多准则决策及其在数学建模中的应用
w w
(w
j 1
n
或
wj
w
n j 1
w
(1) j
w )
(w
(1) j
w
)
α,β根据决策者对w(1), w(2)的偏好程度进行调节
4．综合方法---由决策矩阵与属性权重得到最终决策 各种方法的详细步骤参看： Hwang C.L. and Yoon K. Multiple Attribute Decision Making——Methods and Applications . Berlin/Heidelberg/New York Springer-Verlag ,1981 徐玖平，吴巍编著 多属性决策的理论与方法.
• 多目标决策（MODM, Multiple Objective Decision Making ）
多属性决策(MADM)与多目标决策(MODM)概述
MADM ：为了一个特定的目的在若干备选方案中 确定一个最优的，或者对这些方案按照优劣进行排 序，或者给出优劣程度的数量结果, 而方案的优劣 由若干属性给以定量或定性的表述。 MODM ：为了若干特定的（一般是相互矛盾的） 目标在若干备选方案中确定一个一定意义下最优的， 而备选方案集合由一些约束条件给定。
( ( ( w(1) (w11) , w21) ,, wn1) )T ,
( ( ( w( 2) (w1 2) , w22) ,, wn2) )T
,
综合权重
w (w1 , w2 , , wn )
(1) j ( 2) j ( 2) j
T
(1) j ( 2) j ( 2) j
wj
i 1
i 1
R的列和为1~ 归一化 dij作区间 尺度变换
R的列最大值 为1~最大化
i 1, 2 ,m
R的列模为1~ 模一化
rij
d ij min d ij
i 1, 2 ,m
max d ij min d ij
i 1, 2 ,m
R的列最小值为0 （最大值为1）
属性值(对决策优劣)的性质 • 单调性 归一化
(r1 j ,, rmj ) (1/ m,,1/ m) 时E j 1
(r1 j ,, rmj ) (0,0,1,0,) 时E j 0 rij越一致, Ej越接近1
不易区分方案优劣 定义Xj对于方案的区分度
Fj 1 E j
例
属性权重 Fj wj n Fj
j 1
3．属性权重
w (w1 , w2 , , wn )T X1, X2, …, Xn的权重
属性权重的获取 • 根据决策目标通过经验、调查等先验地给出 • 层次分析法：用成对比较矩阵解出特征向量 • 信息熵法 (借用信息论中熵的概念)
，
w
j 1
n
j
1
偏于主观 偏于客观
熵 ~ 信息论中衡量不确定性的指标，信息量的(概率) 分布越趋于一致，不确定性越大.
wj ij j 1
n
• 可以直接用方案对属性的原始值dij，不需要标准化
• 若效益型属性的权重取正值，则费用型属性的权重 应取负值 .
3. 接近理想解的排序法（TOPSIS ） n个属性、m个方案视为n维空间中m个点的几何系统 • 每个点的坐标由 (vi1 , vi 2 ,vin ), i 1,, m 确定 • 在空间中定义欧氏距离，决策矩阵模一化 • 正理想解由所有最优加权属性值构成 • 负理想解由所有最劣加权属性值构成 • 定义距正理想解近、距负理想解远的数量指标 —— 相对接近度 • 备选方案的优劣顺序按照相对接近度确定
应用过程中几种主要方法的比较
例 选择战斗机 4种方法对方案的优劣排序
方法 SAW 2 4 WP 2 4 TOPSIS 1 4 ELECTRE 1 3
方案
A1 A2
A3
A4
1
3
1
3
2
3
1
3
方案排序基本一致：A3，A1优于A4，A2
例 选择战斗机 用SAW，WP，TOPSIS 计算的数值结果
方法方 案 A1 SAW SAW (R最大化) (R归一化) 0.266 0.269 WP 0.269 TOPSIS 0.350
c, d
TOPSIS方法等价于简单加权和法的情况:
将欧氏距离改为街区距离, 且决策矩阵归一化或最大化 4. 删除选择法（ELECTRE） • 比较每一对方案 {Ai , Ak}的加权属性值vij和 vkj, 按照 vij≥vkj和vij<vkj 将属性集分为一致集和矛盾集. • 利用属性值和权重定义一致性指标cik和矛盾性指标dik, cik越大, dik越小, Ai越优于Ak . • 确定度量cik ,dik的阈值 c, d , cik c , dik d 时Ai 优于Ak, 由此决定删除和选择的方案.
MODM又称多目标优化策 （MODM）应用领域非常广泛
• MADM ：国家综合实力评价、大学排名榜、公司 新厂址选择、教师绩效考核、2011B题各区交警平台 设置的合理性评价、2010D题学生宿舍设计方案的评 价 、2009B题病床安排的合理性指标… … • MODM：选择收益大且风险小的投资组合、照顾乘 客和航空公司双方利益的航班安排、 2011B题交警平 台设置要考虑出警时间和工作量均衡、2009B题病床安 排方案要考虑公平和效率两方面、2009 D题会议筹备 要考虑预订宾馆、会议室的数量、费用、距离等…
• 甄选：利用占优法、和取法、字典序法等将被占优 的、不可接受的方案删除. • 排序或计算：分别利用SAW, WP, TOPSIS等对方 案按照优劣排序或计算数值结果. • 集成：对几种方法得到的排序或数值结果进行集成.
“多属性决策(MADM)方法选择本身就是一个MADM问题”
平均法
Borda数法
加权和法
北京 清华大学出版社 2006
确定
随机
模糊
粗糙
4．综合方法---由决策矩阵与属性权重得到最终决策 按照决策者掌握的属性信息量的多少将方法分类 • 没有任何属性信息 • 给定各属性的最低水平 • 已知各属性权重的顺序 • 已知各属性权重的数值 简单加权和法 占优法 合取法 字典序法 线性分配法 加权积法 最大最小法 析取法 排列法
A2 A3 A4
0.226 0.272 0.236
0.223 0.274 0.234
0.219 0.276 0.236
0.146 0.334 0.170
A3与A1（A4与A2）差别不大，A3，A1明显优于A4，A2
用各种方法得到的结果没有显著差别
几种方法的集成
与其寻找最好方法，不如将几种方法的结果加以集成.
结论与建议
• 简单、方便的SAW适用于日常生活中大多数 多属性决策问题.
• 一些重大决策不妨采用思路更缜密、计算手段更 全面的TOPSIS, ELECTRE方法，或者将几种方法 加以集成.
• 多数文献通过实例进行对比，认为一些主要方法得 到的结果没有显著差异，但不能得出一般的结论. 应当在确定属性集合及属性权重上多花些精力，它 们对最终决策的影响比不同方法的选择要大得多.
