湖北省黄冈中学襄樊五中2020届高三数学理科11月联考试卷
湖北省黄冈中学2020届高三普通高等学校招生全国统一考试数学理科(含答案)
|
AF
|
⋅
|
BF
|
.”那么对于椭圆
E，问否存在实数
λ，使得 |
AF2
|
+
|
BF2=|
λ | AF2 | ⋅ | BF2 | 成
立,若存在求出 λ 的值;若不存在,请说明理由.
21. (12 分)已知函数 f (= x) ex−2 +1.
(1)求函数 f(2x)在 x=1 处的切线方程; (2)若不等式 f(x+y)+ f(x-y)≥mx 对任意的 x∈[0,+∞), y∈[0,+∞) 都成立,求实数 m 的取值范围.
2x)
2sin(2x
)
6
6
，由
2k≤2x ≤3 2k , k Z
k≤x≤ 5 k ,k Z
2
62
，解得 3
6
，即函数的增区间为
[
k , 5
k ], k Z
[, ]
3
ห้องสมุดไป่ตู้
6
，所以当 k 0 时，增区间为 3 2 ，选 D.
9．【答案】B【解析】作出不等式对应的平面区域，如图所示：
请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.
22. (10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程
x=
1+
3t
在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 2
(t 为参数).以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极
y = 1+ t
坐标系,圆 C 的极坐标方= 程为 ρ 2 cos(θ − π ) . 4
则
|
z |2 z
2020届湖北省部分高中11月份期中联考数学联考(理科)试卷【含答案】
4. 如图，点 A 为单位圆上一点， ，点 A 沿单位圆逆时针方向旋转角α
到点 ， 4 ，则 cosα=（ ）
A. 4 1
B. 4 1
C. 4 1
D. 4 1
5. 我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平
均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个 c 键到下一个 c1 键的
10. 定义在[0，+∞）上的函数 f（x）满足：当 0≤x＜2 时，f（x）=2x-x2：当 x≥2 时，f（x）=3f（x-2）．记
函数 f（x）的极大值点从小到大依次记为 a1，a2，…，an，…，并记相应的极大值为 b1，b2，…，
bn，…，则 a1b1+a2b2+…+a20b20 的值为（ ）
D. 험 2
2. 定义运算 험 =ad-bc，则符合条件 1 1 =4+2i 的复数 z 为（ ）
A.
B. 1
C.
D. 1
3. 已知 1， 2是不共线向量，AB=2 1+ 2，BC=- 1+3 2，CD=λ 1- 2，且 A，B，D 三点共线，则实数
λ等于（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
所以 S△OCD＝12absin2θ≤
2示2 【1ঔ െ 2
2
＝ 示
2
，即 S2＝ 示
．
(3)
1 －
2
1 ＝
1
2(tanθ－θ)，θ∈(0，2)，
令 f(θ)＝tanθ－θ，则 f ′(θ)＝( 示 െ
)′－1＝csoins22 ．
（7 分）
当θ∈(0，2)时，f ′(θ)＞0，所以 f(θ)在区间(0，2)上单调递增．
湖北省黄冈中学高三数学11月月考试题 理 新人教A版
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin(1920)-的值为（ ）A．2-B ．12-C．2D ．12解析：sin(1920)sin(2406360)sin(18060)-=-⨯=+，即原式sin 60=-，故选A ．答案：A2．命题“x ∀∈R ，20x >”的否定是（ ）A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．x ∃∈R ，20x >C ．x ∃∈R ，20x <D ．x ∃∈R ，20x ≤解析：全称命题的否定是特称命题，易知应选D ．答案：D3．已知集合{P =正奇数}和集合{|M x x ==,,}a b a P b P ⊕∈∈，若M P ⊆，则M 中的运算“⊕”是（ ） A ．加法 B ．除法C ．乘法D ．减法解析：由已知集合M 是集合P 的子集，设*21,21(,)a m b n m n =-=-∈N ，∵(21)(21)a b m n ⋅=--42()12[2()1]1mn m n mn m n P =-++=-++-∈，∴M P ⊆，而其它运算均不使结果属于集合P ，故选C ． 答案：C4．已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如下图所示，则这个几何体的体积是（ ）A. 8πB. 7πC. 2π`D.74π解析：依题意该几何体为一空心圆柱，故其体积2237[2()]124V ππ=-⨯=，选D ．答案：D5．已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线20x y -=和0x ay +=上，且AB 线段的中点为P 10(0,)a，则线段AB 的长为（ ） 俯视图正 视 图 侧视图A ．8B ．9C ．10D ．11解析：由已知两直线互相垂直得2a =，∴线段AB 中点为P (0,5)，且AB 为直角三角形AOB 的斜边，由直角三角形的性质得||2||10AB PO ==，选C ．答案：C6．已知各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为7112a a +的最小值为（ ）A ．16B ．8C ．D ．4解析：由已知24148a a ==，再由等比数列的性质有4147118a a a a ==，又70a >，110a >，71128a a +≥=，故选B ．7．设函数2,0(),01x x bx c f x x ≥⎧++=⎨<⎩，若(4)(0)f f =，(2)2f =，则函数()()g x f x x=-的零点的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3解析：已知即164422b c c b c ++=⎧⎨++=⎩，∴46b c =-⎧⎨=⎩，若0x ≥，则246x x x -+=，∴2x =，或3x =；若0x <，则1x =舍去，故选C ．答案：C8．给出下列的四个式子：①1a b -，②1a b +，③1b a +，④1ba-；已知其中至少有两个式子的值与tan θ的值相等，则（ ） A ．cos 2,sin 2a b θθ== B ．sin 2,cos 2a b θθ== C ．sin,cos22a b θθ==D ．cos,sin22a b θθ==解析：sin sin 21cos2tan ,cos2,sin 2cos 1cos2sin 2a b θθθθθθθθθ-===∴==+时，式子①③与tan θ的值相等，故选A ．答案：A9．设集合(){}(){},|||||1,,()()0A x y x y B x y y x y x =+≤=-+≤，M AB =，若动点(,)P x y M ∈，则22(1)x y +-的取值范围是（ ）A ．15[,]22B ．5]22C ．1[,22D ．22解析：在同一直角坐标系中画出集合A 、B 所在区域，取交集后如图，故M 所表示的图象如图中阴影部分所示，而22(1)d x y =+-表示的是M 中的点到(0,1)的距离，从而易知所求范围是15[,]22，选A ．10．已知O 为平面上的一个定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三个动点，点P 满足条件2OB OC OP +=(),(0,)||cos ||cos AB ACAB B AC Cλλ++∈+∞，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心解析：设线段BC 的中点为D ，则2OB OCOD +=，∴2OB OC OP +=()||cos ||cos AB ACAB B AC Cλ++()||cos ||cos AB ACOD AB B AC Cλ=++，∴()||cos ||cos AB ACOP OD DP AB B AC Cλ-=+=，∴()()||cos ||cos ||cos ||cos AB AC AB BC AC BCDP BC BC AB B AC C AB B AC Cλλ⋅⋅⋅=+⋅=+||||cos()||||cos ()(||||)0||cos ||cos AB BC B AC BC CBC BC AB B AC Cπλλ-=+=-+=，∴DP BC ⊥，即点P 一定在线段BC 的垂直平分线上，即动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的外心，选C ． 答案：C二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案直接填在题中横线上． 11．1220x e dx =⎰______________．解析：1122220011|(1)22xx e dx e e ==-⎰．答案：1(1)2e - 12．定义运算a cad bc b d=-，复数z 满足11z i i i=+，则复数z 的模为_______________．解析：由11z i i i=+得1212izi i i z i i+-=+⇒==-，∴z ==．13．已知方程22220x y kx y k ++++=所表示的圆有最大的面积，则直线(1)2y k x =-+的倾斜角α=_______________．解析：1r =≤，当有最大半径时有最大面积，此时0k =，1r =，∴直线方程为2y x =-+，设倾斜角为α，则由tan 1α=-且[0,)απ∈得34πα=．答案：34π14．已知函数2()mf x x -=是定义在区间2[3,]m m m ---上的奇函数，则()f m =_______．解析：由已知必有23m m m -=+，即2230m m --=，∴3m =，或1m =-； 当3m =时，函数即1()f x x -=，而[6,6]x ∈-，∴()f x 在0x =处无意义，故舍去； 当1m =-时，函数即3()f x x =，此时[2,2]x ∈-，∴3()(1)(1)1f m f =-=-=-．答案：1-15．在工程技术中，常用到双曲正弦函数2x x e e shx --=和双曲余弦函数2x x e e chx -+=，双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多相类似的性质，请类比正、余弦函数的和角或差角公式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个正确的类似公式 ．解析：由右边2222x x y y x x y ye e e e e e e e ----++--=⋅-⋅1()4x yx y x y x y x y x y x y x y e e e e e e e e +--+--+--+--=+++-++-()()1(22)()42x y x y x y x y e e e e ch x y ------+=+==-=左边，故知．