高数重修复习
高数重修试题
⾼数重修试题⼀（1）设k j i b k j i a 42,253++=-+=，问λ和µ有什么的关系，能使得b aµλ+与z 轴垂直？（2）已知k i OA 3+=，k j OB 3+=，求OAB ?的⾯积。
（3）已知23,3,2,1,,3A a bB a b a b a b π=+=-===求,BA B prj A ?（4）设向经,522k j i M O ++=从点)1,2,1(P 出发，向M O 作垂线PQ ,求向量Q P和长度。
（5）分别画出223yx z +-=,2211y x z ---=⽅程所表⽰的曲⾯。
（6）求上半球2220yx a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a axy x 的公共部分在xoy 坐标⾯上的投影。
（7）求两平⾯012=+-+z y x 和012=-++-z y x ⾓平分⾯的⽅程。
42012=--+=--+z y x z y x 的直（8）求过点)1,2,1(-，并且平⾏直线线⽅程。
（9）求直线211232-+=-=+z y x 与平⾯08332=-++z y x 的交点和夹⾓。
（10）求点)0,2,1(-在平⾯012=+-+z y x 上的投影。
（11）求点)1,3,2(在直线322217+=+=+z y x 上的投影。
4201=-+-=+-+z y x z y x 的距离。
（12）求点)2,1,3(-P 到直线（13）求直线22x y z=??=?绕z 轴旋转⼀周的曲⾯⽅程并画出它的⼤致图形。
（14）求过直线026x y x y z +=??-+=?且切于球⾯2229x y z ++=的平⾯⽅程。
（15）设122112:,:112211x y z x y z L L -++-====--（1）判断12,L L 是否相交，若相交求出交点P 和相交平⾯π；（2）在平⾯π上求⼀过P 点直线L ，且L 与1L 和2L 的夹⾓相同。
⼆：（1）求1)sin(1lim)0,0(),(--→xy xy y x 。
高数2重修知识点总结
2、 n 阶常系数线性齐次微分方程： y ( n ) + p1 y ( n −1) + ⋯ pn y = 0 ，通解如表： 特征方程 r n + p1r n −1 + pn = 0 的根
O
b a
yy = f ( x)Fra bibliotekaVx = ∫ π y2dx = ∫ π [ f ( x)] dx. ； Vy = ∫ 2π ⋅ x ⋅ ydx = ∫ 2π ⋅ x ⋅ f ( x)dx.
2
b
b
b
图6-10
b
x
a
a
a
y d x = ϕ ( y)
② 由曲线 x = ϕ ( y ) ，直线 y = c, y = d (c < d ) 与 y 轴所围成的曲边梯形 分别绕 x 轴、 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积分别为：
y y = f (x)
β
AD = ∫∫ dσ
D
1、直角坐标的情形
y x = ϕ (y)
α
y
y = f (x)
O a
O a
x
b y = g (x)
图 6-3
b
x
b
x
O
图 6-1
图 6-2
A=
∫a f ( x)dx
y
b
A=
∫
β
ϕ ( y )dy
α
A=
∫ a [ f ( x) − g ( x)]dx
x =ψ ( y)
c
高数AII、BII期末复习要点(含重修)
请同学们在全面复习的基础上，重点掌握以下要点：第一大部分 多元函数微分学1.会求复合函数、隐函数的一、二阶偏导数；会求函数的全微分； 2.会判断二元函数在一点的连续性、偏导存在性；掌握可微、连续、偏导存在之间的关系； 3.会求梯度、方向导数以及最大方向导数； 4.会求切线、切平面、法线、法平面方程； 5. 会判断二元函数是否存在极值并会求其极值；会利用Lagrange 乘数法求解条件极值。
第二大部分 多元函数积分学1. 会利用直角坐标、极坐标求二重积分；2. 会利用直角坐标（切丝、切片法）、柱面坐标、球面坐标计算三重积分；3. 掌握一、二型曲线积分的计算方法；会利用Green 公式求解曲线积分，掌握与路径无关的四个等价命题；会求解全微分方程；4. 掌握一、二型曲面积分的计算方法（投影法、Gauss 公式）；5. 应用：会求质量、转动惯量、流量；6. 会用对称性、轮换性简化积分计算。
第三大部分 级数1. 掌握正项级数敛散性的判定方法（比较判别法、比较判别法的极限形式、比值根式判别法）；2. 利用Leibniz 定理判定交错级数的收敛性；会判定一个级数是绝对收敛还是条件收敛；3. 会求幂级数的收敛域；会利用逐项积分、逐项求导求幂级数的和函数；4. 会求常见函数的幂级数的0()x x -展开式及其收敛域；5. 会求函数的傅里叶级数的展开（正弦、余弦展开）及其和函数；6. （对高A 学生）会判断函数项级数的一致收敛。
