2-5矩阵的初等变换与初等矩阵
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2-5初等变换
此定义还可表示为：若 P s P1 A Q 1 （其中P和Q是初等矩阵）,则A等价于B。
Qt B
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1 0 4
2 4 2 A
3 5 2
[2，3]
1 4 0
2 2 4 B
3 2 5
3<1>
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1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 0 1 0 4 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1
1 0 0 1 0 0
0 0
？
1
0 1 4
0 1 1 0 0 0
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1 0 0 1 0 0 1 0 4
0 1 0 0 1 0 2 4 2
0 0 2
2[3] 2<3>
2 4 2 0 1 0 3 1 5 0 2 ×2 8 0 1 0 0 4 2 2 4 2 2 4 4 3 5 4
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四、初等变换法求逆矩阵 步骤：(1)做一个 n 2 n 矩阵 ( A I n ) (2)对 ( A I ) 施行初等行变换，使A 化成 I ，即
(A I)
(I B)
(3)取出
B
,即为
A
1
【仿P132，例8】 【仿P133，例9】
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1、初等变换 对矩阵施以下列3种变换，称为矩阵的初等变换。
二、等价 定义： B : A 初等变换 B A 注（1）等价矩阵不唯一。
P s P1 A Q 1 Q t B
矩阵的初等变换与初等矩阵
§2.2 矩阵的初等变换与初等矩阵1．矩阵的初等变换定义2.1 下列三种变换称为矩阵的初等列变换： （1）交换矩阵的第,i j 列，用i j c c ↔记之； （2）用非零数k 乘矩阵的第i 列，用i kc 记之；（3）把矩阵的第i 列的k 倍加到第j 列，用j i c kc +记之。
矩阵的初等行变换与列变换，统称为矩阵的初等变换。
如果矩阵A 经过有限次初等(行，列)变换，化为矩阵B ，就称矩阵A 与B (行，列)等价，记作~A B 。
矩阵的等价具有以下性质： （1）反身性 ~A A ；（2）对称性 如果~A B ，则~B A ；（3）传递性 如果~A B ，~B C ，则~A C 。
利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化为行最简形，从而得出方程组的解。
可见，讨论矩阵的某种结构简单、而形式特定的等价矩阵，在理论和实际应用上都是必要而有价值的。
对矩阵的行最简形再施行初等列变换，可得到一种结构最为简单的形式。
以§A 为例，矩阵A 的行最简形为11610039210103910001300000⎛⎫⎪⎪⎪-⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭，再经初等列变换344151425253116211,,,,,39393c c c c c c c c c c c c ↔---++化为10000010000010000000⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭F 。
称矩阵F 为矩阵A 的等价标准形。
定理 2.1 矩阵()ij m n a ⨯=A 经过有限次初等变换可化为如下的等价标准形：()()()()rr n r m r r m r n r ⨯--⨯-⨯-⎛⎫=⎪⎝⎭I O F O O ，其中下方及右边的零行，零列可能空缺。
由行列式的性质可知，行列式不为零的方阵，其等价矩阵的行列式也不为零。
由此可得以下结论：可逆矩阵的等价矩阵也为可逆矩阵；可逆矩阵的行最简形就是等价标准形，且一定是单位矩阵。
2．初等矩阵定义2.2 由单位矩阵经一次初等变换而得的矩阵称为初等矩阵。
2-5初等变换与初等矩阵
1 1 1 1 1 1 1 1 r3 ( 1) r1 2 1 5 2 2 1 5 2 3 2 6 3 2 1 5 2
1 1 1 1 r3 ( 1) r2 2 1 5 2 0 0 0 0
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等变换: (1) 以数k≠0乘矩阵某一行(列)中的所有元素; (2) 把矩阵的某一行(列）所有元素的k倍加到另一行 (列）对应的元素上去;
(3) 对调矩阵的两行(列).
※ 矩阵初等行变换与初等列变换,统称为初等变换. （Elementary Transformations ）
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注意到这些初等变换不改变B的第1行及第1列的元素.至此， 已将矩阵A化为
1 0 C 0 0
0 1 0
0 0 c33
0 cm 3
0 0 c3n , cmn
如此继续下去，最后必能得到一个标准形矩阵.根据等价 的定义，显然A ≌ D.