决策矩阵标准化 属性值的物理意义(包括量纲)各不相同 d11 d1 j d1n r11 r1 j r1n D R 0 rij 1 d m1 d mj d mn rm1 rmj rmn dij dij dij rij rij m rij m dij作比例 2 max dij dij i 1, 2 ,m 尺度变换 dij
0.50 0.30 R 0.15 0.05
0.30 0.30 0.20 0.20
0.25 0.25 0.25 0.25
E [0.824 0.986 F [0.176 0.014
1 ] 0 ]
以上方法的综合
记偏于主观与偏于客观的方法得到的权重分别为
多属性决策(MADM)的一般步骤
• 要素：备选方案组与属性集合、决策矩阵、 属性权重、综合方法. 1. 备选方案组与属性集合 备选方案组：由实际问题决定. 确定属性集合的原则： • 全面考虑，选取影响力（或重要性）强的. • 属性间尽量独立（至少相关性不太强）.
• 不选难以辨别方案优劣的（即使影响力很强）.
rij
m
效益型属性值单调增
费用型属性值单调减
决策矩阵标准化时先对费用型属性值作倒数变换:
1 dij 1 dij
最大化
i 1
d ij rij max 1
i
1
min d ij
i
d ij
d ij
注意非单调性属性的标准化处理 • 线性性 对于明显呈非线性的属性值（如边际效益 递减），需先拟合合适的函数作变换.
将归一化决策矩阵R列向量 ~ A1,…, Am对Xj的属性值
r1 j , r2 j ,, rmj ( rij 1) 视为信息量的分布
i 1 m
• 信息熵法
可用rij的均方差或极差代替Fj
E j k rij ln rij , k 1 ln m
0 Ej 1
i 1 m
A1,…, Am对属性Xj的熵为
接近理想解的排序法
删除选择法
1. 简单加权和法（SAW, Simple Additive Weighting ）
R (rij ) mn
n n
w (w1 , w2 , , wn )T
v Rw, v (v1 ,, vm )T
方案Ai 对n个属性的综合取值为
vi vij rij w j , i 1,2,, m 或
层次分析法(AHP)与多属性决策(MADM) 和多属性效用理论(MAUT) 的关系
数学建模综合评价与决策方法
数学建模综合评价与决策方法数学建模综合评价与决策方法是指在数学建模的过程中，采用合适的评价方法对建模结果进行评估，并基于评估结果做出决策。
这是一个重要的环节，能够帮助我们判断建模的合理性、有效性，为决策提供科学依据。
本文将介绍几种常用的数学建模综合评价与决策方法。
一、灰色关联度分析灰色关联度分析是一种综合评价方法，适用于多指标、多层次的决策问题。
其基本思想是通过灰色关联度指标来衡量不同因素与目标之间的关联程度，从而评估各个因素对目标的贡献程度。
具体步骤如下：（1）确定评价因素和目标；（2）进行数据归一化，将各个指标转化为单位化的变量；二、层次分析法（AHP）层次分析法是一种量化分析方法，用于处理多准则决策问题。
该方法将决策问题层次化，通过构建判断矩阵对各层次的因素进行定量分析，从而得出最终的决策结果。
具体步骤如下：（1）确定层次结构，将决策问题层次分解为上、下级层次；（2）构建判断矩阵，通过专家评分或经验判断，构造各层次因素之间的重要性判断矩阵；（3）计算权重，通过特征向量法计算各个因素的权重；（4）一致性检验，通过判断矩阵的一致性指标和一致性比例判断判断矩阵的可靠性；（5）计算综合权重，通过将各个层次的权重相乘得到综合权重；（6）进行评价和排序，根据综合权重对各个决策方案进行评价和排序，从而得到最终的决策结果。
三、模糊综合评判法模糊综合评判法是一种适用于部分信息不确定的评价方法。
该方法通过建立模糊综合评判模型，将不确定的信息转化为模糊数，并通过模糊数的运算进行综合评价。
具体步骤如下：（1）确定评价指标和权重；（2）进行数据模糊化，将具体数值转化为模糊数；（3）构建模糊关系矩阵，将模糊数代入模糊关系矩阵中；（4）进行模糊数的运算，通过模糊数的运算得到各个因素的评价结果；（5）进行评价和排序，根据评价结果对各个决策方案进行评价和排序。
综合评价与决策方法是数学建模的重要环节，可以帮助我们对建模结果进行客观、科学的评估，并基于评估结果做出决策。
最优化和数学建模在企业决策中的应用
最优化和数学建模在企业决策中的应用【前言】随着经济全球化的发展和市场竞争的日益激烈，企业在决策时面临着许多复杂的问题。
如何快速高效地做出具有成本效益的决策，成为企业需要面对的重要问题。
在这种背景下，最优化和数学建模的应用逐渐被企业所重视和采用。
本文将从最优化的基本理论出发，具体阐述最优化和数学建模在企业决策中的应用。
【正文】一、最优化的基本理论最优化是一种利用数学方法来优化某个问题的技术。
可以将最优化应用到许多领域，如经济学、物理学、计算机科学和管理学等。
最优化问题的解决方法可以分为两类：确定性和随机性。
确定性最优化问题是指，假设问题的所有参数和条件都是已知的，解决方案的目标是找到一个最优解，使目标函数达到最小值或最大值。
最常见的最优化问题是线性规划问题。
例如，在一家工厂里，确定如何安排不同产品的生产量，以最小化生产成本。
随机性最优化问题是指，问题的所有参数和条件都不是已知的，解决方案的目标是找到一个最优解，使目标函数达到最小值或最大值，并且考虑问题不确定性的影响。
这种问题是比较复杂的，需要使用随机最优化方法来解决。
例如，在一个股票市场上，如何组合多种股票投资，以最大化收益并最小化风险。
二、最优化在企业决策中的应用1.商品组合问题在市场发展不断变化的情况下，企业需要不断更新自己的产品组合，以适应市场需求。
但是，规划和设计出一个最优的产品组合需要考虑许多因素，如预算、市场需求、竞争对手等。
最优化方法可以用于计算不同的产品组合，以找到最佳的解决方案。
例如，一个电商企业需要决定它的产品组合，企业可以使用最优化方法来确定最佳的价格和存货量。
这将帮助企业实现高利润和良好的销售。
2.调度问题企业需要合理调度和组织它的生产流程，以增加效率和降低成本。
最优化方法可以应用到调度问题中，以确定最佳的生产流程和分配方案。
例如，在一个工厂中，如何确定不同机器之间的工作顺序，以最大程度地提高生产率并最大限度地减少生产时间和成本。
数学建模在企业管理和决策中的应用
数学建模在企业管理和决策中的应用随着企业竞争的加剧和信息化程度的提高，企业在管理和决策中对数据的需求越来越多，而数学建模正是一种利用数学方法和模型来解决实际问题的有效工具，被广泛地应用于企业管理和决策中。
本文将从数学建模的概念、数学建模在企业管理中的应用、数学建模在企业决策中的应用以及数学建模在企业发展中的应用四个方面进行阐述。
一、数学建模的概念数学建模是指将实际问题转化为数学问题，并用数学工具来解决问题的过程。
数学建模的过程一般包括以下几个步骤：选择合适的数学模型；建立数学模型并进行求解；分析模型求解结果并得出结论；将结论应用于实际问题。
数学建模可以帮助企业发现问题、优化流程、提高效率、降低成本，进而实现企业的可持续发展。
