概率论与数理统计6习题六参考答案
概率论与数理统计第六章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第六章课后习题及参考答案概率论与数理统计第六章课后习题及参考答案1．已知总体X ～),(2σµN ，其中2σ已知，⽽µ未知，设1X ，2X ，3X 是取⾃总体X 的样本．试问下⾯哪些是统计量？(1)321X X X ++；(2)µ31-X ；(3)222σ+X ；(4)21σµ++X ；(5)},,max{321X X X ；(6)σ221++X X ；(7)∑=3122i i X σ；(8)2µ-X ．解：(1)(3)(4)(5)(6)(7)是，(2)(8)不是．2．求下列各组样本值的平均值和样本差．(1)18，20，19，22，20，21，19，19，20，21；(2)54，67，68，78，70，66，67，70．解：(1)9.19)21201919212022192018(101101101=+++++++++==∑=i i x x ；43.1)(9110122=-=∑=i i x x s ．(2)5.67)7067667078686754(1018181=+++++++==∑=i i x x ；018.292)(718122=-=∑=i i x x s ．3．(1)设总体X ～)1,0(N ，则2X ～)1(2χ．(2)设随机变量F ～),(21n n F ，则F1～),(12n n F ．(3)设总体X ～),(2σµN ，则X ～),(2n N σµ，22)1(S n σ-～)1(2-n χ，nS X /µ-～)1(-n t ．(4)设总体X ～)10(2χ，Y ～)15(2χ，且X 与Y 相互独⽴，则=+)(Y X E 25，=+)(Y X D 50．4．设随机变量X 与Y 都服从标准正态分布，则(C)A ．Y X +服从正态分布B ．22Y X +服从2χ分布C ．2X 与2Y 均服从2χ分布D ．22YX 服从F 分布5．在总体X ～)3.6,52(2N 中随机抽取⼀容量为36的样本，求样本平均值X 落在8.50到8.53之间的概率．解：因为X ～)3.6,52(2N ，即52=µ，223.6=σ，因为36=n ，22205.1363.6==n σ，所以X ～)05.1,52(2N ．由此可得)8.538.50(≤≤X P 05.1528.50()05.1528.53(-Φ--Φ=8302.0)1429.1()7143.1(=-Φ-Φ=．6．设总体X ～)1,0(N ，1X ，2X ，…，10X 为总体的⼀个样本，求：(1))99.15(1012>∑=i i X P ；(2)写出1X ，2X ，…，10X 的联合概率密度函数；(3)写出X 的概率密度．解：(1)由题可知∑==1012i i X X ～)10(2χ，查2χ分布表有99.15)10(210.0=χ，可得10.0=α，即10.0)99.15(1012=>∑=i i X P ．(2)1X ，2X ，…，10X 相互独⽴，则联合概率密度函数为}exp{321}21exp{21),,,(1012510121021∑∏==-=-=i i i i x x x x x f ππ．(3)X Y =～)1.0,0(N ，所以有2251.02)0(e 5e1.021)(y y y f -?--==ππ．7．设总体X ～)1,0(N ，1X ，2X ，…，5X 为总体的⼀个样本．确定常数c ，使25242321)(XX X X X c Y +++=～)3(t ．解：因为i X ～)1,0(N ，5,,2,1 =i ，所以21X X +～)2,0(N ，)(2121X X +～)1,0(N ，252423X X X ++～)3(2χ，因为25242321252423212632XX X X X X X X X X +++=+++～)3(t ，所以有23=c ．8．设1X ，2X ，3X ，4X 是来⾃正态总体)4,0(N 的样本．已知243221)43()2(X X b X X a Y -+-=为服从⾃由度为2的2χ分布，求a ，b 的值．解：由题可知i X ～)4,0(N ，4,3,2,1=i ，故有0)2(21=-X X E ，20)2(21=-X X D ，所以212X X -～)20,0(N ．同理4343X X -～)100,0(N ．⽽20)2(221X X -～)1(2χ，100)43(221X X -～)1(2χ，故有100)43(20)2(243221X X X X -+-～)2(2χ，⽐较可知201=a ，1001=b ．9．设总体X ～)3.0,(2µN ，1X ，2X ，…，n X 为总体的⼀个样本，X 是样本均值，问样本容量n ⾄少应取多⼤，才能使95.0)1.0(≥<-µX P ．解：易知X ～)3.0,(2nN µ，由题意有95.013(2/3.01.0/3.0()1.0(≥-Φ=<-=<-nnnX P X P µµ，即应有975.0)3(≥Φn，查正态分布表知975.0)96.1(=Φ，所以取96.13≥n，即5744.34≥n ，取35=n ．10．设总体X ～)16,(µN ，1X ，2X ，…，10X 为总体的⼀个样本，2S 为样本⽅差，已知1.0)(2=>αS P ，求α的值．解：由抽样分布定理知22)1(σS n -～)1(2-n χ，因为10=n ，故有2249S ～)9(2χ，得1.0)169169()(22=>=>ααS P S P ，查2χ分布表得684.14)9(21.0=χ，即684.14169=α，解得105.26=α．11．设(1X ，2X ，…，1+n X )为来⾃总体X ～),(2σµN 的⼀个样本，记∑==n i i n X n X 11，∑=--=n i in X X n S 122(11，求证：nn n S X X n n T -?+=+11～)1(-n t ．证：由题可知n X ～),(2nN σµ，n n X X -+1～))11(,0(2σn N +，标准化得σnX X nn 111+-+～)1,0(N ．⼜因为∑=-=-ni inX XS n 1222)(1)1(σσ～)1(2-n χ，从⽽有nn nnn S XX n n n S n n X X -+=--+-++122111)1(11σσ～)1(-n t ，即nnn S X X n n T -?+=+11～)1(-n t ．。
概率论与数理统计教材第六章习题
X σ0 n
~ N(0,1)
对于置信水平1- ，总体均值的置信区间为 对于置信水平 -α，总体均值 的置信区间为
X
σ0
n
uα < < X +
2
σ0
n
uα
2
(2)设总体 ～ N(,σ 2 ), 未知 ，求的置信区间。 设总体X～ 未知σ， 的置信区间。 设总体 的置信区间
σ 0 ，则样本函数 t = X ~ t(n 1) 用 S 代替 S n
i =1
n1
n1
F
1
α ∑ Yj 2
2 j =1
n2
(
)
2
n2
10
2 2 及 （1）设两个总体 ～ N(1,σ1 ) 及Y～ N(2 ,σ 2 ), 未知 1 2， ）设两个总体X～ ～
2 σ1 的置信区间。 求 2 的置信区间。 σ2
选取样本函数 选取样本函数
2 2 S1 σ1 F = 2 2 ~ F(n1 1, n2 1) S2 σ2
∑x
i =1
n
i =1
i
n = 0.
1 p
得 p 的极大似然估计值为 p =
n
∑x
i =1
n
1 = x
i
12
1 θ 2. 设总体 服从拉普拉斯分布：f ( x;θ ) = e ,∞< x < +∞, 设总体X 服从拉普拉斯分布： 2θ 求参数 θ 其中 > 0. 如果取得样本观测值为 x1 , x2 ,L, xn , 求参数θ
第六章 参数估计
(一)基本内容
一、参数估计的概念 1 定义：取样本的一个函数θ ( X 1 , X 2 ,L , X n ), 如果以它的观测 定义：
概率论与数理统计(理工类.第四版)吴赣昌主编答案5,6,7,8章
T=X1+X2+⋯+X9Y12+Y22+⋯+Y92=X1′+X2′+⋯+X9′Y′12+Y′22+ ⋯+Y′92=X′Y′2=X′/3Y′2/9∼t(9),
注意到X′,Y′2相互独立.