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初等行变换的背景
刘徽注释《九章算术》说，“ 程，课程也．二物者再程，三物者 三程，皆如物数程之，并列为行， 故谓之方程．” 古代是将它用算筹布置起来解 的（如下图所示），图中各行由上 而下列出的算筹表示 x，y，z 的系 数与常数项．一次方程组各未知数 的系数用算筹表示时好比方阵，所 以叫做方程．
1 1 1 1 1 r1 (1) r2 r3 ( 1) r2 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 ( 1) r3 c3 3c2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 4 1 1 0 0 0 c3 ( 4) c1 1 3 0 0 1 3 0 c4 ( 1) c1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E2 O 0 0 O O 0 0
2.5矩阵的初等变换与初等方阵
等价关系的性质： 等价关系的性质：
（） 反身性 A ≅ A； 1
（）对称性 若 A ≅ B , 则 B ≅ A; 2 （）传递性若 A ≅ B,B ≅ C,则 A ≅ C. 3
由单位矩阵E经过一次初等变换得到的 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的 矩阵称为初等方阵。 矩阵称为初等方阵。 我们对n阶单位矩阵 施行三种初等变换得到以 我们对 阶单位矩阵E施行三种初等变换得到以 阶单位矩阵 下三类n阶初等方阵 阶初等方阵。 下三类 阶初等方阵。
3．上述三种变换都是可逆的． ．上述三种变换都是可逆的．
若( A)
若( A)
i
↔
j
(B ), 则(B )
i
↔
j
( A);
i
i
×k +k
j
(B ), 则(B )
(B ), 则(B )
i
i
÷ k ( A);
若( A)
−k
j
( A).
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 由于三种变换都是可逆的， 方程组与变换后的方程组是同解的． 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换． 变换是同解变换．
(2)设A是n阶可逆矩阵，B是m×n矩阵，求出矩阵 设 是 阶可逆矩阵 阶可逆矩阵， 是 × 矩阵 求出矩阵X 矩阵， 满足XA=B。 满足 。
方法： 化成(E 方法：用初等行变换把 (AT,BT)化成 n, (BA-1) T)， 化成 ， 可求出X 可求出 T= (BA-1) T. 具体过程： 具体过程： (A T,B T) → (En,X T)。 。
（第 i 行乘 k , 记作 ri × k）
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 同理可定义矩阵的初等列变换 所用记号是 换成“ ． 把“r”换成“c”)． 换成 定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 矩阵的初等列变换 初等行变换统称为 初等列变换与 定义 初等变换． 初等变换．
（） 反身性 A ≅ A； 1
（）对称性 若 A ≅ B , 则 B ≅ A; 2 （）传递性若 A ≅ B,B ≅ C,则 A ≅ C. 3
由单位矩阵E经过一次初等变换得到的 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的 矩阵称为初等方阵。 矩阵称为初等方阵。 我们对n阶单位矩阵 施行三种初等变换得到以 我们对 阶单位矩阵E施行三种初等变换得到以 阶单位矩阵 下三类n阶初等方阵 阶初等方阵。 下三类 阶初等方阵。
3．上述三种变换都是可逆的． ．上述三种变换都是可逆的．
若( A)
若( A)
i
↔
j
(B ), 则(B )
i
↔
j
( A);
i
i
×k +k
j
(B ), 则(B )
(B ), 则(B )
i
i
÷ k ( A);
若( A)
−k
j
( A).