二、数学建模在企业管理中的应用1. 生产计划生产计划是企业管理中的一个重要环节，直接关系到产品的品质、交货期和成本等因素。
数学建模可以通过优化求解模型来制定最优的生产计划，以降低生产成本、提高生产效率、提升产品质量。
2. 库存管理库存管理是企业管理中的一个关键环节，直接关系到企业的资金流、生产进度和客户满意度等因素。
数学建模可以通过优化求解模型来制定最优的库存管理策略，以达到尽可能减少库存、最大化资金利用率、确保生产进度和提升客户满意度等目标。
3. 风险控制风险控制是企业管理中的一个必要环节，直接关系到企业的利益和发展前景。
数学建模可以通过数学统计和模拟的方法，对企业的风险进行分析和评估，并制定相应的风险控制策略，以最大程度地降低企业的风险及损失。
三、数学建模在企业决策中的应用1. 投资决策投资决策是企业决策中的一个重要环节，直接关系到企业的资金利用效率和未来发展前景。
数学建模可以通过多种风险评估和投资回报模型，对不同投资方案做出科学确定的比较分析，最终实现最优投资决策。
2. 营销决策营销决策是企业决策中的一个核心环节，直接关系到企业销售业绩、品牌形象和市场份额等因素。
数学建模可以通过大数据分析、市场研究和定量分析等方法，对不同营销策略进行比较和优化，最终帮助企业制定出更加科学的营销决策方案。
数学建模在决策分析中的应用
数学建模在决策分析中的应用随着信息技术的发展，数字化时代给我们的生活带来了无限的可能性，其中数据科学是目前最受关注的一个领域。
数学建模作为一个重要的领域，可以应用于各种领域中，包括金融、医疗、决策分析等多个领域。
本文着重探讨了数学建模在决策分析中的应用，这是一个相对较新而且具有挑战性的领域。
什么是数学建模数学建模指的是：把一个实际问题抽象成数学模型，对模型进行分析、求解以获得可行的方案。
这个过程包括以下四个步骤：1. 问题建模：用数学语言描述一种实际问题2. 模型建立：把问题从实际世界转移到数学空间中，并利用已经存在的数学知识把问题解析成公式形式3. 模型求解：通过计算机算法对模型进行求解4. 结果分析：对模型的结果进行分析和解释，看模型能否真正解决实际问题。
数学建模由于其对实际问题的抽离与解析而不断地得到广泛应用。
数学建模融合了数学、计算机科学、物理学和统计学，能够解决人们生活中的复杂问题，因此开始在企业、金融、交通运输以及医疗行业得到越来越广泛的应用。
数学建模的应用数学建模可以应用于决策分析中，帮助组织或个人优化决策过程。
数学建模方案可以用于较复杂的模型，可以提高操作效率和准确度，特别是在大数据量下。
1. 金融领域数学建模在金融领域中最常见的应用之一是风险管理。
银行和证券公司通常使用数学模型来评估投资组合或风险投资的效果。
模拟历史市场数据，用统计方法分析市场波动，并开发算法来帮助公司为不同的风险和回报做出最佳决策。
2. 医疗领域医疗领域中，数学建模也得到了广泛应用，特别是在基因组学和病毒学领域。
基因组学数据可利用数学工具进行统计分析，以了解人类无法直接解析的基因之间的相互关系。
在病毒学领域，数学模型可用于病毒传播模拟。
3. 决策分析领域决策分析是指在任何行业、组织或个人做出决策时，使用定量方法来评估决策之间的优劣。
在决策分析过程中，数学建模可以帮助决策者获得数据并做出准确的决策。
数学建模可以用于线性规划、网络优化、随机过程分析等。
决策类问题数学建模模型
决策类问题数学建模模型
决策类问题数学建模模型是一种将现实生活中的问题转化为数学问题，并通过数学方法来进行分析和解决的方法。
一般来说，决策类问题包括了多个决策变量、目标函数以及一系列约束条件。
数学建模的目标是通过建立数学模型，确定决策变量的最优取值，使得目标函数的值达到最大或最小值，同时满足约束条件。
常见的决策类问题模型包括线性规划模型、非线性规划模型、整数规划模型、动态规划模型等。
这些模型可以根据问题的特点灵活应用，从而得到最优的决策结果。
例如，在生产调度中，可以使用线性规划模型来确定最佳的生产量，使得总成本最小化，同时满足产能约束和市场需求；在项目管理中，可以使用整数规划模型来确定最佳的资源分配方案，使得项目进度最短化，同时满足资源约束和技术要求。
决策类问题数学建模模型的优势在于能够将问题简化为数学形式，通过数学方法的求解，得到最优的决策结果。
然而，建立模型时需要考虑问题的实际情况、约束条件和目标函数的合理性，同时依赖于数学建模者的经验和专业知识。
因此，在建立模型时需要充分了解问题背景，并结合数学方法的特点和技巧，才能得到有效的决策结果。
数学与经济学数学在经济模型和决策中的应用
数学与经济学数学在经济模型和决策中的应用数学与经济学：数学在经济模型和决策中的应用近年来，随着经济学的发展，数学作为一种重要的工具和方法论开始在经济学领域得到广泛应用。
数学的逻辑性和严谨性使其成为经济学家们分析经济现象、构建经济模型以及进行决策的重要手段。
本文将探讨数学在经济模型和决策中的应用。
一、数学在经济模型中的应用1. 线性方程组和最优化在经济学中，许多问题可以用线性方程组来表示。
例如，供求关系、消费者选择等经济现象可以转化为线性方程组，从而有助于分析市场均衡。
另外，在资源分配和投资组合问题中，最优化方法也可以通过建立数学模型来求解。
通过线性代数和优化理论，经济学家可以找到最优解，为决策提供科学依据。
2.微分方程和经济增长经济增长是经济学中一个核心问题，而微分方程是描述动态系统演化的重要工具。
通过建立动态经济增长模型，利用微分方程求解，可以分析经济增长的长期趋势和结构变化，为政策制定者提供预测和决策依据。
3. 概率统计和风险管理在经济学中，风险管理是一个关键问题。
概率统计理论能够揭示随机事件的规律性，为风险管理提供基础。
通过建立概率统计模型，对风险进行量化，可以帮助决策者评估和管理风险，并制定相应的风险控制策略。
二、数学在经济决策中的应用1. 最优化理论与投资决策投资决策是经济活动中的重要环节。
通过最优化理论，经济学家们可以分析投资决策中的风险与回报之间的关系，从而确定最佳投资组合。
数学方法可以帮助投资者制定合理的资产配置策略，提高投资回报率。
2. 游戏论和博弈分析博弈论是研究决策者在互动中的行为及其结果的数学方法。
在经济决策中，博弈分析可以帮助决策者理解各方利益的博弈关系，预测可能的结果，并制定策略以达到最优解。
例如，在竞争性市场中，企业在定价决策中可以应用博弈论来分析竞争对手的反应，从而确定最优价格策略。
3. 数量经济学和评估模型数量经济学是应用数学和统计学方法进行经济数据分析的学科。
数学建模在经济决策中的应用有哪些
数学建模在经济决策中的应用有哪些在当今复杂多变的经济环境中，决策的准确性和科学性对于企业和政府的发展至关重要。
数学建模作为一种强大的工具，能够将实际经济问题转化为数学语言，并通过定量分析提供可靠的决策依据。
下面我们就来探讨一下数学建模在经济决策中的一些具体应用。
首先，数学建模在成本控制和利润优化方面发挥着关键作用。
以制造业企业为例，企业需要在生产过程中考虑原材料采购成本、生产成本、运输成本等多种因素。
