5-7 反常积分
反常积分1反常积分概念
第十一章反常积分一、主要内容与教学要求主要内容问题的提出，两类反常积分(无穷积分，无界函数的反常积分或瑕积分)的定义。
柯西收敛准则，无穷积分的性质，比较判别法，绝对收敛与条件收敛，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法。
瑕积分的性质与收敛判别。
教学要求1 理解无穷积分和瑕积分的收敛与发散概念、绝对收敛和条件收敛的概念。
2 掌握无穷积分和瑕积分的性质和各种敛散性判别方法。
3 会应用敛散性的定义、性质及判别方法计算两类反常积分和证明两类反常积分有关的问题教学重点1 无穷积分和瑕积分的收敛与发散概念、绝对收敛和条件收敛的概念2 无穷积分和瑕积分的性质和各种敛散性判别方法3无穷积分和瑕积分的计算教学难点1 两类反常积分敛散性的判别2 两类反常积分相关的证明问题。
二、本章教材处理建议1. 结合实际例子说明定积分在处理实际问题时条件的局限性，由如何突破条件的限制引入无穷积分与瑕积分的概念。
2. 通过变量替换，瑕积分与无穷积分可以互化，因此，它们有平行的理论和结果，讲课过程中，可以无穷积分为主，将相应的结论推广到瑕积分。
3. 反常积分具有线性运算性质，换元积分法和分步积分法仍然成立，进行反常积分的计算时，使学生明确，定积分的有关计算的方法与技巧仍然适用。
4.注意对反常积分审敛（包括绝对收敛，条件收敛和发散）进行归纳总结，要记住某些重要结果。
三、本章习题处理意见1. §11.1反常积分概念(P269)：横线以上1，2两题为直接通过计算判断反常积分敛散性的基本题，要求学生必须掌握。
横线以下各题可在课堂或习题课上讨论，注意4，5,6这三题之间的联系。
2. §11.2无穷积分的性质与收敛判别（P275）：2，4,5三题可作为课外练习.第3题课堂讨论，6，7,8，9这四题可在习题课上讲授或给予提示，同样要注意各题之间内在的联系。
第10题可在讲解阿贝尔判别法这一部分内容时讲授。
3．§11.3瑕积分的性质与收敛判别（P279）：第3题可作为课外练习.4,5，6三题习题课讲授。
§5.7 反常积分 高等数学上课件
穷区间 (, b] 上的反常积分，记为 b f ( x)dx ，即
b
b
f (x)dx lim f (x)dx
a a
②
这时也称反常积分收敛；否则称反常积分发散。
定义 3 设函数 f ( x)C(, ) ，cR ，若广义积分
c f ( x)dx 与 f ( x)dx 都收敛，则称两个反常积分之和
. 24
解 法 2 ： x t t ， d a s 2 t x n ， e d c t
0(11x2)2dx
2 0
sec2 sec4
t t
dt
2cos2tdt.
0
4
通过换元把反常积分化为常义积分。
反常积分和常义积分计算方法相同，反常积分 代限有三句话：“能代则代之，代不了则取极限， 极限不存在则积分发散。”
二、无界函数的反常积分
定义 4 设函数 f ( x)C(a,b]，且 lim f ( x) ，取 0 ，
xa
若 lim b f ( x)dx 存在，则称此极限为 f ( x) 在区间(a,b] 0 a
上的反常积分，记为
b a
f
(
x)dx
，即
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
lim ln x ab lim [lb n a)( ln ] ,
0
a 0
当 q 1 时 ， a b ( x d a ) q l 0 x a b i ( x d a m ) qx
, q1
lim1 (xa)1qb
01q
a
(b a )1q 1q
,
q1
故反常积分
(q 积分)
lim (1)lim (11), 0 x 1 0
7反常积分——反常积分的概念和计算
7反常积分——反常积分的概念和计算反常积分是微积分中的一个重要概念，是对一些函数在一些区间上的积分进行无穷求和的过程。
与定积分不同，反常积分是对未能被定积分求解的函数进行求解的方法，常见于一些函数在一些点上无界或不连续。
本文将详细介绍反常积分的概念和计算方法。
一、反常积分的概念反常积分是对一些在一些点不连续或无界的函数进行积分求解的方法。
在实际应用中，我们常遇到一些函数在一些点附近出现无穷大的情况，或者在其中一点上不连续的情况，这时就需要用到反常积分进行求解。
