氢原子结构的薛定谔方程解
235薛定谔方程解氢原子
sin
drdd
4）(概r)率dV密度 与2V电V0子nnlm云lm202drV2nslXmin2rd2rsdZinddrsdindrrdddrY
r (r)dr
称径向几率密度
r (r) r2
2
d
0
0
nlm
2
sin
d
下面列出了一些径向几率密度：
100 (r )
4 a13
r
r 2e 2a1
的,并非人为假设.
2)处于能量为En的原子,角动量有几种可能的值
l 0.1.2 (n 1) 量子力学中通常用
小写字母s.p.d.f.g.表示这些状态.
S pd
f
gh
角量子数( l ) 0 1 2 3 4 5
角动量(L) 0 2 6 12 20 30
3)角动量的空间取向是量子化的
角动量在空间取向不是任意的,以外磁场为Z轴
讨论后者，U（r）与时间无关，故满足 Schrödinger方程：
2
2m 2
(
E
e2 ) 4 0 r
0
2
2 2
2m 2 (E
2
e2 ) 4 0 r
2m (E
0 e2
) 0
x2 y2 z 2 2
4 0 r
Z
Z
Y
r
X
0
Y
X
r x2 y2 z2 x r sin cos
y r sin sin
下面列出了一些径向几率密度：
100 (r ) 200(r)
4
r
r 2e 2a1
a13
1 8a13
(2
r a1
r
)r 2e 2a1
氢原子结构
ml = -1
Wnl (r ) R 2 r 2 dr
0.6
Wn l (r) ~ r 的函数关系
[n，l]
0.5 0.4
[1，0]
峰值数： n – 个
Wn l(r)
0.3 0.2 0.1
[2，0] [3，0] [4，0]
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
r / r1
Wn l (r) ~ r 的函数关系
* 对于是一常量，表明电子的 空间概率分布与 无关，
即相对于z轴对称。
2
2表示电子的概率分布与的关系,计算表明与l和ml 有关
z
Z
y
y
x
x
l 0 , ml 0
z
z
y
x
l 1, ml 0
l 1, ml 1
ml = +2
ml = +1
ml = 0
=2
ml = -2
15-10 电子的磁矩 原子的壳层结构
1896年塞曼发现光谱线在外磁场中分裂的现象 ----塞曼效应
一、电子的轨道磁矩 1.角动量和磁矩的关系
按玻尔模型
B z Lz i r
●
ev evr 2 IS πr 2r 2
v
eL
L
e L 2me
e L 2me
对应某个轨道量子数为l的能级，有 轨道状态：
2l 1个不同的 2l 1
无外磁场时这些状态的能量相同，是简并的， 有外磁场时简并消失，原来一个能级分裂成 个能级，相邻两能级能量差为
氢原子的薛定谔方程精确解
氢原子的薛定谔方程精确解
氢原子的薛定谔方程精确求解的原因如下：
1.单体化表示氢原子结构特征，选择电子相对质子运动的相对坐标，通过电子相对于质子的运动来代表结构的性质建立模型进行求解，并采用电子有效质量来修正模型的相关结果。
2.氢原子定态薛定谔方程计算结果与光谱实验数据可以完全符合。
在通过氢原子基态轨道共振，利用驻波方法建立数学方程的过程中，选定了氢的基态轨道作为参照用于氢原子激发态轨道的描述，经相关的数学变换最后获得了与氢定态薛定谔方程完全相同的方程。
因此氢原子基态及共振轨道已经成为薛定谔方程描述其它轨道振动的基准，因此其光谱也具有基准性质，原则上讲，氢原子的光谱实验数据与方程计算结果应严格符合。
氢原子的薛定谔方程
氢原子的薛定谔方程在量子力学中，薛定谔方程是描述微观粒子运动的基本方程之一。
对于氢原子来说，薛定谔方程起着至关重要的作用，它能够描述氢原子中电子的运动状态和能级分布，为我们理解氢原子的结构和性质提供了重要依据。
氢原子由一个质子和一个围绕质子运动的电子组成。
在薛定谔方程中，波函数描述了电子的运动状态，包括位置和动量等信息。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到氢原子中电子的能级和波函数，从而揭示出氢原子的量子性质。
薛定谔方程的解可以分解为径向部分和角向部分，分别描述了电子在氢原子中径向和角向的运动。
径向部分的解决定了氢原子中电子的轨道半径和能级，而角向部分则描述了电子在轨道上的运动方式。
通过这两部分的解，我们可以全面了解氢原子中电子的运动规律。
薛定谔方程的一个重要应用是计算氢原子的能级结构。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到氢原子中不同能级的能量和波函数。