习题5
设总体X∼N(0,4), 而X1,X2,⋯,X15为取自该总体的样本，问随机变
量
Y=X12+X22+⋯+X1022(X112+X122+⋯+X152)
D(Y1)=D[a(X1-2X2)]=aD(X1-X2)=a(D(X1)+22D(X2)) =a(4+4×4)=20a=1,
D(Y2)=D[b(3X3-4X4)]=bD(3X3-4X4) =b(9D(X3)+16D(X4))=b(4×9+16×4)=100b=1,
分别得a=120,b=1100. 这时Y∼χ2(2), 自由度为n=2. 解法二 因Xi∼N(0,22)且相互独立，知
(百元)
1010-1111-12
合计
户数 18357624191414 200
求样本容量n,样本均值X¯，样本方差S2.
解答：
对于抽到的每个居民户调查均收入，可见n=200. 这里，没有给出原始 数据，而是给出了整理过的资料(频率分布), 我们首先计算各组 的“组中值”，然后计算X¯和S2的近似值：
则a=?,b=?时，统计量Y服从χ2分布，其自由度是多少？
解答：
解法一 Y=[a(X1-2X2)]2+[b(3X3-4X4)]2, 令Y1=a(X1-2X2),Y2=b(3X3-4X4), 则
Y=Y12+Y22, 为使Y∼χ2(2), 必有Y1∼N(0,1),Y2∼N(0,1), 因而
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第六章习题参考答案
第六章 参数估计习题6.11． 设X 1, X 2, X 3是取自某总体容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值µ 的无偏估计，在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？（1）3211613121ˆX X X ++=µ； （2）3212313131ˆX X X ++=µ； （3）3213326161ˆX X X ++=µ． 证：因µµµµµ=++=++=613121)(61)(31)(21)ˆ(3211X E X E X E E ， µµµµµ=++=++=313131)(31)(31)(31)ˆ(3212X E X E X E E ， µµµµµ=++=++=326161)(32)(61)(61)ˆ(3213X E X E X E E ， 故321ˆ,ˆ,ˆµµµ都是总体均值µ 的无偏估计； 因2222321136143619141)Var(361)Var(91)Var(41)ˆVar(σσσσµ=++=++=X X X ， 2222321231919191)Var(91)Var(91)Var(91)ˆVar(σσσσµ=++=++=X X X ， 222232132194361361)Var(94)Var(361)Var(361)ˆVar(σσσσµ=++=++=X X X ， 故)ˆVar()ˆVar()ˆVar(312µµµ<<，即2ˆµ有效性最好，1ˆµ其次，3ˆµ最差． 2． 设X 1, X 2, …, X n 是来自Exp (λ)的样本，已知X 为1/λ的无偏估计，试说明X /1是否为λ的无偏估计．解：因X 1, X 2, …, X n 相互独立且都服从指数分布Exp (λ)，即都服从伽玛分布Ga (1, λ)，由伽玛分布的可加性知∑==ni i X Y 1服从伽玛分布Ga (n , λ)，密度函数为01e )()(>−−ΙΓ=y y n nY y n y p λλ，则λλλλλλλ1)1()(e )(e )(110201−=−Γ⋅Γ=Γ=Γ⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∞+−−∞+−−∫∫n n n n n dy y n n dy y n y n Y n E X E n n y n n yn n， 故X /1不是λ的无偏估计．3． 设θˆ是参数θ 的无偏估计，且有0)ˆ(Var >θ，试证2)ˆ(θ不是θ 2的无偏估计． 证：因θθ=)ˆ(E ，有2222)ˆVar()]ˆ([)ˆVar(])ˆ[(θθθθθθ>+=+=E E ，故2)ˆ(θ不是θ 2的无偏估计． 4． 设总体X ~ N(µ , σ 2)，X 1, …, X n 是来自该总体的一个样本．试确定常数c 使∑=+−ni i i X X c 121)(为σ 2的无偏估计．解：因E [(X i + 1 − X i )2 ] = Var (X i + 1 − X i ) + [E (X i + 1 − X i )]2 = Var (X i + 1) + Var (X i ) + [E (X i + 1) − E (X i )]2 = 2σ 2，则2211211121)1(22)1(])[()(σσ−=⋅−⋅=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−∑∑−=+−=+n c n c X X E c X X c E n i i i n i i i ，故当)1(21−=n c 时，21121)(σ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−∑−=+n i i i X X c E ，即∑−=+−1121)(n i i i X X c 是σ 2的无偏估计．5． 设X 1, X 2, …, X n 是来自下列总体中抽取的简单样本，⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤−=.,0;2121,1);(其他θθθx x p证明样本均值X 及)(21)()1(n X X +都是θ 的无偏估计，问何者更有效？ 证：因总体⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−21,21~θθU X ，有)1,0(~21U X Y +−=θ，则21−+=θY X ，21)1()1(−+=θY X ，21)()(−+=θn n Y X ，即21)(21)(21)()1()()1(−++=+θn n Y Y X X ，可得θθθ=−+=−+=21)(21)()(Y E Y E X E ，nY n Y X 121)Var(1)Var()Var(===，因Y 的密度函数与分布函数分别为p Y ( y ) = I 0<y <1，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(y y y y y F Y有Y (1)与Y (n )的密度函数分别为10111)1()()](1[)(<<−−Ι−=−=y n Y n Y y n y p y F n y p ，1011)()]([)(<<−−Ι==y n Y n Y n ny y p y F n y p ，且(Y (1), Y (n ))的联合密度函数为)()1()()()]()()[1(),()()1(2)1()()()1(1n y y n Y Y n Y n Y n n y p y p y F y F n n y y p <−Ι−−=102)1()()()1())(1(<<<−Ι−−=n y y n n y y n n ，则11)2()()2()1()(101)1(+=+ΓΓΓ⋅=−⋅=∫−n n n n dy y n y Y E n ，1)(101)(+=⋅=∫−n n dy ny y Y E n n ， )2)(1(2)3()()3()1()(10122)1(++=+ΓΓΓ⋅=−⋅=∫−n n n n n dy y n y Y E n ，2)(10122)(+=⋅=∫−n n dy ny y Y E n n ， ∫∫∫∫−−−−⋅⋅=−−⋅=11)1()()()1()(1)1(2)1()()()1()()()1()()()()1())(1()(n n y n n n n y n n n n n y y d n y y dy dy y y n n y y dy Y Y E∫∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅−+−−=−−100)1()(1)1()(01)1()()()1()()()()()(n n y n n n y n n n n dy y y y n y y y ny dy2121)(102)(10)(1)(100)1()()()()(+=+==⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⋅−=++∫∫n y n dy y y y y dy n n n n n y n n n n n ， 即)2()1(11)2)(1(2)Var(22)1(++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−++=n n n n n n Y ，)2()1(12)Var(22)(++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=n n n n n n n Y n ，且)2()1(111121),Cov(2)()1(++=+⋅+−+=n n n nn n Y Y n 可得θθ=−++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+21)]()([21)(21)()1()()1(n n Y E Y E X X E ，)2)(1(21)2()1(422)],Cov(2)Var()[Var(41)(21Var 2)()1()()1()()1(++=+++=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n n n n n Y Y Y Y X X n n n ， 因θ=(X E ，θ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+)(21)()1(n X X E ，故X 及)(21)()1(n X X +都是θ 的无偏估计； 因当n > 1时，)2)(1(21)(21Var 121)Var()()1(++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+>=n n X X n X n ， 故)(21)()1(n X X +比样本均值X 更有效． 6． 设X 1, X 2, X 3服从均匀分布U (0, θ )，试证)3(34X 及4X (1)都是θ 的无偏估计量，哪个更有效？