5-7 反常积分
a
f ( x)dx 发散，而表示该平面无穷区域没有
图 5-7-2
有限的面积．
同理，反常积分
b
f ( x)dx 和
f ( x)dx 也有相仿的几何意义．
32-14
例 如，
1
1 dx ln 2 的 表 示 以 直 线 x 1 ， x 轴 以 及 曲 线 2 x( x 1) 2
32-7
定理 5.7.2 设反常积分
a
f ( x)dx 和
a
a
2018/6/7
g ( x)dx 均收敛，k1, k2
为任意常数，则反常积分
[k1 f ( x) k2 g ( x)]dx 也收敛，且
a
a
[k1 f ( x) k2 g ( x)]dx k1
F () lim F ( x) ．因此，⑴的解题过程可写为
x
1 x( x 1)
2
1
dx
1
1 x ( 2 )dx x x 1
x 1 2 [ln x ln( x 1)] ln 2 1 2 x 1
1
1 ln 2 2
32-13
② 如果反常积分
0
1 2
所以反常积分 常积分
0
xe
x2
dx 和
0
xe
x2
dx 均收敛， 从而综合型反
1 1 dx 0 ． 2 2
32-17
xe
x2
32-10
㈣ 无穷区间上的反常积分的敛散性举例
2018/6/7
例 5.7.1 分别讨论下列反常积分的敛散性．如果收敛， 1 1. ln 2 . 求反常积分的值： 2 0 1 x x ⑴ dx ． dx ； ⑵ e dx ； ⑶ 2 2 1 x 1 x( x 1)
b x x 1 2 由于 d x lim d x lim ln(1 b )， 2 2 0 1 x b 0 1 x b 2 x x 极限不存在，故 dx 发散，进而 dx 发散． 2 2 0 1 x 1 x
32-12
几点说明：
解(2)
0
x e dx lim e dx lim (1 e ) 1， 故 e dx 收敛，
x x a a a a
0
0
其值为1 ．
32-11
㈣ 无穷区间上的反常积分的敛散性举例
2018/6/7
例 5.7.1 分别讨论下列反常积分的敛散性．如果收敛， 1 1. ln 2 . 求反常积分的值： 发散 2 0 1 x x ⑴ dx ． dx ； ⑵ e dx ； ⑶ 2 2 1 x 1 x( x 1) 0 x x x dx dx dx ． 解(3) 2 2 2 1 x 0 1 x 1 x
① 在上述解题过程中， 可合理地简化书写， 以示简洁． 例如， 设 F ( x) 为 f ( x) 的一个原函数，仿照牛顿-莱布尼茨公式， 有
a
f ( x)dx F ( x) a F () F (a) ， 称之为广义牛
顿 - 莱 布 尼 茨 公 式 ， 其 中 F () 理 解 为
如果 lim
b a
f ( x)dx 的 值 ，或称
f ( x)dx I ；
a
b a
f ( x)dx 不存在，就称反常积分
f ( x)dx 发散．
32-5
2018/6/7
类似地，可定义连续函数 f ( x) 在 (, b] 上的反常积分
b
f ( x)dx lim
a
a
f ( x)dx k2
a
a
g ( x)dx ．
定理 5.7.3
设函数 f ( x), g ( x) 在 [a, ) 上连续，且 0 f ( x) g ( x) ．
⑵ 如果反常积分
⑴ 如果反常积分
g ( x)dx 收敛，则反常积分
f ( x)dx 也收敛；
mM 万有引力定律，火箭克服地球的引力为 F ( x) k 2 ． x
当火箭在地面时， x R ，此时火箭所受的引力就是火箭的重
mM 2 1 2 力 mg ，即 k 2 mg ，得 kM gR ，所以 F ( x) mgR 2 ． R x
32-3
首先考虑将火箭垂直向上地发射到离地面高 H 时， 引力所做的功．
a
f ( x)dx 收敛，则当 f ( x) 0 时，
a
f ( x)dx
几何意义是：以直线 x a ， x 轴及曲线 y f ( x) 所围成的向右无限伸 展的平面无穷区域（也称为广义曲边梯形或广 义 曲 边 三 角 形） 的 面 积 ( 见 图 5-7-2) ． 如 果
1
1 所围成的向右无限伸展的无穷区域的面积为 ln 2 ． y 2 2 x( x 1)
1
同理，
0
e x dx 1 表示以 x 轴， y 轴以及曲线 y e x 所围成
的向左无限伸展的无穷区域的面积为 1 ．
而
0
x x y 所 dx 发散说明以 x 轴， 轴以及曲线 y 2 2 1 x 1 x
xe
x2
dx xe
0
dx
0
xe
x2
dx ，其中
0
0
xe
x2
1 x2 1 x2 2 dx e d( x ) e 2 0 2
1 2
0
xe
x2
1 0 x2 1 x2 2 dx e d( x ) e 2 2
sin xdx 也发散， 同样
sin xdx 0 ．
可以证明，如果反常积分
f ( x)dx 收敛，且 f ( x) 为奇函数，则
f ( x)dx 0 ．
32-16
例 5.7.2 证明
xe
x2
dx 0 ．
x2
证
a
b a
f ( x)dx
及其敛散性等有关概念．
对于在 (, ) 内的反常积分
f ( x)dx ，规定
c
f ( x)dx
c
f ( x)dx
c
f ( x)dx ，
其中 c 为某常数，一般取 c 0 ，或其它简单数值．
并且 当且仅当 ．．．．
f ( x)dx 收敛．
