氢原子结构薛定谔方程解30页PPT
氢原子结构
ml = -1
Wnl (r ) R 2 r 2 dr
0.6
Wn l (r) ~ r 的函数关系
[n，l]
0.5 0.4
[1，0]
峰值数： n – 个
Wn l(r)
0.3 0.2 0.1
[2，0] [3，0] [4，0]
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
r / r1
Wn l (r) ~ r 的函数关系
* 对于是一常量，表明电子的 空间概率分布与 无关，
即相对于z轴对称。
2
2表示电子的概率分布与的关系,计算表明与l和ml 有关
z
Z
y
y
x
x
l 0 , ml 0
z
z
y
x
l 1, ml 0
l 1, ml 1
ml = +2
ml = +1
ml = 0
=2
ml = -2
15-10 电子的磁矩 原子的壳层结构
1896年塞曼发现光谱线在外磁场中分裂的现象 ----塞曼效应
一、电子的轨道磁矩 1.角动量和磁矩的关系
按玻尔模型
B z Lz i r
●
ev evr 2 IS πr 2r 2
v
eL
L
e L 2me
e L 2me
对应某个轨道量子数为l的能级，有 轨道状态：
2l 1个不同的 2l 1
无外磁场时这些状态的能量相同，是简并的， 有外磁场时简并消失，原来一个能级分裂成 个能级，相邻两能级能量差为
第一节氢原子的薛定谔方程(共26张PPT)
ħ2 2m
1 r2
[ ∂∂r
(r2
∂ ∂r
)ψ] +
+
si1nθ[
∂ ∂θ
(sinθ∂∂θ )ψ] +
1 ∂2 + [ sin2θ∂φ2 ψ]
+（
Ze2 r
+
E）ψ=
0
根据变量分离原理，令：
ψ(r,θ,φ) = R(r) Y(θ,φ）= R(r) Θ(θ〕Φ(φ)
z
在研究氢原子或类氢离子中电子的运动时，可
把原子核近似地看成相对固定不动，把原子核选作
坐标系的原点。
+
-e y
2.动能
T（e） >> T（p）
电子的 动能
原子核的 动能
x
电子对核的相对运动
经典物理学的动能
Ek =
1 2
mv2
电子的运动“速度”>>核的运 动“速度”。
3.势能 若把氢原子中的核近似地看成相对固定不动，并把原子核选作坐标系的
1 sinθ
[
∂ ∂θ
(sinθ
∂∂θ)Y
]
+
[
1 sin2θ
∂2 ∂φ2
Y
]
由于 r、θ、φ三个均为独立变量，要使方程成立，方程两端必须等于 某一常量。
设此常量为β，则有：
1 R
[
d dr
(r2
d dr
)
R]
2mr2 Ze2 + ħ2（ r +
E）=
β
1 Y
si1nθ[
∂∂θ(sinθ
氢原子的薛定谔方程
氢原子的薛定谔方程在量子力学中，薛定谔方程是描述微观粒子运动的基本方程之一。
对于氢原子来说，薛定谔方程起着至关重要的作用，它能够描述氢原子中电子的运动状态和能级分布，为我们理解氢原子的结构和性质提供了重要依据。
氢原子由一个质子和一个围绕质子运动的电子组成。
在薛定谔方程中，波函数描述了电子的运动状态，包括位置和动量等信息。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到氢原子中电子的能级和波函数，从而揭示出氢原子的量子性质。
薛定谔方程的解可以分解为径向部分和角向部分，分别描述了电子在氢原子中径向和角向的运动。
径向部分的解决定了氢原子中电子的轨道半径和能级，而角向部分则描述了电子在轨道上的运动方式。
通过这两部分的解，我们可以全面了解氢原子中电子的运动规律。
薛定谔方程的一个重要应用是计算氢原子的能级结构。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到氢原子中不同能级的能量和波函数。
这些能级决定了氢原子的光谱线，可以用来解释氢原子在不同波长下的吸收和发射现象。
因此，薛定谔方程的解不仅可以帮助我们理解氢原子的内部结构，还可以解释氢原子的光谱特性。
除了氢原子外，薛定谔方程还可以应用于其他原子和分子系统的研究。
通过对薛定谔方程的求解，我们可以得到不同原子和分子系统的波函数和能级，从而揭示它们的量子性质和相互作用规律。