答案：填入()c c c s s h x y hx hy hx hy -=-，()c c c s s h x y hx hy hx hy +=+，()c s sh x y shx hy chx hy -=-，()c s sh x y shx hy chx hy +=+四个之一即可．三．解答题：本大题共6小题，共75分，请给出各题详细的解答过程．16．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*41()n n S a n =+∈N ．（1）求1a ，2a ；（2）设3log ||n n b a =，求数列{}n b 的通项公式． 解答：（1）由已知1141S a =+，即1141a a =+，∴=1a 13，……………………2分 又2241S a =+，即1224()1a a a +=+，∴219a =-； ……………………5分 （2）当1n >时，1111(1)(1)44n n n n n a S S a a --=-=+-+，即13n n a a -=-，易证数列各项不为零（注：可不证），故有113n n a a -=-对2n ≥恒成立，∴{}n a 是首项为13，公比为13-的等比数列， ∴1111()(1)333n n n n a ---=-=-， ……………………10分∴33log ||log 3nn n b a n -===-． ……………………12分17．（本小题满分12分）已知 1:(),3xp f x -=且|()|2f a <； q ：集合2{|(2)10,}A x x a x x =+++=∈R ，且A ≠∅．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围. 解答：若1|()|||23af a -=<成立，则616a -<-<， 即当57a -<<时p 是真命题； ……………………4分 若A ≠∅，则方程2(2)10x a x +++=有实数根， 由2(2)40a ∆=+-≥，解得4a ≤-，或0a ≥，即当4a ≤-，或0a ≥时q 是真命题； ……………………8分 由于p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p 与q 一真一假，故知所求a 的取值范围是(,5](4,0)[7,)-∞--+∞． ……………………12分（注：结果中在端点处错一处扣1分，错两处扣2分，最多扣2分） 18．（本小题满分12分）已知ABC ∆的两边长分别为25AB =，39AC =，且O 为ABC∆外接圆的圆心．（注：39313=⨯，65513=⨯）（1）若外接圆O 的半径为652，且角B 为钝角，求BC 边的长； （2）求AO BC ⋅的值．解答：（1）由正弦定理有2sin sin AB ACR C B==， ∴253965sin sin C B ==，∴3sin 5B =，5sin 13C =， ……………………3分 且B 为钝角，∴12cos 13C =，4cos 5B =-，∴3125416sin()sin cos sin cos ()51313565B C B C C B +=+=⨯+⨯-=，又2sin BC R A=，∴2sin 65sin()16BC R A B C ==+=； ……………………6分 （2）由已知AO OC AC +=，∴22()AO OC AC +=，即2222||2||||39AO AO OC OC AC +⋅+== ……………………8分同理AO OB AB +=，∴2222||2||||25AO AO OB OB AB +⋅+==， …………10分两式相减得22(3925)(3925)896AO OC AO OB ⋅-⋅=-+=，即2896AO BC ⋅=，∴448AO BC ⋅=． ……………………12分19．（本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD ，DE⊥平面ACD ，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G 为AD 中点．（1）请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD ，并证明这一事实； （2）求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角的大小； （3）求点G 到平面BCE 的距离．解法一：以D 点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x 轴和z 轴的正半轴分别经过点A 和点E ，则各点的坐标为(0,0,0)D ，(2,0,0)A ， (0,0,2)E ，(2,0,1)B，(1,0)C ，（1）点F 应是线段CE 的中点，下面证明：设F 是线段CE 的中点，则点F的坐标为1(2F，∴3(0)2BF =-，显然BF 与平面xOy 平行，此即证得BF∥平面ACD ； ……………………4分 （2）设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z =，则n CB ⊥，且n CE ⊥，由(1,CB =，(1,2)CE =-，∴020x z x z ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩，不妨设y =12x z =⎧⎨=⎩，即(1,3,2)n =，∴所求角θ满足(0,0,1)2cos 2||n n θ⋅==，∴4πθ=； ……………………8分（3）由已知G 点坐标为（1，0，0），∴(1,0,1)BG =--，由（2）平面BCE 的法向量为(1,3,2)n =， ∴所求距离3||24||BG n d n ⋅==……………………12分解法二：（1）由已知AB⊥平面ACD ，DE⊥平面ACD ，∴AB//ED ， 设F 为线段CE 的中点，H 是线段CD 的中点，连接FH ，则//FH =12ED ，∴//FH =AB ， …………………2分∴四边形ABFH 是平行四边形，∴//BF AH ， 由BF ⊄平面ACD 内，AH ⊂平面ACD ，//BF ∴平面ACD ； ……………4分 （2）由已知条件可知ACD ∆即为BCE ∆在平面ACD 上的射影，设所求的二面角的大小为θ，则cos ACDBCES Sθ∆∆=， ……………………6分易求得BC=BE =，CE=∴1||2BCES CE ∆==而2||4ACD S AC ∆==∴cos 2ACD BCE S S θ∆∆==，而02πθ<<， ∴4πθ=；………………8分（3）连结BG 、CG 、EG ，得三棱锥C —BGE ， 由ED ⊥平面ACD ，∴平面ABED ⊥平面ACD ， 又CG AD ⊥，∴CG ⊥平面ABED ，设G 点到平面BCE 的距离为h ，则C BGE G BCE V V --=即1133BGE BCE S GC S h ∆∆⨯=⨯，由32BGE S ∆=，6BCE S ∆=，3CG =，∴3332246BGE BCE S GC h S ∆∆⨯===即为点G 到平面BCE 的距离．………………12分 20．（本小题满分13分）已知椭圆22221y x ab+=(0)a b >>的一个顶点为B (0,4)，离心率e =5，直线l 交椭圆于M 、N 两点． （1）若直线l 的方程为4y x =-，求弦MN 的长；（2）如果ΔBMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式．解答：（1）由已知4b =，且55c a =，即2215c a=，∴22215a b a-=，解得220a =，∴椭圆方程为2212016y x +=； ……………………3分 由224580x y +=与4y x =-联立，消去y 得29400x x -=，∴10x =，2409x =， ∴所求弦长221402||11||9MN x x =+-=； ……………………6分 （2）椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)， 设线段MN 的中点为Q 00(,)x y ，由三角形重心的性质知2BF FQ =，又(0,4)B ， ∴00(2.4)2(2,)x y -=-，故得003,2x y ==-，求得Q 的坐标为(3,2)-； ……………………9分 设1122(,),(,)M x y N x y ，则12126,4x x y y +=+=-，且222211221,120162016x y x y +=+=， ……………………11分以上两式相减得12121212()()()()02016x x x x y y y y +-+-+=，1212121244665545MN y y x x k x x y y -+==-=-=-+-∴，故直线MN 的方程为62(3)5y x +=-，即65280x y --=． ……………………13分 （注：直线方程没用一般式给出但结果正确的扣1分） 21．（本小题满分14分）已知函数[)1()ln 1,sin g x x x θ=++∞⋅在上为增函数，且(0,)θπ∈，12()ln m ef x mx x x-+=--，m ∈R ． （1）求θ的值；（2）当0m =时，求函数()f x 的单调区间和极值； （3）若在[1,]e 上至少存在一个0x ，使得00()()f x g x >成立，求m 的取值范围． 解答：（1）由已知/211()0sin g x xx θ=-+≥⋅在[1,)+∞上恒成立， 即2sin 10sin x x θθ⋅-≥⋅，∵(0,)θπ∈，∴sin 0θ>，故sin 10x θ⋅-≥在[1,)+∞上恒成立，只需sin 110θ⋅-≥， 即sin 1θ≥，∴只有sin 1θ=，由(0,)θπ∈知2πθ=； ……………………4分（2）∵0m =，∴12()ln ef x x x-+=--，(0,)x ∈+∞， ∴/2221121()e e x f x x x x ---=-=， 令/()0f x =，则21x e =-(0,)∈+∞， ∴x ，/()f x 和()f x 的变化情况如下表：即函数的单调递增区间是(0,21)e -，递减区间为(21,)e -+∞，有极大值(21)1ln(21)f e e -=---； ……………………9分（3）令2()()()2ln m eF x f x g x mx x x +=-=--， 当0m ≤时，由[1,]x e ∈有0m mx x -≤，且22ln 0ex x--<，∴此时不存在0[1,]x e ∈使得00()()f x g x >成立；当0m >时，2/222222()m e mx x m e F x m x x x+-++=+-=， ∵[1,]x e ∈，∴220e x -≥，又20mx m +>，∴/()0F x >在[1,]e 上恒成立，故()F x 在[1,]e 上单调递增，∴max ()()4mF x F e me e==--， 令40m me e -->，则241em e >-，故所求m 的取值范围为24(,)1ee +∞-． ……………………14分。
湖北省黄冈市重点中学2020届高三化学11月联考试卷 新课标 人教版
湖北省黄冈市重点中学2020届高三化学11月联考试卷命题：蕲春一中万莉本试卷分第Ⅰ卷(选择题，共48分)和第Ⅱ卷(非选择题，共62分)两部分，满分11O 分。
考试时间90分钟。
考生务必在规定位置写好班级、姓名、考号，并将卷Ⅰ的答案填写在答案卡上。