注 2：定理 5.7.2、定理 5.7.3 和定理 5.7.4 对区间 (, b] 和
(, ) 上的反常积分也成立．
32-9
㈣ 无穷区间上的反常积分的敛散性举例
2018/6/7
例 5.7.1 分别讨论下列反常积分的敛散性．如果收敛， 1 ln 2 . 求反常积分的值： 2 0 1 x x ⑴ dx ． dx ； ⑵ e dx ； ⑶ 2 2 1 x 1 x( x 1) b b 1 1 1 x 解 ⑴ dx lim dx lim ( 2 )dx 2 2 1 x( x 1) b 1 x( x 1) b 1 x x 1 b b 1 x 2 lim [ln x ln( x 1)] lim ln 1 b b 2 x2 1 1 b 1 1 lim (ln ln ) ln 2 ， 2 b 2 2 b 1 1 1 所以反常积分 dx 收敛，且值为 ln 2 . 2 1 2 x( x 1)
f ( x)dx 发散，则反常积分 g ( x)dx 也发散．
a
定理 5.7.4 设函数 f ( x) 在 [a, ) 上连续，如果反常积分
a
f ( x ) dx 收敛，则反常积分
a
f ( x)dx 也收敛．
32-8
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定义 5.7.2 设函数 f ( x) 在 [a, ) 上连续， 如果反常积 分
a a
f ( x ) dx 收敛，就称
a
a
f ( x)dx 绝对收敛；如果反
a
常 积分
f ( x)dx 收 敛 ， 但
f ( x ) dx 发 散 ，就 称
f ( x)dx 条件收敛．
注 1：定理 5.7.4 表明，如果反常积分
a
a
f ( x)dx 绝对收敛，则
如 果 lim
a
f ( x)dx lim f ( x)dx
b a
b
为 f ( x) 在[a, ) 上的反常积分．
b
b a
f ( x)dx 存 在， 且其 极限 值为 I ， 就 称反 常积分
a
a a
f ( x)dx 收 敛， 极限 值 I 为 反常 积分 f ( x)dx lim mgR ( ) mgR ． H H R RH 2 1 从形式上看， W 可看作 F ( x) mgR 2 在无穷区间[ R, ) 上的积分． x
2
32-4
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㈡ 无穷区间上反常积分的概念
定义 5.7.1 设函数 f ( x) 在 [a, ) 上连续，取 b a ，称
32-2
5.7.1 无穷区间上的反常积分
反常积分1反常积分概念
第十一章反常积分一、主要内容与教学要求主要内容问题的提出，两类反常积分(无穷积分，无界函数的反常积分或瑕积分)的定义。
柯西收敛准则，无穷积分的性质，比较判别法，绝对收敛与条件收敛，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法。
瑕积分的性质与收敛判别。
教学要求1 理解无穷积分和瑕积分的收敛与发散概念、绝对收敛和条件收敛的概念。
2 掌握无穷积分和瑕积分的性质和各种敛散性判别方法。
3 会应用敛散性的定义、性质及判别方法计算两类反常积分和证明两类反常积分有关的问题教学重点1 无穷积分和瑕积分的收敛与发散概念、绝对收敛和条件收敛的概念2 无穷积分和瑕积分的性质和各种敛散性判别方法3无穷积分和瑕积分的计算教学难点1 两类反常积分敛散性的判别2 两类反常积分相关的证明问题。
二、本章教材处理建议1. 结合实际例子说明定积分在处理实际问题时条件的局限性，由如何突破条件的限制引入无穷积分与瑕积分的概念。
2. 通过变量替换，瑕积分与无穷积分可以互化，因此，它们有平行的理论和结果，讲课过程中，可以无穷积分为主，将相应的结论推广到瑕积分。
3. 反常积分具有线性运算性质，换元积分法和分步积分法仍然成立，进行反常积分的计算时，使学生明确，定积分的有关计算的方法与技巧仍然适用。
4.注意对反常积分审敛（包括绝对收敛，条件收敛和发散）进行归纳总结，要记住某些重要结果。
三、本章习题处理意见1. §11.1反常积分概念(P269)：横线以上1，2两题为直接通过计算判断反常积分敛散性的基本题，要求学生必须掌握。
横线以下各题可在课堂或习题课上讨论，注意4，5,6这三题之间的联系。
2. §11.2无穷积分的性质与收敛判别（P275）：2，4,5三题可作为课外练习.第3题课堂讨论，6，7,8，9这四题可在习题课上讲授或给予提示，同样要注意各题之间内在的联系。
第10题可在讲解阿贝尔判别法这一部分内容时讲授。
3．§11.3瑕积分的性质与收敛判别（P279）：第3题可作为课外练习.4,5，6三题习题课讲授。
§5.7 反常积分 高等数学上课件
穷区间 (, b] 上的反常积分，记为 b f ( x)dx ，即
b
b
f (x)dx lim f (x)dx
a a
②
这时也称反常积分收敛；否则称反常积分发散。
定义 3 设函数 f ( x)C(, ) ，cR ，若广义积分
c f ( x)dx 与 f ( x)dx 都收敛，则称两个反常积分之和
. 24
解 法 2 ： x t t ， d a s 2 t x n ， e d c t
0(11x2)2dx
2 0
sec2 sec4
t t
dt
2cos2tdt.
