氢原子薛定谔方程的解05
量子力学补充3-薛定谔方程解氢原子
的基态电子为例： l 以n=1， 0, ml 0r
即：4
4 2 2 a1 100 (r ) 3 r e a1 r
d100 (r ) 令： 0 dr
2r a1
2r 2r 0 a1
a1
[2re 3
2
2 a1
2 r ( nl )e ] 0 a1100 (r )
a1 2
45a 6
1
20 (r )
r / a1
8
10
r Y
1 2 1 (r ) 2 (sin ) 2 r r r r sin
1 2 2m e2 2 (E ) 0 2 2 2 r sin 40 r
1 2 1 (r ) 2 (sin ) 2 r r r r sin 1 2 2m e2 2 (E ) 0 2 2 2 40 r 其解： r sin
的,并非人为假设. 2)处于能量为En的原子,角动量有几种可能的值 l 0.1.2(n 1) 量子力学中通常用 小写字母s.p.d.f.g.表示这些状态.
S
角量子数(
p
d
f
g 4
h 5
l)
0 0
1
2
3
角动量(L)
2
6 12 20 30
3)角动量的空间取向是量子化的 角动量在空间取向不是任意的,以外磁场为Z轴 方向,则角动量在Z轴上的分量: 磁量子数
……………….
r ( 2 )e 3 a1 32a1 r
1
下面介绍由这些波函数得出的一些重要结论:
1）能量是量子化的
注意: n称为主量子 数,氢原子的能量是 不连续的,这些不连 续的能量状态称为 能级.
氢原子 薛定谔方程
氢原子薛定谔方程引言薛定谔方程是量子力学的基石之一，描述了微观粒子的行为。
而氢原子是最简单的原子系统，因此研究其薛定谔方程有助于我们理解量子力学的基本原理。
本文将深入探讨氢原子薛定谔方程，从基本概念到具体计算，全面分析该方程的背景、推导和解析。
薛定谔方程简介薛定谔方程是描述量子系统的一维时间无关定态的方程。
对于一个粒子的波函数ψ(x)、能量E和势能V(x)，薛定谔方程可以写作：Ĥψ(x)=Eψ(x)其中，Ĥ是哈密顿算符，定义为Ĥ=−ℏ22md2dx2+V(x)，ℏ是约化普朗克常数，m是粒子的质量，x是粒子的位置。
对于氢原子，势能V(x)由于原子核和电子之间的相互作用而产生。
氢原子的薛定谔方程氢原子是由一个质子和一个电子构成的，因此氢原子的薛定谔方程是描述电子在氢原子中的运动。
使用球坐标系，薛定谔方程可以重写为：[−ℏ22m(1r2ddr(r2ddr)−L̂22mr2)+V(r)]ψ(r,θ,ϕ)=Eψ(r,θ,ϕ)其中，L̂2是角动量算符的平方，定义为L̂2=−ℏ2(1sinθddθ(sinθddθ)+1sin2θd2dϕ2)。
氢原子的径向方程为了简化氢原子的薛定谔方程，我们考虑分离变量，假设波函数可以表示为一个径向部分和一个角向部分的乘积：ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Y(θ,ϕ)。
代入薛定谔方程并分离变量，可以得到径向方程和角向方程。
径向方程的推导通过分离变量，我们将薛定谔方程转化为径向方程和角向方程。
径向方程可以通过将薛定谔方程乘以r2并对角度积分得到。
经过一系列数学推导，可以得到氢原子的径向方程为：[−ℏ22md2dr2+ℏ22ml(l+1)r2+V(r)−E]R(r)=0其中，l是角量子数，通过求解该方程可以得到径向波函数R(r)和能量E。
解析解与数值解氢原子的薛定谔方程可以通过解析方法求解，得到精确的解析解。
然而，尽管存在解析解，推导和计算过程非常复杂，通常需要使用数值方法来近似求解。
氢原子的薛定谔方程
氢原子的薛定谔方程在量子力学中，薛定谔方程是描述微观粒子运动的基本方程之一。
对于氢原子来说，薛定谔方程起着至关重要的作用，它能够描述氢原子中电子的运动状态和能级分布，为我们理解氢原子的结构和性质提供了重要依据。
氢原子由一个质子和一个围绕质子运动的电子组成。
在薛定谔方程中，波函数描述了电子的运动状态，包括位置和动量等信息。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到氢原子中电子的能级和波函数，从而揭示出氢原子的量子性质。
薛定谔方程的解可以分解为径向部分和角向部分，分别描述了电子在氢原子中径向和角向的运动。