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 由于三种变换都是可逆的， 方程组与变换后的方程组是同解的． 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换． 变换是同解变换．
(2)设A是n阶可逆矩阵，B是m×n矩阵，求出矩阵 设 是 阶可逆矩阵 阶可逆矩阵， 是 × 矩阵 求出矩阵X 矩阵， 满足XA=B。 满足 。
方法： 化成(E 方法：用初等行变换把 (AT,BT)化成 n, (BA-1) T)， 化成 ， 可求出X 可求出 T= (BA-1) T. 具体过程： 具体过程： (A T,B T) → (En,X T)。 。
（第 i 行乘 k , 记作 ri × k）
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 同理可定义矩阵的初等列变换 所用记号是 换成“ ． 把“r”换成“c”)． 换成 定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 矩阵的初等列变换 初等行变换统称为 初等列变换与 定义 初等变换． 初等变换．
线性代数 2-5 矩阵的初等变换和初等矩阵
所以 A Ps1 P11IQt 1 Q11 Ps1 P11Qt 1 Q11 .
"" 因为初等矩阵可逆，所以充分性显然。.
设 Ann 可逆， 则存在初等矩阵P1 , Pm , 使 I Pm P1 A
所以 A1 Pm P1 Pm P1I
0
0
2
1
0
1
1(2)(1) 1 12(3) 0
0
0 1 0
1 0 1
2
1 1
2
1 1 0
0
1
0 1
2
1(3)(1) 0
0
0 1 0
0 0 1
5
2 1 1
2
1 1 0
1 2 0 1
.2
0L L L 1
i
Eij
M1
M
M
O
M
M
1M
1L L L 0
j
1
O
1
将单位矩阵的第i，j行（列）对换而得到；.
三、初等矩阵与初等变换的关系 例１ 计算下列初等矩阵与矩阵
A (aij )3n , C (cij )32 , B (bij )33 的乘积：
B ( AT A 2 AT )1
1 0 0 1 1 0 0
0
1
2
0
3
2
.
0 2 3 0 2 1
注意
1 用初等行变换法求逆,只能对(A I)进行行变换
"" 因为初等矩阵可逆，所以充分性显然。.
设 Ann 可逆， 则存在初等矩阵P1 , Pm , 使 I Pm P1 A
所以 A1 Pm P1 Pm P1I
0
0
2
1
0
1
1(2)(1) 1 12(3) 0
0
0 1 0
1 0 1
2
1 1
2
1 1 0
0
1
0 1
2
1(3)(1) 0
0
0 1 0
0 0 1
5
2 1 1
2
1 1 0
1 2 0 1
.2
0L L L 1
i
Eij
M1
M
M
O
M
M
1M
1L L L 0
j
1
O
1
将单位矩阵的第i，j行（列）对换而得到；.
三、初等矩阵与初等变换的关系 例１ 计算下列初等矩阵与矩阵
A (aij )3n , C (cij )32 , B (bij )33 的乘积：
B ( AT A 2 AT )1
1 0 0 1 1 0 0
0
1
2
0
3
2
.
0 2 3 0 2 1
注意
1 用初等行变换法求逆,只能对(A I)进行行变换
矩阵的初等变换和初等矩阵
23xxx111
x2 3x2 6x2
2x3 x3 9x3
x4 x4 7 x4
4 2 9
增广矩阵的比较
B
2 1 4 3
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
42 94
B2
1 2 2 3
1 1 3 6
2 1
1 9
1 1 1 7
24 92
显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2
即 方程③两端乘以(1/2) B的第3行乘以(1/2)
E1ij(k)Eij(-k)
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四、初等矩阵与初等变换的关系
设A是一个mn矩阵 对A施行一次初等行变换 相当于在 A的左边乘以相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵
3 0 1
例如
设
A 10
1 1
4 4 9
①②
①②
x1 x2 2x3 x4 4
423xxx111
x2 6x2 6x2
x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
2 4 9
增广矩阵的比较
B
21 43
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
42 94
1 1 2 1 4
B1
2 4 3
1 6
6
1 2 9
1 2
7
2 94
[i,j]
以数k乘第i行加到第j行上 记作 [i(k)j]
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三、初等矩阵
例如，对于3阶单位矩阵E
2.5矩阵的初等变换(重庆工商大学-钟润华老师所编)
1 0 A2 0 0
4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0
0 1 0
c3 c4 c4 c1 c2 c5 4c1 3c2 3c
1 1 0 0 0 0 3 0 0 0
0 0 1 0 00 00 0 1 0 1 11 00 0 0
i列
j列
1 1 k i行 E ( i , j ( k )) 1 j行 1
消去阵
12
注： (1)
| E(i, j ) | 1,| E(i(k ) | k ,| E(i, j (k )) | 1.