0
4
通过换元把反常积分化为常义积分。
反常积分和常义积分计算方法相同，反常积分 代限有三句话：“能代则代之，代不了则取极限， 极限不存在则积分发散。”
二、无界函数的反常积分
定义 4 设函数 f ( x)C(a,b]，且 lim f ( x) ，取 0 ，
xa
若 lim b f ( x)dx 存在，则称此极限为 f ( x) 在区间(a,b] 0 a
上的反常积分，记为
b a
f
(
x)dx
，即
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
lim ln x ab lim [lb n a)( ln ] ,
0
a 0
当 q 1 时 ， a b ( x d a ) q l 0 x a b i ( x d a m ) qx
, q1
lim1 (xa)1qb
01q
a
(b a )1q 1q
,
q1
故反常积分
(q 积分)
lim (1)lim (11), 0 x 1 0
7反常积分——反常积分的概念和计算
7反常积分——反常积分的概念和计算反常积分是微积分中的一个重要概念，是对一些函数在一些区间上的积分进行无穷求和的过程。
与定积分不同，反常积分是对未能被定积分求解的函数进行求解的方法，常见于一些函数在一些点上无界或不连续。
本文将详细介绍反常积分的概念和计算方法。
一、反常积分的概念反常积分是对一些在一些点不连续或无界的函数进行积分求解的方法。
在实际应用中，我们常遇到一些函数在一些点附近出现无穷大的情况，或者在其中一点上不连续的情况，这时就需要用到反常积分进行求解。
具体来说，反常积分可以分为以下两种情况：1.类型一：函数在积分区间其中一点附近无界的情况。
设函数f(x)在区间(a,b]上有定义，且x=b是f(x)的发散点，则反常积分的定义为：∫f(x)dx = lim┬(t→b)〖∫[a,t] f(x)dx〗即求解函数在区间[a,t]上的定积分，然后将t无限趋近于b来求解该反常积分。
2.类型二：函数在积分区间其中一点不连续的情况。
设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，且x=c是f(x)的不连续点，则反常积分的定义为：∫f(x)dx = ∫[a,c) f(x)dx + ∫[c,b] f(x)dx即将不连续点c拆分成两个积分区间，在每个区间上分别求解定积分，然后求和。
需要注意的是，反常积分只在函数在一些点附近出现无界或不连续时才有意义。
如果函数在积分区间上连续且有界，那么反常积分与定积分是等价的。
二、反常积分的计算方法对于类型一的反常积分，我们可以通过以下几种方法进行计算：1.无界函数的积分计算当函数f(x)在x=b附近无界时，我们可以通过计算一个足够大的正数M，使得对于任意t>b有，f(x)，<M。
然后计算定积分∫[a,t] f(x)dx，再令t无限趋近于b，即可求得反常积分的值。
2.函数在无穷远点（正无穷和负无穷）处的积分计算如果函数在正无穷远点处无界且不连续，可以将反常积分转化为辐角积分的形式。
反常积分的几种计算方法
反常积分的几种计算方法目录摘要 (1)关键词 (1)A b s t r a c t (1)K e y w o r d s (1)0前言 (1)1反常积分的定义 (1)1.1无穷积分的定义 (1)1.2瑕积分的定义 (2)2反常积分的计算方法 (3)2.1利用Newton—Leibniz公式计算反常积分 (3)2.2利用变量替换法计算反常积分 (3)2.3利用分部积分法计算反常积分 (5)2.4利用分段积分自我消去法计算反常积分 (7)2.5利用方程法计算反常积分 (7)2.6利用级数法计算反常积分 (9)2.7利用待定系数法计算反常积分 (10)结束语 (11)参考文献 (11)反常积分的几种计算方法摘要:该文主要对反常积分的计算方法进行归纳、总结.重点描述了在进行计算时各种方法的灵活使用.关键词:反常积分;变量替换;分部积分;级数法;待定系数法Several calculation methods of abnormal integral Abstract:This paper mainly sums up the calculation methods of abnormalintegral. This paper emphasizes on describing the flexible use of variousmethods in the calculation.Keywords: Abnormal integral; Variable substitution; subsection integral;Series method; the method of undetermined coefficient0前言反常积分是微积分学中一类重要的积分，反常积分的计算是学习积分计算中的重难点。
本文不仅介绍了常见的三大基本方法：Newton —Leibniz 公式、利用变量替换、利用分部积分法，还介绍了分段积分自我消去法、方程法、级数法和待定系数法等一些在解决问题时较适用的方法，通过引用一些经典例题使我们对这些方法有更加深刻的认识。