具体来说，反常积分可以分为以下两种情况：1.类型一：函数在积分区间其中一点附近无界的情况。
设函数f(x)在区间(a,b]上有定义，且x=b是f(x)的发散点，则反常积分的定义为：∫f(x)dx = lim┬(t→b)〖∫[a,t] f(x)dx〗即求解函数在区间[a,t]上的定积分，然后将t无限趋近于b来求解该反常积分。
2.类型二：函数在积分区间其中一点不连续的情况。
设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，且x=c是f(x)的不连续点，则反常积分的定义为：∫f(x)dx = ∫[a,c) f(x)dx + ∫[c,b] f(x)dx即将不连续点c拆分成两个积分区间，在每个区间上分别求解定积分，然后求和。
需要注意的是，反常积分只在函数在一些点附近出现无界或不连续时才有意义。
如果函数在积分区间上连续且有界，那么反常积分与定积分是等价的。
二、反常积分的计算方法对于类型一的反常积分，我们可以通过以下几种方法进行计算：1.无界函数的积分计算当函数f(x)在x=b附近无界时，我们可以通过计算一个足够大的正数M，使得对于任意t>b有，f(x)，<M。
然后计算定积分∫[a,t] f(x)dx，再令t无限趋近于b，即可求得反常积分的值。
2.函数在无穷远点（正无穷和负无穷）处的积分计算如果函数在正无穷远点处无界且不连续，可以将反常积分转化为辐角积分的形式。
反常积分的几种计算方法
反常积分的几种计算方法目录摘要 (1)关键词 (1)A b s t r a c t (1)K e y w o r d s (1)0前言 (1)1反常积分的定义 (1)1.1无穷积分的定义 (1)1.2瑕积分的定义 (2)2反常积分的计算方法 (3)2.1利用Newton—Leibniz公式计算反常积分 (3)2.2利用变量替换法计算反常积分 (3)2.3利用分部积分法计算反常积分 (5)2.4利用分段积分自我消去法计算反常积分 (7)2.5利用方程法计算反常积分 (7)2.6利用级数法计算反常积分 (9)2.7利用待定系数法计算反常积分 (10)结束语 (11)参考文献 (11)反常积分的几种计算方法摘要:该文主要对反常积分的计算方法进行归纳、总结.重点描述了在进行计算时各种方法的灵活使用.关键词:反常积分;变量替换;分部积分;级数法;待定系数法Several calculation methods of abnormal integral Abstract:This paper mainly sums up the calculation methods of abnormalintegral. This paper emphasizes on describing the flexible use of variousmethods in the calculation.Keywords: Abnormal integral; Variable substitution; subsection integral;Series method; the method of undetermined coefficient0前言反常积分是微积分学中一类重要的积分，反常积分的计算是学习积分计算中的重难点。
本文不仅介绍了常见的三大基本方法：Newton —Leibniz 公式、利用变量替换、利用分部积分法，还介绍了分段积分自我消去法、方程法、级数法和待定系数法等一些在解决问题时较适用的方法，通过引用一些经典例题使我们对这些方法有更加深刻的认识。
反常积分的概念与计算
反常积分的概念与计算反常积分是微积分中一个非常重要的概念，在实际问题中经常会遇到需要计算反常积分的情况。
本文将介绍反常积分的概念、性质和计算方法。
1. 反常积分的概念反常积分是指定积分区间上函数不满足某些条件而导致积分值无法直接计算的情况。
它分为两类：第一类反常积分和第二类反常积分。
1.1 第一类反常积分第一类反常积分是指函数在积分区间上存在无穷间断点或者设置大量的函数间断点的情况。
这导致在这些间断点处，函数的积分值无法定义。
举个例子，考虑函数$f(x)=\\frac{1}{x}$，在区间(0,1)上，f(x)在x=0处无穷大。
因此，这个积分称为第一类反常积分。