(Cu64 N14 Mg24 016 Fe56 K39 S32 Na23 P31）第Ⅰ卷(选择题，共48分)本卷共16题，每题3分，共48分。
在下列各题四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．N A为阿伏加德岁常数，下列说法正确的是 ( )A、1mo1Fe3+完全水解生成氢氧化铁胶体粒子的数目为N AB、常温常压下，32g02-离子中所含电子的数目为17N AC、标准状况下，11.2 L四氯化碳所含分子数为O.5 N AD、lmolSi02固体中含有2molSi一0键。
2．化学实验室中常将溶液或试剂进行酸化,下列酸化处理中正确的是 ( )A、检验C2H5Cl中含Cl元素时，将C2H5Cl和NaOH溶液混合加热后，加硫酸酸化B、鉴别溶液中是否含有Br-时，所加的AgNO3溶液用硝酸酸化C、鉴定待测溶液中是否含有Fe2+时，用硝酸酸化D、为提高KMn04溶液的氧化能力，用盐酸将KMn04溶液隘化3．在一定条件下，C12与NH4C1可发生如下反应：xCl2+yNH4C1=yNClx+(x+y)HCl 已知当消耗6.72LCl2时(标准状况)，生成0.1mol氮的氯化物。
则该氮化物的化学式为 ( )A．NCl2 B．NCl3 C．NCl4 D．NCl54．为了消除NOx对大气的污染，工业上通常利用如下反应NOx+NH3→N2+H20来保护环境。
现有NO2和NO的混合气体3L，可用相同状况下3．5L的NH3恰好使其完全转化为N2，则混合气体中N02和NO体积之比为 ( )A．1：4 B．3：1 C．2：1 D．1：l5．下列实验现象描述错误的是 ( )A．氯水、溴水、碘水分别加入淀粉碘化钾溶液都可变蓝B．钠投入足量的CuSO4溶液中，产生气体，同时生成蓝色沉淀C．将CCl4加入碘水中，上层呈橙红色D．Na202和盐酸反应，生成的气体能使带火星的木条复燃6．某共价化合物含碳、氢、氮三种元素，分子中共有四个氮原予，且都位于正四面体的顶点，每两个氮原子间都有一个碳原子。
湖北省黄冈中学襄樊五中高三数学理科11月联考试卷
湖北省黄冈中学襄樊五中高三数学理科11 月联考试卷一、选择题：本大题共10 个小题，每题 5 分，共 50 分．在每题给出的四个选顶中，只有一顶是切合题目要求的．1．已知复数z1＝3＋ i,z2＝ 2－ i, 则 z1z2在复平面内对应的点位于A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．把直线y＝－ 2x 按向量 a＝（－ 2, 3）平移后所得直线方程为A ． y ＝－ 2x－ 3B． y＝－ 2x＋ 3C． y＝－ 2x＋ 4D． y＝－ 2x－ 13．函数 y＝f （）的反函数的图象与y 轴交于点 P（ 0, 2），则方程 f（）＝0 的根为x xA ． 4B． 3C． 2D． 1 4．以下函数在x＝ 0 处连续的是A ． f （ x）＝1, x0,B． f（x）＝ lnx x1, x0.C．f （x）＝| x |1, x 0,D．f （x）＝0, x 0,x1, x0.5．以下命题中，正确的选项是①数列 { （－ 1）n 3 }没有极限；②数列 { （－ 1）n 2} 的极限为0；n③数列 {3 n2n3(2)} 的极限为 3 ；④数列 {( 3) n} 没有极限．A ．①②B．①②③C．②③④D．①②③④6．若函数 f （）2＋ 2ax 与 g（ x）＝（ a＋ 1）1－x在区间 [1,2]上都是减函数，则 a 的x＝－ x取值范围是A ．（－ 1, 0）B ．（－ 1, 0）0,1C．（0, 1）D．0,17．已知命题 p:函数 y＝ log （ ax＋2a）（ a>0,且 a1）的图象必过定点（－ 1, 1）；命题 q：a假如函数 y＝（f x－ 3）的图象对于原点对称，那么函数 y＝（f x）的图象对于（ 3, 0）点对称．则A ．“p 且 q”为真B．“p 或 q”为假C． p 真 q 假D． p 假 q 真．已知y ＝f（）是偶函数，当x>0时，f（x）＝x4且当 x[ 3, 1]时, nf (x)m8x,x 恒建立，则m－n 的最小值是A ．1B．2C． 1D．4 3339．记知足以下条件的函数f x 的会合为 M:当 |x | ≤ 1,x|| ≤1时 , |f（ x ）－ f（ x ）| ≤x4|－ x |．若（）121212有函数 g（x）＝ x2＋ 2x－1, 则 g（ x）与 M的关系是A ． g（ x） M B． g（ x） M C． g（ x）M D．不可以确立10．已知 f （x）是 R 上的偶函数， g（x）是 R 上的奇函数 ,且对于 x R, 都有 g（ x）＝ f （ x－ 1），则 f（2007 ）的值为A ． 1B．－ 1C． 0D．不确立二、填空题：本大题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分．把答案填在答题卡相应地点上。
2020届湖北省黄冈中学第一学期高三年级11月月考高中物理
2020届湖北省黄冈中学第一学期高三年级11月月考高中物理物理试题一、此题共12小题．每题5分，共60分．每题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的多个选项正确，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．1．做匀加速直线运动的物体，依此通过ABC三点，位移x AB = x BC。
物体在AB段的平均速度大小为3．0 m/s，在BC段的平均速度大小为6．0 m/s。
那么物体在B点瞬时速度的大小为〔〕A．4．0m/s B．4．5m/s C．5．0m/s D．5．5m/s2．奥运会跳水竞赛是我国的传统优势项目。
某运动员正在进行10 m 跳台跳水训练，假设只研究运动员的下落过程，以下讲法正确的选项是〔〕A．为了研究运动员的技术动作，可将正在竞赛的运动员视为质点B．运动员在下落过程中，感受水面在匀速上升C．前一半时刻内位移大，后一半时刻内位移小D．前一半位移用的时刻长，后一半位移用的时刻短3．物块A1、A2、B1和B2的质量均为m ，A1、A2用刚性轻杆连接，B1、B2用轻质弹簧连结。
两个装置都放在水平的支托物上，处于平稳状态，如图 1 所示。
今突然迅速地撤去支托物，让物块下落。
在除去支托物的瞬时，A1、A2受到的合力分不为F A1和F A2，B1、B2受到的合力分不为F B1和F B2，那么〔〕A．F A1 = 0 F A2= 2 mg F B1 = 0 F B2= 2 mgB．F A1 = mg F A2= mg F B1 = 0 F B2= 2 mgC．F A1 = 0 F A2= 2 mg F B1 = mg F B2= mgD．F A1 = mg F A2= mg F B1 = mg F B2= mg4．如图2 所示，水平细杆上套一环A，环A与球B间用一轻质绳相连，质量分不为m A、m B，由于B球受到风力作用，A 与B球一起向右匀速运动。
细绳与竖直方向的夹角为θ。
那么以下讲法中正确的选项是〔〕A．风力增大时，轻质绳对B球的拉力保持不变B．B 球受到的风力F 为m B g tanθC．杆对A球的支持力随着风力的增加而增加D．A球与水平细杆间的动摩擦因数为m B /〔m A+ m B〕5．如图3 所示，上表面光滑的半圆柱体放在水平面上，小物块从靠近半圆柱体顶点O 的A 点，在外力F 作用下沿圆弧缓慢下滑到B 点，此过程中F 始终沿圆弧的切线方向且半圆柱体保持静止状态。
2020届高三11月联考数学(理)试题(解析版)
2020届高三11月联考数学（理）试题一、单选题1．复数312112ii i +++-的模为（ ）A ．1BCD ．5【答案】C【解析】对复数进行计算化简，然后根据复数的模长公式，得到答案.【详解】 根据题意，31211211212i i i i i i +++++=+-+(12)(1)122i i i+-+=+3122i i++=+2i =+，所以|2|i +==故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算，求复数的模长，属于简单题.2．集合{|3}A x x =≤，(){}22|log 2,B x y x x x R ==-+∈，则A B ＝ð（ ）A ．{|0}x x ≤B ．{|2 3 0}x x x ≤≤≤或C ．{|23}x x ≤≤D ．{|03}x x ≤≤【答案】B【解析】对集合B 进行化简，然后根据集合的补集运算，得到答案.【详解】因为(){}22|log 2,B x y x x x ==-+∈R{}2|20,x x x x =-+>∈R{}|02,x x x =<<∈R ，因为集合{|3}A x x =≤所以{|2 3 0}A B x x x =≤≤≤或ð.故选：B.【点睛】本题考查解对数不等式，一元二次不等式，集合的补集运算，属于简单题.3．已知向量(3,4)a =r ，则实数1λ=是||5a λ=r的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】先求出a r ，然后分别判断由1λ=能否得到||5a λ=r ，和由||5a λ=r 能否得到1λ=，从而得到答案.【详解】因为向量(3,4)a =r，所以5a ==r因为1λ=，所以可得5a a λλ==r r ，所以1λ=是||5a λ=r的充分条件. 因为||5a λ=r ，所以||||5a λ= ||1λ=即1λ=±.所以1λ=是||5a λ=r的不必要条件.综上所述，实数1λ=是||5a λ=的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查根据向量的坐标求向量的模长，判断充分而不必要条件，属于简单题. 4．已知函数32,0()log ,0x x g x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则不等式()1g x <的解集为（ ） A ．(0,2)B ．(,2)-∞C ．(1,2)-D ．(1,2)【答案】C【解析】按0x ≤和0x >，分别解不等式()1g x <，从而得到答案.【详解】 根据题意，32,0,()log ,0,x x g x x x ⎧-≤=⎨>⎩，由不等式()1g x <得310x x ⎧-<⎨≤⎩或2log 10x x <⎧⎨>⎩，， 所以10x -<≤或02x <<.即12x -<<所以不等式()1g x <的解集为(1,2)-.故选：C.【点睛】本题考查解分段函数不等式，解对数不等式，属于简单题.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）正视图 侧视图俯视图A ．43-B ．23-C ．32-D ．34- 【答案】C【解析】根据三视图还原出几何体的直观图，将几何体分为三棱锥E ABC -和三棱锥E ACD -两部分，根据三视图中的数据及线段的位置关系分别得到底面积和高，求出几何体的体积.【详解】该几何体的直观图如下图，平面ACD ⊥平面ABC ，DE P 平面ABC ，ACD V 与ACB △均是边长为2的等边三角形，2BE =，点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上，所以DE ⊥平面ACD ，所以113E ABC ABC V S -∆=⨯=， 13E ACD ACD V S DE -=⨯⨯V 11)3=1=，所以几何体的体积为2. 故选：C.【点睛】本题考查三视图还原结合体，根据三视图求几何体的体积，属于中档题.6．