反常积分的概念与计算
反常积分的概念与计算反常积分是微积分中一个非常重要的概念，在实际问题中经常会遇到需要计算反常积分的情况。
本文将介绍反常积分的概念、性质和计算方法。
1. 反常积分的概念反常积分是指定积分区间上函数不满足某些条件而导致积分值无法直接计算的情况。
它分为两类：第一类反常积分和第二类反常积分。
1.1 第一类反常积分第一类反常积分是指函数在积分区间上存在无穷间断点或者设置大量的函数间断点的情况。
这导致在这些间断点处，函数的积分值无法定义。
举个例子，考虑函数$f(x)=\\frac{1}{x}$，在区间(0,1)上，f(x)在x=0处无穷大。
因此，这个积分称为第一类反常积分。
为了计算这个反常积分，我们可以将它分解为两个部分，一个是从0到某个小正数$\\epsilon$的积分，另一个是从$\\epsilon$到1的积分。
然后，我们可以取极限$\\epsilon$趋近于0，来计算反常积分的值。
1.2 第二类反常积分第二类反常积分是指函数在积分区间上的某些点奇异或无界的情况。
这导致函数在这些点上的积分值为无穷大或无定义。
举个例子，考虑函数$f(x)=\\frac{1}{\\sqrt{x}}$，在区间(0,1)上，函数f(x)在x=0处无穷大。
因此，这个积分称为第二类反常积分。
同样地，为了计算这个反常积分，我们可以将它分解为两个部分，一个是从0到某个小正数$\\epsilon$的积分，另一个是从$\\epsilon$到1的积分。
然后，我们可以取极限$\\epsilon$趋近于0，来计算反常积分的值。
2. 反常积分的计算方法反常积分的计算方法主要有两种：换元法和分部积分法。
2.1 换元法换元法也被称为变量代换法，它适用于一类特殊的反常积分。
换元法的基本思想是将变量进行替换，将一个难以计算的函数变成一个简单的形式。
通常情况下，我们选择适当的变量替换来简化积分的计算。
具体步骤如下：1.选择一个适当的替换变量，使得被积函数转化为一个更简单的表达式。
反常积分柯西收敛准则
反常积分柯西收敛准则引言：在数学中，积分是一种重要的概念，用于求解曲线下面的面积或者描述变化率。
而对于一些特殊的函数，它们的积分可能会呈现出一些特殊的性质，其中之一就是反常积分。
本文将介绍反常积分以及柯西收敛准则。
一、反常积分的概念反常积分是指在定义域内某些点上函数不满足积分条件的情况下，对函数进行积分的过程。
一般来说，反常积分可以分为两类：无界函数的反常积分和间断函数的反常积分。
1. 无界函数的反常积分无界函数的反常积分是指在积分区间上函数在某些点上趋于无穷大或者趋于负无穷大的情况下，对函数进行积分。
例如，函数f(x) = 1/x在区间(0, 1]上的积分就是一个无界函数的反常积分。
在这种情况下，我们需要通过极限的方法来求解积分值。
2. 间断函数的反常积分间断函数的反常积分是指在积分区间上函数存在间断点的情况下，对函数进行积分。
例如，函数f(x) = 1/x在区间[0, 1]上的积分就是一个间断函数的反常积分。
在这种情况下，我们需要将积分区间分成多个子区间，分别对每个子区间上的函数进行积分，然后将结果求和得到最终的积分值。
二、柯西收敛准则柯西收敛准则是判断反常积分是否收敛的一种方法。
它的核心思想是通过比较函数的积分与极限的大小关系来判断反常积分的收敛性。
柯西收敛准则的数学表达式如下：对于函数f(x)，如果存在正数M和c，使得当a>b>c时，有|∫(b,a)f(x)dx|<M成立，那么反常积分∫f(x)dx在区间(b,+∞)上收敛。
柯西收敛准则的意义在于，它提供了一种判断反常积分收敛的有效方法。
通过比较函数的积分与极限的大小关系，我们可以判断反常积分是否收敛，从而避免了对函数进行积分的繁琐计算。
三、举例说明为了更好地理解反常积分柯西收敛准则的应用，我们来举一个例子。
例：计算反常积分∫(1,∞)1/x^2dx的收敛性。
解：首先，我们需要根据柯西收敛准则的定义来判断反常积分的收敛性。
反常积分
b
a
f (x)dx
a
b a
此时也称反常积分收敛. 否则称反常积分发散.
注意：反常积分发散时，仍用记号 f (x)dx表示. a 但只是形式上写出，不表数值.
4
例1计算反常积分
1
1 dx . x
解
由定义知： 1dx lim
1x
b
b 1dx 1x
lim(lnb ln1) lim ln b
1 0
1 xq
dx,当q<1时收敛，当
q
1
发散.
证
(1)
q 1,
1
0
1 xq
dx
1 0
1 x
dx
ln
x
1 0
,
(2) q 1,
1 0
1 xq
dx
x1q 1 1 q0
, 1 1 q
,
q q
1 1
因此当q<1时反常积分收敛，其值为
1
1
q
;
当 q 1 时反常积分发散.
19
三、小结
f (x)dx lim
1 dx. 1 x2
b
a
解
1 1 x2 dx
arctan
x
lim arctan b lim arctan a
πb π
a
( ) π.
22
9
例7
计算
x 1 x2dx.