第四大部分 微分方程（对18级及之前的重修学生）1. 掌握求解一阶微分方程的方法（可分离变量、一阶线性微分方程）；2. 掌握线性微分方程的解的结构；3. 会求常系数线性齐次微分方程的通解；4. 掌握非齐次项为()xm P x e λ的常系数线性微分方程的通解的求解方法。
高等数学 重修A(II)19春
16．求点 (3,1, −1) 到平面 x + y + z − 20 = 0 的投影坐标。
19．求点 (2,1,1) 到平面 x + y − z +1 = 0 的距离。
1
多元函数微分法及其应用
2．求极限 lim x→0 y→0
3．求偏导数
xy +1 −1 xy
（1） z = x3 y + exy − sin(x2 − y2 ) ，求 ∂z 及 ∂z ∂x ∂y
11．求过点
(−1,
2,1)
且平行于直线
⎧ ⎨ ⎩
x x
+ +
y 2
−2 y−
z z
−1 +1
= =
0 0
的直线方程。
12．求过点
(2,1,1)
且垂直于直线
⎧x + 2 ⎨⎩2x +
y y
− −
z z
+1= =0
0
的平面方程。
13．将直线一般式
⎧x − y ⎨⎩2x +
+z y+
=1 z=
4
化为对称式方程和参数式方程。
∫ 6.利用格林公式计算 − x 2 ydx + xy 2dy ，其中 L 为沿圆周 x2 + y2 = a2 正向一圈的 L
路径。
∫ 7. 用 两 种 不 同 的 方 法 计 算 曲 线 积 分 (x 2 + y 2 )dx + (x + 2)dy ， 其 中 L 是 以 L
O (0, 0) ， A(1, 0) , B (0,1) 为顶点的三角形的正向边界曲线。
（2） z = ln(x + y ) ，求 ∂z 及 ∂z
高等数学下重修练习题
高等数学(下)重修练习题1．设a 是从点A (2, 1, 2)到点B (1, 2, 1)的向量, 则与a 同方向的单位向量为a ︒=_______. 2．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则|a +b |=________. 3．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则|a -b |=________. 4．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则a ⨯b =________.5．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则与a 和b 都垂直的向量c =_______ 6．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则cos(a ,^ b )=________.7．设向量a ={2, 1, 2}, 则与a 的方向相同而模为2的向量b =________.8．1. 以向量a =(1, 1, 2)与b =(2, -1, 1)为邻边的平行四边形的面积为________.9．以曲线⎩⎨⎧==+x z zy x 222为准线, 母线平行于z 轴的柱面方程是________.10．2. 以曲线220x y zx y z ⎧+=⎨+-=⎩为准线, 母线平行于z 轴的柱面方程是________.11．2. 曲线⎩⎨⎧==-+00222y z z x 绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程为________.12．2. 曲线2220y z z x ⎧+-=⎨=⎩绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程为________.13．2. 旋转抛物面x 2+y 2=z 与平面x +z =1的交线在xoy 面上的投影方程为________.14．2.锥面z =x =z 2的交线在xoy 面上的投影方程为_________.15．2. 过点M (1, 2, -1)且与直线2341x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面方程是________.16．2. 过点M (1, 2, -1)且与直线421131y x z +-+==-垂直的平面方程是________. 17．2. 过点M (1, 2, 1)且与平面2x +3y -z +2=0垂直的直线方程是_________. 18．2. 过点M (1, -1, 2)且与平面x -2y +1=0垂直的直线方程是________.19．函数f (x , y )在点P 0处的偏导数存在是函数f (x , y )在P 0处连续的( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件. 20．