第二章 质点和质点系动力学

二、 质点系的动量定理
对于质点系有：
F内 f i内 f ji 0
i i j(ji)
4. 惯性参照系与非惯性参照系
1） 惯性系 牛顿定律成立的参考系。一切相对于惯性系作匀 速直线运动的参考系也是惯性系。 实际的惯性系都是局部的相对的惯性系。 2） 非惯性系 相对于惯性系作加速运动的参考系。 在非惯性系内牛顿定律不成立。
y´
a0
x ´
非惯性系中牛顿运动定律不适用：
例如在一个以加速度作直线运动的车箱内，一 质量为m 的小球拴在绳上，取车箱为参照系，小球 受合外力不为零，但却静止不动 。
y’
N
r fs
存在摩擦力： f s man m 2 r
转动的圆盘上观察： 物体静止 合外力应该为0：

z’
0‘
Fi
x’
mg
f s Fi 0
惯性离心力：
2 Fi m r
例：估算地球转速增大到目前转速的多少倍时，赤道 处的物体会飞离地球？ 解：分析：飞离地球——惯性离心力大于万有引力。 g＝9.778m/s2
基本内容：
一、牛顿运动定律 二、惯性系与非惯性系，惯性力 三、功 四、机械能守恒定律 五、动量守恒定律 六、质心 重点
§2.1 牛顿运动定律 和质心运动定理
一. 牛顿运动三定律
1. 牛顿第一定律： 任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，除非
作用在物体上的力迫使它改变这种状态。
• 物体的惯性：物体具有保持其运动状态不变的性质。
质点的动量定理：质点受合外力的冲量等于同一时间 内该质点动量的增量 t2 p2 t1 F合 外 力 dt＝p1 dp＝p2－p1 t2 I 合 外 力 p2－p1＝mv 2－mv1 冲量 I ＝t F合 外 力 dt
1
可以看出动量定理是牛顿第二定律变形 动量定理积分形式
2） 质心的计算
rC
m i ri M 源自C m i ri M mi xi xC M mi yi yC M mi zi zC M
质量连续分布的物体： r C
r dm M
xdm xC M ydm yC M zdm zC M
N1

m
y
mg
M
O
地面参考系
x
解：

a0
N
2
' a
' N1


Mg
例 2.1 如图，设所有的接触面都光滑，求物体 m 相对于 斜面的加速度和 M 相对于地面的加速度
N1

m
a0
y O
地面参考系
M
物体m相对于 静止的xoy参考系
θ
mg
θ
x
mg sin ma x 解： N 1 mg cos ma y N 1 sin Ma0
例：如图，求质量均匀分布的直角三角形的质心。 y 解：
xC
xdm
M

a
b
0
x ( a x )tandx
ab / 2

1 a 3
O
1 同理： yC b 3
x
x+dx
a
x
2. 质心运动定理
系统质心加速度的大小与于所受的合外力大小成正 比，与系统的总质量成反比，加速度的方向沿合外力 的方向。
y
O
地面参考系
mg
θ
N2
x


a0
' a
' N1


Mg
二. 惯性力
非惯性系与惯性系之间的加速度变换式为：
a′＝ a － a0 a′：质点相对非惯性系S′的加速度 a
：质点相对惯性系S 的加速度
a0 ：非惯性系S′相对惯性系S 的加速度
在惯性系S中，有牛顿运动定律：
F ma ma ma0
F Fi , rC
则
mi ri M
2 d rC F M MaC 2 dt
1. 质心
1） 质心的定义：由下式决定的位置矢量 rC 所对应的点 C，称 为质点系的质心：
mi ri rC M
mi xi xC M mi yi yC M mi zi zC M
Re=6378km
现在： 可得：
例 2.1 如图，设所有的接触面都光滑，求物体 m 相对于 斜面的加速度和 M 相对于地面的加速度
m M
图2.6
物体m相对于 运动的M参考系 解 2： 利用惯性力解答：
N1 ma 0