函数1()1x f x x +=-的图象在点(3,2)处的切线与函数2()2g x x =+的图象围成的封闭图形的面积为（ ）A ．1112B ．3316C ．3516D ．12548【答案】D【解析】对()f x 求导，利用导数的几何意义，求出切线方程，然后求出切线与()g x 的交点坐标，利用定积分求出围成的封闭图形的面积，得到答案.【详解】 由题意，22()(1)f x x '=--， 221(3)(31)2f '∴=-=--， 所以切线方程为270x y +-=，与2()2g x x =+的交点横坐标为132x =-，21x =. 故封闭图形的面积13227222x S x dx -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎰ 3122231323311d 22243x x x x x x --⎛⎫⎛⎫=⎰--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12548= 故选：D.【点睛】本题考查利用导数求函数图像上在一点的切线方程，定积分求封闭图形的面积，属于中档题.7．已知数列满足11a =，121n n a a +=+，设数列(){}2log 1n a +的前n 项和为n S ，若12111n nT S S S =++⋅⋅⋅+，则与9T 最接近的整数是（ ） A ．5B ．4C ．2D ．1 【答案】C【解析】根据递推关系式121n n a a +=+，得到1121n n a a ++=+，得到{}1n a +的通项，从而得到(){}2log 1n a +的通项和前n 项和n S ，从而求出n T ，再得到9T ，从而得到答案.【详解】由题意，()112221n n n a a a ++=+=+， 所以1121n n a a ++=+， 所以{}n a 为以112a +=为首项，2为公比的等比数列，所以()11112n n a a -+=+2n =，因此()2log 1n a n +=，数列(){}2log 1n a +的前n 项和为(1)2n n n S +=， 12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 12111n n T S S S =++⋅⋅⋅+ 11111212231n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭ 1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭所以995T =. 所以与9T 最接近的整数是2.故选：C.【点睛】本题考查构造法求数列的通项，等差数列前n 项和公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题.8．已知函数2211,1()1,1x x f x x x x⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m的取值范围为（ ）A ．[2,)+∞B ．(1,0)(2,)-+∞UC ．(1,2]-D ．(1,0)-【答案】D【解析】画出()y f x =的图像，然后得到()y f x =的图像和y m =的图像有两个交点，从而得到m 的取值范围.【详解】 根据函数2211,1()1,1x x f x x x x⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，画出()f x 的图象如图所示，函数()()g x f x m =-有两个零点则函数()y f x =的图象与y m =的图象有2个交点，所以10m -<<，所以实数m 的取值范围为(1,0)-.故选：D.【点睛】本题考查画分段函数的图像，函数与方程，属于简单题.9．如果函数21()(2)12f x mx n x =+-+(0,0)m n >>的单调递增区间为[1,)+∞，则14m n+的最小值为（ ） A ．92 B ．2 C ．1 D ．34【答案】A【解析】由()f x 单调递增区间为[1,)+∞，得到对称轴方程21n m --=，即2m n +=，再根据基本不等式求出14m n+的最小值，得到答案. 【详解】 因为函数21()(2)12f x mx n x =+-+(0,0)m n >>的单调递增区间为[1,)+∞ 所以对称轴为：21n m --=，即2m n +=， 所以14114()2m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 1452m n n m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1(52≥+92=， 当且仅当2,3m =43n =时，等号成立. 故选：A.【点睛】本题考查根据二次函数的单调区间求参数之间的关系，基本不等式求和的最小值，属于简单题.10．已知sin()1223πα-= 则sin(2)6πα+= （ ） A ．710- B ．710 C ．79- D ．79【答案】C【解析】利用倍角公式，结合函数名的转换求解.【详解】21cos()12sin ()61223ππαα-=--=,(2)cos[(2)]cos(2)6263sin ππππααα+=-+=-272()169cos πα=--=-,故选C. 【点睛】本题主要考查三角函数的给值求值问题，首先从角入手，寻求已知角和所求角的关系，再利用三角恒等变换公式求解.11．如图，在三角形ABC 中，AC 上有一点D 满足4BD =，将ABD △沿BD 折起使得5AC =，若平面EFGH 分别交边AB ，BC ，CD ，DA 于点E ，F ，G ，H ，且AC P 平面EFGH ，BD P 平面EFGH 则当四边形EFGH 对角线的平方和取最小值时，DH DA=（ ）A ．14B ．1641C ．2041D ．3241【答案】B【解析】易得HG AC P ，EF AC P ，设DH GH k DA AC==，易得∥EH BD ，∥FG BD ，得1AH EH k DA BD==-，从而得到5GH k =，4(1)EH k =-，平行四边形EFGH 中，()2222413216EG HF k k +=-+，从而得到22EG HF +最小时的k 值，得到答案.【详解】AC P 平面EFGH ，AC ⊂平面ACD ，平面ACD I 平面EFGH HG =，所以AC HG P ，同理AC EF P设DH GH k DA AC==(01)k <<， BD P 平面EFGH ，BD ⊂平面ABD ，平面ABD ⋂平面EFGH HE =，所以BD HE P ，同理∥FG BD所以1AH EH k DA BD==-， 因为4BD =，5AC =所以5GH k =，4(1)EH k =-，在平行四边形EFGH 中，222222516(1)EG HF k k ⎡⎤∴+=+-⎣⎦(22413216)k k =-+， 又01k <<Q ，∴当1641k =时，22EG HF +取得最小值. 故选：B.【点睛】本题考查线面平行证明线线平行，平行四边形对角线的性质，二次函数求最值，属于中档题.12．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()0f x f x ++=，(2018)2f =，任意的[1,2]t ∈，函数32(2)()(2)2f m g x x x f x ⎡⎤=+-++⎢⎥⎣⎦在区间(,3)t 上存在极值点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．37,53⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．(9,5)--C ．37,93⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．37,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 【答案】C 【解析】根据(2)()0f x f x ++=得到()f x 周期为4，再求得()()220182f f ==，得到()g x ，求导得到()g x '，判断出()0g x '=的两根一正一负，则()g x 在区间(,3)t 上存在极值点，且[]1,2t ∈，得到()g x '在(),3t 上有且只有一个根，从而得到关于t 的不等式组，再根据二次函数保号性，得到关于m 不等式组，解得m 的范围.【详解】由题意知，(2)()f x f x +=-，(4)()f x f x ∴+=，所以()f x 是以4为周期的函数，(2018)(2)2f f ∴==，所以322()22m g x x x x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭32222m x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭， 求导得2()3(4)2g x x m x '=++-，令()0g x '=，23(4)20x m x ∴++-=， 2(4)240m ∆=++>， 由12203x x =-<， 知()0g x '=有一正一负的两个实根.又[1,2],t ∈(,3)x t ∈，根据()g x 在(,3)t 上存在极值点，得到()0g x '=在(,3)t 上有且只有一个正实根.从而有()0(3)0g t g ''<⎧⎨>⎩，即23(4)2027(4)320t m t m ⎧++-<⎨++⨯->⎩恒成立， 又对任意[1,2]t ∈，上述不等式组恒成立，进一步得到2311(4)20,322(4)20,273(4)20,m m m ⨯+⨯+-<⎧⎪⨯+⨯+-<⎨⎪+⨯+->⎩所以59373m m m ⎧⎪<-⎪<-⎨⎪⎪>-⎩故满足要求的m 的取值范围为：3793m -<<-. 故选：C.【点睛】本题考查函数的周期性的应用，根据函数的极值点求参数的范围，二次函数根的分布和保号性，属于中档题.二、填空题13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(1,1)A -，(0,3)B ，(3,0)C ，3BD DC =u u u r u u u r，则OA OD ⋅=u u u r u u u r________.【答案】32-【解析】将3BD DC =u u u r u u u r 转化为3()OD OB OC OD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，从而得到OD uuu r的坐标，然后根据向量数量积的坐标运算，得到答案. 【详解】因为3BD DC =u u u r u u u r，所以3()OD OB OC OD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()134OD OC OB =+u u u r u u u r u u u r 93,44⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()1,1OA =-u u u r所以9344OA OD ⋅=-+u u u r u u u r 32=-.故答案为：32-.【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，数量积的坐标表示，属于简单题.14．