解：因总体X 的密度函数与分布函数分别为θθ<<Ι=x x p 01)(，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.,1;0,;0,0)(θθθx x x x x F有X (1)与X (3)的密度函数分别为θθθ<<Ι−=−=x x x p x F x p 03221)(3)()](1[3)(，θθ<<Ι==x x x p x F x p 032233)()]([3)(，则443223)(3)(043223032)1(θθθθθθθθ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⋅−⋅=−⋅=∫x x x dx x x X E ， 43433)(043032)3(θθθθθ=⋅=⋅=∫x dy x x X E ， 1054233)(3)(205432303222)1(θθθθθθθθ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⋅−⋅=−⋅=∫x x x dx x x X E ， 53533)(25303222)3(θθθθθ=⋅=⋅=∫x dy x x X E ， 即803410)Var(222)1(θθθ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=X ，8034353)Var(222)3(θθθ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=X ， 因θθ=⋅=44)4()1(X E ，θθ=⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛433434)3(X E ，故4X (1)及)3(34X 都是θ 的无偏估计； 因5380316)4Var(22)1(θθ=⋅=X ，1580391634Var 22)3(θθ=⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛X ，有⎟⎠⎞⎜⎝⎛>)3()1(34Var )4Var(X X ， 故)3(34X 比4X (1)更有效． 7． 设从均值为µ ，方差为σ 2 > 0的总体中，分别抽取容量为n 1和n 2的两独立样本，1X 和2X 分别是这两个样本的均值．试证，对于任意常数a , b （a + b = 1），21X b X a Y +=都是µ 的无偏估计，并确定常数a , b 使Var (Y ) 达到最小．解：因µµµµ=+=+=+=)()()()(21b a b a X bE X aE Y E ，故Y 是µ 的无偏估计；因22222121222122221212)1()(Var )(Var )(Var σσσ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+=⋅−+⋅=+=n a n a n n n n n a n a X b X a Y ， 令022)(Var 222121=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅+=σn a n n n n Y da d ，得211n n n a +=，且02)(Var 2212122>⋅+=σn n n n Y a d d ， 故当211n n n a +=，2121n n n a b +=−=时，Var (Y ) 达到最小2211σn n +．8． 设总体X 的均值为µ ，方差为σ 2，X 1, …, X n 是来自该总体的一个样本，T (X 1, …, X n )为µ 的任一线性无偏估计量．证明：X 与T 的相关系数为)Var()Var(T X ．证：因T(X 1, …, X n )为µ的任一线性无偏估计量，设∑==ni i i n X a X X T 11),,(L ，则µµ===∑∑==ni i ni i i a X E a T E 11)()(，即11=∑=ni i a ，因X 1, …, X n 相互独立，当i ≠ j 时，有Cov (X i , X j ) = 0，则nanX X n a X a X n X a X n T X ni in i i i i n i i i i ni i i n i i 2121111),Cov(,1Cov ,1Cov ),Cov(σσ===⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑∑∑∑∑=====，因),Cov()Var(1)Var(2T X nX n X ===σ，故X 与T 的相关系数为)Var()Var()Var()Var()Var()Var()Var(),Cov(),Corr(T X T X X T X T X T X ===．9． 设有k 台仪器，已知用第i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为σ i （i = 1, …, k ）．用这些仪器独立地对某一物理量θ 各观察一次，分别得到X 1, …, X k ，设仪器都没有系统误差．问a 1, …, a k 应取何值，方能使∑==ki i i X a 1ˆθ成为θ 的无偏估计，且方差达到最小？解：因θθθ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑∑∑∑====k i i ki i k i i i ki i i a a x E a x a E E 1111)()ˆ(， 则当11=∑=ki i a 时，∑==ki ii x a 1ˆθ是θ 的无偏估计， 因∑∑∑=====⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=ki i i k i i i k i i i a x a x a 122121)(Var Var )ˆ(Var σθ， 讨论在11=∑=ki i a 时，∑=ki i i a 122σ的条件极值，设拉格朗日函数⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=∑∑==1),,,(11221ki i ki iik a a a a L λσλL ， 令⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=−=∂∂=+=∂∂=+=∂∂∑=,01,02,02122111ki i k k ka L a a L a a L λλσλσL L L L L 得2212−−++−=k σσλL ，2212−−−++=k i i a σσσL ，i = 1, …, k ， 故当2212−−−++=k i i a σσσL ，i = 1, …, k 时，∑==ki ii x a 1ˆθ是θ 的无偏估计，且方差达到最小． 10．设X 1, X 2, …, X n 是来自N (θ, 1)的样本，证明g (θ ) = |θ | 没有无偏估计（提示：利用g (θ )在θ = 0处不可导）．证：反证法：假设T = T (X 1, X 2, …, X n )是g (θ ) = |θ | 的任一无偏估计，因∑==ni i X n X 11是θ 的一个充分统计量，即在取定x X =条件下，样本条件分布与参数θ 无关，则)|(X T E S =与参数θ 无关，且S 是关于X 的函数，||)()()]|([)(θθ====g T E X T E E S E ， 可得)(X S S =是g (θ ) = |θ | 的无偏估计，因X 1, X 2, …, X n 是来自N (θ, 1)的样本，由正态分布可加性知X 服从正态分布⎟⎠⎞⎜⎝⎛n N 1,θ，则∫∫∞+∞−+−−∞+∞−−−⋅⋅=⋅=dx x S ndx n x S S E x n x n n x nθθθ22222)(2e)(eπ2eπ2)()(，因E (S ) = |θ|，可知对任意的θ，反常积分∫∞+∞−+−⋅dx x S x n x n θ22e)(收敛，则由参数θ的任意性以及该反常积分在−∞与+∞两个方向的收敛性知∫∞+∞−⋅⋅+−⋅dx x S x n x n ||||22e)(θ收敛，因x n x S x S x n x n x n n ⋅⋅=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅∂∂+−+−θθθ2222e )(e )(，且| y | ≤ e| y |，有||)1||(2222eex n n x n x n x n ⋅+⋅+−+−≤⋅θθ，则由∫∞+∞−⋅+⋅+−⋅dx x S x n x n ||)1|(|22e)(θ的收敛性知∫∞+∞−+−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅∂∂dx x S x n x n θθ22e )(一致收敛， 可得∫∞+∞−+−−⋅⋅=dx x S nS E x n x n n θθ2222e)(e π2)(关于参数θ 可导，与E (S ) = |θ |在θ = 0处不可导矛盾，故g (θ ) = |θ | 没有无偏估计．11．设总体X 服从正态分布N (µ , σ 2)，X 1, X 2, …, X n 为来自总体X 的样本，为了得到标准差σ 的估计量，考虑统计量：∑=−=ni i X X n Y 11||1，∑==n i i X n X 11，n ≥ 2，∑∑==−−=n i nj j i X X n n Y 112||)1(1，n ≥ 2，求常数C 1与C 2，使得C 1Y 1与C 2Y 2都是σ 的无偏估计． 解：设),0(~2θN Y ，有θθθθθθθπ2eπ22e π212e π21|||][|02022222222=−=⋅=⋅=+∞−∞+−∞+∞−⋅−∫∫y y y dy y dy y Y E ， 因X X i −是独立正态变量X 1, X 2, …, X n 的线性组合， 且0()()(=−=−=−µµX E X E X X E i i ，22211,Cov 21),Cov(2)Var()Var()Var(σσσn n X n X n X X X X X X i i i i i −=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=−+=−，则⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−21,0~σn n N X X i ，σσπ)1(21π2|][|n n n n X X E i −=−⋅=−， 可得σσπ)1(2π)1(21|][|1)()(11111111n n C n n n n C X X E n C Y E C Y C E n i i −=−⋅⋅⋅=−⋅==∑=，故当)1(2π1−=n n C 时，E [C 1Y 1] = σ，C 1Y 1是σ 的无偏估计；当i ≠ j 时，X i 与X j 相互独立，都服从正态分布N (µ , σ 2)，有E (X i − X j ) = E (X i ) − E (X j ) = µ − µ = 0，Var(X i − X j ) = Var(X i ) + Var(X j ) = σ 2 + σ 2 = 2σ 2，则X i − X j ~ N (0, 2σ 2)，σσπ22π2|][|=⋅=−j i X X E ， 当i = j 时，X i − X j = 0，E [| X i − X j |] = 0，可得σσπ2π2)()1(1|][|)1(1)()(2221122222C n n n n C X X E n n C Y E C Y C E n i nj j i =−⋅−⋅=−−⋅==∑∑==， 故当2π2=C 时，E [C 2Y 2] = σ，C 2Y 2是σ 的无偏估计． 