为了计算这个反常积分，我们可以将它分解为两个部分，一个是从0到某个小正数$\\epsilon$的积分，另一个是从$\\epsilon$到1的积分。
然后，我们可以取极限$\\epsilon$趋近于0，来计算反常积分的值。
1.2 第二类反常积分第二类反常积分是指函数在积分区间上的某些点奇异或无界的情况。
这导致函数在这些点上的积分值为无穷大或无定义。
举个例子，考虑函数$f(x)=\\frac{1}{\\sqrt{x}}$，在区间(0,1)上，函数f(x)在x=0处无穷大。
因此，这个积分称为第二类反常积分。
同样地，为了计算这个反常积分，我们可以将它分解为两个部分，一个是从0到某个小正数$\\epsilon$的积分，另一个是从$\\epsilon$到1的积分。
然后，我们可以取极限$\\epsilon$趋近于0，来计算反常积分的值。
2. 反常积分的计算方法反常积分的计算方法主要有两种：换元法和分部积分法。
2.1 换元法换元法也被称为变量代换法，它适用于一类特殊的反常积分。
换元法的基本思想是将变量进行替换，将一个难以计算的函数变成一个简单的形式。
通常情况下，我们选择适当的变量替换来简化积分的计算。
具体步骤如下：1.选择一个适当的替换变量，使得被积函数转化为一个更简单的表达式。
反常积分柯西收敛准则
反常积分柯西收敛准则引言：在数学中，积分是一种重要的概念，用于求解曲线下面的面积或者描述变化率。
而对于一些特殊的函数，它们的积分可能会呈现出一些特殊的性质，其中之一就是反常积分。
本文将介绍反常积分以及柯西收敛准则。
一、反常积分的概念反常积分是指在定义域内某些点上函数不满足积分条件的情况下，对函数进行积分的过程。
一般来说，反常积分可以分为两类：无界函数的反常积分和间断函数的反常积分。
1. 无界函数的反常积分无界函数的反常积分是指在积分区间上函数在某些点上趋于无穷大或者趋于负无穷大的情况下，对函数进行积分。
例如，函数f(x) = 1/x在区间(0, 1]上的积分就是一个无界函数的反常积分。
在这种情况下，我们需要通过极限的方法来求解积分值。
2. 间断函数的反常积分间断函数的反常积分是指在积分区间上函数存在间断点的情况下，对函数进行积分。
例如，函数f(x) = 1/x在区间[0, 1]上的积分就是一个间断函数的反常积分。
在这种情况下，我们需要将积分区间分成多个子区间，分别对每个子区间上的函数进行积分，然后将结果求和得到最终的积分值。
二、柯西收敛准则柯西收敛准则是判断反常积分是否收敛的一种方法。
它的核心思想是通过比较函数的积分与极限的大小关系来判断反常积分的收敛性。
柯西收敛准则的数学表达式如下：对于函数f(x)，如果存在正数M和c，使得当a>b>c时，有|∫(b,a)f(x)dx|<M成立，那么反常积分∫f(x)dx在区间(b,+∞)上收敛。
柯西收敛准则的意义在于，它提供了一种判断反常积分收敛的有效方法。
通过比较函数的积分与极限的大小关系，我们可以判断反常积分是否收敛，从而避免了对函数进行积分的繁琐计算。
三、举例说明为了更好地理解反常积分柯西收敛准则的应用，我们来举一个例子。
例：计算反常积分∫(1,∞)1/x^2dx的收敛性。
解：首先，我们需要根据柯西收敛准则的定义来判断反常积分的收敛性。
反常积分
b
a
f (x)dx
a
b a
此时也称反常积分收敛. 否则称反常积分发散.
注意：反常积分发散时，仍用记号 f (x)dx表示. a 但只是形式上写出，不表数值.
4
例1计算反常积分
1
1 dx . x
解
由定义知： 1dx lim
1x
b
b 1dx 1x
lim(lnb ln1) lim ln b
1 0
1 xq
dx,当q<1时收敛，当
q
1
发散.
证
(1)
q 1,
1
0
1 xq
dx
1 0
1 x
dx
ln
x
1 0
,
(2) q 1,
1 0
1 xq
dx
x1q 1 1 q0
, 1 1 q
,
q q
1 1
因此当q<1时反常积分收敛，其值为
1
1
q
;
当 q 1 时反常积分发散.
19
三、小结
f (x)dx lim
1 dx. 1 x2
b
a
解
1 1 x2 dx
arctan
x
lim arctan b lim arctan a
πb π
a
( ) π.
22
9
例7
计算
x 1 x2dx.