已知x ，y 满足不等式组0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则11y z x +=+的最小值为________.【答案】13【解析】根据约束条件，画出可行域，将目标函数看成点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，从而得到斜率的最小值，得到答案. 【详解】因为已知x ，y 满足不等式组0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，画出可行域，如图所示，11y x ++表示点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，所以可得当直线过点A 时，z 最小， 由0240y x y =⎧⎨+-=⎩得2,0,x y =⎧⎨=⎩ 所以z 的最小值为011213+=+. 故答案为：13. 【点睛】本题考查根据线性规划求分式型目标函数的最值，属于简单题.15．如图，底面ABCD 为正方形，四边形DBEF 为直角梯形，DB EF ∥，BE ⊥平面ABCD ，2AB BE ==，2BD EF =，则异面直线DF 与AE 所成的角为________.【答案】6π 【解析】设正方形ABCD 的中心为O ，可得OE DF ∥，得到直线DF 与AE 所成角为AEO ∠（或其补角），根据余弦定理，可得cos AEO ∠的值，从而得到答案. 【详解】 如图，设正方形ABCD 的中心为O ，连接AO ，EO ， 则12OD BD =因为DB EF ∥，2BD EF = 所以EF OD P ，EF OD = 所以DFEO 为平行四边形， 所以OE DF ∥，所以直线DF 与AE 所成角等于OE 与AE 所成的角，即AEO ∠（或其补角），因为AE =OA =OE =在三角形AEO 中，根据余弦定理，可知222cos 22EO EA AO AEO EO EA +-∠==⋅， 所以6AEO π∠=.故答案为：6π. 【点睛】本题考查求异面直线所成的角的大小，属于简单题.16．已知函数()4cos sin 3f x x x πωω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，无最大值，则ω=________. 【答案】73【解析】先对()f x 进行整理，得到()2sin 23f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据最小值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，得到743k ω=+，然后根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭无最大值，得到周期的范围，从而得到ω的范围，确定出ω的值. 【详解】()4cos sin 3f x x x πωω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭14cos sin 2x x x ωωω⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭)22sin cos 2cos 1x x x ωωω=+-sin 22x x ωω=+2sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，依题意，则322,432k ππωππ⨯+=+k Z ∈， 所以743k ω=+()k ∈Z .因为()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值， 所以342πππω-≤，即6ω≤， 令0k =，得73ω=. 故答案为：73ω=. 【点睛】本题考查二倍角公式，辅助角公式化简，根据正弦型函数的最值和周期求参数的值，属于中档题.三、解答题17．已知递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，149a a +=，238a a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n n S ⋅的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a -=；（2）1(1)(1)222n n n nT n ++=-⋅+-【解析】（1）根据等比数列23148a a a a ==，解出1a 和4a 的值，从而得到公比q ，得到{}n a 的通项公式；（2）根据（1）得到n S ，再利用错位相减法和分组求和的方法求出{}n n S ⋅的前n 项和nT.【详解】（1）由题意，1423149,8,a a a a a a +=⎧⎨==⎩ 解得11,a =48a =或18,a =41a =； 而等比数列{}n a 递增，所以11,a =48a =，故公比2q =，所以12n n a -=. （2）由（1）得到12n S =++…1221n n -=-， 所以()*21n n S n ⋅=-2n n n =⋅-，23122232n T =⨯+⨯+⨯+…2(12n n +⋅-++…)n +，设23122232t =⨯+⨯+⨯+…2n n +⋅，2342122232t =⨯+⨯+⨯+…12n n ++⋅，两式相减可得，23222t -=+++ (1)22n n n ++-⋅()1212212n n n +-=-⋅-故1(1)22n t n +=-⋅+，所以1(1)(1)222n n n nT n ++=-⋅+-. 【点睛】本题考查等比数列通项基本量的计算，分组求和的方法，错位相减法求数列的前n 项的和，属于简单题. 18．已知函数321()3f x x ax bx =-+(),a b ∈R 在区间(1,2)-上为单调递减函数. （1）求+a b 的最大值；（2）当2a b +=-时，方程2135()32b f x x +=+有三个实根，求b 的取值范围. 【答案】（1）32-；（2）123,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】（1）先求得()f x '，根据()f x 在区间(1,2)-上为减函数，得到(1)0(2)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩在区间(1,2)-上恒成立，从而得到关于a ，b 的约束条件，画出可行域，利用线性规划，得到+a b 的最大值；（2）根据2a b +=-，得到b 的范围，设2135()()32b h x f x x +=--，求导得到()h x '，令()0h x '=得到x b =或1x =，从而得到()h x 的极值点，根据()h x 有3个零点，得到b 的不等式组，解得b 的范围. 【详解】（1）2()2f x x ax b '=-+，因为()f x 在区间(1,2)-上为减函数，所以(1)0(2)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩在区间(1,2)-上恒成立即120,440,a b a b ++≤⎧⎨-+≤⎩，画出可行域如图所示：设z a b =+，所以b a z =-+，z 表示直线l ，b a z =-+在纵轴上的截距.当直线:l b a z =-+经过A 点时，z 最大， 由120,440,a b a b ++=⎧⎨-+=⎩所以12a =，2b =- 故z a b =+的最大值为13222-=-. （2）由2a b +=-得2a b =-- 代入120,440,a b a b ++≤⎧⎨-+≤⎩可得1235b -≤≤-， 令2135()()32b h x f x x +=--32111323b x x bx +=-+-， 故由2()(1)h x x b x b '=-++(1)()0x x b =--=，得x b =或1x =，所以得到()h x 和()h x '随x 的变化情况如下表：x (,)b -∞ b(,1)b 1(1,)+∞ ()h x '+-+()h xZ极大值32111623b b -+- ]极小值12b -要使()h x 有三个零点，故需321110,62310,2b b b ⎧-+->⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩ 即()2(1)220,1,b b b b ⎧---<⎪⎨<⎪⎩解得1b <，而1215>-所以b 的取值范围是123,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点，根据函数的单调性求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.19．已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 满足cos cos 2cos ca Bb A C+=，且BC 边上一点P 使得PA PC =.（1）求角C 的大小； （2）若3PB =，sin 38BAP ∠=，求ABC V 的面积. 【答案】（1）3C π=；（2【解析】根据正弦定理，将边化成角，然后整理化简，得到cos C 的值，从而得到C 的值；（2）根据条件得到APC △为等边三角形，从而得到23APB ∠=π，根据正弦定理，得到AB 的值，根据余弦定理，得到AP 的长，根据三角形面积公式，得到答案. 【详解】（1）因为cos cos 2cos ca Bb A C+=在ABC V ，由正弦定理sin sin sin a b cA B C== 所以得2cos (sin cos sin cos )C A B B A +sin C =. 所以2cos sin()sin C A B C +=. 即2cos 1C =所以1cos 2C =， 因为()0,C π∈，所以3C π=（2）由（1）知3C π=，而PA PC =APC △为等边三角形.由于APB ∠是APC △的外角， 所以23APB ∠=π. 在APB △中，由正弦定理得2sin sin3PB ABBAPπ=∠， 即2357sin 3ABπ=，所以19AB =. 所以由余弦定理得，2222co 23s AB PA PB PA PB π=+-⋅， 即21993PA PA =++， 所以2PA =，故235BC =+=，2AC =， 所以11353sin 252222ABC S CA CB C =⋅⋅=⨯⨯⨯=V . 【点睛】本题考查正弦定理的边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.20．如图，在四棱锥1A ABCD ﹣中，底面ABCD 为直角梯形，90BAD ︒∠=，AB DC P ，2DC AB =24AD ==，12AA =，且O 为BD 的中点，延长AO 交CD 于点E ，且1A 在底ABCD 内的射影恰为OA 的中点H ，F 为BC 的中点，Q 为1A B 上任意一点.（1）证明：平面EFQ ⊥平面1A OE ；（2）求平面1A OE 与平面1A DC 所成锐角二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】（1）根据1A H ⊥平面ABCD ，得到1A H EF ⊥，由平面几何知识得到EF AE ⊥，从而得到EF ⊥平面1A OE ，所以所以平面EFQ ⊥平面1A OE ；（2）以O 为原点建立空间直角坐标系，得到平面1A DC 和平面1A OE 的法向量，利用向量的夹角公式，得到这两个面所成的锐角二面角的余弦值. 