高数重修班复习题(1)
高数重修试题
⾼数重修试题⼀（1）设k j i b k j i a 42,253++=-+=，问λ和µ有什么的关系，能使得b aµλ+与z 轴垂直？（2）已知k i OA 3+=，k j OB 3+=，求OAB ?的⾯积。
（3）已知23,3,2,1,,3A a bB a b a b a b π=+=-===求,BA B prj A ?（4）设向经,522k j i M O ++=从点)1,2,1(P 出发，向M O 作垂线PQ ,求向量Q P和长度。
（5）分别画出223yx z +-=,2211y x z ---=⽅程所表⽰的曲⾯。
（6）求上半球2220yx a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a axy x 的公共部分在xoy 坐标⾯上的投影。
（7）求两平⾯012=+-+z y x 和012=-++-z y x ⾓平分⾯的⽅程。
42012=--+=--+z y x z y x 的直（8）求过点)1,2,1(-，并且平⾏直线线⽅程。
（9）求直线211232-+=-=+z y x 与平⾯08332=-++z y x 的交点和夹⾓。
（10）求点)0,2,1(-在平⾯012=+-+z y x 上的投影。
（11）求点)1,3,2(在直线322217+=+=+z y x 上的投影。
4201=-+-=+-+z y x z y x 的距离。
（12）求点)2,1,3(-P 到直线（13）求直线22x y z=??=?绕z 轴旋转⼀周的曲⾯⽅程并画出它的⼤致图形。
（14）求过直线026x y x y z +=??-+=?且切于球⾯2229x y z ++=的平⾯⽅程。
（15）设122112:,:112211x y z x y z L L -++-====--（1）判断12,L L 是否相交，若相交求出交点P 和相交平⾯π；（2）在平⾯π上求⼀过P 点直线L ，且L 与1L 和2L 的夹⾓相同。
⼆：（1）求1)sin(1lim)0,0(),(--→xy xy y x 。
高数(下)重修学习班课堂练习
高数（下）重修学习班课堂练习第八章 多元函数微分学及其应用№⒈1． 理解内点、外点、边界点、聚点的定义，理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。
2． 了解二元函数的极限与连续的概念及有界闭区域上连续的性质。
练习№⒈一、求下列函数的定义域，并判断它们是否为同一函数：=-- -+ ++-2z =221ln[(1)(1)]ln[(1)(1)]ln[(1)(1)]z x y x y x y二、求函数=z 三、设函数=(,)z f x y 的定义域为=≤≤-≤≤{(,)|01,11}D x y x y ，求函数2(sin ,cos )f x y 的定义域。
四、设+-=-22(,)f x y x y x y ，求=(,)?f x y 。
五、设+=-22(,)yf x y x y x，求=(,)?f x y 。
六、求下列极限：⑪→+=+2222(,)(0,0)1lim ()sin ?x y x y x y ⑫→→+=11lim(1)?xx y xy⑬→∞→∞+=+2244lim ?x y x y x y⑭→→=+24200lim ?x y x yx y⑮→→=2200lim?x y⑯→+∞→+∞=+222lim ()?x x y xy x y⑰2(,)limx y →七、讨论函数⎧≠⎪=⎨⎪=⎩1sin , 0(,) 0 , 0x y y f x y y ，在（1，0）和（0，0）点的连续性。
八、设=()yf x x >0，求=()?f x1． 理解多元函数偏导数的概念，会求偏导数；了解偏导数与连续的关系，P15的例子； 2． 会求二阶的偏导数及混合偏导数；3． 理解全增量、全微分的概念，会求全微分；了解微分存在的必要条件和充分条件； 4． 掌握多元复合函数偏导数的求法（3个定理），了解全微分（一阶）形式的不变性； 练习№⒉一、已知=++222z x xy y ，求∂∂==∂∂?,?z zx y 二、已知+=+2sin()x y z x xy e ，求∂∂∂===∂∂∂? , ? , (1,0)?z zzx yx三、设=r ∂∂∂++=∂∂∂y r r r xz r x y z 四、设=≠ (x>0,x 0)y z x ，求证∂∂+=∂∂1 2lnx x z zz y x y五、设⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩222222 , 0(,) 0 , 0xy x y x y f x y x y ，求偏导数 ==(0,0)? , (0,0)?x y f f六、设=--+32331z x y xy xy ，求∂∂∂∂∂=====∂∂∂∂∂∂∂22223223 , ,, , z z z z zx y x y y x x七、设⎧-+≠⎪+=⎨⎪+=⎩22222222() , 0 (,) 0 , 0xy x y x y x y f x y x y ，求偏导数 ==(0,0)? , (0,0)?xy yx f f八、已知-=(,)xy x z f e y ，f 是可微函数，求∂∂==∂∂?,?z z x y。