这为我们研究原子和分子的结构、性质和反应机制提供了重要的理论基础。
总的来说，薛定谔方程是量子力学中的重要方程之一，对于理解氢原子和其他微观粒子系统的性质和行为具有重要意义。
通过求解薛定谔方程，我们可以揭示微观世界的奥秘，探索物质世界的微观规律，为科学技术的发展提供重要支持。
希望未来能有更多科学家通过对薛定谔方程的研究，揭示出更多微观世界的奥秘，推动人类对自然界的认识和探索。
氢原子薛定谔方程求解
氢原子薛定谔方程一、薛定谔方程1.定态薛定谔方程波函数所满足的微分方程：记哈密顿算符分离变量即，代入式得两边同时除以，令则有将时间和空间部分合并，薛定谔方程的解可以表示成：上式称为薛定谔方程的本征解，为哈密顿算符的本征函数，为能量本征值。
2.氢原子的定态薛定谔方程氢原子有质量较大的质子，通过正负电荷的相互吸引作用，束缚着一个质量很小带负电−e的电子绕其运动。
由库仑定律,势能为（SI单位），所以势函数为将式子代入定态薛定谔方程得到其中Z为核电荷数，r为电子与质子之间的距离，m为电子质量（忽略原子核的动能），式也称为库仑力场下定态薛定谔方程。
时，为氢原子的薛定谔方程。
二、球坐标下分离变数在球坐标下有拉普拉斯算符：则氢原子薛定谔方程为分离变数乘遍各项，并做适当移项左边是r的函数，右边是θ和φ的函数，我们通常有下面设法分解为两个方程角向分布的方程径向分布的方程进一步分离变数代入球函数方程得乘遍各项并适当移项得左边是的函数，右边是的函数，令此等式等于一常数分解为两个常微分方程：综上氢原子薛定谔方程可以分解为下面三个方程角向分布方程径向分布方程其中。
式与“自然的周期条件”构成本征值问题，解得这里可以采用更为简介等价的解的形式对进行归一化处理得到为磁量子数将代入到式并进行一定处理得连带勒让德方程令，将自变量变为得到此方程和自然边界条件有限构成本征值问题，本征值为，本征函数为，由梁老师的数学物理方法[2]可以得出本征解为综合角向解求得的归一化系数为归一化的解是缔合勒让德函数，也成为球谐函数。
1.12氢原子课件
1)l
前几个球谐函数表达式：
Y0,0
1
4
Y1,0
3 cos 4
Y1,1
3 sin ei 8
Y2,0
5 (3cos2 1) 16
上面分别是当l 0, m 0;l 1, m 0;l 1, m 1; 和l 1, m -1时的表示式。
(l m )!(2l 1)
Nlm 4 (l m )! 是归一化常数。
其中 Plm (cos ) 是关联勒让德多项式，
m
Pl m (cos ) (1 cos2 ) 2
dm
d cos m
Pl (cos )
其中Pl
(cos )
1 dl
2l l ! d cos l
(cos2
a0
R2,0
(r
)
(1 2a0
)
3 2
(2
r a0
)e
r
2a0
R2,1 (r )
(
1
3
)2
2a0
r a0
e r 2a0 3
a0为玻尔半径
角分布函数：
Y0,0
1
4
Y1,1
3 sin ei 8
Y1,0
3 cos 4
Y2,0
5 (3cos2 1) 16
m 0, 1, 2, 3 l
三、径向波函数 R(r) ,及能级和角动量的量子化：
R(r) 与n,l有关， 前几个径向波函数表达式：
R10 (r)
1 a0
3
2
r
2e a0
R20 (r)
第一章第六节氢原子与类氢离子的定态薛定谔方程
3）、 m e 近似： 电子和核实际上是绕原子的质量中心运动，这种内部 运动的动能全部是转动能。若核不动，且为坐标原点，则 有： 2 2 Ze 2 Mm H Hamilton算符： 4 0 r M m 2
由于 m ，则折合质量 m M 直角坐标表示的薛定谔方程
第六节
氢原子与类氢离子的定 态薛定谔方程
公元前五世纪，希腊科学 家德谟克利特等人认为：万物 都是由大量的不可分割的微粒 构成， 形成了欧洲最早的朴 素唯物主义的原子论。
Δημόκριτος
19世纪初，英国科学家道尔顿提 出原子学说，认为化学元素由不可分 的微粒原子构成，它在一切化学变化 中是不可再分的最小单位；同种元素 的原子性质和质量都相同，不同元素 原子的性质和质量各不相同，原子质 量是元素基本特征之一；不同元素化 合时，原子以简单整数比结合。
类氢离子：
r
e
ze
2、采取的近似.