这些能级决定了氢原子的光谱线，可以用来解释氢原子在不同波长下的吸收和发射现象。
因此，薛定谔方程的解不仅可以帮助我们理解氢原子的内部结构，还可以解释氢原子的光谱特性。
除了氢原子外，薛定谔方程还可以应用于其他原子和分子系统的研究。
通过对薛定谔方程的求解，我们可以得到不同原子和分子系统的波函数和能级，从而揭示它们的量子性质和相互作用规律。
这为我们研究原子和分子的结构、性质和反应机制提供了重要的理论基础。
总的来说，薛定谔方程是量子力学中的重要方程之一，对于理解氢原子和其他微观粒子系统的性质和行为具有重要意义。
通过求解薛定谔方程，我们可以揭示微观世界的奥秘，探索物质世界的微观规律，为科学技术的发展提供重要支持。
希望未来能有更多科学家通过对薛定谔方程的研究，揭示出更多微观世界的奥秘，推动人类对自然界的认识和探索。
狄拉克方程求解氢原子(含详细推导过程
狄拉克方程求解氢原子(含详细推导过程狄拉克方程是描述自旋1/2粒子的相对论性量子力学方程，是描述基本粒子的标准模型中的重要组成部分。
而氢原子是量子力学初学者学习的第一个模型问题，所以求解氢原子的问题可以帮助我们更好地理解狄拉克方程的物理和数学含义。
在这篇文章中，我们将尝试使用狄拉克方程来求解氢原子的问题。
首先，我们先来回顾一下氢原子的非相对论性量子力学描述。
氢原子的非相对论性薛定谔方程可以写为:\[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi - \frac{e^2}{r}\Psi = E \Psi\]其中，\(\Psi\) 是波函数，\(m\) 是电子的质量，\(e\) 是元电荷，\(E\) 是能量。
在经典非相对论性量子力学理论中，薛定谔方程可以成功地描述氢原子的能量谱和波函数，但是当我们要考虑到电子的自旋以及相对论性效应时，就需要使用更加全面的狄拉克方程。
狄拉克方程可以写为：\[(i\hbar \gamma^{\mu}\partial_{\mu} - mc)\Psi = 0\]其中，\(\gamma^{\mu}\) 是4x4的矩阵，被称为狄拉克矩阵，\(\mu\) 取值0,1,2,3，代表时空的分量，\(m\) 是电子的静质量。
为了更加方便地求解问题，我们可以进行相应的单位转换，使得\(\hbar = c = 1\)。
然后，我们可以选择如下表示狄拉克矩阵：\[\gamma^0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix}, \gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0 \end{pmatrix}\]其中，\(I\) 是2x2单位矩阵，\(\sigma^i\) 是Pauli矩阵。
接下来，我们可以用这个矩阵表示来展开狄拉克方程，将波函数表示为二分量形式\(\Psi= \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2\end{pmatrix}\)，并且对狄拉克方程取伴随得到：\[(i\partial_0 - \gamma^i\partial_i - m)\Psi^{\dagger} = 0\]接下来，我们要求得狄拉克方程的解，这一步是非常复杂的，我们需要使用一些高等数学知识和物理知识。
5 氢原子与类氢离子的定态薛定谔方程及其解
0
5. ()方程的解：
()方程是：
求解该方程的条件: 边界条件? 无
d 2 2 m 0 2 d
合格波函数的条件: 单值?有;连续,有限 ? 求得方程的解为： Φ
m
( ) Ae
im
式中A是归一化系数，如何求得？
归一化求A：
2
0
d
* m m
2
0
A2 e im e im d 1 1 e im 2
1 ( m m ) 2 1 ( m m ) i 2 1
1
cos m si nm
可以证明组合得到的实函数是归一化的,如:
1 1 [ 2 ( m m )]* [ 2 ( m m )]d 1 { m m d m m d 2 1 m m d m m d } 2 {1 0 0 1} 1
Zr a0
e E Z 2 2 8 0 h
2
Z2 e2 ( ) 13.6 Z 2 (e V) 2 4 0 a0
4. 将偏微分方程化为常微分方程 ——分离变量法
一般来说，偏微分方程化为常微分方程后才 能求解。