函数f (x , y )在点P 0处连续是函数f (x , y )在P 0处的偏导数存在的( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件. 21．函数f (x , y )在点P 0处连续是函数f (x , y )在P 0处可微分的( ).(A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件. 22．若f (x , y )在点P 0的某个邻域内( ), 则f (x , y )在P 0处可微.(A)连续; (B)有界; (C)存在两个偏导数; (D)存在连续的一阶偏导数.23．3. 设z =f (x 2+y 2, x 2-y 2, 2xy ), 且f (u , v , w )可微分, 则xz∂∂=________.24．3. 设w =f (u , v ), u =xy , v =x 2+y 2, 且f (u , v )可微分, 则w x∂=∂________.25．3. 设z =ln(1+x 2+y 2), 则d z |(1, 1)= ________.26．设f (x , y , z )=x 2+y 2+z 2, 则梯度grad f (1, -1, 2)= ________. 27．设f (x , y , z )= x 3y 2z , 则梯度grad f (1, 1, 1)= ________.28．函数f (x , y , z )=x 2+y 2+z 2在点(1, -1, 2)处沿方向________的方向导数最大.29．函数f (x , y , z )= x 3y 2z 在点(1, 1, 1)处沿方向_____{3,2,1}_______的方向导数最大. 30．函数f (x , y , z )=x 2+y 2+z 2在点(1, -1, 2)处方向导数的最大值为________. 31．函数f (x , y , z )= x 3y 2z 在点(1, 1, 1)处方向导数的最大值为________. 32．交换二次积分的积分次序, 则100d (,)d yy f x y x ⎰⎰=________. 33．交换二次积分的积分次序, 则11d (,)d xx f x y y ⎰⎰=________.34．交换二次积分的积分次序,则10d (,)d y y x y x ⎰=________.35．交换二次积分的积分次序, 则210d (,)d xxx f x y y ⎰⎰=________.36．设D 为上半圆域x 2+y 2≤4(y ≥0), 则二重积分d Dσ⎰⎰=________.37．设D 是由两个坐标轴与直线x +y =1所围成的区域, 则二重积分d Dσ⎰⎰=______.38．设D 是由直线x =1、y =x 及x 轴所围成的区域, 则二重积分d Dσ⎰⎰=________.39．设D 是由椭圆221916y x +=所围成的区域, 则二重积分d Dσ⎰⎰=________.40．设L为上半圆y则曲线积分d Ls ⎰=________.41．设L 为圆x 2+y 2=1,则曲线积分Ls ⎰=________.42．设L为上半圆y 则曲线积分22ln(1)d L x y s ++⎰=________.43．设L 为圆x 2+y 2=1, 则曲线积分22ln(1)d Lx y s ++⎰=________.44．设L 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)为顶点的三角形区域的正向边界, 则22d d Lxy x x y +⎰=________. 45．设L 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)为顶点的三角形区域的正向边界, 则 (e cos )d e sin d x x Ly x x y y --⎰=________.46．设L 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)为顶点的三角形区域的正向边界, 则 22d (2)d Lxy x x x y ++⎰=________.47．设L是由上半圆y x 轴所围成的区域的正向边界, 则22d (2)d Lxy x x x y ++⎰=________.48．若p 满足________,则级数n ∞=. 49．若p 满足________,则级数n ∞=.50．若q 满足________, 则级数0()2n n q a ∞=∑收敛.51．若p 满足________, 则级数01()2n n n p ∞=+∑收敛. 52．若p 满足________, 则级数2011()pn n n ∞=+∑收敛. 53．设1n n u ∞=∑是任意项级数, 则lim 0n n u →∞=是级数1n n u ∞=∑收敛的( )条件.