解
x 1 x2 dx
c
1
x x
2
dx
x c 1 x2 dx
因为
cx 1 x2 dx
b
(这时称a是瑕点)，取
0,
如果极限 lim 0
《反常积分初步》课件
04
CATALOGUE
在概率论与数理统计中，反常积分用于计算概率密度函数和累积分布函数等。
概率论与数理统计
在复变函数中，反常积分用于计算复函数的积分和级数展开等。
复变函数
在微分方程中，反常积分用于求解初值问题和边值问题等。
微分方程
信号处理
控制系统
材料科学
反常积分的扩展知识
05
详细描述
在无穷区间上的反常积分，其积分上限或下限可能趋于无穷。这种情况下，我们需要考虑如何处理无穷大或无穷小的量，以及如何确定积分的值。
总结词：无界函数的反常积分是指被积函数在积分区间内无界的情况。
总结词：含参变量的反常积分是指被积函数中含有参数的情况。
详细描述：含参变量的反常积分是反常积分的一种复杂类型。在这种情况下，被积函数中的参数可能会影响积分的值。因此，我们需要仔细分析参数的变化对积分的影响。
反常积分可积的条件
被积函数在积分区间上连续或具有有限个第一类间断点时，反常积分可能可积。
反常积分可积的判断方法
通过定积分存在的充分条件、定积分存在的必要条件等方法判断反常积分的可积性。
03
02
01
反常积分的计算方法
03
CATALOGUE
03
微分法
通过积分函数的微分性质，将反常积分转化为定积分，再利用定积分的计算方法求解。
反常积分的性质
02
CATALOGUE
反常积分收敛的定义
如果反常积分在某个区间上的积分值存在，则称该反常积分在该区间上收敛。
反常积分收敛的判断方法
通过比较测试、Cauchy收敛定理等方法判断反常积分的收敛性。
反常积分收敛的条件
当被积函数在积分区间上非负或单调递减时，反常积分可能收敛。
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a
f ( x)dx 发散，而表示该平面无穷区域没有
图 5-7-2
有限的面积．
同理，反常积分
b
f ( x)dx 和
f ( x)dx 也有相仿的几何意义．
32-14
例 如，
1
1 dx ln 2 的 表 示 以 直 线 x 1 ， x 轴 以 及 曲 线 2 x( x 1) 2
32-7
定理 5.7.2 设反常积分
a
f ( x)dx 和
a
a
2018/6/7
g ( x)dx 均收敛，k1, k2
为任意常数，则反常积分
[k1 f ( x) k2 g ( x)]dx 也收敛，且
a
a
[k1 f ( x) k2 g ( x)]dx k1
F () lim F ( x) ．因此，⑴的解题过程可写为
x
1 x( x 1)
2
1
dx
1
1 x ( 2 )dx x x 1
x 1 2 [ln x ln( x 1)] ln 2 1 2 x 1
1
1 ln 2 2
32-13
② 如果反常积分
0
1 2
所以反常积分 常积分
0
xe
x2
dx 和
0
xe
x2
dx 均收敛， 从而综合型反
1 1 dx 0 ． 2 2
32-17
xe
x2
32-10
㈣ 无穷区间上的反常积分的敛散性举例
2018/6/7
例 5.7.1 分别讨论下列反常积分的敛散性．如果收敛， 1 1. ln 2 . 求反常积分的值： 2 0 1 x x ⑴ dx ． dx ； ⑵ e dx ； ⑶ 2 2 1 x 1 x( x 1)
b x x 1 2 由于 d x lim d x lim ln(1 b )， 2 2 0 1 x b 0 1 x b 2 x x 极限不存在，故 dx 发散，进而 dx 发散． 2 2 0 1 x 1 x
32-12
几点说明：
解(2)
0
x e dx lim e dx lim (1 e ) 1， 故 e dx 收敛，
x x a a a a
0
0
其值为1 ．
32-11
㈣ 无穷区间上的反常积分的敛散性举例
2018/6/7
例 5.7.1 分别讨论下列反常积分的敛散性．如果收敛， 1 1. ln 2 . 求反常积分的值： 发散 2 0 1 x x ⑴ dx ． dx ； ⑵ e dx ； ⑶ 2 2 1 x 1 x( x 1) 0 x x x dx dx dx ． 解(3) 2 2 2 1 x 0 1 x 1 x
① 在上述解题过程中， 可合理地简化书写， 以示简洁． 例如， 设 F ( x) 为 f ( x) 的一个原函数，仿照牛顿-莱布尼茨公式， 有
a
f ( x)dx F ( x) a F () F (a) ， 称之为广义牛
顿 - 莱 布 尼 茨 公 式 ， 其 中 F () 理 解 为
如果 lim
b a
f ( x)dx 的 值 ，或称
f ( x)dx I ；
a
b a
f ( x)dx 不存在，就称反常积分
f ( x)dx 发散．
32-5
