氢原子的薛定谔方程解
量子力学补充3-薛定谔方程解氢原子
的基态电子为例： l 以n=1， 0, ml 0r
即：4
4 2 2 a1 100 (r ) 3 r e a1 r
d100 (r ) 令： 0 dr
2r a1
2r 2r 0 a1
a1
[2re 3
2
2 a1
2 r ( nl )e ] 0 a1100 (r )
a1 2
45a 6
1
20 (r )
r / a1
8
10
r Y
1 2 1 (r ) 2 (sin ) 2 r r r r sin
1 2 2m e2 2 (E ) 0 2 2 2 r sin 40 r
1 2 1 (r ) 2 (sin ) 2 r r r r sin 1 2 2m e2 2 (E ) 0 2 2 2 40 r 其解： r sin
的,并非人为假设. 2)处于能量为En的原子,角动量有几种可能的值 l 0.1.2(n 1) 量子力学中通常用 小写字母s.p.d.f.g.表示这些状态.
S
角量子数(
p
d
f
g 4
h 5
l)
0 0
1
2
3
角动量(L)
2
6 12 20 30
3)角动量的空间取向是量子化的 角动量在空间取向不是任意的,以外磁场为Z轴 方向,则角动量在Z轴上的分量: 磁量子数
……………….
r ( 2 )e 3 a1 32a1 r
1
下面介绍由这些波函数得出的一些重要结论:
1）能量是量子化的
注意: n称为主量子 数,氢原子的能量是 不连续的,这些不连 续的能量状态称为 能级.
氢原子中电子的势能函数 定态薛定谔方程
说明角动量只能取由l决定的一系列分立值，
即角动量也是量子化的。
处于能级 的E原n 子,其角动量共有n种可能值，
即 l 0，1,，用2，s, p，,nd,…1表示角动量状态。
6
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氢原子内电子的状态
l=0 l=1 l=2 l=3 l=4 l=5 (s) (p) (d) (f) (g) (h) n =1 1s n =2 2s 2p n =3 3s 3p 3d n =4 4s 4p 4d 4f
根据
En
13.6 eV n2
得
E2
13.6eV 3.40eV 22
角动量的大小为 L l(l1) 2
当l=1时，ml的可能值是-1, 0, +1，
π 4
arccos ml π2
l(l1) 3π 4
11
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三、氢原子中电子的概率分布
要知道电子在氢原子中的分布，必须要知道定 态波函数：
ml 称为磁量子数。对于一定的角量子数 l，ml
可以取 2(l 1)个值。
8
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B(z)
2
角动量的空间量子化 o
2
L 6
l2
9
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10
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例题13-18 设氢原子处于2p态，求氢原子的能量、角动 量大小 及角动量的空间取向。
解 ： 2p态表示 n=2, l=1。
§13-9 量子力学中的氢原子问题
一、氢原子的薛定谔方程
氢原子中电子的势能函数 U e2
定态薛定谔方程
4π0r
2 2m(E e2 ) 0
第九节氢原子的量子力学处理
2、角动量量子化与角量子数：
L l (l 1), l 0,1,2, n 1.
l叫角（动量）量子数，取值范围受到n的限制。
3、空间量子化与磁量子数：
Lz ml , ml l ,l 1,, l 1, l.
《大学物理》
教师：
胡炳全
三、斯特恩-盖拉赫实验，电子自旋
自旋磁量子数: s 1 / 2.
《大学物理》
教师：
胡炳全
第九节 氢原子的量子力学求解方法： 一、氢原子的薛定谔方程:
( r ) ( r ) ( r ) 2m e 2 [E ] (r ) 0 2 2 2 x y z 4 0 r
2 2 2 2
在极坐标下使用分离变量，即:
(r ) R(r )( )( )
电子自旋概念解释了斯特恩-盖拉赫实验的偶数条谱线的 结果，同时还解释了光谱精细结构等问题。
《大学物理》
教师：
胡炳全
氢原子中，电子的运动状态可以由四个量子数来确定：
主量子数 : n 1,2,3 角量子数 : l 0,1,2,n 1.