(A)充分; (B)必要; (C)充分必要; (D)无关.54．设1n n u ∞=∑是任意项级数, 则级数1n n u ∞=∑收敛是级数1n n ku ∞=∑(k ≠0)收敛的( )条件.(A)充分; (B)必要; (C)充分必要; (D)无关. 55．下列级数中收敛是( A ).(A)11(1)1nn n ∞=-+∑; (B)11n n ∞=∑; (C)111()2n n n ∞=+∑;(D)n ∞=.56．下列级数中绝对收敛的是( C ).(A)1(1)nn ∞=-∑ (B)11(1)n n n ∞=-∑; (C)11(1)2n n n ∞=-∑; (D)11(1)(1)n n n n ∞=-+∑.57．下列级数中绝对收敛的是( D ).(A)1(1)nn ∞=-∑ (B)11(1)n n n ∞=-∑; (C)11(1)(1)nn n n ∞=-+∑; (D)211(1)n n n ∞=-∑.58．设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径为R , 则当x =R 时, 幂级数0n n n a x ∞=∑ ( ).(A)条件收敛; (B)发散; (C)绝对收敛; (D)可能收敛, 也可能发散. 59．设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径为R , 则当x =-R 时, 幂级数0n n n a x ∞=∑ ( ).(A)条件收敛; (B)发散; (C)绝对收敛; (D)可能收敛, 也可能发散. 60．如果幂级数0n n n a x ∞=∑在x =2处收敛, 则收敛半径为R 满足( ).(A)R =2; (B)R >2; (C)R ≥2; (D)R <2.61．如果幂级数0n n n a x ∞=∑在x =-2处收敛, 则收敛半径为R 满足( C ).(A)R =2; (B)R >2; (C)R ≥2; (D)R <2.62．将函数21()1f x x =+展开为x 的幂级数, 则f (x )=_______.63．将函数21()1f x x =-展开为x 的幂级数, 则f (x )=________.64．将函数1()4f x x =-在区间________可展开为x 的幂级数.65．将函数1()12f x x=+在区间________可展开为x 的幂级数.66．求通过直线113y x z==和点(2, -1, 1)的平面方程.67．求过三点A (1, 0, -1)、B (0, -2, 2)及C (1, -1, 0)的平面的方程.68．求通过点(1, 2, -1)且与直线23503240x y z x y z -+-=⎧⎨+--=⎩垂直的平面方程.69．求通过点(1, 2, -1)且与直线23503240x y z x y z -+-=⎧⎨+--=⎩平行的直线方程.70．求通过点(1, 2, -1)且与平面2x -3y +z -5=0和3x +y -2z -4=0都平行的直线方程.71．设z =x sin(x +y )+e xy, 求z y ∂∂, 22z y∂∂, 2z y x ∂∂∂.72．设z =ln(1+xy )+e 2x +y, 求z x ∂∂, 22z x∂∂, 2z x y ∂∂∂.73．设z =(2x +3y )2+x y, 求z x ∂∂, 22z x∂∂, 2z x y ∂∂∂.74．设z =x y, 求z x ∂∂, 22z x∂∂, 2z x y ∂∂∂.75．设z =x y, 求z y ∂∂, 22z y ∂∂, 2z y x∂∂∂.76．设z =x sin(2x +3y ), 求z x ∂∂, 22zx∂∂, 2z x y ∂∂∂.77．设z =f (x , y )由方程x e x -y e y =z e z 确定的函数, 求z x ∂∂, zy ∂∂.78．设z =f (x , y )由方程x +y -z =x e x -y -z 确定的函数, 求z x∂∂, zy ∂∂.79．已知z =u 2ln v , 而x u y =, v =3x -2y , 求z x ∂∂, zy∂∂.80．设z =u ⋅sin v , 而u =e x +y , v =x 2y , 求z x ∂∂, zy ∂∂.81．设z =e u sin v , 而u =x -y , v =x 2y , 求z x ∂∂, zy∂∂.82．求曲面z =ln(1+x 2+y 2)上点(1, 0, ln2)处的切平面方程. 83．求曲面z =1+2x 2+y 2上点(1, 1, 4)处的切平面方程. 84．求曲面e z -z +xy =3上点(2, 1, 0)处的切平面方程.85．求空间曲线2231y x z x =⎧⎨=+⎩在点M 0(0, 0, 1)处的切线方程.86．求空间曲线x =a cos t , y =a sin t , z =bt 在对应于t =0处的切线方程.87．