令： (r , , ) R(r )Y ( , ) R(r ) ( ) ( ) 代入薛定谔方程, 先将径向部分(只与r有关) 和角度部分分开, 分别移到方程的两边. 这样该方 程两边应等于同一个常数 . 然后在将角度部分分 离成只含一个变量的两个常微分方程 , 就将偏微 分方程分离成了三个常微分方程。
6. ()方程的解:
1 d d m2 (sin ) k 0 2 sin d d sin
氢原子薛定谔方程求解
氢原子薛定谔方程一、薛定谔方程1.定态薛定谔方程波函数所满足的微分方程：记哈密顿算符分离变量即，代入式得两边同时除以，令则有将时间和空间部分合并，薛定谔方程的解可以表示成：上式称为薛定谔方程的本征解，为哈密顿算符的本征函数，为能量本征值。
2.氢原子的定态薛定谔方程氢原子有质量较大的质子，通过正负电荷的相互吸引作用，束缚着一个质量很小带负电−e的电子绕其运动。
由库仑定律,势能为（SI单位），所以势函数为将式子代入定态薛定谔方程得到其中Z为核电荷数，r为电子与质子之间的距离，m为电子质量（忽略原子核的动能），式也称为库仑力场下定态薛定谔方程。
时，为氢原子的薛定谔方程。
二、球坐标下分离变数在球坐标下有拉普拉斯算符：则氢原子薛定谔方程为分离变数乘遍各项，并做适当移项左边是r的函数，右边是θ和φ的函数，我们通常有下面设法分解为两个方程角向分布的方程径向分布的方程进一步分离变数代入球函数方程得乘遍各项并适当移项得左边是的函数，右边是的函数，令此等式等于一常数分解为两个常微分方程：综上氢原子薛定谔方程可以分解为下面三个方程角向分布方程径向分布方程其中。
式与“自然的周期条件”构成本征值问题，解得这里可以采用更为简介等价的解的形式对进行归一化处理得到为磁量子数将代入到式并进行一定处理得连带勒让德方程令，将自变量变为得到此方程和自然边界条件有限构成本征值问题，本征值为，本征函数为，由梁老师的数学物理方法[2]可以得出本征解为综合角向解求得的归一化系数为归一化的解是缔合勒让德函数，也成为球谐函数。
第二章原子结构与性质§21氢原子和类氢原子的薛定谔方程及其
第二章 原子结构与性质§2.1.氢原子和类氢原子的薛定谔方程及其解 2.1.1.单电子原子的薛定谔方程H 原子和He +、Li 2+ 等类氢离子是单原子，它们的核电荷数为Z ，若把原子的质量中心放在坐标原点上，绕核运动的电子离核的距离为r ，电子的电荷为-e ，其静电作用势能为：r Ze V 024πε-= 将势能代入薛定谔方程： 得 0)(22282=ψ++ψ∇rZe h mE π或ψ=ψ-∇-E rZe mh ][22228π为了解题方便，将x 、y 、z 变量换成极坐标变量r 、θ、φ。
其关系：φθcos sin r x = φθsin sin r y = φcos r z =2222z y x r++=1)/(cos 222z y x Z ++=θx y tg /=φ})(sin )({2222sin 1sin 1212φθθθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂++=∇r rr r 代入薛定谔方程：)()(sin )(2222222228sin 11sin 1121=ψ++++∂∂∂ψ∂∂∂∂∂∂∂rZe h mr r r rr E r πφθθθθθ2.1.2.分离变量§法：上述的方程是含三个度量的偏微分方程，要解这个方程可用度数分离法将其化为三个分别只含一个度量的常微分方程求解。
含：)()()(),,(φθθΦΘ=Φψr R r 代入方程：并乘以ΘΦR r θ22sin 移项可得：)(s)(s )(228s i2si n122222V E r r hud d d d dr dR dr dRd d ----=ΘΘΦΦθθπθθθθφ左边不含r 、θ，右边不含φ，欲左右两边相等必等于同一个常数（-m 2 ）Φ-=Φ222m d d φ, 而右边可为：（除以sin θ）)(sin )()(sin1sin 8212222θθθθπθd d d d m hur dr dR drdR V E r ΘΘ-=-+ 则有：K d d d d m =-ΘΘ)(sin sin1sin 22θθK E r rZe hur dr dR drdR =++)()(2222821π2.1.3.方程解的结果 2.1.3.1.Φ（φ）方程的解0222=Φ+Φm d d φ这是一个常系数二阶齐次线性方程，有两个复函数的独立解。
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Yl ,ml (θ , ϕ ) = Θl ,ml (θ ) ⋅Φml (ϕ )
3.电子的概率分布 .