径向部分的解决定了氢原子中电子的轨道半径和能级，而角向部分则描述了电子在轨道上的运动方式。
通过这两部分的解，我们可以全面了解氢原子中电子的运动规律。
薛定谔方程的一个重要应用是计算氢原子的能级结构。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到氢原子中不同能级的能量和波函数。
这些能级决定了氢原子的光谱线，可以用来解释氢原子在不同波长下的吸收和发射现象。
因此，薛定谔方程的解不仅可以帮助我们理解氢原子的内部结构，还可以解释氢原子的光谱特性。
除了氢原子外，薛定谔方程还可以应用于其他原子和分子系统的研究。
通过对薛定谔方程的求解，我们可以得到不同原子和分子系统的波函数和能级，从而揭示它们的量子性质和相互作用规律。
这为我们研究原子和分子的结构、性质和反应机制提供了重要的理论基础。
总的来说，薛定谔方程是量子力学中的重要方程之一，对于理解氢原子和其他微观粒子系统的性质和行为具有重要意义。
通过求解薛定谔方程，我们可以揭示微观世界的奥秘，探索物质世界的微观规律，为科学技术的发展提供重要支持。
希望未来能有更多科学家通过对薛定谔方程的研究，揭示出更多微观世界的奥秘，推动人类对自然界的认识和探索。
第一节氢原子的薛定谔方程
5 氢原子与类氢离子的定态薛定谔方程及其解
0
5. ()方程的解：
()方程是：
求解该方程的条件: 边界条件? 无
d 2 2 m 0 2 d
合格波函数的条件: 单值?有;连续,有限 ? 求得方程的解为： Φ
m
( ) Ae
im
式中A是归一化系数，如何求得？
归一化求A：
2
0
d
* m m
2
0
A2 e im e im d 1 1 e im 2
1 ( m m ) 2 1 ( m m ) i 2 1
1
cos m si nm
可以证明组合得到的实函数是归一化的,如:
1 1 [ 2 ( m m )]* [ 2 ( m m )]d 1 { m m d m m d 2 1 m m d m m d } 2 {1 0 0 1} 1
Zr a0
e E Z 2 2 8 0 h
2
Z2 e2 ( ) 13.6 Z 2 (e V) 2 4 0 a0
4. 将偏微分方程化为常微分方程 ——分离变量法
一般来说，偏微分方程化为常微分方程后才 能求解。
令： (r , , ) R(r )Y ( , ) R(r ) ( ) ( ) 代入薛定谔方程, 先将径向部分(只与r有关) 和角度部分分开, 分别移到方程的两边. 这样该方 程两边应等于同一个常数 . 然后在将角度部分分 离成只含一个变量的两个常微分方程 , 就将偏微 分方程分离成了三个常微分方程。
6. ()方程的解:
1 d d m2 (sin ) k 0 2 sin d d sin
氢原子薛定谔方程求解
氢原子薛定谔方程一、薛定谔方程1.定态薛定谔方程波函数所满足的微分方程：记哈密顿算符分离变量即，代入式得两边同时除以，令则有将时间和空间部分合并，薛定谔方程的解可以表示成：上式称为薛定谔方程的本征解，为哈密顿算符的本征函数，为能量本征值。
2.氢原子的定态薛定谔方程氢原子有质量较大的质子，通过正负电荷的相互吸引作用，束缚着一个质量很小带负电−e的电子绕其运动。
由库仑定律,势能为（SI单位），所以势函数为将式子代入定态薛定谔方程得到其中Z为核电荷数，r为电子与质子之间的距离，m为电子质量（忽略原子核的动能），式也称为库仑力场下定态薛定谔方程。
时，为氢原子的薛定谔方程。
二、球坐标下分离变数在球坐标下有拉普拉斯算符：则氢原子薛定谔方程为分离变数乘遍各项，并做适当移项左边是r的函数，右边是θ和φ的函数，我们通常有下面设法分解为两个方程角向分布的方程径向分布的方程进一步分离变数代入球函数方程得乘遍各项并适当移项得左边是的函数，右边是的函数，令此等式等于一常数分解为两个常微分方程：综上氢原子薛定谔方程可以分解为下面三个方程角向分布方程径向分布方程其中。
式与“自然的周期条件”构成本征值问题，解得这里可以采用更为简介等价的解的形式对进行归一化处理得到为磁量子数将代入到式并进行一定处理得连带勒让德方程令，将自变量变为得到此方程和自然边界条件有限构成本征值问题，本征值为，本征函数为，由梁老师的数学物理方法[2]可以得出本征解为综合角向解求得的归一化系数为归一化的解是缔合勒让德函数，也成为球谐函数。