磁量子数 : ml 0,1,2, l.
2 l 2
二、量子数与氢原子相关物理量： 1、能量量子化与主量子数： 上述关于R的二阶微分方程有解的条件是：
me 4 1 1 En 2 13 .6 2 (eV ) 2 2(4 0 ) n n
n=1，2，3…叫氢原子的主量子数。它决定氢原子的能量。
《大学物理》
教师：
胡炳全
1、斯特恩-盖拉赫实验Leabharlann 《大学物理》教师：
胡炳全
测量结果：
•是分离谱线；说明空间量子化是确实的。 •但谱线条数是偶数。空间量子化的规律有新原因。 2、电子的自旋： 电子自旋角动量：
235薛定谔方程解氢原子
sin
drdd
4）(概r)率dV密度 与2V电V0子nnlm云lm202drV2nslXmin2rd2rsdZinddrsdindrrdddrY
r (r)dr
称径向几率密度
r (r) r2
2
d
0
0
nlm
2
sin
d
下面列出了一些径向几率密度：
100 (r )
4 a13
r
r 2e 2a1
的,并非人为假设.
2)处于能量为En的原子,角动量有几种可能的值
l 0.1.2 (n 1) 量子力学中通常用
小写字母s.p.d.f.g.表示这些状态.
S pd
f
gh
角量子数( l ) 0 1 2 3 4 5
角动量(L) 0 2 6 12 20 30
3)角动量的空间取向是量子化的
角动量在空间取向不是任意的,以外磁场为Z轴
讨论后者，U（r）与时间无关，故满足 Schrödinger方程：
2
2m 2
(
E
e2 ) 4 0 r
0
2
2 2
2m 2 (E
2
e2 ) 4 0 r
2m (E
0 e2
) 0
x2 y2 z 2 2
4 0 r
Z
Z
Y
r
X
0
Y
X
r x2 y2 z2 x r sin cos
y r sin sin
下面列出了一些径向几率密度：
100 (r ) 200(r)
4
r
r 2e 2a1
a13
1 8a13
(2
r a1
r
)r 2e 2a1
氢原子 薛定谔方程
氢原子薛定谔方程引言薛定谔方程是量子力学的基石之一，描述了微观粒子的行为。
而氢原子是最简单的原子系统，因此研究其薛定谔方程有助于我们理解量子力学的基本原理。
本文将深入探讨氢原子薛定谔方程，从基本概念到具体计算，全面分析该方程的背景、推导和解析。
薛定谔方程简介薛定谔方程是描述量子系统的一维时间无关定态的方程。
对于一个粒子的波函数ψ(x)、能量E和势能V(x)，薛定谔方程可以写作：Ĥψ(x)=Eψ(x)其中，Ĥ是哈密顿算符，定义为Ĥ=−ℏ22md2dx2+V(x)，ℏ是约化普朗克常数，m是粒子的质量，x是粒子的位置。
对于氢原子，势能V(x)由于原子核和电子之间的相互作用而产生。
氢原子的薛定谔方程氢原子是由一个质子和一个电子构成的，因此氢原子的薛定谔方程是描述电子在氢原子中的运动。
使用球坐标系，薛定谔方程可以重写为：[−ℏ22m(1r2ddr(r2ddr)−L̂22mr2)+V(r)]ψ(r,θ,ϕ)=Eψ(r,θ,ϕ)其中，L̂2是角动量算符的平方，定义为L̂2=−ℏ2(1sinθddθ(sinθddθ)+1sin2θd2dϕ2)。
氢原子的径向方程为了简化氢原子的薛定谔方程，我们考虑分离变量，假设波函数可以表示为一个径向部分和一个角向部分的乘积：ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Y(θ,ϕ)。
代入薛定谔方程并分离变量，可以得到径向方程和角向方程。
径向方程的推导通过分离变量，我们将薛定谔方程转化为径向方程和角向方程。
径向方程可以通过将薛定谔方程乘以r2并对角度积分得到。