习题6.21． 从一批电子元件中抽取8个进行寿命测试，得到如下数据（单位：h ）：1050，1100，1130，1040，1250，1300，1200，1080，试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差给出矩估计．解：平均寿命µ 的矩估计75.1143ˆ==x µ；标准差σ 的矩估计8523.89*ˆ==s µ． 2． 设总体X ~ U (0, θ )，现从该总体中抽取容量为10的样本，样本值为：0.5，1.3，0.6，1.7，2.2，1.2，0.8，1.5，2.0，1.6，试对参数θ 给出矩估计．解：因X ~ U (0, θ )，有2)(θ=X E ，即θ = 2 E (X )，故θ 的矩估计68.234.122ˆ=×==x θ． 3． 设总体分布列如下，X 1, …, X n 是样本，试求未知参数的矩估计．（1）Nk X P 1}{==，k = 0, 1, 2, …, N − 1，N （正整数）是未知参数；（2）P {X = k } = (k − 1)θ 2 (1 − θ )k − 2，k = 2, 3, …，0 < θ < 1．解：（1）因21)]1(10[1)(−=−+++=N N N X E L ，即N = 2 E (X ) + 1，故N 的矩估计12ˆ+=X N ； （2）因⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−=−−⋅=∑∑∑+∞=+∞=+∞=−22222222222)1()1()1()1()(k k k k k k d d d d k k X E θθθθθθθθ θθθθθθθθθθθ2221)1(1)1(322222222=⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=d d d d ， 则)(2X E =θ， 故θ 的矩估计X2ˆ=θ． 4． 设总体密度函数如下，X 1, …, X n 是样本，试求未知参数的矩估计．（1）)(2);(2x x p −=θθθ，0 < x < θ ，θ > 0； （2）p (x ;θ ) = (θ + 1) x θ，0 < x < 1，θ > 0；（3）1);(−=θθθx x p ，0 < x < 1，θ > 0； （4）θµθµθ−−=x x p e1),;(，x > µ ，θ > 0．解：（1）因3322)(2)(032202θθθθθθθ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅=−⋅=∫x x dx x x X E ，即θ = 3 E (X )，故θ 的矩估计X 3ˆ=θ； （2）因212)1()1()(10210++=+⋅+=+⋅=+∫θθθθθθθx dx x x X E ，即)(11)(2X E X E −−=θ， 故θ 的矩估计XX −−=112ˆθ； （3）因11)(101101+=+⋅=⋅=+−∫θθθθθθθxdx x x X E ，即2)(1)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=X E X E θ， 故θ 的矩估计21ˆ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=XX θ； （4）因θµθµθµθµµθµµθµµθµµθµ+=−=+−=−⋅=⋅=+∞−−∞+−−+∞−−∞+−−∞+−−∫∫∫x x x x x dx x d x dx x X E eeee)1(e1)(，)(2e2ee)1(e1)(22222X E dx x x d x dx x X E x x x x θµθµθµµθµµθµµθµ+=+−=−⋅=⋅=∫∫∫∞+−−+∞−−∞+−−∞+−−= µ 2 + 2µθ + 2θ 2，则Var (X ) = E (X 2 ) − [E (X )]2 = θ 2，即)Var(X =θ，)Var()(X X E −=µ，故θ 的矩估计*ˆS =θ，*ˆS X −=µ． 5． 设总体为N (µ , 1)，现对该总体观测n 次，发现有k 次观测值为正，使用频率替换方法求µ 的估计．解：因p = P {X > 0} = P {X − µ > −µ} = 1 − Φ (−µ) = Φ (µ)，即µ = Φ −1 ( p )，故µ 的矩估计⎟⎠⎞⎜⎝⎛Φ=Φ=−−n k p 11)ˆ(ˆµ．6． 甲、乙两个校对员彼此独立对同一本书的样稿进行校对，校完后，甲发现a 个错字，乙发现b 个错字，其中共同发现的错字有c 个，试用矩法给出如下两个未知参数的估计： （1）该书样稿的总错字个数； （2）未被发现的错字数． 解：（1）设N 为该书样稿总错别字个数，且A 、B 分别表示甲、乙发现错别字，有A 与B 相互独立，则P (AB ) = P (A ) P (B )，使用频率替换方法，即N b N a p p N c p B A AB ⋅===ˆˆˆ，得cabN =， 故总错字个数N 的矩估计cab N=ˆ； （2）设k 为未被发现的错字数，因)()()(1)(1)(AB P B P A P B A P B A P +−−=−=U ，使用频率替换方法，即N cN b N a p p pN k pAB B A B A +−−=+−−==1ˆˆˆ1ˆ，即k = N − a − b + c ， 故未被发现的错字数k 的矩估计c b a cab c b a N k+−−=+−−=ˆˆ． 7． 设总体X 服从二项分布b (m , p )，其中m , p 为未知参数，X 1, …, X n 为X 的一个样本，求m 与p 的矩估计．解：因E (X ) = mp ，Var (X ) = mp (1 − p )，有)()Var(1X E X p =−，则)()Var(1X E X p −=，)Var()()]([)(2X X E X E p X E m −==， 故m 的矩估计22*ˆS X X m −=，p 的矩估计XS p 2*1ˆ−=．习题6.31． 设总体概率函数如下，X 1, …, X n 是样本，试求未知参数的最大似然估计．（1）1);(−=θθθxx p ，0 < x < 1，θ > 0；（2）p (x ;θ ) = θ c θ x − (θ + 1) ，x > c ，c > 0已知，θ > 1． 解：（1）因1,,,01212110121)()(<<−=<<−Ι=Ι=∏n i x x x n nni x ix x x x L L L θθθθθ，当0 < x 1, x 2, …, x n < 1时，)ln()1(ln 2)(ln 21n x x x nL L −+=θθθ， 令0)ln(212)(ln 21=+=n x x x n d L d L θθθθ，得)ln(21n x x x n L −=θ，即221)ln(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n x x x nL θ，故θ 的最大似然估计221)ln(ˆ⎦⎤⎢⎣⎡=n X X X n L θ；（2）因c x x x n n n ni c x i n i x x x c x c L >+−=>+−Ι=Ι=∏,,,)1(211)1(21)()(L L θθθθθθθ，当x 1, x 2, …, x n > c 时，ln L (θ ) = n ln θ + n θ ln c − (θ + 1) ln (x 1 x 2 …x n )， 令0)ln(ln )(ln 21=−+=n x x x c n n d L d L θθθ，得c n x x x nn ln )ln(21−=L θ， 故θ 的最大似然估计cn X X X nn ln )ln(ˆ21−=L θ．2． 设总体概率函数如下，X 1, …, X n 是样本，试求未知参数的最大似然估计．（1）p (x ;θ ) = c θ c x − (c + 1) ，x > θ ，θ > 0，c > 0已知；（2）θµθµθ−−=x x p e1),;(，x > µ ，θ > 0；（3）p (x ;θ ) = (k θ )−1，θ < x < (k + 1)θ ，θ > 0．解：（1）因θθθθθ>+−=>+−Ι=Ι=∏n i x x x c n nc n ni x c i c x x x c x c L ,,,)1(211)1(21)()(L L ，显然θ 越大，nc θ越大，但只有x 1 , x 2 , …, x n > θ 时，才有L (θ ) > 0，即θ = min {x 1, x 2, …, x n } 时，L (θ ) 达到最大，故θ 的最大似然估计},,,min{ˆ21)1(nX X X X L ==θ；（2）因µµθµθµθθµθ>⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=>−−Ι∑=Ι==∏n n i i i i x x x n x nni x x L ,,,11211e1e1),(L ，当x 1, x 2, …, x n > µ 时，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=∑=µθθµθn x n L ni i 11ln ),(ln ， 令01),(ln 12=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−=∑=µθθθµθn x n d L d ni i ，解得µµθ−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=x n x n n i i11， 且显然µ越大，⎟⎟⎠⎞⎝⎛−−∑=µθn x n i i 11e 越大，但只有x 1 , x 2 , …, x n > µ 时，才有L (θ, µ) > 0，即µ = min {x 1, x 2, …, x n } 时，L (θ, µ) 才能达到最大，故µ 的最大似然估计},,,min{ˆ21)1(n X X X X L ==µ，θ 的最大似然估计)1(ˆˆX X X −=−=µθ； （3）因θθθθθθθ)1(,,,1)1(121)()()(+<<−=+<<−Ι=Ι=∏k x x x n ni k x n i k k L L ，显然θ 越小，(k θ )−n 越大，但只有θ < x 1 , x 2 , …, x n < (k + 1)θ 时，才有L (θ ) > 0，即},,,max{1121n x x x k L +=θ时，L (θ ) 达到最大， 故θ 的最大似然估计为},,,max{111ˆ21)(nn X X X k k X L +=+=θ． 