的流动情况，通过欧拉方程来计算和优化，让飞机飞得更稳更快。
在水利工程中，像修建渠道、水闸，也得靠它来预测水流的情况，保证工程的安全和效率。
在研究气象的时候，欧拉方程也能帮上大忙。
预测风的走向、风速的变化，都离不开对流体力学的深入理解和运用欧拉方程公式进行的精确计算。
流体力学4-理想流体动力学
下标1 下标1、2为同一流线 上的任意两点
理想流体动力 学
二、拉氏积分和伯氏积分不同点： 拉氏积分和伯氏积分不同点： (１) 应用条件不同。 １ 应用条件不同。 拉格朗日积分只能用于无旋流运动， 拉格朗日积分只能用于无旋流运动， 伯努利积分既可用于无旋运动， 伯努利积分既可用于无旋运动，又 可用于有旋运动。 可用于有旋运动。 （２）常数Ｃ性质不同。 常数Ｃ性质不同。 拉格朗日积分中的常数在整个流场中不变 伯努利积分常数Ｃ 伯努利积分常数Ｃｌ只在同一根流线上不变
伯努利方程也表明重力作用下不可压缩理想流体 定常流动过程中单位重量流体所具有的位能、 定常流动过程中单位重量流体所具有的位能、动能和 压强势能可互相转化，但总机械能保持不变。 压强势能可互相转化，但总机械能保持不变。
理想流体动力 学
？讨论： 讨论：
实际流动中总水头线不是水平线， 实际流动中总水头线不是水平线，单位重量 流体的总机械能沿流线也不守恒, 为什么？ 流体的总机械能沿流线也不守恒, 为什么？
流体的质量力只有重力， 流体的质量力只有重力， U＝－ｇｚ p v p V ∂Φ z + + = − 或为 + = − gz + γ 2g
2
2
ρ
2
∂t
1 ∂Φ g ∂t
2.定常运动 2.定常运动
p V2 −U + + =C ρ 2
(通用常数) 通用常数)
3.对于理想、不可压缩流体、 3.对于理想、不可压缩流体、在重力作用 对于理想 下的定常无旋运动
理想流体动力 学
伯努力积分式
p
在重力场中Ｕ＝－ｇｚ 在重力场中Ｕ＝－ｇｚ
p V2 −U + + =C ρ 2
北航水力学 第四章理想流体动力学和恒定平面势流解读
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g
4.2.2 由动能定理推导理想流体的伯努利方程
推导过程同学们自学
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g
本公式是由动能定理推导而得，它使伯努利方程有更加明确的 物理意义，说明伯努利方程是一能量方程。
第三节 元流伯努利方程的意义和应用
4.3.1 沿流线的伯努利方程的水力学意义
可见，在同一流线上各点的流函数为一常数，故等流函数线就是流线。
2、平面内任意两点流函数值的差等于通过这两点连线的流量。
y ABdrBnA x
d r dxi dy j
n cos i sin j dy i dx j
dr dr V ui v j
dq V
ndr
u
dy dr
v
dx dr
等 线和等Ψ线，这两族曲线互相垂直，构
成流网。
两族曲线所构成的正交网络，称为流网
流网的特征：
流网
等 线和速度矢量垂直，或者说， 等 线与等Ψ线（流线）垂直，
【例题】
已知90度角域内无粘流动，速度分布
ux kx uy ky
(k 0, x 0, y 0)
求：（1）判断该流场是否存在速度势函数， 若存在请给出并画出等势线；
流动。但粘滞性对流动 的影响很微小时，影响可以忽略。 --机械能守恒
引入势流的意义：使问题简化。
波浪运动，无分离的边界层外部的流动，多孔介质的流动（渗流） 等等可以看为势流。
4.4.1 流速势函数
以二维流动为例，根据流体运动学，它与无旋流动等价
由 ux 0 无旋流的条件→涡量 z 0
流体运动的欧拉方程
流体运动的欧拉方程
欧拉方程是流体力学中的基本方程之一，它描述了在一个无粘流体
中的质量、动量和能量的变化。
欧拉方程是一组偏微分方程，包括质
量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
以下是这些方程的具体
表述和含义：
一、质量守恒方程：
质量守恒方程描述了在流体中任何一点的质量变化率。
它可以用以下
方程表示：
∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0
其中，ρ为流体密度，v为速度向量，t为时间，∇为向量算子。
该方程
表示一定体积内质量的变化只能通过流入和流出这个体积来实现。
二、动量守恒方程：
动量守恒方程描述了流体中的动量如何随时间和位置的变化而变化。
它可以表示为：
ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇p
其中，p为压力，v为速度向量，t为时间，∇为向量算子。
该方程表明，
