第三节空间曲面与曲线

F(x, y, z) 0 G( x, y, z) 0
称此方程组为曲线c的一般方程。
例1：方程组
x
2
y2
z2
5 表示怎样的曲线？
z2
解：平面z=2上以(0,0,2)为圆心的单位圆。
例2:方程
Z
a2 x2 y2
(
x
a
)2
y2
(a
)2
2
2
表示怎样曲线?
解：z a2 x2 y2
表示中心在原点，半径为a的上半球面
线平行于y轴和x轴的柱面。 母线平行于坐标轴的柱面的特点为：缺一个变量， 母线平行于未出现哪个变量的同名坐标轴。
几种常见柱面： （1）x+y=a 平面；
（2） x2 y2 a2 圆柱面；
（3）x 2
a2
y2 b2
1
椭圆柱面；
（4）x a
2 2
y2 b2
1
双曲柱面；
（5）x2 2 py 抛物柱面。
以上所举例均为母线平行于 z轴的情况，其他情况类似。
4.旋转曲面： 一般情况下我们将一平面曲线c绕同一平面内
的定直线L旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。
其中c称为母线，L称为其轴。本章中我们只研究绕
坐标轴放置的曲面。
现在建立方程：
设yoz平面上有一已知曲线c其方程
为f(y,z)=0，将c绕z轴旋转一周后,设 曲面上任一点为P(x, y,z ),过点P可作 P
组,并由它解出y=y(t),z=z(t)得
x x(t)
方程组
y
y (t )
称为空间中曲线的参数方程。
z
z (t )
例3：如果空间一点M在圆柱面 x2 +y2 =a2 上以等 角速度绕z轴旋转，同时，以等速度v沿平行于z轴 的正方向移动，则点M运动的轨迹叫螺旋线，求其 参数方程
圆柱面 x 2 y 2 a 2
M
c
N
圆面，其与z轴相交得到的点为M(0,
0,z )，与曲线c的交点为N(0, y1,z ), 此三点满足方程：PM MN y1 x2 y2
点N满足方程 f ( y, z) 0 f ( y1, z) 0
f ( x2 y2 , z) 0
同理， 曲线c绕y轴旋转所得曲面方程为：f ( y, x2 z2 ) 0 同理， 设xoz平面上有一已知曲线c其方程为f(x,z)=0，
(x a )2 y2 (a )2 表示母线平行于z轴，准线在xoy
2
2
面上其圆心在( a , 0) ，半径为 a的圆柱面
2
2
它们的交线是xoy面上的一个圆.
2.空间曲线的参数方程：
设空间曲线方程 GF (( xx,,
y, y,
z) z)
0 0
如果选定一个适当的函数x=x(t)代入上述方程
x=0; y=0; x=a; y=b
3. 球面方程：
①球面的标准方程：以M0(x0,y0,z0)为球心，R为 半径的球面方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 ②球面的一般方程：x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0
如： x2+y2+z2+2x-2y-2=0
特点：平方项系
整理得： (x+1)2+(y-1)2+z2=22
§3 空间曲面与空间曲线
一.曲面及其方程：
1.曲面方程的一般概念： 定义：若曲面上的点的坐标(x,y,z) 都满足方程 F(x,y,z) =0， 而满足此方程的点都在曲面上，则称此方程为 该曲面的方程，而曲面称为此方程的图形。 例1：求与A(2,3,1)和B(4,5,6)等距离的点的运 动规迹。 解：设 M(x,y,z)为动点的坐标，动点应满足的 条件是|AM|=|BM|
0
三.空间曲线在坐标面上的投影：
F(x, y, z) 0 L : G( x, y, z) 0
在该方程组中消去z得H(x,y)=0，此为一个通过曲
线L ，母线平行于z轴的柱面，称为曲线c关于
xOy面的投影柱面。
此投影柱面与xOy平面的交线即为c在xOy平面上的
投影曲线，简称投影，其方程为
H
(
x, y) z0
如：xoy 平面上的曲线 x2 y2 1 34
绕x轴旋转得曲面方程：
x2 ( y2 z2 )2
1
即
x2 y2 z2 1
3
4
34
绕y轴旋转得曲面方程：
( x2 z2 )2 y2
1
3
4
即
x2 z2 y2 1
34
二.空间曲线及其方程：
1.空间曲线的一般方程：
空间曲线一般可看作两个曲面的交线，若两 个曲面的方程分别为F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0，则易 知其交线c的方程为
绕x轴为 f ( x, y2 z2 ) 0 绕z轴为 f ( x2 z2 , y) 0
设xoy平面上有一已知曲线c其方程为f(x,y)=0，
绕x轴为 f (x, y2 z2 ) 0 绕z轴为 f ( x2 y2 , z) 0
特点： （1）旋转曲面总有两个变量的平方的系数相同。 （2）求旋转曲面方法：绕哪个轴旋转，那个变量 就不变，另一个变量变成 该变量2 未出现的变量2
M(x,y,z)
x = acos t y = asin t z = bt （移动及转动都是
等速进行，所以z 与t成正比。)
当 t 从 0 2，
螺线从点P Q
PQ 2b 叫螺距.
x
z
Q 0 t
P
点P在圆柱面上等 速地绕z轴旋转；
同时又在平行于z
轴的方向等速地 上升。其轨迹就 是圆柱螺线。
M
a
y
N
由距离公式得
(x 2)2 ( y 3)2 (z 1)2 (x 4)2 ( y 5)2 (z 6)2
整理得 4x 4y 10z 63 0
此即所求点的规迹方程，为一平面方程。 2.坐标面及与坐标面平行的平面方程：
①坐标平面xoy的方程：z=0 ②过点(a,b,c)且与xoy面平行的平面方程:z=c ③坐标面yoz 、坐标面xoz以及过点(a,b,c) 且分别与之平行的平面方程为：
数相同；没有交 叉项。
表示一个球心在（-1,1,0)，半径为2的球。
4.母线平行于坐标轴的柱面方程：
一般我们将动直线L沿定曲线c平行移动所形 成的轨迹称为柱面。其中直线L称为柱面的母线， 定曲线c称为柱面的准线。
本章中只研究母线平 行于坐标轴的柱面方 程。
此时有以下结论：
ห้องสมุดไป่ตู้若柱面的母线平行于z轴，准线c是xOy面上的一条 曲线，其方程为 F(x,y)=0，则该柱面的方程为 F(x,y)=0; 同理， G(x,z)=0, H(y,z)=0在空间中分别表示母