通过建立数学模型，可以精确地分析各项成本之间的关系，并找到最优的生产规模和生产方案，以实现成本最小化和利润最大化。
例如，假设一家企业生产某种产品，其生产成本由固定成本和可变成本组成。
固定成本如厂房租赁、设备购置等在短期内相对稳定；可变成本如原材料、劳动力等则与产量密切相关。
通过建立成本函数模型，企业可以确定在不同产量水平下的总成本，并找到使得单位成本最低的产量点。
同时，结合市场需求和价格预测，建立利润函数模型，进一步确定最优的生产和销售策略，以获取最大利润。
其次，数学建模在投资决策中也具有重要意义。
投资者在面对众多投资项目时，需要评估风险和收益，做出明智的选择。
数学建模可以帮助投资者建立风险评估模型和资产组合优化模型。
在风险评估方面，通过收集历史数据和市场信息，运用统计学方法和概率模型，可以对不同投资项目的风险水平进行量化评估。
例如，利用方差、标准差等指标来衡量投资的波动性，从而判断其风险大小。
对于资产组合优化，基于马科维茨的投资组合理论，可以建立数学模型来确定在给定风险水平下能够实现最大预期收益的资产组合。
该模型考虑了不同资产之间的相关性、预期收益率和风险等因素，为投资者提供了科学的资产配置方案。
再者，数学建模在供应链管理中有着广泛的应用。
在全球化的经济背景下，供应链的复杂性不断增加，包括原材料供应、生产、库存管理、物流配送等多个环节。
通过建立数学模型，可以优化库存水平，减少库存成本。
例如，使用经济订货量（EOQ）模型，可以确定最佳的订货批量和订货时间，避免库存积压或缺货现象的发生。
多值中智多准则决策方法及应用
多值中智多准则决策方法及应用"多值中智多准则决策方法及应用"决策是我们日常生活和工作中经常面临的任务。
无论是做出个人决策还是组织决策，我们都需要考虑许多不同的因素并取得最佳结果。
多值中智多准则决策方法是一种理论框架，可以帮助我们更好地进行决策。
一、多值决策方法的定义和特点多值决策方法是在决策过程中，考虑到不同决策者的不同偏好和观点，通过建立决策模型，确定最佳决策结果的一种方法。
它与传统的单一偏好决策模型相比，更加综合，能够更好地反映决策者的多样性和决策环境的多样性。
多值决策方法的特点是，它允许决策者考虑多个因素，包括经济、环境、社会等方面，具有更高的决策效果。
传统的单一偏好决策模型通常只考虑一个准则，这可能导致决策的片面和不完整。
而多值决策方法可以允许决策者考虑多个准则，从而更全面地评估选择的优缺点。
二、多值中智决策方法的基本原理多值中智决策方法是在多值决策框架下的一种具体实施方法。
它认为在决策过程中，决策者的知识和智慧是决策的重要因素之一。
通过系统地获取和整理决策者的知识和智慧，可以更好地指导决策的过程和结果。
多值中智决策方法的基本原理是优化决策结果，促进决策者的主观能动性。
多值中智决策方法的具体步骤如下：第一步，明确决策目标和问题。
在这一步骤中，我们要明确决策的目标和范围，并理解决策所面临的问题和挑战。
第二步，建立决策模型。
在这一步骤中，我们要建立一个可以全面评估选择的决策模型。
这个决策模型通常包括多个准则和约束条件。
第三步，确定决策评估指标和权重。
在这一步骤中，我们要确定决策评估指标和权重，这些指标和权重将影响决策结果的有效性。
第四步，收集和整理决策者的知识和智慧。
在这一步骤中，我们要通过调查、访谈等方式，收集决策者的知识和智慧，并将其整理成决策所需的形式。
第五步，进行准则权重的确定。
在这一步骤中，我们要通过专家访谈、层次分析法等方法，确定准则的相对重要性，以指导决策的权衡过程。
多目标决策模型及其在最优方案选择中的应用
多目标决策模型及其在最优方案选择中的应用在现实生活和商业决策中，面对多个目标和多个约束条件的情况时，如何选择出最优方案是一个重要问题。
多目标决策模型被广泛应用于这类问题中，它可以帮助决策者在有限的资源和不完善的信息条件下作出最佳决策。
一、多目标决策模型的基本概念多目标决策模型是一种数学模型，其目标是找到一个可行解，使得在多个目标函数下达到最佳综合效果。
常见的多目标决策模型有线性规划、非线性规划和多目标规划等。
例如，在企业中，选择生产线的投资方案时，需要考虑投资成本、生产效率、环境影响等多个目标。
多目标决策模型可以帮助企业决策者权衡这些目标，找到最适合的方案。
二、多目标决策模型的基本原理多目标决策模型的核心思想是将多个目标函数转化成一个综合目标函数，通过优化综合目标函数来得出最优解。
常用的多目标优化方法有加权法、熵权法和TOPSIS法等。
1. 加权法加权法是最简单且常用的多目标优化方法之一。
它根据决策者对不同目标的重要性给目标设定权重，然后计算加权目标函数的值，选取使加权目标函数最小（或最大）的方案作为最优解。
2. 熵权法熵权法基于信息论中的熵概念，通过计算各目标函数的信息熵来确定权重。
熵越大表示信息不确定性越大，权重越小；熵越小表示信息不确定性越小，权重越大。
熵权法可以客观地确定各个目标的权重，适用于信息不完全或者决策者主观判断困难的情况。
3. TOPSIS法TOPSIS法通过计算方案与最理想解和最劣解的距离来评估方案的优劣，并选择距离最小的方案作为最优解。
通过正向和负向的距离计算，TOPSIS法可以考虑到最优解和最劣解之间的差距。
三、多目标决策模型在最优方案选择中的应用多目标决策模型广泛应用于各个领域的最优方案选择中，包括生产管理、供应链优化、项目管理和金融投资等。
1. 生产管理在生产管理中，多目标决策模型可以帮助企业决策者在考虑成本、质量、交货时间等多个目标的情况下，选择最优的生产方案。
通过权衡各目标的权重，确定合理的生产策略，提高生产效率和盈利能力。
数学建模方法及其应用
一、层次分析法层次分析法[1] (analytic hierarchy process，AHP)是美国著名的运筹学家T．L．Saaty教授于20世纪70年代初首先提出的一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法[2，3，4]．该方法是社会、经济系统决策的有效工具，目前在工程计划、资源分配、方案排序、政策制定、冲突问题、性能评价等方面都有广泛的应用．(一) 层次分析法的基本原理层次分析法的核心问题是排序，包括递阶层次结构原理、测度原理和排序原理[5]．下面分别予以介绍．1．递阶层次结构原理一个复杂的结构问题可以分解为它的组成部分或因素，即目标、准则、方案等．每一个因素称为元素．按照属性的不同把这些元素分组形成互不相交的层次，上一层的元素对相邻的下一层的全部或部分元素起支配作用，形成按层次自上而下的逐层支配关系．具有这种性质的层次称为递阶层次．2．测度原理决策就是要从一组已知的方案中选择理想方案，而理想方案一般是在一定的准则下通过使效用函数极大化而产生的．然而对于社会、经济系统的决策模型来说，常常难以定量测度．因此，层次分析法的核心是决策模型中各因素的测度化．3．排序原理1层次分析法的排序问题，实质上是一组元素两两比较其重要性，计算元素相对重要性的测度问题．