流体的动量可以通过外部的力（例如重力）以及流体内部的压力来改变。
三、能量守恒方程：
能量守恒方程描述了流体中的能量如何随时间和位置的变化而变化。
它可以表示为：
∂(ρe)/∂t + ∇·(ρev + pv) = ∇·(k∇T) + Q
其中，e是单位质量流体的内能，T是温度，k是热传导率，Q是单位
质量流体的外部热源。
该方程表明，在外部热源的作用下，流体内部
的能量会发生变化，从而导致流体的温度和内部能量发生变化。
总之，欧拉方程是流体力学中的重要基本方程之一，用于描述流体中
质量、动量和能量的变化。
这些方程的应用范围广泛，例如在气象学、工程力学、地质学等领域都有重要的应用。
水力学 第四章 理想流体动力学和平面势流
§4—0 流体动力学定义
§4—1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程 §4—2 理想流体元流的伯努利方程 §4—3 恒定平面势流
第四章 理想流体动力学和平面势流
1
§4—0 流体动力学
1、流体动力学（hydrodynamics或fluid dynamics）
是研究流体运动与力之间的规律及其在工程中的应用的科学。
4
2、欧拉运动微分方程
加速度表示式按欧拉运动描述展开为
（1）欧拉运动微分方程
欧拉运动微分方程： 非定常，非线性，一阶偏微分方程组 。
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
5
2、欧拉运动微分方程
（2）恒定流的欧拉运动微分方程
当恒定流时
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
6
3、欧拉运动微分方程和求解条件
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
15
4-1-3 葛罗米柯运动微分方程的应用—伯努利方程 1、 伯努利方程的推导条件
（1）流体是不可压缩均质的理想流体，密度为常数
（2）质量力是有势的；则
（3）恒定流；则
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
16
2、克罗米柯方程积分——伯努利方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2、理想流体的动压强与流体静压强一样亦具有两个特性。
即： （1）动压强的方向总是沿着作用面的内法线方向； （2）理想流体中任一点的动压强大小与其作用面的方位无关。
3、理想流体的动压 强与流体静压强沿 过流断面分布之不 同：
——运动存在惯性力。
静水压强分布
静、动
动水压 强分布 动水
第04章理想流体动力学
y
2 t
（4-3）
(U p v2 ) 0
z
2 t
括弧内函数不随空间坐标(ｘ，ｙ，ｚ)变化,
只可能是时间的函数。
所以
p v2
U F (t)
2 t
（4 - 4）
若流体的质量力只有重力，取ｚ轴铅直向上，
有U＝－ｇｚ，故
gUz
p
v2 2
t
F (t)
（4
- 4'）
7
t
为书写简单，引入 F (t)dt 0
分常数Ｃ 只在同一条流线上不变，不同流线取 l
值不同，称为流线常数或者说拉氏积分在整个空 间成立，而伯氏积分只在同一条流线上成立。
18
为了工程上的应用，现将伯氏方程推广到 有限大的流束。
渐变流动:流线近似平行，而且流线的曲率很小 的流动，否则称为急变流动。
渐变流动特点：(z p) 项在整个过水（过流） 断面上为常数。
z p 称为静压
v2 称为动压
2
28
伯努利方程的应用
实例一：小孔口出流（如水桶壁上破一洞） 图示容器装有液体，在重力作 用下从小孔流出。求流量。
设小孔面积比容器中液面 面积小很多，液面高度ｈ近似 认为不变（近似为定常流），
不计流体粘性，此时流体的质量力只有重 力。满足伯氏方程来求解的前提。
29
取小孔轴线为基准，整个容器看成一个大流管 取容器液面为截面
将Φ对ｘ，ｙ，ｚ求偏导数，仍为速度的投影
x
x
Vx
y
y
Vy
z
z
Vz
引入Φ后，式（４-４）可改写成：
U p V 2
2
t
（４-5）
8
若流体的质量力只有重力，式（4 - 4'）可写成：
流体力学 第四章 流体动力学基础(1)
h
势能积分
1 Q
p z A udA g
均匀流或渐变 流过水断面上
(Z p )C g
A
1 p p (z )vA z Q g g
动能积分
1 Q
A
u3 dA 2g
v→u，
a
u3dA
v3 A
动能校正系数,1.05~1.1
1 v 3 A 2Qg
Δh pb/ ρg pa/ ρg
的压强PA称为全压，在入口前同一
水平流线未受扰动处（例如b点） 的液体压强为 PB，速度为u。
b
a
应用伯努利方程于同一流线上的Ｂ、Ａ两点，则有