2018/6/7
类似地，可定义连续函数 f ( x) 在 (, b] 上的反常积分
b
f ( x)dx lim
a
a
f ( x)dx k2
a
a
g ( x)dx ．
定理 5.7.3
设函数 f ( x), g ( x) 在 [a, ) 上连续，且 0 f ( x) g ( x) ．
⑵ 如果反常积分
⑴ 如果反常积分
g ( x)dx 收敛，则反常积分
f ( x)dx 也收敛；
mM 万有引力定律，火箭克服地球的引力为 F ( x) k 2 ． x
当火箭在地面时， x R ，此时火箭所受的引力就是火箭的重
mM 2 1 2 力 mg ，即 k 2 mg ，得 kM gR ，所以 F ( x) mgR 2 ． R x
32-3
首先考虑将火箭垂直向上地发射到离地面高 H 时， 引力所做的功．
a
f ( x)dx 收敛，则当 f ( x) 0 时，
a
f ( x)dx
几何意义是：以直线 x a ， x 轴及曲线 y f ( x) 所围成的向右无限伸 展的平面无穷区域（也称为广义曲边梯形或广 义 曲 边 三 角 形） 的 面 积 ( 见 图 5-7-2) ． 如 果
1
1 所围成的向右无限伸展的无穷区域的面积为 ln 2 ． y 2 2 x( x 1)
1
同理，
0
e x dx 1 表示以 x 轴， y 轴以及曲线 y e x 所围成
的向左无限伸展的无穷区域的面积为 1 ．
而
0
x x y 所 dx 发散说明以 x 轴， 轴以及曲线 y 2 2 1 x 1 x
xe
x2
dx xe
0
dx
0
xe
x2
dx ，其中
0
0
xe
x2
1 x2 1 x2 2 dx e d( x ) e 2 0 2
1 2
0
xe
x2
1 0 x2 1 x2 2 dx e d( x ) e 2 2
sin xdx 也发散， 同样
sin xdx 0 ．
可以证明，如果反常积分
f ( x)dx 收敛，且 f ( x) 为奇函数，则
f ( x)dx 0 ．
32-16
例 5.7.2 证明
xe
x2
dx 0 ．
x2
证
a
b a
f ( x)dx
及其敛散性等有关概念．
对于在 (, ) 内的反常积分
f ( x)dx ，规定
c
f ( x)dx
c
f ( x)dx
c
f ( x)dx ，
其中 c 为某常数，一般取 c 0 ，或其它简单数值．
并且 当且仅当 ．．．．
f ( x)dx 收敛．
注 2：定理 5.7.2、定理 5.7.3 和定理 5.7.4 对区间 (, b] 和
(, ) 上的反常积分也成立．
32-9
㈣ 无穷区间上的反常积分的敛散性举例
2018/6/7
例 5.7.1 分别讨论下列反常积分的敛散性．如果收敛， 1 ln 2 . 求反常积分的值： 2 0 1 x x ⑴ dx ． dx ； ⑵ e dx ； ⑶ 2 2 1 x 1 x( x 1) b b 1 1 1 x 解 ⑴ dx lim dx lim ( 2 )dx 2 2 1 x( x 1) b 1 x( x 1) b 1 x x 1 b b 1 x 2 lim [ln x ln( x 1)] lim ln 1 b b 2 x2 1 1 b 1 1 lim (ln ln ) ln 2 ， 2 b 2 2 b 1 1 1 所以反常积分 dx 收敛，且值为 ln 2 . 2 1 2 x( x 1)
f ( x)dx 发散，则反常积分 g ( x)dx 也发散．
a
定理 5.7.4 设函数 f ( x) 在 [a, ) 上连续，如果反常积分
a
f ( x ) dx 收敛，则反常积分
a
f ( x)dx 也收敛．
32-8
2018/6/7
定义 5.7.2 设函数 f ( x) 在 [a, ) 上连续， 如果反常积 分
a a
f ( x ) dx 收敛，就称
a
a
f ( x)dx 绝对收敛；如果反
a
常 积分
f ( x)dx 收 敛 ， 但
f ( x ) dx 发 散 ，就 称
f ( x)dx 条件收敛．
注 1：定理 5.7.4 表明，如果反常积分
a
a
f ( x)dx 绝对收敛，则
如 果 lim
a
f ( x)dx lim f ( x)dx
b a
b
为 f ( x) 在[a, ) 上的反常积分．
b
b a
f ( x)dx 存 在， 且其 极限 值为 I ， 就 称反 常积分
a
a a
f ( x)dx 收 敛， 极限 值 I 为 反常 积分 f ( x)dx lim mgR ( ) mgR ． H H R RH 2 1 从形式上看， W 可看作 F ( x) mgR 2 在无穷区间[ R, ) 上的积分． x
2
32-4
2018/6/7
㈡ 无穷区间上反常积分的概念
定义 5.7.1 设函数 f ( x) 在 [a, ) 上连续，取 b a ，称
32-2
5.7.1 无穷区间上的反常积分