【详解】（1）由题意，E 为CD 的中点，因为1A H ⊥平面ABCD ，EE ⊂平面ABCD ， 所以1A H EF ⊥，又因为DB EF ∥，AB AD =，OB OD =，所以AE 垂直平分BD ， 所以DE BE =又因AB DE ∥，90BAD ︒∠= 所以ADEB 为正方形， 所以DE EC AB == 因为F 为BC 的中点， 所以EF BD P而DB AE ⊥，所以EF AE ⊥，又1A H AE H =I ，所以EF ⊥平面1A OE ， 又EF ⊂平面EFQ ， 所以平面EFQ ⊥平面1A OE .（2）因为1A 在底面ABCD 内的射影恰为OA 的中点H ，所以11242OH OA BD ===. 因为AB AD ⊥，所以过点O 分别作AD ，AB 的平行线（如图）， 并以它们分别为x ，y 轴，以过O 点且垂直于xOy 平面的直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，所以(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，(1,3,0)C ，(1,1,0)D -，1116,,222A ⎛-- ⎝⎭，所以1316,,222A D ⎛=-- ⎝⎭u u u u r ，1376,,222A C ⎛=- ⎝⎭， 设平面1A DC 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则1100n A D n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r v u u v v ，所以316022376022x y z x y z ⎧--=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令6z =6)n =r，由（1）知，BD ⊥平面1A OE ，所以OD ⊥平面1A OE ，所以(1,1,0)OD =-u u u r为平面1A OE 的一个法向量，则||5|cos ,|||||102n OD n OD n OD ⋅〈〉===⋅r u u u rr u u u r r u u ur . 故平面1A OE 与平面1A DC 5. 【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题.21．已知函数1()1ln1mxf x x x-=-++(0)m >与满足()2()g x g x -=-()x R ∈的函数()g x 具有相同的对称中心.（1）求()f x 的解析式；（2）当(,]x a a ∈-，期中(0,1)a ∈，a 是常数时，函数()f x 是否存在最小值若存在，求出()f x 的最小值；若不存在，请说明理由；（3）若(21)(1)2f a f b -+-=，求22211a b a b+++的最小值. 【答案】（1）1()1ln 1x f x x x -=-++；（2）11ln 1a a a--++（3）94 【解析】（1）根据()g x 关于()0,1对称，从而得到()()2f x f x +-=，整理化简，得到m 的值；（2）判断出()f x 的单调性，得到当(0,1),a ∈(,]x a a ∈-时，()f x 单调递减，从而得到()f x 最小值；（3）由(21)(1)2f a f b -+-=得到a ，b 关系，然后将22b a =-代入到22211a b a b+++，利用基本不等式，得到其最小值. 【详解】（1）因为()2()g x g x -=-，所以()()2g x g x -+=，所以()y g x =图象关于(0,1)对称， 所以11()()1ln 1ln 11mx mx f x f x x x x x-++-=-+++++- 22212ln 21m x x ⎛⎫-=+= ⎪-⎝⎭所以22211,1m x x-=-0m > 解得1m =， 所以1()1ln 1x f x x x-=-++. （2）()f x 的定义域为(1,1)-，1()1ln 1x f x x x -=-++21ln 11x x ⎛⎫=-+-+ ⎪+⎝⎭， 当12x x <且12,(1,1)x x ∈-时，()f x 为减函数，所以当(0,1),a ∈(,]x a a ∈-时，()f x 单调递减，所以当x a =时，min 1()1ln1a f x a a-=-++. （3）由(21)(1)2f a f b -+-=， 得2110,1211,111,a b a b -+-=⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩解得01,a <<02,b <<22a b +=， 所以2222221211(1)a b a b ab b a a b a b++++++=++ 21(1)b a a b++=+()25321a a -=- 令53t a =-，则5,3t a -=(2,5)t ∈， ()()225392121016a t a t t -=--+- 916210t t =⎛⎫--+ ⎪⎝⎭94≥= 当且仅当4t =时，等号成立， 即当13a =，43b =时，22211a b a b+++的最小值为94. 【点睛】本题考查根据函数的对称性求参数的值，根据函数的单调性求最值，基本不等式求和的最小值，属于中档题.22．已知函数1()ln 2f x mx x =--()m R ∈，函数()F x 的图象经过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，其导函数()F x '的图象是斜率为a -，过定点(1,1)-的一条直线.（1）讨论1()ln 2f x mx x =--()m R ∈的单调性； （2）当0m =时，不等式()()F x f x ≤恒成立，求整数a 的最小值.【答案】（1）当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上为减函数；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数. （2）2【解析】对()f x 求导，得到()f x '，按0m ≤和0m >进行分类讨论，利用导函数的正负，得到()f x 的单调性；（2）根据题意先得到()F x '，然后得到()F x 的解析式，设()()()g x F x f x =-，按0a ≤和0a >分别讨论，利用()g x '得到()g x 的单调性和最大值，然后研究其最大值恒小于等于0时，整数a 的最小值.【详解】（1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，1()mx f x x-'=， 当0m ≤时，()0f x '≤，所以()f x 在(0,)+∞上为减函数，当0m >时，令()0f x '=，则1x m =， 当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数， 当1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数， 综上，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上为减函数；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数. （2）根据题意，()(1)1F x a x '=-++， 设21()(1)2F x ax a x c =-+-+，代入10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得12c =， 令()()()g x F x f x =-21ln (1)12x ax a x =-+-+， 所以1()(1)g x ax a x '=-+-2(1)1ax a x x-+-+=. 当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>.所以()g x 在(0,)+∞上是单调递增函数， 又因为21(1)ln11(1)112g a a =-⨯+-⨯+3202a =-+>， 所以关于x 的不等式()()F x f x ≤不能恒成立.当0a >时，2(1)1()ax a x g x x -+-+'=1(1)a x x a x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 令()0g x '=，得1x a =. 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<， 因此函数()g x 在10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上是减函数. 故函数()g x 的最大值为211111ln (1)12g ax a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1ln 2a a =-. 令1()ln 2h a a a =-，因为1(1)0,2h =>1(2)ln 204h =-<， 又因为()h a 在(0,)a ∈+∞上是减函数.所以当2a ≥时，()0h a <.所以整数a 的最小值为2.【点睛】本题考查函数与方程的应用，利用导数研究函数的单调区间、极值和最值，根据导函数的解析式求原函数的解析式，利用导数研究不等式恒成立问题，涉及分类讨论的思想，题目比较综合，属于难题.。
湖北省黄冈中学十一月检测题
湖北省黄冈中学十一月检测题湖北省黄冈中学十一月检测题数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共150分,考试时间100分钟第Ⅰ卷(选择题,共60分)t_jy一.选择题(每小题5分,共60分,每小题所给的四个选项中,只有一个符合题目要求)t_jy1. 两个集合A与B之差记作〝A-B〞,定义为A-B={__∈A,且_B},如果集合A={_log_＜1,_∈R},集合B={__-2＜1,_∈R}那么A-B等于t_jyA.{__≤1}B.{__≥3}C.{_1≤_＜2}D.{_0＜_≤1}2. 已知等比数列{a}的前n项和是S=A.8B.12 t_jyC.16D.243.(文)e.e为基底向量,已知向量=e-ke,,若A.B.D三点共线,则k的值是A．2B.-3 t_jyC.-2D.3(理)过点(0,-1)作直线l,若直线l与圆_+(y-1)=1有公共点,则直线l的倾斜角的范围为t_jyA.［］B. ［0,∪［,π)C.［］D. ［0,∪［)4．命题p:不等式＞的解集为{_0＜_＜1};命题q:在△ABC中,〝A＞B〞是〝sinA ＞sinB〞成立的必要非充分条件,则t_jyA．p真q假B.〝p且q〞为真C.〝p或q〞为假D.p假q真5．编辑一个运算程序:1_amp;1=2,m_amp;n=k,m_amp;(n+1)=k+3(m,n,k∈N),则1_amp;_的输出结果为A．_B._C.4008D.60116.(文)函数y=sin(_+)(0≤≤π)是R上的偶函数,则等于A．0B.C.D.π(理)设f(_)是函数f(_)=＜a＜1)的反函数,则使f(_)＞1成立的_的取值范围为A．( B.(-∞, C.(,a) D.［a,+ ∞)7．(文)已知数列{a中,a,(n∈N),且a=1,则数列{a的通项公式a=A.2·3B.2·3-5C.2·3+1D.2·3+1(理)a.b.c分别是△ABC中A.B.C所对边的边长,则直线sinA·_+ay+c=0与b_-sinB·y+ay+c=0的位置关系是A．