第二章原子结构与性质§21氢原子和类氢原子的薛定谔方程及其
第二章 原子结构与性质§2.1.氢原子和类氢原子的薛定谔方程及其解 2.1.1.单电子原子的薛定谔方程H 原子和He +、Li 2+ 等类氢离子是单原子，它们的核电荷数为Z ，若把原子的质量中心放在坐标原点上，绕核运动的电子离核的距离为r ，电子的电荷为-e ，其静电作用势能为：r Ze V 024πε-= 将势能代入薛定谔方程： 得 0)(22282=ψ++ψ∇rZe h mE π或ψ=ψ-∇-E rZe mh ][22228π为了解题方便，将x 、y 、z 变量换成极坐标变量r 、θ、φ。
其关系：φθcos sin r x = φθsin sin r y = φcos r z =2222z y x r++=1)/(cos 222z y x Z ++=θx y tg /=φ})(sin )({2222sin 1sin 1212φθθθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂++=∇r rr r 代入薛定谔方程：)()(sin )(2222222228sin 11sin 1121=ψ++++∂∂∂ψ∂∂∂∂∂∂∂rZe h mr r r rr E r πφθθθθθ2.1.2.分离变量§法：上述的方程是含三个度量的偏微分方程，要解这个方程可用度数分离法将其化为三个分别只含一个度量的常微分方程求解。
含：)()()(),,(φθθΦΘ=Φψr R r 代入方程：并乘以ΘΦR r θ22sin 移项可得：)(s)(s )(228s i2si n122222V E r r hud d d d dr dR dr dRd d ----=ΘΘΦΦθθπθθθθφ左边不含r 、θ，右边不含φ，欲左右两边相等必等于同一个常数（-m 2 ）Φ-=Φ222m d d φ, 而右边可为：（除以sin θ）)(sin )()(sin1sin 8212222θθθθπθd d d d m hur dr dR drdR V E r ΘΘ-=-+ 则有：K d d d d m =-ΘΘ)(sin sin1sin 22θθK E r rZe hur dr dR drdR =++)()(2222821π2.1.3.方程解的结果 2.1.3.1.Φ（φ）方程的解0222=Φ+Φm d d φ这是一个常系数二阶齐次线性方程，有两个复函数的独立解。
氢原子的薛定谔方程
德布罗意波长
电子的静止质量
9.11×10
普朗克常量
- 31
kg
1.66×10 1.66×10
- 34 - 24
(m) (A)
6.63 ×10 J ·s 1eV 1.6 ×10 - 19 J
- 34
波长短到无法检测，其波动性可以忽略。
物质波例二
电子的康普顿波长为 由动能定义 若 得
当电子的动能
电子的静止能量
玻尔的角动量量子化条件
电子衍射实验
最早的电子衍射实验
用已知动能 电 子 束
1924年 戴维孙-革末 实验
相 对 强 度
54 eV
的电子束替代X射线 在已知原子间隔D 的晶体上做衍射实 验，发现电子束也 能产生衍射现象， 并测得第一级极强 的衍射角
衍射角
0 10 20 30 40 50 60 70 80
德布罗意公式
若 已知 则 质量
静止质量 运动速率
若 已知 静止质量 则 动量大小为
若
若 则
物质波例一
某电子的动能 100 eV 某子弹的质量 0.01 kg 400 m / s
它们的
可判断
1.23×10 – 10（m） 1.23（A）
与 X 射线的波长相近，其波动性不可忽略。
量子力学初步
本章内容 Contents
物质的波粒二像性 wave-particle dualism of matter 不确定关系 uncertainty relation 波函数及其统计解释 wave function and its statistical explanation
薛定谔方程 Schrodinger equation
光的波粒二象性
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的投影为 Lz m l ，当角量子数l=2时，Lz的可能取值为
3. 根据量子力学理论，氢原子中电子的动量矩为，当主量子 数n=3时，电子动量矩的可能取值为 .
.
