山东省郯城三中高二数学《2.2.1综合法和分析法》教案一
打印版
打印版 郯城三中个人备课
课题：
高二 年级 数学 备课组
主备人 王春生 课型 新授课 验收结果：
合格/需完善 时间 2012年 月 日
分管领导 课时 1 第 周 第 课时 总第 课时
教学目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.
重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.
难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.
教 学 过 程
教师活动 学生活动
一、复习准备：
1. 已知 “若12,aaR，且121aa，则12114aa”，试请此结论推广猜想.
2. 已知,,abcR，1abc，求证：1119abc.
先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？
生分组讨论后回答：
若12,.......naaaR，且12....1naaa，则12111....naaa 2n
打印版
打印版
二、讲授新课：
1. 教学例题：
① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc.
分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） →
板演证明过程（注意等号的处理）
→ 讨论：证明形式的特点
② 提出综合法：.
③ 练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证3bcaacbabcabc.
④ 出示例2：在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：为△ABC等边三角形.
分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？
→ 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.
2. 练习：
① ,AB为锐角，且tantan3tantan3ABAB，求证：
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.
文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）
打印版
打印版 60AB. （提示：算tan()AB）
② 已知,abc 求证：114.abbcac
三、巩固练习：
1. 求证：对于任意角θ，44cossincos2.
（教材P52 练习 1题）
（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）
2. ABC的三个内角,,ABC成等差数列，求证：113abbcabc.
3. 作业：教材P54 A组 1题.
小结（教学反思）
综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论12,,QQ，直到最后的结论是Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.
板书设计：2.2.1 综合法和分析法（一）
1.利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.
2.例1 例2
山东省郯城三中高二数学《2.2解三角形应用举例》教案
高中数学-打印版
精校版 郯城三中个人备课
课题 §2.2解三角形应用举例 高二 年级 数学 备课组
主备人 田全超 课型 新授课 课时 1 时间 2011 年11月 2日
分管领导 李夫银 验收结果 合格 第 11 周 第 3 课时 总第 32
课时
教学目标 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语。
重点、难点 教学重点 实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 教学难点 根据题意建立数学模型，画出示意图。
教 学 过 程
教师活动 学生活动
教学过程
Ⅰ.课题导入
1、[复习旧知]
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？
2、[设置情境]
请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
Ⅱ.讲授新课
（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解
[例题讲解]
(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离
2.2.1综合法与分析法
命制人： 审核人： 使用时间： 2014.2.23
高二数学学案选修2-2(理科）
课题：综合法和分析法
学习目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种方法——综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点.
重点：掌握直接证明的一般步骤，会用综合法和分析法证明一些简单的问题；
难点：根据问题的特点，结合综合法、分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用.
一、复习回顾
用所学知识证明下列不等式：
（1）)0,0(2babaab；
（2）已知a,b>0，求证：2222()()4abcbcaabc.
二、探究新知
(一)综合法
1、定义：利用 和 ，经过 ，最后推导出所要证明的结论成立.
2、用综合法证题的框图表示和基本步骤？
（二）分析法
1、定义：一般的，从 出发，逐步寻求 ，直到最后把要证明的结论归结为判断 .
2、用分析法证题的框图表示和基本步骤？
只有比别人更勤奋，才能品尝成功的滋味
三、典例分析
例1、在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：△ABC为等边三角形.
例2、求证：5273.
思考：请对综合法与分析法进行比较，说出他们各自的特点.回顾以往的数学学习，说说你对这两种证明方法的新认识.
命制人： 审核人： 使用时间： 2014.2.23
例3、已知)(2,Zkk，且.sincossin,sin2cossin2
人教版高中数学高二数学《221综合法和分析法(一)》学案
打印版本
高中数学 §2.2.1
综合法和分析法（1）
学习过程
一、课前准备
（预习教材P45~ P47，找出疑惑之处）
复习1：两类基本的证明方法: 和 .
复习2：直接证明的两中方法: 和 .
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：综合法的应用
问题：已知,0ab,
求证:2222()()4abcbcaabc.
新知：一般地,利用
,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法.
反思：
框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.
※ 典型例题
例1已知,,abcR，1abc，求证：1119abc
打印版本
高中数学
变式：已知,,abcR，1abc，求证：
111(1)(1)(1)8abc.
小结：用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明.
例2 在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：为△ABC等边三角形.
变式：设在四面体PABC中,
90,,ABCPAPBPCD是AC的中点.求证:PD垂直于ABC所在的平面.
小结：解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等,还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来.