解
x 1 x2 dx
c
1
x x
2
dx
x c 1 x2 dx
因为
cx 1 x2 dx
b
(这时称a是瑕点)，取
0,
如果极限 lim 0
《反常积分初步》课件
04
CATALOGUE
在概率论与数理统计中，反常积分用于计算概率密度函数和累积分布函数等。
概率论与数理统计
在复变函数中，反常积分用于计算复函数的积分和级数展开等。
复变函数
在微分方程中，反常积分用于求解初值问题和边值问题等。
微分方程
信号处理
控制系统
材料科学
反常积分的扩展知识
05
详细描述
在无穷区间上的反常积分，其积分上限或下限可能趋于无穷。这种情况下，我们需要考虑如何处理无穷大或无穷小的量，以及如何确定积分的值。
总结词：无界函数的反常积分是指被积函数在积分区间内无界的情况。
总结词：含参变量的反常积分是指被积函数中含有参数的情况。
详细描述：含参变量的反常积分是反常积分的一种复杂类型。在这种情况下，被积函数中的参数可能会影响积分的值。因此，我们需要仔细分析参数的变化对积分的影响。
反常积分可积的条件
被积函数在积分区间上连续或具有有限个第一类间断点时，反常积分可能可积。
反常积分可积的判断方法
通过定积分存在的充分条件、定积分存在的必要条件等方法判断反常积分的可积性。
03
02
01
反常积分的计算方法
03
CATALOGUE
03
微分法
通过积分函数的微分性质，将反常积分转化为定积分，再利用定积分的计算方法求解。
反常积分的性质
02
CATALOGUE
反常积分收敛的定义
如果反常积分在某个区间上的积分值存在，则称该反常积分在该区间上收敛。
反常积分收敛的判断方法
通过比较测试、Cauchy收敛定理等方法判断反常积分的收敛性。
反常积分收敛的条件
当被积函数在积分区间上非负或单调递减时，反常积分可能收敛。
数学分析第七讲反常积分
第七讲非黎曼积分(反常积分)一、知识结构我们知道黎曼积分要求积分区间有限，并且积分区间是闭区间 (闭区域) 下面研究积分区间无限 , 或积分区间不是闭区间的积分 , 我们称这样的积分为反常积分 , 所谓反常是指相对于黎曼积分的反常 .对正常积分 ,我们主要研究它的计算问题 , 而对反常积分 , 主要研究它的收敛问题 .1、一元函数的反常积分(1) 一元函数反常积分的概念和定义我们知道黎曼积分要求积分区间是有限闭区间a,b 或有限闭区域D ，如果将积分区间a,b 换成无限区间[a, ) 或非闭区间(a,b] ( a是被积函数的瑕点)或a, ，由此产生的积分我们称为反常积分，反常积分是相对于黎曼积分所提出的，“反常” 指将黎曼积分中的有限闭区间a,b 换成无限区间[a, )或非闭区间(a,b] ( a是被积函数的瑕点 , 即函数f(x)在点x 处无界) .定义 1 函数f (x) 在无限区间[a, ) 连续，则定义AAf (x)dx lim f ( x) dx ，如果极限lim f ( x) dx存在，我们称反a A a A a常积分f (x)dx 收敛 .定义 2 函数f ( x )在非闭区间(a,b]连续，而在点a右邻域内无界( a是被积函数f (x) 的瑕点 ) 即函数在点a 无界，则定义b b bf(x)dx lim f(x)dx lim f(x)dx ,如果极限a0 a k a kb存在，我们称反常积分f (x)dx收敛 .则定义ba f (x)dx 收敛 .定义 4 函数f (x) 在无限区间(a,)连续，a是函数f (x)的瑕点，则定义f(x)dx 收敛 .blim0a f(x)dx函数f(x)在点a右邻域内无界的意思是：lim f (x)xa. 注意 : 函数在点a没有定义 ,但函数f (x)在点a右极限lim f (x)可以存在 , 这时a不xa是被积函数f(x)的瑕点 .sinx 例如 , 函数在点x 1 sinx积分sinx dx 的瑕点 .sinx0处没有定义 , 但lim 1, 所以x 0不是xsinx dx 不是反常积分 . 将积分sinx dx 看0 x 0 x作推广的黎曼积分 . 因为 , 如果被积函数f(x) 在闭区间a,b 上仅有有限个第一类间断点 , 则积分f (x)dx 为推广的黎曼积分 ,它也是收敛的 .定义 3 函数f ( x )在开区间(a, b)内连续，a,b都是函数f (x) 的瑕点，ba f(x)dx cbf (x)dx f (x)dxacclim f(x)dx lim0 a 0bf (x)dx ,b 如果极限lim f (x)dx 和lim0 a 0 c f (x)dx 均存在，我们称反常积分ba f(x)dx a f(x)dxb f (x)dxbAlim f (x)dx lim f(x)dx , bA如果极限lim0 a f (x)dx 和A lim b f(x)dx 均存在，我们称反常积分②积分区域无限且 被积函数 f （ x, y ）有瑕点（了解） .请同学们切记如下例子中的结论1 1 1例 讨论积分pdx 和 p dx 的敛散性 . 0 x p 1 x p1 1 1解 显然 dx 和 dx 均发散 .0 x 1 x在区间 （0,1]上, 当 p 1时, 函数 1px p11像下方 ,这时 p dx 收敛 （ 请同学给出证明x11即前者的图像在后者的图像上方 , 这时 p0 x p11在区间 [1, ）上 , 当 p 1时, 函数 p , 即前者的图像在后者的2、 元函数反常积分的性质与收敛判别1, 即前者的图像在后者的图x 11). 