武汉大学高等数学B22012年重修班练习题汇总
P94习题9-4一、求下列函数的一阶全倒数或一阶偏导数，其中f 有一阶连续的偏导数：（5）22(,)xy z f x y e =-，求z x ∂∂，z y∂∂ （7）(,)x yu f y z =，求u x ∂∂，u y ∂∂，u z∂∂三、引入新变量u ，v ，设u =，arctan y v x=，变换方程式()()0z z x y x y x y∂∂+--=∂∂. P100习题9-5二、设f 具有连续的二阶偏导数，求下列函数的高阶偏导数：（3）2(,)z yf x y x y =+，求2z x y ∂∂∂，22z y ∂∂ P109 习题9-6四、求解下列各题：（2）设sin 0xz y z -=,求22z y ∂∂，2z x y∂∂∂ 五、设(,)z z x y =由方程(,)0z z F x y y x++=确定，其中F 有一阶连续偏导数。
证明：z z xy z xy x y∂∂+=-∂∂. P118 习题9-7四、求u x y z =++沿球面2221x y z ++=上的点0000(,,)M x y z 处外法线方向的方向倒数.五、求函数22223u x y z =++在点(1,1,1)M 处，沿曲线23,,x t y t z t ===在点1t =处的切线的指向参数t 增大的方向的方向倒数.P125 习题9-8八、证明：曲面3(0)xyz a a =>上任一点的切平面与三角坐标面所围成的四面体的体积为常数.P139 习题9-10B 类三、在第一卦限内作曲面2222221x y z a b c++=的切平面，使得切平面与三角坐标面围成的四面体的体积最小，求出切点的坐标.P155习题10-2二、交换下列二次积分的次序：（3）222614(,)x x dx f x y dy ---⎰⎰三、计算下列二重积分：（1）D ⎰⎰，D 为曲线22,y x x y ==所围成的区域P167 习题10-3一、化下列积分为极坐标系下的二次积分：（5）24020(,)(,)dx f x y dy dx f x y dy +⎰⎰二、利用极坐标计算下列各题：（2）22,{(,)|20,}D xydxdy D x y xy y y x =+-≤≤⎰⎰ 2P184 习题10-5一、选择适当的坐标系计算下列三重积分：（6）Ω，其中Ω为曲面22,z x y z =+= （9）Ω，其中Ω为曲面z =z =区域P188 总习题十四、计算下列各题：（1）2421222x x x dx dy dx dy y y ππ+⎰⎰P200 习题11-2二、计算下列对坐标的曲线积分：（1）22()()L x y dx x y dy x y+--+⎰ ，其中L 为圆周222x y a +=（取逆时针方向） 三、计算下列线性积分：（2）||||L dx dy x y ++⎰ ，其中L 是以(2,0),(0,2),(2,0),(0,2)A B C D --为顶点的正方形闭路取逆时针方向P210 习题11-3一、利用格林公式计算下列曲线积分：（3）224L xdy ydx x y -+⎰ ，其中L 是以点（1,0）为圆心，R 为半径的圆周（R>1），取逆时针方向 （6）(sin )(cos )x x AB e y my dx e y m dy -+-⎰，其中m 为常数，AB 为由A(a,0)经过圆22x y ax +=上半部的路线到B(0,0)（其中a 为正数）P217 习题11-4四、计算下列曲面积分：（1）4(2)3S x y z dS ++⎰⎰，其中S 为平面1234x y z ++=在第一卦限的部分P228 习题11-5一、计算下列对坐标的曲面积分：（2）Szdxdy xdydz ydzdx ++⎰⎰，其中S 是柱面被平面z=0及z=3所截得的在第一卦限内的部分的前侧P231例6.2 计算积分333SI x dydz y dzdx z dxdy =++⎰⎰，S为上半球面z =P233 习题11-6一、利用高斯公式计算曲面积分：（9）2S S为下半球面z =a 为大于零的常数P283 习题13-2一、用比较审敛法判别下列级数的收敛性：（7）22(0)1nn n a a a ∞=>+∑ 二、用比值审敛法或根植审敛法判别下列级数的收敛性：（1）123!n nn n ∞=+∑（3）21sin 2n n nπ∞=∑三、用适当的方法判别下列级数的收敛性：（2）1n ∞=P292 习题13-3一、判别下列级数是否收敛，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛： （1）11n n +∞= （4）1(1)2n n n n ∞=-∑ 三、设级数11()nn n u u ∞-=-∑收敛，又1n n v ∞=∑是收敛的正项级数，证明：1n n n u v ∞=∑绝对收敛P313 习题13-5二、求下列幂级数的收敛域：（4）1(1)(1)ln nn n x n ∞=--∑（5）()11(2)12n n n n x ∞=⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦∑ （6）211!n n n n x n ∞-=∑ 四、求下列幂级数在各自收敛域上的和函数：（3）11(1)n n x n n +∞=+∑ （4）0(21)n n n x∞=+∑。
