插值多项式
第四章-多项式与插值
a0 a1 x0 a0 a1 x1
an x0n an x1n
y0 y1
a0 a1 xn an xnn yn
方程组系数矩阵取行列式
1 x0 x0n
| A | 1 x1 x1n ( xi x j ) 0
ni j0
1 xn xnn
故方程组有唯一解. 从而插值多项式P(x)存在而且是唯一旳.
yi = interp1(x,y,xi,’ linear’ )
线性插值（缺省）
yi = interp1(x,y,xi,’ spline’ )
三次样条
yi = interp1(x,y,xi,’ cubic’ )
三次插值
例3 已知数据表如下，分别求 y＝0.9，0.7，0.6，0.5
处 x 旳值。
x
y
注：多项式求值还有一种函数是polyvalm，其调用 格式与polyval相同，但含义不同。polyvalm函数要
求x为方阵，它以方阵为自变量求多项式旳值。
3. 多项式旳四则运算 (1)多项式旳加减法
function p3 = poly_add(p1,p2)
n1=length(p1); n2 = length(p2);
yp=zeros(size(xp));
a(:,j)=a(:,j+1).*x;
for k=1:n+1
end
பைடு நூலகம்
yp=yp + coeff(k)*xp.^(n+1-k);
coeff=a\y;
end
plot(xp,yp, x,y, ' ro')
三、Lagrange插值多项式
1.插值基函数
定义:若n 1个n次多项式 l k (x) (k 1, 2,..., n 1)
高中数学中的插值与多项式逼近
高中数学中的插值与多项式逼近在高中数学中，插值和多项式逼近是两个重要的概念和技巧。
它们在数学和工程领域中具有广泛的应用，可以用来解决实际问题，提高计算精度和效率。
本文将对插值和多项式逼近进行介绍和探讨。
一、插值的概念和应用1. 插值的概念插值是指通过已知数据点构造一个函数，使得这个函数在已知数据点上与已知函数或数据完全一致。
插值的目的是为了通过已知的离散数据点来估计未知的数据点，从而实现对数据的预测和补充。
2. 插值的应用插值在实际应用中非常广泛，例如地理信息系统中的地图绘制、图像处理中的图像重建、金融领域中的股票价格预测等。
通过插值方法，可以根据已知数据点的特征和规律，推断出未知数据点的值，从而提供更准确的预测和分析。
二、插值方法1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种常用的插值方法，它通过构造一个多项式函数来逼近已知数据点。
这个多项式函数通过已知数据点的横纵坐标来确定，从而实现对未知数据点的估计。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是另一种常用的插值方法，它利用差商的概念来构造一个多项式函数。
差商是指已知数据点之间的差值与对应函数值之间的比值，通过差商的递归计算，可以得到一个多项式函数，从而实现对未知数据点的估计。
三、多项式逼近的概念和方法1. 多项式逼近的概念多项式逼近是指通过一个多项式函数来逼近已知函数或数据，使得这个多项式函数在已知数据点上与已知函数或数据最接近。
多项式逼近的目的是为了简化计算和分析，提高计算效率和精度。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的多项式逼近方法，它通过最小化已知数据点与多项式函数之间的误差平方和，来确定最优的多项式函数。
最小二乘法可以用来解决数据拟合、曲线拟合等问题，广泛应用于统计学、信号处理等领域。
四、插值与多项式逼近的比较1. 精度比较插值方法可以通过已知数据点完全重构已知函数或数据，因此在已知数据点上的精度非常高。
而多项式逼近方法则是通过一个多项式函数来逼近已知函数或数据，因此在已知数据点上的精度可能会有一定的误差。
多项式插值的原理及其应用
多项式插值的原理及其应用在数学领域中，插值是指基于一系列已知的数据点，通过构造一个合适的函数，来推断出在数据点之间的其他未知数值。
在实际应用中，许多问题都可以通过插值来得到解决，比如图像处理、信号处理、金融模型以及物理模拟等。
其中，最常用的插值方法就是多项式插值。
一、多项式插值的原理多项式插值的原理基于拉格朗日插值法，其基本的思想是利用已知的 n 个数据点，构造一个 n 次多项式，使这个多项式经过这 n 个数据点，从而可以通过这个多项式来推算出其他的数据点。