※ 动手试试
练1. 求证：对于任意角θ，44cossincos2
打印版本
高中数学
练2. ,AB为锐角，
且tantan3tantan3ABAB，
求证：60AB. （提示：算tan()AB）
高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法学案含解析新人教版
2.2.1 综合法和分析法
[学习目标]
1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．
2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．
[知识链接]
1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
答 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”
2．必修五中基本不等式a＋b2≥ab(a>0，b>0)是怎样证明的？
答 要证a＋b2≥ab，
只需证a＋b≥2ab，
只需证a＋b－2ab≥0，
只需证(a－b)2≥0，
因为(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．
[预习导引]
1．综合法
一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
2．分析法
分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．
要点一 综合法的应用
例1 在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．
证明 由A、B、C成等差数列，有2B＝A＋C. ①
因为A、B、C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π. ②
由①②，得B＝π3. ③
由a、b、c成等比数列，有b2＝ac.④
由余弦定理及③，
可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac.
再由④，得a2＋c2－ac＝ac，
即(a－c)2＝0，因此a＝c，
从而有A＝C.⑤
由②③⑤，得A＝B＝C＝π3.所以△ABC为等边三角形．
规律方法 利用综合法证明问题的步骤：
(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．
高中数学 2.2.1综合法与分析法教学案 新人教a版选修2-2
第二章第2节 直接证明与间接证明
一、综合法与分析法
课前预习学案
一、预习目标：
了解综合法与分析法的概念，并能简单应用。
二、预习内容：
证明方法可以分为直接证明和间接证明
1．直接证明分为 和
2．直接证明是从命题的 或 出发，根据以知的定义，
公里，定理， 推证结论的真实性。
3．综合法是从 推导到 的方法。而分析法是一种从
追溯到 的思维方法，具体的说，综合法是从已知的条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论，分析法则是从待证的结论出发，一步一步寻求结论成立的 条件，最后达到题设的以知条件或以被证明的事实。综合法是由 导 ，分析法是执 索 。
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
让学生理解分析法与综合法的概念并能够应用
二、学习过程：
例1． 已知a,b∈R+，求证：
例2．已知a,b∈R+，求证：
例3.已知a,b,c∈R，求证（I）
课后练习与提高
1．（A级）函数0,;01,sin)(12xexxxfx，若,2)()1(aff
则a的所有可能值为 （ ）
A．1 B．22 C．21,2或 D．21,2或
2．（A级）函数xxxysincos在下列哪个区间内是增函数 （ ）
A．)23,2( B．)2,(
C．)25,23( D．)3,2( 3．（A级）设bababa则,62,,22R的最小值是 （ ）
2019-2020年高中数学 2.2.1 第2课时 综合法和分析法教案 新人教A版选修1-2
可编辑修改
精品文档 2019-2020年高中数学 2.2.1 第2课时 综合法和分析法教案 新人教A版选修1-2
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
结合学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：分析法．了解分析法的思维过程、特点．
2．过程与方法
会用分析法证明数学问题，培养学生的分析问题、解决问题的能力，提高学生思维能力．
3．情感、态度与价值观
通过学生参与，激发其学习数学的兴趣，端正严谨治学的态度，提高逆向思维的论证能力．
●重点难点
重点：掌握分析法的思维过程、特点及其解题步骤，会用分析法证明数学问题．
难点：根据问题的特点，结合分析法的思考过程、 特点，应用分析法证明较复杂的数学问题．
分析法是从结论到条件的逻辑推理方法，即从题目结论入手索证结论成立的充分条件，经过一系列的中间推理索证，最后要把证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，所以对结论变形、转化是问题解决的关键，也是问题的突破点，应该重点讲解．
(教师用书独具) 可编辑修改
精品文档
●教学建议
建议本节课采取探究式教学方法，教师主要作用在“引导”“点拨”，让学生自主思考分析法的证明特点，掌握分析法的证明格式与解题步骤，对于不同类型的问题如何思考、如何进行逆向推理，教师应给出必要的指导．另外应注意引导学生学会由结论去索证问题成立的充分条件，从结论入手并不是说证明就不需要已知条件，而是证明过程要时时处处关注已知，将证明引向已知或明显成立的式子是证明的关键．证明过程每一步都需可逆．在解答每一个例证前，最好先引导学生分析出思维路线图，然后再由学生给出证明．
●教学流程
创设问题情境，引出问题，引导学生认识直接证明的方法之一——分析法．让学生自主完成填一填，使学生进一步了解分析法的证明格式、步骤等．引导学生分析例题1中所证结论的转化条件及转化方向，师生共同探究逆向推理思路，学生自主完成证明过程，教师指导完善，并完成互动探究．学生分组探究例题2的证明思路，总结分析法证明数列问题的规律方法．完成变式训练中三角恒等问题的证明．
高中数学选修1-2教案4：2.2.1 综合法和分析法(一)教学设计
高中数学选修1-2
1 2.2.1 综合法和分析法（一）
整体设计
教材分析
在以前的学习中，学生已经能用综合法和分析法证明数学问题，但他们对综合法和分析法的内涵和特点不一定非常清楚．本节内容结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析综合法与分析法的思考过程与特点，并归纳出操作流程图，使他们在以后的学习中，能自觉地、有意识地运用综合法和分析法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯．
教学目标
1．知识与技能目标
(1)理解综合法证明的概念；
(2)能熟练地运用综合法证明数学问题．
2．过程与方法目标
(1)通过实例引导学生分析综合法的思考过程与特点；
(2)引导学生归纳出综合法证明的操作流程图．
3．情感、态度与价值观
(1)通过综合法的学习，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性；
(2)通过综合法的学习，养成审慎思维的习惯．
重点难点
重点：(1)结合已经学过的数学实例理解综合法；
(2)了解综合法的思考过程、特点．
难点：(1)对综合法的思考过程、特点的概括；
(2)运用综合法证明与数列、几何等有关内容．
教学过程
引入新课
证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识． 高中数学选修1-2
2 提出问题：给出以下问题，让学生思考应该如何证明．
请同学们证明：
已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
活动设计：学生先独立思考，然后小组讨论，找出以上问题的证明方法，教师巡视指导，并注意与学生交流．
活动结果：(学生板书证明过程)
证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.