当 p 1 时, 函数 p pxxdx 发散 （请同学给出证明 ）.x p x发散（ 请同学给出证明）. 当 p 1时, 函数1 x p x 证明 ).1 1 11, 即前者的图像在后者的图像下方 ,这时 0 x 1p dx 收敛（请同学给出 11pdx当 p 1时， 当 p 1时1 1pdx1p当 p 1时，1 p1当 p 1时.（1） 无穷积分的性质与收敛性判别 ①无穷积分的性质 (a) 若f 1(x)dx 与 f 2(x)dx 收敛 ,aa[k 1 f 1 ( x) k 2 f 2( x)]dx也 a收敛 , 且 [k 1f 1(x) k 2 f 2( x)] dx k 1f 1(x)dx k 2f 2(x)dx .a a a图像上方,这时1au 1,u 2 U 时 , 有无穷积分的柯西收敛准则可由函数极限的柯西收敛准则得到(b) 比较法则定理 2(比较法则 ) 设定义在 [a, )上的两个函数 f(x) 和 g(x) 都在任 何 有 限 区 间 [a,u] 上 可 积, 且满 足 f(x) g(x) , x [a, ) , 则 当(b) 若 f(x) 在任何有限闭区间 [a,u] 上可积 , a b , 则f(x)dx 与f(x)dx 同 敛 态 ( 同 时 收 敛 或 同 时散 ), 并 且bf (x)dx f (x)dx f (x)dx .(c) 若 f (x) 在任何有限闭区间 [a,u]上可积 , 且有f (x)dx 收敛，f(x)dx 收敛，且f (x)dxf(x)dx .f (x)dx 收敛时 , 称f(x)dx 绝对收敛 . 我们称收敛而不绝对收敛者为 条件收敛 .②无穷积分的收敛判别 (a) 柯西收敛准则 对无穷积分 f (x)dx lim uf(x)dx 的敛散性用以下准则可以作出判断 .定理 1( 柯西收敛准则 无穷积分 f (x)dx 收敛的充要条件是 : 对a u 2 u 11f (x)dx f (x)dx aau 22 f (x)dx u 1g(x)dx 收敛时f (x)dx 必收敛 ; 当 f (x)dx 发散时 a g(x)dxa 必发散 .考虑当g (x)dx收敛时f(x)dx必收敛是否正确 ? 当f (x)dxa a a发散时g(x)dx 必发散是否正确 ?推论 1 设定义在[a, )上的两个函数f (x)和g(x)都在任何有限区间[a,u]上可积 , g(x) 0, 且limx g(x)f(x)c, 则有①当f (x)dx与g(x)dx同敛态 ;a②当0时 ,由g(x)dx 收敛可推知f (x) dx也收敛 ;③当时, g(x)dx 发散可推知f (x)dx也发散 .等式c g f((x x))c ，即c g(x) f (x) c g(x) 可证上述结论 .推论 2 设f (x) 是定义在[a, ) ( a 0)的函数 , 且在任何有限区间[a,u]上可积 ,则有:①当f (x)②当f (x) 1p,xx1p,xx[a,[a,利用结论x1p dxx),且),且1时,1时,f ( x) dx收敛 ;f (x)dx 发散.1p1当 p 1时，当p 1时可证上述结论 .推论 3设f (x) 是定义在[a,)( a 0 )的函数,在任何有限区间[a,u]上可积 ,且lim x p f (x) c, 则有 :f (x) c g(x)，即u 若 F(u) f (x)dx 在[a, ) 上有界 , g(x) abf (x)dx ，其中 f(x)为定积分 .c(c) 设函数 f (x) 以 x a 为瑕点， 若 f(x) 在(a,b ］的任一内闭区间①当 p 1,0 时, f (x)dx 收敛 ;②当p 1,0 时,f (x)dx 发散 .g(x) f (x) g(x) 可证上述结论 .(c) 狄利克雷判别法在 [a, )上当 x时单调趋于 0,则 f (x)g(x)dx 收敛(了解). (d ) 阿贝尔 (Abel) 判别法 定理 4(阿贝尔(Abel) 判别法 ) 若 af (x)dx 收敛，g(x) 在[a, )上单调有界 ,则 f ( x)g( x)dx收敛(了解 ). a (2) 瑕积分的性质与收敛判别① 瑕积分的性质(a) 若 f 1(x)与 f 2(x)都以 x a 为瑕点， k 1,k 2 为常数，则当瑕积分f 1(x)dx 与 f 2(x)dx 收敛时 , 瑕积分 [k 1f 1(x) k 2 f 2 ( x)]dx 必定收敛 ,aaba [k 1f 1(x) k 2 f 2(x)]dx a bbk 1 f 1(x)dx k 2 f 2(x)dx .aa(b) 设函数 f(x) 以 xa 为瑕点， c (a,b) 为任一常数，则瑕积分bf(x)dx 与cf (x)dx 同 a 敛 态 ( 同 时 收 敛 或 同 时 发 散 ), 并 且 定理 3( 狄利克雷判别法 bcb a f(x)dx a f (x)dx c a a cbf(x)dx 收 敛 时 ， f (x)dx 也 必 收 敛 ， 且b [u,b] 上 可 积 , 则 当 f (x)dx f (x)dx .b当 a f (x)dx 收敛时 bf (x)dx 绝对收敛 . 我们称收敛而不绝敛者为 条件收敛 .