假设我们已知的 n 个数据点为(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)，那么一个 n 次多项式的一般表达式可以表示为：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + … + anxn其中，a0, a1, …, an 是多项式的系数。
根据拉格朗日插值公式，我们可以用这 n 个数据点来构造出 n次多项式：f(x) = Σ yi * L(x, i)其中，L(x, i) 是一个基函数，用来表达 f(x) 在 x = xi 处的取值，它可以表示为：L(x, i) = Π (x - xj) / (xi - xj) (j ≠ i)那么，对于多项式插值，我们需要做两个步骤：1. 找到合适的基函数，构造出 n 次多项式。
2. 利用已知的 n 个数据点，求解出多项式的系数。
二、多项式插值的应用1. 图像处理在数字图像处理中，多项式插值可以被用来进行图像重构，比如将缺失或损坏的像素点进行恢复。
另外，多项式插值还可以被用来进行图像缩放和图像旋转。
2. 信号处理在信号处理中，多项式插值可以被用来进行信号重构，比如信号平滑和信号插值。
除此之外，多项式插值还可以被用来进行谱估计以及信号滤波。
3. 金融模型在金融模型中，多项式插值可以被用来进行资产定价，比如期权和债券的定价。
另外，多项式插值还可以被用来进行股票市场预测和金融风险评估。
4. 物理模拟在物理模拟中，多项式插值可以被用来进行轨迹估计，比如弹道计算和航空航天工程。
几种常用的插值方法
几种常用的插值方法常用的插值方法包括线性插值、多项式插值、样条插值和径向基函数插值等，下面将依次介绍这些方法。
1.线性插值：线性插值是最简单的插值方法之一，它假设函数在两个已知点之间的变化是线性的。
对于给定的两个点(x0,y0)和(x1,y1)，线性插值公式为：y=y0+(x-x0)*(y1-y0)/(x1-x0)其中，y是需要插值的点对应的函数值，x是插值点的横坐标。
2.多项式插值：多项式插值方法通过在给定的一组点上构建一个多项式函数来进行插值。
常用的多项式插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。
- 拉格朗日插值通过构建一个n次多项式来插值n+1个给定的点。
具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值公式为：y = Σ(yk * lk(x))其中，lk(x)是拉格朗日基函数，计算公式为：lk(x) = Π((x - xj) / (xi - xj))，(j ≠ i)- 牛顿插值通过构建一个n次插值多项式来插值n+1个给定的点。
具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，牛顿插值公式为：y = Σ(Π(x - xj) / Π(xi - xj) * finDiff(yj))其中，finDiff(yj)是每个节点的差商，计算公式为：finDiff(yj) = (ΣΠ(xj - xi) * yj) / ΣΠ(xi - xj)，(i ≠ j) 3.样条插值：样条插值方法通过使用分段函数来逼近给定的一组点。
常用的样条插值方法有线性样条插值和三次样条插值。
-线性样条插值在每两个相邻点之间使用线性函数进行插值，保证了插值函数的一阶导数是连续的。
-三次样条插值在每两个相邻点之间使用三次多项式进行插值，保证了插值函数的一阶和二阶导数都是连续的。
三次样条插值具有良好的平滑性和精度。
4.径向基函数插值：径向基函数插值是一种基于局部函数的插值方法，它假设函数值仅取决于与插值点的距离。
多项式的插值多项式与Lagrange插值知识点
多项式的插值多项式与Lagrange插值知识点多项式的插值多项式是数值分析中的重要概念，用于逼近给定数据点集合的函数。
通过插值，我们可以通过已知的数据点，构造出一个多项式函数，从而对未知数据点进行预测和估计。
Lagrange插值是一种常用的插值方法，具有简单易懂的形式和计算方法。
1. 插值多项式的定义插值多项式是指通过已知数据点集合，构造一个多项式函数，该函数在已知数据点上与原函数完全相等。
插值多项式在数值计算、信号处理、图像处理等领域都有广泛的应用。