又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
2.2.1综合法与分析法(1)综合法(教学设计)
SCH南极数学人教A版选修2-2第二单元《推理与证明》同步教学设计
1 2. 2 .1 综合法和分析法（1）--综合法（教学设计）
教学目标：
知识与技能目标：
（1）理解综合法证明的概念；（2）能熟练地运用综合法证明数学问题。
过程与方法目标:
（1）通过实例引导学生分析综合法的思考过程与特点；（2）引导学生归纳出综合法证明的操作流程图。
情感、态度与价值观：
（1） 通过综合法的学习，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性。
（2）通过综合法的学习，养成审核思维的习惯。
教学重点：了解综合法的思考过程、特点
教学难点：对综合法的思考过程、特点的概括
教学过程:
一、复习回顾，新课引入：
合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。
二、师生互动，新课讲解：
1. 综合法
在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。
例1（课本P85例）：已知a,b>0,求证2222()()4abcbcaabc
给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。
充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法
设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义
证明:因为222,0bcbca，
所以22()2abcabc。
因为222,0caacb，
所以22()2bcaabc。
因此 2222()()4abcbcaabc。
一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。
用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论，则综合法可表示为：
11223().....nPQQQQQQQ
高中数学选修1-2教案7：2.2.1 综合法和分析法教学设计
高中数学选修1-2
1 2.2.1 综合法和分析法
教学目标：
1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；
2．通过本节内容的学习了解分析法和综合法的思考过程、特点；
3．增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度.
教学重点：分析法和综合法的思考过程；
教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点．
教学过程设计
（一）、情景引入，激发兴趣.
教师引入 合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的.数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明.本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明.
(二)、探究新知，揭示概念
探究一：在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论.例如：
已知a，b>0，求证.
教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明.教师最后归结证明方法.
学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法
证明：因为，
所以.
因为，
所以.
因此 .
一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法. 2222()()4abcbcaabc222,0bcbca22()2abcabc222,0caacb22()2bcaabc2222()()4abcbcaabc高中数学选修1-2
2 探究二：证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立的条件，即使Q成立的充分条件P1，为了证明P1成立，再去寻求P1成立的充分条件P2，为了证明P2成立，再去寻求P2成立的充分条件P3，…… 直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
例如：基本不等式 （a>0，b>0）的证明就用了上述方法.
人教版高中数学教案-综合法和分析法
- 1 - 數學：2.2.1《綜合法和分析法》教案
教學目標：
（一）知識與技能：
結合已經學過的數學實例，瞭解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合
法；瞭解分析法和綜合法的思考過程、特點。
（二）過程與方法:
培養學生的辨析能力和分析問題和解決問題的能力；
（三）情感、態度與價值觀：
通過學生的參與，激發學生學習數學的興趣。
第一課時 2.2.1 綜合法和分析法（一）
教學要求：結合已經學過的數學實例，瞭解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；瞭解分析法和綜合法的思考過程、特點.
教學重點：會用綜合法證明問題；瞭解綜合法的思考過程.
教學難點：根據問題的特點，結合綜合法的思考過程、特點，選擇適當的證明方法.
教學過程：
一、複習準備：
1. 已知 “若12,aaR，且121aa，則12114aa”，試請此結論推廣猜想.
（答案：若12,.......naaaR，且12....1naaa，則12111....naaa 2n）
2. 已知,,abcR，1abc，求證：1119abc.
先完成證明 → 討論：證明過程有什麼特點？
二、講授新課：
1. 教學例題：
① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正數，求證：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2)
> 6abc.
分析：運用什麼知識來解決？（基本不等式） → 板演證明過程（注意等號的處理）
→ 討論：證明形式的特點
② 提出綜合法：利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最後推導出所要證明的結論成立.
框圖表示： 要點：順推證法；由因導果.
③ 練習：已知a，b，c是全不相等的正實數，求證3bcaacbabcabc.
④ 出示例2：在△ABC中，三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數列，a、b、c成等比數列. 求證：為△ABC等邊三角形.