3． 设总体概率函数如下，X 1, …, X n 是样本，试求未知参数的最大似然估计．（1）θθθ||e 21);(x x p −=，θ > 0；（2）p(x ;θ ) = 1，θ − 1/2 < x < θ + 1/2；（3）12211),;(θθθθ−=x p ，θ1 < x < θ2．解：（1）因∑===−=−∏ni i i x n n ni x L 1||11||e21e 21)(θθθθθ，有∑=−−−=n i i x n n L 1||1ln 2ln )(ln θθθ， 令∑=+⋅−=ni i x n d L d 12||11)(ln θθθθ，得∑==ni i x n 1||1θ， 故θ的最大似然估计∑==ni i X n 1||1ˆθ； （2）因2/1,,,2/112/12/121)(+<<−=+<<−Ι=Ι=∏θθθθθn i x x x ni x L L ，即θ − 1/2 < x (1) ≤ x (n ) < θ + 1/2，可得当x (n ) − 1/2 < θ < x (1) + 1/2时，都有L (θ ) = 1，故θ 的最大似然估计ˆθ是 (x (n ) − 1/2, x (1) + 1/2) 中任何一个值； （3）因221121,,,1211221)(11),(θθθθθθθθθθ<<=<<Ι−=Ι−=∏n i x x x n ni x L L ，显然θ 1越大且θ 2越小时，L (θ1, θ 2) 越大，但只有θ1 < x 1 , x 2 , …, x n < θ 2 时，才有L (θ1, θ 2) > 0， 即θ 1 = min {x 1, x 2, …, x n }且θ 2 = max {x 1, x 2, …, x n }时，L (θ1, θ 2)达到最大，故θ 1的最大似然估计},,,min{ˆ21)1(1nX X X X L ==θ， θ 2的最大似然估计},,,max{ˆ21)(2nn X X X X L ==θ． 4． 一地质学家为研究密歇根湖的湖滩地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数．假设这100次观察相互独立，求这地区石子中石灰石的比例p 的最大似然估计．该地质学家所得的数据如下： 样本中的石子数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10样品个数0 1 6 7 23 26 21 12 3 1 0解：总体X 为样品的10块石子中属石灰石的石子数，即X 服从二项分布B (10, p )，其概率函数为xx p p x x p −−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=10)1(10)(，x = 1, 2, …, 10，因∑−∑⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===−==−∏∏1001100110001001110)1(10)1(10)(i ii iii x x i i ni x x i p p x p p x p L ，即)1ln(1000ln 10ln )(ln 100110011001p x p x x p L i i i i i i −⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⋅+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑∑∑===， 令01110001)(ln 10011001=−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=∑∑==p x p x dp p L d i i i i ，得∑==100110001i i x p ，即∑==100110001ˆi i X p 由于49909137261101001=+×+×+×+×+=∑=i i x ，故比例p 的最大似然估计499.049910001ˆ=×=p． 5． 在遗传学研究中经常要从截尾二项分布中抽样，其总体概率函数为m k p p p k m p k X P mk m k ,,2,1,)1(1)1(};{L =−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==−． 若已知m = 2，X 1, …, X n 是样本，试求p 的最大似然估计．解：当m = 2时，X 只能取值1或2，且p p p p p X P −−=−−−==222)1(1)1(2}1{2，ppp p X P −=−−==2)1(1}2{22， 即pp p p p p p p x X P x x x x−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==−−−−2)22(2222};{1212，x = 1, 2，因nnx x n ni x x p p p p p p p L ni i ni i i i )2()22(2)22()(112112−∑∑−=−−=−−=−−==∏， 即)2ln(ln )22ln(2)(ln 11p n p n x p x n p L n i i ni i −−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑∑==，令02112222)(ln 11=−−⋅−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑∑==p n p n x p x n dp p L d n i i ni i ，得x x n p n i i22221−=−=∑=， 故p 的最大似然估计Xp22ˆ−=． 6． 已知在文学家萧伯纳的“An Intelligent Woman’s Guide to Socialism ”一书中，一个句子的单词数X 近似地服从对数正态分布，即Z = ln X ~ N (µ , σ 2 )．今从该书中随机地取20个句子，这些句子中的单词数分别为52, 24, 15, 67, 15, 22, 63, 26, 16, 32, 7, 33, 28, 14, 7, 29, 10, 6, 59, 30，求该书中一个句子单词数均值22e )(σµ+=X E 的最大似然估计．解：因Z = ln X ~ N (µ , σ 2 )，则µ的最大似然估计09.3)30ln 24ln 52(ln 201ln 11ˆ11=+++====∑∑==L n i in i i x n z n z µ， σ 2的最大似然估计51.0])09.330(ln )09.324(ln )09.352[(ln 201)(12221222=−++−+−=−==∑=∗∧L n i i zz z n sσ， 故由最大似然估计的不变性知22e)(σµ+=X E 的最大似然估计31.28e e )(251.009.322*===++∧zs z X E ．7． 总体X ~ U (θ , 2θ )，其中θ > 0是未知参数，又X 1, …, X n 为取自该总体的样本，X 为样本均值．（1）证明X 32ˆ=θ是参数θ 的无偏估计和相合估计； （2）求θ的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？解：（1）因X ~ U(θ , 2θ )，有θθθ2322)(=+=X E ，2212112)2()Var(θθθ=−=X ， 故θθ=⋅===2332)(32)(32)ˆ(X E X E E ，即X 32ˆ=θ是参数θ 的无偏估计； 因n n X n X 2712194)Var(94)Var(94)ˆVar(22θθθ=⋅===，有θθ=→∞)ˆ(lim E n ，0)ˆVar(lim =∞→θn ， 故X 32ˆ=θ是参数θ 的相合估计； （2）因θθθθθθθ2,,,122111)(<<=<<Ι=Ι=∏n i x x x nni x L L ，显然θ 越小，nθ1越大，但只有θ < x 1 , x 2 , …, x n < 2θ 时，才有L (θ ) > 0，即},,,max{2121n x x x L =θ时，L (θ ) 达到最大， 故θ 的最大似然估计为},,,max{2121*ˆ21)(nn X X X X L ==θ；因X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;2,1)(其他θθθx x p ，分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤−<=.2,1;2,;,0)(θθθθθθx x x x x F则X (n ) 的密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<−==−−.,0;2,)()()]([)(11其他θθθθx x n x p x F n x p nn n n因θθθθθθθθθθθ11)()()()(2121)(+=+−⋅=−⋅−=−+−∫n nn x n dx x n x X E n n nn n ，有θ112)()(++=n n X E n ， 且2222122)(22)()()(])[(θθθθθθθθθθθ+=+−⋅=−⋅−=−+−∫n nn x n dx x n x X E n n nn n ， 则2222)()()2()1(12)Var()Var(θθθθ++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=−=n n n n n n n X X n n ， 因θθθ≠++==)1(212)(21*)ˆ()(n n X E E n ，22)()2()1(4)Var(41*)ˆVar(θθ++==n n n X n ， 故)(21*ˆn X =θ不是参数θ 的无偏估计，应该修偏为)(121ˆn X n n ++=θ才是θ 的无偏估计， 因θθθ=++=→∞→∞)1(212lim *)ˆ(lim n n E n n ，0)2()1(4lim *)ˆVar(lim 22=++=∞→∞→θθn n n n n ， 故θ 的最大似然估计)(21*ˆn X =θ是参数θ 的相合估计． 