1）、非相对论近似 光总是必须用相对论处理，但速度不太高的电子可 用非相对论处理 电子总是具有 c 和非零的静质量 me 2）、近似 (Born Oppenheimer)定核近似 思想依据：由于 M 核 me 所以 e N ,借用经 典方法，在电子运动数周时间内原子核的空所间坐标几 乎改变，即可忽略掉核动能。
3、球极坐标
Z
z
r
y
0
x
X
Y
二、单电子原子体系的Schrö dinger方程的变数分离
三、Φ方程的解及磁量子数
四、Θ方程的解及角量子数l
五、R方程的解及主量子数n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
六、解的综合：
JohnDalton
§17-6氢原子
例1 氢原子处在n=3时有多少个不同的状态？在 不考虑电子自旋的情况下，写出状态的量子态， 考虑到自旋后重新回答上述问题。 解 n=3, l=0,1,2 不考虑自旋氢原子的量子态 3,0,0 3,1,0 3,2,0 l=0, ml=0 3,1,-1 3,2,1 3,2,-1 l=1, ml=0,1,-1 3,1,1 3,2,2 3,2,-2 l=2, ml=0,1,2,-1,-2
太原理工大学物理系
小结:
四个量子数:描述氢原子中电子运动状态的四个参数 1.主量子数n=1,2,3,…… 确定电子能量的主要部分
2.角量子数l=0,1,2,…n-1 确定 的值 (n给定) 决定电子能量的次要部分 3.磁量子数ml=0,±1,±2,…±l
(l给定, ml共2 l+1个值)
确定L在外磁场方向 分量 的值
4.自旋磁量子数ms=±1/2 确定S在外磁场方向 分量 S z 太原理工大学物理系
ms 的值
氢原子核外电子的状态可由 n, l, ml , ms 四个量子数来共同确定。
练例1，
练
太原理工大学物理系
练
练例2，
太原理工大学物理系
例 氢原子处在n=3时有多少个不同的状态？在不 考虑电子自旋的情况下，写出状态的量子态，考 虑到自旋后重新回答上述问题。 解 n=3, l=0,1,2 不考虑自旋氢原子的量子态 3,0,0 3,1,0 3,2,0 l=0, ml=0 3,1,-1 3,2,1 3,2,-1 l=1, ml=0,1,-1 3,1,1 3,2,2 l=2, ml=0,1,2,-1,-2 3,2,-2
太原理工大学物理系
例2 画出n=4,l=2时电子轨道运动空间量子化情形. 解： 按题意n=4 ,l可取0,1,2,3四个值.取l=2 LZ
薛定谔方程 求解氢原子
薛定谔方程求解氢原子
氢原子的薛定谔方程为：（−h¯22m∇2+V）ψ=Eψ（−h28π2m∇2−Ze24πε0r）ψ=Eψ。
薛定谔方程（Schrödinger equation），又称薛定谔波动方程（Schrodinger wave equation），是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定。
它是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。
在量子力学中，粒子以概率的方式出现，具有不确定性，宏观尺度下失效可忽略不计。
薛定谔方程（Schrodinger equation）在量子力学中，体系的状态不能用力学量（例如x）的值来确定，而是要用力学量的函数Ψ（x，t），即波函数（又称概率幅，态函数）来确定。
力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。
这个方程是奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，它是量子力学最基本的方程之一。