P = ψ
2
大学物理
z
dϕ
2
dV
θ
r sin θ dϕ
dV
概率密度
|ψ | =| R( r ) ⋅ Θ (θ ) ⋅ Φ(ϕ ) |
2
r
O
ϕ
dr rdθ
体积元
dV = ?
2
y
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大学物理
第五节 氢原子结构的薛定谔方程解
本节介绍薛定谔方程应用 —— 三维问题 要求：思路， 要求：思路，重要结论 一、氢原子的量子力学处理方法 1.建立方程 (电子在核的库仑场中运动) 建立方程 电子在核的库仑场中运动)
e2 势函数 U = − 4 πε0r
r +
-
设电子质量 m，代入三维定态薛定谔方程 ，代入三维定态 定态薛定谔方程
L = l (l + 1)h
即
(l = 0,1,2,...n − 1)
L = 0, 2h, 6h,... ( n − 1)n h
L n 所以， 玻尔理论中 = nh并不正确，只是 , l 均 并不正确， 所以， 取很大的值时的近似。 取很大的值时的近似。
角量子数 l 对氢原子系统能量有影响 E = E (n, l)
第22页 共30页 页 页
与“轨道”角动量类比 轨道” 令 Ls =
S Ls
大学物理
s( s + 1)h
Lsz = ms h
r B
+ h 2
| ms |≤ s
1 2s+1=2 s = 2 自旋角动量
取2s+1个值 个值
由史特恩–盖拉赫实验 由史特恩 盖拉赫实验
1 ms = ± 2
3 Ls = s( s + 1)h = h 2
Lz = ml h
“轨道”磁矩量子化 轨道” 轨道
可取(2l 可取 +1)个值 个值
µ = l (l + 1) µ B
µ z = ml µ B
e µB = h 2m
第19页 共30页 页 页
二、电子的自旋 1. 史特恩 盖拉赫实验 史特恩-盖拉赫实验 目的： 目的：研究角动量空间量子化
大学物理
原子射线在非均匀磁场中偏转
θ
O+ x r
-
y
ϕ
1 ∂ 2 ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 = 2 (r )+ 2 (sin θ )+ 2 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ϕ 2
1 ∂ 2 ∂ψ 1 ∂ ∂ψ 1 ∂ 2ψ 2m e2 (r )+ 2 (sin θ )+ 2 2 + 2 E + ψ = 0 2 2 ∂r ∂θ 4 π ε 0r r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂ϕ h
1 d dΘ ν (sin θ ) + ( λ − 2 )Θ = 0 sin θ d θ dθ sin θ
d2 Φ +ν Φ = 0 2 dϕ
( λ ,ν 为分离变量过程中的待 定常数） 定常数）
第5页 共30页 页 页
大学物理
2. 求解过程中为了使波函数满足归一化条件和标准条 件，自然引入三个量子数 ：n, l, ml
P(r) =| Rn,l (r) |2 r2 d r
电子在离核 r 不同处,出现的概 不同处 出现的概 率不等， 率不等，某些极 大值与玻尔轨道 对应， 半径r = n2a1对应， 说明玻尔理论只 是量子结果不完 全的近似。 全的近似。
第8页 共30页 页 页
2) 角向概率分布
大学物理
P (θ , ϕ ) = Y l ,m (θ , ϕ ) sin θ d θ d ϕ
1 me 4 E1 )= 2 E<0 E =− 2( 2 2 2 n 32 π ε o h n
大学物理
( n = 1,2,3,L)
E1 = −13.6 eV
玻尔理论关于能级的结论是正确的 如果考虑相对论效应
E = E ( n, l )
按n + 0.7l大小排列
第12页 共30页 页 页
大学物理
2) l —— 角量子数，表征角动量量子化 角量子数， 电子云绕核分布， 电子云绕核分布，角向概率密度旋转对称 , 类比为 玻尔理论中电子“轨道”运动， 轨道” 玻尔理论中电子“轨道”运动，其“轨道”角动量量 子化： 子化：
第13页 共30页 页 页
大学物理
原子内电子能级的名称
n
l
1(K) 2(L) 3(M) 4(N) 5(O) 6(P) 7(Q)
0 s 1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s
1 p 2p 3p 4p 5p 6p 7p
2 d
f
3
4 g