(二) 层次分析法的基本步骤层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一致的[1]．1． 成对比较矩阵和权向量为了能够尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高结果的准确度．T ．L ．Saaty 等人的作法，一是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互对比，二是对比时采用相对尺度．假设要比较某一层个因素对上层一个因素的影响，每次取两个因素和，用表示和n n C C ,,1 O i C j C ij a i C 对的影响之比，全部比较结果可用成对比较阵j C O 表示，称为正互反矩阵．()1,0,ij ij ji n nijA a a a a ⨯=>=A 一般地，如果一个正互反阵满足：A （1）,ij jk ik a a a ⋅=,,1,2,,i j k n = 则称为一致性矩阵，简称一致阵．容易证明阶一致阵有下列性质：A n A ①的秩为1，的唯一非零特征根为；A A n ②的任一列向量都是对应于特征根的特征向量．A n 如果得到的成对比较阵是一致阵，自然应取对应于特征根的、归一化的特征向量（即分量之和为1）表n示诸因素对上层因素的权重，这个向量称为权向量．如果成对比较阵不是一致阵，但在不一致的n C C ,,1 O A 容许范围内，用对应于最大特征根(记作)的特征向量（归一化后）作为权向量，即满足：A λw w （2）Aw w λ=直观地看，因为矩阵的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素，所以当离一致性的要求不远时,A ij a ij a 的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大．（2）式表示的方法称为由成对比较阵求权向量的特征根法．A 2． 比较尺度当比较两个可能具有不同性质的因素和对于一个上层因素的影响时，采用Saaty 等人提出的尺i C j C O 91-度，即的取值范围是及其互反数．ij a 9,,2,1 91,,21,1 3． 一致性检验成对比较阵通常不是一致阵，但是为了能用它的对应于特征根的特征向量作为被比较因素的权向量，其λ不一致程度应在容许范围内．若已经给出阶一致阵的特征根是，则阶正互反阵的最大特征根，而当时是一致阵．所以n n n A n λ≥n λ=A 比大得越多，的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大．因而可以用数值λn A n λ-的大小衡量的不一致程度．Saaty 将A3(3)1nCI n λ-=-定义为一致性指标．时为一致阵；越大的不一致程度越严重．注意到的个特征根之和恰好等0CI =A CI A A n 于，所以相当于除外其余个特征根的平均值．n CI λ1n -为了确定的不一致程度的容许范围，需要找到衡量的一致性指标的标准，又引入所谓随机一致性指A A CI 标，计算的过程是：对于固定的，随机地构造正互反阵，然后计算的一致性指标．RI RI n A 'A 'CI 表1 随机一致性指标的数值RI 表中时，是因为阶的1,2n =0RI =2,1正互反阵总是一致阵．对于的成对比较阵，将它3n ≥A 的一致性指标与同阶（指相同）CI n 的随机一致性指标之比称为一致性比率，当RI CR (4)0.1CICR RI=<时认为的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量．A 对于利用(3)，(4)式和表1进行检验称为一致性检验．当检验不通过时，要重新进行成对比较，或对已A 有的进行修正．A n1234567891011RI00．580．901．121．241．321．411．451．491．514． 组合权向量由各准则对目标的权向量和各方案对每一准则的权向量，计算各方案对目标的权向量，称为组合权向量．一般地，若共有层，则第层对第一层（设只有个因素）的组合权向量满足：s k 1 （5）()()()1,3,4,k k k w W w k s -== 其中是以第层对第层的权向量为列向量组成的矩阵．于是最下层对最上层的组合权向量为:()k W k 1k - （6）()()()()()132sss w W W W w -= 5． 组合一致性检验在应用层次分析法作重大决策时，除了对每个成对比较阵进行一致性检验外，还常要进行所谓组合一致性检验，以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据．组合一致性检验可逐层进行．如第层的一致性指标为(是第层因素的数目)，随机一致p ()()p n p CI CI ,,1 n 1-p 性指标为，定义()()1,,p p n RI RI ()()()()11,,P p p p n CI CI CI w -⎡⎤=⎣⎦ ()()()()11,,p p p p n RI RI RI w-⎡⎤=⎣⎦ 则第层的组合一致性比率为:p5(7)()()(),3,4,,pp p CI CRp s RI== 第层通过组合一致性检验的条件为．p ()0.1p CR <定义最下层(第层)对第一层的组合一致性比率为：s (8)()2*sP p CR CR ==∑对于重大项目，仅当适当地小时，才认为整个层次的比较判断通过一致性检验．*CR 层次分析法的基本步骤归纳如下:(1) 建立层次结构模型 在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次．同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用，而同一层的各因素之间尽量相互独立．最上层为目标层，通常只有个因素，最下层通常为1方案或对象层，中间可以有个或几个层次，通常称为准则或指标层，当准则过多时（比如多于个）应进一19步分解出子准则层．(2) 构造成对比较阵 从层次结构模型的第层开始，对于从属于上一层每个因素的同一层诸因素，用成2对比较法和比较尺度构造成对比较阵，直到最下层．91-(3) 计算权向量并做一致性检验 对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标，随机一致性指标和一致性比率做一致性检验．若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，重新构造成对比较阵．(4)计算组合权向量并做组合一致性检验利用公式计算最下层对目标的组合权向量，并酌情作组合一致性检验．若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较大的成对比较阵．CR(三) 层次分析法的优点1．系统性层次分析把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具．2．实用性层次分析把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广．