2. Lagrange插值的原理Lagrange插值是一种基于多项式插值的方法，它通过构造一个满足一定条件的插值多项式来逼近原函数。
Lagrange插值的思想是，通过构造一系列的基函数，使得插值多项式在每个数据点上的取值等于对应数据点的函数值，并且在其他数据点上的取值为0。
3. Lagrange插值的公式Lagrange插值的公式非常简洁明了。
设已知的数据点集合为{(x0, y0), (x1, y1), ...,(xn, yn)}，其中xi和yi分别代表数据点的横坐标和纵坐标。
插值多项式的公式可以表示为：P(x) = ∑(i=0 t o n) [yi * Li(x)]其中，Li(x)为Lagrange基函数，其公式为：Li(x) = ∏(j=0 to n, j!=i) [(x - xj) / (xi - xj)]4. Lagrange插值的优点Lagrange插值具有以下几个优点：(1) 简单易懂：Lagrange插值的公式非常简洁明了，易于理解和计算。
(2) 泛用性强：Lagrange插值适用于任意数量的数据点，能够满足不同场景的需求。
(3) 高精度：在数据点较为密集的情况下，Lagrange插值能够提供较高的插值精度。
5. Lagrange插值的局限性尽管Lagrange插值具有许多优点，但也存在一些局限性：(1) 数据点过于离散：当数据点过于离散时，Lagrange插值可能会导致插值多项式的震荡现象，从而影响插值结果的准确性。
多项式的插值多项式与Newton插值知识点
多项式的插值多项式与Newton插值知识点多项式的插值多项式是数值分析中的一个重要概念，它用于将给定的一组数据点拟合为一个多项式函数。
在多项式的插值问题中，给定n + 1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ... , (xn, yn)，其中xi不相等，yi可以是任意实数，要求找到一个n次多项式P(x)，使得P(xi) = yi，i = 0, 1, ..., n。
插值多项式的目的是通过已知的数据点，找到一个多项式函数，从而能够在这些数据点上精确地插值。
Newton插值是一种常用的插值方法，它采用了差商的概念。
差商是一种用于表示多项式系数的方法，通过递推关系可以快速计算出插值多项式的系数。
为了使用Newton插值，首先需要计算出差商表。
差商表的第一列是给定的数据点的纵坐标值，第二列是相邻数据点的差商，第三列是相邻差商的差商，以此类推。
差商表的对角线上的元素即为插值多项式的系数。
插值多项式的计算过程可以通过以下步骤来完成：1. 根据给定的数据点，构建差商表。
2. 根据差商表的对角线上的元素，计算插值多项式的系数。
3. 根据插值多项式的系数，构建插值多项式。
在实际应用中，多项式的插值多项式可以用于数据的拟合和插值计算。
通过插值多项式，我们可以通过已知数据点推断出未知数据点的值，从而实现对数据的预测和估计。
总结起来，多项式的插值多项式与Newton插值是数值分析中常用的方法。
它们通过利用已知的数据点，构建插值多项式来拟合数据，从而实现数据的预测和插值计算。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题和数据特点选择适合的插值方法，并利用插值多项式进行数据的分析和处理。
多项式插值名词解释
多项式插值名词解释
多项式插值是一种数学方法，利用已知的若干点的函数值，找到一个多项式来近似函数在这些点之间的行为。
在给定n+1个点（称为插值点）的情况下，这种方法用于找到一个多项式（称为插值多项式），使得它正好穿过这些点。
在插值多项式通过所有给定点之后，它在其他点的函数值可以用这个多项式的值近似。
常用的多项式插值方法有直接法、拉格朗日插值法和牛顿插值法。
这种方法可以用于曲线拟合、回归等应用领域。
此外，多项式插值还可以用于求解函数的最小值点，通过找到插值多项式的极小点来逼近函数的最小值点。
这种方法称为多项式插值的搜索方法。
以上内容仅供参考，建议查阅关于多项式插值的资料获取更多专业信息。
多项式插值_Lagrange插值
φ(xk)=f(xk)=yk , k=0,1, … ,n
(2)
这时称 y=f(x)为被插值函数, φ(x) 称为插值函数, xk 称 为插值节点,式(2)称为插值条件,寻求插值函数φ(x) 的方法称为插值方法.