大一高数下册期末总复习题1
第八章 多元函数微分学1．函数)1arccos(arcsin2y yxu -+=的定义域为 。
2．设 x y x y x f 2sin ),(2+=，则=--+→xx f x f x )0,1()0,1(lim 0。
3．设22yx x z +=，则=dz 。
4．球面3222=++z y x 上点)1,1,1(处的切平面方程是 。
5．可微函数),(y x f z =在点),(y x 处取得极大值的必要条件是 。
6．函数),(y x f z =具有一阶偏导数，其沿着x 轴负方向的方向导数为： 。
7．可微函数),(y x f z =在),(y x 处取得极大值的必要条件是 。
8．设曲面224y x z --=上点P 处的切平面平行于平面0122=-++z y x 则点P 的坐标为 。
9．22)(y x z +=在点)2,1(处的全微分=dz 。
10．设空间三点)111(，，M ，)122(，，A ，)212(，，B ，则=∠AMB 。
11．2xy z =在点)111(，，处的切平面方程为 。
12．二元函数的偏导数连续是函数可微的 条件。
13．可微函数),(y x f z =在),(y x 处取得极值的必要条件是 。
14．函数xy y x z333-+=的驻点是 。
15．=++-→→)()cos(1lim 22220,0y x y x y x 。
16．曲面32=+-xy e z x在)0,2,1(处的切平面方程为 。
17．函数)ln(222z y x u++=在)1,2,1(-M 处的梯度=M u grad 。
18函数),(y x f z =在),(00y x 处有偏导数是它在该点存在全微分的（ ） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件19．偏导数),(00'y x f x ，),(00'y x f y 存在是函数在点),(00y x 处可微的（ ）A 必要条件B 充分条件C 充分必要条件D 既非充分也非必要条件20．极限=+-→→xyxy y x 42lim0,0A 41-B 41C 21 D2 21当动点),(y x 沿着任一直线趋向于)0,0(时，函数),(y x f 都以A 为极限，则极限),(lim 0,0y x f y x →→（）A A 等于B 不存在C 存在，但不一定等于A D 以上都不对．22．空间中的点)1,3,2(-M 关于原点对称的点是（ ）A )1,3,2(--B )1,3,2(---C )1,3,2(--D )1,3,2(- 23．平面0833=--y x 的位置是（ ）A 平行于Z 轴B 斜交于Z 轴C 垂直于Z 轴D 通过Z 轴 24．函数2222y x y x z-+=在点)1,1(处的全微分是（ ）A dy dx +B 0C dy dx 22+D dy dx 22-25．若0),(),(0000=∂∂=∂∂y x y x y fx f ，则函数),(y x f 在点),(00y x 处（ ） A 连续且可微 B 连续，但不一定可微 C 可微，但不一定连续 D 不一定可微也不一定连续 26．极限=++-→→22)()cos(1lim22220,0y x y x ey x y x ：（ ）：A -1B 1C 2D 0 27．函数),(y x f z=在),(y x 处的一阶偏导数连续是函数在该点可微的A 必要条件B 充分条件C 充分必要条D 既非充分也非必要条件 28．二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(00'y x f x ，),(00'y x f y 存在是函数),(y x f 在点),(00y x 处连续的：（ ）：A 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 既非充分也非必要条件设zxy u )(=，求全微分)3,2,1(df 29．设)1,0(≠>=x x x z y，求y x z∂∂∂230．设),(xy y x f z +=，求yx z∂∂∂2，其中f 具有二阶连续偏导数。
高等数学重修复习题(完整版)
x
xx
x2 x 1
3.