Or ( n r ) O( m r )( n r )
9
二、初等矩阵及其性质
定义2.15 n 阶单位矩阵 E，经过一次初等变换所得
到的矩阵，称为 n 阶初等矩阵.
(1) 交换E的 i, j 两行或两列:
1 0 1 1 1 1 0 1
若 A 可逆，则 X A1 B.
2 3 2 5 2 1 3 1 4 3 4 3 2 3 2
5 2 5 1 9 2 6 2 12
24
3 2 5 1 2 r2 2r1 0 2 5 1 9 r3 3r1 0 2 6 2 12
r2 2 r3 5 r2 r4 3r2
4 1 1 1 1 0 r 1 r 0 4 3 2 0 0 2 6 0 0 0 1 3 0
4 1 1 1 0 A1 0 0 2 6 0 0 0 0 1
2-5矩阵的初等变换
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2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第 i行( ri k )，得初等 矩阵E ( i ( k )).
1 1 E ( i ( k )) k 1 1
第i 行
上页
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3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
0 0 , 0 0
即f ( A) 0.
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矩阵方程
AX B XA B
AXB C
解
X A1 B X BA1 X A1 C B1
上页
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A 0 例2 设A, B都是n阶可逆矩阵, 证明D C B 必为可逆矩阵, 并求D的逆矩阵.
1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一 行（列）上去．
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1、 对调两行或两列 对调 E 中第 i , j 两行，即 ( ri rj )，得初等方阵
1 1 0 1 第i 行 1 E (i , j ) 1 1 0 第 j 行 1 1
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( ri krj ) [或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )， 1 第i行 1 k E ( ij ( k )) 第j行 1 1
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(2)定理 方阵 A 可逆 A 经过有限次初等变换化为单位矩阵 E 推论1 方阵A可逆
A 可表示为若干个初等矩阵的乘积
初等变换与初等矩阵
上面的“和” 字换成分块线），左乘初等矩阵（即进行初等行变换），最后求
⎡ A⎤ 出 A-1[见 P.68 例 2 的运算（有小错）]；也可把 A 和 I 做成列分块矩阵 ⎢⎢L⎥⎥ ，右
⎢⎣ I ⎥⎦ 乘初等矩阵（即进行初等列变换），最后求出 A-1（结果相同）．
作业(P.71)：1(1) ； 2(2) ； * 6(1).
和
⎢⎢⎢⎡−116
⎢2
⎢⎢⎣−
1 6
− 13 6 3
2 −1
6
4⎤
3
⎥ ⎥
−1⎥ ．
⎥
1⎥
3 ⎥⎦
即
A−1 = ⎢⎢⎢⎡−116
− 13 6 3
4⎤
3
⎥ ⎥
−1⎥ ．
⎢2 2
⎥
⎢⎢⎣−
1 6
−1 6
1⎥ 3 ⎥⎦
四.分块矩阵的初等变换（简介）
仍以上面求 A 的逆矩阵 A-1 为例，可把 A 和 I 做成行分块矩阵 [A M I ]（把
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣
1⎥⎦ ⎢⎣ Am ⎥⎦ ⎢⎣ Am ⎥⎦
2.[ 关于矩阵的等价标准形 ] 表述①任意矩阵 Am×n 都有自己的等价标准形
⎡ Ir ⎢⎣0 q ×r
0r × p 0q×p
⎤ ⎥ ⎦
，其中
0
≤
r
≤
min(m,
n)
；表述②对任意矩阵
Am×n
都存在有限个
m
阶
的初等矩阵 P1 、P2 、… 、P s 和 n 阶的初等矩阵 Q1 、Q 2 、… 、Q t 、、、，使得
⎡2 3 1⎤ 以 A = ⎢⎢0 1 3⎥⎥ 为例[P.68 例 2]，对 A 和 I 进行同样的初等行变换：
⎡ A⎤ 出 A-1[见 P.68 例 2 的运算（有小错）]；也可把 A 和 I 做成列分块矩阵 ⎢⎢L⎥⎥ ，右
⎢⎣ I ⎥⎦ 乘初等矩阵（即进行初等列变换），最后求出 A-1（结果相同）．
作业(P.71)：1(1) ； 2(2) ； * 6(1).