8． 设X 1, …, X n 是来自密度函数为p (x ;θ ) = e − (x − θ), x >θ 的样本．（1）求θ 的最大似然估计1ˆθ，它是否是相合估计？是否是无偏估计？ （2）求θ 的矩估计2ˆθ，它是否是相合估计？是否是无偏估计？ 解：（1）似然函数θθθθθ>+−=>−−Ι∑=Ι==∏n ni i i i x x x n x ni x x L ,,,1)(211ee)(L ，显然θ 越大，θn x ni i +−∑=1e 越大，但只有x 1 , x 2 , …, x n > θ 时，才有L (θ ) > 0， 即θ = min {x 1, x 2, …, x n } 时，L (θ ) 达到最大，故θ 的最大似然估计},,,min{ˆ21)1(1nX X X X L ==θ； 因X 的密度函数与分布函数分别为⎩⎨⎧≤>=−−.,0;,e )()(θθθx x x p x ⎩⎨⎧≤>−=−−.,0;,e 1)()(θθθx x x F x 则X (1) 的密度函数为⎩⎨⎧≤>=−=−−−.,0;,e )()](1[)()(11θθθx x n x p x F n x p x n n 可得X (1) − θ 服从指数分布Exp (n )，因n X E 1)()1(=−θ，2)1(1)Var(nX =−θ， 则θθθ≠+==nX E E 1)()ˆ()1(1，2)1()1(11)Var()Var()ˆVar(n X X =−==θθ， 故)1(1ˆX =θ不是θ 的无偏估计； 因θθθ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=→∞→∞n E n n 1lim )ˆ(lim 1，01lim )ˆVar(lim 21==→∞→∞n n n θ， 故)1(1ˆX =θ是θ 的相合估计； （2）因总体X 的密度函数为p (x ;θ ) = e − (x − θ), x >θ ，有X − θ 服从指数分布Exp (1)，则E (X − θ ) = E (X ) − θ = 1，即θ = E (X ) − 1，故θ 的矩估计1ˆ2−=X θ； 因E (X ) = θ + 1，Var(X ) = Var(X − θ) = θ 2，则θθ=−=−=1)(1)()ˆ(2X E X E E ，nX n X 22)Var(1)Var()ˆVar(θθ===， 故1ˆ2−=X θ是θ 的无偏估计； 因θθ=∞→)ˆ(lim 2E n ，0lim )ˆVar(lim 22==→∞→∞n n n θθ， 故1ˆ2−=X θ是θ 的相合估计． 9． 设总体X ~ Exp (1/θ )，X 1, …, X n 是样本，θ 的矩估计和最大似然估计都是X ，它也是θ 的相合估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于X 的估计（提示：考虑X a a=θˆ，找均方误差最小者）． 证：因X ~ Exp (1/θ )，有E (X ) = θ ，Var(X ) = θ 2，且X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=−.0,0;0,e 1)(x x x p xθθ故θ = E (X )，即θ 的矩估计为X =θˆ； 因似然函数0,,,110211e1e1)(>−=>−Ι∑=Ι==∏n ni ii ix x x x nni x x L L θθθθθ， 当x 1, x 2, …, x n > 0时，∑=−−=ni i x n L 11ln )(ln θθθ， 令01)(ln 12=+−=∑=ni i x n d L d θθθθ，得x x n ni i ==∑=11θ， 故θ 的最大似然估计也为X =θˆ； 因θ==)((X E X E ，nX n X 2)Var(1)Var(θ==，故X 是θ 的无偏估计；因θ=→∞)(lim X E n ，0lim)Var(lim 2==∞→∞→nX n n θ，故X 是θ 的相合估计；设X a a =θˆ，有θθa X aE E a ==)()ˆ(，na X a a 222)Var()ˆVar(θθ==， 则nnX E X X 2222)(])([)Var()MSE(θθθθθ=−+=−+=，222222212)(])ˆ([)ˆVar()ˆMSE(θθθθθθθθ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+=−+=−+=a a n a a n a E a a a 2222111111121θθ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++−+=n n n a n n n n n a a n n ，故当1+=n n a 时，X n n a 1ˆ+=θ的均方误差1)ˆMSE(2+=n a θθ小于X 的均方误差nX 2)MSE(θ=．10．为了估计湖中有多少条鱼，从中捞出1000条，标上记号后放回湖中，然后再捞出150条鱼，发现其中有10条鱼有记号．问湖中有多少条鱼，才能使150条鱼中出现10条带记号的鱼的概率最大？解：设湖中有N 条鱼，有湖中每条鱼带记号的概率为Np 1000=，看作总体X 服从两点分布b (1, p )，从中抽取容量为150的样本X 1, X 2, …, X 150，有101501=∑=i i x ，似然函数∑−∑=−===−=−∏ni ini iiix n x ni x x p pp p p L 11)1()1()(11，有)1ln(ln )(ln 11p x n p x p L ni i ni i −⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⋅=∑∑==， 令0111)(ln 11=−−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⋅=∑∑==p x n p x dp p L d ni i n i i ，得x x n p ni i ==∑=11，即p 的最大似然估计为X p =ˆ， 因pN 1000=，由最大似然估计的不变性知X N1000ˆ=， 故湖中有150001015011000ˆ=×=N条鱼时，才能使150条鱼中出现10条带记号的鱼的概率最大． 11．证明：对正态分布N (µ , σ 2 )，若只有一个观测值，则µ , σ 2的最大似然估计不存在． 证：若只有一个观测值，似然函数222)(2eπ21),(σµσσµ−−=x L ，对于任一固定的σ，当µ = x 时，L (µ)取得最大值σπ21， 但显然σ 越小，σπ21越大，且σ 可任意接近于0，即σπ21不存在最大值，故µ , σ 2的最大似然估计不存在．习题6.41． 设总体概率函数是p (x ;θ )，X 1, …, X n 是其样本，T = T (X 1, …, X n )是θ 的充分统计量，则对g (θ )的任一估计gˆ，令)|ˆ(~T g E g =，证明：)ˆMSE()~MSE(g g ≤．这说明，在均方误差准则下，人们只需要考虑基于充分估计量的估计．解：因)|ˆ(~T g E g=，由Rao-Blackwell 定理知)ˆ()~(g E g E =，)ˆVar()~Var(g g ≤， 故)ˆMSE()]()ˆ([)ˆVar()]()~([)~Var()~MSE(22g g g E g g g E g g=−+≤−+=θθ． 2． 设T 1 , T 2分别是θ 1 , θ 2的UMVUE ，证明：对任意的（非零）常数a , b ，aT 1 + bT 2 是a θ 1 + b θ 2的UMVUE ．证：因T 1 , T 2分别是θ 1 , θ 2的UMVUE ，有E (T 1) = θ 1 ，E (T 2) = θ 2 ，且对任意的满足E (ϕ) = 0的ϕ 都有Cov (T 1 , ϕ) = Cov (T 2 , ϕ) = 0， 则E (aT 1 + bT 2) = a E (T 1) + b E (T 2) = a θ 1 + b θ 2 ，且Cov (aT 1 + bT 2 , ϕ) = a Cov (T 1 , ϕ) + b Cov (T 2 , ϕ) = 0， 故aT 1 + bT 2是a θ 1 + b θ 2的UMVUE ．3． 设T 是g (θ ) 的UMVUE ，gˆ是g (θ ) 的无偏估计，证明，若+∞<)ˆ(Var g ，则0)ˆ,Cov(≥g T ． 证：因gˆ和T 都是g (θ ) 的无偏估计，有)()()ˆ(θg T E g E ==，即0)ˆ(=−T g E ， 又因T 是g (θ ) 的UMVUE ，有0)ˆ,(Cov =−T g T ，即0),Cov()ˆ,Cov(=−T T g T ， 故0),Cov()ˆ,Cov(≥=T T gT ． 4． 设总体X ~ N (µ , σ 2)，X 1 , …, X n 为样本，证明，∑==n i i X n X 11，∑=−−=n i i X X n S 122)(11分别为µ , σ 2的UMVUE ．