lim
x 1
(x 1)2
4． lim 1 ( 1 1 ) x0 x sin x tan x
5．
lim
n
3n
arcsin
4 5n
1
6． lim(x e x ) x x0
7. lim x0
1 2 tan2 x 1 x2 x(e x 1)
8. lim 1 3x 1 x
3. d ( e x2 sin 2x) =
dx ．
4．设函数 f (x) (x 1)(x 2)(x 2014) ，则 f (2014) =
．
5. y esin2 x ，则 dy ______________．
二、选择题
1．设
f
(x0
)
1
，则
lim
h0
f (x0
3h) 1 h
f (x0 1
二、选择题
1．若数列
xn
满足
lim
n
xn
a ，则数列 xn 在 a 的任一
邻域之外（其中
0 ）数列中
的点（ ）
（A）必不存在；
（B）至多只有有限多个；
（C）必定有无穷多个；
（D）可以有有限多个，也可以有无穷多个。
2．下列结论错误的是（ ）．
（A）函数 f (x) sin 1 是有界函数；（B）当 x 0 时，函数 f (x) sin 1 的极限存在；
五、求下列参数方程所确定的函数的一阶导数 dy 和二阶导数 d 2 y ：
dx
dx 2
1）
x y
cos sin
3 3
t t
；
六、设 f (x) 为可导函数，求 dy ： dx
《高等数学》上册重修补考试卷(2010)
《高等数学》上册重修补考试卷（2010.12）一、填空：(20%)1.设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(ln x f 的定义域为_________________。
2. n n n πsin lim ∞→=____________。
3. 已知)0(f '=1，)0(f =0，则xx f x )(lim 0→=________________。
4. 设函数⎩⎨⎧>+≤=,1,,1,)(2x b ax x x x f 在1=x 处连续且可导，则=a ________，=b ________。
5. 曲线xe y 2=在点（0,1）处的切线方程为_______________。
6. 设6)10()(+=x x f ，则)2(f '''=________。
7. x dt t x x ⎰→020cos lim =________。
8. 若21x是)(x f 的导数，则)(x f =_______________。
9. 曲线12++=x x y 在点（0,1）处的曲率为_______________。
二、计算下列各题：(48%) 1.)1(lim 2x x x x -++∞→ 2.x x x )arctan 2(lim π+∞→3. )1ln(2x x e e y ++=，求dy 。
4. 设⎩⎨⎧==ty t x 2cos sin 求dx dy ，22dx y d 。
5.dx xx x ⎰+4sin 1cos sin 6.dx x x ⎰ln ln 7.dx e x ⎰10 8.dx x ⎰-202sin 1π三、求函数3)1)(1()(+-=x x x f 的单调区间和极值。
(8%)四、证明：当1>x 时，ex e x >。
（8%）五、 求由曲线2x y =，2y x =所围成的图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积。
（8%）六、化工厂要造一个盛水300立方米的无盖圆柱形蓄水池，已知池底材料的单位造价为四周材料的单位造价的两倍，问怎样设计蓄水池尺寸，才能使造价最低？（8%）。
高数1重修试卷A
密院系班级：_________ □印第2010-2011（2）学期试卷总分： 100 分答卷时间： 110 分钟试卷类型： A姓名：封_________ 学号：_________线一、选择（每小题2分，共10分）（答案写在答案页上）1．2)11(limxx xx-∞→-+=（）。
（A）1 （B）21e（C）0 （D）1-e2．函数2y=的导数是（）A16x B 5616x- C 45x- D 2323x-3．设函数)(xf具有连续的导数，则=+'⎰dxxfxf x)]()([（）（A）cxxf+)(；（B）cxf x+')(；（C）cxfx+'+)(；（D）cxfx++)(4．设)(xf在],[ba上连续，则在],[ba上至少有一点ξ，使得（）（A）0)(='ξf（B）abafbff--=')()()(ξ（C）0)(=ξf（D）abdxxfabf-=⎰)()(ξ5．设函数xxay3sin31sin+=在x=3π处取得极值，则=a（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3二、填空（每小题3分，共15分）（答案写在答案页上）1．设函数()f x 在0x 处可导，且在0x 处取得极值，那么0'()f x = 。
2． xx e 1lim -→=3．设211)(x x F -='，且当1=x 时，π23)1(=F ，则=)(x F4．设=)(x f sin 0xtdt ⎰，则)(x f '=5．1,0(),0x e x f x x a x ⎧+≤=⎨+>⎩在x =0处可导，则=a三、计算题（共63分）（答案写在答案页上）1．(1)21sin tan limx x xx x ⋅-→（共6分，每小题3分）（答案写在答案页上）(2)21lim()xx x x→∞+2．设a y x =+，求隐函数)(x y y =的二阶导数22dxyd 。