和
⎢⎢⎢⎡−116
⎢2
⎢⎢⎣−
1 6
− 13 6 3
2 −1
6
4⎤
3
⎥ ⎥
−1⎥ ．
⎥
1⎥
3 ⎥⎦
即
A−1 = ⎢⎢⎢⎡−116
− 13 6 3
4⎤
3
⎥ ⎥
−1⎥ ．
⎢2 2
⎥
⎢⎢⎣−
1 6
−1 6
1⎥ 3 ⎥⎦
四.分块矩阵的初等变换（简介）
仍以上面求 A 的逆矩阵 A-1 为例，可把 A 和 I 做成行分块矩阵 [A M I ]（把
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣
1⎥⎦ ⎢⎣ Am ⎥⎦ ⎢⎣ Am ⎥⎦
2.[ 关于矩阵的等价标准形 ] 表述①任意矩阵 Am×n 都有自己的等价标准形
⎡ Ir ⎢⎣0 q ×r
0r × p 0q×p
⎤ ⎥ ⎦
，其中
0
≤
r
≤
min(m,
n)
；表述②对任意矩阵
Am×n
都存在有限个
m
阶
的初等矩阵 P1 、P2 、… 、P s 和 n 阶的初等矩阵 Q1 、Q 2 、… 、Q t 、、、，使得
⎡2 3 1⎤ 以 A = ⎢⎢0 1 3⎥⎥ 为例[P.68 例 2]，对 A 和 I 进行同样的初等行变换：
2-5 矩阵的秩与矩阵的初等变换
（1）Dr中不含第i行； （2）Dr中同时含第i行和第j行； （3）Dr中含第i行但不含第j行；
12 上一页 下一页 返 回
对 (1),(2) 两种情形，显然B 中与 Dr 对应的 子式 Dr Dr 0,故 R(B) r.
对情形 (3)，
Dr ri rj ri rj Dr Dˆ r ,
定义5.5 由单位矩阵 E经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 互换两行或两列；
2.以数 0 乘某行或某列； 3.以数 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
29 上一页 下一页 返 回
1、互换两行或两列
互换 E 中第 i, j 两行，即(ri rj )，得初等方阵
证 由矩阵 A的所有k 1阶子式全为零， 故A的任一k 2阶子式按行（或列）展 开后知其必为零进，而全部高于k 1阶 子式皆为零，所以由定义有 R( A) k .
注：按定义求矩阵的秩需要计算行列式，故只 适用行、列较少的矩阵，对行、列较多的矩阵 比较困难，为此下面介绍一个简便方法。
8 上一页 下一页 返 回
r1 r4
0
4
3
1 1
r2 r4
2 3
0 2
1 0
5 3 5 0
26 上一页 下一页 返 回
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
r1 r4 r2 r4 r3 2r1 r4 3r1
4 8 4 8
r4 r3
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
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对 (1),(2) 两种情形，显然B 中与 Dr 对应的 子式 Dr Dr 0,故 R(B) r.
对情形 (3)，
Dr ri rj ri rj Dr Dˆ r ,
定义5.5 由单位矩阵 E经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 互换两行或两列；
2.以数 0 乘某行或某列； 3.以数 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
29 上一页 下一页 返 回
1、互换两行或两列
互换 E 中第 i, j 两行，即(ri rj )，得初等方阵
证 由矩阵 A的所有k 1阶子式全为零， 故A的任一k 2阶子式按行（或列）展 开后知其必为零进，而全部高于k 1阶 子式皆为零，所以由定义有 R( A) k .