计算二重积分22()d Dx y x σ+-⎰⎰, 其中D 是由直线y =2, y =x 及y =2x 轴所围成的闭区域.88．计算二重积分2d Dxy σ⎰⎰, 其中D 是由直线y =x , y =0, x =1所围成的区域.89．计算二重积分sin d Dx y σ⎰⎰, 其中D 是由直线y =x , y =0, x =π所围成的区域.90．计算二重积分(e )d y Dxy σ+⎰⎰, 其中D 是由直线y =x , y =1, x =-1所围成的区域.91．计算二重积分3(Dx σ+⎰⎰, 其中D 是由曲线y =x 2, 直线y =1, x =0所围成的区域.92．计算二重积分22e d xy Dσ+⎰⎰, 其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.93．计算二重积分221d 1Dx yσ++⎰⎰, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.94．计算三重积分d z v Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由曲面z z =0所围成的闭区域.95．计算三重积分d z v Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由曲面z =1-x 2-y 2及平面z =0所围成的闭区域.96．计算三重积分d z v Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由柱面x 2+y 2=1及平面z =0, z =1所围成的闭区域.97．计算曲线积分2(1)d lx s +⎰, 其中l 为圆周x 2+y 2=1.98．计算曲线积分s ⎰，其中l 为抛物线y =x 2(-1≤x ≤1).99．计算曲线积分22()d (2)d CI x y x x y =+++⎰, 其中C 是以O (0, 0), A (1, 0), B (0, 1)为顶点的三角形的正向边界.100．计算曲线积分222()d ()d LI x y x x y y =+++⎰, 其中L 是从O (0, 0)到A (1, 1)的抛物线y =x 2,及从A (1, 1)到O (0, 0)的直线.101．计算曲线积分43224(4)d (65)d LI x xy x x y y y =++-⎰, 其中L 是从(-2, 0)到(2, 0)的半圆x 2+y 2=4(y ≥0).102．计算曲线积分22d d LI xy x x y y =+⎰, 其中L 是曲线y =ln x 上从A (1, 0)到B (e , 1)的一段.∑104．计算曲面积分22()d x y S ∑+⎰⎰, 其中∑为平面x +y +z =1含于柱面x 2+y 2=1内的部分.105．计算曲面积分2d d z x y ∑⎰⎰, 其中∑为上半球面z 含于柱面x 2+y 2=1内的部分的上侧.106．计算曲面积分22d d d d d d y z x y x y z x y z x ∑++⎰⎰, 其中∑是由圆柱面x 2+y 2=R 2和平面x =0,y =0, z =0及z =h (h >0)所围的在第一卦限中的一块立体的表面外侧.107．计算曲面积分22(2)d d d d d d x z y x x y z x xz x y ∑-+-⎰⎰，其中∑是正方体0≤x ≤a , 0≤y ≤a ,0≤z ≤a 的表面的外侧.108．判别级数021!n n n ∞=+∑的敛散性. 109．判别级数213n n n ∞=∑的敛散性.110．判别级数1e()n n π∞=∑的敛散性.111．判别级数∑∞=1!100n nn 的敛散性112．判别级数111(1)2n n n n ∞--=-∑是否收敛？若收敛, 是绝对收敛还是条件收敛？113．求幂级数1(1)nn n ∞-=-∑. 114．求幂级数234234x x x x -+-+⋅⋅⋅的收敛半径和收敛区间.115．求幂级数1nn n x n∞=∑的收敛半径和收敛区间.116．将1()2f x x =+展成x 的幂级数, 并写出展开式成立的区间.117．将f (x )=x 3e -x 展成x 的幂级数, 并写出展开式成立的区间.118．将1()2f x x=+展开为(x -1)的幂级数, 并写出展开式成立的区间.119．将1()4f x x=-展开为(x -2)的幂级数, 并写出展开式成立的区间.120．求函数f (x , y )=2x +2y -x 2-y 2的极值. 121．求函数f (x , y )=3x +2y -x 3-y 2的极值.122．求函数f (x , y )=x 2+5y 2-6x +10y +6的极值. 123．求函数f (x , y )=y 3-x 2+6x -12y +5的极值。
高等数学重修复习题(完整版)
x
xx
x2 x 1
3.