（6分）（答案写在答案页上）3．1⎰（5分）（答案写在答案页上）共（4 ）页第（1 ）页未经教务处许可，不得复印试卷/ 渤海大学教务处教务科/密院系班级：_________ 姓名：封_________ 学号：_________线4．求曲线43341y x x=-+的拐点及凹凸区间。
高等数学(下)重修考试题
高等数学(下)重修练习题1．设a 是从点A (2, 1, 2)到点B (1, 2, 1)的向量, 则与a 同方向的单位向量为a ︒=_______. 2．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则|a +b |=________. 3．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则|a -b |=________. 4．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则a ⨯b =________.5．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则与a 和b 都垂直的向量c =_______ 6．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则cos(a ,^ b )=________.7．设向量a ={2, 1, 2}, 则与a 的方向相同而模为2的向量b =________.8．1. 以向量a =(1, 1, 2)与b =(2, -1, 1)为邻边的平行四边形的面积为________.9．以曲线⎩⎨⎧==+x z zy x 222为准线, 母线平行于z 轴的柱面方程是________.10．2. 以曲线220x y zx y z ⎧+=⎨+-=⎩为准线, 母线平行于z 轴的柱面方程是________.11．2. 曲线⎩⎨⎧==-+00222y z z x 绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程为________.12．2. 曲线2220y z z x ⎧+-=⎨=⎩绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程为________.13．2. 旋转抛物面x 2+y 2=z 与平面x +z =1的交线在xoy 面上的投影方程为________. 14．2.锥面z =x =z 2的交线在xoy 面上的投影方程为_________.15．2. 过点M (1, 2, -1)且与直线2341x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面方程是________.16．2. 过点M (1, 2, -1)且与直线421131y x z +-+==-垂直的平面方程是________. 17．2. 过点M (1, 2, 1)且与平面2x +3y -z +2=0垂直的直线方程是_________. 18．2. 过点M (1, -1, 2)且与平面x -2y +1=0垂直的直线方程是________.19．函数f (x , y )在点P 0处的偏导数存在是函数f (x , y )在P 0处连续的( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件. 20．函数f (x , y )在点P 0处连续是函数f (x , y )在P 0处的偏导数存在的( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件. 21．函数f (x , y )在点P 0处连续是函数f (x , y )在P 0处可微分的( ).(A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件. 22．若f (x , y )在点P 0的某个邻域内( ), 则f (x , y )在P 0处可微.(A)连续; (B)有界; (C)存在两个偏导数; (D)存在连续的一阶偏导数.23．3. 设z =f (x 2+y 2, x 2-y 2, 2xy ), 且f (u , v , w )可微分, 则xz∂∂=________.24．3. 设w =f (u , v ), u =xy , v =x 2+y 2, 且f (u , v )可微分, 则w x∂=∂________.25．3. 设z =ln(1+x 2+y 2), 则d z |(1, 1)= ________.26．设f (x , y , z )=x 2+y 2+z 2, 则梯度grad f (1, -1, 2)= ________. 27．设f (x , y , z )= x 3y 2z , 则梯度grad f (1, 1, 1)= ________.28．函数f (x , y , z )=x 2+y 2+z 2在点(1, -1, 2)处沿方向________的方向导数最大.29．函数f (x , y , z )= x 3y 2z 在点(1, 1, 1)处沿方向_____{3,2,1}_______的方向导数最大. 30．函数f (x , y , z )=x 2+y 2+z 2在点(1, -1, 2)处方向导数的最大值为________. 