平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直8．现行《中华人民共和国个人所得税法》规定的起征点为800元,即公民全月工资.薪金所得不超过800元的部分不必纳税,超过800元的部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表分段累进计算:全月应纳税所得税税率不超过500元的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%…………为了适应时代要求,我国拟从_年1月起将起征点由800元提高到1600元,其他均不变.小王现每月缴纳个人所得税95元,若他每月工资.薪金所得不变,则起征点提高后他每月将少缴纳_______________元A.87.5B.80 t_jyC.75D.75.59．要得到函数y=sin(2_-的图像,只需将函数y=cos 2_的图像A．向右平移个单位B.向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位10．(文)设点P分有向线段所成的比为则点P分所成的比为A．-B.-C.-D.-(理)已知⊙C:_+y=9, ⊙C:(_-4)+(y-6)=1,两圆的外公切线交于P点,内公切线交于P点,若=λ,则λ等于A．-B.-C.-D.11.(文)若tanα=2,tan(β-α)=3,则tan(β-2α)的值为A．B. -C.D.-(理)设函数f(_)的定义域为R,若存在与_无关的正常数M,使f(_)≤M_对一切实数_均成立,则称f(_)为有界泛函,有函数f(_)=2_,g(_)=_,h(_)=2,v(_)=_sin _中,属于有界泛函的函数的个数为A．1B.2C.3D.412.(文)定义在R上的函数f(_)满足f(_+2)=3f(_),当_∈［0,2］时,f(_)=_-2_,则当_∈［-4,-2］时,f(_)的最小值是A．-1B.-C.D.-(理)已知定义域为R的函数f(_)满足f(-_)=-f(_+4),且当_＞2时,f(_)单调递增.如果_+_＜4且(_-2)(_-2) ＜0,则f(_)+f(_)的值A．恒小于0B.恒大于0C.可能为0D.可正可负第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二.填空题(每小题4分,共16分.把正确答案填在题中所给横线上)13.(文)在△ABC中,若acos B=bcos A,则此三角形的形状为______________________.(理)设_,y满足则该不等式组表示的平面区域的面积为________ ;z=2_+y的最大值是________________.14.在△ABC中,O为中线AM上的一个动点,若AM=2,则15．已知α∈(0,且2sinα-sinαcosα-3cosα=0,则16.(文)对任意两实数a.b,定义运算〝_〞如下:a 若≤ba_b=,则函数f(_)= _log_的值域为_________.b 若＞b(理)已知f(_)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a.b∈R,满足f(a·b)=af(b)+bf(a),f(2)=2,a=(n∈N,b∈N.考查下列结论:①f(0)=f(1);②f(_)为偶函数;③数列{a为等比数列;④{b为等差数列.其中正确的是____________.三.解答题(共74分.解答填写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)设函数f(_)=m·n,其中向量m=(2cos_,1),n=(cos_,sin2_),_∈R.(1) 求f(_)的最小正周期;(2) 在△ABC中,a.b.c分别是角A.B.C的对边,f(A)=2,a=,b+c=3(b＞c),求b.c的长.18.(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列{a}前n项和为S,(p-1)S=p-a,n∈N,p＞0且p≠1,数列{b}满足b=2log(1)求a,b;(2)若p=设数列{的前n项和为T,求T.19.(本小题满分12分)(文)已知向量a=(1,2),b=(-2,1),k,t为正实数,向量_=a+(t+1)b,y=-ka+(1)若_⊥y,求k的最小值;(2)是否存在正实数k.t,使_∥y?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.(理)已知⊙M:_+(y-2)=1,Q是_轴上的动点,QA.QB分别切⊙M于A.B两点.(1)若AB=求直线MQ的方程;(2)求证:直线AB恒过定点,并求出此定点坐标.20.(本小题满分12分)现有A.B.C.D四个长方体容器,A.B的底面积均为_,高分别为_,y; C.D的底面积均为y,高也分别为_.y(其中_≠y).现规定一种两人的游戏规则:每人从四种容器中取两个盛水,盛水多者为胜,问先取者在未能确定_与y大小的情况下有没有必胜的方案?若有的话,有几种?21．(本小题满分12分)(文)已知函数f(_)=logp＞2,设F(_)=g(_)+f(_).(1)求F(_)的定义域;(2)求F(_)的值域.(理) 已知二次函数f(_)=a_+_.(1)若对任意_._∈R,恒有f(≤［f(_)+f(_)］成立,求实数a的取值范围;(2)若_∈［0,1］时,恒有f(_) ≤1,试求实数a的取值范围.22.(本小题满分14分)(文)已知函数f(_)=a·2+b的图像经过点A(1,,B(2,(1)求函数y=f(_)的反函数y=f的解析式;(2)记a=2(n∈N),是否存在正数,使得(1+)(1+)…(1+≥k∈N均成立.若存在,求出k 的最大值;若不存在,请说明理由.(理)如图,把正三角形ABC分成有限个全等的小正三角形,且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数,使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等.设点A为第一行,…,BC为第n行,记点A上的数为a,…第i行中第j个数为a(1≤j≤i).若a=(1)求a(2)试归纳出第n行中第m个数a表达式(用含n,m的式子表示,不必证明);(3)记S…+a,证明:n≤++…+≤湖北省黄冈中学十一月检测题数学答案1．D 2.C3.A4.A5.D6.(文)C(理)B7.(文)A(理)C8.C9.B 10.(文)C(理)B 11.(文)A(理)B12.(文)D(理)A 13.(文)等腰三角形(理)36 15 14.-2 15.16.(文)(-∞,0](理)①③④17.(1)f(_)=2cos_+sin2_=1+2sin(2_+∴f(_)的最小正周期为π.(2)∵f(A)=2,即1+2sin(2A＋=2,∴sin(2A+=∵＜2A+＜∴2A+=.由cosA==即(b+c)-a=3bc,∴bc=2.又b+c=3(b＞c), ∴18.(1)由(p-1)S=p-a(n∈N)①得(p-1)S②①-②,得≥2),又(p-1)S=p-a,p＞0且p≠1,∴a=p. {a}是以p为首项,,a=p(b=2log∴b=4-2n.(2)由(1)知,b=4-2n,a=p.又由条件得p=得a=2. ∴T=+①=+②①-②得=+=4-2_(1+=4-2_＝∴T=19.(文)(1)_=a+(t由_⊥y,得_·y=0,即(-2t整理得k=∵t＞0,∴k=≥2=2,当且仅当t=1时,k=2.所以k的最小值为2.(2)假设存在正实数k,t使_∥y,则(-2t-1)(-2k+整理得tk(t+1)+1=0.满足上述等式的正实数k.t不存在,所以不存在正实数k.t,使_∥y. (理)(1)设AB交MQ于E点(如图),则易知MQ垂直平分线段AB, ∴M E==.由射影定理知,MA∴MQ=M(0,2),设Q(a,0),则MQ=解得a=±1,即Q(1,0)或Q(-1,0)∴直线MQ的方程为2_+y-2=0或2_-y+2=0(2)证明:QA.QB是⊙M的切线,则MA⊥AQ,MB⊥BQ,故A.M.B.Q四点共圆且MQ是此圆直径,设此圆圆心为F.设Q(a,0),则F(∴⊙F的方程为即(_-联立_项,即得两圆公共弦AB所在直线的方程:－a_+2y-3=0故直线AB恒过定点(0,20.依题意可知,A.B.C.D四个容器的容积分别为_,按照游戏规则,先取者只有三种不同的取法:①取A.B;②取A.C;③取A.D 问题的实质是比较两个容积和的大小.①若先取A.B,则后取者只能取C.D.∵(_显然(_+y)＞0而_与y的大小不确定,∴(_-y)(_+y)的正负不能确定.即_的大小不定,这种取法无必胜的把握.②若先取A.C,则后者只能取B.D.∵(_∴类似于①的分析知,这种取法也无必胜的把握.③若先取A.D,则后者只能取B.C.∵(_=(_+y)(_-y),又_≠y,_＞0,y＞0,∴(_+y)(_-y)＞0,即_＞_y+_y.故先取A.D是惟一必胜的方案.21．(文)(1)由题意有∴F(_)的定义域为(2,p)(2)F(_)=log _∈(2,p)令y=logt,t=(_+2)(p-_)=-_+(p-2)_+2p=-(_-①若≤2即2＜p≤6时,t时(2,p)单调递减∴0＜t＜4(p-2) ∴y＜log4(p-2)=2+log(p-2)②若≥p即p≤-2此种情况不可能,舍去.③若2＜＜p,即p＞6,则0＜t≤∴y≤log=2log(p+2)-2综上知,当2＜p≤6时,F(_)的值域为(-∞,2+log(p-2));当p＞6时,F(_)的值域为(-∞,2log(p+2)-2).(理)(1)对任意_._∈R,由≥0成立.f(_)=a_+_是二次函数,知a≠0,故要使上式成立,只有a＞0.(2)f(_) ≤1-1≤f(_) ≤1-1≤a_+_≤1……①而_∈[0,1]当_=0时,a≠0,①式显然成立;当_∈(0,1]时,①式化为--≤a≤-在_∈(0,1] 上恒成立.设t=,则t∈[1,+∞),则有－t－t≤a≤t-t,所以只须-2≤a≤0,又a≠0,故-2≤a＜0综上,所求实数a的取值范围是[-2,0)22．(文)(1)由题知∴f(_)=得出f＞(2)a∈N假设存在正实数k,使(1+≥kN均成立.则k≤记F(n)=(1+则＞∴F(n+1) ＞F(n), ∴F(n)随n增大而增大,F(n)的最小值为F(1)=. ∴k≤,即k的最大值为.(理)(1)∵a∴a∵a∴a∵a∴a∴,a(2)由a可归纳出a…,a故a由a的等比数列,故a即a (3)由(2)知S∵(N),∴(∴(又(∴1≤≤2∴n≤≤。