二、多项式插值问题
在构造插值函数时，函数类的不同选取, 对应着 各种不同的插值方法，这里主要研究函数类P是代数 多项式，即所谓的多项式插值问题。
多项式插值，从几何角度看，就是寻求n次代数曲 线 y=pn(x) 通过n+1个点(xk , yk) (k=0,1,…,n)作为 f(x) 的 近似(如下图).
y pn( x)
y f (x)
设 pn(x)=a0+ a1x+…+an xn ，当满足如下的插值条件 时，即
pn(xk) = f(xk) = yk , k = 0,1, … ,n
f(x) ≈ L1(x)=y0l0(x)+y1 l1(x)
二、抛物线插值（n=2）
已知
xi x0 x1 x2 yi y0 y1 y2
求解 L2(x)=a2x2+a1 x+a0
使得 f(x) ≈ L2(x), x ∈[x0 , x2].
关于二次多项式的构造采用如下方法：令
L2(x)=A(x-x1)(x-x2)+B(x-x0)(x-x2)+C(x-x0)(x-x1)
插值问题
§1 多项式插值问题 §2 Lagrange插值多项式
§1 多项式插值问题
一、插值问题
设函数 y=f(x)在区间[a,b]连续, 给定n+1个点
a≤ x0 < x1 < … < xn≤b
(1)
已知 f(xk)=yk (k=0,1,…,n) ,在函数类中寻找一函数φ(x) 作为 f(x) 的近似表达式,使满足
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由插值条件
Pn ( xi ) yi
i 0, 1, , n
得到如下线性代数方程组：
1
a0
1
a0
x0a1 x1a1
x0nan x1nan
y0 y1
1 a0 xna1 xnnan yn
7
存在唯一性定理证明(续)
此方程组的系数行列式为
且 ( x0 ) ( x1 ) 0 存在 (x0, x1)使得 。
( ) 0
推广：若 ( x0 ) ( x1 ) ( x2 ) 0 0 ( x0 , x1 ), 1 ( x1, x2 )
使得 (0 ) (1 ) 0
函数值：
x x0 x1
xn1 xn
y y0 y1
yn1 yn
• 插值问题：根据这些已知数据来构造函数
y f (x) 的一种简单的近似表达式,以便于计算 点 x xi ,i 0,1,L , n 的函数值 f (x) ，或计算函数 的一阶、二阶导数值。
3
多项式插值定义
在众多函数中,多项式最简单、最易计算，已知函数 y f (x)在n 1
0
0L
0
l1 ( x)
0
1
0
L
0
L
L
L
L
LL
ln (x)
0
0
0
L
1
24
N次插值多项式4
求n次多项式 lk ( x) ， k = 0, 1,…, n
1, lk ( xi ) 0,
则
ki ki
n
Pn ( xi ) yk lk ( xi ) yi k 1
i = 0, 1, 2,…, n
19
二次Lagrange插值多项式1
线性插值只利用两对值 及 求得的 近似值，误差较大。
p2(x)是x的二次函数，称为二次插值多项式。 通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。
20
二次Lagrange插值多项式2
设被插函数在插值节点 x0, x1, x2 处的函数值为
y0 , y1, y2 以过节点 (xi , yi ) (i 0,1, 2) 的二次函数
L2 (x) 为插值函数。 用基函数的方法获得 L2 (x) L2 (x) y0l0 (x) y1l1(x) y2l2 (x)
其中
l0
(x)
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
l1 ( x)
(x ( x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
4
1 2
x
6
2 2
64 46
30
例题分析2
误差为
R1(x)
f ( ) (x )(x ) sin
2!
64 2
(x )(x )
64
在所求点的函数值为
sin
5
18
5
L1( 18 )
0.77614
误差为
R1
(
5
18
)
f ( ) (5
又由 lk ( xk ) 1 ，得：
1
( xk x0 )( xk x1 ) ( xk xk1 )( xk xk1 ) ( xk xn )
26
N次插值多项式6
lk
(
x)
(
( xk
x
x0 )( x x1 ) x0 )( xk x1 )
( x xk1 )( x ( xk xk1 )( xk
第二讲 Lagrange插值
1
主要知识点
• 插值的基本概念，插值多项式的存在唯一性； • Lagrange插值(含线性插值、抛物插值、n次
Lagrange插值公式）； • 插值余项； • 插值方法：（1）解方程组、（2）基函数法。
2
插值问题描述
• 设已知某个函数关系 y f (x) 在某些离散点上的
1 x0 x02
1 D
x1
x12
x0n
x1n
( xi x j )
0 jin
1 xn xn2 xnn
范得蒙行列式 ！
当 xi x j i 1,2, n; j 1,2, n 时，
D 0， 因此，Pn(x)由a0, a1,…, an唯一确定。
8
插值方法
(0 , 1 ) 使得 ( ) 0
28
N次插值多项式8
注：
通常不能确定 x , 而是估计 f (n1)( x) Mn1 , x(a,b)
将
M n1 (n 1)!