31．函数f (x , y , z )= x 3y 2z 在点(1, 1, 1)处方向导数的最大值为________. 32．交换二次积分的积分次序, 则100d (,)d yy f x y x ⎰⎰=________. 33．交换二次积分的积分次序, 则11d (,)d xx f x y y ⎰⎰=________.34．交换二次积分的积分次序,则10d (,)d y y x y x ⎰=________.35．交换二次积分的积分次序, 则210d (,)d xxx f x y y ⎰⎰=________.36．设D 为上半圆域x 2+y 2≤4(y ≥0), 则二重积分d Dσ⎰⎰=________.37．设D 是由两个坐标轴与直线x +y =1所围成的区域, 则二重积分d Dσ⎰⎰=______.38．设D 是由直线x =1、y =x 及x 轴所围成的区域, 则二重积分d Dσ⎰⎰=________.39．设D 是由椭圆221916y x+=所围成的区域, 则二重积分d Dσ⎰⎰=________.40．设L为上半圆y则曲线积分Ls ⎰=________.41．设L 为圆x 2+y 2=1,则曲线积分Ls ⎰=________.42．设L为上半圆y 则曲线积分22ln(1)d Lx y s ++⎰=________. 43．设L 为圆x 2+y 2=1, 则曲线积分22ln(1)d Lx y s ++⎰=________.44．设L 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)为顶点的三角形区域的正向边界, 则22d d Lxy x x y +⎰=________.45．设L 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)为顶点的三角形区域的正向边界, 则 (e cos )d e sin d x x Ly x x y y --⎰=________.46．设L 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)为顶点的三角形区域的正向边界, 则 22d (2)d Lxy x x x y ++⎰=________.47．设L是由上半圆y x 轴所围成的区域的正向边界, 则22d (2)d Lxy x x x y ++⎰=________.48．若p 满足________,则级数n ∞=. 49．若p 满足________,则级数n ∞=收敛.50．若q 满足________, 则级数0()2n n q a ∞=∑收敛.51．若p 满足________, 则级数01()2n n n p ∞=+∑收敛. 52．若p 满足________, 则级数2011()pn n n ∞=+∑收敛. 53．设1n n u ∞=∑是任意项级数, 则lim 0n n u →∞=是级数1n n u ∞=∑收敛的( )条件.(A)充分; (B)必要; (C)充分必要; (D)无关.54．设1n n u ∞=∑是任意项级数, 则级数1n n u ∞=∑收敛是级数1n n ku ∞=∑(k ≠0)收敛的( )条件.(A)充分; (B)必要; (C)充分必要; (D)无关. 55．下列级数中收敛是( A ).(A)11(1)1nn n ∞=-+∑; (B)11n n ∞=∑; (C)111()2n n n ∞=+∑;(D)n ∞=.56．下列级数中绝对收敛的是( C ).(A)1(1)nn ∞=-∑; (B)11(1)n n n ∞=-∑; (C)11(1)2n n n ∞=-∑; (D)11(1)(1)n n n n ∞=-+∑.57．下列级数中绝对收敛的是( D ).(A)1(1)nn ∞=-∑; (B)11(1)n n n ∞=-∑; (C)11(1)(1)nn n n ∞=-+∑; (D)211(1)n n n ∞=-∑.58．设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径为R , 则当x =R 时, 幂级数0n n n a x ∞=∑ ( ).(A)条件收敛; (B)发散; (C)绝对收敛; (D)可能收敛, 也可能发散. 59．设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径为R , 则当x =-R 时, 幂级数0n n n a x ∞=∑ ( ).(A)条件收敛; (B)发散; (C)绝对收敛; (D)可能收敛, 也可能发散. 60．如果幂级数0n n n a x ∞=∑在x =2处收敛, 则收敛半径为R 满足( ).(A)R =2; (B)R >2; (C)R ≥2; (D)R <2.61．如果幂级数0n n n a x ∞=∑在x =-2处收敛, 则收敛半径为R 满足( C ).(A)R =2; (B)R >2; (C)R ≥2; (D)R <2.62．将函数21()1f x x =+展开为x 的幂级数, 则f (x )=_______.63．将函数21()1f x x =-展开为x 的幂级数, 则f (x )=________.64．将函数1()4f x x =-在区间________可展开为x 的幂级数.65．将函数1()12f x x=+在区间________可展开为x 的幂级数.66．求通过直线113y x z==和点(2, -1, 1)的平面方程.67．