光 的 波
光电效应
当光照在金属时，金属板将释放电子 即光电子的现象。 1 mV02 eK eU a 实验规律 2 1 mV02 h W 爱因斯坦方程
2
当 E K m0 c 2 上式分母中， 2 2 E m c 2 EK K 0
2 E K m0 c 2 可略去．
得
hc / E K
波函数 量 子 力 学 小 结
波函数归一化条件
2
dV 1
2 d 2 ( x) 定态薛定谔方程： V ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx 一维无限深方势阱 薛定谔方程的应用： 氢原子四个量子数的物理意义
量子性题: 1. 波长为 的单色光照射某金属M 表面发生光电效应，发射 的光电子 (电荷绝对值为e，质量为m) 经狭缝 S 后垂直进入磁 感应强度为的均匀磁场(如图示)，今已测出电子在该磁场中 作圆运动的最大半径为R．求 (1) 金属材料的逸出功A； (2) 遏止电势差U．
x r sin cos ,
在球坐标系下： y r sin sin ,
z
z r cos ,
在球坐标系下的薛定谔方程：
y
x
此偏微分方程可以用分离变数法化成常微分方程求解，即 设 R(r )( )( ) 代入上式得：
方程（1）的解为: ( ) Aeiml
B
M
e
s
解：(1) 由 eBv mv 2 / R 和
v ( ReB) / m
1 2 代入：h mv A 2
1 mR 2 e 2 B 2 hc R 2 e 2 B 2 可得: A 2 2m 2 m 1 2 (2) e U mv 2 hc
L在外场方向投影大小，则
这里的 ml即为前面讲的m，称为磁量子数。对应一个 l，ml 有2l+1个值，即角动量的空间取向有2l+1种可能。
如图，即为n=4(l=0,1,2,3)电子的角动量空间取向量子化的情 形
ml=Lz/h 2 1 0 -1 1 0 -1 -2 3
2 1
0
-1
-2 -3
（4）电子自旋 电子具有自旋是由施特恩和盖拉赫用实验证明的。在相 对论动力学中，由理论推导电子必须具有自旋；但在非相对 论动力学中，电子的自旋是根据实验引进的。 B N K S P 结果：无外场时，P上沉积一 条正对B的痕迹；有外 场时，出现几条不连 续的线状痕迹。
根据德布罗意波： h / p h /(mv)
把上面m，v代入得：
hc
2 E K 2 E K m0 c 2
hc
2 E K 2 E K m0 c 2
2
2 2 E K m0 c 2 E K 可略去．
当 E K m0 c
上式分母中，E K
2
得 hc / 2 E K m0 c h / 2 E K m0
角度部 d l ml / 2 Y ( , ) N lm (1 cos2 ) 分的解： d cos 方程（3）的解为: Rnl N nl e
r na0
m
ml
Pl (cos )eim
2 其中：Nnl为归一化常数，a0 为一常数， 2 me L2 ll1 为缔合勒盖尔多项式。 n
（3）角动量的空间取向量子化
索末菲在 1915-1916 年提出： 氢原子中的电子绕核作圆周轨 道运动，轨道平面在空间的取向不是任意的，而只能取有限 的特定方位，这既是轨道空间量子化假设。
方程（1）得到的波函数 ()表明：电子绕核转动的角动量 空间取向是量子化的，设：外磁场方向为Z轴方向，Lz表示
v2 解：电子的轨迹为圆，则：m evB R
mv eRB
h h mv eRB
º =0. 2A
4. 假设电子绕氢核旋转的玻尔轨道的圆周长刚好为电子物质
波波长的整数倍，试从此点出发解出玻尔的动量矩量子化条 件．
解：从题设可知，若圆周半径为r，则有2r = n，这里n是 整数，是电子物质波的波长． 根据德布罗意公式 : 得: 于是:
h /(mv )
2r nh /(mv )
2πrmv nh
这里m是电子质量，v是电子速度的大小，rmv为动量矩， 以L表示, 则上式为
L nh /(2)
这就是玻尔的动量矩量子化条件．
5. 求：实物粒子德布罗意波长与粒子动能EK和静止质量m0的
关系，并得出：
EK << m0c2时， EK >> m0c2时，
ml 0,1,2
d
ml ml
方程（2）的解为: ( ) (1 cos2 ) ml / 2