5 h
6 i
3d 4d 5d 6d 7d
4f 5f 6f 7f
5g 6g 7g
n = 5, l = 0, ml = 0, µ = 0
分裂不是由于轨道磁矩与外场相互作用引起 2. 电子自旋 对应的经典模型及解释： 对应的经典模型及解释： 电子绕自身轴自旋，具有内禀角动量， 电子绕自身轴自旋，具有内禀角动量，分裂是自 旋磁矩与磁场相互作用的结果。 旋磁矩与磁场相互作用的结果。
第21页 共30页 页 页
r r
µ
r
r v
-e I
(ml = 0,±1L± l )
“轨道”磁量子数 轨道” 轨道 e 玻尔磁子： 玻尔磁子： µB = h 2m
µ = l (l + 1) µ B µ z = ml µ B
第17页 共30页 页 页
大学物理
Bz
L
Lz
θ
e
µz
µ
第18页 共30页 页 页
小结： 小结：氢原子系统的量子化 主量子数： 主量子数：n = 1,2,3,L 表征能量量子化
d V = r sin θ d r d θ d ϕ
电子在体积元dV中出现的概率 电子在体积元 中出现的概率
x
|ψ | ⋅ dV =| R | r d r | Θ ⋅ Φ | sinθ dθ dϕ
2 2 2 2
径向概率
角向概率
第7页 共30页 页 页
大学物理
1) 径向概率分布电子在 r — r+dr球壳中出现的概率 径向概率分布电子在 球壳中出现的概率
2m 2 ∇ ψ + 2 ( E − U )ψ = 0 h
2m e2 ∇ 2ψ + 2 ( E + )ψ = 0 得 h 4 π εor
第3页 共30页 页 页
大学物理
e2 2m ∇2ψ + 2 ( E + )ψ = 0 h 4 π εo r
z
式中
∂2 ∂2 ∂2 ∇2 = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
1 me 4 E1 E=− 2( )= 2 2 2 2 n 32 π ε o h n
大学物理
E1 = −13.6eV
角量子数： 角量子数： = 0,1,2,L, (n −1)表征角动量量子化 l
L = l (l + 1)h
可取 n 个值
E = E ( n, l )
对氢原子系统能量有影响
m 磁量子数： 磁量子数： l = 0,±1,±2,L,±l表征角动量空间取向量子化
Lz = ml h (ml = 0,±1,±2,L,±l )
例： np态 态
L=
Z
Lz Lz
n ≥ 2
l ( l + 1) h =
Z
l = 1
2h
m l = 0, ± 1
Lz = 0, ± h
r L
h
0
r L
2h
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
•
第15页 共30页 页 页
−h
ml ml
0
ml
3 2 1 0 -1 -2 -3 l=3
r r r M = µ ×B
无空间量子化： 无空间量子化： 屏上得连成一片原子沉积 存在空间量子化： 屏上得(2l +1)条分离原子沉积 存在空间量子化： 屏上得 条分离原子沉积
第20页 共30页 页 页
大学物理
S
原子炉
准直屏
N
磁铁
与实验结果不符，无法用上述三个量子数解释。 与实验结果不符，无法用上述三个量子数解释。 Ag: 5s
分离变量 设ψ (r,θ ,ϕ ) = R(r) ⋅ Θ(θ ) ⋅ Φ(ϕ )
第4页 共30页 页 页
大学物理
ψ (r,θ,ϕ) = R(r) ⋅ Θ(θ ) ⋅Φ(ϕ)
代回原方程化简， 代回原方程化简， 得三个常微分方程: 得三个常微分方程 x
z
θ
O+ r
-
y
ϕ
1 d 2 dR 2m e2 λ (r ) + [ 2 (E + ) − 2 ]R = 0 2 r dr dr h 4 π εor r
2
l
= Θ l ,m (θ ) ⋅ Φml (ϕ ) 2sin θ d θ d ϕ
l
电子在某方向上单位立体角内出现的概率对 z 轴 旋转对称分布 z
l =0 ml = 0
z
l=2 ml = 0
z
l =2 ml = ±1
x
x
x
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大学物理
第10页 共30页 页 页
电子在核外不是按一定的轨道运动的, 电子在核外不是按一定的轨道运动的,量子力学不能断 言电子一定出现在核外某确切位置, 言电子一定出现在核外某确切位置,而只给出电子在核外 各处出现的概率,其形象描述——“电子云”(点击看图) 各处出现的概率,其形象描述 “电子云” 点击看图)