pB u 2 pA z z 0 g 2 g g
p A pB u h g g 2 g
pA pB u 2 2 gh
二、能量方程的应用条件
如果用H表示单位液体的总机械能，即： 能量方程可简写为：
2 2 p1 1v1 p2 2v2 z1 z2 hw g 2 g g 2 g
2 p v H z g 2g
H1 H 2 hw
1．液体为恒定流，且液体是不可压缩的。 2．作用于液体上的质量力只有重力； 3．所取的两个断面为渐变流流动，但在两个断面之间可以不是渐变流； 4．两个断面之间的液体没有外界能量的加入或内部能量的取出； 5．能量方程在推导过程中流量是沿程不变的，前后两个断面是指同一 股液流；
一、理想液体恒定元流能量方程
根据能量守恒定律（功能原理），取不可压缩无粘性流体恒定流动这 样的力学模型，推证元流能量方程。 能量守恒定律（功能原理）：合外力对流体做功等于流体动能增量。
1 1 2 2 W E mv mv 0 2 2
流体力学中三大基本方程
（ d t） d x d y d zd x d y d z d td x d y d z
t
t
单位时间内，微元体质量增量：
dtdxd/dyt dzdxdydz
t
t
（微团密度在单位时间内的变率及微团体积的乘积）
⑶根据连续性条件：
t x （ x ） y （ y） z （ z） 0
ax
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
ay
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
az
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程：
得x方向上的运动微分方程：
d d txd x d y d z p xd x d y d z fx d x d y d z
单位体积流体的运动微分方程：
dx
dt
同理可得在单位时间内沿y，z方向流出 及 流入控制体的质
量差为
vy
d
x
d
yd和z
vz
dxdydz
y
z
故单位时间内流出及流入微元体流体质量总变化为：
x （ x） y （ y） z（ z） dxdydz
⑵控制体内质量变化：
因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dt时间内：
pxfx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
同理可得y,z方向上的：
流体力学 欧拉方程
流体力学欧拉方程引言流体力学是研究流体运动规律和性质的一门学科，而欧拉方程是流体力学中的基本方程之一。
欧拉方程描述了流体在运动过程中的力学行为，对于理解和预测流体运动有着重要的意义。
本文将全面、详细地探讨欧拉方程的基本原理、数学表达及其应用。
欧拉方程的基本原理欧拉方程是由瑞士数学家欧拉在18世纪提出的，它是在假设流体为连续介质的情况下建立起来的。
欧拉方程是基于牛顿力学的基本原理，即质点受到的合力等于质量乘以加速度。
而对于连续介质，我们可以将其视为无数个微元组成的系统，每个微元都受到一定的压力和惯性力的作用。
欧拉方程的数学表达欧拉方程的数学表达形式为：∂u ∂t +u⋅∇u=−1ρ∇p+g其中，u表示流体的速度矢量，t表示时间，ρ表示流体的密度，p表示流体的压力，g表示外力（如重力）矢量。
上述方程中的第一项表示流体的加速度，第二项表示速度的梯度，第三项表示压力梯度，第四项表示外力对流体的作用。
欧拉方程的应用欧拉方程是流体力学中的基本方程，其应用广泛且重要。
以下是一些欧拉方程的应用场景：1. 飞行器气动力学欧拉方程可以用于分析和设计飞行器的气动外形和气动性能。
通过求解欧拉方程，可以预测飞行器的气动力学特性，如升力、阻力和气动力矩等，从而优化飞行器的设计。
2. 水力学欧拉方程在水力学中起着重要的作用。
例如，通过求解欧拉方程，可以研究水流的涡旋现象、流速分布以及水波的传播速度等。
这对于治理河流、设计水利工程以及预测水灾等方面具有重要的意义。
3. 燃烧动力学在燃烧动力学中，欧拉方程常被用于数值模拟燃烧过程。
通过求解欧拉方程，可以获得燃烧产物的浓度分布、温度分布以及燃烧速率等。
4. 天气预报欧拉方程还被应用于天气预报中。
通过将大气视为连续介质，可以利用欧拉方程描述大气中的气流运动，从而进行天气模拟和预测。
总结流体力学中的欧拉方程是描述流体力学行为的重要方程之一。
本文简要介绍了欧拉方程的基本原理和数学表达，并探讨了其在飞行器气动力学、水力学、燃烧动力学以及天气预报等方面的应用。
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p
(4.5)就是著名的理想流体中,沿流线的伯努利积分.