求过三点A (1, 0, -1)、B (0, -2, 2)及C (1, -1, 0)的平面的方程.68．求通过点(1, 2, -1)且与直线23503240x y z x y z -+-=⎧⎨+--=⎩垂直的平面方程.69．求通过点(1, 2, -1)且与直线23503240x y z x y z -+-=⎧⎨+--=⎩平行的直线方程.70．求通过点(1, 2, -1)且与平面2x -3y +z -5=0和3x +y -2z -4=0都平行的直线方程.71．设z =x sin(x +y )+e xy, 求z y ∂∂, 2z ∂, 2z y x∂∂∂.72．设z =ln(1+xy )+e 2x +y, 求z x ∂∂, 22z x ∂∂, 2z x y ∂∂∂.73．设z =(2x +3y )2+x y, 求z x ∂∂, 22z x∂∂, 2z x y ∂∂∂.74．设z =x y, 求z x ∂∂, 2z x∂∂, 2z x y ∂∂∂.75．设z =x y, 求z ∂, 2z ∂, 2z ∂.76．设z =x sin(2x +3y ), 求z x ∂∂, 22z x∂∂, 2z x y ∂∂∂.77．设z =f (x , y )由方程x e x -y e y =z e z 确定的函数, 求z x ∂∂,z y ∂∂.78．设z =f (x , y )由方程x +y -z =x e x -y -z 确定的函数, 求z x∂∂, zy ∂∂.79．已知z =u 2ln v , 而x u y =, v =3x -2y , 求z x ∂∂, zy∂∂.80．设z =u ⋅sin v , 而u =e x +y , v =x 2y , 求z x ∂∂, zy ∂∂.81．设z =e u sin v , 而u =x -y , v =x 2y , 求z x ∂∂, zy∂∂.82．求曲面z =ln(1+x +y )上点(1, 0, ln2)处的切平面方程. 83．求曲面z =1+2x 2+y 2上点(1, 1, 4)处的切平面方程. 84．求曲面e z -z +xy =3上点(2, 1, 0)处的切平面方程.85．求空间曲线2231y x z x =⎧⎨=+⎩在点M 0(0, 0, 1)处的切线方程.86．求空间曲线x =a cos t , y =a sin t , z =bt 在对应于t =0处的切线方程.87．计算二重积分22()d Dx y x σ+-⎰⎰, 其中D 是由直线y =2, y =x 及y =2x 轴所围成的闭区域.88．计算二重积分2d Dxy σ⎰⎰, 其中D 是由直线y =x , y =0, x =1所围成的区域.89．计算二重积分sin d Dx y σ⎰⎰, 其中D 是由直线y =x , y =0, x =π所围成的区域.90．计算二重积分(e )d y Dxy σ+⎰⎰, 其中D 是由直线y =x , y =1, x =-1所围成的区域.91．计算二重积分3(Dx σ+⎰⎰, 其中D 是由曲线y =x 2, 直线y =1, x =0所围成的区域.92．计算二重积分22e d xy Dσ+⎰⎰, 其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.93．计算二重积分1d 1Dx yσ++⎰⎰, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.94．计算三重积分d z v Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由曲面z z =0所围成的闭区域.95．计算三重积分d z v Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由曲面z =1-x 2-y 2及平面z =0所围成的闭区域.96．计算三重积分d z v Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由柱面x 2+y 2=1及平面z =0, z =1所围成的闭区域.97．计算曲线积分2(1)d lx s +⎰, 其中l 为圆周x 2+y 2=1.98．计算曲线积分s ⎰，其中l 为抛物线y =x 2(-1≤x ≤1).99．计算曲线积分22()d (2)d CI x y x x y =+++⎰, 其中C 是以O (0, 0), A (1, 0), B (0, 1)为顶点的三角形的正向边界.100．计算曲线积分222()d ()d LI x y x x y y =+++⎰, 其中L 是从O (0, 0)到A (1, 1)的抛物线y =x 2,及从A (1, 1)到O (0, 0)的直线.101．计算曲线积分43224(4)d (65)d LI x xy x x y y y =++-⎰, 其中L 是从(-2, 0)到(2, 0)的半圆x 2+y 2=4(y ≥0).102．计算曲线积分22d d LI xy x x y y =+⎰, 其中L 是曲线y =ln x 上从A (1, 0)到B (e , 1)的一段.∑104．计算曲面积分22()d x y S ∑+⎰⎰, 其中∑为平面x +y +z =1含于柱面x 2+y 2=1内的部分.105．计算曲面积分2d d z x y ∑⎰⎰, 其中∑为上半球面z x 2+y 2=1内的部分的上侧.106．