lim
x 1
(x 1)2
4． lim 1 ( 1 1 ) x0 x sin x tan x
5．
lim
n
3n
arcsin
4 5n
1
6． lim(x e x ) x x0
7. lim x0
1 2 tan2 x 1 x2 x(e x 1)
8. lim 1 3x 1 x
3. d ( e x2 sin 2x) =
dx ．
4．设函数 f (x) (x 1)(x 2)(x 2014) ，则 f (2014) =
．
5. y esin2 x ，则 dy ______________．
二、选择题
1．设
f
(x0
)
1
，则
lim
h0
f (x0
3h) 1 h
f (x0 1
二、选择题
1．若数列
xn
满足
lim
n
xn
a ，则数列 xn 在 a 的任一
邻域之外（其中
0 ）数列中
的点（ ）
（A）必不存在；
（B）至多只有有限多个；
（C）必定有无穷多个；
（D）可以有有限多个，也可以有无穷多个。
2．下列结论错误的是（ ）．
（A）函数 f (x) sin 1 是有界函数；（B）当 x 0 时，函数 f (x) sin 1 的极限存在；
五、求下列参数方程所确定的函数的一阶导数 dy 和二阶导数 d 2 y ：
dx
dx 2
1）
x y
cos sin
3 3
t t
；
六、设 f (x) 为可导函数，求 dy ： dx
高数2(2)(重修)卷
学院 信息与计算机 出卷教师 吴振之)系主任签名 制卷份数 专 业 班级编号武汉文理学院2020—2021学年第2学期高数重修复习题课程编号： 903101745 课程名称：高等数学Ⅱ(2)（重修） 试卷类型：A 、B 卷 考试形式：开 、闭 卷 考试时间：120 分钟 题号 一 二 三 四 五 六 总 分 总分人 得分一、判断题（本大题共5小题） （正确的打√，错误的打×.）1、若∑∞=1n nu发散，则0lim ≠∞→n n u ； ( ）2、若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解; ( )3、若函数),(y x f 在点(1,2)处连续，则(,)(1,2)lim (,)(1,2)x y f x y f →=; （ ）4、定积分的值是一个确定的常数; （ ）5、⎰⎰+Dd y xσ)(22=1224()D x y d σ+⎰⎰,其中D 1是{}(,)1,1D x y x y =≤≤位于第一象限的部分. （ ） 二、选择题（本大题共7小题）（在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内，错选、多选或未选均无分.）1. 函数xy z =在适合附加条件1=+y x 下的极大值是 （ ） （A ）1； （B ）0； （C ）1/6； （D ）1/4.2. 设区域22:2(0)D x y ax a +≤>，则22x y Ded σ--=⎰⎰ ( )(A) 22cos 22a d ed πθρθρ-⎰⎰； (B) 22cos 202a d e d πθρπθρρ--⎰⎰； (C)22cos 0a d ed πθρθρρ-⎰⎰； （D ）22cos 202a d e d πθρπθρ--⎰⎰.3. 方程44222=--z y x 表示的曲面是 （ ） （A ）双叶双曲面； （B ）椭球面； （C ）球面； （D ）单叶双曲面.得 分 评分人得 分 评分人4. 微分方程cosxsinydy=cosysinxdx 是 ( ) (A) 齐次方程 ; (B) 可分离变量方程 ; (C) 一阶线性齐次方程 ; (D) 一阶线性非齐次方程.5. 利用定积分的几何性质判断下列积分中，值为零的是 （ ）（A ）⎰-114dx x ； （B ）⎰-11cos xdx ； （C ）⎰20sin πxdx ； （D ）131x dx -⎰.6. 设级数∑∞=1n nu收敛于s ，则级数∑∞=++11)(n n nu u（ ）（A ）收敛于s 2； （B ）收敛于12u s +； （C ）收敛于12u s - （D ）发散. 7. 由22x y x y ==、所围成的图形的面积是 （ ） （A ）1/3； （B ）1/2； （C ）3； （D ）2. 三、填空题（本大题共7小题）（在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分.）1. 已知二元函数z=)1ln(yx+,则)1,1(dz = .2. I=⎰⎰100),(ydx y x f dy ,交换积分次序得I= .3. 22021limx dt t x x ⎰+→ .4. 过点(1, —1, —3)且与平面3x —2y+3z —1=0平行的平面方程为 .5. 幂级数1(3)3nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域为___________. 6. 微分方程xey y -=+'的通解是 .7. 定积分422sin -xdx ππ⎰= .四、计算题（本大题共5小题）1. 求由3x y =，x=2、y=0所围成的图形绕x 轴旋转产生的旋转体的体积2. 求⎰⎰Dd y x σ,其中D 是由两条抛物线2,x y x y ==所围成的闭区域.3. 求直线⎩⎨⎧=+-+=-+-0250134z y x z y x 在平面2x －y+5z －3=0上的投影直线的方程.4. 求微分方程044"=+'+y y y ,0)0(,2)0(='=y y 的特解.5. 求幂级数∑∞=1n nnx 的和函数并求级数∑∞=-12)1(n nn n的和. 五、应用题求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积.六、证明题设)(22y x yf z +=，f 为可导函数，证明： z yx x z y y z x =∂∂-∂∂.。