n i0
|
x
xi
|
作为误差估计上限。
当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时，f (n1)( x) 0 ,
已知n+1个节点处的函数值
xi
x0
x1
xn
yi
y0
y1
LL
yn
求一个n次插值函数 Ln (x) 满足
Ln (x) yi (i 1, 2,L , n)
23
N次插值多项式3
构造各个插值节点上的基函数 li (x) (i 0,1,L , n) 满足如下条件
xi
x0
x1
x2
L
xn
l0 (x)
1
即 pn ( x) 满足插值条件
根据 lk ( x) 的表达式，xk 以外所有的结点都是lk ( x) 的根，
25
N次插值多项式5
因此令
lk (x) (x x0 )(x x1)L (x xk1)(x xk1)L (x xn )
n
(x xj) j0 jk
9
拉格朗日插值公式
拉格朗日（Lagrange）插值公式的基本思想是，
把 pn(x) 的 构 造 问 题 转 化 为 n+1 个 插 值 基 函 数
li(x)(i=0,1,…,n)的构造。
10
线性插值函数
f(x) (x1，y1) P1(x)
(x0 ，y0)
x0
可见 是过
和
x1
两点的直线。
11
抛物插值函数
p2(x) f(x)
f(x)
x0
x1
x2
因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。
12
N次插值函数
设连续函数 y f (x) 在[a, b]上对给定n + 1个不同结点：
分别取函数值
其中
试构造一个次数不超过n的插值多项式
Pn ( x) a0 a1 x an x n
使之满足条件
l2
(x)
(x ( x2
x0 x0
)(x x1) )(x2 x1)
21
N次插值函数1
• 我们看到，两个插值点可求出一次插值多项
式
，而三个插值点可求出二次插值多项
式 。当插值点增加到n+1个时，我们可以利
用Lagrange插值方法写出n次插值多项式 ，
如下所示：
22
N次插值多项式问题2
14
一次Lagrange插值多项式(2)
一次插值多项式
15
一次Lagrange插值多项式(3)
由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为
它也可变形为
显然有：
16
一次Lagrange插值多项式(4)
记
l0 (x)
x x1 x0 x1
l1 ( x)
x x0 x1 x0
可以看出
L1 ( x)
Pn ( xi ) yi i = 0, 1, 2,…, n
要求：无重合节点，即 i j xi x j
13
一次Lagrange插值多项式(1)
已知函数 y f (x)在点 x0, x1上的值为 y0, y1 ，要 求多项式y p1(x)，使 p1(x0 ) y0，p1(x1) y1。其几何意 义，就是通过两点 A(x0, y0), B(x1, y1) 的一条直线， 如图所示。
个互不相同的点处的函数值 y f (x ),i 0,1, ,，n 为求
i
i
y f (x的) 近似式，自然应当选 n 次多项式
Pn (x) a0 a1x a2x2 L an xn
使 P (x) 满足条件 n
Pn(xi ) yi , i 0, 1,L ,n
f (x)称为被插函数, pn ( x)称插值多项式,条件(3 3)称插值条件, x0,x1,L , xn称插值节点 o这种求函数近似式的方法称为插值法 o 几何上,其实质是用通过n 1个点( x1, y1)(i 0,1,L , n)的多项式曲 线y pn (x),当作曲线y f ( x)的近似曲线.如图所示 o
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
的线性组合得到，其系数分别为 y0，y1
称 l0 (x),l1(x)为节点 x0 , x1的线性插值基函数
17
一次Lagrange插值多项式(5)
线性插值基函数 l0 (x),l1(x) 满足下述条件
xi
x0
x1
l0 (x)
1
0
l1 ( x)
6
)(x