4.2.2在重力场中的理想流体伯努利方程
表明:对不可压缩,均质理想流体,在有势力的作用下, u p ( U ) 保持 作恒定流时,在同一条流线上 2 不变,但对不同的流线, C一般不同.
2
当质量力只有重力时, 取 z 轴铅直向上, 则 X=0, Y=0, Z=-g, 于是 dU=Xdx+Ydy+Zdz=-gdz U=-gz+C2
4 理想流体动力学
理想流体 仅有连续性方程远远不能解决实际 问题,如:作用力,能量问题等
本章主要任务:
推导理想流体的欧拉运动微分方程, 在此基础上讨论伯努利方程的推导 以及它的意义和应用
4.1 欧拉运动微分方程
4.1.1 欧拉运动微分方程的推导
4.2 理想流体恒定元流的伯努利方程
4.2.1 理想流体伯努利积分条件 4.2.2 在重力场中的理想流体伯努利方程 4.2.3 由动能定理推导伯努利方程
(2.3) P9
(4.2)式中有四个未知数, ux, uy, uz, p, 但只有三个方 程,要与连续性方程联合求解,再结合具体的边界条 件,得出给定条件下的压强,以及流速的变化规律.
4.2.1 理想流体伯努利积分条件
目前数学上还不能对欧拉运动微分方程进行普 遍积分,必须给一定的限制条件. 1. 恒定流,
压强p (x，y，z，t), 密度ρ
4.1.1 欧拉运动微分方程的推导
分析作用于微小六面体上的力:因为是理想流 体,无粘滞性,不存在切力,所以表面力只有动水 压力(为简便这里只推导X方向)
►1.表面力:
动水压力, 左面:
p x (p )yz x 2
►2.质量力:
Xxyz
p x )yz 右面: ( p x 2
u x u y u z p 0 t t t t
2. 流体为不可压缩的均质流体, ρ=常数 3. 质量力为有势力, 力势函数为U( x, y, z), 且有:
U U U X ,Y ,Z x y z
4. 沿流线积分, 即有: u x dx , u y dy , u z dz
4.1.1 欧拉运动微分方程的推导
根据牛顿第二定律: F ma , x方向 FX max
du x p x p x (p )yz ( p )yz Xxyz xyz x 2 x 2 dt
化简得: 同理可得:
1 p du x X x dt
4.1.1 欧拉运动微分方程的推导
推导的原理： 流体的运动遵循 牛顿第二定律
4.1.1 欧拉运动微分方程的推导
如图，运动的理想流体 中,观察一微小六面体所 包含的流体微团,各边长 δx,δy,δz,在运动中保持不 变,某一时刻,微小六面体 的形心为M(x，y，z)， t 时刻M点的流速
图4.1
u (u x , u y , u z )
(4.7)
4.2.2在重力场中的理想流体伯努利方程
2 u12 p2 u 2 z1 z2 2g 2g
p1
(4.7)
(4.7)式即为理想流体的伯努利方程
适用于不可压缩均质的理想流体,作恒定流时, 同一条流线上的任意两点,并不是流场中的任 意两点.
因为流线是元流的极限情况,所以理想流体沿流线 的伯努利方程对元流同样适用.
dt dt dt
4.2.2在重力场中的理想流体伯努利方程
1 p du x X x dt 1 p du y Y y dt 1 p du z Z z dt
(4.2)
将欧拉运动微分方程(4.2)式分别乘以dx, dy, dz再 相加得
du y du x 1 p p p du z ( Xdx Ydy Zdz ) ( dx dy dz ) dx dy dz x y z dt dt dt
利用以上积分条件得
4.2.2在重力场中的理想流体伯努利方程
利 u x du x u y du y u z du z x y z
化简得
即 所以
1 2 2 dU d ( ) (du x du y du z2 ) 2 p 1 2 u2 dU d ( ) du d ( ) 2 2 u2 p (4.5) U C1 2
4.2.3 由动能定理推导伯努利方程
(自学)
图4.2 伯努利方程是一能量方程
1 p du y Y y dt
(4.2)
Z
1 p du z z dt
(4.2)式为欧拉运动微分方程
4.1.1 欧拉运动微分方程的推导
(4.2)式中,若ux=uy=uz=0 ,则得欧拉平衡微分方程:
1 p X 0 x 1 p Y 0 y 1 p Z 0 z
4.2.2在重力场中的理想流体伯努利方程
U=-gz+C2 代入(4.5)
u2 p ( gz C2 ) C1 2
简化得
u2 z C 2g p
(4.6)
对于同一条流线上的任意两点1,2有:
2 u12 p2 u 2 z1 z2 2g 2g
p1