本科高数重修试题及答案
本科高数重修试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 32. 极限lim(x→0) (x^2-1)/(x^2+1)的值是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 23. 函数f(x)=e^x-x-1的导数是（）。
A. e^x-1C. e^x-xD. e^x+x4. 函数f(x)=x^3+3x^2+3x+1的极值点是（）。
A. x=-1B. x=-2C. x=-3D. x=15. 曲线y=x^2+2x+1在点(1,4)处的切线斜率是（）。
A. 2B. 3C. 4D. 56. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x的拐点是（）。
A. x=1C. x=3D. x=07. 函数f(x)=x^2-4x+4的最小值是（）。
A. 0B. 4C. -4D. 88. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x的单调递增区间是（）。
A. (-∞, 1)B. (1, 2)C. (2, +∞)D. (-∞, 2)9. 曲线y=x^2+2x+1与直线y=4相切的切点坐标是（）。
A. (1, 4)C. (2, 4)D. (-2, 4)10. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x的不定积分是（）。
A. (1/4)x^4-x^3+x^2+CB. (1/3)x^3-x^2+2x+CC. (1/4)x^4-x^3+2x^2+CD. (1/3)x^3-x^2+x+C二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点是_________。
12. 极限lim(x→0) (x^2-1)/(x^2+1)的值是_________。
13. 函数f(x)=e^x-x-1的导数是_________。
14. 函数f(x)=x^3+3x^2+3x+1的极值点是_________。
15. 曲线y=x^2+2x+1在点(1,4)处的切线斜率是_________。
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复习题
一、填空题 （请将答案填入题中横线上空白处，不填写解题过程。
）
1. 平面λ=-+z y x 32是曲面2232y x z +=在点)4
5
,21,21(处的切平面，则λ＝ 。
3．函数
23u xy z xyz
=+-在点
0(0,1,2)P -
沿方
向l 的方向导数
0|P u
∂=∂l
． 3．设10,1:
≤≤≤y x D 。
则⎰⎰+D
yd y y x σ)cos (5＝ 。
6．积分
dy y x f dx x x ⎰
⎰
-2
1
),(在极坐标系下的累次积分为 。
7．若级数
∑∞
=-1
3)5(n n
u
收敛，则n n u ∞
→lim ＝ 。
8．幂级数∑∞
=++--1
1
212)2()1(n n n
n x 的收敛域为 。
9. 幂级数221)1(2-∞
=-∑
n n
n x n 的收敛域为 。
10．曲线2
,3,42
34t z t y t x ===在点
)2
1
,31,41(处的切线方程为 。
11．设2
1arctan y
x z +=，则1
1==y x dz
＝ 。
12．若曲线积分
⎰
-++-L
dy y y x dx xy x )56()4(4214λλ在xoy
平面内与路径无关，则
λ＝ 。
13. 曲线积分
⎰
+L
x d y y d x y x F ))(,(与路径无关，则可微函数),(y x F 满足的条件
是 。
14. 设L 为平面上的椭圆122
22=+b
y a x ，边界为正向，则曲线积分⎰+L ydy
xdx cos 3＝ 。
15. 设),(z y xy f u +=，),(t s f 可微，则du ＝ 。
二、选择题（单选题）
1．直线
3
7423z
y x =-+=-+与平面3224=--z y x 的关系是 （A ）平行，但直线不在平面上； （B ）直线在平面上 ；
（C ）垂直相交 ； （D ）相交但不垂直 答： （ ） 2． 当b a
,为何值时，平面076=-++z by ax 与直线
3
1
4522+=+=-z y x 垂直。
（A ） 8,4==b a ； （B ） 8,4-==b a ；
（C ）
8,4=-=b a ； （D ）8,4-=-=b a 答： （ ）
3．曲面z
x