证：因X ~ N (µ , σ 2 )，有X 是µ 的无偏估计，S 2是σ 2的无偏估计，且样本X 1 , …, X n 的联合密度函数为===−−=−−∏ni i ix nni x n x x p 12222)(2112)(21e )π2(1e π21),;,,(µσσµσσσµL ，对任意的满足E (ϕ) = 0的ϕ (x 1 , …, x n )，有0e)π2(1)(1)(21122=∑⋅=∫∫∞+∞−∞+∞−−−=n x ndx dx E ni i L L µσϕσϕ，对E (ϕ) = 0两端关于µ 求偏导数，得∫∫∑∞+∞−∞+∞−−−=⋅−⋅==∂∂=n x ni i ndx dx x E ni i L L 1)(2112122e )(1)π2(10)(µσµσϕσµϕ∫∫∞+∞−∞+∞−−−∑⋅−⋅==n x n dx dx n x n ni i L L 1)(212122e)(1)π2(1µσµσϕσ)()]()([])[(222ϕσϕµϕσϕµσX E nE X E nX E n=−=−=，则0)(=ϕX E ，0)(()(),Cov(=⋅−=ϕϕϕE X E X E X ，故∑==ni i X n X 11是µ 的UMVUE ；对0)(=ϕX E 两端再关于µ 求偏导数，得∫∫∑∞+∞−∞+∞−−−=∑⋅−⋅==∂∂=n x n i i ndx dx x x X E ni i L L 1)(2112122e )(1)π2(10)(µσµσϕσµϕ∫∫∞+∞−∞+∞−−−∑⋅−⋅==n x n dx dx n x n x ni i L L 1)(212122e)(1)π2(1µσµσϕσ )()]()([])[(22ϕσϕµϕσϕµσX E nX E X E nX X E n=−=−=，则0)(2=ϕX E ，对0)()π2(=ϕσE n 两端关于σ 2求偏导数，得∫∫∑∞+∞−∞+∞−−−=∑⋅−⋅==∂∂=n x ni indx dx xE ni i L L 1)(211242122e)(210)]()π2[(µσµσϕσϕσ∫∫∑∞+∞−∞+∞−−−=∑⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−⋅==n x n i i dx dx n x n x ni i L L 1)(212124122e 221µσµµσϕ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=∑=ϕµµσσ21222)π2(n X n X E n i i n ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑∑==n i i n n i i n X E E n X E n X E 122122)π2()()(22)π2(ϕσσϕµϕµϕσσ， 则012=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∑=n i i X E ϕ，因⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−−=∑∑==21212211)(11X n X n X X n S n i i n i i ，有0)(11)(2122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=ϕϕϕX nE X E n S E n i i ， 则Cov (S 2, ϕ ) = E (S 2ϕ ) − E (S 2) ⋅ E (ϕ) = 0，故∑=−−=ni i X X n S 122)(11是σ 2的UMVUE ． 5． 设总体的概率函数为p(x ;θ )，满足定义6.4.2的条件，若二阶导数);(22θθx p ∂∂对一切的θ ∈ Θ 存在，证明费希尔信息量⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−=);(ln )(22θθθX p E I ． 证：因θθ∂∂⋅=∂∂p p p 1ln ，2222222221ln 111ln θθθθθθθ∂∂⋅+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−=∂∂⋅+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂⋅−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂⋅∂∂=∂∂p p p p p p p p p p ， 故∫∫∞+∞−∞+∞−∂∂+−=⋅∂∂⋅+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂⋅+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂dx p I pdx p p I p p E p E p E 222222222)(1)(1ln ln θθθθθθθ)()()(22θθθI dx x p I −=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+−=∫∞+∞−．6． 设总体密度函数为p (x ;θ ) = θ x θ − 1, 0 < x < 1, θ > 0，X 1 , …, X n 是样本．（1）求g (θ ) = 1/θ 的最大似然估计； （2）求g (θ )的有效估计．解：（1）似然函数1,,,0121110121)()(<<−=<<−Ι=Ι=∏n i x x x n n ni x i x x x x L L L θθθθθ，当0 < x 1, x 2, …, x n < 1时，ln L (θ ) = n ln θ + (θ − 1) ln (x 1x 2…x n )，令0)ln()(ln 21=+=n x x x n d L d L θθθ，得∑=−=−=ni i n x n x x x n 121ln )ln(L θ，即∑=−=ni iX n 1ln ˆθ， 故g(θ ) = 1/θ 的最大似然估计为∑=−==ni iX n g 1ln 1ˆ/1ˆθ； （2）因θθθθθθθθ1101ln )(ln ln )(ln 10101010101−=−=⋅−=⋅=⋅=∫∫∫−x dx x x x x x d x dx x x X E ，21102102101222)(ln 2ln 2)(ln )()(ln )(ln )(ln θθθθθθθ=−=⋅−==⋅=∫∫∫−X E dx x x x x x x d x dx x x X E ， 则22222112)](ln [)(ln )Var(ln θθθ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−=X E X E X ，可得)(111)(ln 1)ˆ(1θθθg n n X E n gE n i i ==⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅⋅−=−=∑=，即∑=−=n i i X n g 1ln 1ˆ是g (θ )的无偏估计， 且22212111)Var(ln 1)ˆ(Var θθn nn X ngni i =⋅⋅==∑=， 因p (x ; θ ) = θ x θ − 1 I 0 < x < 1，当0 < x < 1时，ln p (x ; θ ) = ln θ + (θ − 1) ln x ，则x x p ln 1);(ln +=∂∂θθθ，2221);(ln θθθ−=∂∂x p ，即2221);(ln )(θθθθ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂−=X p E I ，可得g (θ ) = 1/θ 无偏估计方差的C-R 下界为)ˆ(Var 111)()]([22222g n n nI g ==⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=′θθθθθ， 故∑=−=ni i X n g1ln 1ˆ是g (θ ) = 1/θ 的有效估计． 7． 设总体密度函数为2e 2);(3x xx p θθθ−=, x > 0, θ > 0，求θ 的费希尔信息量I (θ )．解：因032e 2);(>−Ι=x x xx p θθθ，当x > 0时，2ln 3ln 2ln );(ln x x x p θθθ−−+=，。
概率论与数理统计答案第六章
第六章 样本及抽样分布1.[一] 在总体N （52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8到53.8之间的概率。
解：8293.0)78()712(}63.68.163.65263.62.1{}8.538.50{),363.6,52(~2=-Φ-Φ=<-<-=<<X P X P N X2.[二] 在总体N （12，4）中随机抽一容量为5的样本X 1，X 2，X 3，X 4，X 5. （1）求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。
（2）求概率P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>15}. （3）求概率P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>10}.解：（1）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=>-25541225415412}112{|X P X P X P=2628.0)]25(1[2=Φ- （2）P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>15}=1－P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)≤15} =.2923.0)]21215([1}15{1551=-Φ-=≤-∏=i i X P （3）P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)<10}=1－ P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)≥10} =.5785.0)]1([1)]21210(1[1}10{15551=Φ-=-Φ--=≥-∏=i iXP 4.[四] 设X 1，X 2…，X 10为N （0，0.32）的一个样本，求}.44.1{1012>∑=i iXP解：)5(1.0}163.0{}44.1{),10(~3.0101221012221012查表=>=>∑∑∑===i i i i i i X P X P χX7．设X 1，X 2，…，X n 是来自泊松分布π (λ )的一个样本，X ，S 2分别为样本均值和样本方差，求E (X ), D (X ), E (S 2 ).解：由X ~π (λ )知E (X )= λ ，λ=)(X D∴E (X )=E (X )= λ, D (X )=.)()(,)(2λX D S E nλn X D === [六] 设总体X~b (1,p)，X 1，X 2，…，X n 是来自X 的样本。
概率统计练习题6答案
《概率论与数理统计》练习题6考试时间：120分钟题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分）1、设某人射击的命中率为0.4，共进行了n 次独立射击，恰能使至少命中一次的概率大于0.9，则n 值为( )。