计算曲面积分22d d d d d d y z x y x y z x y z x ∑++⎰⎰, 其中∑是由圆柱面x 2+y 2=R 2和平面x =0,y =0, z =0及z =h (h >0)所围的在第一卦限中的一块立体的表面外侧.107．计算曲面积分22(2)d d d d d d x z y x x y z x xz x y ∑-+-⎰⎰，其中∑是正方体0≤x ≤a , 0≤y ≤a ,0≤z ≤a 的表面的外侧.108．判别级数021!n n n ∞=+∑的敛散性. 109．判别级数213n n n ∞=∑的敛散性.110．判别级数1e()n n π∞=∑的敛散性.111．判别级数∑∞=1!100n nn 的敛散性112．判别级数111(1)2n n n n ∞--=-∑是否收敛？若收敛, 是绝对收敛还是条件收敛？113．求幂级数1(1)nn n ∞-=-∑的收敛半径和收敛区间. 114．求幂级数234 234x x x x -+-+⋅⋅⋅的收敛半径和收敛区间. 115．求幂级数1nn n x n∞=∑的收敛半径和收敛区间.116．将1()2f x x =+展成x 的幂级数, 并写出展开式成立的区间.117．将f (x )=x 3e -x 展成x 的幂级数, 并写出展开式成立的区间.118．将1()2f x x=+展开为(x -1)的幂级数, 并写出展开式成立的区间.119．将1()4f x x=-展开为(x -2)的幂级数, 并写出展开式成立的区间.120．求函数f (x , y )=2x +2y -x 2-y 2的极值. 121．求函数f (x , y )=3x +2y -x 3-y 2的极值.122．求函数f (x , y )=x 2+5y 2-6x +10y +6的极值. 123．求函数f (x , y )=y 3-x 2+6x -12y +5的极值。
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一、 单项选择题（每小题4分，共40分）
1．设向量}4,,2{},2,3,1{y b a ==，且b a ⊥，则=y （ C ）． (A) 6 (B) -6 (C) 3/10- (D) 3/10 2．函数y x z -=
的定义域为（ B ）.
(A)0,0>>y x (B)0,≥≥y y x
(C) 0,>>
y y x (D) 0,0≥≥y x
3．设2xy z =，则全微分dz =（ C ）.
(A)dy y xdx 2+ (B) xdy dx y +2 (C) xydy dx y 22+ (D) dy y ydx 22+
4．设xy
e z =，则=∂∂∂y
x z 2（ B ）.
(A) xy ye (B) xy xy xye e + (C) xy
xe (D) xy xy ye e + 5．若0),(,0),(0000==y x f y x f y x ，则在点),(00y x 处，函数),(y x f （ C ）． (A) 连续 (B) 取得极值 (C) 可能取得极值 (D) 全微分0=dz 6．二重积分dx y x f dy y
y ⎰⎰2),(20，改变积分次序后正确的是（ C ）. (A) dy y x f dx x
x ⎰⎰),(40 (B) dy y x f dx x
x ⎰⎰),(20 (C) dy y x f dx x x
⎰
⎰),(4
0 (D) dy y x f dx x x
⎰
⎰),(20
7．设积分区域为4:22≤+y x D ，则二重积分=⎰⎰D
dxdy （ B ）. (A) π2 (B) π4 (C) π6 (D) π8
设2
2
2
:4x y z Ω++≤，则三重积分222222
ln()z x y z dxdydz x y z Ω
++++⎰⎰⎰=（D ） A. 4π B. π C. 2π
D. 0
9．下列级数发散的是（ B ）.
(A) ∑∞
=12
3n n n (B) ∑⋅∞=1!2n n
n n n (C) ∑-∞=1123n n n (D) ∑∞=1!5n n
n
10．设∑∞
=-1
)1(n n n x a 在1
3x =时条件收敛，则该级数的收敛半径为 （ B ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（每小题4分，共20分） 1. 过点)1,2,1(-且平行于直线
5123-==-z y x 的直线方程为 11
225
x z y -+=-=
2. xoy 坐标面上的双曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程为
()2224936x y z -+=
3. 设xy
e
z cos =，则
=∂∂x
z
cos sin xy y xye . 4. 设区域D 为12
2
≤+y x ，则 sin 2
2
=⎰⎰+D
dxdy y x . 5. 微分方程y y ='满足初始条件
20==x y 的特解是 2x y e = 。
三、（10分）设函数by xy ax x y x f +++=222),(在)1,1(-取得极值，求常数b a ,. 四、（10分）计算⎰⎰⎰+Ω
dV y x )(2
2
，其中Ω是由4,22=+=z y x z 所围之立体.
五、（10分）求幂级数∑
∞
=11n n
x n
的收敛半径与收敛域. 六、（10分）求过点(1,2,3),与直线1
=22+=32--z
y x 垂直的平面方程。
.。