② 瑕积分的收敛判别 (a) 柯西收敛准则b对瑕积分 f(x)dx li m bf (x)dx 的敛散性用以下准则可以作出判断.定理 1( 柯西收敛准则 b瑕积分 f (x)dx (瑕点为 a )收敛的充要条件0,0, ( ) , 当 0 u 1 a ,0 u 2 a 时 ,bf (x)dxubf (x)dxu 22f (x)dxu瑕积分的柯西收敛准则可由函数极限的柯西收敛准则得到 (b) 比较法则定理 2( 比较法则 ) 设定义在 (a,b]上的两个函数 f(x) 和 g(x) ，瑕点同为 x a ， f (x) 和 g(x) 都在任何有限区间 [u,b](a,b] 上可积 , 且满足 bf(x) g(x), x (a,b], 则当 a g(x)dx 收敛时bf (x) dx 发散时 g(x)dx 必发b考虑当 g(x)dx 收敛时bg(x)dx 必发散是否正确f (x)dx 必 收 敛 ; 当bf (x)dx 必收敛是否正确 ? 当 f ( x)dx 发散推论 1 又若 g(x) 0,且 lim f(x)c , 则有x a g(x)abb①当 0 c时,f (x)dx 与 g(x)dx 同敛态 ;bb③当 c 时, 由 g ( x) dx 发散可推知 f ( x) dx 也发散 .利 用 不 等 式c f(x) cg(x)c g(x) f (x) c g(x) 可证上述结论推论 2 设 f(x) 是定义在 (a,b]的函数,瑕点为 x a ， 且在任何有限区 间 [u,b] (a,b] 上可积，则有①当f(x) 1 p,且0xa②当 f(x)1 p,且 pxap 1时, a f (x)dx 收敛; 1时, a f (x)dx 发散.推论 3设 f (x) 是定义在 (a,b]的函数 ,瑕点为 x a ， 且在任何有限区间 [u,b] (a,b] 上可积，且 lim x a p f (x) , 则有 :xa①当 0 p 1,0 时, f ( x) dx 收敛 ; ②当 p 1,0时,f(x)dx 发散 .2、多元函数的反常积分(1) 积分区域无限且 被积函数 f (x,y)没有瑕点 ①函数 z f (x,y) 在无限区域 D:[a, ) [c, ) 上的反常积分利用结论 1 pdx0 x p1 1p当p 当p 1时， 1时 可证上述结论②当 c b0时 , 由 g(x)dx 收敛可推知b定义 5 函数 z f (x,y)在无限区域 D:[a, ) [c, ) 连续，则定义ABlim dx f(x,y)dy , 如果极限 A a cB② 函数 z f ( x, y)在无限区域 D: ( ,x] (定义 6 函数 z f (x, y) 在无限区域 D :( ,x] ( ,y] 连续，则定义x y x yf(x,y)dxdy dx f(x,y)dy A lim A dx B f(x,y)dy , 如果极限 A A BD Bxy存在， 我们称反常积分 dx f (x, y)dy 收敛 .xy由于式中 dx f (x,y)dy 的积分上限中的 x, y 与被积函数中的 x, yx y x y不同,所以dx f ( x, y)dy 经常表示为 du f(u,t)dt . 这种积分是概 率论 与数 理统计 中常 用求 概率 分布函 数 F(x,y) 的积 分, 即xyF(x,y) dx f ( x, y)dy ,其中 f (x,y).③ 函数 z f (x,y) 在无限区域 ( , ) ( , ) 上的反常积分 ( 请同学给出其定义 ).④ 函数 z f(x,y)在无限区域 [a, ) ( , ) 上的反常积分 (请同 学给出其定义 ).⑤ 函数 z f (x,y)在无限区域 [a, ) [c, ) 上的反常积分 (请同学 给出其定义 ).上述积分在概率中经常用到 .已知随机变量 X,Y ,函数 f(x,y)是随机f (x,y)dxdyDa dx c f (x, y)dy ac存在， 我们称反常积分 dxacf (x, y)dy 收敛., y] 上的反常积分变量X,Y 的概率密度函数 , F (x, y)表示随机变量X,Y 的分布函数 , 则概P(X x,Y y) F(x, y) x dx f (x,y)dy ,P(X x,Y F(x, ) F X (x) xdxP(X ,Y y) F( ,y) F Y (y) ydy其中f X (x,y) , f Y(x,y) 分别称为X,Y 边F X(x,y),F Y(x,y)分别称为X,Y 边缘分布函数 . f (x,y)dyf (x,y)dx缘概率密f X (x,y)dxf Y(x,y)dy函数,例如(考研 2010年数学一 )设二维随机变量( X ,Y)的概率密度函数为f (x, y) Ae 2x2 2xy y2求常数A 及条件概率密度f Y X(y x).解: 因为F( 1, 所以1 F(x,y) dx f (x,y)dy dx 2x2 2xy y2Ae dydx Ae (x y)2y dy作变量替换y rcos yrsin0rcos sinsinx r cos rsinr cos sinr cosr.2 2 2 2所以dx Ae (x y) y dy d Ae r( r)dr A00(s) (s 1) (0 s 1) 得 :sin s以用以下方法计算1.