注：按定义求矩阵的秩需要计算行列式，故只 适用行、列较少的矩阵，对行、列较多的矩阵 比较困难，为此下面介绍一个简便方法。
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r1 r4
0
4
3
1 1
r2 r4
2 3
0 2
1 0
5 3 5 0
26 上一页 下一页 返 回
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
r1 r4 r2 r4 r3 2r1 r4 3r1
4 8 4 8
r4 r3
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
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a21 a11
a22
a12
I 1 3
3
A
0
0 a11
1
a21
a12 a22
3a11 a21
3a12
a22
I
1
22
A
1 0
2 a11
1
a21
a12 a22
a11
2a21 a21
a12 2a22
a22
AI
1,
2
a11 a21
a12 0
0
1
(2)(3)
0
1
0
0
0 1 0
1 1 1
3 1 5
0 0 1
2
1
3 (1)
1 0 0 2 1 1
0
1
0
6
1
4
0 0 1 5 1 3
1 0 0 2 1 1
0
1
0
6
1
4
,
(1) 0 0 1 5 1 3
所以
2 1 1
B 1
6
1
4
5 1 3
定理2.2
一个可逆方阵
A
aij
经若干次
nn
初等行变换总可以化为单位矩阵In .
证明： 由于 A可逆，则至少有一个 ai1 0( 若 ai1
皆为零，则 A不可逆．) 设a11 0 (若 a11 0, ai1 0,
则可将第i行与第1行对调 ，从而使(1,1)元非零)，
先用
a 1 11
乘以第1行，再用
例3用初等行变换将下列矩阵化为行最简形矩阵.
2 1 2 3
1 0 1
•
（1）A
4
2
1 0
3 1
5 （2）
2
B
2 3
1 2
0 5
解（1）
2
1
2
(2) (1)
3
2 1 2 3
A
4
1
3
5
2 0 1 2
0
1
1
1
(1)(1)
0 1 1 1
2 0 1 2
0 0
1 0
1 0
01
(1) 2
例2
求线性方程组
2 x1 3 x2 x3 4 x1 2 x2 x3 3
的解.
3 x1 x2 3 x3 1
解 用矩阵初等变换法求解如下：
2 3 1 4
1
2
1
3
3 1 3 1
(2) (3)
1 2 1 3
2
3
1
4
3 1 3 1
1 2 1 3
0
1
1
2
0 7 6 10
j
k
=
1L O
k
1 O
第i行 第j行 1
定理2.3 设A是一个m ×n矩阵，对A施以一
次初等行变换, 等于用同种的m阶初等矩阵 左乘A；对A施以一次初等列变换，等于用 同种的n阶初等矩阵右乘A.
现仅以二阶为例进行验证.
I
1,
2
A
0 1
1 a11
0
a21
a12 a22
由例1不难看出，用消元法解线性方程组实 际是对对应的增广矩阵 A%进行如下三种行变换 （1）交换i , j两行； （2）i行×非零k； （3）j行×k加于第i行．
这三种变换分别称为矩阵的第一、第二、 第三种初等行变换．若把上述变换的“行”换 成“列”，就得到矩阵的三种初等列变换．矩 阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初
ai
1
第1行加于第i行
i 2,3,L , n,
于是A变成如下形状：
1 0
a1' 2 a2' 2
.... ....
a1' n a2' n
LL
0 a' .... a'
显然 ai'2 i 2,3,L ,n至少有一个不等于零，按
上述同样方法，总可以把第2列变成 0,1,L ,0T ，
依此下去，可逆矩阵总可以化为单位矩阵In .
也是同类初等矩阵.
推论2 可逆阵经初等变换后仍可逆. 证明 设A可逆，即 A 0, Q是任一与A同阶的
初等矩阵，即 Q 0, 对A进行初等行变换 ，相当于把A变成QA ，因为 QA Q A 0 , 所以QA仍可逆.