y z ln +=在点)1,1,1(上的切平面方程为 （A ）01=--+z y x ； （B ）042=-++z y x ；
（C ）022=+--
z y x ； （D ）02=-+z y x 答： （ ）
4．设C 为分段光滑的任意闭曲线，)(x ϕ与)(y ψ为连续函数，则
⎰+C
dy y dx x )()(ψϕ的
值
（A ）与C 有关； B ）等于0； （C ）与)(x ϕ与)(y ψ的形式有关； D ）π
2。
答：
（ ） 5. 设⎰
⎰-=y
dx y x dy I
10
2210
3，则交换积分次序后I 等于
（A ）
⎰
⎰
-x
dy y x dx 10
2
2
1
3； （B ）
⎰⎰
-1
2210
3dy y x dx y
；
（C ）
⎰
⎰-2
10
2
2
1
3x dy y x dx ； （D ）⎰
⎰+2
10
221
3x dy y x dx 答：
（ ） 6．设方程)()(22y x F y x F y
+++=能确定隐函数)(x f y =（其中F 可微），
1)4(',2
1
)2(',2)0(==
=F F f ，则)0('f ＝ 。
A ）7
1； B ）71
-； C ）41-； D ）31-。
答： （ ） 7．若级数
∑∞
=+1)2(n n
n x c 在4-=x 处是收敛的，则此级数在1=x 处
A ）发散；
B ）绝对收敛；
C ）条件收敛；
D ）收敛性不能确定 答： （ ） 8．若
x x x x x f ++=3422),(122),(22'2++=x x x x f ，则=),(2'1x x f
（A ）1222
+-x x （B ）2
1
232x x x
++
（C ）2231x x ++
（D ）2221x x -+ 答：（ ） 9．极限y x y x y x ++→→23lim 0
0 A ）
21； B ）
3
2
； C ）
0； D ）不存在 答：（ ）
10．函数()()()()()⎪⎩
⎪⎨⎧
=≠+=0,0,,00,0,,,2
2y x y x y x xy y x f 在点()0,0处
（Ａ）连续，偏导数存在； （Ｂ）连续，偏导数不存在；
（Ｃ）不连续，偏导数存在； （Ｄ）不连续，偏导数不存在． 答：（ ）
11. 设函数()⎪
⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,
00,,222
22
2y x y x y x xy y x f ，则),(y x f
（Ａ）处处连续； （Ｂ）处处有极限，但不连续；
（Ｃ）仅在)0,0(处连续； （Ｄ）除)0,0(点外处处连续． 答：（ ）
12. 设k 为正常数，则级数
∑
∞
=+-1
2
)1(n n n
n
n k 是
A ）发散；
B ）绝对收敛；
C ）条件收敛；
D ）收敛性与k 有关 答： （ ）
13. 二次积分
⎰
⎰
θπ
θθθcos 0
2
)sin ,cos (rdr r r f d 可以写成
（A ）
⎰
⎰-2
1
),(y y dy y x f dx ； （B ）
⎰
⎰-2
10
1
),(y dy y x f dx ；
（C ）
⎰
⎰1
10
),(dy y x f dx ； （D ）⎰
⎰-20
1
),(x x dy y x f dx
14. 二重积分
⎰⎰≤+≤4
1222y x dxdy x 可表示为二次积分
（A ）
r d r d ⎰
⎰
2
1
2
320
cos θθπ
； （B ）
θθπ
⎰⎰
2
1
220
3
cos d dr r ；
（C ）
⎰
⎰
----22
442
2
2
x x
dy x dx ； （D ）⎰
⎰----22
4421
1
y y
dx x dy 答： （ ）
15．级数∑∞
=--1
21
)1(n p
n n A ）当21>
p 时，绝对收敛； B ）当21
>p 时，条件收敛； C ）当210≤<p 时，绝对收敛； D ）当2
1
0≤<p 时，发散。
答： （ ）
二．计算题 1设2(,)x y
y Z f e
x =，其中f 具有二阶连续偏导数，求y
x z ∂∂∂2 2设),(u xF xy z +=而x y u =
，)(u F 可导，求证：xy z y
z
y x z x
+=∂∂+∂∂ 3求表面积为2
a 而体积为最大的长方体体积
4.在椭球面 上，求距离平面 的最近点和最远
5.
6. 求[sin ()](cos )x
x L
I e
y m x y dx e y m dy =
-++-⎰，其中L 是以(,0)a 为中心，a 为半
径的上半圆周，逆时针方向，m 为常数 7 求
2222(),D
x y dxdy D x y +=⎰⎰其中是由抛物线y=x 及所围平面闭区域
8. 计算二重积分 , 其中D 是由圆 所围成的区域.
9. 求
1
1
n n nx
∞
-=∑的收敛域及和函数，并求常数项级数
1
2n n n
∞
=∑的和 10. 求
1
1
(1)
n
n n x n
∞
-=-∑的和函数 22(234),L I x y x y ds L =++⎰
求其中为椭圆周
22
1.4L 3
.x y +=并设的圆周为a 22221x y z ++=26x y z +-=221x y +=221
1D
d x d y x
y
++⎰⎰。