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湖北省黄冈中学襄樊五中2020届高三数学理科11月联考试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选顶中，只有一顶是符合题目要求的．1．已知复数z 1＝3＋i , z 2＝2－i , 则z 1z 2在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．把直线y ＝－2x 按向量a ＝（－2, 3）平移后所得直线方程为A ．y ＝－2x －3B ．y ＝－2x ＋3C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－2x －1 3．函数y ＝f （x ）的反函数的图象与y 轴交于点P （0, 2），则方程f （x ）＝0的根为A ．4B ．3C ．2D ．14．下列函数在x ＝0处连续的是A ．f （x ）＝⎩⎨⎧>-≤-.0,1,0,1x x xB ．f （x ） ＝lnxC ．f （x ）＝xx ||D ．f （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧<=>-.0,1,0,0,0,1x x x5．下列命题中，正确的是①数列{（－1）n 3}没有极限；②数列{（－1）nn2}的极限为0； ③数列{n)23(3-+}的极限为3； ④数列{nn)3(2}没有极限． A ．①②B ．①②③C ．②③④D ．①②③④6．若函数f （x ）＝－x 2＋2ax 与g （x ）＝（a ＋1）1－x 在区间[1, 2]上都是减函数，则a 的取值范围是A ．（－1, 0）B ．（－1, 0）⋃(]1,0C ．（0, 1）D ．(]1,0 7．已知命题p :函数y ＝log a （ax ＋2a ）（a >0, 且a ≠1）的图象必过定点（－1, 1）；命题q ：如果函数y ＝f （x －3）的图象关于原点对称，那么函数y ＝f （x ）的图象关于（3, 0）点对称． 则A ．“p 且q ”为真B ．“p 或q ”为假C ．p 真q 假D ．p 假q 真8．已知y ＝f （x ）是偶函数，当x >0时，f （x ）＝xx 4+, 且当]1,3[--∈x 时, n m x f ≤≤)( 恒成立，则m －n 的最小值是A ．31 B ．32C ．1D ．349．记满足下列条件的函数f （x ）的集合为M:当|x 1|≤1, |x 2|≤1时, |f （x 1）－f （x 2）|≤4|x 1－x 2|．若有函数g （x ）＝x 2＋2x －1, 则g （x ）与M 的关系是 A ．g （x ）⊂M B ．g （x ）∈MC ．g （x ）∉MD ．不能确定10．已知f （x ）是R 上的偶函数，g （x ）是R 上的奇函数, 且对于x ∈R, 都有g （x ）＝f （x －1），则f （2020）的值为 A ．1B ．－1C ．0D ．不确定二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上。
11．若复数iia -+3是纯虚数，则实数a ＝ ． 12．已知集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}, B ＝{x |mx ＋1＝0}． 若B ⊆A, 则实数m 所能取的一切值构成的集合为 ．13．设函数f （x ）＝x 3－3x （x ∈R ）, 若关于x 的方程f （x ）＝a 有3个不同的实根，则实数a 的取值范围是 ．14．已知一个函数f （x ）满足:①定义域为R;②对任意的a , b ∈R, 若a ＋b ＝0, 则f （a ）＋f （b ）＝0;③对任意的x ∈R, 若m <0, 则f （x ）>f （x ＋m ）, 则f （x ）可以是 （写出一个即可）15．若存在实数k , 使关于x 的不等式（x ＋k ）2≤x 对一切x ∈[1, m ]恒成立，则m 的最大值为 。
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）设A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}, B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}；若A ⋃B ＝{2,5,21-}，求A ⋂B ．17．（本小题满分12分）若函数y ＝a 2x ＋2a x －1（a >0且a ≠1）在[－1,1]上的最大值为14, 求实数a 的值．18．（本小题满分12分）设a 为实数, 函数f （x ）＝x 3－x 2－x ＋a ． （1）求f （x ）的极值;（2）若曲线y ＝f （x ）与x 轴仅有一个交点, 求a 的取值范围．19．（本小题满分12分）设函数f （x ）＝ax x -+12，求a 的取值范围，使函数f （x ）在（0, ＋∞）上是单调函数．20．（本小题满分13分）已知函数f （x ）＝x 2＋2x ＋3（1）求f （x ）的反函数f －1（x ）及反函数的定义域A ； （2）设B ＝{x |lg xx+-1010>lg （2x ＋a －5）}, 若A ⋂B Φ≠, 求实数a 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知定义域为[0, 1]的函数f （x ）同时满足：①对于任意的x ∈[0, 1]，总有f （x ）≥0; ②f （1）＝1;③若0≤x 1≤1, 0≤x 2≤1, x 1＋x 2≤1, 则有f （x 1＋x 2） ≥ f （x 1）＋f （x 2）． （1）试求f （0）的值;（2）试求函数f （x ）的最大值； （3）试证明：当x ]21,21(1-∈n n, n ∈N ＋时，f （x ）<2x ．[参考答案]一、 1．B 2．D3．C 4．A5．D 6．D7．C8．C9．B10．C二、11．31 12． {31,0,21-} 13．（－2,2） 14．x 15．4三、解答题16．依题意A,B 均为非空集合．设x 1,x 2是方程2x 2＋ax ＋2＝0的两根,则x 1x 2＝1．再由x 1,x 2}2,5,21{-∈知方程2x 2＋ax ＋2＝0的两根分别为21,2 ,即A ＝}2,21{从而52212-=⇒+=-a a …… …… …… …… …… …… ……8分于是B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}＝{x |x 2＋3x －5＝0}＝{－5,2}所以A ⋂B ＝{2}…… …… …… …… …… …… …… ……12分 17．设a x ＝t ,则y ＝f （t ）＝t 2＋2t －1＝（t ＋1）2－2．其对称轴是t ＝－1．10若a >1,由x ]1,1[-∈知,t ],1[a a ∈,二次函数在],1[a a上是增函数，从而y max ＝f （a ） 令f （a ）＝a 2＋2a －1＝14,解得a ＝3（a ＝－5不合题意,舍去）…… … … …6分 20若0<a <1,由x ]1,1[-∈知,]1,[a a t ∈,二次函数在]1,[a a 上仍是增函数,从而 y max ＝f （a1） 令f （a 1）＝1212-+a a＝14,解得a ＝31（a ＝51-不合题意舍去） 综上a ＝3或a ＝31为所求．…………………………………………………………12分18．（1）)(x f '＝3x 2－2x －1．若)(x f '＝0,则x ＝－31或x ＝1…… … …… …… 2分当x 变化时，)(x f '、f （x ）的变化情况如下表:…4分所以f （x ）的极大值是f （31-）＝a +275,极小值是f （1）＝a －1．………………6分（2）函数f （x ）＝x 3－x 2－x ＋a ＝（x －1）2（x ＋1）＋a －1．由此可知x 取足够大的正数时有f （x ）>0, x 取足够小的负数时有f （x ）<0． 所以曲线y ＝f （x ）与x 轴至少有一个交点． ……………………………………8分 结合f （x ）的单调性可知, 当f （x ）的极大值a +275<0,即a ∈)275,(--∞时，它的极小值也小于0． 因此曲线y ＝f （x ）与x 轴仅有一个交点,它在（1,＋∞）上． 当f （x ）的极小值a －1>0,即a ∈),1(+∞时，它的极大值也大于0． 因此曲线y ＝f （x ）与x 轴仅有一个交点,它在（31,-∞-）上． 所以当),1()275,(+∞⋃--∞∈a 时，曲线y ＝f （x ）与x 轴仅有一个交点．…12分 19．当x >0时,a x xx f -+='122)(2＝a x x -+122＝a x -+-1112……………3分 又当x >0时,x 2＋1>1,11102<+<x ,111102<+-<x ,111102<+-<x 记g （x ）＝1112+-x 欲使0)(≥'x f 在（0,＋∞）上恒成立,则a ≤g min （x ）,即a ≤0; 欲使0)(≤'x f 在（0,＋∞）上恒成立,则a ≥g max （x ）,即a ≥1;综上所述:所求a 的取值范围为),1[]0,(+∞⋃-∞．………………………………12分 （其它方法相应给分） 20．（1）f （x ）＝（x ＋1）2＋2Θ－2≤x ≤－1，∴－1≤x ＋1≤0，0≤（x ＋1）2≤1，2≤（x ＋1）2＋2≤3 ∴2≤f （x ）≤3 … … … … …2分 由y ＝（x ＋1）2＋2得 x ＋1＝－2-y （其中x ＋1＝2-y 舍去）即x ＝－1－2-y ……4分∴)(1x f-＝－1－2-x 且)(1x f-的定义域A ＝[2,3]．………………………6分（2） lg )52lg(1010-+>+-a x x x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+>+->-+>+-52101005201010a xx a x x x x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧+-+<+->42102052xx x a a 8分 记f （x ）＝52+-x ,g （x ）＝521010+-+-x xx则f （x ）,g （x ）在A 上均单调递减．欲使A ⋂B Φ≠,那么当x ∈A 时,a >f min （x ）＝f （3）且a <g max （x ）＝g （2） 10分 易得f （3）＝－3, g （2）＝35 故所求a 的取值范围为)35,3(-．…………12分 21．（1）令x 1＝x 2＝0,依条件（3）可得f （0＋0）≥2f （0）,即f （0）≤0又由条件（1）得f （0）≥0 故f （0）＝0…… … … … …… … …3分 （2）任取0≤x 1<x 2≤1可知x 2－x 1∈（0,1],则f （x 2）＝f [（x 2－x 1）＋x 1]≥f （x 2－x 1）＋f （x 1）≥f （x 1）于是当0≤x ≤1时,有f （x ）≤f （1）＝1因此当x ＝1时,f （x ）取最大值1．………8分（3）证明：先用数学归纳法证明:当x ∈]21,21(1-n n （n ∈N ＋）时,f （x ）≤121-n 10当n ＝1时,x ∈]1,21(，f （x ）≤f （1）＝1＝021,不等式成立．当n ＝2时,x ]21,41(∈,21<2x ≤1,f （2x ）≤1,f （2x ）≥f （x ）＋f （x ）＝2f （x ）∴f （x ）≤21f （2x ）≤21不等式成立．20假设当n ＝k （k ∈N ＋,k ≥2）时,不等式成立,即x ∈]21,21(1-k k 时，f （x ）≤121-k则当n ＝k ＋1时,x ]21,21(1k k +∈,记t ＝2x ，则t ＝2x ∈]21,21(1-k k , ∴f （t ）≤121-k而f （t ）＝f （2x ）≥2f （x ），∴f （x ）≤21f （2x ）＝21f （t ）≤1)1(21-+k因此当n ＝k ＋1时不等式也成立．由10,20知,当x ∈]21,21(1-n n （n ∈N ＋）时,f （x ）≤121-n 又当x ∈]21,21(1-n n （n ∈N ＋）时,2x >121-n , 此时f （x ）<2x ．综上所述：当x ∈]21,21(1-n n （n ∈N ＋）时,有f （x ）<2x ．………………………14分。