同时，这种方法将决策者与决策分析者相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性．3．简洁性具有中等文化程度的人即可了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤，计算也非常简便，且所得结果简单明确，容易为决策者了解和掌握．(四) 层次分析法的局限性层次分析法的局限性可以用囿旧、粗略、主观等词来概括．第一，它只能从原有的方案中选优，不能生成新方案；第二，它的比较、判断直到结果都是粗糙的，不适于精度要求很高的问题；第三，从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人的主观因素的作用很大，这就使得决策结果可能难以为众人接受．当然，采取专家群体判断的方法是克服这个缺点的一种途径．(五) 层次分析法的若干问题层次分析法问世以来不仅得到广泛的应用而且在理论体系、计算方法等方面都有很大发展，下面从应用的角度讨论几个问题．1．正互反阵最大特征根和对应特征向量的性质成对比较阵是正互反阵．层次分析法中用对应它的最大特征根的特征向量作为权向量，用最大特征根定义一致性指标进行一致性检验．这里人们碰到的问题是：正互反阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量；一致性指标的大小是否反映它接近一致阵的程度，特别，当一致性指标为零时，它是否就为一致阵．下面两个定理可以回答这些问题．定理1对于正矩阵（的所有元素为正数）A A1）的最大特征根是正单根；Aλ2）对应正特征向量（的所有分量为正数）；λwω73），其中，是对应的归一化特征向量．w IA I I A k k k =T ∞→lim ()T=1,1,1 I w λ定理2 阶正互反阵的最大特征根；当时是一致阵．n A n λ≥n λ=A 定理2和前面所述的一致阵的性质表明,阶正互反阵是一致阵的充要条件为 的最大特征根．n A A n λ=2． 正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法众所周知，用定义计算矩阵的特征根和特征向量是相当困难的，特别是矩阵阶数较高时．另一方面，因为成对比较阵是通过定性比较得到的比较粗糙的量化结果，对它精确计算是不必要的，下面介绍几种简单的方法．(1) 幂法 步骤如下：a ．任取维归一化初始向量n ()0w b ．计算()()1,0,1,2,k k wAw k +== c ．归一化,即令()1k w+ ()()()∑=+++=ni k ik k ww1111~~ωd ．对于预先给定的精度,当 时,即为所求的特征向量；否则返回bε()()()1||1,2,,k k i i i n ωωε+-<= ()1k w +e.计算最大特征根()()111k n i k i in ωλω+==∑9这是求最大特征根对应特征向量的迭代法,可任选或取下面方法得到的结果．()0w (2) 和法 步骤如下：a.将的每一列向量归一化得A 1nij ij iji a aω==∑ b ．对按行求和得ij ω1ni ij j ωω==∑ c ．将归一化即为近似特征向量．i ω()*121,,,ni i n i w ωωωωωωT===∑ d.计算，作为最大特征根的近似值．()11n ii iAw n λω==∑这个方法实际上是将的列向量归一化后取平均值，作为的特征向量．A A (3) 根法 步骤与和法基本相同，只是将步骤b 改为对按行求积并开次方，即．根法是将和法ij ω n 11nn i ij j ωω=⎛⎫= ⎪⎝⎭∏ 中求列向量的算术平均值改为求几何平均值．3． 为什么用成对比较阵的特征向量作为权向量当成对比较阵是一致阵时,与权向量的关系满,那么当不是一致阵时，权向量A ij a ()T =n w ωω,,1 iij ja ωω=A的选择应使得与相差尽量小．这样,如果从拟合的角度看确定可以化为如下的最小二乘问题：w ij a ijωωw (9)()21,,11min i nniij i n i j j a ωωω===⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑ 由(9)式得到的最小二乘权向量一般与特征根法得到的不同．因为(9)式将导致求解关于的非线性方程组，i ω计算复杂，且不能保证得到全局最优解,没有实用价值．如果改为对数最小二乘问题：(10)()21,,11min ln ln i nniij i n i j j a ωωω===⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑ 则化为求解关于的线性方程组．可以验证，如此解得的恰是前面根法计算的结果．ln i ωi ω特征根法解决这个问题的途径可通过对定理2的证明看出．4． 成对比较阵残缺时的处理专家或有关学者由于某种原因无法或不愿对某两个因素给出相互比较的结果，于是成对比较阵出现残缺．应如何修正,以便继续进行权向量的计算呢？11一般地，由残缺阵构造修正阵的方法是令()ij A a =()ij Aa = ,,0,,1,ij ij ij ij i i a a i j a a i j m m i i jθθθ≠≠⎧⎪==≠⎨⎪+=⎩ 为第行的个数,(11)表示残缺．已经证明，可以接受的残缺阵的充分必要条件是为不可约矩阵．θA A (六) 层次分析法的广泛应用层次分析法在正式提出来之后，由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快就在世界范围内得到普遍的重视和广泛的应用．从处理问题的类型看，主要是决策、评价、分析、预测等方面． 这个方法在20世纪80年代初引入我国，很快为广大的应用数学工作者和有关领域的技术人员所接受，得到了成功的应用．层次分析法在求解某些优化问题中的应用[5]举例 假设某人在制定食谱时有三类食品可供选择：肉、面包、蔬菜．这三类食品所含的营养成分及单价如表所示表 肉、面包、蔬菜三类食品所含的营养成分及单价2食品维生素A/(IU/g)维生素B/(mg/g)热量/(kJ/g)单价/（元/g ）肉面包蔬菜0.3527250.00210.00060.002011.9311.511.040.02750.0060.0.007该人体重为kg，每天对各类营养的最低需求为：55维生素A 国际单位 (IU)7500维生素B mg1.6338热量 R kJ8548.5考虑应如何制定食谱可使在保证营养需求的前提下支出最小？用层次分析法求解最优化问题可以引入包括偏好等这类因素．