mg sin ma 0 cos ma' N 1 mg cos ma 0 sin 0 N sin Ma 0 1
• 质量： 物体惯性大小的量度：
a 1/ m
3. 牛顿第三定律
两物体间的相互作用力总是大小相等而方向相反，即
F F
ab
ba
a对b
• • • •
b对a
反映了力的来源：力来自物体与物体间的相互作用 作用力和反作用力同时存在。 分别作用于两个物体上，不能抵消。 属于同一种性质的力。 三个定律适用于质点，惯性系
v t dv a dv adt dv adt 0 0 dt t 1 2 2 v (t 3t )dt t t 3 (m / s ) 0 2
m2

F
图13
T
T'
m1 m2
θ m1 g
F
例 ： 质量为m的小球最初位于A点，然后沿半径为 R的光滑圆弧面下滑。求小球在任一位置时的速度和 对圆弧面的作用。
解： mg cos m dv dt
A
2
v N mg sin m R

n
N
dv dvds dv v dt dsdt Rd

vdv Rg cos d
mg


例 2.1 如图，设所有的接触面都光滑，求物体 m 相对于 斜面的加速度和 M 相对于地面的加速度
例 : 如 图 ， 已 知 F 9.8 5t 15t 2 ， m1 4kg ，
m 2 1kg , 30 0 , t 0 时系统保持静止，求 t 时刻 m1(m2) 的加速度和速度。
m1 m2

F
图13
m1
F m2 g T m2 a 解： T m1 g sin m1 a F m 2 g m1 g sin a t 3t 2 ( m / s 2 ) m1 m 2
F MaC
• 内力不影响系统质心的运动。
例2.3 如图，求当人从小车的一端走到另一端时，小 车相对与地面移动的距离。
ml Ml / 2 mM ms M ( s l / 2) xC 2 mM 由 x C 1 x C 得：
解： x C1
2
y M
m x l
ml s mM
自然界严格的惯性系是不存在的。在一般精度
范围内，地球也可近似看作惯性系。
地面参考系 地心参考系 自转加速度： a≈0.034 m/s2 公转加速度： a≈0.006 m/s2
太阳参考系
绕银河加速度： a≈3×10－10 m/s2
一个参照系是不是惯性系只能根据观察和 实验的结果来判断。 目前实用的惯性系是以选定的1535颗恒星平 均静止位形作为基准的参考系：FK4系
• 力与运动的关系：
力是使物体运动状态发生变化的物体间的相互作用。
力的作用是改变物体的运动状态（运动速度），而不 是维持物体的运动状态（运动速度）。
2. 牛顿第二定律
物体运动的量（简称动量）的变化率与施加在 该物体上的力成正比，并且发生在该力的方向上。
• 力与运动的定量关系： a F
d ( mv ) F dt 若物体质量m是一个常量，则有： d（mv ） md v F ＝ ＝m a dt dt
二. 惯性力
将上式改写为：
F （－ma0） ma
在惯性系S中，有牛顿运动定律： F ma ma ma0
若把上式仍视为作用在质点上的合力，则 牛顿第二定律在非惯性系 S’中就依然成立。
为此而加入的修正项称为惯性力： F －m a 0
加入惯性力之后，牛顿第二定律是协变的。
m1 : F1 m 2 : F2 f 21 m1 a1 f 12 m 2 a 2
F1 F2 ( f 21 f 12 ) m1 a1 m2 a 2 F内 f i内 f ji 0 F1 F2 m1 a1 m2 a2
N

a0
2
' a
' N1
a x a 0 cos a' a a0 a'
a y a 0 sin


Mg
mg sin ma x N 1 mg cos ma y N 1 sin Ma0
a a0 a'
( M m) g sin a ' M m sin 2 a mg sin cos 0 M m sin 2
y
O
地面参考系
θ
mg
θ
N2
x


a0
' a
' N1