余元公式(s) (s 1) (0 s 1) 2 sin s 的证明过程很繁杂 , 在此证明略 .22先计算e (x y )dxdy, 其中区域D : 0 x a,0 y a.D因为D a :x2y2a2, D 2a:x2 y2 2a2. 则(x2 y2 ) (x2 y2 ) (x2 y2)e dxdy e dxdy e dxdy ,D a D D 2a 进而2x22xy y 2 1 2x22xy y2f YX(y x) f(x, y)f X(x) f(x,y)dy 1e 2x2 2xy y2dy1 2x2 2xy y2 e 1 2x2 2xy y2e1 2x2 2xy y2e1 e x2(y x)2dy x2 e t dt 1 2x2e 20 e t dt(y x t,dy dt)1 e2x2 2xy y21e2x2 2xy y21e2x2 2xy y2x2 2u 1 x2e u21e u du1 x2e(t2u,dt2udu)1 2x2 2xy y2 ex2 2xy y211ex2注 : 由余元公式还切记这种方法(2) 多元函数反常积分性质与收敛性判别3、含参量的反常积分(考数学专业的同学需要掌握) (1) 含参量反常积分的概念和定义 (2) 含参量反常积分性质与收敛性判别 二、解证题方法 1、反常积分的计算(x 2 2y )a x 2ae x dx e 00dya 2e x dxe (x 2 dxdy .令x rcos 0 r a,0yr sin2e (x 2 2y )dxdy21 e a .D a4令x rcos 0 r 2a,0yrsin2D 2ay 2 )y )dxdy 4 1a 2 x 2dx2a 2lim 1 a 4lim 1 a 42a 2ex 2所以 0 e x dx进而12 2 0 e x dx .面的积分给出了反常积分计算的一个重要方法 夹逼方法 . 同学们应D aD 2a2a 2e (x 22x反常积分的计算题在考研中很少出现 , 如果出现 , 一般用变量替换法 求解 . 例 1( 南京农业大学1 x 12004 年）求 dx . 0ln x解 令 x e t , 则 dxe t dt. 进而1 x 1 dx 0lnx0 e u1 du 12 u 2t e t1e t dt t edt te 2t e t dt t u e du u0 0t2t e 例 2( 南京大学 2000年) 求l x im 01 cost1x co t s 2tdtdt tt edt t1解 令t , 则 dtx 12dx , 所以 x t li m 1lim1 x0 x1 1cos 1 x 2dt 12 t li m 1sinxt lim sin11sintsin1.例 3( 南京农业大学 解 作变量替换 2004 年） 求 4dx .x0 1 1x 4dx101 1x 4dx011 ,则x4dx x 4dx x 4dxx11 01dx11t 4t 2 dt111 2x4dxx 0 1 x 2 2x 1 x 2 2x dx1 1 12 0 1 x 2dx 10 1 x 2 2xdx1lim alna a0 1 a 1 1.0 1 2x 12dx2dx01 2x 1 212 arctan 2x01 12 arctan 2x12例 4（ 上 海 理 工 大 学 2003 年 ） 已 知 积 分 sin xdx, 计 算x2sinx 0x2dx. 2sinxdxx 21sin 2 xd(x 1) sin 2x2sinxcosxdx 0xlima0 bsin 2 xb sin2x2x (2x) lim a0 bsin 2 bb2 sin a 2lima0 bsin 2 b b2sin a a 2 a例 5（ 兰州大学2005年)求1ln 0xdx .1解 首先判断积分 ln xdx 反常性。
反常积分表
反常积分表反常积分表是一种数学工具，用于计算反常积分的值。
反常积分是指无法通过基本积分公式或分部积分法等方法直接求解的积分。
反常积分的计算需要借助极限或无穷级数等概念。
以下是一些常见的反常积分表：1. 第一类反常积分当积分区间为无穷区间时，即∫ f(x)dx其中n为正无穷或负无穷。
此时，如果积分结果无限大或不存在，则称为第一类反常积分。
反之，如果积分结果有限，则称为收敛的第一类反常积分。
一些常见的收敛的第一类反常积分如下：∫ 1/x dx = ln(n) (n趋近于正无穷)∫-∞ e dx = 1∫ ln(x) dx = -12. 第二类反常积分当被积函数在积分区间上存在无限大的点时，即∫a f(x)dx其中a和n都是实数。
此时，如果积分结果无限大或不存在，则称为第二类反常积分。
反之，如果积分结果有限，则称为收敛的第二类反常积分。
一些常见的收敛的第二类反常积分如下：∫ 1/√x dx = 2∫ 1/x dx = 13. 第三类反常积分当被积函数既在积分区间上存在无限大的点，又在某些点上不连续或发散时，即∫a f(x)dx其中a和n都是实数。
此时，如果积分结果无限大或不存在，则称为第三类反常积分。
反之，如果积分结果有限，则称为收敛的第三类反常积分。
一些常见的收敛的第三类反常积分如下：∫ ln(ln(1/x))/x dx = γ (Euler-Mascheroni常数)∫ sin(1/x)/x dx = π/2以上是一些常见的反常积分表，可以作为参考工具用于计算反常积分的值。