具体的求解过程如下：①建立层次结构②根据偏好建立如下两两比较判断矩阵表3 比较判断矩阵13W D ED 13E311，，，主特征向量max 2λ=10CI =100.1CR =<()0.75,0.25W T=故第二层元素排序总权重为()10.75,0.25W T=表4 比较判断矩阵D ABR A 112B 112R5.05.01，主特征向量111max 1113,0,0,0.58CI CR RI λ====()0.4,0.4,0.2W T=故相对权重()210.4,0.4,0.2,0P T=③ 第三层组合一致性检验问题因为,()()2111211112120;0.435CI CI CI W RI RI RI W ====212200.1CR CR CI RI =+=<故第三层所有判断矩阵通过一致性检验，从而得到第三层元素维生素A 、维生素B 、热量Q 及支出的总权重E15为：()()221221120.3,0.3,0.15,0.25W P W P P W T===求第四层元素关于总目标的排序权重向量时，用到第三层与第四层元素的排序关系矩阵，可以用原始W 的营养成分及单价的数据得到．注意到单价对人们来说希望最小，因此应取各单价的倒数，然后归一化．其他营养成分的数据直接进行归一化计算，可得表5表5 各营养成分数据的归一化食品维生素A维生素B 热量R单价F肉0.0139 0.44680.48720.1051面包0.00000.12770.47020.4819蔬菜0.98610.42550.04260.4310则最终的第四层各元素的综合权重向量为：，结果表明，按这个人的偏好，肉、()3320.2376,0.2293,0.5331W P W T==面包和蔬菜的比例取较为合适．引入参数变量，令，，，0.2376:0.2293:0.533110.2376x k =20.2293x k =30.5331x k =代入()1LP 123min 0.02750.0060.007f x x x =++131231231230.352725.075000.00210.00060.002 1.6338..(1)11.930011.5100 1.048548.5,,,0x x x x x s t LP x x x x x x +≥⎧⎪++≥⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩则得kf 0116.0min =()13.411375000.0017 1.6338..26.02828548.50k k s t LP k k ≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩容易求得，故得最优解；最优值，即肉g ，面1418.1k =()*336.9350,325.1650,755.9767x T=*16.4497f =336.94g ，蔬菜g ，每日的食品费用为元．325.17755.9816.45总之，对含有主、客观因素以及要求与期望是模糊的优化问题，用层次分析法来处理比较适用．二、模糊数学法模糊数学是1965年美国控制论专家L．A．Zadeh创立的．模糊数学作为一门新兴学科，它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判等各方面．在气象、结构力学、控制、心理学方面已有具体的研究成果．(一) 模糊数学的研究内容一一一研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系；一一一研究模糊语言和模糊逻辑，并能作出正确的识别和判断；一一一研究模糊数学的应用．(二) 模糊数学在数学建模中应用的可行性1．数学建模的意义在于将数学理论应用于实际问题[6]．而模糊数学作为一种新的理论，本身就有其巨大的应用背景，国内外每年都有大量的相关论文发表，解决了许多实际问题．目前在数学建模中较少运用模糊数学方法的原因不在于模糊数学理论本身有问题，而在于最新的研究成果没有在第一时间进入数学建模的教科书中，就其理论本身所具有的实用性的特点而言，模糊数学应该有助于我们解决建模过程中的实际问题．2．数学建模的要求是模型与实际问题尽可能相符．对实际问题有这样一种分类方式：白色问题、灰色问题和黑色问题．毫无疑问，引进新的方法对解决这些问题大有裨益．在灰色问题和黑色问题中有很多现象是17用“模糊”的自然语言描述的．在这种情况下，用模糊的模型也许更符合实际．3． 数学建模活动的目的之一是培养学生的创新精神．用新理论、新方法解题应该受到鼓励．近年来，用神经网络法、层次分析法等新方法建立模型的论文屡有获奖，这也说明了评审者对新方法的重视．我们相信，模糊数学方法应该很好，同样能够写出优秀的论文．(三) 模糊综合评判法中的最大隶属原则有效度在模糊统计综合评判中，如何利用综合评判结果向量,其中， ，为()12,,,m b b b b =01j b <<m 可能出现的评语个数，提供的信息对被评判对象作出所属等级的判断，目前通用的判别原则是最大隶属原则[7]．在实际应用中很少有人注意到最大隶属原则的有效性问题，在模糊综合评判的实例中最大隶属原则无一例外地被到处搬用，然而这个原则并不是普遍适用的．最大隶属原则有效度的测量1． 有效度指标的导出在模糊综合评判中，当时，最大隶属原则最有效；而在11max 1,1nj j j n j b b ≤≤===∑()1max 01,j j nb c c ≤≤=<<时，最大隶属原则完全失效，且越大（相对于而言），最大隶属原则也越有效．由此可1njj bnc ==∑1max j j nb ≤≤1njj b=∑19认为，最大隶属原则的有效性与在中的比重有关，于是令：1max j j nb ≤≤1njj b=∑ (12)11max njjj nj b bβ≤≤==∑显然，当时，则为的最大值，当, 时，有为11max 1,1nj j j n j b b ≤≤===∑1β=β()1max 01j j nb c c ≤≤=<<1nj j b nc ==∑1n β=的最小值，即得到的取值范围为:．由于在最大隶属原则完全失效时，而不为，所以不宜ββ11n β≤≤1n β=0直接用值来判断最大隶属原则的有效性．为此设：β (13)()()11111n n n n βββ--'==--则可在某种程度上测定最大隶属原则的有效性．而最大隶属原则的有效性还与（的含义是β'j n j b ≤≤1sec j nj b ≤≤1sec 向量各分量中第二大的分量）的大小有很大关系，于是我们定义：b (14)11sec njjj nj b bγ≤≤==∑可见： 当时，取得最大值．()1,1,0,0,,0b = γ12当时，取得最小值．()0,1,0,0,,0b = γ0即的取值范围为，设．一般地，值越大最大隶属原则有效程度越高；而值越大，γ012γ≤≤()02120γγγ-'==-β'γ'最大隶属原则的有效程度越低．因此，可以定义测量最大隶属原则有效度的相对指标：(15)()112121n n n n βββαγγγ'--⎛⎫===⎪'--⎝⎭使用指标能更准确地表明实施最大隶属原则的有效性．α2. 指标的使用α从指标的计算公式看出与成反比，与成正比．由与的取值范围，可以讨论的取值范围：ααγββγα当取最大值，取最小值时，将取得最小值；γβα0当取最小值，取最大值时，将取得最大值：因为 ，所以可定义时，．即：γβα0limγα→=+∞0γ=α=+∞．