经过一系列数学推导，可以得到氢原子的径向方程为：[−ℏ22md2dr2+ℏ22ml(l+1)r2+V(r)−E]R(r)=0其中，l是角量子数，通过求解该方程可以得到径向波函数R(r)和能量E。
解析解与数值解氢原子的薛定谔方程可以通过解析方法求解，得到精确的解析解。
然而，尽管存在解析解，推导和计算过程非常复杂，通常需要使用数值方法来近似求解。
氢原子的薛定谔方程精确解
氢原子的薛定谔方程精确解
氢原子的薛定谔方程精确求解的原因如下：
1.单体化表示氢原子结构特征，选择电子相对质子运动的相对坐标，通过电子相对于质子的运动来代表结构的性质建立模型进行求解，并采用电子有效质量来修正模型的相关结果。
2.氢原子定态薛定谔方程计算结果与光谱实验数据可以完全符合。
在通过氢原子基态轨道共振，利用驻波方法建立数学方程的过程中，选定了氢的基态轨道作为参照用于氢原子激发态轨道的描述，经相关的数学变换最后获得了与氢定态薛定谔方程完全相同的方程。
因此氢原子基态及共振轨道已经成为薛定谔方程描述其它轨道振动的基准，因此其光谱也具有基准性质，原则上讲，氢原子的光谱实验数据与方程计算结果应严格符合。
氢原子方程的解
五、方程（5）的解
在方程（5）中，令 x cos ，则
d d dx sin d
d dx d
dx
d sin d
d
dx
代入（5）中得
d [(1 x2 ) d ] ( m2 ) 0
dx
dx
1 x2
此即连带勒让德方程
由于 在 0 到 之间变化，则 x 在-1 到 1 之间变化，此限制决定了 ( ) 的解的特性。
12/12
Pl[m ] ( x) ( Pl ) m阶导数
m
(x)
p
m l
(x)
(1
x2)
2
p
[ l
m
]
(
x
)
由归一化条件得：
(x) (1)m
(2l 1)(l m)! 2(l m)!
Plm
(cos
)
六、方程（4）的解------球谐函数 方程（4）的解，可由方程（5）、（6）的解相乘得到
Y ( ,) ( )()
1 6
Zr a0
Zr
)re 3a0
R32 (r )
4 81 30
(Z a0
Zr
)7 / 2 re 3a0
7/12
十一、波函数图 （1）、径向波函数，概率密度图
8/12
（2）、角向波函数，概率密度图
9/12
10/12
（3）、总图
11/12
十二、轨道能级图 （1）、氢原子轨道能级图
（2）、多电子原子轨道能级图
归一化系数是：
Nlm
(2l 1)(l m)! 2(l m)!
1 2
归一化的 Y ( , ) 解是缔合勒让德函数：
Ylm ( ,) NlmYlm ( ,) (1)m
3-6量子力学对氢原子的描述jm
(r
2
dR dr
)[
2m
2
(E
e
2
4 0 r
2
)
r
2
]R 0（1）
径向方程
sin
(sin
Y
)
1 sin
2
Y
2
Y
（2） 角向方程
) 1
2
2 ˆ 2 角 动 量 算 符 ： L [
1
sin
(sin
z
l 0 ml o
x
r a0
r
r a0
1s
r / a0
12
3p电子 (n=3,l=1) m=+1
l 1
z
3 p ( m l 1)
电子的空间几率：电子在核外不是按一定轨道运动，量子 力学不能断言电子一定出现在核外某确切位置，而只给出 电子在核外各处出现的概率，其形象描述——“电子云”
r sin
1 r r
2
(r
2
u r
)
1
2
r sin
(sin
u
)
1
2 2
u
2 2
r sin
2m
(E
e
2
4 0 r
)u 0
2
1 r r
2
(r
2
u r
)
1
2
r sin
(sin
u
)
磁 量 子 数 ： m 0, 1, 2, 3..., l
Ylm ( , )= lm ( ) m ( )
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