推论3 任一阶可逆矩阵可表示为若干初等
矩阵的乘积． 证明 根据定理2.2，可逆矩阵A经若干次初等
(1)
1
0
0 1
1 2 1
1
1
．
0
0
0
0
(2) 1 0 1 (2)(3) 1 0 1
1 0 1
B
2
1
0
3 2 5
0
0
1 0
2 2
(2)
0 0
1 2
2
2
(1) 2
1 0 1
1 0 0
0
0
1 0
2
1 (2)(1)
0
0
1 0
0
1
二、初等矩阵
对单位矩阵I施以一次初等变换而得到的矩阵 称为初等矩阵。初等矩阵有下列三种：
式(2-12)表明，可逆矩阵A可表示为若干初等矩
阵的乘积．
式(2-10),(2-11)则表明，初等行变换 P1, P2,L , Ps 在把变成单位矩阵的同时，也把单位矩阵In变成 了A的逆矩阵A-1，由此我们找到了求逆矩阵的 第二种方法，初等变换法．其思路是：
A I 初等 行变换 I A1
用右乘A时应理解为第i列乘以k加于第j列．
由定理2.1，定理2.2，定理2.3可推出如下结果：
推论1 初等矩阵皆可逆，且其逆矩阵仍是同 类初等矩阵．
证明 因为 I i, j 1, I i k k, I i j k 1,
所以I i, j，I i k，I i j k 都可逆, 且逆矩阵
I i, j1 I i, j，I i k 1 I i k1 ，I i j k 1 I i j k
1
0
2 9
5 8
,
1 0
2 1
5 2
,
1 0
0 1
1
2
称为行阶梯形矩阵，最后一个称为行最简形矩阵.
行阶梯形矩阵的特点是：非零行的第一个非 零元的列标大于上一行第一个非零元的列标；全 部零行都在非零行的下方．行最简形矩阵也是行 阶梯形矩阵，和一般行阶梯形矩阵相比，其特点 是：非零行的第一个非零元为1，且第一个非零元 所在列的其余元素全为零．
1 2 1 3
(1)
0
1
1
2
(7)
0 7 6 10
1 2 1 3
1 2 0 1
1 0 0 3
即
0
0
1 0
1 1
2
0
4 (1) 0
1 0
0 1
2 4
(2)
0 0
1 0
0 1
2 ， 4
即
( x1, x2 , x3 )T (3, 2, 4)T．
在例1中，形如(2-7)，(2-8)，(2-9)的方程组称 为行阶梯形方程组，其对应的增广矩阵
(5) (6)
(2-7)
(6) × (-1/9),得
x1
2x2 x2 2
5
(7) (8)
(2-8)
(8) × (-2)加于(7)消去第2列的2x2,得
x1 x2
1 2
(2-9)
上述用消元法求解线性方程组反复实施的仅 是如下三种同解变换：
（1）交换两个方程；
（2）用非零k乘以某个方程； （3）某方程乘以k加于另一方程。
1 0 0 1 0 0
0 0
1 0
0 1
2 1
1 2
0 1
1 0 0
A1
2
1
0
1 2 1
1 2 3 1 0 0(2)(1) 1 2 3 1 0 0
B
I
3
2
1
2
0
1
0
1 3 4 0 0 1
0 0
3 1
4 1
2 1
1 0
0 1
1
0
0
2 1 3
3 1 4
1 1 2
0 0 1
§5 矩阵的初等变换与初等矩阵
一、用消元法解线性方程组
例1
6
x1 x1
3 x2 2 x2
12 5
(1) (2)
(2-5)
交换(1),(2),得
6
x1 x1
2 x2 3 x2
5 12
(4) (3)
(2-6)
(3) × (-6)加于(4)，消去第1列的6x1，得
x1 2 x2 5 9x2 18
（1）变换I中的i，j两行得初等矩阵I(i，j)，即
1
O
0
L
1
第i行
1
I i, j
O
1
1L
0
第j行
O
1
I ik
（2）非零k乘I中第i行得初等矩阵 I i k，即
1
O
1
I
i
k
=
k
第i行
.
1
O
1
（3） k乘第j行加于第i行得初等矩阵 I i j k ，
即
1
O
I i
行变换可变为单位矩阵In，再根据定理2.3，初 等行变换等价于对应的初等矩阵左乘A，即存
在初等矩阵 P1, P2 ,L , Ps ，使
P1
P2
Ps