d cos
Pl (cos )
由标准化条件决定：l=0,1,2, ••••• , 同时限定给定一 l, ml只能 取下列 (2l+1): ml 0,1,2 l
是连带的勒让德函数
此实验最初用s态银原子进行， 原子射线分裂为二条，且二者 偏转上下对称。 因s态原子l=0 本身无动量矩和磁矩。
K原子射线；B狭缝； NS磁场；P照相板
1925年伦贝克提出：电子不能看成简单的点电荷，除绕核的
磁矩外，还有固有磁矩，该磁矩称自旋磁矩。
量子力学的计算：自旋动量矩S为:
自旋动量矩也是量子化的，它在外场方向投影Sz 只能有如 下两种取值：
n 1,2,3
理论计算
4o n 2 2 rn n 2 r1 (n 1,2,3,) r1 0.529 1010 m me2 1 e2 13.6eV En 2 ( ) (n 1,2,3,) 2 n 8o r1 n
是一个复指数函数，本身无物理意义 波函数模的平方 | |2 * 代表时刻t 在 r 处粒子出现的几率密度。即：t 时刻出现在 空间（x,y,z）点的单位体积内的几率 波函数应满足单值、有限、连续的标准条件
2r l 2l 1 2r ( ) Ln l ( ) na0 na0
同时规定了 l 的取值范围，即对于某一确定n ,l 可能取n 个值：l=0,1,2,…n-1 氢原子的波函数： nlm (r , , ) Rnl (r )Ylm ( , )
讨论n、l、ml 参数的物理意义 （1）能量量子化 在求解方程（3）时，电子处于束缚态时，E只能取 一些分立的负值，即： ) 2
p 1 arccos arccos 44.0° mv 1 ( / ) 2
p' p
mv
3.在B =1.25×10-2 T的匀强磁场中沿半径为R =1.66 cm的圆轨
道运动的电子的德布罗意波长是多少? (普朗克常量h =6.63×10-34 J· s，e =1.60×10-19 C)
§9 氢原子的薛定谔方程的解 1、 氢原子的定态薛定谔方程 氢原子中电子绕原子核的运动，相当于核不动，电子 绕核作圆周运动。若其半径为r，则其势能函数为
1 e2 V (r ) 40 r
定态薛定谔方程为：
由于势能只与r有关，是球对称的，而与方向无关，为了计 算方便，采用球坐标。球坐标下的拉普拉斯算符为：
为主量子数或称能量量子数。
n=1的能级称为基态能级
n>1的能级称为激发态能级,取值如下：
6 5 -0.85eV 4
Enl
-1.51eV 3
-3.39eV 2
如图所示，n增大 时， 能级间隔减小 ；n很大时间隔非 常小，可看成连续 变化。
-13.6eV 1
主量子数 n
氢原子能级图
（2）角动量量子化 方程（2）得到的波函数()表明：电子绕核转动的角动量是 量子化的，其大小为： 其中：l 称为角量子数或称副量子数。 说明：1、L只能取由l 决定的一系列分立值，即量子化。 2、不同的 n 值，只要 l=0，则L=0 3、对于同一n值，l 不同时，L有不同的值。所以 氢原子内电子的运动状态必须同时用n, l 才能 确切地表征。 一般s、p、d、f、g……等字母表示 l=0,1,2, ……，显 然，对于s 态的电子来说，其动量矩L=0.
遏止频率 0
2 W h
粒 二 象 性
康普顿散射
在散射光中除有与入射波长相同的射线 外，还有波长比入射波长更长的射线 .
2h 2 2 0 sin 2e sin me c 2 2
e 2.43 10 12 m
德布罗意波 粒 子 的 波 粒 二 象 性
h mv
和频率，mv 为反冲电子的动量(如图)．因散射线与入 射线垂直，散射角 / 2 ，因此可求得散射X射线的
波长 ：
p'
p
mv
h = 0.724 Å me c
(1) 根据能量守恒定律:
me c 2 h h mc 2
E K mc me c
2
m
m0 v2 1 2 c
h 粒子的波粒二象性
p
E
h
E mc 2
h 12.2 A 实验证明： 戴维孙-革末实验 2meU U
微观解释：而对多数粒子来说，在空间不同位置出
现的几率遵从一定的统计规律（几率波）
不确定关系 x px h
y p y h
z pz h
氢 原 子 的 玻 尔 理 论
实验规律
~ 1 R( 1 1 ) m2 n2 m=1，赖曼系