0α≤<+∞由以上讨论，可得如下结论：当 时，可认定施行最大隶属原则完全有效；当时，可认为α=+∞1α≤<+∞施行最大隶属原则非常有效；当时，可认为施行最大隶属原则比较有效，其有效程度即为值；当0.51α≤<α21时可认为施行最大隶属原则是最低效的；而当时，可认定施行最大隶属原则完全无效．有了测00.5α<<0α=量最大隶属原则有效度的指标，不仅可以判断所得可否用最大隶属原则确定所属等级，而且可以说明施行最大隶属原则判断后的相对置信程度，即有多大把握认定被评对象属于某个等级．讨论a ． 在很多情况下，可根据值的大小来直接判断使用最大隶属原则的有效性而不必计算值．根据与βαα之间的关系，当，且时，一定存在．通常评价等级数取和之间，所以这一条件往往β0.7β≥4n >1α>494n >可以忽略，只要就可免算值，直接认定此时采取最大隶属原则确定被评对象的等级是很有效的．0.7β≥αb ． 如果对进行归一化处理而得到，则可直接根据进行最大隶属原则的有效度测量．()12,,,m b b b b = b 'b '(四) 模糊数学在数学建模中的应用模糊数学有诸多分支，应用广泛．如模糊规划、模糊优化设计、综合评判、模糊聚类分析、模糊排序、模糊层次分析等等．这些方法在工业、军事、管理等诸多领域被广泛应用．举例 带模糊约束的最小费用流问题[8]问题的提出 最小费用流问题的一般提法是：设是一个带出发点和收点的容量-费用网络，(),,,D V A c ω=s v t v 对于任意，表示弧上的容量，表示弧上通过单位流量的费用，是给定的非负数，问(),i j v v A ∈ij c (),i j v v ij ω(),i j v v 0v 怎样制定运输方案使得从到恰好运输流值为的流且总费用最小？如果希望尽可能地节省时间并提高道路s v t v 0v的通畅程度，问运输方案应当怎样制定？模型和解法 问题可以归结为：怎样制定满足以下三个条件的最优运输方案？(1)从到运送的流的值恰好为；(2)总运输费用最小;(3)在容量大的弧 上适当多运输．如果仅考虑s v t v 0v ij c (),i j v v 条件(1)和(2)，易写出其数学模型为：()()()()()()()}(),0,,0,,,,min()..0,0i j s j j s t j j t i j j i ij ijv v Asj js v v A v v A tj jt v v A v v A ij ji i s t v v A v v A ij ijf f f v f f v M s t f f v V v v f c ω∈∈∈∈∈∈∈⎧-=⎪⎪-=-⎪⎪⎨⎪-=∈⎪⎪≤≤⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑把条件(3)中的“容量大”看作上的一个模糊子集，定义其隶属函数：为：A Aμ[]0,1A →()()00,0,1,ij ij ij i j A d c c v ij c c v v e c cμμ--≤≤⎧⎪==⎨->⎪⎩其中（平均容量）()1,i j ij v v c A c -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦∑:23()()()()21,21,0,11i j i j ij v v A ij v v A A c c d A c c -∈-∈⎧⎡⎤⎪⎢⎥-≤⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎡⎤⎪⎢⎥->⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎩∑∑::建立是为了量化“适当多运输”这一模糊概念．对条件(2)作如下处理：对容量大的弧，人为地降低ij μij c (),i j v v 运价，形成“虚拟运价”，其中满足：越大，相应的的调整幅度也越大．选取为，ij ωij ωij ωij c ij ωij ω()1k ij ij ij ωωμ=-．其中是正参数，它反映了条件(2)和条件(3)在决策者心目中的地位．决策者越看重条件(3)，取值(),ijv v A ∈k k 越小；当取值足够大时，便可忽略条件(3) ．一般情况下，合适的值最好通过使用一定数量的实际数据进k k 行模拟、检验和判断来决定．最后，用代替原模型中的，得到一个新的模型．用现有的方法求解这ij ωM ij ωM '个新的规划问题，可期望得到满足条件(3)的解．模型的评价此模型在原有的数学规划模型和解法的基础上，增加了模糊约束．新模型比较符合实际，它的解包含了原模型的解，因而它是一个较为理想的模型．隶属度的确定在模糊数学中有多种方法，可以根据不同的实际问题进行调整．同样的思想方法可以处理其他的模糊约束问题．三、灰色系统客观世界的很多实际问题，其内部结构、参数以及特征并未全部被人们了解，对部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统．灰色系统理论是从系统的角度出发来研究信息间的关系，即研究如何利用已知信息去揭示未知信息．灰色系统理论包括系统建模、系统预测、系统分析等方面．(一) 灰色关联分析理论及方法灰色系统理论[9]中的灰色关联分析法是在不完全的信息中，对所要分析研究的各因素，通过一定的数据，在随机的因素序列间，找出它们的关联性，找到主要特性和主要影响因素．计算方法与步骤：1． 原始数据初值化变换处理分别用时间序列的第一个数据去除后面的原始数据，得出新的倍数列，即初始化数列，量纲为一，()k 各值均大于零，且数列有共同的起点．2． 求关联系数()()()()()()()()()0000min min ||max max ||||max max ||k i k k i k ikiki k k i k k i k ikx x x x x x x x ρξρ-+-=-+-3． 取分辨系数01ρ<<254． 求关联度 ()()11ni k i k k r n ξ==∑(二) 灰色预测1． 灰色预测方法的特点(1) 灰色预测需要的原始数据少，最少只需四个数据即可建模；(2) 灰色模型计算方法简单，适用于计算机程序运行，可作实时预测；(3) 灰色预测一般不需要多因素数据，而只需要预测对象本身的单因素数据，它可以通过数据本身的生成，寻找系统内在的规律；(4) 灰色预测既可做短期预测，也可做长期预测，实践证明，灰色预测精度较高，误差较小．2． 灰色预测GM(1，1)模型的一点改进一些学者为了提高预测精度做出了大量的研究工作，提出了相应的方法．本文将在改善原始离散序列光滑性的基础上，进一步研究GM(1，1)预测模型的理论缺陷及改进方法[10]．问题的存在及改进方法如下：传统灰色预测GM(1，1)模型的一般步骤为：（1）1-ADO ：对原始数据序列进行一次累加生成序列(){}0k x ()1,2,,k n = ()()101kk i i x x =⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∑()1,2,,k n =。