A 、3B 、4C 、5D 、6 答案：C2、设,,A B C 为随机试验中的三个事件，则A B C 等于( )。
A 、A B C B 、A B C C 、A B C D 、A B C答案：B3、设随机变量ξ服从0-布，又知ξ取1的概率为它取0的概率的一半,则{1}p ξ=是( )。
A 、13B 、0C 、12D 、1答案：A4、设二维随机变量(,)ξη的联合概率密度为(,)x y ϕ，记在条件{}x ξ=下η的条件分布密度为1(|)y x ϕ，则1122P ηξ⎧⎫⎛⎫⎛⎫≤≤⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭的值为( )。
A 、112212(,)(,)x y dxdyx y dxϕϕ-∞-∞-∞⎰⎰⎰B 、11221(|)y x dxdy ϕ-∞-∞⎰⎰C 、112212(,)(,)x y dxdyx y dyϕϕ-∞-∞-∞⎰⎰⎰D 、112212(,)(,)x y dxdy x y dy dxϕϕ-∞-∞+∞-∞-∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰答案：D5、具有下面分布密度的随机变量中，数学期望不存在的是( )。
A 、()1200102x x x e x ϕ-≤⎧⎪=⎨>⎪⎩B 、()2218x x ϕ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭C 、()2300exp 02x x x x x ϕ≤⎧⎪=⎧⎫⎨->⎨⎬⎪⎩⎭⎩D 、()()4211x x ϕπ=+ 答案：D6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。
A 、()150050x x x e x ϕ-≤⎧=⎨>⎩B 、()262x x ϕ-=C 、()312x x e ϕ-=D 、()()4211x x ϕπ=+ 答案：D7、设随机变量的数学期望和方差均是1m +(m 为自然数)，那么(){}041P m ξ<<+≥( )。
概率论与数理统计答案 (6)
习题六1.设总体X ~N （60，152），从总体X 中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率. 【解】μ=60,σ2=152,n =100~(0,1)Z N =即 60~(0,1)15/10X Z N -=(|60|3)(||30/15)1(||2)P X P Z P Z ->=>=-<2[1(2)]2(10.9772)0.0456.=-Φ=-=2.从正态总体N （4.2，52）中抽取容量为n 的样本，若要求其样本均值位于区间（2.2,6.2）内的概率不小于0.95，则样本容量n 至少取多大？ 【解】~(0,1)Z N =(2.2 6.2)P X P Z <<=<<210.95,=Φ-=则，故即n >24.01，所以n 至少应取253.设某厂生产的灯泡的使用寿命X ~N （1000，σ2）（单位：小时），随机抽取一容量为9的样本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，只记得样本方差为S 2=1002，试求P （X ＞1062）. 【解】μ=1000,n =9，S 2=10021000~(8)100/3X t t -==10621000(1062)()( 1.86)0.05100/3P X P t P t ->=>=>=4.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差. 【解】~(0,1)Z N =，由P (|X -μ|>4)=0.02得P |Z |>4(σ/n )=0.02,故210.02⎡⎤-Φ=⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即0.99.Φ=⎝⎭ 查表得2.33,=所以5.43.σ== 5.设总体X ~N （μ，16），X 1，X 2，…，X 10是来自总体X 的一个容量为10的简单随机样本，S 2为其样本方差，且P （S 2＞a ）=0.1，求a 之值.【解】2222299~(9),()0.1.1616S a P S a P χχχ⎛⎫=>=>= ⎪⎝⎭查表得914.684,16a= 所以 14.6841626.105.9a ⨯== 6.设总体X 服从标准正态分布，X 1，X 2，…，X n 是来自总体X 的一个简单随机样本，试问统计量Y =∑∑==-ni ii i XX n 62512)15(，n ＞5服从何种分布？ 【解】2522222211~(5),~(5)i nii i i XX X n χχχ====-∑∑且12χ与22χ相互独立. 所以2122/5~(5,5)/5X Y F n X n =--7.求总体X ~N （20，3）的容量分别为10，15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于0.3的概率. 【解】令X 的容量为10的样本均值，Y 为容量为15的样本均值,则X ~N (20,310), Y ~N (20,315)，且X 与Y 相互独立. 则33~0,(0,0.5),1015X Y N N ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭那么~(0,1),Z N = 所以(||0.3)||2[1(0.424)]P X Y P Z Φ⎛->=>=- ⎝2(10.6628)0.6744.=-=8.设总体X ~N （0，σ2）,X 1,…,X 10,…,X 15为总体的一个样本.则Y =()15121121022212X X X X X X ++++++ 服从 分布,参数为 . 【解】~(0,1),iX N σi =1,2, (15)那么122210152222111~(10),~(5)i i i i X X χχχχσσ==⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑且12χ与22χ相互独立,所以222110122211152/10~(10,5)2()/5X X X Y F X X X ++==++ 所以Y ~F 分布，参数为（10,5）.9.设总体X ~N （μ1,σ2）,总体Y ~N (μ2,σ2),X 1,X 2,…,1n X 和Y 1，Y 2，…，2n X 分别来自总体X 和Y 的简单随机样本，则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==2)()(21121221n n Y Y X X E n j j n i i = . 【解】令 1222212111211(),(),11n n i i i j S X X S Y Y n n ===-=---∑∑ 则122222112211()(1),()(1),n n ij i j XX n S y y n S ==-=--=-∑∑又2222221122112222(1)(1)~(1),~(1),n S n S n n χχχχσσ--=-=-那么1222112222121212()()1()22n n i j i j X X Y Y E E n n n n σχσχ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑2221212221212[()()]2[(1)(1)]2E E n n n n n n σχχσσ=++-=-+-=+-10.设总体X ~N （μ,σ2），X 1，X 2，…，X 2n （n ≥2）是总体X 的一个样本，∑==ni i X n X 2121，令Y =∑=+-+ni i n iX X X12)2(，求EY .【解】令Z i =X i +X n +i , i =1,2,…,n .则Z i ~N (2μ,2σ2)(1≤i ≤n ),且Z 1,Z 2,…,Z n 相互独立.令 2211, ()/1,nni i i i Z Z S Z Z n n ====--∑∑则 21111,222nn i ii i X X Z Z nn =====∑∑ 故 2Z X = 那么22211(2)()(1),n ni n i i i i Y X X X Z Z n S +===+-=-=-∑∑所以22()(1)2(1).E Y n ES n σ=-=-11. 设总体X 的概率密度为f (x )=x-e 21 (-∞<x <+∞),X 1，X 2，…，X n 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为S 2，求E (S 2).解： 由题意，得1e , 0,2()1e ,0,2xx x f x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩于是 22222220()()()()1()()d e d 021()()d e d e d 2,2xxx E S D X E X E X E X xf x x x x E X x f x x x x x x +∞+∞--∞-∞+∞+∞+∞---∞-∞==-=======⎰⎰⎰⎰⎰所以2()2E S =.。
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第六章习题参考解答-1
n
∑ 4． 设总体 X ~ N (µ , σ 2)，X1, …, Xn 是来自该总体的一个样本．试确定常数 c 使 c ( X i+1 − X i )2 为σ 2 的无 i=1
偏估计． 解：因 E[(Xi + 1 − Xi )2 ] = Var (Xi + 1 − Xi ) + [E(Xi + 1 − Xi )]2 = Var (Xi + 1) + Var (Xi ) + [E(Xi + 1) − E(Xi )]2 = 2σ 2，
( X i+1
−
Xi
)2
是σ
2
的无偏估计．
5． 设 X1, X2, …, Xn 是来自下列总体中抽取的简单样本，
p(x; θ ) = ⎪⎨⎧1,
θ − 1 ≤ x≤θ + 1;
2
2
⎪⎩0, 其他.
证明样本均值
X
及
1 2
( X (1)
+
X (n) )
都是θ
的无偏估计，问何者更有效？
证：因总体 X ~ U ⎜⎛θ − 1 , θ + 1 ⎟⎞ ，有 Y = X − θ + 1 ~ U (0, 1) ，
1 6
X1
+
1 6
X
2
+
2 3
X3．
证：因
E ( µˆ1 )
=
1 2
E(X1)
+
1 3
E(X
2)
+
1 6
E(X3)
=
1 2
µ
+
1 3
µ
+1 6来自µ=µ